Matematika | Diszkrét Matematika » Backhausz Ágnes - Néhány sztochasztikus folyamat nemstandard megközelítésben

http://www.doksihu Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Backhausz Ágnes Néhány sztochasztikus folyamat nemstandard megközelítésben Szakdolgozat Témavezet®: Proka j Vilmos Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest, 2008. http://www.doksihu Bevezetés Célunk folytonos idej¶ sztochasztikus folyamatok konstrukciója hasonló jelleg¶ diszkrét idej¶ véletlen bolyongásokból kiindulva, a nemstandard analízis eszközeit felhasználva. A kiindulópont Anderson Wiener-folyamatra adott konstrukciója ([1]), amely egyszer¶ szimmetrikus bolyongásokon alapul. Az els® fejezetben rövid összefoglalást adunk a nemstandard analízis alapjairól. A felépítés axiomatikusan is lehetséges (például [4]), mivel azonban a sztochasztikus folyamatok esetében is konstrukcióra van szükség, a nemstandard univerzumnak egy konstrukcióját mutatjuk be [2], [3] alapján. Ennek kiindulópontja a valós számok nemstandard kib®vítése

Ehhez legyen U ⊂ N nemtriviális ultrasz¶r®. Azt mondjuk, hogy a valós számokból álló (an ) és (bn ) sorozatok U szerint ekvivalensek, ha {n : an = bn } ∈ U . A kib®vítés elemei a valós számsorozatok U szerinti ekvivalenciaosztályai, azaz a kib®vítés R-nek U -ra vonatkozó ultrahatványa. Ha a relációkat és m¶
1 1 veleteket hasonlóképpen értelmezzük, azt látjuk, hogy például 1, , , . 2 3 U   1 1 és 1, √ , √ , . minden pozitív valós számnál kisebbek, pozitívak, nullá2 3 U tól és egymástól különböz®k, s®t, az egyik a másik négyzete. és √ √
1, 2, 3, . U (1, 2, 3, . )U pedig minden valós számnál nagyobbak, és különböz®k. Az ultrahatványok segítségével más halmazok, objektumok, logikai formulák nemstandard kib®vítését is megadhatjuk, így jutunk a nemstandard univerzumhoz. A következ® fejezetben [1] alapján a Wiener-folyamatra adunk konstrukciót. Lényegében független, egyszer¶ szimmetrikus

bolyongások sorozatát vesszük, melyek lépésszáma végtelenhez tart. Megfelel® normálással nem- standard érték¶ valószín¶ségi mértéket és sztochasztikus folyamatot kapunk. Ez utóbbi olyan lesz, mintha t id®közönként lépnénk √ t nagyságút véletlen- szer¶en felfelé vagy lefelé. Ezekb®l képezhetünk standard érték¶ sztochasztikus folyamatot, illetve valószín¶ségi mértéket, az úgynevezett Loeb-féle mértéket, a Carathéodory-féle mértékkiterjesztési eljárás alapján Ilyen módon a Wiener-mértékhez, illetve Wiener-folyamathoz jutunk el. Az utolsó fejezetben Tóth Bálint és Wendelin Werner cikkében ([5]) szerepl® öntaszító folyamatokat vizsgáljuk, el®ször a bolyongások illetve Wienerfolyamatok egy rendszerét. A folytonos esetben minden minden h>0 rafelé haladva. x∈R id®pontban szintr®l indul egy-egy véletlen folyamat id®ben el®re és hátHa véges sok kiindulópontot nézünk, akkor az így kapott

folyamatok egymástól független Wiener-folyamatok, addig, amíg nem találkoznak. Találkozáskor összeolvadnak és együtt továbbhaladnak, szintén Wiener-folyamatként. A nulla szint a nulla id®pont el®tt visszaver®, utána elnyel®. Diszkrét esetben ugyanezek a tulajdonságok érvényesek megfelel® 2 http://www.doksihu rácspontokkal és egyszer¶ szimmetrikus bolyongásokkal. A folytonos esetben a konstrukció [5]-ben megszámlálható sok Wienerfolyamatból indul ki. Most pedig azt fogjuk látni, hogy ha egyre nagyobb méret¶, diszkrét, véges rendszereket tekintünk, a nemstandard eszközök segítségével másfajta konstrukciót kaphatunk, mely az [5]-ben szerepl® egyértelm¶ eloszlást biztosító normáló feltételeket is teljesíti. [5]-ben a folytonos idej¶ egydimenziós öntaszító folyamat konstrukciója az összeolvadó Wiener-folyamatok rendszerén alapul. Továbbá, a diszkrét esetben az összeolvadó bolyongások rendszere egy labirintust

alkot, az ebben bolyongó véletlen folyamat vízszintes vetülete lesz egy bizonyos öntaszító bolyongás. Azt látjuk majd, hogy ezekb®l a diszkrét idej¶ öntaszító folyamatokból megfelel® skálázással nemstandard eszközökkel kaphatunk egy folytonos idej¶ sztochasztikus folyamatot. 3 http://www.doksihu 1. fejezet A nemstandard univerzum 1.1 A nemstandard valós számok halmaza Els®ként a valós számok halmazának nemstandard kib®vítését vizsgáljuk. Ez ∗ a halmaz, melyet R-rel jelölünk, a valós számokon kívül tartalmaz végtelenül kicsi, de nullától különböz® innitezimális számokat, továbbá pozitív és ∗ negatív végtelen számokat is. A megfelel® m¶veletekkel R rendezett test Egy szokásos konstrukció R U nemtriU N részhalmazaiból megfelel® ultrahatványa. Legyen viális ultrasz¶r® a természetes számok halmazán. Azaz álló felszálló halmazrendszer, mely zárt a véges metszetre, véges halmazt nem tartalmaz, és

N minden részhalmaza vagy U -beli, vagy a komplementere U N beli. Az R /U ultrahatvány valós sorozatok ekvivalenciaosztályaiból áll Az (bn ) sorozatok U szerint ekvivalensek, ha {n : an = bn } ∈ U . Ennek (an ) ≡U (bn ), egy (an ) sorozat U szerinti ekvivalenciaosztályát pejelölje (an )U . Könnyen ellen®rizhet®, hogy valóban ekvivalenciarelációt (an ) és jelölése: dig adtunk meg. RN /U -ban a konstans sorozatok U szerinti ekvivalenciaosztályait azono- sítsuk a nekik természetes módon megfelel® valós számokkal. Az így kapott ∗ halmaz lesz R, a valós számok halmazának nemstandard kib®vítése, és va∗ lóban R ⊆ R. : R R valós függvény. Ennek kib®vítése az alábbi módon : ∗ R ∗ R leképezés. Ha x ∈ ∗ R, akkor x = (an )U valamilyen ∗ valós sorozatra. Ekkor f (x) legyen az f (an ) sorozat U szerinti ekvivalen∗ ciaosztálya, ez egyértelm¶. Például |x| = (|an |)U Ugyanez elmondható Legyen f ∗ megadott f

többváltozós valós függvényekre is, például összeadásra, szorzásra. Hasonlóképpen a következ® deníciók is értelmesek Ha A ⊆ R, akkor a nemstandard kib®vítése legyen ∗ A = {(an )U : {n : an ∈ A} ∈ U} ⊆ ∗ R. 4 http://www.doksihu Például ∗ N ∗ Például halmaz U szerinti ekvivalenciaosztályaiból H ⊆ R × R, akkor az egészekb®l álló sorozatok áll. Ha adott egy reláció R-en, azaz H = {((an )U , (bn )U ) : {n : (an , bn ) ∈ H} ∈ U} ⊆ ∗ R × ∗ R. a, b ∈ ∗ R esetén a ∗ < b pontosan akkor teljesül, U -beli. ha az {n : an < bn } Ezek segítségével tudjuk értelmezni a végtelenül kicsi, végtelenül nagy fogalmát. 1. deníció Legyen x, y ∈ ∗ R • x végtelenül kicsi, ha minden ε > 0 valós számra ∗ |x| < ε. • x véges, ha valamely r valós számra ∗ |x| < r. • x végtelen, ha minden r valós számra ∗ |x| > r. • x és y végtelenül közeliek, ha x − y

végtelenül kicsi. Jelölése: x ≈ y • monad (r) = {x : x ≈ r}, ha r valós.
1, 12 , 31 , . U Látható, hogy például és   1, √12 , √13 , . U nullától és egy- (1, 2, 3, . )U végtelen ∗ A függvények és relációk kib®vítésének segítségével lesz R rendezett test. ∗ ∗ ∗ ∗ Az összeadás és a szorzás kib®vítése, + és · R-b®l R-be kétváltozós m¶∗ ∗ veletek, < pedig kétváltozós reláció R-en. A kib®vítés deníciója alapján ∗ ∗ ∗ ∗ könny¶ ellen®rizni, hogy ( R, +, ·, <) rendezett test. mástól különböz® végtelenül kicsi számok, míg például A valós számok teljességéb®l következik az alábbi állítás. 1. állítás Minden x ∈ ∗ R nemstandard véges valós számhoz van pontosan egy r ∈ R valós szám, melyre x ≈ r. Bizonyítás. r = inf {a ∈ R : x ∗ ≤ a}. x végessége miatt a megr véges, és világos, hogy x ∗ ≤ r Ha ε pozitív valós szám adott,

akkor r − ε nem lehet a fenti halmazban, hiszen r alsó ∗ korlát. Ezért x > r − ε, ebb®l ∗ |x − r| < ε következik. r egyértelm¶sége nyilvánvaló.  Legyen adott halmaz nem üres, így 2. deníció Ha x ∈ ∗ R, akkor azt az egyértelm¶ r valós számot, melyre x ≈ r, x standard részének nevezzük. Jelölése: ◦ x vagy st (x) 5 http://www.doksihu 1.2 A nemstandard univerzum konstrukciója Ahogy az els® szakaszban láttuk, hogy megadhatjuk függvények, relációk, részhalmazok kib®vítését, most általánosabban, bizonyos R feletti objektu- mok kib®vítését is deniálni fogjuk, hasonlóképpen ultrahatványok segítségével. 3. deníció Legyen adott egy S nem üres halmaz Legyen V0 (S) = S , Vk (S) = Vk−1 (S) ∪ P (Vk−1 (S)) k =S1, 2, . esetén, ahol P a hatványhalmaz képzését jelöli Ekkor a V (S) = ∞ k=0 Vk (S) halmazt nevezzük S feletti szuperstruktúrának. Ha A ∈ V (S), akkor azt a legkisebb k egészt,

melyre A ∈ Vk (S), A rangjának nevezzük. R és ∗ R feletti szuperstruktúrákat fogjuk vizsgálni. Jelölje Vk (R)t röviden Vk Legyen továbbra is U a természetes számok halmaza feletti ∗ N nemtriviális ultrasz¶r®. Minden k ≥ 0 egészre tekintsük a Vk = Vk /U Most az ultrahatványt. A kib®vítéseket a halmazok rangja szerinti rekurzióval adjuk ∗ meg, és egy Vk -beli halmaz kib®vítése Vk -ban lesz. ∗ Az üres halmaz kib®vítése önmaga. Ha A ∈ V0 = R, akkor A legyen A, azaz egy valós szám kib®vítése is saját maga. Ha A rangja 1, azaz A ∈ V1 V0 , akkor A ∈ P (V0 ), azaz A valós számok egy részhalmaza. A szintén korábbi meghatározásnak megfelel®en ekkor legyen ∗ Látható, hogy V1 (∗ R)-nek. ∗ A A = {(an )U ∈ ∗ R : {n : an ∈ A} ∈ U} . része ∗ R-nek, Hasonlóképpen folytatjuk a k ≥ 1, azaz A ∈ Vk Vk−1 , ∗ ∗ akkor azaz ∗ V0 -nak, és így eleme leképezés megadását. Ha A ∈ P

