Matematika | Statisztika » Domján György - Statisztika összefoglaló

STATISZTIKA Prof. Dr Katona Tamás Kovacsicsné Nagy Katalin féle statisztika könyv alapján Összeállította: Domján György SZTE-KRE ÁJK Statisztikai sokaság: A statisztikai sokaság a statisztikai megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. Típusai: álló (stock) – egy adott időpontra vonatkozik, mozgó (flow) – egy adott időtartamra vonatkozik. Statisztikai ismérvek: Azokat a kritériumokat, amelyek jellemzői a sokaság egységeinek, statisztikai ismérveknek nevezzük. Ezeknek egyértelműeknek kell lenniük Fajtái: időbeli, területi és tárgyi (minőségi és mennyiségi). A gyakorlatban ezeket statisztikai változóknak is nevezzük. A statisztikai törvény tartalma: (1993. évi XLVI törvény) A rendszerváltást követően 1993-ban alkotta meg az Országgyűlés az új statisztikai törvényt. A törvény a statisztika célját az alábbiak szerint határozza meg: A statisztika feladata és célja, hogy valósághű, tárgyilagos képet adjon a

társadalom, a gazdaság, a tulajdonviszonyok, a környezet állapotáról és változásairól az államhatalmi és a közigazgatási szervek, valamint a társadalom szervezetei és tagjai számára. A cél elérése érdekében e törvény – összhangban a személyes adatok védelméről és a közérdekű adatok nyilvánosságáról szóló 1992. évi LXIII törvénnyel – az adatok statisztikai módszerekkel történő felvételét, feldolgozását, tárolását, átadását, átvételét, elemzését, szolgáltatását, közlését, valamint közzétételét (a továbbiakban: statisztikai tevékenység) szabályozza. A törvényben meghatározott statisztikai tevékenység ellátása a hivatalos statisztikai szolgálat feladata. A hivatalos statisztikai szolgálathoz tartozó szervek: a) a Központi Statisztikai Hivatal; b) a minisztériumok és a Miniszterelnöki Hivatal; c) az Országos Igazságszolgáltatási Tanács Hivatal; d) a Legfőbb Ügyészség; e) a Magyar Nemzeti

Bank; f) a Gazdasági Versenyhivatal; g) az Országos Műszaki Fejlesztési Bizottság; h) az Állami Bankfelügyelet. A törvény a KSH feladatait az alábbiakban határozza meg: a) adatfelvételek megtervezése, adatok felvétele, feldolgozása, tárolása, átadása, átvétele, elemzése, közlése, közzététele és védelme; b) a statisztikai tevékenységek összehangolása, szakmai – meghatározott esetekben egyéb jellegű – irányítási tevékenység ellátása; c) a népesség adatainak összeírása céljából időszakonként népszámlálás végrehajtása külön törvény alapján; d) egyéb országos összeírások szervezése és végrehajtása; e) a hivatalos statisztikai szolgálat éves országos statisztikai adatgyűjtési programja tervezetének összeállítása, jóváhagyásra történő előterjesztése, a saját adatgyűjtéseinek végrehajtása és a program végrehajtásának figyelemmel kísérése a hivatalos statisztikai szolgálat szerveinél; f)

az Országos Statisztikai Tanács bevonásával a statisztikai módszerek, fogalmak, osztályozások kialakítása, és számjelek meghatározása, névjegyzékek készítése, nyilvánosságra hozatala és használatuk kötelezővé tétele; g) más információrendszerek, a nyilvános, a közhitelű és egyéb nyilvántartások, valamint a hatósági ellenőrzési, gazdasági vagy egyéb tevékenységgel járó adatgyűjtések fogalmi és osztályozási rendszerének kialakításában való közreműködés; h) az Országgyűlés és a Kormány évenkénti tájékoztatása az ország társadalmi, gazdasági, népesedési adatairól; i) statisztikai adatok szolgáltatása az államhatalom és a közigazgatás szervei , a társadalmi szervezetek, az érdekképviseletek, a helyi önkormányzatok, a köztestületek, a tudományos, a gazdasági szervezetek, a lakosság és a hírközlő szervek, valamint a nemzetközi szervezetek részére; j) a Magyar Köztársaság Közigazgatási

