Gazdasági Ismeretek | Pénzügy » Pappné Nagy Valéria - Pénzügyi ismeretek oktatási segédanyag

BUDAPESTI MŰSZAKI FŐISKOLA KELETI KÁROLY GAZDASÁGI FŐISKOLAI KAR GAZDASÁG- ÉS TÁRSADALOMTUDOMÁNYI INTÉZET Oktatási segédanyag A TÁVOKTATATÁSI TAGOZAT MŰSZAKI-MENEDZSER SZAK részére Tanár Pappné Nagy Valéria PÉNZÜGYI ISMERETEK BMF KKGF GTI 1. Kiadás Budapest, 2003 1 TARTALOMJEGYZÉK 1. A PÉNZÜGYI ISMERETEK TANTÁRGY KERETÉBEN A KÖVETKEZŐ TÉMAKÖRÖK KERÜLNEK FELDOLGOZÁSRA . 3 2. FÉLÉVI KÖVETELMÉNYEK . 4 3. KÖTELEZŐ IRODALOM . 4 4. A VIZSGA RÉSZEI . 4 5. A KONZULTÁCIÓK TEMATIKÁJA (16 ÓRA) . 5 6. A HÁZI DOLGOZAT JAVASOLT TÉMÁI . 5 7. ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 6 8. KÉPLETGYŰJTEMÉNY A PÉNZÜGYI MATEMATIKA ALAPJAIHOZ . 7 9. A TANANYAGHOZ KAPCSOLÓDÓ FELADATOK. 23 2 1. A Pénzügyi ismeretek tantárgy keretében a következő témakörök kerülnek feldolgozásra 1. Pénztörténet, a modern pénz teremtése 2. Bankrendszerek, monetáris politika 3. Kereskedelmi bankok kialakulása, üzletágai 4. Hitelkondíciók,

hitelfajták, hitelképesség 5. Államháztartás és alrendszerei 6. Állami kiadások 7. Állami bevételek, adózási alapfogalmak 8. Államadósság 9. Értékpapírok, értékpapírpiacok 10. A váltó, a váltóval kapcsolatos számítások 11. A kötvény, árfolyam és hozamszámítás 12. A részvény, árfolyam és hozamszámítás 13. A tőzsde kialakulása, működési rendszere 14. Nemzetközi pénzügyi alapfogalmak, pénzügyi mérlegek 15. Nemzetközi pénzügyi intézmények 16. Nemzetközi pénzügyi alapszámítások 17. Európai monetáris integráció 18. Vállalkozások pénzügyei – finanszírozási stratégia 19. A belső finanszírozás módszerei – amortizáció számítás 20. Külső finanszírozás, pénzügyi teljesítmény mérése 21. Befektetési stratégia 22. Reálbefektetések gazdaságossági számításai 3 2. Félévi követelmények A tantárgy ismeretanyaga a 8.félév utáni szóbeli záróvizsgán – ismertebb nevén

„államvizsgán” - számonkérésre kerülő tananyag egyik legfontosabb része a műszaki – menedzser szakon. Ennek megfelelően e félév követelményei az eddigi szokásos szintet meghaladják. A tantárgy vizsgakövetelménye: kollokvium A kollokviumon szerezhető érdemjegy három részjegyből tevődik össze, melyek igazodnak a tantárgy elsajátítása során megszerezhető ismeretanyag jellegéhez. A kollokvium érvényességének feltétele, hogy mindegyik részterületen a jelölt 50% feletti eredményt érjen el! 3. Kötelező irodalom Pénzügyi ismeretek I. szerkesztette: Pappné Nagy Valéria Pénzügyi ismeretek II. szerkesztette: Pappné Nagy Valéria / megjelenés alatt / Ajánlott irodalom: Magyar Gábor: Pénzügyi navigátor / Juvent kiadó, 2001 / Társaságok pénzügyei / Saldo, 2000 / 4. A vizsga részei • 15 oldalas – a tartalmi és a formai követelményeknek egyaránt megfelelő – házi dolgozat beadása Határidő: a szorgalmi időszak

utolsó napja Szerezhető pontszám: 50 pont (minimum 26) • Írásbeli rész – pénzügyi példák megoldása Vizsgaidőszakban, vizsganapon, 90 perc Szerezhető pontszám: 100 pont (minimum 51) • Szóbeli rész – egy – egy pénzügyi témakör szabatos logikus kifejtése 10-15 percben. /a témaköröket lásd az ellenőrző kérdéseknél/ Vizsgaidőszakban, vizsganapon Szerezhető pontszám: 100 pont (minimum 51) 4 5. A konzultációk tematikája (16 óra) - / új tantervben 24 óra / 1. A pénzügyi matematika alapjai (egyszerű kamatozás, kamatos kamatozás, jelenérték számítás, jövőérték számítás, reálérték számítás, örökjáradék, annuitás) 2. Banki műveletekkel kapcsolatos számítások (betét és hitel) 3. Értékpapír árfolyam és hozamszámítás 4. Finanszírozási és beruházás-gazdaságossági feladatok 6. A házi dolgozat javasolt témái 1. A magyar bankpiac elemzése 2. Külföldi bankok Magyarországon 3. Hazai

lízingpiac 4. A lízing, mint tőkekímélő beruházás 5. Elektronikus banki szolgáltatások 6. Kockázati tőke szerepe, kockázati tőke társaságok 7. Jelzáloghitelezés helyzete 8. Digitális pénz 9. Bankcsődök és bankfúziók 10. Faktortársaságok a magyar pénzpiacon 11. Társadalombiztosítási rendszer gondjai 12. Magánbiztosítók a hazai biztosítási piacon 13. Önkormányzatok pénzügyi helyzete 14. Befektetési alapok Magyarországon 15. Átalakuló magyar nyugdíjrendszer 16. Az egészségbiztosítási rendszer a korszerűsítés útján 17. Államadóssági helyzetkép 18. A magyar tőzsde jelene, gondjai, perspektívák Természetesen egyéb téma is választható az előadó előzetes hozzájárulása esetén. 5 7. Ellenőrző kérdések 1) A pénz kialakulása, szerepe, feladatkörei, klasszikus pénzhelyettesítők kifejlődése és jellemzése. 2) Bankrendszerek és a jegybanki szabályozás. 3) A kereskedelmi bankok kialakulása és ügyletei. 4)

Aktív bankügyletek (kötelezettségvállalás, speciális finanszírozási formák, pénzhitel). 5) Fizetési módozatok, egyéb banki szolgáltatások. a bankok passzív ügyletei, a modern pénz teremtésének mechanizmusa. 6) Államháztartás, központi költségvetés. 7) Fiskális politika, adózási alapfogalmak, magyar adórendszer. 8) Nemzetközi pénzügyi alapfogalmak (valuta, deviza, árfolyamelméletek, pénzügyi mérlegek). 9) Nemzetközi pénzügyi intézmények: IMF, IBRD és csoportja. 10) Értékpapírpiaci alapfogalmak – értékpapírfajták. 11) A tőzsde kialakulása, kereskedelmi rendszere, ügyletfajták. 12) Az üzletfinanszírozás, a tőkeszerzés fogalma, lehetséges változatai, pénzbeli és nem pénzbeli módozatai (hitelek, lízing, kötvény és részvénykibocsátás). 13) A belső finanszírozás formái, a belső finanszírozásból származó tőke gazdasági megítélése. 14) Amortizációszámítás módszerei. 15) A külső finanszírozás

formái és főbb jellemzői. 16) Befektetési stratégia, reálbefektetések fogalma, motiváló tényezői. A dinamikus tőkebefektetési számítások. 6 8. Képletgyűjtemény a pénzügyi matematika alapjaihoz 1. Egyszerű kamatozás i   C n = C 0 ⋅ 1 + n ⋅  100   2. Kamatos kamatozás i   C1 = C 0 ⋅ 1 +  100   n i KF /kamatfaktor/ = / 1 + ------ /n 100 3. Jelenérték számítás PV = Cn i    1 + 100   n 4. Jövőérték számítás FV = C 0 ⋅ (1 + r )n 5. Nominálkamatláb, reálkamatláb és az inflációs ráta összefüggése i   r   infláció    = 1 +  ⋅ 1 +  1 + 100 100 100       7 Speciális pénzáramlás-sorozatok értéke 1. Örökjáradék jelenértéke PV = C r 2. Annuitás jelenértéke 1  C  1 1  PV = C ⋅  1 = ⋅   n n  r r ⋅ (1 + r )  r  (1 + r )  Kötvényárfolyam és

hozamszámítás 1. Kötvényárfolyam (nettó) n A= K t + Tt ∑ (1 + r ) t t =1 2. Kötvényárfolyam – kamatrugalmassága A1 -1 A0 E= r1 -1 r0 3. Bruttó árfolyam Bruttó árfolyam = nettó árfolyam + felhalmozott kamat 4. Névleges hozam kamat ------------------------------ * 100 névérték 5. Egyszerű hozam Kamat ------------- * 100 árfolyam 8 6. Korrigált hozam névérték - árfolyam évek száma Egyszerű hozam + ⋅ 100 árfolyam 7. Tényleges hozam – belső kamatláb – belső megtérülési ráta /IRR/ Részvénnyel kapcsolatos számítások 1. Várható hozam / r / r= DIV1 + P1 − P0 DIV1 P1 − P0 DIV1 P1 DIV1 + P1 = + = + −1 = −1 P0 P0 P0 P0 P0 P0 DIV 1 = várható osztalék P 1 = árfolyam egy év múlva P 0 = mai árfolyam 2. Részvény mai árfolyama P 0 / ha ismert a várható árfolyam és osztalék / P0 = DIV1 + P1 1+ r 3. Névleges osztalékráta DIV ⋅ 100 névérték 4. ROE (jövedelmezőségi mutató) - Sajáttőke-arányos

eredmény Adózás utáni eredmény Saját tőke 5. EPS / egy részvényre jutó eredmény / adózás utáni eredmény törzsrészvények száma 9 Részvény könyvszerinti értéke EPS saját tőaj = ROE törzsrészvények száma 6. Osztalékfizetési arány (b) osztalékfizetési ráta (dp) DIV DIV ⋅ törzsrészvények száma = EPS adózás utáni eredmény 7. Újrabefektetési hányad 1 - osztalékfizetési arány = 1 – dp 8. Osztaléknövekedési ütem (g) Hosszútávon fenntartható növekedési ütem  DIV  adózás utáni eredmény újrabefektetési hányad ⋅ ROE = 1 ⋅ sáját tőáj  EPS  9. Elsőbbségi részvény fix hozama r= DIV1 P 10. Várható hozam (r) r = egyszerű hozam + hozamnövekedési ütem r= DIV1 +g p0 11. Részvényárfolyam (P 0 ) P0 = DIV1 r -g 10 Vállalatok pénzügyi teljesítményének értékelése Tőkeáttételi mutatók 1. Saját tőke mutató Saját tőke

---------------------------------------------------hosszúlejáratú idegen tőke + saját tőke 2. Tőkeáttételi mutató (1) Hosszúlejáratú idegen tőke -------------------------------------------------------hosszúlejáratú idegen tőke + saját tőke 3. Tőkeáttételi mutató (2) / Idegen tőke - saját tőke mutató / Hosszúlejáratú idegen tőke DER = --------------------------------------saját tőke 4. Kamatfedezetségi mutató Adó-és kamatfizetés előtti nyereség + amortizáció ------------------------------------------------------------------------kamatráfordítás 5. Befektetett eszközök fedezeti mutató Saját tőke + hosszúlejáratú idegen tőke -------------------------------------------------------------------befektetett eszközök + tartósan lekötött forgóeszközök 11 Likviditási mutatók 1. Elsőfokú likviditás Pénzeszközök + vevőállomány -------------------------------------rövidlejáratú kötelezettségek 2. Másodfokú

likviditás Pénzeszközök + vevőállomány + készletek ---------------------------------------------------rövidlejáratú kötelezettségek 3. Harmadfokú likviditás – likviditási ráta Forgóeszközök --------------------------------------rövidlejáratú kötelezettségek 4. Pénzhányad Pénzeszközök + likvid értékpapírok ----------------------------------------------------rövidlejáratú kötelezettségek 5. Likviditási gyorsráta Pénzeszközök + likvid értékpapírok + vevőállomány -----------------------------------------------------------------rövidlejáratú kötelezettségek 12 Jövedelmezőségi mutatók 1. Árbevétel arányos nyereség Adózott eredmény ----------------------nettó árbevétel 2. Fedezeti mutató Értékesítés árbevétele – önköltség -----------------------------------------nettó árbevétel 3. Eszközarányos nyereség (ROA) Adózott eredmény -----------------------------------átlagos eszközállomány átlagos

eszközállomány = nyitó + záró 2 4. ROE 5. EPS 6. dp (osztalékfizetési arány) Hatékonysági mutatók 1. Készletek forgási sebessége Értékesítés közvetlen önköltsége ----------------------------------------készletek átlagos állománya 2. Átlagos beszedési idő Átlagos vevőállomány ----------------------------átlagos napi árbevétel 13 3. Szállítók forgási sebessége Nettó árbevétel ------------------------------------szállítók átlagos állománya 4. Szállítók átlagos forgási ideje Időszak napjainak száma ---------------------------------szállítók forgási sebessége 5. Forgótőke forgási sebessége Nettó árbevétel ----------------------------------------nettó forgótőke átlagos állománya 6. Egy főre jutó árbevétel Nettó árbevétel --------------------------------átlagos statisztikai létszám Finanszírozási stratégiát jellemző mutatók 1. Nettó forgótőke a) Forgóeszköz – rövidlejáratú

kötelezettségek b) Saját tőke + hosszúlejáratú kötelezettségek – befektetett eszközök 2. Befektetett eszközök fedezeti mutató Saját tőke + hosszúlejáratú idegen tőke -------------------------------------------------------------------befektetett eszközök + tartósan lekötött forgóeszközök >1 konzervatív ≈1 szolid <1 agresszív 14 Váltóval kapcsolatos számítás 1. Névérték ( N = áruügylet ellenértéke ⋅ 1 + k ⋅ n , ) k = kereskedelmi hitel kamatlába n e = eredeti futamidő n n, = e 360 2. Árfolyam P0 = N - leszámítolt kamat = N - N ⋅ d n ⋅ n = ( ) N ⋅ 1 - dn ⋅ n, = N 1 + rn ⋅ n d n = váltó éves diszkontlába r n = a váltó éves diszkontlábának megfelelő kamatláb 3. Viszontleszámítolás Viszontleszámítolási kamat = N – P 0 Kereskedelmi bank kamatjövedelme = P 1 - P 0 4. %-os kamatjövedelem C n = C 0 ⋅ (1 + k ⋅ n) Cn -1 C0 k= n 15 Kamat- és diszkontráták összefüggései 2

Éves kamatráta Éves diszkontráta 1 3 8 (6,2,3) 4 6 5 Törtévi diszkontráta Törtévi kamatráta 7 (4,1,5) 1. Éves diszkontráta (d n ) ⇒ éves kamatráta (r n ) N ⋅ (1 - dn ⋅ n ) = dn N ⇒ rn = 1 + rn ⋅ n 1 - dn ⋅ n 2. Éves kamatráta (rn) ⇒ éves diszkontráta (dn) rn N N ⋅ (1 - d n ⋅ n) = ⇒ dn = 1 + rn ⋅ n 1 + rn ⋅ n 3. Éves kamatráta ⇒ törtévi kamatráta Törtévi kamatráta = n’ r n 4. Törtévi kamatráta ⇒ éves kamatráta rn = törtévi kamatráta n 5. Éves diszkontráta ⇒ tört évi diszkontráta törtévi diszkontráta = n ⋅ d n = kamatnap ⋅ dn 360 6. Törtévi diszkontráta ⇒ éves diszkontráta törtévi diszkontráta dn = n 16 7. Törtévi kamatráta törtévi diszkontráta törtévi kamatráta törtévi diszkontráta = 1 + törtévi kamatráta n ⋅ rn n ⋅ d n = 1 + n ⋅ rn 8. Törtévi diszkontráta ⇒ törtévi kamatráta törtévi kamatráta = n ⋅ rn = törtévi diszkontráta 1 − törtévi

diszkontráta n ⋅ d n 1 + n ⋅ d n Értékcsökkenési leírás 1. Lineáris leírás Bekerülési érték – maradvány érték Amortizáció = --------------------------------------------Becsült élettartam 2. Teljesítményarányos leírás Bekerülési érték – maradvány érték Egységnyi amortizáció = --------------------------------------------------------------------Teljesítmény egységeinek becsült száma az élettartam alatt Amortizáció = egységnyi amortizáció . használat 3. Geometrikus degresszív leírás (kétszeresen csökkenő egyenleg módszer) amortizációs kulcs = 100% ⋅2 becsült élettartam 4. Számtani (aritmetikus) degresszív leírás (évek száma, összege módszer) N(N+1) Évek számának összege ( S ) = -----------------------2 17 Beruházás gazdaságossági számítások Statikus módszerek 1. Beruházás jövedelmezőségi mutatója Éves átlagos eredmény B j =

-----------------------------------------------Beruházás összköltsége 2. Beruházási pénzeszközök megtérülési gyakorisága Hasznos üzemidő B s = ---------------------------------------------------------A beruházás megtérülési ideje 3. Beruházás megtérülési ideje Beruházás összköltsége Bm = --------------------------------------------------------------------------- Éves átlagos eredmény Dinamikus módszerek 1. Nettó Jelenérték, - Diszkontált hozadékszámítás (tőkeérték számítás) NPV = PV(R ) - PV(C ) - PV(I ) D H = PV(R - C ) - PV(I ) 18 2. Hozam - Költség arány mutató /BCR/ PV(R 1 ) ≥1 PV(I) + PV(C) PV(R 1 ) - PV(C) BCR 2 = ≥1 PV(I) BCR 1 = 3. Belső megtérülési ráta (belső kamatláb) (IRR) n n Ii E k +1 NPV = - ∑ + ∑ k +1 i i = 1 (1 + r ) k = 1 (1 + r ) n n Ii E k +1 0=-∑ + ∑ k +1 i i = 1 (1 + IRR ) k = 1 (1 + IRR ) 4. Beruházás gazdaságossági számítás annuitás segítségével PV (R) ------------

= b / éves átlagos bevétel/ PV( AF ) PV (C) ----------- = c / éves átlagos folyamatos ráfordítás / PV(AF) PV (I) -----------PV(AF) = i / éves átlagos egyszeri ráfordítás, tőkeköltség / NPV = b - c – i 5. Nettó jelenérték egyenértékes NPV egyenértékes = NPV / PV(AF) 6. Költség egyenértékes KE = PV (Összes költség) / PV(AF) 19 9. A tananyaghoz kapcsolódó feladatok 1. A pénzmultiplikátor segítségével határozza meg a pénz megsokszorozódásának mértékét a gazdaságban, ha a kötelező tartalékráta 16%. Megoldás: A multiplikátor a kötelező tartalékráta reciproka, ezért 1/0,16 = 6,25-szörös lesz a gazdaságban a pénztermelés a multiplikáció miatt. 2. Valamely banknál egy cég 800000 Ft betétet helyez el A bank számára a jegybank által előírt kötelező tartalékráta 16%. Határozza meg, hogy elméletileg milyen összegű pénzteremtés jelenik meg a multiplikáció következtében? Megoldás: Betét ×

1/kötelező tartalékráta, azaz számokkal kifejezve: 800. 000 × 1/0,16 = 800000 × 6,25 = 5000000 Ft-ot jelent Jelenérték számítási feladatok 1. A két lehetőség közül melyik a kedvezőbb? „A” lehetőség: jövőre kap 100 Ft-ot és 2 év múlva 200 Ft-ot. „B” lehetőség: jövőre kap 200 Ft-ot és 2 év múlva 100 Ft-ot. Tegyük fel, hogy az éves névleges kamatláb 16%. Megoldás: PV(A) = 100 / 1,16 + 200 / 1,162 = 234,84 Ft-ot PV (B) = 200 / 1,16 + 100 / 1,162 = 246,73 Ft-ot PV (A) < PV (B), tehát a „B” megoldás a kedvezőbb 2. Melyiket választja, ha az éves névleges kamatláb 16%? „X” lehetőség: jövőre kap 100 Ft-ot és 2 év múlva 350 Ft-ot „Y” lehetőség: jövőre kap 200 Ft-ot és 2 év múlva 200 Ft-ot Megoldás: PV (X) = 100 / 1,16 + 350 / 1,162 = 346,31 PV (Y) = 200 / 1,16 + 200 / 1,162 = 321,05 A Y alternatíva mellett döntünk, mivel PV (Y) <PV (X) 20 3. Mennyit adna ma azért a pénzáramlás-sorozatért, amely a

következő éves összegekből áll: 1. év 200; 2 év 100; 3 év 500 Az éves névleges kamatláb 10% Megoldás: PV = 200 / 1,1 + 100 / 1,12 + 500 / 1,13 = 640,12 Ft-ot 4. Ismerőse felajánlja, hogy vegye meg tőle boltját 960 000 Ft-ért A bolt üzemeltetéséből a következő pénzáramlásokra számít: 1. évben 500; 2 évben 400; 3 évben 200; 4 évben 100 ezer Ft. A hasonló lehetőségek évi hozama 12% Megveszi-e a boltot? Megoldás: Akkor veszi meg, ha az üzlet ön számára haszonnal jár. PV = 500 / 1,12 + 400 / 1,122 + 200 / 1,123 + 100 / 1,124 = 971 971 – 960 = 11 > 0 Megveszi az üzletet. 5. Az éves átlagos hozam 13% Két befektetést a következő pénzáramlás-sorozatok jellemzik. Melyik befektetést választaná? Befektetés V Z Megoldás: 1.év 200 200 2.év 100 - 3.év 500 700 r = 13% PV (V) = 200/1,13 + 100/1,132 + 500/1,133 = 601,83 PV (Z) = 200/1,13 + 700/1,133 = 662,13 Az Z befektetés az előnyösebb. 6. 100000 Ft jelenértéke, vagyis

diszkontált értéke 40188 Ft Határozza meg, hogy mekkora a diszkonttényező, és mennyi a hozzá tartozó kamat, valamint az évek száma! Megoldás: 40.188 Diszkonttényező = ------------- = 0,40188 100.000 1 --------- = 0,40188 (1+r)n A diszkonttényezőket tartalmazó táblázatban kikeressük ezt az értéket, és azt találjuk, hogy a hozzátartozó kamat 20%, melyhez 5 év kapcsolódik. 7. Öt évre vonatkozóan a következő ütemezésben és összegben felmerülő pénzáramokat ismerjük: Év Pénzáram 1 20.000 2 20.000 3 24.000 4 15.000 5 10.000 Számítsa ki a pénzáramok jelenértékét, ha a jelenidőpont az első év első napja, a pénzáramok realizálásának időpontja az egyes évek utolsó napja és a névleges kamatláb 18%. 21 Megoldás: Érték 1. 2. 3. 4. 5. Összesen Pénzáram Diszkonttényező r = 18% 20.000 20.000 24.000 15.000 10.000 89.000 0,8476 0,7182 0,6086 0,5158 0,4371 - Jelenérték (PV) 16.952 14.364 14.606 7.737 4.371 58.030 8.