(Vk−1 ). P (∗ V0 )-nak és A ∈ V (R) rangja Ebben az esetben legyen A = {(an )U ∈ ∗ Vk−1 : {n : an ∈ A} ∈ U} . A ⊆ Vk−1 , a ∗ Vk−1 ultrahatvány elemei pedig Vk−1 -beli halmazokból álló sorozatok U szerinti ekvivalenciaosztályai. Másrészt ha más reprezentánst választunk: (an ) ≡U (bn ), akkor világos, hogy {n : bn ∈ A} ⊇ {n : an ∈ A és an = bn }, és ez utóbbi két U -beli halmaz metszete, ha (an )-nel teljesül a feltétel. Vagyis értelmes meghatározást adtunk, ∗ ∗ és a A halmaz Vk−1 -nek része. A Vk−1 halmaz maga k rangú V (R)-beli, de látható, hogy a deníciót A = Vk−1 -re alkalmazva éppen az ultrahatványt kapjuk vissza, ezért a ∗ Vk−1 Ez jó deníció, mert most jelölés a kétféle értelmezésben ugyanazt adja. 6 http://www.doksihu ∗ rangú halmazok kib®vítése a Vk−1 ultrahatványnak ∗ része. Ezt továbbvisszük úgy, hogy a kib®vítést a R feletti szuperstruktú∗ rában tudjuk

elhelyezni. Ehhez k ≥ 1 esetén a Vk−1 halmazt beágyazzuk a ∗ Vk−1 ( R) halmazba, és ementén végzünk azonosítást. ∗ A h : V V (∗ R) leképezést is a rang szerinti rekurzióval deniáljuk. k = 0-ra ∗ V0 = ∗ R, így h ∗ V0 -n legyen az identitás. Tegyük fel, hogy a h : ∗ Vk−1 Vk−1 (∗ R) beágyazást már deniáltuk, és ∗ Vk−1 minden elemét Tehát a Vk -beli k h-nál vett képével. ∗ Ha most A ∈ Vk ∗ Vk−1 , akkor A = (An )U , ahol az An ∈ Vk Vk−1 feltételt teljesít® n-ek halmaza U -beli, így feltehet®, hogy minden n ilyen. Ez azt jelenti, hogy minden n-re An ⊆ Vk−1 . Ezért értelmes a következ® azonosítottuk a deníció: h (A) = {(an )U ∈ ∗ Vk−1 : {n : an ∈ An } ∈ U} . Vagyis h (A) ⊆ ∗ Vk−1 , amit már azonosítottunk Vk−1 (∗ R) megfelel® elemei- vel. Azaz h (A) ⊆ ∗ Vk−1 ⊆ Vk−1 (∗ R) ⇒ h (A) ∈ Vk (∗ R) Vk−1 (∗ R) . Tehát h az R k feletti

szuperstruktúrában szuperstruktúrában k rangú halmazokhoz a ∗ R rangú halmazt rendel, és könnyen látható, hogy feletti h be- ágyazás, ezért a rekurzió folytatható. h menti azonosítás segítségével megkaptuk a ∗ : V V (∗ R) leképezést, amely minden V -beli halmazhoz hozzárendeli a nemstandard kib®vítését, és A megtartja a rangot. A nemstandard kib®vítések alkotják a nemstandard univerzumot. 4. deníció Legyen a szuperstuktúra kib®vítése ∗ V (R) = ∗ Vn (R). V (R) elemeit bels® halmazoknak, V (∗ R)∗ V (R) elemeit küls® halmazoknak S∞ ∗ n=0 nevezzük. 1.3 Az átviteli elv A nemstandard univerzum alapvet® tulajdonsága az átviteli elv, amely az eredeti és a kib®vített struktúrákban megfogalmazható formulák igazsága között teremt kapcsolatot. El®ször megadjuk, hogy mit tekintünk R feletti els®rend¶ formulának, és rögtön azt is hozzátesszük, hogy egy formulának mi a nemstandard

univerzum feletti kib®vítése. α természetes számokból álló m Vα(1) × . × Vα(m) Descartes-szorzatot Ha 7 hosszú sorozat, akkor jelölje Vα a http://www.doksihu xi változó Vα(i) -beli i = 1, 2, . , n-re, σ (1) , , σ (m) ∈ {1, , n}, V feletti alapformulák:
• xσ(1) , . , xσ(m)
∈ A, ahol A ⊆ V α Ennek nemstandard kib®vítése Xσ(1) , . , Xσ(m) ∈ ∗ A, ahol az Xi változó ∗ Vα(i) -beli i = 1, 2, , n Ha az akkor az alábbi formulák esetén.

• f xσ(1) , . , xσ(k) = xσ(k+1) , , xσ(m) , ahol f : A B függvény, A ⊆ Vα(σ(1)) × . × Vα(σ(k)) , B ⊆ Vα(σ(k+1))
× . × Vα(σ(m)) Ennek
nem∗ standard kib®vítése f Xσ(1) , . , Xσ(k) = Xσ(k+1) , , Xσ(m) , ahol ∗ ∗ az Xi változó Vα(i) -beli i = 1, 2, . , n esetén, f pedig az f függvény kib®vítése. Az els® esetben a Descartes-szorzat szokásos halmazelméleti deníciójából látható, hogy A is V -beli. A

második esetben az f függvény kib®vítéséhez ugyanúgy járunk el, mint a valós esetben: az argumentumok az ultrahatvánnyal adott nemstandard univerzumban V -beli elemek sorozatok ekviva- lenciaosztályaival adhatók meg, egy reprezentánsra f tagonként alkalmaz∗ ható, a kapott sorozat ekvivalenciaosztálya lesz f értéke. Ez nem függ a reprezentáns választásától. Legyen továbbra is az mészetes számokból álló j = 1, 2, . , p xi változó Vα(i) -beli i = 1, 2, . , n esetén, β terp hosszú sorozat, az yj változó pedig Vβ(j) -beli esetén. • ϕ (x1 , . , xn , y1 , , yp ) V feletti alapformula, és Aj ∈ Vβ(j) j = 1, . , p esetén, akkor ϕ (x1 , , xn , A1 , , Ap ) is V feletti alap∗ ∗ ∗ ∗ formula. Ennek kib®vítése ϕ (X1 , , Xn , A1 , , Ap ), ahol ϕ a ϕ ∗ kib®vítése, és az Xi változó Vα(i) -beli i = 1, 2, . , n esetén A ϕ Ha és ψ formulákból a következ® szabályokkal lehet újabb

formulákat képezni, értelmezésük a megszokott: • ¬ϕ, ennek kib®vítése ¬∗ ϕ; • ϕ ∨ ψ, kib®vítése ∗ ϕ ∨ ∗ψ; • ϕ ∧ ψ, kib®vítése ∗ ϕ ∧ ∗ψ; • ha az az • X ha az az X x ∃xϕ is formula, kib®vítése ∃X ∗ ϕ, ahol x ∀xϕ is formula, kib®vítése ∀X ∗ ϕ, ahol változó Vk -beli, akkor ∗ változó Vk -beli; változó Vk -beli, akkor ∗ változó Vk -beli. 8 http://www.doksihu ∗ ϕ A ∗ ψ V (R) és a ϕ és ψ formulák kib®vítéseit jelölik. feletti els®rend¶ formulák halmaza a legsz¶kebb olyan halmaz, amely tartalmazza a fent megadott alapformulákat, és zárt ezekre a m¶veletekre. A formulák felépítése szerinti indukcióval megadtuk minden V (R) feletti els®rend¶ formula nemstandard kib®vítését, melyek minden esetben ∗ V (R) feletti formulák. Egy formula szabad változói az alapformulák esetében az jelölt változók. Az utolsó két esetben az

x-szel, illetve formula szabad változói a ϕ és ψ X -szel ϕ-b®l az új formulában már nem szabad változó. A többi, xi -vel, Xi -vel és jelölt változó ψ -b®l képzett szabad változói együttesen. Az átviteli elv a szabad változó nélküli formulákról szól. 2. tétel Legyen ϕ V (R) feletti szabad változó nélküli formula Ekkor ϕ igaz V (R) felett ⇔ Bizonyítás. Legyen röviden ∗ ϕ igaz ∗ V (R) felett. V = V (R) és ∗ V = ∗ V (R). A bizonyításhoz tetsz®leges formula igazsághalmazát vizsgáljuk, belátjuk, hogy ha B = {(x1 , . , xm ) : ϕ (x1 , , xm ) igaz V felett} , akkor ∗ B = {(X1 , . , Xm ) : ∗ ϕ (X1 , , Xm ) igaz Ezt egy szabad változó nélküli formulára alkalmazva ∗ V B felett} . és ∗ B is vagy üres, vagy az egész halmaz, melyb®l a változók felvehetik értékeiket. Üres halmaz kib®vítése önmaga, ha pedig az egyes változók valamilyen Vk -beliek, akkor a ∗

