Matematika | Valószínűségszámítás » Matematikai feladatok, megoldással

Matematikai feladatok, megoldással Komplex számok z4  Oldja meg a x1  z 2 z3 0 egyenletet a komplex számok halmazán, ha z1   3  i , z2  12 cos120  i  sin 120   , z 3  2  e i  2 Megoldás: z1   3  i z 2   3  3i z3  2i  z3  2i z1  z 2  3  i  3  3i  2 3  2i i  2  2 3i      1  3i z3  2i  2i i 2 z 4  2cos 240  i sin 240  240  k  360 240  k  360   4 z  2  cos  i sin  4 4    4 k  0, z1  2 cos 60  i sin 60  k  1, z 2  4 2 cos150  i sin 150  k  2, z3  4 2 cos 240  i sin 240  k  3, z 4  4 2 cos 330  i sin 330  z4  Az egyenlet megoldásai: Mátrix Írja fel a következő egyenletrendszert mátrixos alakban! Oldja meg az egyenletrendszert az együttható mátrix inverzének felhasználásával!

x  2 y  3z  5   2 x  3 y  2 z  3 3 x  3 y  4 z  8  Megoldás: 1 2 3  A   2 3 2   3 3 4 5 b  3   8  x x   y    z  Ax  B x  A 1  b 1 2 3 det A  2 3 2  1  3 3 4  3  3   2 adjA   3   2  3  2  4 3 4 3  2 3 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 3 2 2  2 2 2 3 4 2 3  3 3 3   7. T 2 3 T 3 3  1  5 6  6  2  3 1 2  1  5 3    2  5 4 .       3 3    3 3  1  5 4  1 1 2 2 3  1  5 6 1  A 1    2  5 4 .  7    3 3  1 1  5 5  1   x 6 1 x   y      2  5 4   3   1        7   z   

3 3  1 8  2  x 1 y  1. z2 Az egyenletrendszer megoldása tehát: Geometria mátrixal   B2, 1, - 1, C 2, 0, 1 Egy háromszög csúcspontjai: A 3, 1, 1 , Mekkora a háromszög legkisebb szöge? Megoldás:  a  BC  0,  1, 2  b  AC   1,  1, 0   c  AB   1, 0,  2   b 2  c 5 a 5 A legkisebb szög tehát az AC oldallal szemközti szög, tehát az hajlásszöge. a és a  c vektorok cos   0  1   1  0  2  2 4  5 5 5   36,87   . A1, 0, - 1 , B 2, 1, 1 , C 0,  1, 2 pontok által meghatározott sík egyenletét! Milyen távolságra van az előbbi síktól a P 3,6,  8 pont? Írja fel az Megoldás:  A keresett sík normálvektora:  n  AB AC i n  3   AB 3, 1, 2  , AC  1,  1, 3 , így j k 1 2 

5i  7j  4k 1 1 3 . Az adott pontnak válasszuk az A pontot, így a sík egyenlete: 5 x  1  7 y  0   4 z  1  0 , vagyis 5x  7 y  4 z  1 . A P ponton átmenő, az előbbi síkra merőleges egyenes irányvektora a sík normálvektorával egyenlő, így az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x  3  5t   y  6  7t  z  8  4t  Mindegyik egyenletből a t paramétert kifejezzük, majd a sík egyenletébe helyettesítve kapjuk azt a paramétert amelyet az egyenes paraméteres egyenletrendszerébe visszahelyettesítve a döféspont koordinátái adódnak. 55t  3  77t  6   44t  8  1, amiből t  1. A döféspont koordinátái tehát: D2, 1,  4   A P pont és a sík távolsága a PD  PD vektor hossza, azaz 2  3  1  6   4  8 2 2 2  90 . Differenciálegyenlet Oldja meg a következő

differenciálegyenleteket az adott kezdeti feltételek mellett! a./ b./ Megoldás: a./  x  1 y  y  0 y 2   2 . y  5 y  6 y  e 2 x  6 x  7 A differenciálegyenlet szeparálható. y 0  1, y 0  4 y  y dy y dy dx      ln y  ln x  1  ln C x 1 dx x  1 y x 1 , yá  C   x  1, a kezdeti feltétel miatt 2  C 2  1  C  2 , y p  2   x  1 a partikuláris megoldás tehát: b./ A homogén diff. egyenlet: a karakterisztikus egyenlet: melynek gyökei: . y  5 y  6 y  0 , 2  5  6  0 , 1  2 és 2  3 yh  C1  e 2 x  C2  e 3 x A homogén differenciálegyenlet megoldása: A kísérletező függvény a rezonancia miatt:: yk  Axe 2 x  Bx  C yk  Ae 2 x  2 Axe 2 x  B yk  2 Ae 2 x  2 Ae 2 x  4 Axe 2 x Visszahelyettesítve az eredeti