Helynévkönyvének vezetése, a Magyar Köztársaság Helységnévtárának kiadása; k) részvétel nemzetközi szervezetek statisztikai munkájában, valamint kapcsolattartás külföldi nemzeti statisztikai hivatalokkal; l) kötelespéldányra jogosult országos feladatkörű tudományos szakkönyvtár és szaklevéltár fenntartása, üzemeltetése; m) részvétel a statisztikával összefüggő jogszabályok előkészítésében. A törvény rendelkezik a Statisztikai Tanács létrehozásáról. A hivatalos statisztikai szolgálat működésének, munkája összehangolásának elősegítésére, a társadalmi érdekek képviseletének és az adatfelhasználók igényeinek érvényesítésére, a társadalmi érdekek képviseletének és az adatfelhasználók igényeinek érvényre juttatására, az országos statisztikai adatgyűjtési program tervezetének véleményezésére, a KSH elnökének szakmai tanácsadó, véleményező szerveként Országos Statisztikai Tanács (OST)

működik. Az adatszolgáltatási kötelezettséggel járó statisztikai adatgyűjtéseket a hivatalos statisztikai szolgálat éves országos statisztikai adatgyűjtési programja tartalmazza. A program tervezetét a hivatalos statisztikai szolgálathoz tartozó szervek javaslatai alapján a KSH állítja össze. A KSH az általa összeállított program tervezetét véleményezés céljából az OST elé terjeszti, amely azt elsősorban az adatgyűjtések szükségessége, szakszerűsége, az adatszolgáltatók megterhelése szempontjából és a párhuzamosság elkerülése érdekében véleményezi. A KSH elnöke az OST véleménye alapján véglegesíti a program tervezetét. A törvény a statisztikai adatok nyilvánosságát és védelmét is biztosítja. A hivatalos statisztikai szolgálathoz tartozó szervek által végrehajtott adatgyűjtések eredményei nyilvánosak. A nyilvánosságra hozásról e szervek saját hatáskörükben gondoskodnak. Nem lehet nyilvánosságra

hozni az államtitoknak vagy szolgálati titoknak minősített adatokat, valamint a statisztikai célt szolgáló, a természetes és a jogi személy, valamint a jogi személyiséggel nem rendelkező adatszolgáltatóval kapcsolatba hozható adatot (a továbbiakban: egyedi adat). Egyedi adat csak statisztikai célra használható, mással csak akkor közölhető, és abban az esetben adható át, valamint hozható nyilvánosságra, ha ehhez a az adatszolgáltató hozzájárult. Ez a korlátozás nem vonatkozik az azonos szerven belüli statisztikai tevékenységet végző személyek egymás közötti adatközlésére. Közérdekű feladatot ellátó szerv, illetőleg társadalmi szervezet, valamint a költségvetési szerv ezen tevékenységére vonatkozó egyedi adat az adatszolgáltató írásbeli hozzájárulása nélkül is nyilvánosságra hozható. n VISZONYSZÁMOK 1. Dinamikus viszonyszámok (2 fajtája van) a) bázisviszonyszám: X=Hiba! b) láncviszonyszám: X=Hiba! A

bázisviszonyszám a növekedés színvonalát méri a bázisadatokhoz viszonyítva, míg a láncviszonyszám a fejlődés ütemét az előző adathoz viszonyítva. 2. Megoszlási viszonyszámok A megoszlási viszonyszámok azt mutatják, hogy a sokaság részei hogyan aránylanak az egészhez. X1=Hiba!; X2=Hiba! XHq= =1 n qi ∑ i =1 1 xi MÉRTANI ÁTLAG: Egyszerű mértani átlag: Egy statisztikai sokaság mértani átlaga az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, az értékek szorzata nem változik. XG= n x1 ⋅ x2 ⋅ . ⋅ xn Súlyozott mértani átlag: 3. Koordinációs viszonyszámok A koordinációs viszonyszámok a részsokaságok egymáshoz való viszonyát fejezik ki. X=Hiba! 4. Intenzitási viszonyszámok Az intenzitási viszonyszámok egymástól különböző, de bizonyos összefüggésben álló jelenségeknek egymáshoz való viszonyát fejezik ki. Pl. népsűrűség=Hiba! qi ∑ i XGq= Q x1q ⋅ x2q ⋅ . ⋅ xnqn 1 2 (Q=q1+q2++qn)

