Matematika | Analízis » Sorozatok és függvények jellemzése, definíciók

Sorozatok Korlátosság, monotonitás 1. A sorozat korlátossága: Definíció: Akkor mondjuk, hogy a sorozat alulról (felülről) korlátos, ha megadható olyan k (K) szám, hogy k <= a[n]; (a[n] <= K; ) teljesüljön minden n-re Definíció: Akkor mondjuk, hogy a sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos., azaz megadható olyan k és K szám, hogy k <= a[n]; éa a[n] <= K; is teljesüljön minden n-re 2. A sorozat monotonitása: Definíció: Akkor mondjuk, hogy az a[n]; sorozat monoton növekvő (monoton csökkenő), ha a[n] <= a[n+1]; (a[n+1] <= a[n];) teljesül minden n-re. Ha az egyenlőséget kizárjuk, akkor szigorú monotonításról beszélünk. A sorozat határértéke Definíció: Az a valós szám epsilon; ( 0 < epsilon; ) sugarú környezetének nevezzük az (aepsilon,a+epsilon;) nyílt intervallumot. Definíció: Akkor mondjuk, hogy az x szám az a számot epsilon;-nál kisebb hibával közelíti meg, ha abs(x-a) < epsilon;, azaz

a-epsilon; <x < a+epsilon;. A fenti sorozatok közös vonása, hogy a 0 számot mindegyikük egyre inkább megközelíti.Ez persze még elég pontatlan megfogalmazás, de ennél több is igaz: a sorozatok elemei - néhány elemtől eltekintve- tetszőleges kis értékű adott hibánál kisebb hibával közelítik meg a 0-t. Másként fogalmazva a 0 tetszőleges környezetéből a sorozatoknak csak véges sok eleme marad ki. A határátmenet és a műveletek kapcsolata A számsorozatokkal műveleteket értelmezhetünk. Definíció: Két sorozat összegén, szorzatán,különbségén azt a sorozatot étrjük, amelynek nedik eleme az illető sorozatok n-edik elemének összege, szorzata különbsége. Ha a b[n]; sorozat elemei 0-tól különbözőek, akkor képezhetjük az a[n]; és a b[n]; sorozat hányadosát is ,ennek n-edik eleme az n-edik elemek hányadosa. A következő tételek a határérték kiszámítását teszik lehetővé abban az esetben, ha a kiindulásul vett

sorozatok határértékét ismerjük. Tétel: Konvergens sorozata összege, különbsége és szorzata is konvergens, mégpedig: limit(a[n]+b[n],n = infinity) = limit(a[n],n = infinity); + limit(b[n],n = infinity);= A+B;; limit(a[n]-b[n],n = infinity) = limit(a[n],n = infinity); - limit(b[n],n = infinity); = A-B;; limit(a[n]*b[n],n = infinity) = limit(a[n],n = infinity); . limit(b[n],n = infinity); = A*B;, feltéve, hogy Limit(a[n],n = infinity) = A; és Limit(b[n],n = infinity) = B;. Következmény: Ha Limit(a[n],n = infinity) = A és c tetszőleges állandó, akkor limit(c*a[n],n = infinity) = climit(a[n],n = infinity); = cA; Tétel: Ha limit(a[n],n = infinity) = A; , limit(b[n],n = infinity) = B; és B <> 0; , akkor limit(a[n]/b[n],n = infinity) = Limit(a[n],n = infinity)/limit(b[n],n = infinity); = A/B; . Tétel: Ha az a[n]; sorozat elemei pozitívak és Limit(a[n],n = infinity) = A;, akkor limit(a[n]^(1/n),n = infinity) = A^(1/n);; Limit(log(a[n]),n = infinity) =

log(A);; Nevezetes sorozatok határértéke A következőkben gyakran előforduló sorozatok viselkedését vizsgáljuk. 1. Már igazoltuk, hogy: limit(1/n,n = infinity) = 0; 2. A q^n; (q állandó) mértani sorozatra: Limit(q^n,n = infinity) = 0; akkor és akkor, ha abs(q) < 1; Megjegyzés: Még akkor konvergens a q^n; sorozat, ha q = 1;, ekkor nyílvánvalóan 1 a határértéke. Ha q = -1;, akkor a sorozat divergens és korlátos. Ha 1 < q; akkor limit(q^n,n = infinity) = infinity;, ha q < -1;, akkor a sorozat nem korlátos nyílván nem konvergens, van -infinity;-be és infinity;-be tartó részsorozata. 3. Bármely pozitív a állandó esetén: limit(a^(1/n),n = infinity) = 1;. 4. Limit(n^(1/n),n = infinity) = 1; 5. Részletesebben foglalkozunk az a[n] = (1+1/n)^n; sorozattal A sorozat konvergenciájának elégséges föltétele, hogy monoton és korlátos is legyen. Az alábbiakben megmutatjuk, hogy az a[n] = (1+1/n)^n sorozat mind a két tulajdonsággal rendelkezik,

