Matematika | Diszkrét Matematika » Példák a bevezető fejezetek a matematikába tárgy I. félévéhez

Példák a bevezető fejezetek a matamatikába tárgy I. félévéhez Halmazok 1. Milyen összefüggés van az alábbi három halmaz között? N = {természetes számok} N = {a természetes számok halmaza} N = {N} 2. Az A halmazt definiáljuk a következő módon: A:={Az 1978-ben Budapesten született ikerpárok} Kati és Jancsi ikrek, akik Budapesten születtek 1978-ban. Igaz-e, hogy Jancsi ∈A? 3. Az előbbi feladatban definiált A halmazra az alábbi összefüggések közül melyik igaz? a. {Kati, Jancsi}∈A b. {Kati, Jancsi} ⊆ A c. {(Kati, Jancsi)} ⊆ A 4. Igaz-e, hogy ∅={∅}? 5. Keressünk olyan A, B, C halmazokat, melyekre A∩B≠∅, 6. Legyen A∩C=∅, (A∩B)C=∅ A:={p(x) polinom gyökei}, B:={q(x) polinom gyökei} és r(x)=p(x)⋅q(x). Hogyan fejezhetjük ki r(x) gyökeit A és B-vel? 7. Melyik az az s(x) polinom, melynek gyökei D halmazára D=A∩B, ahol A és B az előző feladatban adott? 8. Bizonyítandó, hogy A∩B ⊆ C ⇔ A ⊆ B

∪C 9. Igaz-e, hogy 10. Igazoljuk, hogy A∆(A∆B)=B 11. Igazoljuk: 12. Lássuk be, hogy az A∆X = B egyenlet egyértelműen megoldható; az A∆(B∆C)=(A∆B) ∆C A∆B=C ⇔ B∆C=A ⇔ C∆A=B nem biztos, hogy egyértelműen megoldható. 13. Fejezze ki a ∆ és ∩ segítségével A∪B, és AB -t 14. Fejezze ki a ∆ és ∪ segítségével A∩B, és AB -t 15. Lássa be, hogy AB-t nem lehet kifejezni ∩ és ∪ segítségével. 16. Lássa be, hogy A∪B-t nem lehet kifejezni ∩ és segítségével. 17. Az alábbi állítások közül melyik teljesül ∀ A, B, C esetén? a. Ha A∈B és B∈C A∈C b. Ha A ⊆ B és B∈C A∈C A∪X=B egyenlet c. Ha A∩B ⊆ C és A∪C ⊆ B A∩C=∅ d. Ha A≠B és B≠C A≠C e. A ⊆ B ∪ C és B ⊆ A ∪ C B=∅ 18. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést: (A ∪ [A ∩ B] ∪ [A ∩ B ∩ C]) ∩ (A ∪ B ∪ C) 19. Igazoljuk: (A∪B)∩(A∪C)∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)

20. Bizonyítsuk be: 21. Lássuk be: A∩B = A∪B 1. A ( B ∩ C) = (A B) ∪ (A C) 2. A ( B ∪ C) = (A B) C Legyen H alaphalmaz. Az E ⊆ H tetszőleges részhalmaz karakterisztikus függvénye: x ∈E x ∈H E 1 0 ϕ(x)=  22. Legyen A, B ⊆ H, f, g pedig sorban a karakterisztikus függvényeik. Mi lesz az A, 23. A∩B és A∪B karakterisztikus függvénye? Legyen E tetszőleges halmaz, és E=n. Lássuk be a karakterisztikus függvény segítségével, hogy E részhalmazainak a száma 2n. 24. Hány pozitív egész szám nem osztható egynél nagyobb négyzetszámmal, sem 10-nél nagyobb prímszámmal? A∪B= A∩ B 25. Bizonyítsuk be: 26. Fejezze ki a és 27. Milyen összefüggés van 28. Bizonyítsuk be 29. Adjunk meg tetszőleges n pozitív egész számhoz olyan n elemű An halmazt, hogy ∆ segítségével A∪B, és A∩B -t (AB)∪(AC)∪(AD) és B∩C∩D között? ( A ∩ B ∪ C) ∩ A

∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C x, y ∈ An esetén az alábbiak közül pontosan az egyik teljesüljön: x ∈y, y ∈x vagy x=y. Relációk 30. Keressünk olyan relációt, amely: 1. reflexív, de nem tranzitív 2. antiszimmetrikus és reflexív 3. antiszimmetrikus és nem tranzitív 4. nem reflexív, nem tranzitív 5. reflexív, nem tranzitív, szimmetrikus 6. nem tranzitív, de trichotóm 7. csupa nem (nem reflexív, nem tranzitív, nem szimmetrikus, nem antiszimmetrikus és nem trichotóm). 31. N×N-en definiáljunk egy R relációt a következő módon: (m1, n1), (m2, n2)∈N×N esetén (m1, n1)R(m2, n2) ha m1≤m2 és n1≤n2 Mutassuk meg, hogy R részben rendezés. 32. Mutassuk meg, hogy az előbbi példában az R relációval az N×N részben rendezett halmaz minden nem üres részhalmazának van minimális eleme. Hogyan kereshetjük meg? 33. Az {1, 2, 3} halmazon keressünk két olyan relációt, melyek szimmetrikusak, de a szorzatuk nem szimmetrikus. 34. Mutassuk

meg, hogy ha ρ és σ szimmetrikus relációk S-en, akkor a következő feltételek ekvivalensek: 35. a. ρ o σ szimmetrikus b. ρ o σ=σ o ρ Legyen az R ⊆ NxN reláció olyan, hogy nRm (n, m∈N) igaz, ha n és m közös prímosztóinak a száma páros vagy nulla. Vizsgáljuk meg R tulajdonságait! 36. Legyen R ⊆ AxA. Vizsgáljuk R-1 o R tulajdonságait! 37. Legyen R binér reláció, δR={xvan y, amire (x, y)∈R}; σR={yvan x, amire (x, y)∈R}. Adjuk meg a δR, σR, R–1, R o R, R o R–1, R–1 o R halmazokat, ha 1. R={(x, y)x, y∈N és x osztója y-nak}; 2. R={(x, y)x, y∈R és 2x≥3y}; 38. Legyen A={1978 napjai}, B={az 1978-ban született gyermekek}. Definiáljuk az alábbi relációkat: R1 ⊆ AxB aR1b ha "b" gyerek az "a" napon született (a∈A, b∈B) R2 ⊆ BxA bR2a ha "b" gyerek az "a" napon született (a∈A, b∈B) Függvény-e R1 illetve R2 reláció? 39. Legyenek f:XY, g:YZ leképezések.

Igazoljuk, hogy a. Ha f, g injektív, akkor f o g injektív; b. Ha f, g szürjektív, akkor f o g szürjetív; c. Ha f, g bijektív, akkor f o g bijektív 40. Legyen A={a nem negatív egészek}, B={páros számok}. Konstruáljunk bijektív leképezést az A és B halmazok között. 41. Konstruáljunk bijektív leképezést két tetszőleges síkbeli szakasz között. 42. Hány szürjekciója létezik egy háromelemű halmaznak egy kételemű halmazra? 43. Hány injekciója létezik egy háromelemű halmaznak egy kételemű halmazra? 44. Legyenek f:XY, g:YZ leképezések. Lássuk be, hogy ha a. f o g injektív 45. ⇒ f injektív. b f o g szürjektív ⇒ g szürjektív Legyenek f: AB bijektív, és g: BC tetszőleges leképezések. Lássuk be, hogy a. f o g injektív ⇔ g injektív; b. f o g szürjektív ⇔ g szürjektív 46. Definiáljunk Z -n két relációt az alábbi módon, és vizsgáljuk R1 és R2 tulajdonságait! 1. xR1y ha 2. xR2y 47. ha x2+y2

osztható 2-vel; (x, y∈Z) y2-x2 osztható 2-vel. (x, y∈Z) Függvény-e a következő reláció? R ⊆ AxA, ahol A={a síkbeli egyenesek}, aRb (a, b∈A),ha "a" és "b" egyenesek által bezárt kisebb szög 60°. Vizsgáljuk a fenti reláció tulajdonságait 48. Legyen A={olyan egyenlőszárú háromszögek, amelyeknek az alaphoz tartozó magasságuk egyenlő egy rögzített m>0 számmal}, B={y y>0,y valós}. Definiáljuk az R ⊆ AxB relációt a következőképpen: aRb a∈A, b∈B, ha az "a" háromszög területe "b". Mutassuk meg, hogy R függvény, és vizsgáljuk e függvény tulajdonságait! Kombinatorika 1. Bizonyítsuk be, hogy bármely n pozitív egész számhoz található olyan k pozitív egész szám, amelyre az n⋅k szorzat a tizes számrendszerben felírva csupa 1-esből és 0-ból áll. 2. Mutassuk meg, hogy a π, 2π, ., 100π számok között van legalább egy olyan, amelyik valamely egész számtól