Egy főiskolai hallgató kalkuláció végez arra vonatkozóan, hogy pályakezdő vállalkozásához minimálisan milyen összegre lesz szüksége. Számításai szerint öt év múlva 3 000 000 Ft-ra lenne szüksége. Végezzen számításokat arra vonatkozóan, hogy mekkora összeget kellene ma elhelyeznie a bankban, ha évi 15%-os betéti kamatra számíthat? Megoldás: Egységnyi pénz jelenlegi értékét számítjuk diszkontálással, 5 év és 15%-os kamat mellett! 1 3.000000 x ------------ = 3000000 × 0,497177 = 1491531 Ft -ot (1,15)5 kellene ma egy összegben elhelyezni a bankban a kívánt összeg elérése érdekében. Speciális pénzáramlás sorozatokkal kapcsolatos példatípusok 1. Mekkora annak az örökjáradéknak a jelenértéke (PV), amely évenként 180 000 forint járadékot biztosít 10%-os piaci kamat mellett? Megoldás: PV (örökjáradék) = C / r 180 000 Az örökjáradék jelenértéke (PV) = --------------- = 1 800 000 Ft. 0,10 22 2. Mekkora annak

az örökjáradéknak a jelenértéke, amely az első évben 180 000 forint járadékot, az azt követő években 3%-kal növekvő járadékot biztosít 10%-os piaci kamatláb mellett? Megoldás: PV (örökjáradék) = C / (r - g), ha a r > g A növekvő tagú örökjáradék jelenértéke 180 000 PV = ------------------ = 2 571 429 Ft. 0,10 – 0,03 3. Mennyit érdemes kifizetnünk ma azért a lehetőségért, hogy minden év végén (életünk végéig és utána örököseink) kapunk 100000Ft-ot. Az első fizetés 1 év múlva esedékes Feltételezzük, hogy a piaci hozam 10% . Mennyit érne a példa örökjáradéka, ha nem 10% hanem 20% lenne a piaci hozam? Megoldás: Az ajánlat örökjáradéknak fogható fel, amelynek járadéktagja 100000Ft. PV = 100 000/0,1 = 1 MFt-ot ér az örökjáradék, tehát ennyit érdemes érte fizetnünk. PV = 100 000 / 0,2 = 500 000 Ft-ot / 20%-os piaci hozam esetén/ 4. Mennyi a példában szereplő örökjáradék értéke, ha nem 1 év

múlva, hanem csak 5 év múlva, az 5. év végén kapjuk az első évjáradékot Megoldás: A képlet a 0. évre számítja ki az örökjáradék értékét, ha az első járadéktag az 1 év végén esedékes. Most az első járadéktag az 5 év végén esedékes, tehát képletünk a 4 év végére adja meg az örökjáradék értékét. PV (4) = 100 / 0,1 = 1 M Ezt még vissza kell számolnunk a 0. évre, tehát az 1 MFt jelenérté két kell kiszámítanunk, most már egyszerű diszkontálással PV (0) = 1 000 000 / 1,14 = 683 013 Ft 5. Van 800 ezer forintunk, és ezen szeretnénk örökjáradékot vásárolni úgy, hogy már 1 év múlva kapjuk az első járadékot. A piaci hozam 10% Mekkora az éves járadék? Megoldás: 800 000 = C / 0,1 ebből C = 80 000 Ft. Ennyi járadékot kapunk minden év végén. 23 6. Mennyit érdemes ma fizetnünk egy olyan örökjáradékért, amely 1 év múlva 100000Ft-ot fizet, és utána minden évben 2%-kal többet. piaci hozam 10%

Megoldás: PV = 100 / (0,1 – 0,02) = 1 250 000 Ft-ot 7. Mennyit ér ma az az annuitás, amely 10 éven keresztül évi 100 000forintot fizet, ha az éves hozam 12%? Megoldás: PV (annuitás) = C x AF n,r PV = 100 ∙ { (1 / 0,12) – [1 / (0,12 ∙ 1,1210) ] } = 565 000Ft Vagy táblázattal PV=100 ∙ AF(10 év,12%)=100 ∙ 5,65 = 565 000Ft 8. Mekkora évjáradékra számíthatunk 8 éven keresztül, ha 2 millió Ft-ot fizetünk ma és a piaci hozam 13%. Megoldás: 2 000 000=C∙ { (1 / 0,13) - [1 / (0,13 ∙ 1,138) ] } C = 2 000 000 / 4,799 = 416 753 Ft vagy 2 000 000 = C ∙ AF(8,13%) 2 000 000 = C ∙ 4,799 C = 416 753 Ft 9. Mekkora éves törlesztő részletet kell vállalnunk 5 év alatt, ha 2 millió Ft hitelt veszünk fel és a kölcsön effektív kamatlába évi 18%? Mekkora havi törlesztő részletet kell vállalnunk? Megoldás: a) Éves törlesztő részlet 2 000 000=C∙{ (1 / 0,18) - [1 / (0,18 ∙ 1,185) ] } = C ∙ 3,127 ebből C = 639 555 Ft/év 2 000 000 = C ∙

AF(5,18%) = C ∙ 3,127 ebből C = 639 555 Ft/év b) Havi törlesztő részlet A havi kamatláb: 12√1,18 - 1 = 1,39% 2 000 000=C ∙ { (1 / 0,0139) - [1 / (0,0139 ∙ 1,013960) ] } = = C ∙ 40,5173 ebből C = 2 000 000 / 40,5173 = 49 362 Ft/hó 24 10. Van 600 ezer forintja Szeretné átváltani egy 5 éven át tartó évjáradékra, amelynek első tagja 1 év múlva esedékes. Az éves hozam ezidő alatt 10% Hány forint évjáradékra számíthat? Megoldás: n = 5 év, r = 10%, PV(Annuitás) = 600 000 PV(Annuitás) = 600 000 = C ∙ AF(5, 10%) Ebből C = 600 000 / AF(5, 10%) = 600 000 / 3,791 = 158 270 Ft/év Banki műveletekkel kapcsolatos feladatok 1. 2001 január 7-én betettünk a bankba 1 000 000 Ft-ot Február 6-án szükségünk volt 300 000 forintra, a többi pénzt csak november 7-én vettük ki. Mennyi kamatot kapunk összesen, ha az éves névleges kamatláb 13% volt, és a kamatozási periódus 1 év ? Megoldás: Ha a bank a francia gyakorlatot követi, ( 360

nap/év, tényleges napok ) akkor: 2001. január 7 – február 6 között 25 + 5 = 30 nap telt el 2001. február 6 – november 7 között 23+5∙31+3∙30+6=274 nap Kamat=1 000 000 ∙ 0,13 ∙ 30 / 360 + 700 000 ∙ 0,13 ∙ 274 / 360= = 80 094 Ft-ot kapunk. Vagy 300 000 Ft kamatozik 30 napig 300∙0,13∙30/360=3 250 700 000e Ft kamatozik 30+274 napig 700∙0,13∙304/360=76 844 80 094 Ft kamat a végeredmény. Ha a bank a német gyakorlatot követi, (360 nap/év, 30 napos hónapok,a februárt 28 naposnak véve), akkor : 2001. január 7 – február 6 között 24 + 5 = 29 nap telt el 2001. február 6 – november 7 között 23 + 8∙30 + 6 =269 nap Kamat=1 000 000∙0,13∙29/360 + 700 000∙0,13∙269/360=78 469 Ft. Az angol gyakorlat ( 365 nap/év, tényleges napok ) szerint: 2001. január 7 – február 6 között 25 + 5 = 30 nap telt el 2001. február 6 – november 7 között 23+5∙31+3∙30+6=274 nap Kamat=1 000 000∙0,13∙30/365+700 000∙0,13∙274/365=78 997 Ft. 25

2. Egy befektető 100 egységű pénzösszeggel rendelkezik Adott körülmények között az átlagos nominális kamatláb 10%. Számítsa ki a 100 egységű pénz jövőbeli értékét az elkövetkezendő 10 évre, feltételezve, hogy a kamatfizetés évente, az év végén történik. a) egyszerű kamatozással b) kamatos kamatozással Megoldás: a, Évek Befektetés Kamat összege Kamattal Összege növelt érték 1. 100 10 110 2. 110 10 120 3. 120 10 130 4. 130 10 140 5. 140 10 150 6. 150 10 160 7. 160 10 170 8. 170 10 180 9. 180 10 190 10. 190 10 200 b, Évek 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Befektetés Összege 100,000 110,000 121,000 133,100 146,410 161,051 177,157 194,873 214,360 235,796 Kamat Összege 10,000 11,000 12,100 13,310 14,641 16,106 17,716 19,487 21,436 23,580 Kamattal növelt érték 110,000 121,000 133,100 146,410 161,051 177,157 194,873 214,360 235,796 259,376 Kamatos kamat táblázattal: FV n = Co (1 + r)n , ahol FV n = n év múlva esedékes jövőbeni

érték Co = a befektetett pénzösszeg adott időponti érték r = az éves kamatláb, a befektetés hozama n = a kamatozási időszak, a periódusok, évek száma Tehát: FV 10 = 100 (1 + 0,1)10 = 100 × 2,594 = 259,4 26 3. A hitelintézettel kötött betétszerződés alapján elhelyez 25 000 forintot betétként 90 napra A nominális kamatláb 12%. Mennyi lesz: a) az egy napi kamat b) a betétként elhelyezett összeg felnövekedett értéke? A hitelintézet az üzletszabályzata szerint a betétügyleteknél az év napjainak számát 365 nappal számítja. Megoldás: a) Co ∙ r Az egy napi kamat = ----------n Co = a hitelintézetnél betétként elhelyezett összeg = 25 000,00 Ft r = a nominális kamatláb = 12% n = az év napjainak száma = 365 25 000 ∙ 0,12 Az egy napi kamat = --------------------- = 8,22 Ft. 365 b) A betétként elhelyezett összeg felnövekedett értéke FV = 25 000 + (8,22 ∙ 90) = 25 740 Ft 4. A hitelintézet a nála elhelyezett 800 000 forint

betét után 15 340 forint kamatot fizet A névleges kamatláb 14%. A hitelintézet az év napjainak számát 365 nappal vette figyelembe. A hitelintézet hány napra fizetet kamatot? Megoldás: Kamat ∙ 36 5 Kamatnapok száma = --------------------------------------- = Betét összege ∙ Kamatláb 15 340 ∙ 36 5 = ---------------------------- = 49,99 50 nap. 800 000 ∙ .4 Ellenőrizzük számításunkat. Ha a hitelintézmény 50 napra fizetett kamatot, akkor az 50 napi kamat = 15 340,00 Ft. 800 000 ∙ 50 ∙ 14 Kamat = ----------------------------- = 15 342,00 Ft. 36 500 A 2 forint eltérés a kerekítésből adódik! 27 5. Mekkora a hitelintézetnél elhelyezett betét összege, ha a hitelintézet 120 nap múlva kamattal együtt 23 302 forintot fizetett. A hitelintézet az év napjainak számát 365 nappal vette figyelembe és 18%-os névleges kamatlábat alkalmazott. Megoldás: A kamattal nagyobbított összeg 23 302,00 Ft. A kamattal nagyobbított összegből kell

számítani a bankban betétként elhelyezett alapösszeget. /éven belüli egyszerű kamatozás/ Kamattal növelt összeg ∙ Kamatláb ∙ Kamatnapok száma Kamat = -----------------------------------------------------------------------36 500 + Kamatláb ∙ Kamatnapok száma 23 302,00 ∙ 0,18 ∙ 120 50 332 320 Kamat = ----------------------------- = ------------------ = 1301,92 1302,00 Ft. 36 500 + (0,18 ∙ 120) 38 660 A bankban elhelyezett összeg = 23 302,00 – 1 302,00 = 22 000,00 Ft. Ellenőrizzük számításunkat: 22 000,00 ∙ 0,18 ∙ 120 A betét felnövekedett összege = 22 000,00 + ------------------------------ = 36 500 = 22 000,00 + 1 302,00 = 23 302,00 Ft 6. 100 ezer Ft-ot teszünk bankbetétbe Az éves névleges kamatláb 15% Mekkora 1 év múlva a betét felnövekedett értéke? A második évre is 15% a kamatláb. Mekkorára nő pénzünk a kamat kifizetése, illetve tőkésítése esetén? Megoldás: C 1 = C 0 (1+k) = 100 ∙ 1,15 = 115 ezer Ft A kamat

kifizetése esetén / egyszerű kamatozás/: C 2 = 100 ∙ (1,15+0,15) = 130 ezer Ft A kamat tőkésítése esetén / kamatos kamatozás/: C’ 2 = 100 ∙ 1,15 ∙ 1,15 = 132,25 ezer Ft Tehát: C’ 2 > C 2 7. 100 ezer forintot teszünk bankbetétbe A bank 16% kamatot fizet évente, amelyet felveszünk, de nem fektetünk be újra. Mennyi lesz tőkénk értéke 3 év múlva, ha a kamatokat nem költjük le, de nem is fektetjük be újra? Mekkora lesz a megadott betét értéke, ha a kamatot évente tőkésítik? 28 Megoldás: C 3 = 100 (1+3 ∙ 0,16) = 148 ezer forint. C 3 = 100 (1+0,16)3 = 156 ezer forint, amely összeg nagyobb, mint amekkorát tőkésítés nélkül kaptunk. 8. Az „A„ befektetés 100 Ft kezdő érték mellett évente 15%-kal kamatozik, a „B „befektetésbe csak 80 Ft-ot kell elhelyezni, de 20%-kal kamatozik. Melyik befektetést kell választanunk, ha azt akarjuk, hogy tőkénk értéke 5 év alatt legalább 200 Ft legyen? Megoldás: KF (kamatfaktor)

= (1 + r)n KF(5 év, 15%) = 2,0114 KF(5 év, 20%) = 2,4883 A 5 = 100 ∙ 2,0114 = 201,14 Ft B 5 = 80 ∙ 2,4883 = 199,07 Ft Tehát az A befektetést kell választanunk. 9. Azt szeretnénk, hogy 4 év múlva pénzünk értéke a mainak 2,5-szerese legyen Mekkora kamatlábú befektetést kell ehhez keresnünk? Megoldás: KF = 2,5 (1 +r)4 = 2,5 ebből 1 + r = 4√2,5 = 1,257 ebből r = 25,7% Tehát legalább 25,7% éves névleges kamatláb mellett éri el befektetésünk a 2,5szeres értéket. 10. A banknál betétszerződés alapján elhelyezett 50 000 forintot, 4 év lekötési időtartamra, évi 8%-os kamatláb mellett. A bank a kamatot negyedévenként tőkésíti A negyedik év végén mekkora összegű követelése lesz a banktól? Mekkora az effektív kamatláb? Megoldás: 0,08 FV n.m = 50 000 ∙ ( 1 + --------- )4x4 = 68 639,00 Ft 4 Az effektív kamatláb 8,24321%. Ezt az alábbi számítás igazolja 0,08 Az effektív kamatláb = ( 1 + ---------- )4 –1 = 0,0824321 8,24321%

4 29 11. Rendelkezik 10 000 forinttal A pénzét betétként, 12%-os nominális kamatlábbal elhelyezheti a bankban. De nem így cselekszik, hanem a pénzt – bár nincs rá szüksége – magánál tartja. Mennyi lesz a évi kamatvesztesége, ha a betét után a kamat negyedévenként esedékes és tőkésítésre kerül? Megoldás: r 0,12 FV n.m = C o × ( 1 + ------ )nm = 10 000 × ( 1 + ------ )14 m 4 = 10 000 ∙ 1,1255 = 11 255,00 Ft. A kamatveszteség (11 255 – 10 000) 1 255,00 Ft. 12. Betétként elhelyezett a bankban 10 000 forintot 90 napra A bank az esedékességkor kifizetett Önnek 10 308,00 forintot. Mekkora nominális kamatlábbal számította a bank a kamatot, ha az év napjainak számát 365 nappal vette figyelembe. Megoldás: A bank által számított kamat összege 10 308 – 10 000 = 308,00 forint. Határozza meg először 10 000 forint 90 napi 1%-os kamatát. 10 000 × 90 90 napi 1%-os kamat = -------------------- = 24,66 forint. 36 500 Ezt követően ,ha

24,66 forint = 1% 308,00 forint = x% 308,00 x = -------------- = 12,489%, kerekítve 12,5% 24,66 A bank a kamatot 12,5% nominál kamatlábbal számította. Ellenőrzés: 10 000 × 90 × 12,5 Kamat (r) = --------------------------- = 308,22 , kerekítve 308,00 forint. 36 500 13. Ma elhelyezett betétjére évi 14% kamatot ígér a bank, a kamatot az év végén tőkésítik Tegyük fel, hogy a kamatláb minden lejáratra azonos. Mekkora lesz betétjének felnövekedett értéke 3 év múlva éves tőkésítés, illetve féléves tőkésítés esetén? 30 Megoldás: 1 Ft 3 évre felnövekedett értéke éves tőkésítés esetén C 3 = 1,143 = 1,4815 Ft. 1 Ft 3 évre felnövekedett értéke féléves tőkésítéssel C 3 = (1 + 0,14/2)6 = 1,5 Ft. 14. A „Remény” bank egy új betéti konstrukciót dolgoz ki A konkurens bank negyedévente fizet kamatot, amelynek értéke évi 16,4% (éves névleges kamatláb), és a kapott kamatok az év végéig újra befektethetők ugyanolyan

feltételek mellett. A „Remény”olyan konstrukciót szeretne, amely félévente fizet kamatot és a kamatok szintén újra befektethetők. Mekkora legyen a konstrukció éves névleges kamatlába, ha a versenyképesség megőrzése érdekében a bankunk szeretne a versenytársaknál 0,6 százalékponttal magasabb éves hozamot ígérni betéteseinek? Megoldás: k éves névleges = 16,4% (1 + 0,164/4)4 = 1,1744 ebből r = 17,44% Az „Remény” ennél 0,6 százalékponttal magasabb hozamot akar ajánlani, tehát 17,44 + 0,6 = 18,04%-ot. 1 + r = (1 + k/m)m,ezért 1 + 0,1804 = (1 + k/2)2 ebből √1,1804 = 1 + k/2 ebből k = 17,3 15. Az éves nominál kamatláb 15%, az inflációs ráta 12%Mekkora a reálkamatláb? Megoldás: A reálkamat hozzávetőleges (becsült) értéke 3%, Pontosan számított értéke 2,68%. Ezt az alábbi számítás igazolja. A reálkamat becsült értéke r = i – inflációs ráta r = 15 –12 = 3% A reálkamat pontosan: 1+i 1 + 0,15 r = ---------- -