differenciál egyenletbe: 4 Ae 2 x  4 Axe 2 x  5 Ae 2 x  10 Axe 2 x  5B  6 Axe 2 x  6 Bx  6C  e 2 x  6 x  7  A  1  x1  6 B  6   B  1 C2 x 0   5B  6C  7  2x 3x 2x y  C e  C e  xe  x  2. á 1 2 A differenciálegyenlet általános megoldása: e2 x   A 1 yá  2C1e 2 x  3C2 e 3 x  e 2 x  2 xe 2 x  1 A kezdeti feltétel miatt a deriváltja: A kezdeti feltételeket behelyettesítve: C1  1     4  2C1  3C2  1  1 C2  2 1  C1  C2  2 . A kezdeti feltételeket is kielégítő partikuláris megoldás tehát: yá  e 2 x  2e 3 x  xe 2 x  x  2 . Valószínűségszámítás Egy dobozban 10 cédula van, rendre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekkel megjelölve. Egymás után hat cédulát húzunk ki úgy, hogy a kihúzott cédulákat a húzás után nem tesszük vissza. A kihúzott cédulákon lévő számjegyeket

a kihúzás sorrendjében írjuk egymás mellé Mennyi a valószínűsége, hogy a./ páratlan hatjegyű számot kapunk b./ 5-tel osztható hatjegyű számot kapunk? Megoldás Az összes esetek száma:10  9  8  7  6  5  151200 a./ kedvező esetek száma: 1 3 88 7  6 5 5 7 9 b./  5  8  8  7  6  5  67200  67200 Phatjegyű páratlan    0,444 4. 151200 9 8 7  6 5 0    15120  13440  28560 88 7  6 5 5  A kedvező esetek száma: Phatjegyű 5-tel osztható    28560  0,188 8. 151200 /3 pont / Egy elsőéves tankör „Valószínűségszámítás” vizsgadolgozatainak eredménye valószínűségi változó. A valószínűségi változó lehetséges értékei: 1; 2; 3; 4; 5 A tapasztalatok alapján a felvételei valószínűségek rendre 0,2; 0,35; 0,25; 0,15; p. Számítsa ki a vizsgadolgozatot eredményeinek várható értékét és szórását! Megoldás

Mivel  pi  1 , ezért p  1  0,2  0,35  0,25  0,15  0,05. M     xi  pi  1  0,2  2  0,35  3  0,25  4  0,15  5  0,05  2,5 D 2     xi2  pi  M 2     12  0,2  2 2  0,35  32  0,25  4 2  0,15  52  0,05  2,52  1,25. D   1,118. Határozza meg „ t ” értékét úgy, hogy az ha x < 0  0, f  x   t  sin x , ha 0  x    0, ha x >  függvény egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye lehessen! Mekkora a valószínűségi változó várható értéke? Mennyi a 1  P 0      2 valószínűség értéke Megoldás  0      0  0 1   f  x dx   0dx   t  sin xdx   0dx  t   sin xdx  t   cos x 0   t   cos   cos 0   2t

Így pont /  1 t . 2  0, ha x < 0 1 f  x     sin x, ha 0  x   2  0, ha x >   M     x  f  x dx    /2 1 2 1 1  1    x  cos x   cos xdx   2 0 2  2  1 u   x v  sin x 2 1 u v   cos x 2  x  sin xdx   1 1  1    x  cos x   sin x      cos   . 2 2 2  2 0 /3 pont / 1 2 1 2 1 1 1 1 1  1   P 0        sin xdx    cos x     cos   cos 0  0,0612. 2 0 2 2 2 2  2 0  Kalácssütéskor 1 kg tésztába 30 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsolaszem lesz, ha a mazsolaszemek eloszlása a süteményben Poisson-eloszlású? Megoldás 30  1,5 szem mazsola van.  M      1,5 20 P  2   1  P  2

  1  P  0   P  1  P  2   1,50 1, 5 1,51 1, 5 1,52 1, 5 1 e  e  e  0,1912. 0! 1! 2! 5 dkg  ban Egy étteremben – vacsoraidőben – a fizető pincérre átlagosan 5 percet kell várni. (A várakozási idő exponenciális eloszlású.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a várakozási idő a./ legfeljebb 3 perc? b./ 5 percnél több? Megoldás 1 1 M     5     5, + így ha x  0 0, 1 F x     x 1  e 5 , ha x  0 a./ 3 5 P  3  P  3  F 3  1  e  0,4512.  P  5  1  P  5  1  F 5  1  1  e 1   0,3679. b./ Valamely 15 mm-es átmérőjű gépalkatrész átmérője a legyártás után normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 15 mm, szórása 0,5 mm. Egy alkatrészt akkor tekintünk