1/100-nál kevésbé különbözik! 3. A 90-számos lottószelvényen a 90 számból 5-öt kell megjelölni, és 5 számot húznak. A találatok száma a kihúzott, illetve a bejelölt számok halmazában az azonos elemek mennyisége. Ha az összes lehetséges módon kitölti a 90-számos lottószelvényt, hány lesz közöttük pontosan 5 találatos, és hány lesz közöttük pontosan 4, pontosan 3, pontosan 2, pontosan 1 találatos, illetve hány olyan van amelyen egyetlen találat sincs? 4. Hány kilencjegyű szám képezhető az 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5 számjegyekből? Hány kezdődik ezek közül 125-tel? 5. Hány olyan hatjegyű szám van, amelyik 5-tel osztható? 6. a. Hány csupa különböző jegyből álló hatjegyű szám képezhető? b. E számok közül hány olyan van, amelyikben pontosan négy páratlan számjegy fordul elő? 7. 8. Egy 28-as létszámú osztályban 4 jutalmat osztanak ki. Hányféleképpen történhet ez, ha a. a jutalmak egyenlők, és

egy tanuló legfeljebb egy jutalmat kaphat; b. a jutalmak egyenlők, és egy tanuló több jutalmat is kaphat; c. a jutalmak különbözők, és egy tanuló legfeljebb egy jutalmat kaphat; d. a jutalmak különbözők, és egy tanuló többet is kaphat. Képezzük az összes olyan hatjegyű számot, amelyikben az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek mindegyike szerepel. Mekkora az így nyert hatjegyű számok összege? 9. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyiknek a jegyei a. szigorúan monoton nőnek; b. monoton nőnek; c. szigorúan monoton csökkennek; d. monoton csökkennek. 10. Hány zérussal végződik 1 000! ? 11. Hányféleképpen lehet 2 fekete, 3 fehér, 4 vörös golyót egy sorba rendezni úgy, hogy fekete golyó ne álljon fehér golyó mellett? 12. Valamely játékosnak a sakkversenyen a hetedik forduló után 5 pontja van. Hányféleképpen jöhetett létre ez az eredmény? (Nyerés 1 pont, döntetlen 0,5 pont, vereség 0 pont. A mérkőzések sorrendje

is számít.) 13. 14. 15. Hányféleképpen ülhet le négy házaspár egy kerek asztal mellé úgy, hogy a. két nő ne kerüljön egymás mellé; b. sem két házastárs, sem két nő nem ülhet egymás mellé? Legyen n∈N. Az n-elemű halmazon hány olyan reláció van, amely a. homogén binér b. szimmetrikus c. egyszerre reflexív és szimmetrikus Az állatszelidítő 5 oroszlánt és 4 tigrist akar kivezetni a porondra, de két tigris nem jöhet egymás után. Hányféleképpen állíthatja sorba az állatokat? És ha n oroszlán és k tigris van? 16. Hányféleképpen lehet sorbarendezni n nullát és k egyest úgy, hogy két egyes ne kerüljön egymás mellé? 17. A könyvespolcon 12 különböző könyv áll. Hányféleképpen lehet közülük kiválasztani 5-öt úgy, hogy ezek között ne legyenek egymás mellett állók? És n könyv közül k darabot? 18. Artúr király kerekasztalánál 12 lovag ül. Mindegyikük hadilábon áll a szomszédaival