= -------------1 + inf 1 + 0,12 - 1 = 0,0267857 2,68% 31 16. Egy hitelintézet a nála elhelyezett betétek után havonta 1,2%-os kamatot fizet Adott évben az inflációs ráta 12%. Mennyi az effektív kamatláb melletti reálkamatláb? Megoldás: Effektív kamatláb = 1,01212 = 1,15389 15,39% 1 + 0,1539 Reálkamatláb = -------------------- -1 = 0,0300 3,00% 1 + 0,1200 17. Mekkora a reálkamatláb, ha a nominál kamatláb 12% és az infláció éves mértéke 5%? Ha a példában az infláció mértéke is és a nominális kamatláb is ugyanannyival, mondjuk 4 százalékponttal nő, vajon változatlan marad-e a reálkamatláb? Megoldás: r reál = 1,12/1,05 – 1 = 0,0667 = 6,67% r reál = (1,16/1,09) - 1 = 0,0642 = 6,42% Tehát csökken a reálkamatláb. 18. Mennyivel kellene emelkednie az előző példában a nominális kamatlábnak, hogy pénzünk vásárlóértéke változatlan maradjon? Megoldás: 1,0667 = (1 + r nom ) /1,09 r nom = 16,27% 4,27 százalékponttal kéne

emelkednie a nominális kamatlábnak. 19. Egy év múlva ki kell fizetnünk 200 ezer forintot Mennyit helyezzünk el ma a bankunkban, hogy 1 év múlva éppen 200 ezer forintunk legyen. Az éves névleges kamatláb 16%. Megoldás: PV = 200 000 / 1,16 = 172414 Ft-ot kell ma elhelyeznünk a bankban. 20. Ismerőse 400 ezer forintot kér kölcsön Öntől, és azt ígéri, hogy 4 év múlva 600 ezer forintot fizet vissza. a) Kölcsönadja-e ezt az összeget, ha úgy gondolja, hogy az éves névleges kamatláb minden lejáratra 16%. b) Milyen kamatláb mellett adna ennyit kölcsön? Mekkora kamatláb mellett csökkent pénzünk értéke pontosan a felére, ha nem fektetjük be? 32 Megoldás: a, 1/1,164 = DF(4 év, 16%) = 0,552. Ennyit ér ma a 4 év múlva esedékes 1 Ft. A 600 ezer forint jelenértéke: PV =600*0,552 = 331 200 Ft. Csak ennyit adnék kölcsön, 400ezer forintot nem. b, 400 ezer forintot akkor adnék kölcsön, ha a kamatláb r nagyobb lenne mint 16% c: DF(4 év, r) =

1/ (1 + r)4 = 0,5 ebből r=19% 19% kamatláb mellett csökken pénzünk értéke a felére 4 év alatt. 21. Mekkora kamat illet meg 100 Ft bankbetét után 1 hónap múltán, illetve 5 hónap múltán, az éves kamatláb 12%. Megoldás: 1 hónapra = 100∙1∙0,12 / 12 = 1 Ft 5 hónapra = 100 ∙ 5 ∙ 0,12 / 12 = 5 Ft 22. Mennyi kamatot kapunk 100 Ft betétre 120 nap alatt, ha az éves kamatláb 12% ? Megoldás: Ha a bank a napi kamatot 360 napos évvel számítja ki, akkor 120 napra = 100 ∙ 120 ∙ 0,12 / 360 = 4 Ft kamatot kapunk. 23. Mekkora lesz az 500 ezer forint betét felnövekedett értéke 2,5 év múlva, ha az éves névleges kamatláb 16%. Megoldás: C n = 500 000 ∙ 1,162 (1 + 0,5 ∙ 0,16) = 726 624 Ft. 24. Melyik a legkedvezőbb befektetés: az évente 12,2%-kal kamatozó, vagy félévente 6% kamatot fizető? Megoldás: Az évente 12,2% kamatot fizető betét egy év alatt 2 kamatperióduson keresztül növeli értékét, tehát 1 év alatt (1+0,06)2=1,1236 Ft lesz

az értéke, vagyis több, mint az előző betété, ezért ez a legkedvezőbb befektetés. 25. A „Remény Bt” betétszámlája 2001 június 2-től a következőképpen hirdette a kamatot: „kamatfizetés havonta, tőkésítéssel esedékes. A kamat összege a napi számlaegyenleg alapján kerül kiszámításra. A számla változó kamatozású, az induló kamat évi 15% Tegyük fel, hogy egy évig nem változik a kamatláb. Mekkora hozamot érhet el egyéves megtakarítás után? Megoldás: k = 15% l + r = (1+0,15/12)12 = 1,1608, tehát az éves hozam 16,08%. 33 26. Kiss János gyermeke számára 10000 Ft-ot helyez el egyszeri betétként egy banknál A betéti szerződés alapján 15 év múlva 92.655 Ft összeg áll a gyermek rendelkezésére Hány %-os kamatra kötötte a szerződést az érintett? Megoldás: FV 15 = Co (1 + r)15 92.655 = 10000 (1 + r)15 92.655 = 10000 × 9,2655 r = 16% a kamatos kamat tényezőit tartalmazó táblázatból a kamat százalékát

keressük ki. Tehát 16%-os kamatra kötöttte a betéti szerződést. 27. Egy gazdasági társaság 1000000 Ft összegű betétet helyez el egy banknál 6 évre, évi 12%-os fix kamatozás mellett. A bank évenként egyszeri, év végi kamatfizetést ígér úgy, hogy a kamatot is tőkésíti. Számítsa ki, hogy a 6 év végén milyen összegű követelése lesz a gazdasági társaságnak! Megoldás: Kamatos kamatszámítás 6 évre, 12%-os kamat mellett: 1.0000 × (1,12)6 = 1000000 × 1,973823 = 1973823 Ft összegű lesz 28. A banknál betétszerződés alapján elhelyez 100 000 forint összegű betétet A lekötési idő 5 év, a kamat évi 10% fix kamat. A kamat évente egyszer, az év utolsó napján esedékes A kamat tőkésítésre kerül. Az 5 év végén milyen összegű követelése lesz a banktól? Megoldás: A banknál elhelyezett betét felnövekedett értéke az 5. év utolsó napján (a futamidő végén) 100 000 ∙ (1,10)5 = 161 051 Ft. 29. Mennyit kapunk a 100 000

forintról szóló, az 5 év végével lejáró követelésünkért, ha a nominális kamatláb 12%, a kamat félévente utólag esedékes és tőkésítésre kerül? Megoldás: A követelés összege 0,12 100 000 ∙ ( 1 + ---------- )5.2 = 100 000 ∙ 1,0610 = 179 085 Ft 2 Az 1,0610 = 1,79084770 30. Van 10 000 forint megtakarított pénze, amelyért kamatozó kincstárjegyet vásárol A kincstárjegy lejárati ideje 365 nap, a névleges kamat fix 15%. Mennyi lesz pénzének 365 nap múltával a felnövekedett (a jövőbeli) értéke? Megoldás: A kincstárjegy lejáratakor (az esedékesség napján) a megtakarítás felnövekedett értéke PV = 10 000 ∙ 1,15 = 115 000 Ft. 34 Banki hitelműveletekkel kapcsolatos feladatok 1. A gazdasági társaság 5000000 forint kölcsönt vesz fel bankjától A kölcsön futamideje 250 nap, a kamat 20%. A kölcsön folyósításakor a bank felszámít 1% egyszeri kezelési költséget és 50.000 forint biztosítási díjat A kölcsön

összegének visszafizetése és a kamat összege a lejáratkor esedékes. Az év napjainak száma = 365 nap Válaszolja meg a következő kérdéseket: a, a bank a kölcsön folyósításakor mekkora összeget bocsát a gazdasági társaság rendelkezésére? b, a gazdasági társaságnak a lejáratkor mekkora az adósságszolgáltatási kötelezettsége? c, forint összegben mekkora a hitelköltség? d, a hitelköltség hány százalékos hiteldíjnak felel meg? Megoldás: a, A bank a kölcsön folyósításakor 4 900 000 Ft-ot bocsát a gazdasági társaság rendelkezésére. A folyósított kölcsön összegének számítása; • a kölcsön összege 5 000 000 Ft • az egyszeri kezelési költség ( 5 000 000 × 0,01 ) 50 000 Ft • biztosítási díj 50 000 Ft A folyósításra kerülő kölcsön összege 4 900 000 Ft b, A gazdasági társaságnak a kölcsön lejáratakor az adósságszolgálati kötelezettsége 5 684 932,00 forint. Az adósságszolgálati kötelezettség

összegének számítása: • a visszafizetendő kölcsön összege 5 000 000 Ft • a kamat összege: 0,20 -------- × 250 × 5 000 000 684 932 Ft 365 A gazdasági társaság adósságszolgálati kötelezettsége 5 684 932 Ft c, A hitelköltség forintban; • a kamat összege • az egyszeri kezelési költség • biztosítási díj Együtt 684 932 Ft 50 000 Ft 50 000 Ft 784 932 Ft d, A hiteldíj százalékban; 784 932 ------------------ : 250 × 365 = 0,2338776 4 900 000 35 2. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek a futamideje 5 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamat fizetés mellett évi 20%, a hitel folyósított összege 100 000 Ft, a tőketörlesztésre lejáratkor egy összegben kerül sor! Megoldás: Idő T 1 2 3 4 5 Hitelállomány a t-edik évi tőketörlesztés előtt Ht 100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 Kamat Kt 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 Tőketörlesztés Tt 0 0 0 0 100 000 Törlesztőrészlet Ct

20 000 20 000 20 000 20 000 120 000 3. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 5 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetés mellett évi 20%, a hitel folyósított összege 50 000 Ft, a tőke törlesztésére a futamidő alatt azonos részletekben kerül sor! Megoldás: Idő T 1 2 3 4 5 Hitelállomány a t-edik évi tőketörlesztés előtt Ht 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 Kamat Kt 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 Tőketörlesztés Tt 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 Törlesztőrészlet Ct 20 000 18 000 16 000 14 000 12 000 4. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 7 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetéssel évi 20%, a hitel folyósított összege 100 000 Ft, valamint a tőketörlesztésére a futamidő alatt egyenletesen kerül sor, 2 év türelmi idő után! Megoldás: Idő T 1 2 3 4 5 6 7 Hitelállomány a t-edik évi tőketörlesztés előtt

Ht 100 000 100 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 Kamat Tőketörlesztés Kt 20 000 20 000 20 000 16 000 12 000 8 000 4 000 Tt 0 0 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 Törlesztőrészlet Ct 20 000 20 000 40 000 36 000 32 000 28 000 24 000 36 5. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 10 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetés mellett évi 20%, a hitel folyósított összege 100 000 Ft, és az évi törlesztő részletek nagysága állandó! Megoldás: C = Hitel /AF(n e , k) = 100 000/AF(10,20)=100 000/4,1925 = 23 852 Ft Tehát az éves állandó nagyságú törlesztő részlet 23 852 Ft. Idő T Hitelállomány a t-edik évi tőketörlesztés előtt Ht 100 000 96 148 91 526 85 979 79 323 71 336 61 751 50 249 36 447 19 884 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kamat Kt 20 000 19 230 18 305 17 196 15 865 14 267 12 350 10 050 7 289 3 977 Tőketörlesztés Törlesztőrészlet Tt 3 852 4 622 5 547 6 656 7 987 9 585 11 502 13

802 16 563 19 884 10 ∑ t=1 Ct 23 852 23 852 23 852 23 852 23 852 23 852 23 852 23 852 23 852 23 861 T t = 100 000 6. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 6 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetés mellett évi 20%, a hitel folyósított összege 100 000 Ft, és a tőketörlesztésre a futamidő végén 10%-20%-30%-40% mértékben kerül sor! Megoldás: Idő T 1 2 3 4 5 6 Hitelállomány a t-edik évi tőketörlesztés előtt Ht 100 000 100 000 100 000 90 000 70 000 40 000 Kamat Kt 20 000 20 000 20 000 18 000 14 000 8 000 Tőketörlesztés Tt 0 0 10 000 20 000 30 000 40 000 Törlesztő részlet Ct 20 000 20 000 30 000 38 000 44 000 48 000 7. 2 000 000 Ft értékű személygépkocsi 50%-át készpénzben egyenlíti ki A fennmaradó 50%-ot 24 hónap alatt fizeti ki havonta azonos törlesztő részletek mellett. (Az első törlesztő részlet 1 hónap múlva esedékes.) A piaci hozam évi 27% a, Mekkora összeget

kell havonta fizetnie? b, Mekkora 1 év elteltével a tőketartozása? 37 Megoldás: A hitel pénzáramlása havi annuitás, ennek megfelelően havi adatokkal számolunk. a) Havi kamatláb =( 12√ 1 + 0,27) – 1 = 0,02 = 2% C = Hitel / AF(n e , k) = 1 000 000 / AF(24,2) = 1 000 000/18,914=52 871 Ft A havi törlesztő részlet nagysága 24 hónapon keresztül 52 871Ft A megoldáshoz a képletbe helyettesítsük be, azzal a változással, hogy 12 hónap elteltével már csak 12 hónap van hátra, azaz ezt kell a hitel futamidejének tekinteni. C = H / AF(n,k), ebből H = C ∙ AF(n,k) H = 52 871 ∙ AF(12,2) = 52 871 ∙ 10,571 = 558 899 Ft 8. Egy öt év futamidejű, lejáratkor egy összegben törlesztendő hitel 2 évi törlesztő részletét éppen ma fizették ki. A hitel induló összege 300 000 Ft , kamatlába évi 16% Írja fel a hiteltörlesztés pénzáramlását! Megoldás: A hitel hátralévő futamideje n = 5 –2 = 3 év A hitel pénzáramlása a hátralévő

futamidőben: Idő T 1 2 3 Hitelállomány a t-edik évi tőketörlesztés előtt 300 000 300 000 300 000 Kamat Kt k = 16% 48 000 48 000 48 000 Tőketörlesztés Tt 0 0 300 000 Törlesztőrészlet Ct 48 000 48 000 348 000 9. Egy 15 év futamidejű, azonos részletfizetésű hitel induló állománya 1 000 000 Ft, kamatlába évi 17%. Mekkora a harmadik évi törlesztő részlet, illetve tőketörlesztőrészlet? Megoldás: Az annuitásos hitel éves törlesztő részlete: C = H / AF(n e , k) = 1 000 000 / AF(15,17) = 1 000 000 / 5,324 = 187 829 Ft Tehát a harmadik évi törlesztő részlet 187 829 Ft. Idő T 1 2 3 Hitelállomány a t-edik évi tőketörlesztés előtt 1 000 000 982 171 961 311 Kamat Kt k = 17% 170 000 166 969 163 423 Tőketörlesztés Tt 17 829 20 860 24 406 Törlesztő részlet Ct 187 829 187 829 187 829 A harmadik évi tőketörlesztés tehát 24 406 Ft. 38 10. Nagy Péter 200 000 Ft értékű számítógépet áruvásárlási hitellel finanszírozza

A hitel futamideje négy év, a piaci hozam évi 18%, törlesztés negyedévente egyszer van. Mekkora összeget kell negyedévente törlesztenie? Megoldás: Negyedéves kamatláb k = (1 + 0,18)1/4 – 1 = 0,0422 = 4,22% n e = 4 ⋅ 4 =16 AF(16,4,22%)={ (1/0,0422) - [1/ (0,0422⋅(1+0,0422)16)]} = 11,465 C = H / AF(n e , k)= 200 000 / 11,465 = 17 444 Ft Azaz a negyedéves törlesztő részlet nagysága 16 negyedéven keresztül 17 444 Ft. 11. A bank a 365 napnál rövidebb futamidejű kölcsönök folyósításánál 20%-os kamatot számít fel. A bank ügyfele 2000000 forint összegű kölcsönt kér 270 nap lejáratra A bank hajlandó ügyfelének kölcsönt nyújtani azzal a feltétellel, hogy a futamidőre a kamatot a kölcsön folyósításának időpontjában levonja, tehát a kölcsönigénylőnek a kamattal csökkentett összeget folyósítja számlahitelként. Mekkora összeget folyósított a bank ügyfelének? Megoldás: A 20%-os kamat évi nominális kamat. Ha a bank

utólag (a futamidő végén) számítja fel a kamatot, akkor ügyfelének folyósít számlahitelként 2 000 000 forintot. A futamidő végén az ügyfél visszatörleszti a kölcsönt 2 000 000,00 Ft megfizeti a kamatot 2 000 000 × 270 × 20 k = ------------------------------------- = 295 890,40 Ft 365 × 100 -----------------------összesen fizet: 2 295 890,40 Ft 12. Egy gazdasági társaság bankjával hitelkeret szerződést kötött A szerződés alapján a bank 75 napra 20 millió forintot tart rendelkezésére. A rendelkezésre tartási jutalék évi 1,2% a naptári évet a bank 360 nappal veszi figyelembe. A társaság a hitelkeretből 15 millió forintot vett igénybe. Milyen összegű jutalékot fizet a gazdasági társaság a rendelkezésre tartott hitelkeret után? 39 Megoldás: A rendelkezésre tartási jutalékot a bank az igénybe vett hitelkeret után számítja fel. Az igénybe vett hitelkeret 5 millió forint A bank 12 500 forint jutalékot számít fel. A

jutalék összegének számítása: A jutalék 360 napra = a hitelkeret összege × jutalék mértéke = 5 000 000 × 0,012 A napi jutalék = összes jutalék / 360 = 60 000 / 360 = 60 000 Ft = 166,666666 forint A jutalék 75 napra = napi jutalék Ft × rendelkezésre tartási idő 166.66666 × 75 = 12 499,99912 500 forint. 13. A vállalat azt tervezi, hogy bankjától 3 év lejáratra 4 800 000 Ft kölcsönt vesz fel A bank elfogadható fedezet mellett hajlandó kölcsönt adni 12%-os nominális kamatlábbal, feltéve ha a cég vállalja, hogy a kamatfizetési és a törlesztési kötelezettségének negyedévenként, a negyedév végén esedékes átalányösszeggel tesz eleget. Mekkora összegű átalányt kell a vállalatnak negyedévenként fizetnie? Megoldás: A 3 év egyenlő a 12 negyedévvel. Egy negyedévre eső kamat 12/4 = 3% 1 1 PVIFA r.n (annuitás tényező) = ----- - --------------- = r r (1 + r)n 1 1 ------- - ---------------------- = 9,95399 0,03 0,03 (1 +

0,03)12 Negyedévenként az adósságszolgálati kötelezettség (a negyedévenként fizetendő átalányösszeg) A kölcsön összege 4 800 000 ------------------------- = ----------------- = PVIFA 9,95399 482 259 Ft 14. Valamely cég a banktól 45 napra vett igénybe hitelt, amelyre 60000 Ft kamatot fizetett Ismerjük a bank alkalmazott kamatlábát (névleges, kinyilvánított kamatláb) ez 24%, ha tudjuk, hogy a bank 360 napos elméleti idővel számolja az évet, mekkora összegű hitelt vett igénybe a cég? 40 Megoldás: A feladat kétféleképpen is megoldható, lehet behelyettesíteni a váltó leszámítolás képletébe, de mód van ennek az átrendezésére is. Amennyiben ezt választjuk, a hitel összegét a következőképpen határozhatjuk meg: (Kamat / hitel futamideje) × 360 ---------------------------------------Kamatláb együtthatós formája azaz: (60.000 / 45) × 360 480.000 ------------------------ = ---------------- = 2.000000 Ft 0,24 0,24 Végezzük

el a ellenőrzést a váltóleszámítolás képletének felhasználásával: 2.000000 × 45 × 24 2.160000 ---------------------------- = ------------------ = 60.000 Ft 360 × 100 36 15. Egy vállalkozás 72 MFt hitelt vett fel egy kereskedelmi banktól, melynek feltételei a következők: - szerződés-kötéskori fix kamatláb 16%, - a hitel törlesztési ideje 10 év, - a visszafizetés évente egyenlő részletekben történik. Számítsa ki, hogy a, mennyi az évi törlesztő részlet összege, amely a kamatösszeget és a hiteltörlesztést egyaránt tartalmazza b, az első évi törlesztő részletben milyen összegű a kamat, és milyen összegű a tőketörlesztés Megoldás: a) A hitel összege Annuitás jelenértéke = -----------------------Annuitás faktor AF 10 év 16% mellett = 4,833 72.000000 Az évi törlesztő részlet =----------------- = 14897.579 4,833 b, Az első törlesztő részletben - a kamat összege 72.000000 × 0,16 = - a hitel (a tőke) törlesztése a

különbség = az első évi kamat és törlesztés összege 11.520000 Ft 3.377579 Ft 14.879579 Ft 41 Váltóval kapcsolatos számítások 1. Valamely eladónak a váltó lejárata előtt 50 nappal szükséges a váltón szereplő összegre Az összeg 2,4 millió Ft. A bank a felkínált váltót befogadja, és a leszámítolásnál 25%-os kamatszintet alkalmaz. A számításnál az egyéb kötelezettségektől (kezelési költség stb) tekintsen el, és határozza meg, hogy mekkora a levont kamat és a kereskedő rendelkezésére bocsátott pénz, ha a váltó kibocsátásától számítottan három hónap múlva jár le. Megoldás: N × n × r (%) Kamat = ------------------360 × 100 ahol: N = a váltón szereplő összeg, n = a lejáratig még hátralévő napok száma, azaz a leszámítolás és a lejárat közötti intervallum, r (%) = kamatláb A levonandó kamat összege: 2.400000 × 50/360 × 25/100 = 83333,3 Ft A kereskedő rendelkezésére bocsátott pénzösszeg:

2.400000 – 83333 = 2316667 Ft 2. Valamely külkereskedő 180 napos váltót fogadott el vevőjétől, USD-re kiállítva A váltón 480.000 USD szerepel, a bank által alkalmazott kamatláb 14% A bank egyszeri kezelési költségként 1000 USD-t számít fel. A külkereskedő cég a lejárat előtt 120 nappal kéri a váltó leszámítolását a banktól .A bank a váltót az MNB felé továbbértékesíti, ahol a bank 12% kamatlábbal számol, a továbbértékesítés 90 nappal a lejárat előtt történik. Az MNB a banknál eltekint az egyszeri kezelési költség alkalmazásától. Határozza meg, hogy: - mekkora a váltó összegéből levont kamat, - mennyit fizetet a bank a külkereskedőnek, - mennyi jegybankpénz került forgalomba, - mekkora volt végül a bank haszna. 42 Megoldás: A váltóból levonható kamat: N × n × r(%) 480.000 × 120 × 14 806.400 ----------------- = --------------------------- = -------------- = 22.400 USD 360 × 100 360 × 100 36 A bank a

külkereskedőnek fizet: P 0 = 480.000 – (22400 + 1000) = 456600 USD Rediszkontáltatás: N × n × r (%) 480.000 × 90 × 12 518.400 ----------------- = ----------------------- = ------------ = 14.400 USD, illetve Ft 360 × 100 360 × 100 36 A forgalomba kerülő jegybankpénz: P 0 = 480.000 – 14400 = 465600 USD forint ellenértéke A bank haszna, amely a külkereskedőtől vásárolta a váltót: Levont a külkereskedőtől: 22.400 + 1000 = 23400 USD összeget, és Kifizetett az MNB-nek 14.400 USD-t Azaz tiszta nyeresége: (23.400 – 14400) = 9000 USD 3. Mennyit ér ma az egy év múlva esedékes, 100 000Ft-ra szóló váltó, ha diszkontlábat alkalmaz? a bank 10% Megoldás: P 0 = N (1 – n’ d n ) P 0 = 100 000 (1 – 0,1) = 90 000 Ft-ot. 4. A Zéno Kft számlavezető bankjánál leszámítoltatja váltóját A váltó összege 1 millió forint, a leszámítolási kamatláb 15%, a leszámítás és a váltó esedékessége közötti idő 150 nap. Mennyiért vásárolja

meg a bank a kft váltóját? Megoldás: Leszámítolási kamat = (A váltó összege × Kamatnapok száma × Éves leszámítolási kamatláb) / (360 × 100) 1 000 000 × 150 × 15 ---------------------------- = 62 500 Ft 360 × 100 A váltó összege Leszámítolási kamat A bank fizet a váltóért 1 000 000 Ft - 62 500 Ft 937 500 Ft 43 5. A Laza Bt bankjánál leszámítoltatja váltóját A váltó összege 1090000 forint A váltót április 1-jén állították ki, a váltó esedékességének napja június 30. A váltó leszámítolás napja április 15. A bank által alkalmazott leszámítolási kamatláb 25% Számítsa ki a leszámítolási váltókamat összegét és a leszámítolt váltó összeget. A bank által leszámítolt váltót a bank a Magyar Nemzeti Banknál május hó 10-én viszontleszámítoltatja. A viszontleszámítolási kamatláb 20%. Állapítsa meg: a, a kamatnapok számát, b, a viszontleszámítolási váltókamat összegét, c, a

viszontleszámítolt váltóösszeget, d, a váltót viszontleszámítolásra benyújtó kamatjövedelmét. Megoldás: Leszámítolt váltóösszeg: 1 090 00 × 76 × 25 Leszámítolási kamat= ----------------------------- = 57 528 360 × 100 A váltó összege Leszámítolási kamat A bank fizet a váltóért 1 090 000 Ft - 57 528 Ft 1 032 472 Ft 1 090 000 × 51 × 20 Viszontleszámítolási kamat = ------------------------------- = 30 883 Ft 36 000 Viszontleszámítolt váltóösszeg: A váltó összege Viszontleszámítolási váltókamat Viszontleszámítolt váltóösszeg A bank kamatjövedelme: A váltó leszámítolásakor kamatbevétel Viszontleszámítolási váltókamat Kamatjövedelem 1 090 000 Ft - 30 883 Ft 1 059 117 Ft 57 528,00 Ft - 30 883,00 Ft 26 645,00 Ft 6. Számítsa ki, hogy évi 25%-os hitelkamat milyen mértékű diszkontkamatlábnak felel meg (n’ = 1) Megoldás: 360 × 100 × hitelkamatláb Diszkontkamatláb =

------------------------------------------------------(360 × 100) + (hitelkamatláb × 360) 44 360 × 100 × 25 900 000 Diszkontkamatláb = ------------------------------------ = ------------- = 20% (360 × 100) + (360 × 25) 45 000 7. Határozza meg, hogy évi 24%-os diszkontkamatláb milyen mértékű hitelkamatlábnak felel meg. Megoldás: 360 × 100 × diszkontkamatláb Hitelkamatláb = -------------------------------------------------------(360 × 100) – (360 × diszkontkamatláb) 360 × 100 × 24 864 000 Hitelkamatláb = ------------------------------------ = ----------------- = 31,58% (360 × 100) – (360 × 24) 27 360 Próba: 360 × 100 × 31,58 1 136 880 Diszkontkamatláb = ---------------------------------- = ---------------- = 24% (360 × 100) – (360 × 31,58) 47 369 Ellenőrzés: A feladat ellenőrzése során a hitelkamat meghatározására kerül sor, így a képlet egy kissé átalakítva felhasználható: 360 × 100 × hitelkamat Diszkontkamat =

------------------------------------------(360 × 100) + (360 × hitelkamat) azaz számokban: 360 × 100 × 31,578947 -------------------------------------------- = 23,999 azaz 24% (360 × 100) + (360 × 31,578947) 8. Egy 72 nap múlva esedékes váltót, amelynek összege 800000 Ft eladtak 760000 Ft-ért Számítsuk ki: a) a leszámítolási (diszkont) kamatlábat, b) a hitelkamatlábat. Megoldás: Névérték = 800 000 Ft A váltó jelenértéke (vételi ár) (PV) = 760 000,0 Ft n’ = 72 /360 = 0,2 év 40 000 360 Diszkont kamatláb = ---------------- × ------------- = 0,25 ≈ 25% 800 000 72 45 Ellenőrizzük számításunkat: 800 000 × 72 × 25 Diszkont kamat összege = -------------------------- = 39 999,99 ≈ 40 000,0 Ft 36 000 (800 000 – 760 000) 360 hitelkamatláb = -------------------------- × --------- = 0,2631575 ≈ 26,3% 760 000 72 Ellenőrizzük számításunkat: 760 000 × 72 × 26,31575 Névleges kamatláb összege = ------------------------------ = 39 999,94

36 000 ≈ 40 000,0 Ft 9. Valamely vevőnek árut értékesít egy cég 8 millió Ft összegben, átutalással történő kiegyenlítésre. A fizetés időpontja a számla keltétől számított 45 nap A vevő a 15 napon felajánl az eladó részére 7,6 millió Ft-ot. Elfogadja-e a cég a vevő ajánlatát, ha a pénzpiaci kamatláb 24%? Az év napjait 365 nappal vegye figyelembe. Megoldás: A követelés a számla keltétől számítottan a 45. napon behajtható, de a 15 napon kaphat a cég 7,6 millió Ft-ot. A kiegyenlítésig még 30 nap van hátra, a diszkontkamat 24%. Egy napra meghatározott kamat: 0,24 / 365 = 0,0006575 A követelés összege a lejárat előtti 30. napon: 8.000000–(8000000×30×0,0006575)=8000000–157800= 7842200 Ft Veszteség = 7.842200 - 760000 = 242200 A cég az ajánlatot nem fogadja el, mivel veszítene 242.200 Ft-ot Ez a feladat a váltó diszkontálása szerint is megoldható, az ellenőrzés erre bizonyságot ad: 8.000000 × 30 × 24 157.800 =

--------------------------365 × 100 A kapott eredmény 157.808,2 Ft, ami a kamatszámítás során megjelenő kerekítési hibából ered. 46 A kötvények árfolyam és hozamszámításával kapcsolatos feladatok 1. Valamely kötvény névértéke 5000 Ft A visszafizetésig hátra van még 4 év Határozza meg a kötvény nettó és bruttó árfolyamát, ha a kamatláb 20%, mely azonos az elvárt hozammal. Megoldás: Nettó árfolyam: 1000 1000 1000 1000 + 5000 ------------ + ------------ + --------- + ------------------ = 1,21 1,22 1,23 1,24 4999 Ft Bruttó árfolyam: 1000 1000 1000 1000 + 5000 1000 + --------- + ---------- + --------------- + ----------------- = 1,22 1,23 1,24 1,21 5999 Ft 2. Valamely társaság kötvénykibocsátása a következőképpen történik: - névérték 50 000,-Ft - névleges hozam 14%, - elvárt hozam 16%, - lejárati idő 6 év. A társaság a kötvény névértékét a lejárat időpontjában egy összegben fizeti vissza. Határozza meg a

kötvény egyszerű hozamát Megoldás: P 0 / a kötvény vételi árfolyama / = Kamat x AF + N x DF 7 000 × 3,685 + 50 000 × 0,41 = 46 295 Ft. 7000 Egyszerű hozam = ------------------ = 0,1512 15,12% 46 295 47 3. Valamely kötvényről a következő adatokat ismerjük - futamidő 15 év, - éves névleges kamat 40 000,-Ft. A kamatokat fix összegben év végén, a névértéket pedig a lejárat időpontjában egy összegben fizeti a társaság. Határozza meg, hogy a) mekkora a kötvény névértéke, ha a kibocsátáskor a hasonló kötvények hozama 16%, és a kötvény árfolyama 244 600,-Ft. b) Határozza meg a kötvény árfolyamát a 10. év végén, ha tudjuk, hogy az elvárt hozam 20%-ra nőtt. Megoldás: a) b) 244 600 = 40 000 × 5,575 + x 0,108 x = 200 000 = névérték Árfolyam = 40 000 × 2,991 + 200 000 × 0,402 = 200 040 Ft. 4. Határozza meg a kötvény elaszticitását, ha ismerjük a következő adatokat:: névérték 80 000,-Ft, árfolyamérték 88%,a

kötvény fix kamata 14%,a vizsgált időpontban a piaci kamat 16%. Megoldás: A számítás a következő képlet alapján történhet: P1 ------ - 1 P0 E = -------------r1 ----- -1 r0 P 1 = tárgyidőszaki árfolyam P 0 = kötvény névértéke r 1 = tárgyidőszaki piaci kamat r 0 = fix kamat A kapott eredmény pedig azt mutatja, hogy a kamattényező egységnyi (1%-nyi) változása az árfolyam alakulásában milyen változást eredményez. 70 400 -------- - 1 80 000 E = -----------------0,16 -------1 0,14 0,12 = ------------------------ = - 0,840 + 0,1428 48 5. Ismert a kötvény névértéke, ez 60 000, -Ft és tudjuk az árfolyam értékét, ami 66 000,-Ft A névleges kamatszintet a kifizetett kamat mutatja, ami 9000,-Ft. Határozza meg a névleges kamat és az egyszerű kamat mértékét. Megoldás: 9 000 r E = -------------- × 100 = 13,6% 66 000 9 000 r N = ------------ × 100 = 15% 60 000 6. Határozza meg a nettó árfolyamát annak a kötvénynek, amelynek

névleges kamata 20% évenként, a kamatfizetés időpontja június 30, és a kötvény jegyzett árfolyama adott év augusztus 31-én 92. A felhalmozódott időarányos kamat számításánál évi 365 nappal és a névleges kamatlábbal számoljon. Megoldás: Felhalmozódott kamat = Egy napi kamat × kamatnapok 20 = -------- × 62 = 3,40 % 365 Kamatnapok = július hó 31 nap augusztus hó 31 nap együtt 62 nap A felhalmozódott időarányos kamat ismeretében a Nettó árfolyam = 92,00 % – 3,40% = 88,60 % 7. Valamely kötvény március 31-én fizet 18% kamatot, az év napjait 360 nappal vegye figyelembe. Határozza meg a kötvény bruttó árfolyamát, valamint a felhalmozódott kamatot 130 nappal a kamatfizetés követően, ha a nettó árfolyama 92%. Értelmezze azt is, hogy mi okozza, hogy a kötvény nettó árfolyama alacsonyabb, mint a névértéke. Megoldás: Bruttó árfolyam = nettó árfolyam – felhalmozódott kamat A nettó árfolyamot ismerjük, ez 92% A bruttó

árfolyamot kiszámítjuk: 18% Felhalmozott kamat = ------- × 130 = 6,5% 360 A bruttó árfolyam tehát: 92% + 6,5% = 98,5% A nettó árfolyam azért alacsonyabb a névértéknél, mert a piaci kamatszint magasabb a kötvény névleges kamatszintjénél. 49 8. Valamely cég 100 000 Ft névértékű kötvényt bocsátott ki 11%-os névleges kamatozással A hasonló kockázatú kötvények hozama a tőkepiacon jelenleg 15%. A kötvények névértékét egy összegben a lejárat napján fizetik vissza. Határozza meg, hogy a kötvény árfolyama mekkora, ha a lejárat időpontja: a) 5 év múlva, b) 10 év múlva, c) 20 év múlva. Megoldás: a) P 0 = 11 000 × 3,352 + 100 000 × 0,497 = 36 872 + 49 700 = 86 572 Ft. b) P 0 = 11 000 × 5,019 + 100 000 × 0,247 = 55 209 + 24 700 = 79 909 Ft. c) P 0 = 11 000 × 6,259 + 100 000 × 0,053 = 68 849 + 5 300 = 74 149 Ft. P 0 = kötvény árfolyama 9. Határozza meg a következő adatok alapján a kötvény árfolyam - kamatrugalmasságát: -

névérték (N) 25 000,-FT - egyszerű hozam (r e ) 10%, - piaci kamatláb (r) 15%, - árfolyam (P 0 ) 20 000,-Ft. Megoldás: Egyszerű hozam Ft – ban = 20 000 × 0,1 = 2 000 2000 Névleges hozam % -ban = ------------- = 0,08 25 000 8% 20 000 – 25 000 0,15 – 0,08 Elaszticitás = ------------------------: ---------------- = - 0,22 857 25 000 0,08 10. Megvenné-e a „Rózsa” Rt tízéves futamidejű speciális konstrukciójú kötvényét, amelyre évenként 20 000 Ft kifizetését ígéri a kibocsátó. A kötvény hét év múlva jár le, a legközelebbi kifizetés éppen egy év múlva esedékes, vagy a vételre szánt összeget inkább a „Remény” Banknál kötné le tartós betétként, ahol – a negyedévenkénti tőkésítés következtében – jobban járna, mert a hetedik év végén 223 995,-Ft-ot kapna kézhez. A kötvénytől elvárható hozam évi 15%? Mekkora évenkénti névleges kamatot ígér a Remény” Bank betétje? 50 Megoldás: 20 000 1

----------- × (1 - -------- ) = 83 208 0,15 1,157 83 208 × (1 + r/4)4×7 = 223 995 (1 + r/4)28 = 2,692 1 + r/4 = 1,036 r = 0,144 azaz 14,4% = Névleges kamat Effektív kamat: (1 + 0,144/4)4 = 1,152 azaz 15,2%. 11. Egy 5 éve kibocsátott 10 év futamidejű, 20% éves névleges kamatlábú kamatszelvényes, a futamidő alatt egyenletesen törlesztő, 100 000 Ft névértékű kötvénytől a befektetők 20%-os hozamot várnak el. a, Mekkora a kötvény reális árfolyama közvetlenül a mostani kamatfizetés után? b, Hogyan változik a kötvény árfolyama, ha a befektetők által elvárt hozam 25%-ra nő, illetve 15%-ra csökken? Megoldás: Idő (t) 1 2 3 4 5 a) Névérték a t-edik évi Tőketörlesztés előtt (N t ) 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 Kamat (K t ) k = 20% 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 Tőketörlesztés (T t ) 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 Kötvény pénzáramlása (C t ) 20 000 18 000 16 000 14 000 12 000 DF (t, 20) PV (C t ) 0,833 16 660 0,694 12

492 0,579 9 264 0,482 6 748 0,402 4 824 P 0 = 49 988 Ft □ 50 000 Ft vagy n Ct P 0 = ∑ --------------- = 20 000/1,21 + 18 000/1,22 + 16 000/1,23 + t=1 (1+r)t + 14 000/1,24 + 12 000/1,25 = 50 000 Ft Azaz a kötvény árfolyama 20%-os piaci kamatláb mellett 50 000 Ft, Azaz a fennálló névérték 100%-a. 51 12. Egy 5 év futamidejű kamatszelvényes kötvényt 2 éve bocsátottak ki éves névleges kamatlába 20%, lejáratkor egy összegben törleszt, névértéke 200 000 Ft. Mekkora a kötvény reális árfolyama közvetlenül a mostani kamatfizetés után, ha a befektetők a hasonló feltételű 1, 2, 3, 4, és 5 éves befektetésektől rendre 19%, 20%, 21%, 21,5% és 22% hozamot várnak el? Megoldás: Idő (t) 1 2 3 Névérték a t-edik évi Tőketörlesztés előtt (N t ) 200 000 200 000 200 000 Kamat (K t ) k = 20% 40 000 40 000 40 000 Tőketörlesztés (T t ) 0 0 200 000 Kötvény rt pénzáramlása (%) DF(t,r) PV(C t ) (C t ) 40 000 19 0,840 33 600 40 000 20 0,694

27 760 240 000 21 0,564 135 360 P 0 = 196 720 Ft 13. Egy 5 év futamidejű, annuitásos törlesztésű kötvényt 2 éve bocsátották ki, éves névleges kamatlába 20%, névértéke 200 000 Ft. Mekkora kötvény elméleti árfolyama közvetlenül a mostani kamat fizetés után, ha a befektetők a hasonló feltételű 1, 2, 3, 4, és 5 éves befektetésektől rendre 19%, 20%, 21%, 21,5% és 22% hozamot várnak el? Mekkora a fennálló névérték? Megoldás: N 200 000 200 000 C = ----------- = -------------- = ----------------- = 66 867 Ft AF(n e ,k) AF(5,20) 2,991 Idő (t) 1 2 3 Kötvény Pénzáramlása (C) 66 867 66 867 66 867 rt (%) 19 20 21 DF(t, r) PV (C) 0,840 56 168 0,694 46 406 0,564 37 713 P 0 = 140 287 Ft Fennálló névérték=C ∙ AF(n,k)=66 867 ∙ AF(3,20)=66 867 ∙ 2,106= 140 822 Ft 14. Lehet-e egy kamatszelvényes kötvény bruttó árfolyama 110%, ha a következő kamatfizetés 238 nap múlva lesz, a kötvény éves névleges kamatlába 18%, és a

befektetők a kötvénytől 20% hozamot várnak el. 52 Megoldás: Utolsó kamatfizetés óta eltelt idő = 365 – 238 = 127 nap utolsó kamatfizetés óta eltelt napok száma Felhalmozódott kamat = k ∙ ---------------------------------------------------18 ∙ 127 / 365 = 6,26% 365 P nettó = P bruttó – felhalmozódott kamat = 110 – 6,26 = 103,74% Mivel a kötvény éves névleges kamatlába kisebb, mint a befektetők elvárt hozama, ezért a kötvény nettó árfolyamának 100% alatt kell lennie, így a bruttó árfolyamnak 106,26%-nál kisebbnek kell lennie. 15. Egy 6 éve kibocsátott 10 év futamidejű, 15% éves névleges kamatozású kamatszelvényes kötvényt kibocsátója a futamidő alatt egyenletesen törleszt. A kötvény névértéke 200 000 Ft, a befektetők a kötvénytől 18%-os hozamot várnak el. a, Mekkora a kötvény reális árfolyama közvetlenül a mostani kamatfizetés előtt? b, Mekkora a kötvény nettó árfolyama? Megoldás: Idő (t) 0 1 2 3 4