formula kib®vítésében mindenhol Vk -beli változók szerepelnek, így ebb®l az állításból valóban következik az átviteli elv. A B -re vonatkozó állítást a ϕ formula felépítése szerinti indukcióval látjuk be. Ha a formulák denícióinak megfelel® jelöléseket használjuk, legyen el®ször 
B = (x1 , . , xn ) : xσ(1) , , xσ(m) ∈ A Az ultrahatvány segítségével megadott Xi ∈ Vα(i) ∗ ∗ leképezés denícióját használva az változónak sorozatok ekvivalenciaosztálya felel meg, és ezzel B = {(X1 , . , Xn ) : {k : (X1,k , , Xn,k ) ∈ B} ∈ U} =  
= (X1 , . , Xn ) : k : Xσ(1),k , , Xσ(n),k ∈ A ∈ U = 
= (X1 , . , Xn ) : Xσ(1) , , Xσ(n) ∈ ∗ A = = {(X1 , . , Xn ) : ∗ ϕ (X1 , , Xn ) igaz ∗ V felett} 9 http://www.doksihu Függvényre vonatkozó alapformula esetén a bizonyítás hasonlóan végezhet®, hiszen a függvény kib®vítését úgy deniáltuk, hogy a sorozat elemeire

alkalmaztuk a szóban forgó függvényt. Most tegyük fel, hogy ϕ-re már tudjuk az állítást, és legyen B = {(x1 , . , xn ) : ϕ (x1 , , xn , A1 , , Ap ) igaz V felett} . Ekkor ∗ B = {(X1 , . , Xn ) : {k : (X1,k , , Xn,k ) ∈ B} ∈ U} = = {(X1 , . , Xn ) : {k : ϕ (X1,k , , Xn,k , A1 , , Ap ) igaz} ∈ U} j = 1, . , p esetén Aj a konstans Aj sorozatot, mely ∗ Vβ(j) -beli, hiszen Aj ∈ Vβ(j) . Így a feltétel Aj -vel is megfogalmazható, és mivel ϕ-re
∗ teljesül az állítás, ekkor azt kapjuk, hogy ϕ X1 , . , Xn , A1 , , Ap -nek
∗ kell teljesülnie. Azonban a korábbi beágyazásra h Aj = Aj , ezek tehát a h menti azonosítás miatt megegyeznek. Tehát valóban Jelölje ∗ B = {(X1 , . , Xn ) : ∗ ϕ (X1 , , Xn , ∗ A1 , , ∗ Ap )} Tehát most is a kib®vített formula igazsághalmazát kaptuk meg. A ¬ϕ, ϕ ∨ ψ , ϕ ∧ ψ esetekben a bizonyítás hasonló, ha ϕ-re ψ -re már U -ban van,

és tudjuk az állítást. Például a metszetre: B = {(x1 , . , xn ) : (ϕ ∧ ψ) (x1 , , xn )} Két halmaz metszete pontosan akkor van hiszen U U -ban, felszálló és a véges metszetre zárt. ha mindkett® Ezt és az indukciós feltevést felhasználva: ∗ B = {(X1 , . , Xn ) : {k : (X1,k , , Xn,k ) ∈ B} ∈ U} = = {(X1 , . , Xn ) : {k : ϕ (X1,k , , Xn,k )} ∈ U} ∩ ∩ {(X1 , . , Xn ) : {k : ψ (X1,k , , Xn,k )} ∈ U} = = {(X1 , . , Xn ) : ∗ ϕ (X1 , , Xn ) , ∗ ψ (X1 , , Xn )} = = {(X1 , . , Xn ) : (∗ ϕ ∧∗ ψ) (X1,k , , Xn,k )} = = {(X1 , . , Xn ) :∗ (ϕ ∧ ψ) (X1,k , , Xn,k )} Az utolsó két eset közül csak a létezést vizsgáljuk. Most B = {(x1 , . , xn ) : ∃x ∈ Vj : ϕ (x, x1 , , xn )} , ∗ B = {(X1 , . , Xn ) : {k : ∃x ∈ Vj : ϕ (x, X1,k , , Xn,k )}} 10 http://www.doksihu Rögzítsük ennek egy elemét. Azokra legyen ez xk , Ekkor az ∗ létezik X ∈ különben xk k

-kra, melyekre létezik ilyen x ∈ Vj , tetsz®leges. (xk ) sorozat ekvivalenciaosztálya, mely ∗ Vj -beli, mutatja, hogy Vj , melyre ϕ (Xk , X1,k , . , X1,n ) teljesül k -knak U -beli halma- ϕ-re már teljesül az állítás, ebb®l következik, hogy erre az elemre ∗ létezik X ∈ Vk , mellyel ∗ ϕ igaz. Ugyanígy megfordítva, ha létezik ilyen ∗ X ∈ Vk , az k -knak U -beli halmazára megad egy-egy xk -t, mellyel ϕ teljezára. Ha sül. Azaz valóban ∗ B = {(X1 , . , Xn ) : ∃X ∈ ∗ Vj : ϕ (X, X1 , , Xn )}  Az átviteli elv alábbi következményei gyakran alkalmazhatók. 3. állítás Ha az A ⊆ ∗ R bels® halmaz tetsz®legesen nagy számot tartalmaz, akkor tartalmaz végtelen számot is. Bizonyítás. A valós számok teljessége miatt tudjuk, hogy minden nem üres valós számhalmaznak van legkisebb fels® korlátja. Ez megfogalmazható els®- V1 V0 -beli halmaz teljesíti ezt a tulajdonságot. ∗ ∗ Ezért az átviteli elv szerint

minden V1 V0 -beli halmaznak is van legkisebb ∗ fels® korlátja. Vagyis ha A ⊆ R nem üres bels® halmaz, van legkisebb fels® korlátja. Ha A tetsz®legesen nagy számot tartalmaz, akkor véges szám nem lehet A fels® korlátja. Ha viszont A-ban csak véges számok vannak, rend¶ formulával is, minden akkor bármely végtelen szám fels® korlát. Ezek közül pedig nincs legkisebb, könnyen látható az 1. deníció alapján, hogy végtelen számból egyet levonva  is végtelent kapunk. Az ellentmondás bizonyítja az állítást 4. állítás Legyen ϕ (x1 , , xm , y1 , , yn ) V feletti formula, ahol az xj változó Vα(j) -beli j = 1, , m esetén, az yk változó pedig Vβ(k) -beli k = 1, , n esetén. Ha aj ∈ ∗ Vβ(k) minden j = k, , n esetén, akkor az alábbi halmaz bels® halmaz: b = {(X1 , . , Xm ) ∈ ∗ Vα : ∗ ϕ (X1 , . , Xm , a1 , , an ) igaz ∗ V felett} Bizonyítás. Tekintsük a következ® V (R) feletti formulát: ∀y1

. ∀yn ∃z∀x1 ∀xm [(x1 , , xm ) ∈ z ↔ ϕ (x1 , , xm , y1 , , yn )] Az egyes változókra ugyanaz vonatkozik, mint ami az állításban szerepel, z változó pedig Vp -beli, ahol p (x1 , . , xm ) alakú objektumokat a az az index, amelyre 11 Vp tartalmazza az http://www.doksihu Ez egy szabad változók nélküli formula, mely igaz igazsághalmaz benne van a V felett, hiszen a z V szuperstruktúrában. Ezért az átviteli elv al∗ kalmazható, a formula kib®vítése igaz V -ben. Az, hogy egy objektum z - beli, az eredeti struktúrában természetes módon értelmezhet®, és megadható egy relációval. Könnyen látható, hogy az azonosítás miatt ennek kib®vítése ∗ megegyezik azzal, hogy a V ( R) szuperstruktúrában az els® halmaz eleme a ∗ másiknak. Tehát az átviteli elv szerint a következ® formula teljesül V felett: ∀Y1 . ∀Yn ∃Z∀X1 ∀Xm [(X1 , , Xm ) ∈ Z ↔ ϕ (X1 , , Xm , Y1 , , Yn )] A feltétel

szerint Y1 , . , Y n ak ∈ ∗ Vβ(k) minden k = 1, . , n esetén, ezért ezek helyére kerülhetnek a kib®vített formulában, és így ∃Z∀X1 . ∀Xm [(X1 , , Xm ) ∈ Z ↔ ϕ (X1 , , Xm , a1 , , an )] A kib®vített formulában a Z változó ∗ Vp -beli, vagyis egy bels® halmaz teljesíti a formula feltételét. Látható, hogy ez éppen a tehát A b 4. b halmazt adja meg,  bels® halmaz. állítás a bels® deníció elve. 12 http://www.doksihu 2. fejezet A Wiener-folyamat konstrukciója Célunk a Wiener-folyamat konstrukciója, a Wiener-mérték reprezentációja n lépésb®l álló szimmetrikus bolyongás lehetséges trajektóriái n hosszú {−1, 1} sorozatokkal adhatók meg, nemstandard eszközökkel [1], [3] nyomán. Az és az egyes trajektóriák egyformán valószín¶ek. Ennek megfelel®en a nem∗ standard esetben legyen N ∈ N N. Azokat az N -nél nem nagyobb nemhalmazon értelmezett, {−1, 1} érték¶

függvényeket fogjuk vizsgálni, melyek gráfja bels® halmaz. Ezek a standard pozitív egészekb®l álló {1, . , N } függvények alkotják majd az eseményteret, és a bel®lük nyert töröttvonalak standard részeit véve kapjuk a folyamat lehetséges trajektóriáit. Olyan valós érték¶ mértéket kell megadnunk az eseménytéren, melyre a folyamat Wienerfolyamat. Ehhez el®ször jellemezzük az eseménytér elemeit az ultrahatványok segítségével felépített nemstandard univerzumban, majd nemstandard valós érték¶, normált számlálómértéket adunk meg az eseménytéren, mely végesen additív. Azonban az ultrahatványokkal megadott nemstandard univerzum egy fontos tulajdonsága, az úgynevezett standard számlálómérték σ -additív ℵ1 -szaturáltság miatt ez a nem- is, és ez lehet®vé teszi, hogy valós érték¶ mértéket származtassunk bel®le. Így kapjuk az úgynevezett Loeb-mértéket Végül belátjuk, hogy ezzel a mértékkel

valóban Wiener-folyamatot kaptunk. 2.1 Bels® függvények és hipervégesség 5. deníció Legyenek A ⊆ Vl valamilyen k és l pozitív egészekre. Egy f : A B függvényt akkor nevezünk bels® függvénynek, ha gráfja, azaz Γf = {(a, b) ∈ A × B : y = f (x)} bels® halmaz. ∗ Vk és B ⊆ ∗ A bels® deníció elve, a 4. állítás szerint ilyenkor A és B bels® halmazok. Az alábbi állítás adja a bels® függvények jellemzését az ultrahatványokkal képzett nemstandard univerzumban. 13 http://www.doksihu 5. állítás Legyenek A = (An )U ⊆ ∗ Vk és B = (Bn )U ⊆ ∗ Vl bels® halmazok f : A B pontosan akkor bels® függvény, ha megadható fn : An Bn függvények sorozata úgy, hogy ha a = (an )U ∈ ∗ A, akkor f (a) = (fn (an ))U . Bizonyítás. Egyrészt ha b = (bn )U ∈ B , és Γfn fn jelöli gráfját, akkor az fn sorozattal megadott függvény gráfja: {(a, b) ∈ A × B : {n : bn = fn (an )} ∈ U} = = {(a, b) ∈ A × B : {n