tehát konvergens. Felhasználjuk a következő nevezetes egyenlőtlenséget: Product(a[i],i = 1 . n)^(1/n) <= sum(a[i],i = 1 n)/n; , ahol 0 < a[i]; , i = 1,2, . , n, azaz pozitív számok számtani közepe nem kisebb mértani közepüknél. Tétel. Az (1+1/n)^n sorozat monoton növekvő Bizonyítás: Tekintsük a következő számokat: (1+1/n;) , (1+1/n;) , (1+1/n;) , (1+1/n;) , (1+1/n;) , . ,(1+1/n;) , 1, ahol n db (1+1/n;) és 1 db 1 szerepel.Alkalmazzuk ezekre az előző egyenlőtlenséget: ((1+1/n)^n*1)^(1/(n+1)) <= (n(1+1/n)+1)/(n+1); . Mindkét oldalt n+1;-edik hatványra emelve és az egyszerűbb alakokra áttérve: (1+1/n)^n <= ((n+2)/(n+1))^(n+1); = (1+1/(n+1))^(n+1);. Ezzel a bizonyítás kész. Tétel. Az (1+1/n)^n sorozat korlátos Bizonyítás: Tekintsük a következő számokat: (1+1/n;) , (1+1/n;) , (1+1/n;) , (1+1/n;) , (1+1/n;) , . ,(1+1/n;) , 1/2;, 1/2; , ahol n db 1+1/n; és 2 db 1/2; , tehát összesen n+2; db szám szerepel. Ismét a fenti

egyenlőtlenséget alkalmazva: ((1+1/n)^n*(1/2)^2)^(1/(n+2)) <= (n(1+1/n)+1/2+1/2)/(n+2); Mindkét oldalt n+2;-edik hatványra emelve és egyszerűbb alakra hozva : (1+1/n)^n/4 <= (n+2)/(n+2); = 1 Innen (1+1/n)^n <= 4;, tehát a sorozat felülről korlátos. Az alsó korlát létezése pedig a monoton növekedésből következik. Az előző két tétel alapján tehát az a[n] = (1+1/n)^n; sorozat konvergens. Mármost szeretnénk valamit mondani asorozat határértékéről. Ehhez érdemes meggondolni a következőt: a b[n];= (1+1/n)^(n+1) = (1+1/n)^n*(1+1/n); sorozatról nem nehéz belátni, hogy szigorúan monoton csökkenő, s nyílvánvaló, hogy (1+1/n)^n < (1+1/n)^(n+1);. Ezért az (1+1/n)^(n+1); sorozat is konvergens. Mivel pedig b[n]-a[n] = (1+1/n)^(n+1)-(1+1/n)^n;= (1+1/n)^n*(1+1/n)-(1+1/n)^n;= = (1+1/n)^n;1/n;. Ebből látható, hogy limit(a[n]-b[n],n = infinity) = 0;, hiszen mindkét tényező konvergens és limit(1/n,n = infinity) = 0;. Így Limit((1+1/n)^n,n =

infinity); = Limit((1+1/n)^(n+1),n = infinity);. Ez pedig azt jelenti, hogy a két sorotat két oldalról közelíti közös határértéküket. Az első néhány elempár: A függvény határértéke Definíció (Heine-féle): Legyen az f függvény az x[0]; hely valamely környezetében (kivéve esetleg az x[0];-t ) értelmezve. Akkor mondjuk, hogy az f határértéke az x[0]; helyen az A szám, ha tetszőleges x[0];-hoz tartó, de az x[0]; értéket föl nem vevő x[n]; változósorozat esetén a megfelelő függvényértéksorozat ( f(x[n]); ) határértéke az A szám. Röviden minden Limit(x[n],n = infinity) = x[0]; ( x[n] <> x[0]; ) esetén Limit(f(x[n]) = A,x[n] = x[0]);. A határérték az előzővel egyenértékű definíciója a következő: Definíció (Cauchy-féle) : Legyen az f függvény az x[0]; hely valamely környezetében (kivéve esetleg az x[0];-t ) értelmezve. Akkor mondjuk, hogy az f határértéke az x[0]; helyen az A szám, ha tetszőleges 0 <