Névérték a t-edik évi tőketörlesztés előtt (N t ) 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 Kamat (K t) k = 15% 15 000 12 000 9 000 6 000 3 000 TőkeTörlesztés (T t ) 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 Kötvény pénzáramlása (C t ) 35 000 32 000 29 000 26 000 23 000 DF(t, 18) PV (C t ) 1,00 35 000 0,847 27 104 0,718 20 822 0,609 15 834 0,516 11 868 P 0 = 110 628 Ft vagy n Ct P 0 = ∑ -------------t=0 (1 + r t ) t = 35 000+32 000/1,181+29 000/1,182+26 000/1,183+23 000/1,184= = 110 628 Ft A kötvény bruttó árfolyama 18%-os piaci kamatláb mellett 110 628 Ft (110,628%). b, Az utolsó kamatfizetés óta eltelt napok száma=365 nap Utolsó kamatfizetés óta eltelt napok száma Felhalmozódott kamat= k ∙ ------------------------------------------------------- = 15% 365 P nettó = P bruttó – Felhalmozódott kamat = 110,628 – 15,000 = 95,628% A kötvény nettó árfolyama 95,63%.-a a névértéknek 53 16. Egy 18% éves névleges kamatlábú, 5 éve kibocsátott

15 év futamidejű, 500 000 Ft névértékű kötvénytől a befektetők 16% hozamot várnak el. a, Mekkora a kötvény reális árfolyama közvetlenül a mostani kamatfizetés után, ha a kötvény kamatszelvényes és lejáratkor egy összegben törlesztik? b, Mekkora a kötvény reális árfolyama közvetlenül a mostani kamatfizetés után, ha a kötvény törlesztő részlete a futamidő alatt állandó? Megoldás: a, A kötvény kamatszelvényes, lejáratkor egy összegben törlesztik, n = 15 – 5 = 10 év, árfolyama P 0 = k ∙ N ∙ AF(n, r) + N ∙ DF(n, r) = 0,18 ∙ 500 000 ∙ AF(10, 16) + 500 000 ∙ DF(10, 16) = 90 000 ∙ 4,833 + 500 000 ∙ 0,227 = 548 470 Ft A kamatszelvényes, lejáratkor egy összegben törlesztő kötvény árfolyama 16%-os piaci kamatláb mellett 548 470 Ft (109,694%). b, A kötvény annuitásos, ezért az állandó nagyságú részlet N 500 000 C = --------------- = ------------------ = 500 000 / 5,092 = 98 193 Ft AF(n e , k) AF(15, 18) A

hátralévő futamidő n = 10 év, a kötvény árfolyama ezért P 0 = C ∙ AF(n, r) = 98 193 ∙ AF(10, 16) = 98 193 ∙ 4,833 = 474 567 Ft. Ahhoz, hogy a kötvény árfolyamát a fennálló névérték százalékában tudjuk megadni, ki kell számolni a fennálló névértéket: N t = C ∙ AF(n, k) = 98 193 ∙ AF(10, 18) = 98 193 ∙ 4,494 = 441 279 Ft Az annuitásos kötvény árfolyama 16%-os piaci kamatláb mellett 474 567 Ft, (107,54%). 17. Egy 20% éves névleges kamatozású, 7 éve kibocsátott 10 év futamidejű, 400 000 Ft névértékű kötvény kibocsátója a tőkét az utolsó két évben két egyenlő részletben törleszti. A kötvénytől a befektetők 18% hozamot várnak el. A kötvény kamatát éppen most fizetik ki. Mekkora a kötvény átlagideje? Megoldás: Idő T Névérték Nt Kamat Kt Tőketörlesztés T t 1. 2. 3. 400 000 400 000 200 000 80 000 80 000 40 000 0 80 000 0,847 67 760 200 000 280 000 0,718 201 040 200 000 240 000 0,609 146 160 P 0 =414

960 100% 2,1889 év Ct DF(t, 18) PV(C t ) 54 A kötvény hátralévő átlagideje 2,19 év. 55 1*67 790 + 2201 040 + 3146 160 2,19 = ---------------------------------------------------414 960 18. Egy kötvényre kibocsátója negyedévente(I 1, IV 1, VII 1, X 1) fizet évi 20% kamatot. Szeptember 15-én a kötvény bruttó árfolyama 102,16%, a kötvény elvárt hozama 22%. Mennyi a kötvény nettó árfolyama? Megoldás: Az utolsó kamatfizetés óta eltelt idő (júl. 1-szept 15) = = 31 + 31 + 14 = 76 nap Utolsó kamatfizetés óta eltelt napok száma Felhalmozódott kamat = k ∙ ----------------------------------------------------------- = 365 76 = 20 ∙ ------ = 4,16% 365 P nettó = P bruttó – Felhalmozódott kamat = 102,16 – 4,16 = 98% A kötvény nettó árfolyama szeptember 15-én 98%. 19. Egy 4 éve kibocsátott, 10 év futamidejű kamatszelvényes kötvényt lejáratkor egy összegben törlesztenek, névleges kamatlába évi 16%, bruttó árfolyama

közvetlenül a kamatfizetés után 95,5%. A befektetők a kötvénytől 18,4% hozamot várnak el Határozza meg a kötvény egyszerű hozamát és korrigált hozamát! Megoldás: Közvetlenül a kamatfizetés után vagyunk, ezért P bruttó =P nettó = 95,5% k Egyszerű hozam = ---------- = 16 / 95,5 = 0,1675 = 16,75% P nettó 100 – P nettó 100 – 95,5 --------------------------------k P nettó 95,5 Korrigált hozam = ------- + ------------------- = 0,1675 + ------------ = P nettó n 6 = 0,1675 + 0,0079 = 0,1754 = 17,54% 56 20. A Róna rt 3 éves futamidejű, 15%-os fix kamatozású, 80 000,-Ft-os névértékű kötvényét pontosan egy éve 78 000,-Ft-os kibocsátási árfolyamon hozták forgalomba. a) Mennyit fizetne a kötvényért a mai kamatfizetés előtt, ha az elvárható hozam 16%-os, és a törlesztés egy összegben, a futamidő végén esedékes? b) Mekkora a kötvény hátralévő átlagos futamideje (duration)? Megoldás: a) Bruttó árfolyam: 12 000 80 000 + 12

000 12 000 + ------------- + --------------------- = 90 716 Ft 1,16 1,162 Nettó árfolyam = bruttó árfolyam – felhalmozódott kamat azaz 90 716 – 12 000 = 78 716 FT b) Hátralévő átlagos futamidő (duration) 1 × 10345 + 2 × 68371 147087 d = ------------------------------ = -------------- = 1,87 év 78716 78716 21. A Bogdán Rt 4 éves futamidejű, 16%-os fix kamatozású, 50 000,-Ft-os névértékű kötvényét pontosan kettő éve 47 000,-Ft-os kibocsátási árfolyamon hozták forgalomba. a) Mennyit fizetne a kötvényért a mai kamatfizetés előtt, ha az elvárható hozam 18%-os, és a törlesztés évenként egyenletesen történik. b) Mekkora a kötvény hátralévő átlagos futamideje (duration)? Megoldás: A kötvénnyel kapcsolatos pénzáramok: Évek 0 1 2 3 4 Tőketartozás 50 000 37 500 25 000 12 500 Kamat Törlesztés 8 000 6 000 4 000 2 000 12 500 12 500 12 500 12 500 Teljes cash flow - 47 000 20 500 18 500 16 500 14 500 a) Bruttó árfolyam: 16 500

14 500 6 000 + ------------ + ------------- = 30 397 Ft 1,18 1,182 Nettó árfolyam = Bruttó árfolyam – Felhalmozódott kamat azaz 30 397 – 6 000 = 24 397 Ft b) Hátralévő átlagos futamidő (duration) 1 × 13983 + 2 × 10414 34811 d = --------------------------------- = ------------- = 1,43 év 24397 24397 57 22. Egy két év múlva lejáró 20 000,-Ft névértékű, kamatszelvény nélküli kötvénynek jelenleg 14 863,-Ft az árfolyama. Mekkora a kétéves futamidejű kockázatmentes hitelek éves hozama. Milyen kibocsátási árfolyamon hozták forgalomba a fenti kötvényt pontosan egy évvel ezelőtt, hogy a hároméves kockázatmentes hitelek éves hozama a kétévesekével azonos? Megoldás: a) 20 000 ----------- = 14863 (1 + r)2 (1 + r)2 = 20 000 / 14 863 = 1,3456 (1 + r) = 1,16 azaz az éves hozam 16% b) 20 000 ----------- =12 813 1,163 vagy 14863 ---------- = 12813 1,16 23. Valamely kötvény esetében a kamatfizetés minden év végén, tőketörlesztés

pedig az utolsó kamatfizetéssel egy időben történik. A rendelkezésre álló információk a következők: névérték 20 000,-Ft,vételi árfolyam 18 702,-Ft, piaci kamatláb 18%,futamidő 3 év. Határozza meg a kötvény árfolyamát az első kamatfizetés előtt 1 nappal, Megoldás: 18 702 = x ∙ 2,174 + 20 000 × 0,609 x = 3 000 3000 Névleges kamatláb = --------------- = 0,15 15% 20 000 3 000 23 000 Árfolyam = 3 000 + ------------- + ------------- = 22 060,6 1,18 1,182 A részvények árfolyam és hozam számításával kapcsolatos feladatok 1. Valamely befektető részvényt szeretne vásárolni, amelyről a következő információkat ismeri: A részvény jelenlegi árfolyama 5 800 Ft, a következő évi várható osztalék 58 464 Ft. A részvénytársaság azt tervezi, hogy az osztalékpolitikájában tartósan 50-50%-os megosztást érvényesít. A saját tőke hozama 9% - Határozza meg, hogy amennyiben a cég az elhatározott osztalékpolitikához igazodik,

milyen osztaléknövekedésre számíthat a befektető? - A befektetések értékelésekor hány %-os kamatlábat lenne célszerű alkalmazni, ha azok kockázatai nagyjából megegyeznek az eddigi kockázattal? Megoldás: b (osztalékráta) = 0,5 1-b (újrabefektetési hányad) = 0,5 ROE = 19% g = ROE × (1-b) g = 19 × 0,5 = 9,5% az éves növekedési ütem DIV 1 = 464,-Ft P 0 = 5800,-Ft g = 9,5% DIV 464 r E = ---------- + g = ----------- + 0,095 = 0,175 5800 P0 2. Valamely részvénytársaság ez évi adatai a következők: - saját tőke hozama 22%, - egy részvényre jutó nyereség 1200 Ft, - hosszútávra meghatározottan az osztalékfizetési hányad 46%, - a befektetők által elvárt hozam 22%. Az ezévi osztalékot az elmúlt napon fizették ki. Mekkora a saját tőkére jutó nyereség és növekedési ütem (g), a következő évi osztalék (DIV 1 ) a jelenlegi részvényárfolyam (Po)? Megoldás: osztalékfizetés (b) = 0,46 újrabefektetés (1-b) = 0,54 g = ROE × (1-b) g

= 22 × 0,54 = 11,88% DIV 0 = 1 200 × 0,46 DIV 0 = 552 DIV 1 = DIV 0 × g = 552 × 1,1188 = 617,5776 Ft DIV 1 617,5776 Po = -------- = ------------------- = 6102,5454 FT r–g 0,22 – 0,1188 59 3. Valamely társaság részvényenkénti nyeresége adott évben 2500 Ft Az osztalékfizetési hányad 45%, a befektetők által elvárt hozam 22%. Mekkora a részvények becsült árfolyama (Po), az árfolyam/nyereség arány (Po/E 1 ), ha figyelembe vesszük, hogy a növekedési ütem becsült értéke 5%. Megoldás: 1125 × 1,045 1175,625 Po = --------------------- = --------------------- = 6717,86 0,22 – 0,045 0,175 2 500 × 0,45 = 1 125 Po 6717,86 6717,86 ---- = ------------------- = --------------- = 2,57 E1 2500 × 1,045 2612,5 4. Valamely befektető részvény szeretne vásárolni Ismeri a következő feltételeket: - a részvény várt hozama 18%, - a részvény várható osztaléka 10 DEM / részvény, - a becsült növekedési ütem 6%, - a jelenlegi árfolyam 240 DEM.

Határozza meg a számított árfolyamot. Megoldás: A számított árfolyam információt ad a vevő számára a döntéshozatalkor, meghatározása a következő: DIV 1 + P 1 P 0 = -------------1+r ahol: P 0 = a jelenlegi árfolyam P 1 = a számított árfolyam DIV = az osztalék r = a várt hozam Behelyettesítve az ismert adatokat: 10 + P 1 240 = ----------1 + 0,18 282,2 = 10 + P 1 273,2 = P 1 60 5. Valamely részvényre vonatkozóan a következő adatokat ismerjük: - kockázatmentes kamatláb 12%, - piaci portfólió hozama 14%, - osztaléknövekedési ütem évenként 5%, - a részvény elvárt hozama 16%, - árfolyam jelenleg 8400,-Ft. Határozza meg, hogy mekkora osztalékot fizetett ebben az évben a részvény? Megoldás: DIV 1 P 0 = ------------r–g P 0 x (r – g) = DIV 1 8 400 × (0,16 – 0,05) = 924 = DIV 1 a következő osztalék tehát a számítás eredményeként 924,-Ft. Ebből meghatározzuk az ez évi osztalék nagyságát a következőképpen: DIV 1 DIV 0

= -------(1 + r)1 behelyettesítve a rendelkezésre álló adatokat: 924/1,05 = 880Ft 6. Egy befektető Matáv részvényt akar vásárolni egyéves időtartamra A Matáv részvény árfolyama jelenleg 6 000 Ft. A befektető úgy kalkulál, hogy egy év múlva körülbelül 100 Ft osztalékot vehet majd fel, az osztalék felvétele után várható árfolyam 7 200 Ft körül alakul, ezen az áron majd eladja a részvényt. Az elemzők szerint az ilyen típusú befektetéseknél 20%-os elvárt hozammal kell számolni. Megéri-e a befektetés? Mekkora hozamot jelenthet a részvény megvétele és egy év múlva történő értékesítése? Hány forintos áron érdemes megvenni? Megoldás: P 0 = 6 000, P 1 (ex div) = 7 200, DIV 1 = 100 (7 200 + 100) / 6 000 – 1 = 21,67% A részvényt tehát érdemes megvásárolni, hiszen a várható hozam nagyobb, mint amit a piac a hasonló befektetésektől elvár. 7. Tételezzük fel, hogy a Richter részvény a következő évben várható

osztaléka 100Ft lesz, és ez az érték évről évre 18%-kal fog növekedni, míg az elvárt hozam marad évi 20%. Mekkora a reális árfolyam? Megoldás: DIV 1 P 0 = ------------- = 100 / (0,2 – 0,18) = 5 000 Ft. (r – g) 61 8. Egy részvény idei osztalékát, 60 Ft-ot holnap fogják kifizetni a részvény tulajdonosának Ez az érték az előrejelzések szerint évi 12%-kal fog növekedni. Az elvárható éves hozam 15%. Mekkora a reális árfolyam? Megoldás: DIV 0 = 60 Ft. DIV 1 = DIV 0 ∙ (1 + g) = 60 ∙ 1,12 = 67,2 Ft A részvény reális árfolyamának tartalmaznia kell a holnap felvehető osztalékot is, hiszen már ez is az új tulajdonosé lesz. A reális árfolyam tehát: DIV 1 P 0 = -------- + DIV 0 = 67,2/(0,15 – 0,12)+60 = 2 240+60 = 2 300 Ft. (r – g) 9. Ha nem tudja egy részvény névértékét, akkor az alaptőke, az adózás utáni eredmény és az egyes részvényre jutó eredmény segítségével ki tudjuk számítani. Például a Brau Union

részvényeire az adatok: Alaptőke 2 208,8 Ft 1997. évi adózott eredmény 619 Ft Egy részvényre jutó eredmény 280 Ft Mekkora a részvények névértéke? Megoldás: A társaság részvényeinek száma = 1997. évi eredmény ------------------------------------ = 619 MFt / 280 Ft = 2,2107 M db Egy részvényre jutó eredmény Egy részvényre névértéke = Alaptőke --------------------- = 2 208,8 MFt / 2,2107 Mdb = 999,14 Ft Részvények száma kb.1000 Ft 10. A FŐVKER Rt A közelmúltban jelentette be, hogy a következő időszakban részvényenként 100 Ft osztalékot fizet. Az elemzők várakozásai alapján a vállalat az elkövetkező három évben fokozatosan vissza fog térni az osztalék korábbi, 300 Ft-os szintjéhez. Az osztalék az első, a második és a harmadik évben várhatóan 100, 200, ill 300 Ft lesz. Ezt követően az osztalék várhatóan évi 6%-kal növekszik A részvénytől elvárt hozam hosszú távon évi 11%. Mekkora a részvény árfolyama? 62

Megoldás: A részvény árfolyama a végtelen osztaléksozorat jelenértéke. Az osztaléksorozat elemei: Év 1 2 3 4 5 . Pénzáramlás (Osztalék) 100 200 300 300 (1 + g) 300 (1 + g)2 . Az osztalék tehát a 3. évtől kezdve növekvő tagú örökjáradékot képeznek; amelyek növekedési üteme: g = 6% Ennek az örökjáradéknak az értéke a 2. évben P 2 = 300 / (0,11 – 0,06) = 6 000 Ezt visszadisztkontálva a 0. évre: P 0 = 6 000 / 1,112 = 4 869,73 Az 1. és 2 évi osztalék jelenértéke: PV = 100 / 1,11 + 200 / 1,112 = 90,09 + 162,32 = 252,41 A teljes osztaléksorozat jelenértéke az előbbi jelenértékek összege: P 0 = 252,41 + 4 869,73 = 5 122,14 Ft. 11. Egy részvény mai osztaléka 25 Ft, és az elemzők szerint az osztalék évi 20%-kal fog nőni Az elvárt hozam 25%. a) Mekkora a reális árfolyam, ha az idei osztalékot már kifizették? b) Mekkora a reális árfolyam, ha az idei osztalékot már a részvény vásárlója veheti fel? Megoldás: a) b) PV =

DIV 1 / (r – g) = 25 ∙ 1,2 / (0,25 – 0,2) = 600 Ft PV = 600 + 25 = 625Ft 12. Valamely cég részvényeket bocsát ki, amelyről a következő adatokat ismerjük: - névérték 100 000,-Ft, - tőkeköltség 18%, - éves osztalékráta 15%. A kibocsátó vételi opciójának értéke 10 év múlva a részvényre 90 000,-Ft. Határozza meg, hogy a rendelkezésre álló információk alapján milyen árfolyamon vásárolható meg a kibocsátáskor a részvény? Megoldás: P 0 = 15 000 × 4,494 + 90 000 × 0,191 = 84 600 Ft. P 0 = a részvény árfolyama 63 13. Egy részvény most és még két éven át csak évi 50 Ft osztalékot fizet A harmadik év végén már 10%-kal magasabb osztalékot fizet, és várhatóan ezt a növekedési ütemet tartani is tudja. Mekkora a reális árfolyama a mai osztalékfizetés után, ha az elvárt hozama 20%? Megoldás: DIV 0 =50; DIV 1 =50; DIV 2 =50; DIV 3 =50 ∙ 1,1; DIV 4 =50 ∙ 1,12; . PV = 50 / 1,2 + 50 / (0,2 – 0,1) / 1,22 = 458,33

Ft 14. Egy részvény következő évi egy részvényre jutó eredménye 300 Ft A társaság hosszú távú osztalékpolitikája szerint az eredmény 40%-át osztják fel osztalékként. A sajáttőkearányos nyereség 20%, ez várhatóan hosszútávon fennmarad Az elvárt hozam 25% a) Mekkora a részvénytől várhat növekedési ütem? b) Mekkora a reális részvényárfolyam? Megoldás: a) ROE ∙ (1 – dp) = 0,2 ∙ 0,6 = 0,12 b) DIV 1 = 300 ∙ 0,4 = 120 PV = 120 / (0,25 – 0,12) = 923 Ft 15. A cég sajáttőke-arányos nyeresége 8%-os 50 Ft osztalékot fizet, ami hagyományosan az egy részvényre jutó eredmény 80%-a. Az elvárt hozam 10% a, Mekkora a várható növekedési ütem? b, Mekkora a reális részvényárfolyam? Megoldás: a) b) g = ROE ∙ (1 – dp) = 0,08 ∙ 0,2 = 0, 016 DIV 1 = 50 ∙ 1,016 = 50,8 Ft PV = 50,8 / (0,1 – 0,016) = 604,76 Ft 16. Valamely cég részvényéről a következő adatokat ismerjük: osztalékfizetés az első évben 4 000,-Ft,-

névérték 25 000,-Ft- évenkénti állandó ütemű osztaléknövekedés 200,-Ft A cég a részvényt 35 000,-Ft-os árfolyamon kínálja. Amennyiben feltételezzük, hogy a befektetők által elvárt hozam a névleges hozammal egyenlő, érdemes – e az adott árfolyamon megvásárolni a részvényt. Megoldás: 4000 P 0 = ------------------ = 36363,6 igen érdemes 0,16 – 0,05 64 17. Valamely részvénytársaság nyilvántartásából kiemelt adatok a következők: - törzsrészvények száma 10 000 darab, - adózás után eredmény 15 000,-E ft, - saját tőke 54 000,-E ft, Határozza meg egy részvény könyv szerinti értékének nagyságát. Megoldás: 15 000 EPS = --------------- = 1500 Ft / db. 10 000 15 000 ROE = ----------- = 0,278 54 000 1,5 egy részvény könyv szerinti értéke = ---------- = 0,278 53957 Ft 18. Valamely cég nyilvántartásában szereplő adatai közül a következőket ismerjük: - adózás utáni eredmény 9 500,-E Ft, - saját tőke 47