Öt lovagot kell kiválasztani, akik kiszabadítják az elvarázsolt hercegnőt. Hányféleképpen tehetjük meg ezt úgy, hogy ne legyenek ellenségek az öt lovag között? És n lovag közül k darabot? 19. Egy bolha ugrál egy egyenes mentén. Egy ugrás 1 cm Ezt vagy jobbra, vagy balra teszi meg Hányféleképpen juthat el a 0 pontból a +8 pontba, ha 18-at ugrik? Az origóból induló bolha n lépés után hányféleképpen juthat el a számegyenes k pontjába? 20. Hányféleképpen lehet 100-at három pozitív egész összeadandó összegére felbontani, ha csupán az összeadandók sorrendjében eltérő megoldásokat a. különbözőnek tekintjük; b. nem tekintjük különbözőnek 21. Hány AB függvény van, ha A=n és B=k? 22. Hány AB bijekció van, ha A=B=n? 23. Hány AB injekció van, ha A=n, B=k? 24. Hány szigorúan monoton növő {1, 2, ., k}{1, 2, , n} függvény van? 25. Hány olyan régi (hatjegyű) telefonszám

van, amelyikben van valahol egymás mellett két azonos számjegy (0-9-ig bármi)? 3400! 26. Osztható-e az alábbi szám 1599-cel? 27. Hány ötjegyű számot képezhetünk a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekből, ha páros helyen (1700!) 2 páros, páratlan helyen páratlan számjegy áll, s egy elem a. csak egyszer fordul elő? b. többször is előfordulhat? 28. Hányféleképpen lehet tíz számot öt párba rendezni? 29. Hány megoldása van az x+y<100 egyenlőtlenségnek, ha x, y egészek? 30. Hányféleképpen lehet 100 rekeszben 30 golyót elhelyezni, ha minden rekeszben ha van golyó pontosan 6 darab van és a. a golyók egyformák; b. a golyók különbözők, és minden rekeszben figyelembe vesszük a golyók sorrendjét is; c. a golyók különbözők, de a rekeszeken belül nem vesszük figyelembe a golyók sorrendjét 31. Hány olyan n jegyű szám van (n≥3), amelyik csupán az 1, 2, 3 számjegyeket tartalmazza, de mindegyiket

legalább egyszer? 32. Az 5-ös számrendszerben a legfeljebb 8 jegyű számok között hány olyan van, amelyiknek a jegyei között az 1, 2, 3, 4 legalább egyszer előfordul? 33. Egy ismerősünknek el akarunk küldeni nyolc különböző fényképet. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha 5 különböző borítékot akarunk felhasználni? 34. Hány AB szürjekció van, ha |A|=n, |B|=k? 35. Az 52 lapos francia kártyában négy szín (kőr, pikk, káró, treff), mindegyikből 13 darab van. Minden színből négy figura (ász, király, dáma, bubi), 9 pedig 2-10-ig számozott. Négy játékosnak 13- 13 lapot osztva: Hány különböző leosztás van? 36. Az 52 lapos francia kártyában hány olyan leosztás van, ahol minden játékosnak van ásza? 37. Az 52 lapos francia kártyában hány olyan leosztás van, amikor minden ász egy kézbe került? 38. Határozzuk meg a következő összeget:  n  n  n 3  + 32   + . + 3 n   1 

 2  n 39. Határozzuk meg a következő összeget: 1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+ . +n⋅n! 40. Bizonyítsa be, hogy: 41. Bizonyítsuk be, hogy igaz a következő egyenlőség:  n  n  n  n   + 2  + 3  +.+ n  = n2n-1 1   2  3  n  n  n + 1  n + 2  n + m  n + m + 1  n    +  −  +  + . +   = .  k  k   k   k   k + 1   k + 1 42. Számítsuk ki, az első 7 Catalan számot! 43. Hány tag van a következő kifejezések kifejtett alakjában? a. 44. (x+y+z)6 b. (a+2b+5c+d)4 c. (r+s+t+u+v)6 a. Mi az x2y3z2 kifejezés együtthatója az (x+y+z)7 kifejtett alakjában? b. Mi az x6y3z2 kifejezés együtthatója az (x-2y+5z)11 kifejtett alakjában? 45. 46. Hányféleképpen tudunk n azonos ajándékot elosztani r gyermek között a. ha nincs semmi megkötés, b. ha minden gyermeknek legalább egy