epsilon; számhoz megadható a tőle függő 0 < delta(epsilon); úgy, hogy ha abs(x-x[0]) < delta; és x <> x[0]; akkor abs(f(x)-f(x[0])) < epsilon; A bal oldali határérték meghatározása: Definíció (Heine-féle): Legyen az f függvény az x[0]; hely valamely környezetében (kivéve esetleg az x[0];-t ) értelmezve. Akkor mondjuk, hogy az f bal oldali határértéke az x[0]; helyen az A szám, ha tetszőleges x[0];-hoz tartó, de az x[0]; kisebb értéket fölvevő (vagyis x[0];-hoz balról tartó) x[n]; változósorozat esetén a megfelelő függvényértéksorozat ( f(x[n]); ) határértéke az A szám. Röviden minden Limit(x[n],n = infinity) = x[0]; ( x[n] < x[0]; ) esetén Limit(f(x[n]) = A,x[n] = x[0]);. Hasonló a jobb oldali határérték meghatározása: Definíció (Heine-féle): Legyen az f függvény az x[0]; hely valamely környezetében (kivéve esetleg az x[0];-t ) értelmezve. Akkor mondjuk, hogy az f jobb oldali határértéke az x[0];

helyen az A szám, ha tetszőleges x[0];-hoz tartó, de az x[0]; nagyobb értéket fölvevő (vagyis x[0];-hoz jobbról tartó) x[n]; változósorozat esetén a megfelelő függvényértéksorozat ( f(x[n]); ) határértéke az A szám. Röviden minden Limit(x[n],n = infinity) = x[0]; ( x[0] < x[n]; ) esetén Limit(f(x[n]) = A,x[n] = x[0]);. A határérték és az egyoldali határérték kapcsolatára vonatkozik a következő tétel: Tétel: Az f függvénynek akkor és csak akkor létezik az x[0]; helyen a határértéke, ha van az x[0]; helyen bal- és jobb oldali határértéke és ezek megegyeznek. A határérték és a műveletek kapcsolata A Heine-féle definíció értelmében a műveletek és a határátmenet sorrendje fölcserélhető. Igaz tehát az alábbi tétel: Tétel: Ha limit(f(x),x = x0) = F; és limit(g(x),x = x0) = G;, akkor limit(f(x)+g(x),x = x0) = limit(f(x),x = x0); + limit(g(x),x = x0) = A + B; limit(f(x)-g(x),x = x0) = limit(f(x),x = x0); - limit(g(x),x =

x0) = A - B; limit(f(x)*g(x),x = x0) = limit(f(x),x = x0); limit(g(x),x = x0) =AB;; Limit(f(x)/g(x),x = x0) = Limit(f(x),x = x0)/Limit(g(x),x = x0); = A/B;. (ha B <> 0; ) Folytonosság A folytonosság fogalma A függvény adott pontbeli viselkedése független a határérték létezésétől. Ha a függvénynek egy adott pontban van véges határértéke, akkor lehet hogy -az adott pontban nincs értelmezve; - van értelmezve, de a határérték és a pontbeli függvényérték különböző; - a határérték mrgegyezik a pontbeli helyettesítési értékkel. Definíció: Akkor mondjuk, hogy az f függvény az x[0]; pontban folytonos, ha a következők teljesülnek - az f függvény az x[0]; pontban értelmezve van, - az f függvénynek az x[0]; pontban van véges határértéke, - a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel. Röviden: Limit(f(x),x = x[0]) = f(x[0]);. A függvény az x[0]; pontban bal- ill. jobboldalról folytonos, ha bal- ill jobboldali

határértéke megegyezik a helyettesítési értékével. Beszélhetünk a függvény adott intervallumban való folytonosságáról: Definíció: Akkor mondjuk, hogy az f függvény az(a,b) nyílt intervallumban folytonos, ha az intervallum minden pontjában folytonos. Definíció: Akkor mondjuk, hogy az f függvény az [a,b] zárt intervallumban folytonos, ha az intervallum minden belső pontjában folytonos, az a pontban jobbról, a b pontban pedig balról folytonos. A folytonosság fogalmát használhatjuk "globálisan" is, az egész függvényre vonatkozóan. Definíció: Akkor mndjuk, hogy az f függvény folytonos, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Megjegyzés: Természetesen ilyenkor a függvényre úgy gondolunk, hogy a hozzárendelési utasítással együtt az értelmezési tartománya is adott. A zárt intervallumban folytonos függvények tulajdonságai Tétel: Az [a,b] zárt intervallumon folytonos függvény az [a,b ] zárt