: (an , bn ) ∈ Γfn } ∈ U} = (Γfn )U a h beágyazás menti azonosítás miatt. Ez a megfelel® ultrahatvány egy eleme, így bels® halmaz. Megfordítva, ha Γf bels® halmaz, akkor megadható a megfelel® ultrahat- vány egy elemeként, így valamely (Fn ) halmazsorozatra Γf = {(a, b) ∈ A × B : {n : (an , bn ) ∈ Fn } ∈ U} . Ha létezne n-eknek U -beli halmaza, melyekre valamilyen an ∈ Vk -ra (an , bn ) 0 0 és (an , bn ) is Fn -beli, ahol bn 6= bn , akkor Γf alakja miatt az ((an )U , (bn )U ) és 0 ((an )U , (bn )U ) is Γf -beli lenne. Ugyanakkor a két pár els® eleme megegyezik, 0 a második viszont különböz®, hiszen n-ek U -beli halmazára bn 6= bn . Ez ellentmond annak, hogy Γf az f függvény gráfja. Másrészt minden an -re, mely szerepelhet egy eleme an . Tehát gráfja, így az f n-ek A-beli U -beli elemben, van olyan pár halmazára az Fn Fn -ben, melynek els® halmaz maga is egy függvény függvény valóban felírható

függvények sorozatával.  Ezután a végességnek megfelel® fogalmat vezetünk be a nemstandard univerzumban, és egy lehetséges meghatározását adjuk a véges halmazok számosságának. 6. deníció Jelölje Fk a Vk (R)-beli véges halmazok családját Egy a ∈ V (∗ R) halmazt hipervégesnek vagy ∗ -végesnek nevezünk, ha a ∈ ∗ Fk valamely k pozitív egészre. Látható, hogy hipervéges halmaz csak bels® halmaz lehet. A hipervéges- Fk bizonyos Vk -beli halmazokból áll, Fk ∈ P (Vk ) = Vk+1 Vk . Tehát Fk k + 1 rangú halmaz az ség más módon is megfogalmazható. így Fk ⊆ Vk , azaz R feletti szuperstruktúrában. Ezért az ultrahatványok segítségével megadott konstrukcióban ∗ ∗ Vagyis ∗ Fk Fk = {(an )U ∈ ∗ Vk : {n : an ∈ Fk } ∈ U} , Fk = {(an )U ∈ ∗ Vk : {n : an a véges Vk -beli véges} ∈ U} . halmazokból álló sorozatok ekvivalenciaosztá- lyait tartalmazza. Fontos példa lesz a következ® 14

http://www.doksihu 7. deníció Ha N ∈ ∗ N N, akkor az {n ∈ ∗ N : n ∗ ≤ N } halmazt jelölje {1, . , N } N egy természetes számokból álló sorozat U szerinti ekvivalenciaosztálya, ∗ jelölésben N = (Nn )U . Ekkor {1, , N } pontosan azokat az a = (an )U ∈ R számokat tartalmazza, melyekre {n : an ∈ {1, 2, . , Nn }} ∈ U A nemstan∗ dard univerzumban ez a halmaz azonos az A = (An )U ∈ V1 elemmel, ahol An = {1, 2, . , Nn }, hiszen ez h (A), és h mentén azonosítást végeztünk Nn véges, így véges halmazokból álló sorozat ekvivalenciaosztálya. Tehát {1, , N } hipervéges ∗ Ugyanakkor szintén a h leképezés segítségével látható, hogy N = (N, N, . )U Ez utóbbiról pedig világos, hogy hipervéges, minden nem hipervéges, csupa végtelen halmazból álló sorozat ekvivalenciaosztálya. A következ® állítás lényege, hogy a hipervéges halmazoknak a nemstan∗ N-beli szám. dard univerzumon belül is értelmezhet®

számossága, ami egy 6. állítás A ∈ V (∗ R) pontosan akkor hipervéges, ha valamely N ∈ ∗ N- re létezik b : A {1, . , N } bels® bijekció Ha létezik ilyen N , akkor az egyértelm¶. Bizonyítás. An véges halmaz. Legyen Nn ∈ N az An elemszáma, ilyenkor létezik bn : An {1, . , Nn } bijekció. Ekkor ha a = (an )U ∈ A, azaz n-ek U -beli halmazára an ∈ An , akkor legyen b (a) = (bn (an ))U . Ez egyértelm¶, és a bels® függvények jellemzésénél láttuk, hogy az ilyen alakban megadott b bels® függvény. Világos, hogy b bijekció: egyrészt minden sorozat el®fordul, hiszen minden n-re is az összes Nn -nél nem nagyobb pozitív egész el®fordul, másrészt, ha b (a) és b (a0 ) n. tagja egyenl®, akkor b alakja miatt an és bn megegyezik, hiszen bn bijekció. Ha A hipervéges, akkor A = (An )U , ahol Tehát valóban bels® bijekciót adtunk meg. Megfordítva, ha adott b : A {1, . , N } bels® bijekció valamely N = (Nn )U -re, az is

csak ilyen alakú lehet: b (a) = (bn (an ))U . Azt kellene belátni, hogy n-eknek U -beli halmazára bn bijekció An és {1, . , Nn } között 0 0 Ha n-eknek U -beli halmazára van olyan an 6= an , melyekre bn (an ) = bn (an ), 0 0 akkor b (a) = b (a ), holott a 6= a , ez nem lehet, mert b bijekció. Hasonlóképpen, ha n-eknek U -beli halmazára kn ∈ {1, , Nn } nem szerepel bn értékkészletében, akkor (kn )U ∈ {1, . , N } nem szerepel b értékkészletében, ez sem lehet. Tehát n-eknek U -beli halmazára bn bijekció An és {1, , Nn } között, így An véges. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy A = (An )U hipervéges Az egyértelm¶ség a megfordítás bizonyításából adódik. Láttuk, hogy ha b : A {1, . , N } bels® bijekció, akkor n-eknek U -beli halmazára bn bijekció An és {1, . , Nn } között, így Nn csak An elemszáma lehet, N = (Nn )U egyértelm¶.  15 http://www.doksihu 8. deníció Egy A ∈ V (∗ R) hipervéges halmaz bels®

számossága az az egyetlen N ∈ ∗ N nemstandard természetes szám, melyre létezik b : A {1, . , N } bels® bijekció Jelölése: |A| Ezek alapján már meg tudjuk adni azt az eseményteret, melyen kés®bb Wiener-folyamatot deniálunk, és azt a normált nemstandard számlálómértéket, melyb®l a standard valószín¶ségi mértéket származtatjuk majd. ∗ Legyen tehát N ∈ N N, Ω pedig az {1, . , N }-n értelmezett, {−1, 1}- a∈ {1, . , N } esetén ω (a) ∈ {−1, 1} Mivel ω bels® függvény, minden n ∈ N-re létezik ωn : {1, . , Nn } {−1, 1} függvény úgy, hogy ω (a) = (ωn (an ))U , ha a = (an )U ∈ {1, . , N }, és N = (Nn )U Ez azt jelenti, hogy ω (a) értéke −1, ha n-eknek U -beli halmazára ωn (an ) = −1, és 1, ha n-eknek U -beli halmazára ωn (an ) = 1. Az ωn : {1, . , Nn } {−1, 1} függvény egy Nn lépésb®l álló trajektóriát ír le, vagyis ω tekinthet® bolyongások sorozatának. Jelölje Ωn az {1, . ,

Nn }-n értelmezett, {−1, 1} érték¶ függvények halN mazát. Ilyen függvény 2 n van Ebb®l következik, hogy Ω bels® számossága
N1 N2 N 2 , 2 , . U = 2 Másrészt, ha A ⊆ Ω bels® halmaz, azaz A = (An )U , ahol An ⊆ Ωn , akkor minden An véges, így A hipervéges, A bels® számossága értelmezhet®. Ezért ha A az Ω bels® részhalmazainak algebrája, akkor ∗ értelmes a következ® M : A [0, ∞) függvény: be képez® bels® függvények halmaza. Vagyis ha M (A) = Könnyen látható, hogy M ω ∈ Ω, akkor minden |A| . 2N maga is bels® függvény, végesen additív, és M (Ω) értéke 1. A következ® lépésben tehát egy végesen additív nemstandard mértékb®l kell valós érték¶ mértéket származtatnunk, ez lesz a Loeb-mérték. 2.2 A Loeb-mérték Legyen Ω ∈ ∗V A olyan bels® algebra, amely Ω bizonyos bels® M : A ∗ [0, ∞) olyan függvény, amely bels® halmaz, részhalmazaiból áll. Legyen • bels®

függvény az 5. deníció értelmében; • végesen additív, azaz M (A ∪ B) = M (A) + M (B), diszjunkt halmazok; • véges, azaz M (Ω) véges. 16 ha A, B ∈ A http://www.doksihu Az 1. állítás szerint minden véges valós számnak van standard része, vagyis van egy olyan valós szám, amellyel végtelenül közel vannak egymás◦ hoz. Ezt x-szel vagy st (x)-szel jelöljük Minden A ∈ A halmazra M (A) ◦ véges valós szám, ezért deniálhatjuk a M : A [0, ∞) leképezést, úgy, ◦ ◦ hogy M (A) = (M (A)) minden A ∈ A halmaz esetén. Könnyen látható, ◦ hogy M is végesen additív. Ebb®l a Carathéodory-tétel segítségével adjuk ◦ meg a Loeb-mértéket. Ehhez szükséges, hogy M σ -additív is legyen, ezt az alábbi állítás biztosítja, hiszen ebb®l következik, hogy a nemstandard univerzumban megszámlálható sok halmaz uniója megkapható az els® néhány halmaz uniójaként. 7. állítás Legyen F bels® halmazok egy