ajándékot kell adnunk? Mivel egyenlő? ∑ Pnn1 , n2 , n3 n1 + n 2 + n 3 = n 47. ∑ Pnn1 , n2 ,.n k Lássuk be, hogy = kn n1 + n2 + . + n k = n 48. A következő képletben alkalmazzuk a k=1 helyettesítést. Mit kapunk?  k  k + 1  k + 2  n  n + 1   +  +  + . +   =    k  k   k   k  k + 1 ( n − 1) n( n + 1) 3 49. Lássuk be, hogy 1⋅2+2⋅3+3⋅4+4⋅5+ . + ( n − 1) n = 50. Lássuk be, hogy   +   +   + . +   =  51. Hány olyan bájt van, amelyben nem áll két egyes egymás mellett? (bájt: nyolc darab 0-ból és  n  0 2  n 1  2  n  2 2  n  n 2  2 n   n 1-esből álló adat) 52. 1. Határozzuk meg azon csupa 0-ból és 1-esből álló n-esek számát, amelyek nem tartalmaznak két szomszédos 1-est. 2. És mennyi azoknak a száma, amelyekben ezen kívül nem állhat

egyszerre az első és utolsó helyen 1-es? 53. Oldjuk meg a mozipénztár problémát azzal a módosítással, hogy nyitáskor q darab 50 forintos van a pénztárban. 54. Tekintsünk egy körbe írt szabályos 2n szöget. Hányféleképpen lehet csúcsait páronként összekötni úgy, hogy a kapott szakaszok ne messék egymást? (A kvantumkémia bizonyos kérdései kapcsán vetődött fel ez a probléma). Jelölje K(n) a keresett számot 55. Budapestnek 1 940 000 lakosa volt 1970-ben. Egy ember fején legfeljebb 150 000 hajszál van Mutassuk meg, hogy 1970-ben volt legalább 13 budapesti lakos, akiknek ugyanannyi hajszál volt a fején! 56. Nyolc labdarúgócsapat egyfordulós körmérkőzést játszik. Mennyi az egy mérkőzésre jutó gólátlag, ha az összes mérkőzésen együtt 42 gólt rúgtak? 57. Adott számú könyvből 4 könyvet 210-féleképpen lehet kiválasztani. Mennyi a könyvek száma? 58. Hegy csúcsára 5 út vezet. Két ember felmegy és lejön

Hányféleképpen történhet ez, ha a két embert személy szerint nem különböztetjük meg és a. egy utat egy ember használhat legfeljebb egyszer b. egy út kétszer is igénybe vehető, de csak különböző irányban c. nincs semmi megszorítás az útra d, e és f ugyanaz, mint a, b, c, azonban az embereket megkülönböztetjük. 59. Határozzuk meg, hogy hány metszéspontja van egy n oldalú konvex sokszög átlóinak. Csak a sokszög belsejében levő metszéspontokat tekintsük. Feltételezzük, hogy a sokszögnek nincs három olyan átlója, amelyiknek közös pontja lenne. 60. Hány ötjegyű szám alkotható a. csupa egyenlő számjegyből, b. két különböző számjegyből, c. három különböző számjegyből, d. négy különböző számjegyből, e. öt különböző számjegyből? 61. Hány nullára végződik 11100-1? 62. Ha az egymástól különböző elemek számát 2-vel megnöveljük, akkor a permutációk száma 90-szer nagyobb. Mekkora

az elemek száma? 63. Hány olyan pozitív egész számot tudunk felírni, amelyiknek számjegyei nemcsökkenő sorozatot alkotnak, s a szám 10n-nél kisebb? 64. Hányféleképpen lehet az egymilliót három tényező szorzatára bontani, ha az egymástól csak a tényezők sorrendjében különböző megoldásokat a. különbözőknek tekintjük? b. nem tekintjük különbözőknek? (Szorzótényező az egy is lehet!) Komplex számok 1. Határozzuk meg az x és y valós számokat úgy, hogy az (1+2i)x+(3-5i)y = 1-3i egyenlőség teljesüljön. 2. Számítsuk ki in értékét, ha n egész szám. 3. Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 4. Hozzuk trigonometrikus alakra a következő komplex számokat: a. 5. 1 3 + i, 2 2 b. − 1 3 + i, 2 2 c. − 1 3 − i 2 2 (1+2i)6 d. 1 3 − i. 2 2 Adjuk meg trigonometrikus alakban a következő komplex számokat: a. cosϕ-isinϕ; b. -cosϕ+isinϕ; c. -cosϕ-isinϕ (1 + i 3)15 6. Számítsuk ki a következő