intervallumon korlátos. Megjegyzés: Az intevallum zártságának lényeges szerepe van. Pl az f(x) = 1/x; a (0,1) nyílt intervallumon folytonos, a baloldali végpontban, az x = 0; helyen s így a [0,1] zárt intervallumon már nem folytonos és nem is korlátos. Tétel: (Weierstrass-tétel) . Az [a,b] zárt intervallumon folytonos függvénynek van legnagyobb és legkisebb értéke az [a,b] zárt intervallumon. Tétel: (Bolzano-tétel) Legyen az f [a,b] zárt intervallumon folytonos függvény, az x[1]; és az x[2]; pedig legyen az [a,b] intervallum két tetszőleges pontja. Ha c az f(x[1]); és az f(x[2]); függvényértékek által határolt intervallum tetszőleges pontja, akkor van olyan x[0]; az x[1]; és az x[2]; által határolt zárt intervallumban, amelyre f(x[0]) = c;. Megjegyzés: Az utolsó mondat -nem egészen szabatosan, de szemléletesen- úgy fogalmazható, hogy a függvény minden, az f(x[1]); és az f(x[2]); közé eső függvényértéket fölvesz valamely az

x[1]; és az x[2]; közé eső helyen. A folytonos függvényekre vonatkozó tételek Tétel: Ha az f függvény az I (nyílt vagy zárt, eesetleg félig nyitott, véges vagy végtelen) intervallumon invertálható és folytonos, akkor szigorúan monoton is az I intervallumon. Tétel: Ha az egyváltozós valós f függvény az I intervallumon invertálható és folytonos, akkor inverze is folytonos az I intervallumnak megfelelő {f(x)| x eleme I-nek} intervallumon. Tétel: Ha a g függvény folytonos az x[0]; pontban és az f függvény folytonos a g(x[0]); pontban, akkor az F(x) = f(g(x)); függvény is folytonos az x[0]; pontban. Az elemi alapfüggvények folytonossága Tétel: Az f(x) = x;, f(x) = exp(x); és az f(x) = sin(x); elemi alapfüggvények mindenütt folytonosak. A határérték fogalmának bővítése a ) A végtelen, mint határérték. Definíció (Heine-féle): Legyen az f függvény az x[0]; hely valamely környezetében (kivéve esetleg az x[0];-t ) értelmezve.

Akkor mondjuk, hogy az f határértéke az x[0]; pontban a infinity;-be tart, ha tetszőleges x[0];-hoz tartó, de az x[0]; értéket föl nem vevő x[n]; változósorozat esetén a megfelelő függvényértéksorozat ( f(x[n]); ) a infinity;-be divergál. Röviden minden Limit(x[n],n = infinity) = x[0]; ( x[n] <> x[0]; ) esetén Limit(f(x[n]) = infinity,x[n] = x[0]);. Hasonlóan értelmezhetjük a -infinity;-be tartás fogalmát. b ) A végtelen, mint határérték: Definíció: Legyen az f függvény értelmezve minden olyan x pontban, amely valamely L számnál nagyobb.Akkor mondjuk, hogy az f függvény infinity;-ben vett határértéke az A szám, ha bármely infinity;-be tartó x[n]; változósorozat esetén a hozzá tartozó függvényérték-sorozat, f(x[n]); tart A-hoz. Definíció: Legyen az f függvény értelmezve minden olyan x pontban, amely valamely L számnál nagyobb.Akkor mondjuk, hogy az f függvény infinity;-ben vett határértéke infinity; (infinity;), ha

bármely infinity;-be tartó x[n]; változósorozat esetén a hozzá tartozó függvényérték-sorozat, f(x[n]);, tart a infinity;-be (-infinity;-be ). Racionális törtfüggvények szakadási helyei Definíciók A következőkben a függvényekről úgy gondolkodunk, mint egyérteémű hozzárendelésekről, amelyek értelmezési tartománya a valós számok megengedhető legbővebb részhalmaza. Definíció:Az f függvénynek az x[0]; helyen megszüntethető szakadása van, ha az x[0]; pontban nem folytonos, de létezik a limit(f(x),x = x[0]); véges határérték. Definíció: Az f függvénynek az x[0]; pontban nem megszüntethető szakadása van, ha f az x[0]; környezetében folytonos, de az x[0]; pontban nincs határértéke. Definíció: Az x[0]; helyhez tartozó nem megszüntethető szakadást elsőfajúnak mondjuk, ha az x[0]; helyen a függvénynek van véges bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek különbözőek. Definíció: Az x[0]; helyhez tartozó nem