NÉGYZETES ÁTLAG: Egyszerű négyzetes átlag: Egy statisztikai sokaság értékeinek négyzetes közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva az értékek négyzetösszege nem változik. XK= KÖZÉPÉRTÉKEK x12 + x22 + . + xn2 n Súlyozott négyzetes átlag: Számított középértékek: 1. számtani átlag 2. harmonikus átlag 3. geometriai átlag 4. quadratikus átlag XKq= q1 x12 + q 2 x22 + . + q n xn2 q1 + q 2 + . + q n Számított átlagok közötti egyenlőtlenségek: XH ≤ XG ≤ XA ≤ XK Helyzeti középértékek: 1. medián és quartilis értékek 2. modus SZÁMTANI ÁTLAG: Egyszerű számtani átlag: Egy statisztikai sor tagjainak számtani átlaga az a szám, amelyet az egyes értékek helyére írva, az értékek összege nem változik. n XA= xi ∑ i =1 n Mérlegelt számtani átlag: n XAq= qi xi ∑ i =1 n qi ∑ i =1 Osztályközös gyakorisági sor számtani átlaga: Osztályközök középértékével számolt súlyozott számtani

átlag. HARMONIKUS ÁTLAG: Egyszerű harmonikus átlag: Egy statisztikai sor tagjainak harmonikus közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, azok reciprok értékeinek összege nem változik. MEDIÁN és QUARTILISEK: Mediánnak nevezzük valamely nagyság szerint elrendezett statisztikai sor középső tagját. A medián azon tag értéke, amely előtt és amely után egyenlő számú tag helyezkedik el. A quartilisek nem középértékek, de azokkal rokon tulajdonságúak. Míg a medián a nagyságrendbe rendezett statisztikai sort felezi, a quartilisek negyedelik, pontosabban az alsó quartilis (Q1) a medián előtti félsor mediánja, a felső quartilis (Q3) a medián utáni félsor mediánja. MODUS: Egy statisztikai sornak azon tagját, amely a leggyakrabban fordul elő, modusnak nevezzük. A modus a sor egy tényleges tagja lévén, gyakran jobban magán hordja a sor jellegzetességeit, mint akár a számtani, akár a mértani átlag vagy a medián. Amennyiben

egy statisztikai sor minden értéke különböző, vagy minden értéke ugyanannyiszor lép fel, akkor a sor modusa nem definiálható. SZÓRÓDÁS ÉS SZÓRÁS közötti különbség Szóródás: A statisztikai sorban a tagok nagyságának egymástól és az átlagtól való eltérését szóródásnak nevezzük. Szórás: Egy statisztikai sor tagjainak valamely középértéküktől (általában számtani középtől) vett eltérések kvadratikus átlagát (középértékét) értjük szórás alatt. (standard, vagy négyzetes eltérés!) n XH= n =1 Súlyozott harmonikus átlag: 1 ∑ x i i SZÓRÓDÁS ÉS ASZIMETRIA A szóródás mutatói: Helyzeti mutatók: 1. a range 2. a quartilis eltérés Számított mutatók: 3. a középeltérés 4. a standard eltérés (szórás) Szóródási együttható: A szóródási együttható a standard eltérés és a számtani átlag hányadosa: σ = A range (terjedelem): A range (terjedelem) a statisztikai sor legnagyobb és

legkisebb értékeinek (szélső értékek) különbsége: r=maxXi – minXi A quartilis eltérés: A quartilis eltérés azt mutatja meg, hogy a sor tagjainak a fele mekkora intervallumon szóródik, figyelmen kívül hagyva a legkisebb és a legnagyobb negyedet: Q=Hiba! A középeltérés: Egy statisztikai sor tagjainak középértéküktől (leggyakrabban számtani közepüktől, esetleg mediántól, modustól) mért eltéréseinek abszolút értékét (előjelek figyelmen kívül hagyása mellett) összeadjuk és osztjuk a sor tagjainak a számával: σ ⋅100 x Az aszimetria mutatói: Az aszimetria abszolút mutatószáma: Az aszimetria egyik következménye, hogy a medián és a számtani átlag eltávolodnak a modustól, a medián mindig a modus és a számtani átlag közé esik, így az aszimetria mérőszáma [A]: A = XA – Mo E különbség előjele meghatározza az aszimetria jellegét: bal oldali aszimetria – modus < számtani átlag jobb oldali aszimetria –