kifejezés értékét: 7. Vonjunk négyzetgyököt a következő kifejezésből: (1 + i)10 −11 + 60i 8. Bizonyítsuk be a komplex számok segítségével, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével. 9. Mivel egyenlő (1+cosα+isinα)n? 10. Mennyi sin3α és cos3α, ha cosα és sinα ismert? 11. Számítsuk ki a következő kifejezés értékét : (1+2i)5 - (1-2i)5 12. Vonjunk négyzetgyököt a következő kifejezésből: −3 − 4i 13. Oldjuk meg a következő egyenletet: (2+i) x2 -(5-i) x + (2-2i) = 0 14. Fejezzük ki a következő kifejezést cosx és sinx segítségével: 15. Írjuk fel trigonometrikus alakban: a. sinϕ+icosϕ; 16. Hol helyezkednek el a síkon azok a pontok, amelyeknek megfelelő komplex számokra a. |z|=2Re(z); b b. 1-i 3 ; cos5x c. cos30°+isin60° z − 3i 1 1 ≥ 1 ; c. z = ; d z = - ; e |z| = iz z z z+i 17. Vonjunk 1-ből köbgyököt. 18. Vonjunk köbgyököt a következő

kifejezésből: 2 + 2i 19. Igazoljuk, hogy ha z+ =2cosΘ, 20. Vizsgáljuk meg, hogy milyen z komplex számok elégítik ki az következő egyenletet: z = z 2 21. Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét, ha ε n-edik egységgyök: 1 z 1 akkor zm + =2cosmΘ (m∈N) zm 1+ε+ε2+ . +εn-1 22. Számítsuk ki az alábbi kifejezés értékét, ha ε n-edik egységgyök: 1 + 2ε + 3ε2 + . + nεn-1 sin sinx+sin2x+ . +sinnx= n +1 nx x sin 2 2 x sin 2 23. Mutassuk meg, hogy 24. Oldja meg az 25. Határozza meg annak a szabályos hatszögnek a csúcsait, amelynek középpontja z 0 =3−2i, és x4−(7+3i)(5−2i)−1=0 egyenletet. egyik csúcsa 5+i. 2π 2π + i sin 3 3 26. Egyszerűsítsük az (1+ω)n kifejezést, ha ω=cos 27. Vonjunk köbgyököt i-bõl. 28. Oldjuk meg a következő egyenletet: z − z = 1 + 2i 29. Bizonyítsuk be, hogy ha két természetes szám mindegyike előáll két négyzetszám összegeként, akkor a szorzatuk is előáll ilyen

alakban. Igaz-e az állítás megfordítása? 30. Vonjunk hatodik gyököt 1-ből. Keressük meg a primitiv 6-odik egységgyököket. 31. Bizonyítsuk be, hogy ha n pozitív egész szám, és Θ eleget tesz a sin cos Θ 1 feltételnek, akkor = 2 2n 3Θ 2n - 1 Θ + cos + . + cos Θ = n sin nΘ 2 2 2 1+ i 3    1− i  20 32. Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 33. Vonjunk hatodik gyököt a következő kifejezésből: 34. Vizsgáljuk meg, milyen z komplex számok elégítik ki a következő egyenletet: z = z 3 1− i 3+i (1 + i)n n−3 2(1 − i) 35. Mennyi a következő kifejezés értéke: 36. Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 37. Oldjuk meg a következő egyenletet: 38.  3 − i  Számítsuk ki a következő kifejezés értékét:  1 − 2   n>3 egész (1 + i)52 x2-(3-2i)x+(5-5i)=0 39. Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 40. Számítsuk ki a következő