selejtesnek, ha az átmérője a tervezett értéktől 5%-nál többel tér el. Mekkora a valószínűsége, hogy selejtes alkatrész készül? x x 1,45 46 47 48 49 1394 1374 1354 1334 1315 9265 9279 9292 9306 9319 1,50 51 52 53 54 0,1295 1276 1257 1238 1219 0,9332 9345 9357 9370 9382 Megoldás 15  0,05  0,75 m  15,   0,5. Pselejt   1  P jó   1  P14,25    15,75  1  F 15,75  F 14,25   15,75  15   14,25  15   1        1  1,5   1,5  0 , 5 0 , 5      1   1,5  1   1,5  2  2   1,5  2  2  0,9332  0,1336. Egy derékszögű háromszög befogói a  5  0,1 cm , b  12  0,2 cm . A fenti adatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója? Megoldás ca, b   a 2  b 2 2a a ca a, b    2 a2

 b2 a2  b2 2b b ca a, b    2 a2  b2 a2  b2 5 5 2  12 2 13 / 12 12 ca a, b   2  5  12 2 13 / 2,9 12 5 c  ca a, b   a  cb a, b   b   0,1   0,2   0,2231 13 13 13 ./ ca a, b   5  Egy 12 fős társaság csónakázni indul. Egy 3, egy 4 és egy 5 személyes csónak áll rendelkezésükre. Hányféleképpen foglalhatnak helyet a csónakokban, ha ketten ugyanabba a csónakba szeretnének ülni? Megoldás A két személy ülhet a 3 személyes, vagy a 4 személyes, vagy az 5 személyes csónakba, egyébként a beülési sorrend érdektelen.  2 10  9  5   2 10  8  5   2 10  7  4                   2 1 4 5 2 2 3 5 2 3 3 4 A lehetséges esetek száma: 

              Egy kockával háromszor dobunk egymás után. Mennyi a valószínűsége, hogy hatos dobás is szerepel a dobott számok között, ha a dobott számok összege 13? Megoldás Legyen A : 6-os is szerepel a dobások között. B : a dobott számok összege 13. P AB  PA B   PB  valószínűséget. Keressük a A dobott számok összege 13, ha dobások esetek száma 1,6,6 2,5,6 3,4,6 3! 3 2! 3! 6 3! 6 ------------------------- 3,5,5 4,4,5 3! 3 2! 3! 3 2! 21 15 P AB   36 és 36 Így 15 P AB  36 15 5 P A B      PB  21 21 7 36 . PB   Két doboz közül az elsőben 4 fehér, 5 piros és 6 kék golyó, a másodikban 6 fehér, 3 piros és 5 kék golyó van. Az első dobozból húzunk egy golyót és áttesszük a másodikba Ezután a másodikból húzunk egy golyót. Mekkora a valószínűsége, hogy elsőre pirosat

tettünk át, ha másodszorra fehéret húztunk? Megoldás A1 : az első dobozból fehéret teszünk át a másodikba, Legyen A2 : az első dobozból kéket teszünk át a másodikba, Keressük a A3 : az első dobozból pirosat teszünk át a másodikba. B : a második dobozból fehéret húzunk. P  A3 B  valószínűséget. Az A1 , A2 , A3 események teljes eseményrendszert alkotnak, így alkalmazhatjuk a teljes valószínűség tételt. PB    PB Ai   P Ai   3 i 1 7 4 6 6 6 5 94       15 15 15 15 15 15 225 . A Bayes-tétel szerint 6 5 PB A3 P A3  15  15 30   P A3 B   94 PB  94 225 . Integrálok Határozza meg a következő integrálokat! dx 1  dx 2  16  x 2 1  x  arcsin x a./ b./   dx c./  x  3  2 ln x  Megoldás 1 1  16  x 2 dx  16   a./ 1 1 dx   2 16  x 1   4 x 4  c  1  arctg x

 c 1 4 4 4 arctg . b./ arcsin x 2  arcsin x  dx  1 1 dx  1  x  arcsin x   2 1  1  x2 1 2  c  2  arcsin x  c 2 c./ 1 1  2 dx 1 1  x  3  2 ln x    3  2xln x dx   2   3  2 lnx x dx   2  ln 3  2 ln x  c . Határozza meg a következő integrált! x2  x  2  x3  x dx Megoldás x2  x  2  A Bx  C   2  x 1  x3  x dx    x  x 2  1 dx    x  x 2  1 dx    x 2  x  2  Ax 2  A  Bx 2  Cx x2 x1 x0  1  A  B   B  1 1 C   2  A   1  x 1 2 2     2  2 dx  2  ln x   ln x  1  arctgx  c 2  x x  1 x  1 . Határozza meg a következő integrálokat! 1 2 a./ Megoldás  ar ctg 2 x dx 0 1 b./ x 0 1  x dx . 1 2 a./  arctg 2 x dx 1 2