modus > számtani átlag Az aszimetria relatív mutatószámai: aszimetria hányadosa: d X − Me A= A d − Mo X A A= σ A= Q3 − Q1 − 2 M Q3 − Q1 modus hiányában medián: Pearson-mutató: n d= xi − x ∑ i Bowley-mutató: =1 A= X A − Mo n INDEXSZÁMÍTÁS Súlyozott középeltérés: n d= q i xi − x ∑ i Volumenindex [Iq]: A volumenindex több különböző termékből termelt, eladott, stb. mennyiség (volumen) együttes átlagos változását fejezi ki. Aggregát formula: =1 n qi ∑ i =1 Iq= ∑ q1 p s (ps = standard ár) A standard eltérés (négyzetes eltérés v. SZÓRÁS): Egy statisztikai sor szórásán a sor tagjainak valamely középértéküktől vett eltérések kvadratikus középértékét értjük. Általában a számtani átlagtól vett eltérésekkel számolunk, mivel egy statisztikai sor tagjainak a középértéktől való eltéréseinek négyzetösszege akkor minimális, ha a középérték a számtani átlag. n σ = ( xi −

x) ∑ i 2 =1 , ahol: n n így: σ = n i =1 0 p0 Tárgyidőszaki súlyozású formula (Paasche-féle volumenindex): Iq= ∑ q1 p1 ∑q ∑ qs p xi − x = d i 0 p1 0 Bázissúlyozású formula (Laspeyres-féle árindex): Ip= ∑ q 0 p1 n qi ∑ i ∑q =1 n így: σ = ∑q Ip= ∑ q s p1 (qs = standard mennyiség) Súlyozott standard eltérés: σ = ∑ qi ( xi − x) , ahol: ps Árindex [Ip]: Az árindex több termék egységárának együttes átlagos változását fejezi ki; és az árszínvonal mérésére használjuk. Aggregát formula: 2 =1 2 0 Iq= ∑ q1 p0 xi − x = d i di ∑ i n ∑q Bázissúlyozású formula (Laspeyres-féle volumenindex): qi d i ∑ i =1 n qi ∑ i 2 0 p0 Tárgyidőszaki súlyozású formula (Paasche-féle volumenindex): Ip= ∑ q1 p1 ∑q =1 1 p0 Értékindex [Iv]: Az értékindex több termék értékének együttes átlagos változását fejezi ki. Iv= ∑q ∑q 1 p1 0 p0 KÖZÉPÉRTÉKEK

Megnevezés Számtani átlag Harmonikus átlag Mértani átlag Négyzetes átlag Meghatározás Egy statisztikai sor tagjainak számtani átlaga az a szám, amelyet az egyes értékek helyére írva, az értékek összege nem változik. Egy statisztikai sor tagjainak harmonikus közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, azok reciprok értékeinek összege nem változik. Egy statisztikai sokaság mértani átlaga az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, az értékek szorzata nem változik. Egy statisztikai sokaság értékeinek négyzetes közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva az értékek négyzetösszege nem változik. Egyszerű forma képlete Súlyozott forma képlete n ∑ qi xi XAq= i n XA= xi ∑ i =1 =1 n qi ∑ i n =1 n XH= n n 1 ∑ x i =1 XHq= i qi ∑ i =1 n 1 qi ∑ i xi =1 XG= n x1 ⋅ x2 ⋅ . ⋅ xn XGq= Q x1q ⋅ x2q ⋅ . ⋅ xnqn 1 2 (Q=q1+q2++qn) XK= x12 + x22 + . + xn2 n

XKq= q1 x12 + q 2 x22 + . + q n xn2 q1 + q 2 + . + q n A számított átlagok közötti egyenlőtlenségek: XH ≤ XG ≤ XA ≤ XK Medián [Me] Quartilisek [Q1, Q3] Modus [Mo] Mediánnak nevezzük valamely nagyság szerint elrendezett statisztikai sor középső tagját. A medián azon tag értéke, amely előtt és amely után egyenlő számú tag helyezkedik el. A quartilisek nem középértékek, de azokkal rokon tulajdonságúak. Míg a medián a nagyságrendbe rendezett statisztikai sort felezi, a quartilisek negyedelik, pontosabban az alsó quartilis (Q1) a medián előtti félsor mediánja, a felső quartilis (Q3) a medián utáni félsor mediánja. Egy statisztikai sornak azon tagját, amely a leggyakrabban fordul elő, modusnak nevezzük. A modus a sor egy tényleges tagja lévén, gyakran jobban magán hordja a sor jellegzetességeit, mint akár a számtani, akár a mértani átlag vagy a medián. Amennyiben egy statisztikai sor minden értéke különböző, vagy minden