500,-E Ft, - törzsrészvények száma 1 000 darab. Határozza meg, hogy bárhatóan mekkora lesz a cég részvénye osztalékának növekedési üteme? Megoldás: 9 500 ROE = --------- = 0,2 47 500 9 500 EPS = ---------- = 9,5 1 000 6 Újrabefektetési hányad = 1 - --------- = 0,368 9,5 g = 0,368 × 0,2 = 0,0736 azaz 7,36% 19. Valamely Rt Törzsrészvények és elsőbbségi részvények kibocsátásával szerzi meg a működéshez szükséges pénzt. A törzsrészvényeket 5 200,-HUF-os árfolyamon adták el, a várható osztalék 150 HUF részvényenként és a befektetők 6%-os osztaléknövekedésre számítanak évenként. Az elsőbbségi részvények kibocsátása 3 500 Ft-os árfolyamon részvényenként és a fixen meghatározott osztalék 250 Ft/részvény. Határozza meg, hogy a befektetők mekkora hozamra számíthatnak az egyes értékpapírok esetében? 65 Megoldás: A részvényeknél DIV = 150 Ft (ez a várható osztalék), a részvény árfolyama (A, vagy P 0

jelzéssel) 5 200 Ft, és az osztaléknövekedés mértéke (g jelzéssel) 6%. DIV r = -----P0 150 × 100 Azaz r = --------------- + 6=2,9+6=8,9% a törzsrészvények várható hozama 5200 Az elsőbbségi részvényeknél az osztalék (DIV) 250 Ft, (az árfolyam A vagy P 0 jelzéssel) 3 500 Ft, így a várható hozam (r): DIV 250 r = ------ = ---------- × 100 = 7,1% 3 500 P0 20. Valamely részvénytársaságnál az egy részvényre jutó adózott eredmény öt éves időszakot vizsgálva az egyes években a következőképpen alakult: 400, 420, 441, 464, 488,-. A társaság úgy tervezte, hogy a következő években is hasonló ütemben fog növekedni az egy részvényre jutó adózott eredmény. A társaság az adózott eredmény 30%-át tervezi osztalékként kifizetni. a, Határozza meg a következő évre várható egy részvényre jutó jövedelem és osztalék összegét. b, Ha a befektetők által megkövetelt hozam 13%, mennyi lesz a részvény árfolyama? Megoldás: 5%-os

évi átlagos egy részvényre jutó adózott nyereség növekedés. a, Az egy részvényre jutó adózott nyereség a következő évben 488 × 1,05 = 512,4 Az egy részvényre jutó osztalék 512,4 × 0,3 = 153,72 153,72 b, A részvény árfolyama P 0 = ------------------ = 1921,5 0,13 – 0,05 66 Opció számítás 1. Tételezzük fel, hogy egy hónap múlva 1 000 db vállalati részvényt szeretne vásárolni Az értékpapír pillanatnyi spot árfolyama 3 100 Ft. Úgy véli, hogy időközben a részvény árfolyama emelkedni fog. Az árfolyamkockázat kivédése érdekében 90 000 Ft-ért európai vételi opciót vásárol. A kötési árfolyam 3 200 Ft Az opció lejáratakor a részvény spot árfolyama 3 400 Ft. Az opciós díj időértékétől eltekintünk Feladat: Számítsa ki, hogy érdemes-e lehívni az opciót! Határozza meg az ügylet eredményét abban az esetben is, ha nem él opciós jogával! Határozza meg az opció lehívásának határárfolyamát! Az opció

lehívásának pénzügyi vonzata: Opciós díj összege = 90 000/1 000 = 90 Ft Vételi opció értéke = lejáratkori spot árfolyam – kötési árfolyam = 3 400 – 3 200 = 200 Ft/részvény Vételi opció nyeresége/vesztesége = opció értéke – opciós díj = 200 – 90 = 110 Ft/részvény Az opció lehívásának nyeresége = 1 000*110 = 110 000 Ft Az opció le nem hívásának pénzügyi vonzata: Amennyiben az opciót nem hívja le, akkor az opciós díj teljes összege – 90 000 Ft – veszteséget jelent. Az opció le nem hívásának határárfolyama: a kötési árfolyam 2. Tételezzük fel, hogy egy hónap múlva 1 000 db vállalati részvényt szeretne eladni Az értékpapír pillanatnyi spot árfolyama 4 500 Ft. Úgy véli, hogy időközben a részvény árfolyama csökkeni fog. Az árfolyamkockázat kivédése érdekében 80 000 Ft-ért európai eladási opciót vásárol. A kötési árfolyam 4 300 Ft Az opció lejáratakor a részvény spot árfolyama 4 100 Ft

Az opciós díj időértékétől eltekintünk. Számítsa ki, hogy érdemes-e lehívni az opciót! Határozza meg az ügylet eredményét abban az esetben, ha nem él opciós jogával! Határozza meg az opció lehívásának határárfolyamát! Az opció lehívásának pénzügyi vonzata: Opciós díj összege = 80 000/1 000 = 80 Ft Eladási opció érétke = kötési árfolyam – lejáratkori spot árfolyam = 4 300 – 4 100 = 200 Ft/részvény Eladási opció nyeresége vesztesége = opció értéke – opciós díj = = 200 – 80 = 120 Ft/részvény Az opció lehívásának nyeresége = 1 000*120 = 120 000 Ft Az opció le nem hívásának pénzügyi vonzata: Amennyiben az opciót nem hívja le, akkor az opciós díj teljes összege – 80 000 Ft – veszteséget jelent. Az opció lehívásának határárfolyama: a kötési árfolyam 67 Nemzetközi pénzügyi számításokkal kapcsolatos feladatok 1. Valamely valuta pénzlába 500 Mekkora ennek a valutának az aranyparitása?

Megoldás: Aranyparitás valamely pénzegység grammsúlyban mért aranytartalma. A pénzláb azt mutatja, hogy 1 kg aranyból mennyi pénzegység verhető. 1000gr Aranyparitás = ------------ = 2gr 500db 2. A forint aranytartalma 0,07575 gr arany és elismert a $ aranytartalma: 0,888671 gr arany. Mennyi a két fizetőeszköz közötti aranyparitás Megoldás: 1$ = 0,888671 / 0,07575 = 11,7316 3. Értelmezze az alábbi árfolyamközlést: vételi és eladási árfolyamot és a bázispontot, ha 1$ = 1,7850 – 1,7880 DEM Megoldás: 1$ = 1,7850 DEM vételi (bid) árfolyam 1$ = 1,7880 DEM eladási (offer) árfolyam A bankok négy tizedesjegyig adják meg árfolyamukat és a negyedik tizedesjegyre külön megjelölést használnak, ez a bázispont. Egy bázispont tehát a $, Ł és DEM esetében tizezredrészt jelent. 4. Határozza meg a vásárlóerőparitást, ha Franciaországban adott időpontban egy négytagú diplomatacsalád fogyasztására 12.000 FRF szükséges, ugyanakkor az

USA- ban 2400$ Fejezze ki a vásárlóerőparitást mindkét országban ill. mindkét valuta esetében Megoldás: Vásárlóerő-paritás a FRF esetében 1 FRF= 2400$ / 12.000 FRF=0,2$ $ esetében 1$ = 12.000 FRF / 2400 $ = 5 FRF 68 5. „A” bank árfolyamjegyzése 1 CHF = 135,83 - 143,93 HUF „B” bank árfolyamjegyzése 1 CHF = 136,30 - 143,34 HUF Határozza meg mindkét bank esetében az árfolyammarge-ot. Megoldás: „A” bank 143,93 – 135,83 = +8,1 HUF „B” bank 143,34 – 136,30 = +7,03 HUF 6. Valamely bank overnight (hirtelen, gyors) ügyletet bonyolít le, a DEM erősödésére számít a piacon, ezért vesz 1 millió DEM-t 9-órakor, majd nyereség érdekében ugyanaznap 14 órakor eladja. Árfolyamok: 9 órakor 1 DEM = 109,9550 – 115,9050 HUF 14 órakor 1 DEM = 116,2050 – 120,2250 HUF Határozza meg az ügylet eredményét. Megoldás: A bank overnight ügylete ugyanazon a napon történő ellenértékcserét jelent, azonos székhelyű bankok között. 9

órai jegyzésnél 1 DEM vétele alacsony árfolyamon 115,9050 HUF 14 órakor eladás magasabb árfolyamon 116,2050 HUF különbség 0,3000 HUF 1 millió DEM művelete esetén 1.000000 × 0,3000 = 300.000 Ft 7. Határozza meg a NLG/ITL keresztárfolyamát, közvetlen jegyzés 100 NLG esetén, / x ITL = 100 NLG / Az ITL vételi árfolyamként a következő feltételek szerint: USD/NLG = 1,8602 – 1,8609 USD/ITL = 1242 –1246 Megoldás: 1246 ITL = 1 USD 1 USD = 1,8602 NLG 1246 ITL = 1,8602 NLG 1246 ITL = NLG 1,8602 1246 . ITL = 100 NLG 1,8602 669,82 ITL = 100 NLG 69 8. Egy cég 10000 doboz csokoládét importál 34 francia frank/db áron A cég a forintfedezetet a pénzforgalmi számláján rendelkezésre tartja. Az import napján a devizaárfolyam 16,520 – 20,520 HUF/FRF. Az ellenértéket egy összegben kell kifizetni és a fizetés 40 nap múlva esedékes. A forintot a fizetés előtt 6%-kal leértékelik Hány forinttal terheli meg a bank az importőr számláját? Mekkora

a leértékelésből származó vesztesége az importőrnek? Megoldás: Az import költsége devizában: 10 000 * 34 = 340 000 FRF Az import forint ellenértéke leértékelés előtt: 20,5200 * 340 000= 6 976 800 HUF FRF árfolyama a forint leértékelése után: 20,5200 *1,06 = 21,7512 HUF Az import forint ellenértéke leértékelés után: 340 000 * 21,7512 = 7 395 408 HUF Az importőr vesztesége 7 395 408 -6 976 800=418 608 HUF 9. Egy cég 5000 doboz csokoládét exportál 20 frank/db áron Az export napján a devizaárfolyam 159,2342 – 161,2342 HUF/CHF. Az ellenértéket egy összegben kell kifizetni. A fizetés 30 nap múlva esedékes A forintot a fizetés előtt 4 %-kal leértékelik Hány forintot ír jóvá a bank az exportőr számláján? Mekkora a leértékelésből származó nyeresége az exportőrnek? Megoldás: Az export bevétel devizában: 5 000 * 20 CHF = 10 000 CHF Az export forint ellenértéke leértékelés előtt: 10 000 * 159,2342 = 15 923 420 HUF CHF

árfolyama a forint leértékelése után: 159,2342 *1,04 = 165,6036 HUF Az export forint ellenértéke leértékelés után: 10 000 * 165,6036 = 16 560 360 HUF Az exportőr nyeresége 16 560 360–15 923 420= 635 940 HUF 70 Vállalati pénzügy témakörhöz kapcsolódó feladatok – Finanszírozási stratégia 1. Egy vállakozás adózás előtti eredménye 12 m Ft Befektetéseit teljes egészében saját tőkéből finanszírozza. A tőke összege 80 m Ft Évi 25%-os kamatra 40 m Ft hosszú lejáratú hitelt szándékozik felvenni tevékenységének bővítésére. a) Hogyan alakul a saját tőke jövedelmezősége, ha bővítés után 18%-os össztőke hozadékkal számolnak? b) Mekkora nyereséget kellene elérni, hogy teljesítsék a tulajdonosok elvárásait akik a jövedelmezőség 20%-os növekedését várják? a) Bővítés utáni össztőkére jutó jövedelmezőség Adózás előtti nyereség ROE = -------------------------------Össztőke Adózás előtti nyereség

0,18 = --------------------------------40 + 80 Adózás előtti nyereség = 120 × 0,18 = 21,6 m Ft Kamat = 40 × 0,25 = 10 m Ft Adózás utáni eredmény = adózás előtti eredmény – kamat = 21,6 – 10 = 11,6 m Ft Saját tőke tervezett jövedelmezősége Adózás utáni eredmény ROE = -----------------------------------Saját tőke 11,6 ROE = --------- = 0,145 80 14,5% Ha a vállakozás tulajdonosai a bővítés után 18%-os össztőke hozadékot érnek el, akkor a saját tőke jövedelmezősége 14,5%-os lesz. b) Bővítés előtti saját tőkére jutó jövedelmezőség Adózás utáni nyereség ROE = -----------------------------Saját tőke 12 ROE = ---- = 0,15 80 15% 71 Saját tőkére jutó 15%-os nyereség 20%-kal emelkedik. ROE = 0,15×1,2 = 0,18 18% Adózás utáni nyereség ROE = -----------------------------Saját tőke Adózás utáni nyereség 0,18 = ----------------------------80 Adózás utáni nyereség = 80 × 0,18 = 14,4 m Ft Adózás előtti

nyereség = Adózás utáni nyereség + Kamat Adózás előtti nyereség = 14,4 + 10 = 24,4 m Ft Ahhoz, hogy a tulajdonosok elvárásainak megfelelően a jövedelmezőség 20%-kal azaz 15%-ról 18%-ra növekedjen 24,4 m Ft nyereséget kellene elérniük. 2. Egy vállalkozás forrásállományának az összege 8 m Ft A forrásállomány 70%-át a tulajdonosok bocsátották rendelkezésre. A vállalkozás rendelkezésére álló idegen tőke 40%-a hosszú lejáratú beruházási hitel. Az eszközállomány 60%-a befektetett eszköz, melynek a felét a tárgyi eszközök adják. A teljes eszközállomány 10%-a vásárolt készlet, 5%-a saját termelésű készlet. a, Határozza meg a vállalkozás nettó forgótőkéjét! b, Számolja ki a likviditási mutatót! c, Számolja ki a likviditási gyorsrátát! Megoldás: a) Saját tőke = 8 × 0,7 = 5,6 m Ft. Idegen tőke = 8 × 0,3 = 2,4 m Ft. Hosszú lejáratú kötelezettség = 2,4 × 0,4 = 0,96 m Ft Rövid lejáratú kötelezettség =

2,4 × 0,6 = 1,44 m Ft Befektetett eszközök = 8 × 0,6 = 4,8 m Ft Forgóeszközök = 8 × 0,4 = 3,2 m Ft Készletek = (8 × 0,1) + (8 × 0,05) = 1,2 m Ft Nettó forgótőke = Saját tőke + Hosszú lejáratú kötelezettség – Befektetett eszközök Nettó forgótőke = 5,6 + 0,96 – 4,8 = 1,7 m Ft Nettó forgótőke = Forgóeszköz állomány – Rövid lejáratú kötelezettség Nettó forgótőke = 0,2 – 1,44 = 1,76 m Ft A vállalkozás nettó forgótőkéje 1,76 m Ft. b) Forgóeszközök Likviditási ráta = ------------------------------------Rövid lejáratú kötelezettségek 3,2 Likviditási ráta = -------- = 2,22 m Ft 1,44 72 c, Forgóeszközök - Készlet Likviditási gyorsráta = --------------------------------------Rövid lejáratú kötelezettségek 3,2 - 1,2 2 Likviditási gyorsráta = ------------ = --------- = 1,39 m Ft 1,44 1,44 3. Egy részvénytársaság 82 m Ft forrásállománnyal rendelkezik Saját tőkéje 60 m Ft Az idegen tőke 30%-a beruházási

hitel, 70%-a pedig forgóeszköz hitel. A társaság össztőkéjétől elvárt hozam 12%. A részvénytársaság a beruházási hitel után évi 16%-os, a forgóeszköz hitel után évi 18%-os kamatot fizet. Határozza meg a tulajdonosoknak járó hozam összegét! Megoldás: Saját tőke = 60 m Ft Idegen tőke = 82 – 60 = 22 m Ft Hosszú lejáratú hitel = 22 × 0,3 = 6,6 m Ft Rövid lejáratú hitel = 22 × 0,7 = 15,4 m Ft Hosszú lejáratú hitel kamata = 6,6 × 0,16 = 1,056 m Ft Rövid lejáratú hitel kamata = 15,4 × 0,18 = 2,772 m Ft Össztőkétől elvárt hozam = 82 × 0,12 = 9,84 m Ft Kamat = 1,056 + 2,772 = 3,828 m Ft Adózás utáni eredmény = Adózás előtti eredmény – Kamat Adózás utáni eredmény = 9,84 – 3,828 = 6,012 m Ft Adózás utáni eredmény ROE = -----------------------------Saját tőke 6,012 ROE = --------- = 0,1002 10,02% 60 A tulajdonosnak járó hozam összege 6,012 m Ft. A vállalkozás saját tőkére jutó nyeresége 10,02%-os. 4. Egy

részvénytársaság tartós befektetéseit önerőből finanszírozza A vállalkozás saját tőkéjének összege 85 M Ft. A részvénytársaság piaci részesedését szeretné növelni A bank hajlandó 35 millió Ft hosszú lejáratú hitel folyósítására, a kölcsön kamata évi 17%-os. A vállalkozás tervezett átlagos jövedelmezősége 20%. Számítsa ki a saját tőke tervezett jövedelmezőségét! 73 Megoldás: Saját tőke = 85 m Ft Idegen tőke 35 m Ft Hosszú lejáratú hitel = 35 m Ft Hitel kamat = 35 × 0,17 = 5,95 m Ft Össztőke = 85 + 35 = 120 m Ft Adózás előtti eredmény = 120 × 0,2 = 24 m Ft (tervezett nyereség) Adózás utáni nyereség = Adózás előtti nyereség – Kamat Adózás utáni nyereség = 24 – 5,95 = 18,05 m Ft Adózás utáni nyereség ROE = -----------------------------Saját tőke 18,05 ROE = ---------- = 0,2123 21,23% 85 A saját tőke tervezett jövedelmezősége 21,23%-os. 5. Egy vállalkozás 5,4 m Ft saját tőkével és 4,6 m

Ft idegen tőkével rendelkezik A saját tőkére jutó hozam 22%, a hitelkamatláb 28%.Határozza meg a vállalkozás össztőkéjétől elvárt hozamot! Megoldás: Saját tőke = 5,4 m Ft Idegen tőke = 4,6 m Ft (hitel) Kamat = 4,6 × 0,28 = 1,288 m Ft Adózás utáni nyereség ROE = -----------------------------Saját tőke Adózás utáni nyereség 0,22 = ------------------------------5,4 Adózás utáni nyereség = 5,4 × 0,22 = 1,188 m Ft Adózás előtti nyereség = Adózás utáni nyereség + Kamat Adózás előtti nyereség = 1,188 + 1,288 = 2,476 m Ft Adózás előtti nyereség ROE = -----------------------------Össztőke 2,476 ROE = -------- = 0,2476 10 24,76% A vállalkozás az össztőkétől 24,76% hozamot vár el. 74 Amortizációs számítással kapcsolatos feladatok Lineáris leírási módszer 1. Egy étterem október 1-én egy mosogatógépet vásárolt A berendezés költsége 2400 E Ft volt, aminek a leszerelését 480 E Ft-ért végezték el. A

mosogatógép lebecsült élettartama 6 év, maradványértéke 372 E Ft. Mennyi az elszámolható értékcsökkenése a negyedik év végén? Megoldás: 2880 E Ft – 372 E Ft 2508 E Ft ---------------------------- = --------------- = 418 E Ft / év 6 év 6 év Amortizáció a 4. év végén első évre 418 E Ft : 12 hó = 34,83 E Ft / hó 34,83 E Ft · 3 hó = 104,5 E Ft 2. 3 4 évre 418 E Ft · 3 év = 1254 E FT 4. év végén tehát: 1254 E Ft + 104,5 E Ft = 1358,5 E Ft Könyv szerinti érték a 4. év végén 2880 EFt – 1358,5 EFt = 1521,5 EFt Teljesítmény arányos leírási módszer Egységnyi amortizáció : Bekerülési érték – Maradványérték -----------------------------------------------------------------------A teljesítmény egységeinek becsült száma az élettartam alatt Amortizáció = Egységnyi amortizáció • használat 2. Egy építési vállalkozó céget október 18-án jegyeztek be A bejegyzés előtt egy hónappal 5000 000Ft-ért egy

teherautót vásároltak, aminek üzembe helyezéséig még 500 000 Ft-ra volt szükség a felújításhoz. Vettek egy szalagfűrészt 500000Ft-ért A teherautó lebecsült élettartama 50 000 km, maradványértéke 1500 000Ft. A szalagfűrész lebecsült élettartama 5000 óra és maradványértéke 50 000Ft. Mennyi az amortizáció értéke az év végén ha a teherautó 2085 km ment december 31-ig, a szalagfűrészt 300 órát használták. 75 Megoldás: a, Teherautó Költség : 5000 EFt + 500EFt = 5500 EFt 5500 EFt – 1500 EFt -----------------------------50 000 km • 2085 km = 166,80 EFt b, Szalagfűrész 500 EFt – 50 EFt -----------------------5000 óra • 300 óra = 27 EFt Mértani degresszív leírás – kétszeresen csökkenő egyenleg módszer 3. A 17000 EFt értékű eszközünk amortizációs ideje 5 év Írja fel az 5 év amortizációs táblázatát. Megoldás : 100% -------------------------- • 2 = Amortizációs kulcs Becsült élettartam 100%