1 1  arctg 2 xdx  0 0 u  1 v  arctg 2 x 2 u  x v  1  4x2 2x  2   x  arctg 2 x   dx   2 1  4x  0 1 2 1 1 1 1  1  2      x arctg 2 x ln 1 4 x   arctg1   ln 2     ln 2  0,2194   4 4 2 4 4 0 2 . b./ t2  2 t2 t2 1 x  t  t5 t3  2 2 4 2  x  t  1   t  1  t  2tdt   2t  2t dt  2   2   0 x  1  x dx  dx 3  t 1  2tdt  5 t1 t1 1  1     2 2 2 2  25   23      0,6438 3 5 5 3 . Határozza meg a következő improprius integrált! 1  ln x dx 0 Megoldás 1  ln x dx Az ln x függvény a 0 helyen nem korlátos, ezért az integrál improprius. 0 1  ln x dx 0 1 1  ln xdx  x  ln x  x    1.  x  ln x  x 0  1  ln1  1  lim  1 0 0 u  1 v  ln x 1 u

 x v  x 1 ln x x  lim x   0. x  ln x  lim  lim lim 1 1 0 0 0 0  2 x x Deriválás Deriválja az alábbi függvényeket az x független változó szerint: sin 4 x 2  5 x y xe 2 x  y 2 ln y  0 ln x 3  3 x  2 a./ b./ c./   f x   3x 4  8   tg 5 x  2    Megoldás y a./    sin 4 x 2  5 x ln x 3  3 x  2  3x 2  3 cos 4 x  5 x  8 x  5  ln x  3 x  2  sin 4 x  5 x  3 x  3x  2 y  ln 2 x 3  3x  2  b./  2   3     2 xe 2 x  y 2 ln y  0  1  e  2 x  xe  2 x  2   2 yy ln y  y 2 y   0 y   e 2 x  2 xe 2 x y  2 y ln y  y c./  f x   3x 4  8  tg 5 x  2   ln  f  x   tg 5 x  2  ln 3 x 4  8    1 5 12 x 3 4 

  f  x    ln 3 x  8  tg 5 x  2 f x  cos 2 5 x 3x 4  8  5 12 x 3  4         ln 3 x 8 tg 5 x 2 2 3 x 4  8   cos 5 x Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait!  f  x   3 x 4  8   tg 5 x  2  f  x, y   a./ Megoldás f x x, y   a./ f y  x, y    2 xy x2  y2 3x b./ 2 y  x 2  y 2   2 xy  2 x x 2 x 2  y2  2 2 x  x 2  y 2   2 xy  2 y  y2  2 f x x, y   4 y   ln4 y   3 3x b./ f y  x, y   3 x  4 y  f  x, y   4 y  3 x 1 3 Határérték an  ln 2n  1 2n  2 ( n  N ) sorozat határértékét, és számítsa ki az Határozza meg az   10 3 -hoz tartozó küszöbszámot! Megoldás 2n  1  ln1  0 2n  2 . 2n  1 2n

 1 ln  0  10 3 1 2n  2 , ezért az abszolút értéket felbontva , mivel 2n  2 1 1  2n  1  2 n   ln  10 3 10 3 2 1 e  , azaz n  499,25 . 2n  2 , amiből lim ln A küszöbszám tehát n0  499 . Határozza meg a következő határértékeket! ( A L’Hospital szabályt nem használhatja!)  3n  2  lim   3n  6  a./ Megoldás n 2 5 lim b./ 2 x 3  x 2  14 x  24 x2  x  2 a./ n  3n  2  lim   3n  6  b./ n 2 5 n  2     23  1     3n  2  5 e 3n      lim    lim 6  1  2    3n  6   e3     6n   n n    83     lim e   0    1 .  x 3  x 2  14 x  24 x  2 x 2  x  12  x 2  x  12  6 lim  lim  lim  2 2 2

2 x  2x  1 x2  x  2 x 1 3 . A számlálót polinom osztással alakítjuk szorzattá:  x3  x 2  14 x  24: x  2  x 2  x  2  x3  2 x 2  x 2  14 x  24  x2  2x  12 x  24  12 x  24 0 Függvényvizsgálat 1 x Határozza meg az f  x   x  e függvény inflexiós pontjait! Határozza meg az inflexiós pontban (pontokban) az inflexiós érintő egyenletét! Megoldás f  x   x  e1 x D  f   R f  x   e1 x  x  e1 x  1  e1 x 1  x  f  x   e1 x  11  x   e1 x  1  e1 x 2  x  f x   0 , ha e1 x 2  x   0 , vagyis x  2 , hiszen e1 x  0 . x f  x  f x    , 2  2 0  inf . 2,    2 Pinf  2;   e,  y Az inflexiós érintő egyenlete: 2 1

  x  2 e e . f 2   1 e