Matematika | Valószínűségszámítás » Valószínűség elemei

III. tétel VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS ELEMEI Alapfogalmak Ahhoz, hogy a véletlen tömegjelenségekben rejlő törvényszerűségeket jobban felismerhessük, hogy azokból további következtetéseket vonhassunk le sok esetben a jelenségek további lefolyását előre láthassuk és ennek alapján azokat irányíthassuk szükségünk van az események valószínűségének fogalmára. Ha egy kísérlet n-szer ismétlünk, és az A esemény k-szor következik be, akkor azt mondjuk, hogy az A esemény gyakorisága k és k A –val jelöljük. A hányadost relatív gyakoriságnak nevezzük. Azt mondjuk, hogy A esemény valószínűségét megkapjuk, ha az A eseményt megvalósító egyenlően lehetséges kedvező esetek számait osztjuk a lehetséges esetek számával. Ha a relatív gyakoriság egy konkrét érték körül ingadozik, azaz ezen konkrét érték körüli ingadozása állandó, akkor ezt a konkrét értéket az A esemény valószínűségének nevezzük, és P(A)-val

jelöljük. Axiómák Az axiómák olyan alapigazságok, amelyeket bizonyítás nélkül is igaznak fogadunk el. Belőlük és a bebizonyított tételekből, állításokból bizonyítunk újabb tételeket, bizonyos definíciókra támaszkodva. Legyen adott egy kísérlethez tartozó H eseménytér, legyen A és B két tetszőleges esemény a H-n, azaz AH, BH, akkor A-hoz hozzárendelünk egy P(A) pozitív számot (a valószínűségét), amelyre teljesülnek a alábbi axiómák: I. Minden A esemény valószínűségére teljesül: 0P(A) II. A biztos esemény valószínűsége: P(H) = 1 III. Ha A és B egymást kizáró események AB =  , akkor P(AB) = P(A) +P(B) A III. axiómát a valószínűség additív tulajdonságának nevezzük Valószínűség számítási tételek 3.1 tétel Ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor az A ellentétes esemény valószínűsége P(A) = 1-P(A). Bizonyítás: Minthogy AA = H és AA =  , a III. axióma szerint

P(AA) = P(A) + P(A) és a II axióma szerint P(H)=1. A bizonyítandó állítás ebből már következik. A tétel fontos következménye, hogy a lehetetlen esemény valószínűsége zérus, azaz P() = 0 Minthogy a lehetetlen esemény a biztos esemény ellentétes eseménye, így P () = P(H), amiből P() = 1 – P(H) = 0. 3.2 tétel Ha az A 1 , A 2 , , A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A 1 ) + P(A 2 ) + . + P(A n ) = 1 Bizonyítás: Feltevésünk szerint A 1 A 2  A n =H és A i A j = , ha i  j (i, j = 1, 2, , n), továbbá a II. axióma szerint P(H) = 1, így az ott tett megjegyzés alapján P(H) = P(A 1 A 2  A n ) = P(A 1 ) +P(A 2 ) + + P(A n ), ebből pedig P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) = 1. 3.3 tétel Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor annak a valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B). Bizonyítás: Az A  B esemény előállítható

két egymást kizáró esemény összegeként, azaz AB = A(AB) és A(AB) =  Ezért a III. axióma szerint P(AB) = P(A) + P(AB) A B esemény is előállítható két egymást kizáró esemény összegeként, azaz B = (AB)(AB) és (AB)(AB) = Ismét a III. axióma alapján P(B) = P(A B) + P(AB). Innen P(AB) = P(B) – P(AB) Ez utóbbit a (3.2) összefüggésbe helyettesítve P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). 3.4 tétel Ha az a esemény maga után vonja a B eseményt, azaz A  B fennáll, akkor P( BA) = P(B) – P(A). Bizonyítás: Ha A  B, akkor B = A(BA) = A(BA) és A(BA) =  Ezért a III. axióma szerint P(B) = P(A) + P(BA), és így P(BA) = P(B) – P(A). A tétel következményeként adódik: Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, azaz A  B, akkor P(A) < P(B). Ezt az állítást az I. axióma szerint fennálló P(BA) = P(B) – P(A) > 0 egyenlőtlenségből kapjuk. Mivel minden A

eseményre A  H, ezért P(A)< P(H) = 1. (3.2) Klasszikus képlet 3.5 tétel Legyen a H eseménytér elemi eseményeinek száma n, és tegyük fel, hogy mindegyik egyenlő valószínűséggel következhet be. Ha egy A esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor P(A) = vagy P(A) = kedvező esetek száma lehetséges esetek száma A 3.5 tétel feltételeinek megfelelő H eseményteret klasszikus eseménytérnek, a közölt képletet pedig klasszikus képletnek is szokás nevezni. Bizonyítás: Legyen az eseménytér elemi eseményeinek száma n. Az egyszerűbb tárgyalásmód érdekében a H eseménytér elemi eseményeit a következőképpen jelöljük: E 1 , E 2 , E 3 , ., E n A tétel állítása szerint ezek az elemi események egyenlően valószínűek, azaz P(E 1 ) = P(E 2 ) = = P(E n ) Mivel azonban E 1  E 2   E n = H és a II, axióma szerint P(H) = , ezért P(E 1  E 2  .  E n ) = 1 A III. axiómánál említett (31)

összefüggés szerint P(E 1  E 2  .  E n ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + + P(E n ), így (i=1, 2, ., n) P(E i ) = Tekintsük ezután a H eseménytér egy tetszőleges A eseményét, amelyet k darab elemi esemény összegeként állíthatjuk elő. Az elemi események sorszámozását végezzük úgy, hogy az A eseményt az első k darab elemi esemény összege adja: A = E 1  E 2  . E k Így P(A) = P(E 1  E 2  .  E k ) = = P(E 1 ) + P(E 2 ) + + P(E k ) = k