Matematika | Diszkrét Matematika » Rózsa László - Lineáris terek

Juhász Gyula Tanárképző Főiskola Tárgy: Lineáris algebra Lineáris terek Készítette: Rózsa László 1998. Lineáris tér, lineáris altér Legyenek az 1, α , β ,. számok egy T számtest elemei, a, b, c, pedig egy X halmaz elemei. DEFINÍCIÓ: Az X halmazt lineáris térnek nevezzük, ha értelmezve van benne az összeadás és a számmal való szorzás, továbbá 1. az összeadás kommutatív, azaz a+b = b+a, asszociatív, azaz (a+b)+c = a+(b+c), létezik nullaelem (0), azaz a+0 = a minden a-ra, létezik minden a-hoz a -a inverzelem, azaz a+(-a) = 0; 2. a számmal való szorzás esetén pedig 1. a = a, α ( β a) = ( αβ )a, ( α + β )a = α a+ β a, α (a+b) = α a+ α b. Az X lineáris tér a,b,c,. elemeit vektoroknak nevezzük, az X teret pedig lineáris vektortérnek is. Ha a T számtest elemei valós számok, akkor X neve valós lineáris tér, ha pedig T elemei komplex számok, akkor X komplex lineáris tér. A továbbiakban csak a valós lineáris terek

kerülnek kifejtésre. Az így értelmezett X lineáris teret a T számtest feletti lineáris térnek is szokták nevezni. Példák lineáris terekre: - A geometriai vektortér lineáris tér, mert ebben a térben értelmezve van az összeadás és a számmal való szorzás, és e két művelet rendelkezik a fenti tulajdonságokkal. - A legfeljebb n-edfokú polinomok halmaza szintén lineáris tér, ugyanis két ilyen polinom összege és számmal való szorzata szintén ilyen polinom. - Az [a,b] zárt intervallumon folytonos függvények halmaza is lineáris tér. Ellenpélda: A pontosan n-edfokú polinomok halmaza viszont nem lineáris tér, mert két n-edfokú polinom összege n-nél alacsonyabb fokú polinom is lehet. DEFINÍCIÓ: Az X lineáris tér M részhalmazát lineáris altérnek nevezzük, ha M maga is lineáris tér az X -ben értelmezett összeadással és számmal való szorzással. Példa lineáris altérre: - A geometriai vektortérnek minden olyan részhalmaza

lineáris altér, amelynek vektorai egy, az origón átmenő síkban vannak. Ha a sík nem megy át az origón, akkor az origóból a sík pontjaiba mutató vektorok nem alkotnak alteret, mert ebből a halmazból hiányzik a nullavektor, vagyis nem létezik nullaelem. A lineáris tér bázisa és dimenziója Azt mondjuk, hogy az X lineáris tér b1,b2, ,bn vektorai előállítják az X lineáris teret, ha minden x ∈X vektor előállítható a b1,b2,.,bn vektorok lineáris kombinációjaként. DEFINÍCIÓ: Az X lineáris tér b1,b2,.,bn vektorait az X lineáris tér egy bázisának nevezzük, ha b1,b1,.,bn lineárisan függetlenek és előállítják az X-et A bázist alkotó b1,b2,.,bn elemek a bázisvektorok DEFINÍCIÓ: Az X lineáris teret n-dimenziósnak nevezzük, ha létezik Xnek n lineárisan független eleme, de n+1 lineárisan független elem X-ben már nem található. A definíció szerint az X lineáris tér dimenziója megegyezik a tér egy bázisát alkotó