családja a nemstandard univerzum- ban. Ha F megszámlálható, és bármely véges sok F -beli halmaz metszete nem üres, akkor az összes F -beli halmaznak van közös eleme. Bizonyítás. Ha k ∈ N, Fk bels® halmaz, ezért az ultraszorzatban (Fk,n )U alakban írható. F1 U -beli n-re F1,n nem üres. Ha 0 például F1,n 6= ∅ valamely n ∈ N-re, akkor legyen F1,n = ∅ esetén F1,n = F1,n , 0 0 különben pedig F1,n = F1,n . Így F1,n egyetlen n-re sem üres, továbbá (F1,n )
0 és F1,n U szerint ekvivalensek, hiszen U -beli sok n-re nem változtattunk. Indukcióval haladunk tovább. Tegyük fel, hogy már minden 1 ≤ j ≤ m-re 0 0 0 és minden n ∈ N-re deniáltuk az Fj,n halmazt, úgy, hogy F1,n ∩ . ∩ Fm,n
0 egyetlen n ∈ N-re sem üres, és minden 1 ≤ j ≤ m-re (Fj,n ) és Fj,n U szerint 0 0 ekvivalensek. Ha egy adott n ∈ N-re F1,n ∩ ∩ Fm,n ∩ Fm+1,n = ∅, akkor 0 0 0 legyen Fm+1,n = F1,n ∩ . ∩ Fm,n , tudjuk, hogy ez nem üres

halmaz, különben 0 pedig legyen Fm+1,n = Fm+1,n . A feltételezés szerint F1 ∩ ∩Fm+1 nem üres, azaz F1,n ∩ . ∩ Fm+1,n U -beli sok n-re nem üres, és az eddigi deníciókban 0 minden 1 ≤ j ≤ m-re U -beli sok n-re Fj,n = Fj,n , így teljesül, hogy (Fm+1,n )
0 és Fm+1,n U szerint ekvivalensek. A denícióból könnyen látható, hogy a megfelel® metszet egyetlen n-re sem üres, mindkét tulajdonság teljesül, nem üres, ami azt jelenti, hogy sok folytatható az indukció. Végül legyen am ∈ Fj,m , és U am ∈ F1,m ∩ . ∩ Fm,m Azaz minden nem triviális ultrasz¶r®, így (am )U ∈ Fj 1 ≤ j ≤ m-re minden j ∈ N- re, a metszet valóban nem üres.  A 7. állításban megfogalmazott tulajdonságot ℵ1 -szaturáltságnak nevezik 17 http://www.doksihu 8. tétel A ◦ M valós, végesen additív halmazfüggvény egyértelm¶en kiter- jeszthet® mértékké a σ (A) σ -algebrára. Bizonyítás. ◦ M σ-additivitását n ∈ N-re

An ∈ A úgy, hogy halmazok, és egyesítésük AS∞ezek páronként diszjunkt Sn beli. Legyen A = n=1 An , és Bn = A m=1 Am . Tegyük fel, hogy egyik Bn sem üres. A (Bn ) halmazsorozat monoton fogyó, ezért ebben az esetben véges sok Bn halmaz metszete közülük a legnagyobb index¶ halmaz, tehát nem üres. Az An halmazok és A is A-beliek, így bels® halmazok, ezért könnyen látható, hogy Bn is bels® halmaz minden n pozitív egészre. Vagyis a (Bn ) halmazsorozatra alkalmazható a 7. állítás, azaz a ℵ1 -szaturáltság miatt ekkor T ∞ n=1 Bn sem üres, ez ellentmond A deníciójának. Tehát nem lehet, hogy egyik Bn sem üres, létezik olyan m ∈ N, hogy S A= m n=1 An . Mivel az An halmazok páronként diszjunktak, ez azt jelenti, ◦ hogy Ak = ∅, ha k > m egész. Tudjuk, hogy M és M végesen additív, így ! ! ∞ m m ∞ X X [ [ ◦ ◦ ◦ ◦ M (Ak ) , M (Ak ) = M Ak = Ak = M ellen®rizzük. k=1 k=1 k=1 Legyen minden k=1 ◦ ◦ hiszen az

eddigiekb®l következik, hogy k > m-re M (Ak ) = M (∅) = 0. ◦ Vagyis M valóban σ -additív. Feltételeztük, hogy M (Ω) véges, így az is ◦ ◦ teljesül, hogy M σ -véges. Ezért a Carathéodory-tétel szerint M egyértelm¶en terjeszthet® ki a A Loeb-mérték a σ (A) σ -algebrára. ◦ M  végesen additív mérték ebben tételben szerepl® kiterjesztésének teljessé tétele lesz. 9. deníció Legyen (Ω, A, M ) mint fent A σ (A) σ-algebra teljessé téte- lét Loeb-féle σ -algebrának nevezzük, jelölése: L (A). A ◦ M végesen additív mérték a 8. tétel alapján egyértelm¶en kiterjeszthet® teljes mértékké a L (A) Loeb-féle σ -algebrára is, ezt a teljes mértéket nevezzük az M -b®l származatott Loeb-mértéknek. Jelölése: ML A Loeb-mértéket is megadhatjuk másféleképpen. Egy lehetséges megközelítés a következ®: egy B⊆Ω halmazt Loeb-nullmérték¶nek nevezünk, ha ε > 0 valós számhoz létezik olyan A ∈

A halmaz, melyre B ⊆ A, és M (A) < ε. Ekkor ha B ⊆ Ω tetsz®leges, B pontosan akkor L (A)-beli, ha van olyan A-beli A halmaz, melyre a B 4 A szimmetrikus dierencia Loeb◦ nullmérték¶. Ilyenkor legyen ML (B) = M (A) bármelyik olyan A ∈ A-ra, mely teljesíti az el®z® feltételt. Belátható, hogy B pontosan akkor Loebnullmérték¶, ha ML (B) = 0, és visszakapjuk az el®bbi fogalmakat ([2]) minden 18 http://www.doksihu B ⊆ Ω pontosan akkor L (A)-beli, ha minden ε > 0 A és C A-beli halmazok úgy, hogy A ⊆ B ⊆ C , és Az is igazolható, hogy valós számhoz léteznek M (C A) < ε. Végül denálhatjuk a bels® és küls® Loeb-mértéket is: M (B) = sup {◦ M (A) : A ⊆ B, A ∈ A} , M (B) = inf {◦ M (A) : A ⊇ B, A ∈ A} . B pontosan akkor Loeb-mérhet®, ha 2.3 Loeb-integrálelmélet Tekintsük az teret. M (B) = M (B). Ω-n (Ω, A, M )-b®l (Ω, L (A) , ML ) származtatott értelmezett valós, illetve nemstandard valós

érték¶ függvények mérhet®ségét és integrálját deniáljuk az ML −∞-nel és ∞-nel M Ra és kapcsolatot keresünk a kétféle integrál között. jelöli Loeb-féle mérték- mértékek szerint, majd valós számok halmazát kiegészítve. 10. deníció Az f : Ω R függvény Loeb-mérhet®, ha mérhet® az L (A) Loeb-féle σ -algebrára nézve. Az F : Ω ∗ R függvény ∗ -mérhet®, ha bels® függvény, és α, β ∈ ∗ R esetén F −1 ([α, β]) ∈ A, ahol [α, β] az {x ∈ ∗ R : α ∗ ≤ x ∗ ≤ β} hipervalós intervallum. A két fogalom közötti kapcsolatot leíró tétel bizonyításához el®ször egy lemmára van szükségünk. 1. lemma Legyen B bels® halmaz, (ck )k∈N B elemeib®l álló tetsz®leges sorozat Ekkor létezik olyan g : teljesül minden k ∈ N-re. Bizonyítás. melyekre Legyen Fm g (m) = cm . ∗ N B bels® függvény, melyre g (k) = ck az olyan A 4. g : ∗ NB állítás, a bels® deníció

elve szerint halmaz, és világos, hogy bármely véges sok indexekre legyen g (n) = c1 , bels® függvények halmaza, Fm Fm bels® metszete nem üres, kimaradó így szintén a bels® deníció elve szerint bels® sorozatot kapunk. Ezért a 7 állítás, az ℵ1 -szaturáltság szerint az összes metszete sem üres, a metszetbeli elem pedig megfelel® kiterjesztés. 19 Fm  http://www.doksihu 9. tétel Legyen f : Ω R Ekkor az alábbiak ekvivalensek: 1. f Loeb-mérhet®; 2. van olyan F : Ω ∗ R ∗ -mérhet® függvény, melyre f (ω) ≈ F (ω) ML -majdnem minden ω ∈ Ω esetén. Ha f korlátos, akkor F ugyanazzal a korláttal választható. Bizonyítás. Legyen F : Ω ∗ R *-mérhet® függvény. Tetsz®leges r ∈ R-re   1 ω ∈ Ω : F (ω) ≤ r + {ω ∈ Ω : F (ω) ≤ r} = . n n∈N ◦ mérhet®sége miatt σ (A)-beli halmazok metL (A)-beli. Tehát ◦ F Loeb-mérhet® Ha f (ω) ≈ F (ω) A jobb oldalon álló halmaz F σ (A) ⊂ ML

-majdnem minden ω ∈ Ω esetén, akkor az ML Loeb-mérték teljessége miatt ebb®l f Loeb-mérhet®sége is következik. Megfordítva, tegyük fel, hogy f Loeb-mérhet®. Rendezzük sorozatba a racionális számokat: (qn )n∈N , és legyen Bn = {ω ∈ Ω : f (ω) ≤ qn }. Minden n = 1, 2, -re válasszuk meg az An ∈ A bels® halmazokat úgy, hogy ML (An 4 Bn ) = 0, ilyen van Bn Loeb-mérhet®sége miatt van. Az is feltehet®, hogy An ⊆ Am , ha qn ≤ qm Az (An ) sorozat kiterjeszthet® (An )n∈ ∗ N A-beli sorozattá az 1. lemma szerint, hiszen A maga is bels® halmaz Mivel ez a tulajdonság tetsz®leges N-beli indexre teljesül, és bels® halmazt ∗ ír le, a 3. állítás szerint van olyan K ∈ N N, hogy bármely n, m ≤ K ∗ N-beli számokra qn ≤ qm -b®l An ⊆ Am következik. A (qn )n≤K halmaz hipervéges, és válasszuk meg az in indexeket úgy, hogy qi1 < qi2 < . < qin teljesüljön. Ennek segítségével legyen Ai0 = ∅, és ( qij ha ω ∈