--------- • = 40% 5 év Év 1. 2. 3. 4. 5. Könyv sz. érték E Ft, év eleje 17 000 10 200 6120 3672 2204 Arány % 40 40 40 40 40 Évi amortizáció E Ft 6800 4080 2448 1468 881 Könyv sz. érték év vége EFt 10 200 6120 3672 2204 1323 Ha az év 9. hónapjában vásárolták akkor az első évi amortizáció arányos része 3 ⁄ 12 • ( 40 % • 17 000) = 1700 A második év amortizációja 40% • (17 000 EFt – 1700 EFt) = 6120 EFt 2. év végén a könyv szerinti érték: 9180=17000–(1700+6120) 76 Számtani degresszív leírási módszer – évek száma összege módszer 4. Egy gép költsége 17 000 EFt, maradványértéke 2000 EFt Becsült élettartama 5 év Az amortizálódott összeg tehát: 17 000 EFt – 2000 EFt = 15 000 EFt Évek számának összege N(N+1) 5(5+1) S = -------------- = -------------- = 15 2 2 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Törtek sorozata tehát: 1 2 3 4 5 ---- + --- + ---- + ---- + ---- = 1 15 15 15 15 15 Év 1. 2. 3. 4. 5. TÖRT 5 ⁄

15 4 ⁄ 15 3 ⁄15 2 ⁄ 15 1 ⁄ 15 • • • • • ÖSSZEG EFt 15 000 15 000 15 000 15 000 15 000 = = = = = = AMORTIZÁCIÓ EFt 5000 4000 3000 2000 1000 ÖSSZES AMORTIZÁCIÓ = 15 000 77 Gyakorló Feladatok 5. Egy festő–mázoló kft. a 15 db festékszóró darabját 80 EFt-ért vásárolta. A 15 db festékszóró szállítási költsége aug 16-án 80 EFt A festékszóró élettartama 8 év, maradványértékük nincs. Mennyi a kummulált amortizáció / a visszatérült tőke / amortizáció a 6. évben, dec 31-én A leírás módszere lineáris Megoldás: Költség = 15 szóró • 80 EFt / db = 1200 EFt (1200 EFt + 80 EFt szállítás) = 1280 EFt Amortizáció 1280 EFt ------------- = 160 EFt / év 8 év Amortizáció a 6. év végén: 160 EFt / év : 12 = 13.33 EFt / hó 1. évre: 13.33 EFt • 4 hó = 5333 EFt 2.3456 évre 160 EFt • 5 = 800 EFt Összesen: 53.33 EFT + 800 EFt = 85333 EFt Könyv szerinti érték: 1280 EFt – 853.33 EFt = 42667 EFt 6. Egy

számítástechnikai cég olyan gépet vásárolt ami óránként 20 nyomtatott áramkört képes az alaplapra hegeszteni. A műszer 125 000 EFt került amihez 2000 EFt szállítási költség és 3000 EFt üzembehelyezési költség járult. Becsült élettartama 100000 áramkör hegesztés, maradványértéke 10 000 EFt. Határozzuk meg a teljesítményarányos leírás módszerével a 76550 hegesztett áramkör után a műszer amortizációját. Megoldás: 125 000 EFt + 2000 EFt + 3000 EFt = 130 000 EFt költség 130 000 EFt – 10 000 EFt --------------------------------- = 1,20 EFt / egység 100 000 egység Amortizáció: 1,20 EFt / egység • 76 500 = 91 860 EFt 78 7. A mértani degresszív leírás módszerével készítsük el az egy társaság által március 29-én 600 EFt -ért vásárolt 20 db számítógép amortizációs táblázatát a becsült élettartam 5 év. Megoldás: 20 számítógép • 600 EFt = 12 000 EFt = költség 100% -------- • 2 = 40% / év 5

év amortizációs kulcs Amortizáció az első év végén költség • amortizációs kulcs = amortizáció 12 000 EFt : 0,4 = 4800 EFt / év 4800 EFt / év : 12 = 400 EFt / hó 400 EFt / hó • 9 = 3600 EFt Év 1 2 3 Könyv szerinti érték EFt év eleje 12 000 8 400 5 040 Amortizáció Amortizáció % 40% 40% 40% EFt 3600 3360 2016 Felhalmozott amortizáció, megtérült tőke 3600 6930 8976 8. Egy kávéház egy zongorát 6750 EFt vásárolt Határozzuk meg az első három év amortizációját az évek száma, összege módszer felhasználásával, ha a zongora becsült élettartama 25 év és maradványértéke 960 EFt. Megoldás: N(N+1) S = --------------- = 2 25 • (25 + 1) ----------------- = 325 2 Amortizáció aránya: 25 24 23 1 év -----2 év -----3 év -----325 325 325 Költség – Maradványérték = amortizálandó összeg 6750 EFt – 960 EFt = 5790 EFt 1. 5790 • 25 / 325 = 445,38 E Ft 2. 5790 • 24 / 325 = 427,57 E Ft 3. 5790 • 23 / 325 = 409,75

E Ft 79 Reálbefektetésekkel kapcsolatos számítások 1. A „Seres Rt” új telephely létesítését tervezi A társaság vezetése elé két egymást kölcsönösen kizáró javaslat került az alábbi jellemzőkkel: (adatok MFt-ban) Megnevezés Időszak A B Beruházási ráfordítás Beruházási ráfordítás Képződő többlet hozam Azonnal 120 65 1. év 80 155 2. év 90 100 3. év 90 100 4. év 90 100 5. év 90 100 A tartós forgóeszköz igény mindkét változatnál 30 MFt, melynek beszerzése az aktiváláskor, tehát az első év végén esedékes. A figyelembe vehető tőkeköltség 10% Melyik javaslatot érdemes megvalósítani, ha a döntési kritérium: a, statikus jövedelmezőségi mutató, b, a statikus forgási sebesség, c, a nettó jelenérték, d, a jövedelmezőségi index? Megoldás: a, A beruházási változatok rangsorolása az átlagos jövedelmezőség alapján: 90 100 Bj (A )= ----------- = 39,13% Bj (B) = ------------ = 40,00% 200 + 30 220 + 30

Rangsor: Bj( B ) > Bj( A ) b, A beruházási változatok rangsorolása a statikus forgási sebesség alapján: 4 4 B s (A) = ------------- = 1,57 B s ( B)= -------------- = 1,60 1 : 0,3913 1 : 0,40 Rangsor: B s (B) > B s (A) c, A beruházási változatok rangsorolása a nettó jelenérték alapján: (80 + 30) 90 1 NPV (A) = - 120 - ---------- + ------ × (1 - -------- ) = - 220 + 285,29 = 65,29 1,10 0,10 1,104 (155 + 30) 100 1 NPV (B) = - 65 - ------------ + ------- × (1 - ----- ) = - 233,18+316,99=83,81 1,10 0,10 1,104 Rangsor: NPV( B ) > NPV ( A ) 80 d, A beruházási változatok rangsorolása a jövedelmezőségi index alapján 285,29 PI (A) = ------------- = 1,3 220 316,99 PI (B) = ------------- = 1,36 233,18 Rangsor: PI (B) > PI (A) 2. A Laza Rt. üzemcsarnokának fűtő berendezését ki kell A menedzsment a forgalmazó cégtől két, a feladat ellátására alkalmas berendezésre is ajánlatot kapott, az alábbi jellemzőkkel: Megnevezés Beruházási

ráfordítás Üzemeltetési költség Időszak Azonnal 1. év 2. év 3. év 4. év 5. év A cserélni. egyaránt B 1.200 120 120 120 120 120 700 200 200 200 200 A B berendezést a negyedik év végén, a B berendezést pedig az ötödik év végén kell pótolni. A tőkeköltség mindkét befektetésnél 6%-os. Értékelje a két ajánlatot Megoldás: A két berendezés teljesítménye azonos, így a döntést a beruházási és a működési költségek összevetésére célszerű alapozni. A dinamikus értékelést a költség egyenértékesekre alapozva végezhetjük. Először határozzuk meg a ráfordítások együttes jelenértékét: PV (R) A = 1.200 + 120 × AF (5év,6%) = 1200 + 120 × 4,2124 = 1705 PV(R) B = 700 + 200 × AF (4év,6%) = 700 + 200 × 3,4651 = 1.393 A költség egyenértékes a ráfordítások jelenértékének és az annuitás faktornak a hányadosa. 1.705 KE (A) = ---------- = 405 (EFt) 4,2124 1.393 KE ( B ) = --------- = 402 (EFt) 3,4651 Minimális

mértékben a B berendezés mutatkozik előnyösebbnek, mert kisebb a költségegyenértéke. 81 3. Két azonos beruházási ráfordítással és azonos kockázattal járó projekt tervezett pénzáramait az alábbi táblázat tartalmazza: (adatok MFt-ban) Megnevezés C0 C1 C2 C3 Összesen X projekt - 80 70 15 10 15 Y projekt - 80 10 30 30 30 Hasonlítsa össze a két tervezett a nettó jelenérték segítségével 6, 10, 14, 18%-os hozam követelmény feltételezésével! Milyen következtetéseket von le számításaiból? Megoldás: Megnevezés X projekt NPV-je Y projekt NPV-je r = 6% 7,78 14,91 (Adatok MFt-ban) r = 14% r = 18% - 0,3 - 3,82 - 0,9 - 7,38 r = 10% 3,55 6,48 A számítás eredményeiből következik, hogy 6%-os és 10%-os hozamkövetelmény mellett az Y projekt megvalósítása kedvezőbb. A 14%-os, illetve 18%-os hozam követelmény, esetén egyik projektet sem célszerű megvalósítani, hiszen veszteségesek. 4. Két egymást kölcsönösen kizáró

beruházási projekt tervezett pénzáramait a következő táblázatban foglaltuk össze: Megnevezés Projekt I. Projekt II. C0 - 38,3 - 153,2 C1 8 8 C2 10 16 C3 12 32 (adatok MFt-ban) C4 C5 14 16 64 128 Mindkét projekttel szemben 10%-os hozamkövetelmény támasztható.Melyik projektet választaná a belső megtérülési ráta alapján. 82 Megoldás: A, Az I. projekt nettó jelenértéke: 8 10 12 14 16 NPV (I.) = - 38,3 + ------- + -------- + -------- + ---------- + --------1,1 1,21 1,331 1,4641 1,6105 NPV (I.) = - 38,3 + 7,27 + 8,26 + 9,02 + 9,56 + 9,93 = 5,74 8 16 32 64 128 A (II:) = -153,2 + ------- + ------- + --------- + ----------- + ---------1,1 1,21 1,331 1,4641 1,6105 NPV(II.) = - 153,2 + 7,27 + 13,22 + 24,04 + 43,71 + 79,48 = 14,52 Az I. projekt belső megtérülési rátájának meghatározása 10%-os kamatláb mellett az NPV pozitív, ezért ennél magasabb kamatlábbal érdemes próbálkozni. Próbálkozzunk először 13%-os kamattal: 8 10 12 14 16 NPV (I.)

= - 38,3 + -------- + ---------- + -------- + --------- + -------1,13 1,2769 1,4429 1,6305 1,8424 NPV (I.) = - 38,3 + 7,08 + 7,83 + 8,32 + 8,58 + 8,68 = 2,19 Próbálkozzunk most 16%-os kamattal! 8 10 12 14 16 NPV (I.) = - 38,3 + ----- + --------- + ----------- + ---------- + --------1,16 1,3456 1,5609 1,8106 2,1003 NPV (I.) = - 38,3 + 6,90 + 7,43 + 7,69 + 7,73 + 7,62 = - 0,93 A keresett kamatláb tehát 13% és 16% közé esik. Lineáris interpoláció felhasználásával a következőképpen adhatunk becslést: 2,19 IRR (I.) ≈ 13% + 3% × ------------- ≈ 15,1% 2,19 + 0,93 Végezzünk most hasonló közelítő számítást a II. projekt belső megtérülési rátájára is! Próbáljuk meg ezúttal is a 13%-os kamatot. 8 16 32 64 128 NPV (II.) = - 153,2 + -------- + -------- + -------- + --------- + ---------1,13 1,2769 1,4429 1,6305 1,8424 NPV (II.) = - 153,2 + 7,08 + 12,53 + 22,18 + 39,25 + 69,47 = -2,69 83 Minthogy a nettó jelenérték negatív lesz, másodszorra csak

kisebb kamattal kísérletezhetünk. Legyen ez a kamat 12%-os. 8 16 32 64 128 NPV (II.) = - 153,2 + ------- + --------- + --------- + --------- + --------1,12 1,2544 1,4049 1,5735 1,7623 NPV (II.) = - 153,2 + 7,14 + 12,76 + 22,78 + 40,67 + 72,63 = 2,78 A keresett kamatláb ezúttal 12% és 13% között helyezkedik el. Lineáris interpolációval becslésünk: 2,78 IRR (II.) ≈ 12% + 1% × ---------------- ≈ 12,5% 2,78 + 2,69 Rangsor: IRR (I.) > IRR (II) 5. Egy beruházási cél elérésére három változatot dolgoztak ki a Mérges kft-nél, az alábbi jellemzőkkel: Megnevezés A projekt B projekt C projekt C0 - 80 - 100 - 80 C1 20 40 30 C2 30 40 30 C3 40 40 30 C4 40 40 30 Hasonlítsa össze az egyes projekteket 12%-os hozamkövetelményt feltételezve nettó jelenértékük, jövedelmezőségi indexük alapján. Megoldás: Megnevezés A projekt B projekt C projekt NPV (MFt) 15,66 21,49 11,12 Rangsor II. I. III. PI 1,20 1,21 1,14 Rangsor II. I. III. 6. Egy

vállalkozás január 1-jén gépet vásárol 4000 EFt-ért Az üzemeltetés során elérhető többletnyereség első évben 1.600 EFt, második évben 1900 EFt, harmadik évben 2000 EFt. Majd 300 EFt maradványértéken sikerül azt értékesíteni a) A beruházás jövedelmezőségének megítéléséhez számítsa ki a nettó jelenértékét 10%-os kalkulatív kamatláb mellett! b)Magasabb – e a belső megtérülési ráta 20%? 84 Megoldás: Számítások EFt-ban a) 1.600 1.900 2.000 + 300 NPV = - 4.000 + ------------ + ------------- + ----------------- = 1,1 1,12 1,13 = 4.000 + 1454 + 1570 + 1729 = + 753 Elfogadhatósági kritérium: NPV ≥ 0, tehát a beruházás jövedelmező. b) 1.600 1.900 2.000 + 300 NPV = -4000+------------ + --------- + -------------------- = 1,2 1,22 1,23 -4000+1.333 + 1319 +1331=3983 – 4000 = – 17 IRR nem nagyobb mint 20% 7. Azonos kockázatú, egymást kölcsönösen kizáró beruházási változatok adatai közül a következők

ismertek: Beruházási változat A B C 15 15 15 Megnevezés Tőke alternatív költsége (%) Hozamok jelenértéke Kezdő befektetés jelenértéke A beruházás hasznos üzemeltetési ideje (év) 45.000 50.000 7 48.000 48.000 7 50.000 45.000 7 1. Számítsa ki a nettó jelenértéket! 2. Határozza meg a jövedelmezőségi indexet! 3. A belső megtérülési rátára vonatkozóan értelmezze, hogy az azonos, kisebb vagy nagyobb a kalkulatív kamatlábnál! 4. A hasznos üzemelési évek alapján milyen megtérülési időkre lehet következtetni az egyes változatoknál? 5. Rangsorolja az egyes változatokat! Megoldás: Feladat száma 1. 2. 3. 4. 5. Mutatók NPV PI IRR Bm Rangsor A változat - 5.000 0,9 Kisebb 7/0,9 = 7,8 III. B változat 0 1 azonos 7/1=7 II. C változat + 5.000 1,1 Nagyobb 7/1,1=6,4 I. 85 8. Három befektetési, beruházási tervváltozat áll rendelkezésre Eddig kidolgozott adatok jelenértékei a következők: Változatok A B C Tőkeszükséglet

10.000 12.000 14.000 Hozam 10.000 16.000 13.000 A belső megtérülési ráta (IRR) melyik tervváltozat esetén lesz nagyobb a 16%-os kalkulatív kamatlábnál? Megoldás: A változat esetén NPV = - 10.000 + 10000 = 0 B változat esetén NPV = - 12.000 + 16000 = 4000 C változat esetén NPV = - 12.000 + 13000 = - 1000 Annak a beruházási tervváltozatnak a belső megtérülési rátája nagyobb az elért kalkulatív kamatlábnál, amelynek a nettó jelenértéke nagyobb 0-nál. Ez a feltétel csak a B változat esetén valósul meg. 9. Egy beruházási cél megvalósítása három változattal lehetséges A már megtervezett pénzáramok a következők: Változat Tőkeszükséglet A várható hozam jelenértéke jelenértéke 1 év 2. év 3. év A 20.000 10.000 12.000 8.000 B 19.000 12.000 8.000 10.000 C 18.000 12.000 9.000 9.000 a, Hogyan alakul az egyes befektetések nettó jelenértéke a tőke 20%-os alternatív költsége mellett? b, Melyik változatot érdemes

megvalósítani? Megoldás: 10.000 12.000 8.000 a, „A” NPV = - 20.000 + ----------- + ----------- + ----------- = - 1296 1,2 1,22 1,23 12.000 8.000 10.000 „B” NPV = - 19.000 + ----------- + ----------- + -------------- = + 2343 1,2 1,22 1,23 12.000 9000 9000 „C” NPV = - 18.000 + ----------- + ------------ + ------------ = + 3458 1,2 1,22 1,23 b, A „C” terv megvalósításra javasolható, mivel itt mutatkozik a legnagyobb pozitív szám. Elfogadhatósági kritérium ugyanis: NPV > 0 86 10. Egy gazdasági társaság azonos célú beruházási változatainak pénzáramait jelenértékben az alábbi táblázat tartalmazza. Beruházási változat I. II. III. 1. év - 20 - 18 - 22 Pénzáramlás millió Ft-ban 2. év 3. év +5 +7 +5 +9 + 10 +6 4. év +8 +8 +4 A tőkehaszonáldozat 10%. A belső kamatláb (IRR), hogyan viszonyul a kalkulatív kamatlábhoz? Megoldás: Az IRR (belső kamatláb) az a diszkontráta, amely mellett a nettó jelenérték (az NPV) zérus.

