Matematika | Analízis » Schiffer Ádám - Fourier approximáció

Jelek és rendszerek 2. gyakorlatok (2. gyakorlat: Fourier approximáció) 2007. március 1 Schiffer Ádám PTE PMMK MIT adam@morpheus.ptehu 1. A Fourier sor, Fourier approximáció A Fourier analı́zisen belül a folytonos idejű (FI), periodikus jelekre vonatkozóan a Fourier sorfejtést illetve approximációt alkalmazzuk. Adott periodikus jel esetén adott T (sec) periódusidő esetén a frekvencia f = 1/T (Hz) és a körfrekvencia ω = 2πf = 2π/T (rad/sec) is számı́tható. A szuperpozı́ció segı́tségével a Fourier felbontásnál egy T szerint periodikus f (t) jelet felbontunk n · f, n ∈ Z+ frekvenciájú harmonikus függvények (szinusz, koszinusz) összegére. Az n = 1 esetén kapott harmonikust alapharmonikusnak, n > 1 esetén a harmonikusokat felharmonikusoknak nevezzük. A fentiekből látszik, hogy a felharmonikusok frekvenciája csak az alapharmonikus frekvenciájának egész számú többszöröse

(n-szerese) lehet. Fourier sorfejtésről akkor beszélünk, ha a harmonikusok száma végtelen (N = ∞), Fourier approximációról (közelı́tésről) pedig véges számú harmonikus esetén beszélünk. Létezik a Fourier felbontásnak valós illetve komplex alakja is. Egy folytonos, periodikus f (t) függvény N -ed rendű valós Fourier approximációja a következő: 1 f (t) ∼ = fN (t) = a0 + N X an cos(nωt) + bn sin(nωt), (1) n=1 Z 1 T f (t)dt, a0 = T 0 Z T 2 f (t)cos(nωt)dt, an = T 0 Z 2 T f (t)sin(nωt)dt, bn = T 0 (2) (3) (4) ahol a0 az úgynevezett egyszerű középérték (vagy DC offszet), an és bn pedig a Fourier együtthatók. A fenti együtthatók számı́tásánál [0, T ] integrálási határ lett figyelembe véve, azonban ez tetszőlegesen, egy teljes periódusra megválasztható. Így néha az integrálás megkönnyı́tése végett célszerű például [−T /2, T /2] , [−T /4, 3T

/4], vagy egyéb teljes periódusidőre értelmezett integrálási határokat figyelembe venni. Ha f (t) páros függvény, vagyis f (−t) = f (t), akkor szinuszos harmonikusok nincsenek, vagyis bn = 0. Ha f (t) páratlan, illetve a0 középértékkel eltolt akkor koszinuszos harmonikusok nincsenek, vagyis an = 0. Az N -ed rendű közelı́tés hibáját egyszerű négyzetes hibával számı́thatjuk: HN = 1 T Z T (f (t) − fN (t))2 dt. (5) 0 A Fourier felbontás komplex alakjához felhasználjuk az Euler-relációt, miszerint: ejϕ + e−jϕ , 2 ejϕ − e−jϕ . sin(ϕ) = 2j cos(ϕ) = (6) (7) Elsőként a valós Fourier felbontásnál (1) vegyük észre, hogy a0 bevihető a szumma alá, mivel sin(0) = 0 és cos(0) = 1: f (t) ∼ = fN (t) = N X an cos(nωt) + bn sin(nωt). (8) n=0 Majd (6)-t felhasználva a fenti összeg továbbı́rható: f (t) ∼ = fN (t) = N X n=0 an enjωt − e−njωt enjωt + e−njωt + bn . 2 2j

2 (9) A komplex exponenciális függvényeket kiemelve a következő összefüggéshez jutunk: ¶ ¶ µ bn bn an an −njωt + +e − e 2 2j 2 2j n=0 ¶ ¶ µ µ N X an − jbn an + jbn + e−njωt . = enjωt 2 2 n=0 f (t) ∼ = fN (t) = N X µ njωt (10) (11) Bevezetve az úgynevezett komplex együtthatót: cn = an − jbn , 2 (12) melyből: f (t) ∼ = fN (t) = N X cn enjωt + c∗n e−njωt . (13) n=0 A fenti egyenletben c∗n a cn komplex együttható komplex konjugáltját jelenti. Figyelembe véve, hogy f (t) valós függvény, ı́gy: c−n = c∗n . (14) Ez alapján a komplex Fourier felbontás a következő: f (t) ∼ = fN (t) = N X cn enjωt . (15) n=−N A komplex Fourier együtthatót meghatározva: cn = 2. Z Z 1 T an − jbn 1 T = f (t)cos(nωt)dt − j f (t)sin(nωt)dt 2 T 0 T 0 Z Z 1 T 1 T f (t)(cos(nωt) − jsin(nωt)) = f (t)e−njωt dt. = T 0 T 0 (16) (17) Példa Határozzuk meg az alábbi függvény

negyedrendű approximációját, határozzuk meg a közelı́tés hibáját! Elsőként határozzuk meg a periodikus jel frekvenciáját: T = 20 sec, f = 1/20 Hz, ω = 2π/20 rad/s. Könnyen belátható, hogy a0 = 0 és a függvény paritása miatt an = 0, bn együttható pedig a következő képen számı́tható bn = 2 20 Z 10 t · sin(nωt)dt −10 3 (18) 10 8 6 4 f(t) 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −20 −10 0 t 10 20 1. ábra Folytonos, periodikus jel a példa feladathoz Parciális integrálás szabályát felhasználva, miszerint: Z b Z b u(t)v 0 (t)dt = [u(t)v(t)]ba − u0 (t)v(t)dt. a (19) a Ebben az esetben célszerűen a következőket válasszuk: u(t) = t, v 0 (t) = . Ezek alapján: sin(nωt), amelyekből: u0 (t) = 1, v(t) = −cos(nωt) nω (· ) ¸10 Z 10 cos(nωt) −cos(nωt) 2 −t − dt . (20) bn = 20 nω nω −10 −10 Felhasználva, miszerint ω = 2π/20 rad/s: µ ¶ cos(n2π10/20) cos(−n2π10/20)

2 −10 − 10 (21) bn = 20 n2π/20 n2π/20 1 −20 10 cos(nπ) + 2 2 [sin(nωt)]−10 = (22) n ω nπ Ezek alapján a komplex együtthatók illetve ebből képzett amplitúdó és fázisértékek a következők: n 1 2 3 4 f (Hz) 0.05 0.15 0.15 0.20 an 0 0 0 0 bn cn |cn | ϕn 6,36 - 3,18i 3,18 −π/2 -3,18 1,59i 1,59 π/2 2,12 - 1,06i 1,06 −π/2 -1,59 0,79i 0,79 π/2 4 10 8 6 4 f(t) 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −20 −10 0 t 10 20 2. ábra A fűrészfog jel negyedrendű approximációja 3.5 3 2.5 |cn| 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 f (Hz) 0.6 0.8 3. ábra A fűrészfog jel amplitúdó spektruma 5 2 1.5 1 φ n 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 0 0.2 0.4 f (Hz) 0.6 0.8 4. ábra A fűrészfog jel fázis spektruma 6