Aij Aij−1 , F (ω) = / AiK . qiK + 1 ha ω ∈ szete, így S n∈N An 4 Bn ML szerint nullmérték¶ halmazon kívül F (ω) ≤ qn ponto◦ san akkor teljesül, ha f (ω) ≤ qn fennáll minden n ∈ N-re, így F (ω) = f (ω), Az F megfelel®. Ha f ≤k valamilyen k -ra, akkor F ∧k is kielégíti az állítás feltételeit.  11. deníció Ha f és F teljesíti a tételben szerepl® második feltételt, akkor F -t f felemeltjének nevezzük az ML Loeb-mértékre nézve. 20 http://www.doksihu F : Ω ∗ R függvényekre a standard integrál átvitelével kapjuk az F dM integrál értelmezéΩ sét. Az f : Ω R függvény esetében pedig a ML mérték szerint vehetünk R integrált a szokásos értelemben, ez f dML . Az alábbi állítások, melyek Ω bizonyítása [2]-ben megtalálható, a kétféle integrál viszonyáról szólnak, f és F között megfelel® kapcsolatot feltételezve. M Ha nemstandard valós érték¶ mérték, akkor az R 10. tétel

Ha F : Ω ∗ R korlátos ∗ -mérhet® függvény, akkor ◦ Z Z ◦ F dM = F dML . 11. tétel Ha F : Ω ∗ R ∗ -mérhet® függvény, melyre F ∗ ≥ 0, akkor Z ◦ F dML ≤ 12. deníció Legyen F : Ω ∗ ◦ Z F dM. R ∗ -mérhet® függvény, M véges bels® mérték. Ekkor azt mondjuk, hogy F S-integrálható, ha 1. R Ω |F |dM véges; 2. ha A ∈ A és M (A) ≈ 0, akkor R A |F |dM ≈ 0. 12. tétel Legyen F : Ω ∗ R ∗ -mérhet® függvény, melyre F ∗ ≥ 0 Ekkor a következ®k ekvivalensek: 1. F S-integrálható; 2. ◦ F Loeb-integrálható, és ◦ R F dM = R ◦ F dML . 13. állítás Egy R bels® F függvény pontosan akkor S-integrálható, ha minden végtelen K -ra 2.4 |F |>K |F |dM ≈ 0. A Wiener-folyamat konstrukciója a Loebmérték segítségével Visszatérve a Wiener-folyamat konstrukciójához és a korábbi jelölésekhez, N = (Nn )U ∈ ∗ N N, Ω az {1, . , N }-n értelmezett bels® függvények

halmaza, A pedig az Ω bels® részhalmazaiból álló algebra. Továbbá, ha A ∈ A, és |·| jelöli a bels® számosságot, akkor M (A) = 21 |A| . 2N http://www.doksihu Láttuk, hogy M teljesíti azokat a feltételeket, amelyek a Loeb-mérték szár- maztatásához szükségesek, így beszélhetünk az (Ω, L (A) , ML ) Loeb-féle va- −1, 1 sorozatokból lószín¶ségi mértéktérr®l. Ahogy a véges sok lépésb®l álló bolyongásoknál is a töröttvonalakat képeztünk, most is ehhez hasonlóan járunk el. r∈R n ∈ N közül, ez r Ehhez szükség van a nemstandard egész rész értelmezésére. Egy pozitív valós szám esetén tudjuk, hogy egyértelm¶en létezik olyan egész, mely a legnagyobb az r-nél nem nagyobb pozitív egészek ∗ egész része, jelölése [r]. Ennek alapján ha x = (xn )U ∈ R nemstandard va∗ lós, akkor [x] = ([xn ])U . Azonban a fenti tulajdonság els®rend¶ formulával ∗ megfogalmazható, ezért az átviteli elv

szerint [x] az az egyértelm¶ nemstan∗ dard pozitív egész, mely legnagyobb az x-nél nem nagyobb N-beli számok között, vagyis ezt tekinthetjük x nemstandard egész részének, és röviden [x]- szel jelöljük. Az is látható, hogy ha x ∗ ≤ N, akkor [x] ∗ ≤ N. Ezek alapján az alábbi deníció értelmes:   [N t] X 1 ω (a) + (N t − [N t]) ω ([N t + 1]) , χ (t, ω) = √  N a=1 ha t∈ ∗ [0, 1] és ω ∈ Ω. Ezzel tehát megadtuk a χ: ∗ [0, 1] × Ω ∗ R függ- vényt. Ebb®l származtatjuk a következ®, valós érték¶ véletlen folyamatot: β (t, ω) = ◦ χ (t, ω) , t ∈ [0, 1] , ω ∈ Ω. β : [0, 1] × Ω R folya(Ω, D, P ) = (Ω, L (A) , ML ) Loeb-féle valószín¶ségi Azt szeretnénk belátni, hogy az így megadott mat Wiener-folyamat az mértéktéren. β (ω, 0) = 0 minden ω ∈ Ω-ra. Minden t ∈ [0, 1]-re χ (t, ·) bels® függvény, így A-mérhet® a 10. deníció értelmében.

Ezért a 9 tétel nyomán β (t, ·) Loeb-mérhet®, azaz mérhet® L (A)-ra nézve. Filtrációként az Ft = σ ({β (s, ·) : s ≤ r}) ⊆ L (A) terméVilágos, hogy szetes ltrációt használjuk. 14. állítás Legyen s ∈ [0, 1], s < t és α ∈ R Ekkor β (t, ω) − β (s, ω) normális eloszlású 0 várható értékkel és t − s szórásnégyzettel. Bizonyítás. Deníció szerint P ({ω : β (t, ω) − β (s, ω) ≤ α}) = P ({ω : ◦ χ (t, ω) − ◦ χ (s, ω) ≤ α}) . Könnyen látható, hogy ∗ den m ∈ N-re x ≤ x ∈ ∗ R, ◦ x ≤ α pontosan akkor teljesül, ha minα + 1/m. Ezért ez utóbbi esemény az X (ω) = 22 http://www.doksihu χ (t, ω) − χ (s, ω) jelöléssel az X ≤ α + 1/m események P valószín¶ségi mérték folytonossága miatt   1 ◦ P ( X ≤ α) = lim P X ≤ α + . m∞ m metszete, és így a X (ω) is bels® függvény, ezért ez utóbbi események mind Loeb-mérték konstrukciója miatt pedig A-n P

megegyezik M A-beliek. A standard ré- szével. Tehát ◦ P ( X ≤ α) = lim ◦ m∞ Ha ω = (ωn )U ∈ Ω rögzített, akkor   M 1 X ≤α+ m χ-t is felírhatjuk . χ = (χn )U alakban, ahol  χn (t, ω) = √  [Nn t] 1  ωn (a) + (Nn t − [Nn t]) ωn ([Nn t] + 1) . N n a=1 X χn (s, ω), és ebb®l Xn (ω) = χn (t, ω) − χn (s, ω). Láttuk, Ωn az Nn lépésb®l álló szimmetrikus bolyongás trajektóriáit tartalmazza. Legyen Pn az egyenletes valószín¶ségi mérték Ωn -n, ekkor az M nemstandard számlálómérték deníciója miatt     1 1 = Pn Xn ≤ α + . Mn X ≤ α + m m Hasonlóan kapható hogy Ω = (Ωn )U , ahol Vezessük be a következ® jelöléseket: [Nn t] λn = [Nn t] − [Nn s] , Sn (ω) = X ωn (a) . a=[Nn s]+1 Ekkor √ Nn Xn (ω) az alábbi módon írható át: Sn (ω) + (Nn t − [Nn t]) ωn ([Nn t] + 1) − (Nn s − [Nn s]) ωn ([Nn s] + 1) , √ amib®l leolvashatjuk, hogy Nn Xn és

Sn eltérése legfeljebb 2. α és m most rögzített, legyen még ε > 0 adott. Pn egyenletes eloszlást adott meg a -1, 1 sorozatokon, ezért Sn λn = [Nn t] − [Nn s] darab, független, 1/2-1/2 valószín¶séggel 1-t illetve -1-t felvev® valószín¶ségi változó összege. Ezért a centrális határeloszlás-tételt alkalmazhatjuk, létezik olyan ha Nn > k 0 , akkor  Pn    1 1 √ Sn ≤ α + 1/m − Φ α + < ε, m λn 23 k0 , hogy http://www.doksihu ahol Φ jelöli a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét. Ez egyenletesen δ > 0, hogy |x − y| < δ -ból |Φ (x) − Φ (y) | < ε folytonos, így van olyan következik. Válasszuk k0 -t olyannak, az el®z® feltételen kívül hogy minden k > k0 esetén ezek is teljesüljenek: √ 1 δ k 1 p < −√ 2α+ t−s [kt] − [ks] Ekkor ha  Pn N ∈ Nn > k 0 , √ √   Nn Nn 1 = Pn √ Xn ≤ √ ≤ α+ m λn λn √     1 Nn 1 2 ≤ Pn √ S n ≤ √ α+

+√ ≤ m λn λn λn     α + m1 α + m1 1 + 2δ ≤ Φ √ ≤ Pn √ S n ≤ √ + ε. t−s t−s λn  ∗ n-eknek U -beli így 1 < δ. 2 [kt] − [ks] 2 p akkor 1 Xn ≤ α + m N N, 1 , m Nn > k 0 n-eknek U -beli halmazára,     α + m1 1 + ε. ≤Φ √ M X ≤α+ m t−s halmazára teljesül az Vagyis a kapott egyenl®tlenség is fennáll ε>0 tetsz®leges volt, ezért a bal oldal standard része legfeljebb Φ feltétel. így  1 α+ m √ t−s  . Hasonló módon alsó becslést is végezhetünk. Tehát  1 P ( X ≤ α) = lim M X ≤ α + = m∞ m     α + m1 α = lim Φ √ =Φ √ , m∞ t−s t−s ◦ vagyis valóban ◦ β (t, ·) − β (s, ·)  normális eloszlású 0 várható értékkel és szórásnégyzettel. t−s  A függetlenség kérdését el®ször általánosabban közelítjük meg nemstandard valószín¶ségi változók esetén. 13. deníció Legyen (Ω, A, M ) nemstandard valószín¶ségi

mértéktér, azaz M (Ω) = 1. X : Ω ∗ R nemstandard valószín¶ségi változó, ha A-mérhet®. 24 http://www.doksihu Legyen I tetsz®leges indexhalmaz, ekkor az {Xi }i∈I valószín¶ségi változók -függetlenek, ha N ∈ ∗ N esetén minden hipervéges {X1 , . , XN } részhalmazra és (α1 , , αN ) ∈ ∗ Rm bels® sorozatra ∗ M ({ω : X1 (ω) < α1 , . , XN (ω) < αN }) = N Y M ({ω : Xk (ω) < αk }) . k=1 Az {Xi }i∈I valószín¶ségi változók S-függetlenek, ha n ∈ N esetén minden véges {X1 , . , Xn } részhalmazra és (α1 , , αn ) ∈ Rm sorozatra M ({ω : X1 (ω) < α1 , . , Xn (ω) < αn }) ≈ n Y M ({ω : Xk (ω) < αk }) . k=1 Világos, hogy a ∗ -függetlenségb®l következik az S-függetlenség. 15. állítás Ha az {Xi }i∈I valószín¶ségi változók S-függetlenek az (Ω, A, M ) téren, akkor a {◦ Xi }i∈I valószín¶ségi változók függetlenek az (Ω, L (A) , ML ) Loeb-féle