Az I. sz terv nettó jelenértéke = -20 + 5 + 7 + 8 = 0 ⇒ IRR= 10% A II. sz terv nettó jelenértéke = -18 + 5 + 9 + 8 = 4 ⇒ IRR > 10% A III. sz terv nettó jelenértéke = -22 + 10 + 6 + 4 = -2 ⇒ IRR < 10% 11. Egy gazdasági társaság két azonos célú beruházási tervvel rendelkezik beruházási tervek pénzáramait az alábbi táblázat szemlélteti. Beruházási terv „A” „B” C1 - 95,7 - 89,0 Pénzáramlás millió Ft-ban C2 C3 + 30,0 + 30,0 + 32,0 + 26,0 C4 + 40,0 + 34,0 A C5 + 20,0 + 24,0 A tőkeköltség 10%. A beruházási tervek közül a jövedelemindex alapján melyik változatot javasolná? „A” terv 95,7 30,0 30,0 40,0 20,0 NPV(A)=- -------- +( -------- + ------- + -------- + --------- )= 0 1,1 1,12 1,13 1,14 1,15 „B” terv NPV (B)= 89,0 32,0 26,0 34,0 34,0 - ------- + (------- + ------- + ------- + ------- )= -80,9+90,3= 9,4 1,1 1,12 1,13 1,14 1,15 PI (Profit index): 87,0 „A” terv PI = --------- = 1 87,0 90,3 „B” terv PI =

--------- = 1,12 80,9 87 12. Egy projekt megvalósításának tervezett tőkeszükséglete 23 819 eFt. Várható hozadékok az első évben (C 1 ) 10 000 eFt, a második (C 2 ) 20 000 eFt. Számítsa ki a nettó jelenértéket 10%, 15% és 20% tőkeköltséggel és határozza meg a belső megtérülési rátát Megoldás: Tőkeköltség C0 23 819 C1 10 000 C2 20 000 10% 15% 20% 9 091 16 529 25 620 8 696 15 123 23 819 8 333 13 889 22 222 r = 10%, az NPV = - 23 819 + 25 620 = 1 801 r = 15%, az NPV = - 23 819 + 23 819 = 0 r = 20%, az NPV = - 23 819 + 22 222 = - 1 597 IRR = 15% 13. Egy gazdasági társaság bővítheti exportját Az export bővítésének feltétele a kapacitások növelése. A kapacitások bővítésére a társaság két tervvel rendelkezik Az egyik („A”) terv szerint a technikailag elavult termelő-berendezéseket kicserélnék, a technológiai folyamatot átszerveznék. A másik („B”) terv szerint egy új üzemcsarnokot építenének, és abban

helyeznék el az export többlet legyártásához beszerzett gépeket, berendezéseket, felszereléseket. A két befektetési változat kezdő tőkeszükségletét és hozadék pénzáramai az alábbi táblázat tartalmazza millió forintban. A társaság tőkearányos nyeresége 15%, amely 5% ponttal nagyobb az aktuális pénzpiaci kamatlábnál. Projekt megnevezése „A” „B” Tőkeszükséglet C0 56,07 94,72 Hozam C1 20,00 40,00 C2 38,00 50,00 C3 40,00 60,00 NPV r = 15% IRR % Számítsa ki a beruházási változatok a, nettó jelenértékét, b, belső megtérülési rátáját Megoldás: A beruházási változatok nettó jelenértéke: „A” változat 20,00 38,00 40,00 - 56,07 + -------- + ---------- + -----------1,15 1,152 1,153 NPV = - 56,07 + 17,39 + 28,73 + 26,30 = 16,35 88 „B” változat 40,00 50,00 60,00 - 94,72 + --------- + --------- + ----------1,153 1,15 1,152 NPV = - 94,72 + 34,78 + 37,81 + 39,45 = 17,32 A beruházási változatok belső

megtérülési rátája: „A” változat: IRR = 30% 20,00 38,00 40,00 - 56,07 + --------- + ------------ + ---------- = 1,3 1,32 1,32 = - 56,07 + 15,38 + 22,48 + 18,21 = 0 „B” változat: IRR = 25% 40,00 50,00 60,00 - 94,72 + -------- + ---------- + ---------- = 1,253 1,25 1,252 = - 94,72 + 32,00 + 32,00 + 30,72 = 0 A két változat összevetése: NPV „A” változat 16,35 „B” változat 17,32 IRR 30,0% 25,0% Az IRR alapján az „A” változat, az NPV alapján a „B” változat a jobb! Akkor melyik a jobb változat? Mivel a beruházási tervek egymást kölcsönösen kizárják, csak az egyik terv kerülhet megvalósításra. De melyik lehet az a terv? Ilyen esetben számítsuk ki a megvalósításra szóba jöhető tervek pénzáramainak a különbözetét, és a különbözetre határozzuk meg az IRR-t, illetve az NPV-t. A projekt megnevezése B-A C0 - 38,65 A pénzáramok különbözete C1 C2 + 20,00 + 12,00 C3 + 20,00 A pénzáramok különbözetének az NPV-je:

20,00 12,00 20,00 NPV = - 38,65 + ---------- + ---------- + -------- = 0,970 1,15 1,152 1,153 89 IRR = 16,5% 20,00 12,00 20,00 NPV = - 38,65 + -------- + ----------- + ---------- = 0 1,165 1,1652 1,1653 A pótlólagos befektetés belső megtérülési rátájának az értéke 16,5%, 1,5% ponttal nagyobb a tőke alternatívaköltségénél. Jusson eszünkbe, ha az IRR nagyobb az „r”-nél, akkor az NPV is nagyobb zérusnál. A pénzáramok különbözetések NPV-je 970 000 forinttal nagyobb zérusnál 90 10. Házi feladat példák 10.1 Betéti műveletek befektetői oldalról 1. Az A befektetés 300 Ft kezdő érték mellett évente 15%-kal kamatozik, a B befektetésbe csak 240 Ft-ot kell elhelyezni, de 20%-kal kamatozik. Melyik befektetést kell választanunk, ha azt akarjuk, hogy tőkénk értéke 5 év alatt legalább 600 Ft legyen? 2. Ismerőse 850 ezer forintot kér kölcsön öntől, és azt ígéri, hogy 5 év múlva 1100 ezer forintot fizet vissza. Kölcsönadja-e

ezt az összeget, ha úgy gondolja, hogy az éves névleges kamatláb minden lejáratra 12%. Ha nem, akkor milyen kamatláb mellett adna ennyit kölcsön. Mekkora kamatláb mellett csökkenne pénze értéke pontosan a felére, ha nem fekteti be? 3. 2000 január 7-én betettünk a bankba 1MFt-ot Február 6-án szükségünk volt 500 ezer forintra, a többi pénzt csak november 7-én vettük ki. Mennyi kamatot kapunk összesen, ha az éves névleges kamatláb 15% volt, és a kamatozási periódus 1 év ? 4. Mekkora a reálkamatláb, ha a nominálkamatláb 14% és az infláció éves mértéke 7%? Ha a példában az infláció mértéke is és a nominális kamatláb is ugyanannyival, mondjuk 5 százalékponttal nő, vajon változatlan marad-e a reálkamatláb? 5. Számítsa ki a 5, 10, 20 és 25% éves névleges kamatlábnak megfelelő éves hozamot különböző kamatperiódusok (egy éves, fél éves, negyedéves havi, heti, napi és folytonos tőkésítés) esetén! 6. Az EE bank egy

új betéti konstrukció kidolgozásán fáradozik, miközben fél szemmel a versenytársait figyeli, akik nemrégiben jelentek meg a piacon hasonló egyéves futamidejű értékpapírokkal. Ezek negyedévente fizetnek kamatot, amelynek értéke évi 17,4% (éves névleges kamatláb), és a kapott kamatok az év végéig újra befektethetők ugyanolyan feltételek mellett. Bankunk olyan konstrukciót szeretne, amely félévente fizet kamatot és a kamatok szintén újra befektethetők. Mekkora lenne a konstrukció éves névleges kamatlába, ha a versenyképesség megőrzése érdekében a bankunk szeretne a versenytársaknál 0,8 százalékponttal magasabb éves hozamot ígérni betéteseinek? 7. Barátja felajánlja önnek, hogy vegye meg tőle kis műhelyét 960 ezer Ft-ért, amelyből a következő pénzáramlásokra számít: 1.évben 400; 2évben 500; 3évben 400; 4évben 100 ezer Ft. Tudja, hogy a barátja jól mérte föl lehetőségeit, az üzletben nincs kockázat A hasonló

lehetőségek évi hozama 10%. Megveszi-e a műhelyt? A műhelyről további információk jutnak a tudomására. Barátja 10 éve hozta létre, s azóta évente 500 ezer Ft pénzáramlást hozott. Módosítják-e döntését ezek az információk? 8. Mekkora évjáradékra számíthatunk 10 éven keresztül, ha 2 MFt-ot fizetünk ma és a piaci hozam 11%. 9. Van 800 ezer forintja Szeretné átváltani egy 5 éven át tartó évjáradékra, amelynek első tagja 1 év múlva esedékes. Az éves hozam ezalatt 12% Hány forint évjáradékra számíthat? Ha nem 1 év múlva, hanem először a 4. év végén tart igényt az évjáradékra, akkor mennyire! 91 10. A hitelintézet a nála elhelyezett 800 000 forint betét után 15 340 forint kamatot fizet A névleges kamatláb 15%. A hitelintézet az év napjainak számát 365 nappal vette figyelembe. A hitelintézet hány napra fizetet kamatot? 11. Mekkora a hitelintézetnél elhelyezett betét összege, ha a hitelintézet 110 nap

elteltével a kamattal együtt 23 302,00 forintot fizetett. A hitelintézet az év napjainak számát 365 nappal vette figyelembe és 20%-os névleges kamatlábat alkalmazott. 12. A banknál betétszerződés alapján elhelyezett 50 000 forintot, 4 év lekötési időtartamra, évi 8%-os kamatláb mellett. A bank a kamatot félévenként tőkésíti A negyedév végén mekkora összegű követelése lesz a banktól? 13. Betétként elhelyezett a bankban 10 000 forintot 90 napra. A bank az esedékességkor kifizetett Önnek 10 308,00 forintot. Mekkora nominális kamatlábbal számította a bank a kamatot, ha az év napjainak számát 360 nappal vette figyelembe. 10.2 A hitelfelvevő oldaláról 1. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 10 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetés mellett évi 15%, a hitel folyósított összege 100 000 Ft, a tőke törlesztésére a futamidő alatt azonos részletekben kerül sor! 2.

Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 5 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetéssel évi 20%, a hitel folyósított összege 100 000 Ft, valamint a tőketörlesztésére a futamidő alatt egyenletesen kerül sor, öt év türelmi idő után! 3. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 10 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetés mellett évi 20%, a hitel folyósított összege 500 000 Ft, és az évi törlesztő részletek nagysága állandó! 4. Írja fel annak a hitelkonstrukciónak a pénzáramlását, amelynek futamideje 10 év, a hitel névleges kamatlába évente egyszeri kamatfizetés mellett évi 20%, a hitel folyósított összege 100 000 Ft, és a tőketörlesztésre a futamidő végén 10%-20%-30%-40% mértékben kerül sor! 5. Egy 10 év futamidejű, azonos részletfizetésű hitel induló állománya 1 000 000 Ft, kamatlába évi 18%. Mekkora a

harmadik évi törlesztő részlet, illetve tőketörlesztőrészletA vállalat azt tervezi, hogy bankjától 4 év lejáratra 4 800 000 Ft kölcsönt vesz fel A bank elfogadható fedezet mellett hajlandó kölcsönt adni 14%-os nominális kamatlábbal, feltéve ha a Cég vállalja, hogy a kamatfizetési és a törlesztési kötelezettségének negyedévenként, a negyedév végén esedékes átalányösszeggel tesz eleget. Mekkora összegű átalányt kell a vállalatnak negyedévenként fizetnie? 92 6. Cége a banktól 49 napra felvett hitel után 49 821,00 forint kamatot fizet Mekkora a hitel összege, ha a névleges kamatláb 20%?A bank a kamat összegének meghatározása során az év napjainak számát 365 nappal veszi figyelembe. 7. Egy társaság olyan alapítványt akar létesíteni, amelyből egy egészségügyi intézetnek 10 éven át minden félév végén 700 000 forintot lehet juttatni. Mekkora összeget kell az alapítványba helyezni, ha a félévi utólagos

kamat 8%? 8. A család a gyermek 5 születésnapján elhatározta, hogy 15 éven át minden évben a gyermeknek születésének napján 150 000 forintot helyez el a bankban. A szülők által elhelyezett bankbetét összegéhez a gyermek 20. születésnapján juthat hozzá Mekkora összeget kap a gyermek a 20. születésnapján, ha az időszakra vonatkozó kamatláb 8% és a kamat tőkésítésre kerül? 9. Van 100 000 forint megtakarított pénze és egy év múlva esedékes 120 000 forint tartozása. A tartozását a meglévő pénzéből és annak kamataiból akarja kiegyenlíteni Ezért elhatározta, hogy a pénzét egy évre kamat ellenében leköti. A pénzpiacon a következő lehetőségek kínálkoznak. a, Kamatozó kincstárjegyet vesz. A kincstárjegy futamideje 365 nap, a kamat évi fix 7% A kincstárjegy névértékének visszafizetése és a kamat egy összegben a futamidő végén, a 365. napon esedékes b, „Z” bank által kibocsátott letéti jegyet vesz. A letéti

jegy futamideje 365 nap, a kamat évi fix 18%. A kamat négy egyenlő időperiódusban esedékes és tőkésítésre kerül c, A „Q” bank által kibocsátott értékjegyet vesz. Az értékjegy futamideje 365 nap, a kamat évi fix 20%. A kamat havonta esedékes és tőkésítésre kerül Rangsorolja a befektetési lehetőségeit a tőke felnövekedett értéke alapján és az effektív kamatláb alapján. 10.3 Váltóval kapcsolatos feladatok 1. A KEREKES Bt A számlavezető bankjánál leszámítoltatja váltóját A váltó ( kereskedelmi hitelkamattal növelt ) összege 1.090000 forint A váltót április 1-jén állították ki, a váltó esedékességének napja június hó 30. A váltó leszámítolás napja április hó 15. A bank által alkalmazott leszámítolási kamatláb 25% Számítsa ki a leszámítolási váltókamat összegét és a leszámítolt váltó összeget. A bank által leszámítolt váltót a Bank a Magyar Nemzeti Banknál május hó 10-én

viszontleszámítoltatja. A viszontleszámítolási kamatláb 20%.Állapítsa meg: a, a kamatnapok számát, b, a viszontleszámítolási váltókamat összegét, c, a viszontleszámítolt váltóösszeget, d, a váltót viszontleszámítolásra benyújtó kamatjövedelmét. 2. Egy 72 nap múlva esedékes váltót, amelynek összege 800000 Ft eladtak 760000 Ft-ért Számítsuk ki: a leszámítolási ( diszkont ) kamatlábat és a névleges kamatlábat. 93 3. Valamely eladónak a váltó lejárata előtt 50 nappal szükséges a váltón szereplő összeg munkája teljesítéséhez. Az összeg 2,4 millió Ft, a bank a felkínált váltót befogadja, és a leszámítolásnál 22%-os kamatszintet alkalmaz. A számításnál az egyéb kötelezettségektől (kezelési költség stb.) tekintsen el, és határozza meg, hogy mekkora a levont kamat és a kereskedő rendelkezésére bocsátott pénz, ha a váltó kibocsátásától számítottan három hónap múlva jár le, és tudjuk, hogy

az MNB 20%-os kamatlábat alkalmaz. Az év napjait 360 nappal vegye figyelembe. 4. Valamely vevőnek árut értékesít egy cég 10 millió Ft összegben, átutalással történő kiegyenlítésre. A fizetés időpontja a számla keltétől számított 45nap A vevő a 15 napon felajánl az eladó részére 9,6 millió Ft-ot. Elfogadja-e a cég a vevő ajánlatát, ha a pénzpiaci kamatláb 22%? Az év napjait 365 nappal vegye figyelembe. 10.4 Példák kötvény témakörben 1. Egy cég 1999 január 1-jén bocsátott ki 100000 Ft névértékű kötvényeket öt éves futamidőre, 12%-os névleges kamatozással, évenkénti kamatfizetéssel. A kibocsátó a kötvényszerződésben azt vállalta, hogy a névértéket három évi türelmi idő után azonos összegekben fizeti vissza. Az alternatív befektetés hozama 8% Határozza meg a kötvény 2001. december 31-én érvényes tőketörlesztés és kamatfizetés előtti bruttó és nettó árfolyamát. 2. Egy kötvényt 10000 Ft

névértékkel, 16%-os névleges kamatozással, 5 éves futamidőre bocsátottak ki. Kamatfizetés évente történik, a futamidő egyes éveinek végén Egy befektető a negyedik év első napján vásárol meg 10 db kötvényt 8.500 Ft-os árfolyamon Számítsa ki a befektetés nettó jelenértékét, ha a haszonáldozati költség 20%. 3. Egy kötvény jelenlegi árfolyama 16000 Ft Az árfolyam kamatrugalmassági együtthatójának abszolút értéke 1,3. Az előrejelzések szerint piaci kamatláb a jelenlegi 12%-ról 16%-ra emelkedik. Várhatóan mennyi lesz a kötvény árfolyama? 4. 10000 Ft névértékű, 12%-os fix kamatozású kötvényt 10 évre bocsátottak ki 5 évvel ezelőtt. Feltételezés szerint az ötödik év kamatfizetése az év elején már megtörtént Ismert a hasonló alternatív befektetések hozama, mely 14%. Állapítsa meg, hogy Mennyi a kötvény jelenlegi vételi árfolyama, ha a névérték visszafizetése egy összegben, a futamidő végén történik?

Mennyi lenne a kötvény árfolyama (valódi értéke), ha még a vásárlás napján 1%-kal nagyobb lenne a befektetők hozamelvárása? Határozza meg a kötvényárfolyam rugalmasságát a 2. pontban számított árfolyam alapján! Számítsa ki, hogy a befektetőknek átlagosan hány évet kell várni, hogy a kötvény vásárlására fordított tőkéjük megtérüljön 16%-os hozamelvárás mellett? 5. Egy társaság kötvényt bocsát ki, mellyel kapcsolatosan a következő információk ismertek a kötvény névértéke 100.000 Ft, fizetése lejáratakor egy összegben, névleges hozam 15%, elvárt hozam 18%, futamidő 5 év. Számítsa ki a kötvény egyszerű hozamát! 94 6. Egy társaság kötvény bocsát ki annak érdekében, hogy pótlólagos forráshoz jusson A kötvény 12%-os névleges kamatozást ígér. Kamatfizetés időpontja minden év 10 A jegyzési időpont 1999. február 12 Névérték 1000 Ft, kibocsátási árfolyam 950 Ft A kötvény futamideje 7 év,

melyen belül a törlesztés két éves türelmi idő elteltével kezdődik. A törlesztés egyenlő összegű Átlagos tőkepiaci kamatláb 20% Határozza meg, a kötvény egyszerű hozamát. 7. Egy vállalkozás 3 éves futamidővel 1000000 Ft névértékben, 25%-os névleges kamatozással bocsát ki kötvényt. A szerződés feltételei szerint törlesztés és a kamatfizetés a lejáratkor esedékes. A vállalkozással kooperációs kapcsolatban álló társaság a kibocsátás után egy évvel 1.276000 Ft-ért vásárolta meg a kötvényt Milyen összeget kap a társaság a futamidő végén? A befektető társaság számára hány százalékos hozamot biztosít a kötvény, ha azt a lejárat végéig megtartja? 8. Egy társaság 400000 Ft névértékű, 10%-os névleges kamatozású kötvényt bocsátott ki 1990-ben 10 éves lejáratra. A kamatfizetés évente egyszer, a névérték visszafizetése pedig egy összegben a lejáratkor történik. 1999-ben az alternatív, hasonló

kockázatú befektetések hozama 12%. Mennyi a kötvény árfolyama 1999-ben? 10.5 Részvénnyel kapcsolatos számítások 1. Egy részvénytársaság várhatóan 400 Ft osztalékot fog fizetni részvényenként A részvényesek által elvárt osztaléknövekedés 6%, amit társaság biztosítani is tud. A tőkepiacon a hasonló kockázatú befektetések hozamrátája, mint alternatív kamatláb 15%. Mennyi a részvény árfolyama az adott feltételek mellett? 2. Egy részvénytársaság osztalékfizetési stratégiájában rögzítette, hogy működésének első két évében nem fog osztalékot fizetni, majd az ezt követő évben 320 Ft-ot fizet részvényenként, amely a további években a becslések szerint 4%-kal növekedhet. Számítsa ki, hogy mennyiért érdemes megvenni egy részvényt, ha az alternatív befektetési lehetőség 10%-ot biztosít! 3. Egy részvénytársaság tevékenységét jellemző tárgyévi főbb gazdasági mutatók a következők: Jegyzett

tőke:4.800MFt,saját tőke:6180 MFt, részvények száma:4800 000 db, részvényenkénti adózott eredmény: 425 Ft . A részvénytársaság a nyereség 70%-át fizeti ki osztalékként jelenleg, és a jövőben is. Milyen osztalékra számíthatnak a részvényesek a következő évben? Mennyit ér a részvény a tárgyévben, ha a befektetők 30%-os hozamot várnak el? Mennyi lenne a részvény elméleti árfolyama 3 év múlva, ha a jelenlegi jövedelmezőségi viszonyokat tételezzük fel? 4. Sikeresen működő részvénytársaság jövedelme és osztaléka az elkövetkezendő két évben 12%-kal, a harmadik évben 10%-kal, majd ezt követően évi 5%-kal fog egyenletes ütemben növekedni az előzetes számítások szerint. Jelenleg a részvényenkénti osztalék 150 Ft. Mennyiért érdemes jelenleg vásárolni a részvényekből, ha a befektetők által elvárt hozam 10%? 95 5. Ebben az évben az egy részvényre jutó jövedelem 500 Ft lesz várhatóan egy

részvénytársaságnál. A társaság hosszabb távon a képződő adózott nyereség felét visszaforgatja, miközben a saját tőkére jutó nyereség 15%. Mennyi a részvény értéke, ha az alternatív befektetések 20% körüli hozamot biztosítanak és ezért a részvényesek is 20%-os hozamot követelnek meg a társaság részvényeitől? Érdemes-e most ezt a részvényt vásárolni? 6. Valamely társaság részvényeinek jelenlegi árfolyama 5000 Ft Az egy részvényre jutó jövedelem tervezett nagyság a következő évben 320 Ft. A befektetők által elvárt hozam 15%, a saját tőke hozama 18%. A nyereség 70-80%-át tervezik osztalékként kifizetni Mennyi a jövőbeni növekedési lehetőségek jelenértéke, ha a társaság a nyereség 70%-át fizeti ki osztalékként? Mennyi lenne a részvények jelenértéke, ha a nyereség 80%-át fizetik ki osztalékként? 96