Matematika | Statisztika » Mihálszky Gábor - Statisztika házi feladat és megoldás

1 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem – Bolyai János Katonai Műszaki Főiskolai Kar Közlekedési statisztika házi feladat 1. Mihálszky Gábor – 17521 sz. 1. Mennyiségi sorok elemzése. 1.1 Az adatbázis felvétele. A Budapesti Közlekedési Részvénytársaság erősebb kihasználtsággal közlekedő autóbusz- és trolibusz viszonylatait vizsgáltam. A hétköznap reggeli, 7.00-800 közötti időintervallum maximális menetrendi férőhely kapacitási adatait gyűjtöttem össze. Vizsgálatom nem terjedt ki a nagyon alacsony és a nagyon magas férőhely kapacitással üzemelő viszonylatokra. 1400 1280 1200 850 1165 1292 1035 1336 1088 1063 1063 1065 887 1165 1650 936 952 1243 915 865 1005 964 857 852 952 945 1644 1350 1056 975 1280 1035 1750 1200 900 850 990 960 1680 1047 1296 850 1152 1433 1361 956 1080 1414 1296 1517 Az adatok folytonos mennyiségi ismérvértékek, mert értékük nem szükségszerűen egész

szám. A folytonos mennyiségi ismérv egy adott intervallumon belül bármilyen értéket felvehet. 1.2 Az adatok rendezése. A sokaságot mennyiségi ismérv szerint vizsgáljuk, tehát következő lépésként az ismérvértékeket kell sorba rendeznünk. Ezt rangsorolással célszerű elvégezni A rangsor a mennyiségi ismérvértékek monoton sorozata 850 850 850 852 857 865 887 900 915 936 945 952 952 956 960 964 975 990 1005 1035 1035 1047 1056 1063 1063 1065 1080 1088 1152 1165 1165 1200 1200 1243 1280 1280 1292 1296 1296 1336 1350 1361 1400 1414 1433 1517 1644 1650 1680 1750 1.3 Gyakorisági sorok, értékösszegsor képzése. A gyakoriság a mennyiségi ismérv szerint képzett, egy-egy osztályközbe tartozó egységek számát adja meg. Értékének ismeretében képet alkothatunk egy sokaság egyes osztályközeinek előfordulási gyakoriságáról. Mivel példámban az 50 elem 41 különféle értéket vesz fel, ezért

célszerű, ha először meghatározom az osztályközöket. Az egynél több értéket magába foglaló intervallum az osztályköz, melynek kiszámítási módja : 2k > N ( ahol k : az osztályközök száma, N : a sokaság elemszáma ). Feladatomban az 50-es elemszámhoz eszerint N = 6 osztályközt kell kialakítanom. Az osztályközök hosszúságát az alábbi képlet segítségével számíthatom ki : Xmax-Xmin Ahol h : az osztályköz hossza, Xmax a legnagyobb, Xmin a h= legkisebb ismérvérték. k Példámban a h értéke 150 (1750-850 ) / 6 = 150 2 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem – Bolyai János Katonai Műszaki Főiskolai Kar Közlekedési statisztika házi feladat 1. Mihálszky Gábor – 17521 sz. Az osztályközök számát, azok hosszát már meghatároztam. Az első és utolsó osztályközök zártak, mert vizsgálatom a megállapított ismérvértékek alatti és feletti tartományba nem terjedt ki. Ennek alapján a gyakoriságok a következőek : Az

értékösszeget a gyakoriFérőhely kapa- GyakoriOsztályÉrtékság és az osztályközépső citási értékek ság középső összeg Xi fi Xi Si = fi · Xi szorzatából számítottam. Az értékösszeg a vizsgált meny850-1000 19 925 17575 nyiségi ismérv értékeinek 1001-1150 10 1075 10750 egyes osztályokon ( osztály1151-1300 11 1225 13475 közökön ) belüli összege. 1301-1450 6 1375 8250 Értékét meghatározhatnám az osztályközök ismérvérté1451-1600 1 1525 1525 keinek összegezésével is, de 1601-1750 3 1675 5025 nagyobb adatbázisoknál ez ÖSSZESEN 50 56600 nem célravezető. A gyakoriság és relatív gyakoriság értékeinek ismeretében grafikusan ábrázolhatjuk az ismérvértékek megoszlását. Előfordulások száma Férőhely kapacitások gyakorisági poligonja 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 18 11 10 6 0 -800 4 1 850-1000 1001-1150 1151-1300 1301-1450 1451-1600 1601-1750 0 1800- Kapacitás értékek ( fh/óra ) 1.4 A kumulált és a