kifejezés értékét: 41. Bizonyítsuk be, hogy: 42. a. Mi |z1–z2| geometriai jelentése? 24 (−1 + i 3)15 + (−1 − i 3)15 (1 − i)20 (1 + i)20 (1 − i 3)(cos ϕ + i sin ϕ) = 2(1 − i)(cos ϕ − i sin ϕ ) cos2x+cos22x+ .+cos2nx= n cos( n + 1)x sin x + 2 2 sin x b. Mi az i-vel való szorzás geometriai jelentése? 43. (z + z ) Tegyük fel, hogy z1≠z2. Bizonyítsuk be, hogy 1 2 akkor és csak akkor tiszta képzetes, ( z1 − z2 ) ha |z1|=|z2|. 44. Lássuk be, hogy az n-edik komplex egységgyökök közöttt pontosan azok primitív n-edik egységgyökök, amelyekre ( k , n) = 1 , ahol ε k = cos 45. Lássuk be, hogy ε k = cos 2 kπ n + i sin 2 kπ n 2 kπ n + i sin 2 kπ n ( k = 0, 1, ., n − 1) ( k = 0, 1, ., n − 1) n-edik komplex egységgyök pontosan akkor primitív n-edik egységgyök, ha n-nél alacsonyabb természetes kitevőjű hatványa nem 1. Számelmélet 1. Milyen maradékot adnak a természetes számok négyzetei 3-mal

illetve 5-tel osztva? 2. Igaz-e, hogy minden 3-nál nagyobb prímnek van 6-tal osztható szomszédja? 3. Bizonyítsuk be, hogy 4. Bizonyítsuk be, hogy 66536n-26n, 5. Bizonyítsa be, hogy öt egymást követő egész szám négyzetének az összege nem teljes négyzet. 6. n Bizonyítsa be, hogy a 2 + 1 − a mindig 0-ra végződik, ha n≥2. 7. Bizonyítsa be, hogy végtelen sok 4k-1 alakú prímszám van. 8. Hány pozitív osztója van 490-nek? 9. A 153⋅126⋅232⋅14 számnak 120n5-5n3+4n, n∈Z n∈N a. hány 21-hez relatív prím pozitív osztója van? b. hány 21-gyel nem osztható pozitív osztója van? 10. A szultán 100 cellájában 100 rab raboskodik. A szultán leküldi egymás után 100 emberét A k-adik alkalommal leküldött ember minden k-adik cella zárján állít egyet. (Ha nyitva volt, bezárja, ha zárva volt, akkor kinyitja.) Mely sorszámú cellák lesznek a végén nyitva? 11. Bizonyítsa be, hogy ha egy 5 jegyű szám osztható

41-gyel, akkor a számjegyek ciklikus permutálásával nyert ötjegyű szám is osztható 41-gyel. 12. Bizonyítsa be, hogy 30 osztója az mn(m4-n4) számnak (m, n egészek). 13. Bizonyítsa be, hogy végtelen sok 6k-1 alakú prímszám van. 14. Bizonyítsa be, hogy ha a egész, akkor az a 3 + 2a a 4 + 3a 2 + 1 tört egyetlen egészre sem egyszerűsíthető. 15. Számítsa ki az euklidészi algoritmus segítségével a következő legnagyobb közös osztókat, és állítsa elő az adott számok lineáris kombinációjaként: (504, 372) 16. Igazolja, hogy 25,-20, 16, 46, -21, 18, 37, -17 teljes maradékrendszert alkot mod 8. 17. Teljes maradékrendszer-e 1, 11, 21, 31, 41, ., 751, 761 mod 77? 18. Teljes maradékrendszer-e 7, 22, 37, 52, 67, ., 11 632, 11 647 mod 777? 19. Oldja meg a következő kongruenciát: 20. Oldja meg a következő kongruenciát: 12x ≡ 9 (mod 15) 21. Oldja meg a következő kongruenciát: 12x ≡ 9(mod 18) 22. Oldja meg a

következő kongruenciát: 20x ≡ 10(mod 25) 23. Egy szigeten hétfejű és tízfejű sárkányok élnek. Összesen 116 fejet számoltam meg Hány 3x ≡ 8 (mod 13) sárkány él a szigeten? 24. Ismerek valakit, akinek a születési évszámában a számjegyek összege 2-vel nagyobb, mint ahány éves az illető az idén (2000-ben). Mikor született? 25. Melyek azok a száznál kisebb természetes számok, amelyek huszonháromszorosát hetes alapú számrendszerben felírva az utolsó jegy 5, az utolsó előtti jegy pedig 2? 26. Számítsa ki az euklidészi algoritmus segítségével a következő legnagyobb közös osztókat, és állítsa elő az adott számok lineáris kombinációjaként. (612, 834) 27. Határozza meg a 3, 8, 17, -17, 120, 54, -40, 236, 237 a. legkisebb nemnegatív maradékait mod 11, b. abszolút legkisebb maradékait mod 11, c. a fenti számok közül melyek kongruensek egymással mod 11? 28. Redukált maradékrendszer-e 5, 15, 25, 35, 45, 55, .,