bázisvektorok számával. Az n-dimenziós lineáris tér bármely n számú, lineárisan független vektora bázist alkot. Ez lehetővé teszi azt, hogy a bázisvektorokat a célnak megfelelően válasszuk meg. Bárhogyan is választjuk a bázist, a tér bármely vektora abban egyértelműen előállítható. Ezt tételként is kimondjuk TÉTEL: Az n-dimenziós lineáris tér bármely x vektora egyértelműen előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. BIZONYÍTÁS: Legyen a tér egy bázisa b1,b2,.,bn Az x,b1,b2,,bn vektorok lineárisan függők, hiszen ez n+1 vektor, a tér pedig n-dimenziós Ezért az x 0x+ x 1b1+ x 2b2+.+ x nbn = 0 egyenlőségben nem lehet mindegyik x i zérus. Az x 0 együttható biztosan nem zérus, mert különben a b1,b2,.bn vektorok nem lennének lineárisan függetlenek. Ezért ebből az egyenletből az x kifejezhető: x=- x x xn b1- b2-.- bn x x x 1 2 0 0 0 Ezzel igazoltuk azt, hogy az x vektor előállítható a bázisvektorok

lineáris kombinációjaként. Az egyértelműség igazolásához tételezzük fel, hogy az x vektornak létezik két előállítása: 1.eset: x = x 1b1+ x 2b2++ x nbn, 2.eset: x = y 1b1+ y 2b2++ y nbn E két előállítás különbségét képezve: ( x 1- y 1)b1+( x 2- y 2)b2+.+( x n- y n)bn = 0 Mivel a b1,b2,.bn vektorok lineárisan függetlenek, ezért ez utóbbi egyenletből következik, hogy x 1- y 1 = 0, x 2- y 2 = 0,., x n- y n = 0, vagyis x 1 = y 1, x 2 = y 2,., x n = y n Ezzel igazoltuk, hogy az x vektor kétféle előállítása egybeesik, vagyis az előállítás egyértelmű. Az euklidészi tér A lineáris tér fogalmának bevezetéséhez elegendő volt a vektorok összeadását és számmal való szorzását értelmezni. A geometria számos fogalmának és feladatának általánosításához azonban a lineáris terekben is célszerű bevezetni a skaláris szorzatot. Jelölje az X (valós) lineáris tér két tetszőleges vektorát x és y. E két vektor (x,y)

skaláris szorzatát úgy értelmezzük, hogy az (valós) szám legyen és a következő tulajdonságai legyenek: 1. (x,y) = (y,x); 2. ( α x,y) = α (x,y) (ahol α valós szám); 3. (x+y,z) = (x,z)+(y,z); 4. (x,x) > 0, ha x ≠ 0 és (x,x) = 0, ha x = 0 Érdemes megfigyelni, hogy a geometriai vektortérben értelmezett skaláris szorzat is rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Ott xy jelölte a skaláris szorzatot. Itt azonban, igazodva az e területen általánosan elfogadott jelöléshez, az (x,y) jelölést használjuk. Ha (x,y) = 0, akkor azt mondjuk, hogy az x és y vektorok ortogonálisak. Példa: Legyen x = ( x 1, x 2,., x n), y = ( y 1, y 2,, y n) E két vektor skaláris szorzata: (x,y) = x 1 y 1+ x 2 y 2+.+ x n y n Példa: Igazoljuk, hogy az x - (x, y) y ( y, y) és y( ≠ 0) vektorok ortogonálisak. Megoldás: Képezzük a két vektor skaláris szorzatát: (x − (x, y) (x, y) (y, y) = 0, y, y) = (x, y) − (y, y) (y, y) tehát a két vektor valóban ortogonális.

A skaláris szorzat segítségével értelmezzük az euklidészi teret. DEFINÍCIÓ: Az olyan lineáris teret, amelyben skaláris szorzat van értelmezve, euklidészi térnek nevezzük. Példa: A geometriai vektortér euklidészi tér. Az n-dimenziós euklidészi térben lehetséges olyan bázist felvenni, amelynek vektorai páronként ortogonálisak. Az ilyen bázist ortogonális bázisnak nevezzük. Ha az ortogonális bázis vektorai egységnyi hosszúságúak, akkor azt ortonormális bázisnak mondjuk. TÉTEL: Minden n-dimenziós euklidészi térben létezik ortonormális bázis. A tételt nem bizonyítjuk be, hanem helyette egy konkrét példán keresztül bemutatjuk, hogy hogyan lehet egy tetszőleges bázisból kiindulva egy ortogonális ill. ortonormális bázist konstruálni Az ilyen bizonyítást konstruktív bizonyításnak nevezzük. Példa: A háromdimenziós euklidészi tér egy tetszőleges bázisa legyen b1,b2,b3. Ebből kiindulva konstruáljunk egy ortogonális