kumulált relatív gyakoriság megállapítása. A relatív gyakoriság ( gi ) a gyakoriságból számított megoszlási viszonyszám, amely azt mutatja meg, hogy a mennyiségi ismérv szerint képzett 1-1 osztályba a sokaságnak hány %-a tartozik. A kumulált gyakoriság ( f’i ) és a kumulált relatív gyakoriság ( g’i ) adatai azt mutatják, hogy az adott osztályköz felső határának megfelelő és annál kisebb ismérvértékek hányszor ( f’i ), illetve milyen arányban ( g’i) fordulnak elő. A kumulált, ill kumulált relatív gyakoriság kiszámítása : a gyakoriságokat rendre halmozva összeadjuk Az alábbi munkatáblát fogom használni a helyzetmutatók megállapításához : Fh. kap ért Xi fi f’i gi g’i 850-1000 1001-1150 1151-1300 1301-1450 1451-1600 1601-1750 ÖSSZESEN 19 10 11 6 1 3 50 19 29 40 46 47 50 - 38 20 22 12 2 6 100 38 58 80 92 94 100 - 3 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem – Bolyai János Katonai Műszaki Főiskolai Kar

Közlekedési statisztika házi feladat 1. Mihálszky Gábor – 17521 sz. 2. A szóródási mutatók meghatározása 2.1 A szórás meghatározása. A szórás az egyes értékek számtani átlagtól vett eltéréseinek négyzetes átlaga. Az egyik legfontosabb és leggyakrabban használt mérőszám Kiszámítása az ismérvértékek átlagtól való eltérésein alapul, mivel ezek az eltérések egyaránt lehetnek pozitív és negatív számok is, ezért a négyzetes átlagukat kell számolni. N (Xi – X)2 Σ f i di2 súlyozva A szórás kiszámítása : σ = , vagy Σ i=1 N Σ fi √ √ Munkatábla a szórás és a relatív szórás értékének megállapításához : () di2 ( xi – xi )2 fi ∙ di2 -207 0.033 42849 814131 10750 -57 0.003 3249 32490 1225 13475 93 0.007 8649 95139 6 1375 8250 243 0.046 59049 354294 1451-1600 1 1525 1525 393 0.121 154449 154449 1601-1750 3 1675 5025 543 0.230 294849 884547 ÖSSZESEN 50 - 56600 -

0.440 - 2335050 fi Xi Si= fi · Xi di (xi – xi) 850-1000 19 925 17575 1001-1150 10 1075 1151-1300 11 1301-1450 Kapacitás értékek Példámban : 2.2 di xi 2  =√ 2335050/50 = 216.104 A szórás terjedelmének meghatározása. A szóródás terjedelme ( jele R ) az előforduló legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége. Példámban R értéke : 1750 – 850 = 900 2.3 A relatív szórás meghatározása. A relatív szórás az egyedi eltérések viszonylagos nagyságának a négyzetes átlaga, amely azt mutatja meg, hogy a szórás az átlagnak hányad része. Úgy is értelmezhető, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan hány %-kal térnek el az átlagtól. N 1 Xi - Xi 2 ( egyszerűbben : szórás / átlag ) Kiszámítási módja : V = Σ i=1 N Xi √ ( ) Példámban : V = 216.104 / 1132 = 0,191, vagyis 19,1 % 4 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem – Bolyai János Katonai Műszaki Főiskolai Kar Közlekedési statisztika házi

feladat 1. Mihálszky Gábor – 17521 sz. 3. A helyzetmutatók meghatározása. 3.1 A medián meghatározása. A medián a mennyiségi ismérvnek az az értéke, amelynél ugyanannyi kisebb, mint nagyobb érték fordul elő. Osztályközös gyakorisági sor esetén a mediánt becsléssel tudjuk meghatározni. A mediánt az i-edik osztályköz tartalmazza, amelyre igaz, hogy : f i’ ≥ N+1/2, vagyis példám esetében a mediánt a 2. osztály tartalmazza A medián értékének becslésére az alábbi képlet szolgál : Me = a + {( b – a ) / fme } ∙ j, ( a : a mediánt magába foglaló osztályköz alsó határa, b : a mediánt magába foglaló osztályköz felső határa, fme : a mediánt magába foglaló osztályköz gyakorisága, j : a medián sorszámának és a megelőző osztályköz kumulált gyakoriságának különbsége ) példám esetében : Me = 1000 + {( 1150 – 1000 ) / 10 } ∙ 6.5 = 1097,5 3.2 A számtani átlag meghatározása. Az Xi ismérvértékek