155 29. Oldja meg a következő kongruenciát: 10x ≡ 25 (mod 35) 30. Oldja meg a következő kongruenciát: 90x+18 ≡ 0 (mod 138) 31. Határozza meg azt a legkisebb n természetes számot, amelyre a. τ(n)=23 32. b. τ(n)=25 mod 32? c. τ(n)=24 Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy n természetes számnak ugyanannyi páros osztója legyen, mint ahány páratlan? 33. Oldjuk meg a kínai maradéktétel alkalmazásával a következő egyenletrendszert: 4x ≡ 2 3x ≡ 2 9x ≡ 7 a. ϕ(9)-et, (3)   (7)  (11)  b. ϕ(540)-et, c. ϕ(7!)-t (ϕ az Euler-féle ϕ függvény.) 34. Számítsa ki 35. Határozza meg a következő szám osztási maradékát: 109355 14-gyel. 36. Határozza meg a következő szám osztási maradékát: 37. Mi a 39 39 390 293275 48-cal. szám utolsó két számjegye a tízes számrendszerben? 38. Bizonyítsa be, hogy ha (a, 10)=1, akkor a100 n+1≡a (mod 1000), ahol n természetes szám. 39.

Mely n természetes számokra teljesül ϕ(n)=1. (ϕ az Euler-féle ϕ függvény) 40. A ϕ(n) szám mely n természetes számra páratlan? 41. Bizonyítsa be, hogy ha m ≥2 egész, akkor az m-nél kisebb, m-hez relatív prím számok összege 1 mϕ(m). 2 a. µ(42), b. µ(630), c. µ(462) értékét 42. Számítsa ki az 43. Melyek megoldhatók az alábbi egyenletek közül? A megoldhatókat oldja meg: 44. a. µ2(x)+2=µ(x) b. µ3(x) - µ(x)=0 c. µ(x2)+ µ(x)=2 d. µ(x)+2 = µ(6x) Határozzuk meg azokat a p prímszámokat (a negatívakat is), melyekre p+10 és p+14 is prímszám. 45. Bizonyítsuk be, hogy 4 egymást követő természetes szám között van olyan, amelyik az összes többihez relatív prím. 46. Bizonyítsuk be, hogy 490+1 osztható 17-tel. 47. Bizonyítsa be, hogy 6 osztója n(n+1)(2n+1)-nek (n egész szám). 48. Jelöljön m egész számot. Bizonyítsa be, hogy m5-m osztható 6-tal 49. Bizonyítsa be, hogy ha "a" 4-gyel nem

osztható páros szám, akkor a(a2-1)(a2-4) osztható 960nal. 50. A kapitánynak három unokája van, életkoruk három különböző prímszám Ezek négyzetének összege ismét prímet ad. Hány éves a kapitány legkisebb unokája? 51. Számítsa ki az euklidészi algoritmus segítségével a következő legnagyobb közös osztókat, és állítsa elő az adott számok lineáris kombinációjaként: 52. Bizonyítsa be, hogy 219⋅73-1≡1 (mod 19⋅73) 53. Melyek azok a p prímek, amelyekre 54. Tegyük fel, hogy 2 5 p +1≡0 a100≡2 (mod 73) és (1524, 1212) (mod p2) a101≡69 (mod 73). Határozza meg a-nak 73-mal történő osztás legkisebb nemnegatív osztási maradékát. 55. Bizonyítsa be, hogy ha a≡b(mod pn), akkor ap≡bp (mod pn+1) . 56. Határozza meg a következő szám osztási maradékát: 439291 60-nal 57. Lássa be, hogy ha p és q különböző prímszámok, akkor pq-1+qp-1≡1(mod pq). 58. Bizonyítsa be, hogy bármely egész x-re

x7≡x(mod 42). ( p prímszám). 59. Bizonyítsa be, hogy minden n természetes számra 60. Oldja meg a ϕ(2x)=ϕ(3x) egyenletet. ϕ(n2)=nϕ(n)