értéke ugyanannyiszor lép fel, akkor a sor modusa nem definiálható. SZÓRÓDÁS ÉS ASZIMETRIA Számított mutatók Helyzeti mutatók Megnevezés Meghatározás A range (terjedelem) a statisztikai sor legnagyobb és legkisebb értékeinek Range (szélső értékek) különbsége. A quartilis eltérés azt mutatja meg, hogy a sor tagjainak a fele mekkora intervallumon szóródik, figyelmen kívül Quartilis eltérés hagyva a legkisebb és a legnagyobb negyedet. Egy statisztikai sor tagjainak középértéküktől (leggyakrabban számtani közepüktől, esetleg mediántól, modustól) mért eltéréseinek abszolút Közép eltérés értékét (előjelek figyelmen kívül hagyása mellett) összeadjuk és osztjuk a sor tagjainak a számával. Egy statisztikai sor szórásán a sor tagjainak valamely középértéküktől vett eltérések kvadratikus középértékét értjük. Általában a számtani átlagtól vett Standard eltérés eltérésekkel számolunk, mivel egy

(négyzetes eltérés; statisztikai sor tagjainak a középértéktől való eltéréseinek négyzetösszege akkor SZÓRÁS!) minimális, ha a középérték a számtani átlag. Egyszerű forma képlete Súlyozott forma képlete - r = maxXi – minXi Q=Hiba! - n n d= xi − x ∑ i d= =1 q i xi − x ∑ i =1 n qi ∑ i n =1 n σ = n σ = ( xi − x) ∑ i 2 qi ∑ i =1 ahol: xi − x = d i n di ∑ i =1 2 ahol: xi − x = d i n így: σ = qi d i ∑ i =1 n qi ∑ i =1 Domján György – SZTE-KRE ÁJK σ = σ x ⋅ 100 , n n n Szóródási együttható: 2 =1 , =1 így: σ = qi ( xi − x) ∑ i 2 INDEXEK Megnevezés Egy termék Meghatározás [Ip] A volumenindex több különböző termékből termelt, eladott, stb. mennyiség (volumen) együttes átlagos változását fejezi ki. Az árindex több termék egységárának együttes átlagos változását fejezi ki; és az árszínvonal mérésére használjuk. Értékindex [Iv]

Az értékindex több értékének együttes változását fejezi ki. Volumenindex [Iq] Árindex Összefüggések: Iq= Iq= ∑ q1 p s q1 q0 ∑q ∑ qs p termék q1 ⋅ p1 átlagos Iv= q0 ⋅ p0 1 ⋅ x0 f1 ∑f 0 ⋅ x0 f0 ∑ f ⋅x Tárgyidőszaki főátlag: Domján György – SZTE-KRE ÁJK ∑f 1 1 f1 ∑f x ÷∑f x ∑f ∑f fx ∑fx I’= ∑ ÷ ∑f ∑f fx ∑f x I’’= ∑ ÷ ∑f ∑f I= 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 I I I Iq1= ∑ q1 p1 ∑ q0 p0 Iv= Iv I q1 I p 0 V. Iq0= ∑ q1 p0 ∑q 0 0 0 0 p1 Ip1= ∑ q1 p1 ∑q ∑ q0 p0 - Iv I q 0 I p1 tárgyidőszaki súlyozású Paasche-féle Ip0= ∑ q 0 p1 0 (qs = standard mennyiség) Bázisidőszaki főátlag: Összefüggések: ps Ip= ∑ q s p1 p Ip= 1 p0 Standard főátlag: Változatlan állományú index [I’] Arány, v. összetételváltozási index [I’’] 0 (ps = standard ár) Főátlagok Változóállományú index [I] Aggregát formula Több

termék bázisidőszaki súlyozású Laspeyres-féle ∑q ∑q 1 p1 0 p0 1 p0