átlaga egyenlő az ismérvértékek és a sokaság elemszámának a hányadosával, mely hányados az ismérvértékek számtani átlaga. Az eloszlás helyzetének jellemzésére a számtani átlagot használjuk leggyakrabban. Gyakorisági sorok esetén az ismérvértékek átlagát súlyozott számtani átlag formában számítjuk, az alábbi képlettel : k X = ( i=1 Σ f i ∙ Xi ) / N, példám esetében : X = 56600 / 50 = 1132 3.3 A kvartilisek meghatározása. Osztályközös gyakorisági sor esetén a kvartilist becsléssel határozzuk meg. A Qj/k kvartilist az az i-edik osztályköz tartalmazza, amelyre igaz : f’i ≥ { j ( N + 1 ) }/k Példám esetében az alsó kvartilis sorszáma : Példám esetében a felső kvartilis sorszáma : NQ1 = 51 / 4 = 12,75 ( 1. ) NQ3 = 3 ∙ 51 / 4 = 38,25 ( 3. ) A kvartilisek értékének számítására az alábbi képlet szolgál : Qj/k = ai + { ( j/k ∙ N+1 – f’i-1 ) / f i } ∙ hi ( ai: az i-edik osztályköz alsó határa,

f’i-1 : az i-1-edik osztályköz kumulált gyakorisága, f i : az i-edik osztályköz gyakorisága, hi : az i-edik osztályköz hossza ) Példám esetében az alsó kvartilis : Q1=850+{(12,75-0)/19}∙150 = 950.66 Ezek szerint a viszonylatok 25 %-ában a férőhely kapacitás kevesebb 951-nél. A felső kvartilis : Q3 = 1150+{(38,25-29)/11 }∙150 = 1276.14 Ezek szerint a viszonylatok 25 %-ában a férőhely kapacitás magasabb 1276-nál. 5 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem – Bolyai János Katonai Műszaki Főiskolai Kar Közlekedési statisztika házi feladat 1. Mihálszky Gábor – 17521 sz. 3.4 Aszimmetria mérőszámainak meghatározása. Az aszimmetria meghatározására az F-mutatót fogom használni. Az F-mutató az alsó és felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul. Bal oldali aszimmetria esetén a medián az alsó, jobb oldali esetén a felső kvartilishez esik közelebb. Kiszámításának módja : F = {(

Q3-Me ) – ( Me-Q1 )} / {( Q3-Me ) + ( Me-Q1 )}, Példám esetében : F ={(1276.14-10975)-(10975-95066)}/{(127614-10975)+(10975-95066)}= = 0.097 Az F értéke nagyobb 0-nál, tehát bal oldali aszimmetria van. 4. Koncentráció elemzés. Valamely sokaság koncentrációján általában az ismérvértékek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentrációnak nevezzük azt a jelenséget, hogy a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul. A koncentráció a relatív gyakoriságok és a relatív értékösszegek összehasonlításával mutatható ki A koncentráció mértékét a Lorenz-görbe ábrázolásával fogom szemléltetni Ehhez azonban szükségem van a relatív értékösszeg meghatározására. A relatív értékösszeg ( Zi ) egy olyan megoszlási viszonyszám, amely az egyes osztályközök értékösszegét ( Si ) a teljes értékösszeghez ( S ) viszonyítja. Az alábbi munkatábla a koncentráció

elemzéséhez szükséges mutatókat tartalmazza. Értékösszegek Gyakoriságok Férőhely kapacitások fi gi g’i Si Zi Z’i 850-1000 1001-1150 1151-1300 1301-1450 1451-1600 1601-1750 ÖSSZESEN 18 10 11 6 1 4 50 36 20 22 12 2 8 100 36 56 78 90 92 100 - 17575 10750 13475 8250 1525 5025 56600 31,05 18,99 23,81 14,58 2,69 8,88 100 31,05 50,04 73,85 88,43 91,12 100 - A Lorenz-görbe egy egységnyi oldalú négyzetben elhelyezett vonaldiagram, amely a kumulált relatív gyakoriságok ( g’i ) függvényében ábrázolja a kumulált relatív értékösszegeket ( Z’i ). Mint a következő oldalon található diagramon látható, a görbe nagyon közel van az átlóhoz, vagyis a koncentráció alacsonyabb fokú. 6 Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem – Bolyai János Katonai Műszaki Főiskolai Kar Közlekedési statisztika házi feladat 1. Mihálszky Gábor – 17521 sz. Össz. kapac kumulált %-ai A férőhelykapacitások koncentrációja 100 80 60 40 20 0 0

10 20 30 40 50 60 70 Gyakoriságok kumulált százalékai 80 90 100 5. Összegzés A Budapesti Közlekedési Rt. erősebb kihasználtsággal közlekedő autóbusz- és trolibusz viszonylatainak menetrendi férőhely kapacitási adatainak vizsgálata során a következő tapasztalatokat szűrtem le : - a kapacitás értékek eloszlása heterogén, ami egyébként nyilvánvaló, hiszen eltérőek az utazási igények; - a viszonylag széles határok között megoszló, alacsony koncentrációjú értékek miatt a szórás is magas; - a viszonylatok 78 %-a 1300 férőhely/óra kapacitás alatti forgalmi teljesítménnyel üzemel ( ez egyébként 5-6 perces követési időközzel közlekedő csuklós autóbuszok kapacitása ); - a vizsgált tartományban az átlagos kapacitás 1132 férőhely/óra ( ez hellyelközzel reprezentálja a BKV gumikerekű járműveinek forgalmi jellemzőit )