valószín¶ségi mez®n. Bizonyítás. Legyen n ∈ N Ekkor ML ({ω : ◦ Xi1 (ω) < α1 , . ,◦ Xin (ω) < αn }) =   1 1 ◦ ◦ ◦ = lim M ω : Xi1 (ω) < α1 − , . , Xin (ω) < αn − , m∞ m m az el®z® bizonyításban látott gondolatmenettel. Ezután felhasználjuk az Sfüggetlenséget, a standard rész és határérték képzését felcseréljük a véges szorzattal, és az el®z® átalakítást visszafelé elvégezzük minden egyes tényez®ben: ML ({ω : ◦ Xi1 (ω) < α1 , . ,◦ Xin (ω) < αn }) = ( n !! Y  1 = = lim ◦ M ω : Xik < αk − m∞ m k=1   n Y 1 ◦ = lim M ω : Xik < αk − = m∞ m k=1 = n Y ML ({ω : ◦ Xik < αk }) . k=1  25 http://www.doksihu Ezek után a β folyamat véges együttes eloszlásait vizsgálva legyenek s1 < t1 ≤ s2 < t2 ≤ . ≤ sn < tn mind [0, 1]-beliek Ekkor     1 1 χ (t1 , ·) − χ s1 + , · , . , χ (tn , ·) − χ sn + , · N N ∗

-függetlenek, így S-függetlenek. A 15 állítás szerint ebb®l következik, hogy β (t1 , ·) − β (s1 , ·) , . , β (tn , ·) − β (sn , ·) s1 = 0, s2 = t1 , . , sn = tn−1 választással kapjuk, β (t2 , ·) − β (t1 , ·) , . , β (tn , ·) − β (tn−1 , ·) is függetlenek, így függetlenek. hogy a 14. β (t1 , ·), állítás szerint együttesen is normális eloszlásúak. A várható érték mindenhol 0, a szórásnégyzet pedig rendre t1 , t2 −t1 , . , tn −tn−1 Ezért β (t1 , ·) , . , β (tn , ·) együttesen normális eloszlásúak, vagyis Gauss-folyamatról van szó, és az is következik, hogy a várható értékek és kovarianciák megegyeznek a Wienerfolyamat esetén kaphatókkal. Ezért ha belátjuk, hogy a trajektóriák egy valószín¶séggel folytonosak, az is következik, hogy β Wiener-folyamat. 16. állítás β (·, ω) folytonos P szerint majdnem minden ω ∈ Ω-ra Bizonyítás. Legyenek k, l pozitív egészek

Ωk,l l Ωk,l Ekkor legyen    1 . = ω : ∃i < l sup χ (t, ω) − inf χ (t, ω) >  k t∈[ il , i+1 t∈[ i , i+1 ] l ] l (Ωk.l )n a korábban látott χn segítségével adható meg:    1 (Ωk,l )n = ω : ∃i < l sup χn (t, ω) − inf χn (t, ω) > .   k t∈[ il , i+1 ] t∈[ i , i+1 ] l bels® halmaz, és l l A 14. tétel bizonyításához hasonlóan járunk el Most legyen λn = Nn /l+1 P[Nn t] és Sn (t) = a=1 ω (a). Most √ tehát Pn szerint Sn (t) [Nn t] lépésb®l álló szimmetrikus bolyongás, és Nn χn legfeljebb 1-gyel tér el Sn -t®l. Ezért érvényesek az alábbi becslések: Pn (Ωk,l )n
 1 ≤ ≤ lPn (sup − inf)t∈[0,1/l] χn (t, ω) > k √   Nn ≤ lPn max |Sn (t)| > −1 ≤ 1≤a≤λ 2k ! p Nn /λn 1 1 ≤ 4lPn √ Sn (t) > . −√ 2k λn λn  26 http://www.doksihu Ezután ugyanúgy, ahogy az el®z® bizonyításban, a centrális határeloszlástétel alapján

belátható, hogy M (Ωk.l ) ≤ 1 − 4lΦ √ ha l/4k > 1, √ ! Z ∞ √ l l 2 = √ e−t /2 dt ≤ 4ke− 4k , 2k l/2k a s¶r¶ségfüggvényt e−t/2 -vel Legyen Ω0 = Ω ∞ ∞ [ felülr®l becsülve. Ωm,n . m=1 n=1 Az el®z® becslés alapján √ n P (Ω0 ) = 1 − sup inf M (Ωm,n ) ≥ 1 − sup inf 4ne− 4m = 1. m n n m s, t ∈ ∗ [0, 1], s ≈ t, és χ (s, ω) 6≈ χ (t, ω). Ekkor ha m > 2/ |χ (s, ω) − χ (t, ω)|, akkor ω ∈ Ωm,n minden n ∈ N-re, így ω ∈ / Ω0 . ∗ Ha χ (s, ω) végtelen valamely s ∈ [0, 1]-re, akkor ω ∈ Ωm,n minden m-re és 0 n-re, megint csak ω ∈ / Ω. Legyen most ω ∈ Ω. Eszerint ilyenkor β (t, ω) véges minden t-re Legyen t ∈ [0, 1] és ε > 0 valós adott. {n ∈ ∗ N : |t − s| < 1/n ⇒ |χ (s, ω) − χ (t, ω) | < ε/2} bels® halmaz, ∗ és tartalmazza N N-t. Ez utóbbi viszont nem bels® halmaz Ezért létezik olyan n ∈ N, mely teljesíti a feltételt,

azaz ha |t − s| < 1/n, akkor fennáll, hogy |χ (s, ω) − χ (t, ω) | < ε/2, és így |β (s, ω) − β (t, ω) | < ε. Tehát β (·, ω) 1 valószín¶séggel folytonos P szerint.  Tegyük fel, hogy ◦ Ha ∗ β (·) folytonos, t ≈ s esetén ∗ β (t, ω) ≈ ∗ β (s, ω). Így minden t ∈ [0, 1]-re |∗ β (t, ω) − χ (t, ω)| ≤ |∗ β (t, ω) − β ( ◦ t, ω)| + |β ( ◦ t, ω) − χ ( ◦ t, ω)| + + |χ ( ◦ t, ω) − χ (t, ω)| ≈ 0. (2.1) Így ∗ β (·, ω) és χ (·, ω) supremum normában végtelenül közeliek, χ ∗ C [0, 1]- ben végtelenül közel van egy standard elem kib®vítéséhez, 1 valószín¶séggel. Ezzel beláttuk, hogy β Wiener-folyamat. 27 http://www.doksihu 3. fejezet Az összeolvadó Wiener-folyamatok rendszere Tóth Bálint és Wendelin Werner cikkében ([5]) szerepel bizonyos összeolvadó Wiener-folyamatok egy rendszere, illetve ennek diszkrét változataként összeolvadó

szimmetrikus bolyongások egy rendszere. Most az el®bbire szeretnénk konstrukiót adni nemstandard eszközökkel. 3.1 Az el®rehaladó rendszer [5] jelöléseivel legyen E = R × (R+ {0}) , F+ = {(x, h, y) ∈ E × R : y ≥ x} . Legyen B valamely legyen még x∈R Ph mérték szerint adott. A B h > 0-ból induló Wiener-folyamat, és folyamatot úgy módosítjuk, hogy a 0 id®pont el®tt a nulla szint visszaver®, utána elnyel®, azaz a folyamatot megállítjuk a 0 szint 0 id®pont utáni els® elérésénél. Vagyis B 0 (y) = |B (y − x)| , ha y ≥ x, τ = inf {y ≥ max (x, 0) : B 0 (y) = 0} , R (y) = B 0 (y ∧ τ ) . Az így kapott R-rel azonos eloszlású folyamatokat nevezzük visszaver®d®- elnyel®d® Wiener-folyamatnak vagy RAB-folyamatnak (reecting/absorbing Brownian motion), mely az x id®pontban a h>0 szintr®l indul. Most független RAB-folyamatok olyan rendszerét tekintjük, melyek másmás id®pontokban más-más helyek®l

indulnak, de ha két folyamat találkozik, összeolvadnak. 28 http://www.doksihu I = {0, 1, . , p} indexhalmaz, ahol p ∈ N Tekintsük (xj , hj )j∈I sorozatát. Legyen (Rj )j∈I független RABj folyamatok egy családja úgy, hogy R az xj id®pontban indul hj szintr®l, j j 0 0 azaz R (y) y ≥ xj esetén értelmes, és R (xj ) = hj . Legyen C = R , majd rekurzióval minden I -beli j ≥ 1 indexre   ωj = inf x ≥ xj : Rj (x) ∈ C 0 (x) , . , C j−1 (x) ,  νj = min k ∈ {0, . , j − 1} : Rj (ωj ) = C k (ωj ) , ( Rj (x) ha xj ≤ x ≤ ωj , C j (x) = C νj (x) ha ωj ≤ x < ∞. Legyen E-beli Ha I=N vagy pontoknak egy I véges, akkor az (C 0 , . , C p ) rendszert független, összeolvadó RAB- folyamatok véges családjának nevezzük, mely dul. ((x0 , h0 ) , . , (xp , hp ))-b®l in- Most az összeolvadó folyamatok a legkisebb index¶ folyamat mentén haladnak tovább, de a rendszer eloszlása nem változik, ha itt más indexet tekintünk.

nem üres halmaz, és {(xa , ha ) : a ∈ A} ⊂ E teta sz®leges. Azt mondjuk, hogy (C )a∈A független, összeolvadó visszaver®d®elnyel®d® Wiener-folyamatok ((xa , ha ))a∈A -ból induló családja, ha A bára a mely {a1 , . , an } véges részhalmazára (C 1 , , C p ) független, összeolvadó

Általánosan, legyen A -ból induló véges családja. IlyenRAB-folyamatok (xa1 , ha1 ) , , xap , hap a kor (C )a∈A -t röviden FICRAB-rendszernek nevezzük (family of independent coalescing reected-absorbed Brownian motions). [5]-ben szerepel a következ® tétel: 17. tétel Létezik olyan F+ 3 (x, h, y) 7 Λ(x,h) (y) ∈ R+ valószín¶ségi vál- tozó, melyre 1. Λ(x,h)
(x,h)∈E FICRAB-rendszer, mely ((x, h))(x,h)∈E -b®l indul; 2. 1 valószín¶séggel minden (x, h) ∈ E-re Λ(x,h) (x) = h; 3. 1 valószín¶séggel minden (x1 , h1 ) , (x2 , h2 ) ∈ E és z ≥ y ≥ max {x1 , x2 } esetén Λ(x1 ,h1 ) (y) < Λ(x2 ,h2 ) (y) =⇒ Λ(x1 ,h1 ) (z) ≤