bázist A bemutatandó eljárást Gram-Schmidt-féle ortogonalizálási eljárásnak nevezzük. A feladatot oldjuk meg arra az esetre is, ha b1 = (2,0,1), b2 = (-1,1,1), b3 = (1,-2,2). Megoldás: Legyen az új bázis c1,c2,c3, amely ortogonális. Válasszuk c1-et úgy, hogy az legyen egyenlő a b1 vektorral: c1 = b1. A c2 vektort keressük c2 = b2+ λ c1 alakban. A λ együttható értékét a feltételből határozzuk meg, hogy ortogonális c1-re, vagyis (c2,c1) = (b2,c1)+ λ (c1,c1) = 0 c2 Innen λ = A c3 vektort keressük (b 2, c1) . (c1, c1) c3 = b3+ λ 1c1+ λ 2c2 alakban. A λ 1 és λ 2 együtthatók értékét abból a feltételből határozzuk meg, hogy c3 ortogonális c1-re és c2-re is, vagyis (c3,c1) = (b3,c1)+ λ 1(c1,c1)+ λ 2(c2,c1) = 0, (c3,c2) = (b3,c2)+ λ 1(c1,c2)+ λ 2(c2,c2) = 0. Kihasználva a c1,c2 vektorok ortogonalitását, tehát azt, hogy (c1,c2) = (c2,c1) = 0, a fenti egyenletek megoldása: λ1 = − (b 3, c1) , (c1, c1) λ2 = − (b 3, c2 ) .

(c2, c2 ) Most már λ , λ 1, λ 2 ismeretében a c2 és a c3 vektor felírható. Megjegyezzük, hogy ha a tér n-dimenziós (n > 3), akkor a c1,c2,.,cn új bázisvektorok első három vektorát ugyanúgy határozzuk meg mint előbb. A negyedik vektort c4 = b4+ α 1c1+ α 2c2+ α 3c3 alakban keressük. Az α 1, α 2, α 3 együtthatókat abból a feltételből határozzuk meg, hogy c4 ortogonális c1-re, c2-re és c3-ra. A k-adik új bázisvektort ck = bk+ β 1c1+ β 2c2+.+ β k-1ck-1 alakban keressük. A konkrét esetben c1 = (2,0,1), λ = − -2 + 0 + 1 4 +0 +1 = 1 , 5 1 5 1 (-3,5,6). Ennek ismeretében 5 1 ( −3 − 10 + 12) 2+0+ 2 4 5 5 = = , = = . λ2 − − λ1 − 1 5 5 70 (9 + 25 + 36) 25 és így c2 = (-1,1,1)+ (2,0,1) = Ezek felhasználásával, 4 5 c3 = (1,-2,2) − (2,0,1)+ 5 .1 1 (-3,5,6) = (-9,-27,18). 70 5 14 A (c1,c2),(c1,c3) és (c2,c3) skaláris szorzások elvégzésével érdemes meggyőződni arról, hogy c1,c2,c3 valóban ortogonális vektorok.

Ezzel az ortogonalizálást befejeztük. Ortonormált bázist úgy kapunk, hogy a c1,c2,c3 vektorok helyett azok egységvektorát vesszük. Jelölje ezeket rendre g1,g2,g3 Ekkor 1 c1 = (2,0,1), c1 5 1 c2 g2 = = (-3,5,6), c2 70 1 c3 g3 = = (-9,-27,18). c3 1134 g1 =