megszüntethető szakadást másodfajúnak mondjuk, ha az x[0]; helyen a függvénynek legalább az egyik oldali véges határértéke nem létezik. Nevezetes határértékek 1 . Limit(sin(x)/x,x = 0) = 1; 2. Limit((1+x)^(1/x),x = 0) = exp(1); 3. limit((a^x-1)/x,x = 0) = ln(a); A differenciálhányados fogalma Különbségi hányados A különböző folyamatok,s így az azokat leíró függvények, intervallumra eső átlagos változási sebességét szeretnénk leírni. Legyen f(x) az x és az x[0]; pontokat tartalmazó intervallumon értelmezett függvény! Definíció: Az (f(x)-f(x[0]))/(x-x[0]); hányadost az f(x) függvény x[0]; helyhez tartozó különbségi hányadosának - másként differenciahányadosának - nevezzük. A differenciahányados jelentése: A differenciahányados az f függvény [x[0], x]; ill. [x, x[0]]; intervallumra eső átlagos az x változóhoz viszonyított változási sebességét méri A differenciahányados geometriai jelentése: A

differenciahányados (f(x[1])-f(x[0]))/(x[1]-x[0]); alakban felírva a P[0](x[0],f(x[0])); és a P(x[1],f(x[1])); pontokon áthaladó szelő meredekségét jelenti. Differenciálhányados Definíció: Az f(x) függvény x0 ponthoz tartozó különbségi hányadosának x0-beli határértékét a függvény x0 pont-beli differenciálhányadosának nevezzük A differenciálhatóságot nemcsak egy pontra, hanem az értelmezési tartomány részhalmazaira is definiáljuk: Definíció: Legyen H az f függvény értelmezési tartományának valamely részhalmaza. Ha az f függvény a H minden pontjában differenciálható, akkor azt is mondjuk, hogy f a H halmazon differenciálható. Az f függvény x[0]; pontbeli differenciálhányadosának értéke természetesen függ az x[0]; pont választásától; a különböző pontokban adódó differenciálhányadosok tehát egy függvényt határoznak meg. Ezzel kapcsolatos a következő definíció: Definíció: Azt a függvényt, amelynek

értelmezési tartománya az összes olyan x[0]; pontok halmaza, ahol az f függvény differenciálható, értéke pedig minden ilyen pontban az f függvény x[0]; pontbeli differenciálhányadosa, az f differenciálhányados függvényének vagy deriváltjának nevezzük. Ha az f deriváltja az x[0]; pontban (vagy a H halmazon) folytonos, akkor azt is mondjuk, hogy az f függvény az x[0]; pontban (illetve a H halmazon) folytonosan differenciálható. Az előzők alapján célszerű a differenciálható f függvény x0 pontbeli érintőjének azt az egyenest tekintenünk melynek meredeksége a z x0 pontbeli differenciálhánnyados: DEFINÍCIÓ: Az x[0]; pontban differenciálható f függvény P[0](x[0],f(x[0])); pontbeli érintőjének egyenlete: y-x[0] = D(f)(x[0])*(x-x[0]) Differenciálhatóság és folytonosság TÉTEL:Az x[0]; pontban differenciálható függvény folytonos az x[0]; pontban.%?; Bizonyítás: Azt kell megmutatnunk, hogy ha x->x[0];, akkor limit(f(x),x = x[0]) =

f(x[0]);, azaz Limit(f(x)-f(x[0]),x = x[0]) = 0. Tudjuk, hogy f az x[0]; pontban differenciálható, tehát Limit((f(x)-f(x[0]))/(x-x[0]),x = x[0]) = D(f)(x[0]);. Így: Limit(f(x)-f(x[0]),x = x[0]); = Limit((f(x)-f(x[0]))/(x-x[0]),x = x[0]); (x-x[0];) = D(f)(x[0])*0; = 0, Tétel:Van olyan függvény, amely az x[0]; pontban folytonos, de ott nem differenciálható