Λ(x2 ,h2 ) (z) ; 4. 1 valószín¶séggel minden x ≤ y -ra a h 7 Λ(x,h) (y) leképezés balról folytonos (0, ∞)-en. Ezekkel a tulajdonságokkal Λ eloszlása egyértelm¶. Most nemstandard eszközökkel szeretnénk ilyen Λ-t konstruálni. Ehhez kiindulópont az el®bbi rendszer [5]-ben szerepl® diszkrét megfelel®je. 29 http://www.doksihu 3.2 Az összeolvadó bolyongások rendszere Most szimmetrikus bolyongások indulnak különböz® id®pontokból és szintekr®l, az el®z® szakaszban leírtakhoz hasonló módosításokkal. Ehhez használjuk a következ® jelöléseket: G+ = {(z, h) ∈ Z × N : h + z páratlan és G+ 0 = {(z, h) ∈ Z × {0, 1} : h + z Legyen (ξ (z, h) , (z, h) ∈ G+ ) páratlan} h ≥ 2} , {(−1, 0)} . független valószín¶ségi változók családja úgy, hogy 1 P (ξ (z, h) = 1) = P (ξ (z, h) = −1) = . 2 + (z, h) ∈ G0 esetén determinisztikusan adjuk meg ξ (z, h)-t: ( −1 ha z ≥ 0 ξ (z, 1) = 1 ha z ≤ −2 ( 1 ξ (z,

0) = −1 ha ha z≥1 z ≤ −3 A független, összeolvadó véletlen bolyongások családját a következ®kép+ + pen deniáljuk. Minden (z, h) ∈ G -re megadunk egy y 7 L(z,h) (y) bo+ lyongást, melyet az y ≥ x egészekre deniálunk rekurzióval: L(z,h) (z) = h, majd   + + L+ (z,h) (y + 1) = L(z,h) (y) + ξ y, L(z,h) (y) . (ξ (z, h) , (z, h) ∈ G+ ) valószín¶ségi változók függetlenek, azonos el+ oszlásúak, L független, összeolvadó bolyongások családja, melynek értékei N{1, 0}-b®l kerülnek ki. A G+ 0 -ra vonatkozó feltétel szerint pedig a nulla id®- Mivel a pont el®tt az 1 szint visszaver®, utána pedig nulla els® elérése után felváltva a 0 és 1 értékeket veszi fel ez a folyamat. Ilyen értelemben ez az el®rehaladó összeolvadó Wiener-folyamatok rendszerének diszkrét megfelel®je. 3.3 A nemstandard konstrukció Az el®rehaladó rendszerre szeretnénk nemstandard eszközökkel konstrukciót adni, hasonlóképpen, mint ahogy a

Wiener-folyamat esetében jártunk el. 14. deníció Az eddigi jelölésnek megfelel®en, ha k ≤ l ∗ Z-beli számok, akkor legyen {k, . , l} = {m ∈ ∗ Z : k ≤ m ≤ l} 30 http://www.doksihu Legyen M ∈ ∗ N N = M 2 ∈ ∗ N. Az ultrahatvákonstrukcióban: N = (Nn )U , M = (Mn )U , ahol rögzített, és legyen nyok segítségével megadott Nn = Mn2 . Jelölje H+ azt a halmazt, melyet
úgy kapunk, hogy az alábbi 1 innitezimális rácsból elhagyjuk a − , 0 pontot: N  A  k l , N M 2  : k ∈ −N , . , N k + l ∈ ∗Z 2  , l ∈ 0, . , M szám akkor páratlan, ha U -beli 2  , k+l páratlan . sok koordinátája páratlan. Valószín¶ségi mez®nk alaphalmaza az alábbi lesz:  Ω = ξ : H+ {−1, 1} bels® függvény, melyre (1)-(4) teljesül . A peremfeltételek az alábbiak: k 1 , N M
k < 0, k ∈ {−N 2 , . , −2}; 1. ξ 2. = −1, ha k < 0, k ∈ {−N 2 , . , −3};
ξ Nk , M1 = −1, ha k

≥ 0, k ∈ {0, . , N 2 };
ξ Nk , 0 = 1, ha k ≥ 0, k ∈ {1, . , N 2 } 3. 4. = 1, ha k ,0 N
ξ Ω bels® halmaz, hiszen ha ξ ∈ Ω, akkor ξ bels® függvény, ezért megadható ξn : H+ n {−1, 1} függvények sorozatával, ahol      l k + 2 2 2 Hn = , : k ∈ −Nn , . , Nn , l ∈ 0, , Mn , 2 - k + l , Nn M n és ξn teljesíti az alábbi peremfeltételeket: 1. ξ  k , 1 Nn M n ξ  2. 3. 4.  = 1, ha k < 0, k ∈ {−Nn2 , . , −2}; k ,0 Nn = −1, ha k < 0, k ∈ {−Nn2 , . , −3}; ξ  k , 1 Nn M n  ξ  k ,0 Nn Az ilyen   ξn = 1, ha ha k ≥ 0, k ∈ {0, . , Nn2 }; k ≥ 0, k ∈ {1, . , Nn2 } függvények halmazát jelölje n¶ségi mérték Ωn = −1, Ωn , és legyen Pn egyenletes valószí- Ωn -n. véges halmaz, hiszen egy véges sok pontból álló rács pontjaihoz véges sokféleképpen rendelhetünk -1-t vagy 1-t. A peremfeltételeket is teljesít® 31 ξn

http://www.doksihu 3 2 3 2 2Nn −Nn +Nn /2−1 , ha Nn páros, és 2Nn −Nn +Nn /2−1/2 , ha Nn páratlan. Vagyis Ω hipervéges Legyen A az Ω bels® részhalmazaiból álló algebra. Ekkor minden A ∈ A ∗ hipervéges bels® halmaz, ezért értelmes az alábbi µ : A [0, ∞) függvény: függvények száma µ (A) = |A| , |Ω| |·| a bels® számosságot jelöli a 8. deníció értelmében µ végesen additív bels® függvény, µ (Ω) = 1, ezért a 2.2 szakasz szerint µ-b®l lehet Loebmértéket származtatni Jelölje D = L (A) az így kapott Loeb-algebrát, P pedig az µ-b®l kapott µL Loeb-mértéket. Az (Ω, D, P ) standard valószín¶ségi ahol mez®t fogjuk vizsgálni, ezen adjuk meg véletlen folyamatok egy családját. + 2 2 Legyen (x, h) ∈ H , és y ≥ x úgy, hogy y · N ∈ {−N , . , N } Olyan x id®pontban h-ból y ≥ x id®pontban felvett értékét χ(x,h) (y) jelöli. Rögzített ξ ∈ Ω- nemstandard véletlen folyamatot adunk meg,

mely az indul, és az ra legyen deníció szerint (x, h) ∈ H+ , χ(x,h) (x) = h, majd rekurzióval deniálható olyan χ(x,h) (y) bels® függvény, melyre minden (x, h) ∈ H+ és y ≥ x, y · N ∈ {−N 2 , . , N 2 } esetén  χ(x,h) Látható, hogy χ 1 y+ N 
1 = χ(x,h) (y) + √ ξ y, χ(x,h) (y) . N értékei megfelel® nemstandard rácspontok lesznek. Ennek segítségével adjuk meg standard véletlen folyamatok egy családját (Ω, D, P ) valószín¶ségi mez®n. Korábbi jelölés szerint E = R×(R+ {0}), + illetve F = {(x, h, y) ∈ E × R : y ≥ x} . Legyen   [yN ] ◦ , (x, h, y) ∈ F+ . β(x,h) (y) = χ( [xN ] , [hM ] ) N M N az χ A-mérhet® bels® függvény, ezért a 9. tétel szerint β Loeb-mérhet® F+ -beli pontra. χ deníciójából világos, hogy ha (x, h) ∈ E, akkor     [xN ] [hM ] ◦ ◦ β(x,h) (x) = χ [xN ] , [hM ] = = h. N M N M rögzített 32 http://www.doksihu 18. állítás Ha (x, h) ∈ E rögzített, akkor

β(x,h) (y) elnyel®d®-visszaver®d® Wiener-folyamat. Bizonyítás. Legyen röviden β (y) = β(x,h) (y), illetve χ (y) = χ( [xN ] , [hM ] ) (y) N M B®vítsük ki a valószín¶ségi mez®t, és vezessük be a következ®ket:  H= k l , N M   2 : k ∈ −N , . , N 2  , l ∈ {−N, . , N } , k + l Ω0 = {η : H {−1, 1} A0 = {A ⊂ Ω0 : A bels® µ0 : A 0 ∗ ; bels® függvény} ; halmaz} ; µ0 (A0 ) = [0, ∞) , páratlan |A0 | . |Ω0 | 0 0 A deníciók értelmesek, Ω most is hipervéges bels® halmaz, µ végesen 0 0 0 0 0 additív, µ (Ω ) = 1, így beszélhetünk a P = µL µ -b®l származatott Loebmértékr®l. Értelmezhet® az α nemstandard véletlen folyamat:  α  1 α y+ N  [xN ] N  = [hM ] , M  1 [xN ] , yN ∈ −N 2 , . , N 2 = α (y) + √ η (y, α (y)) , y ≥ N N 1 µ0 szerinti eloszlása megegyezik χ (y) µ szeN rinti eloszlásával, ugyanis a kezd®pontban értékük egyenl®, ezután mindkét 1 1

folyamat -nél nagyobb szint¶ pontokban − 12 valószín¶séggel lép lefelé N 2 1 szint esetén biztosan felfelé, és a lépések ugyanakkorák. Ez és felfelé, N (n) (n) elmondható a két folyamat χ illetve α koordinátafüggvényeire is. A nulla id®pont el®tt α (y) − Ebb®l következik, hogy ha véges sok y1 , . , yk  [yN ] ◦ ◦ eloszlása P szerint és ®ket, β (y) = χ α (y) N ≥ x − N1 id®pontban nézzük eloszlása P 0 szerint megegyezik, hiszen ahogy a Wiener-folyamatnál láttuk:  1 P (β (yi ) ≤ ai , i = 1, . , s) = lim P χ (yi ) < ai + , i = 1, , s m∞ m   1 = lim ◦ µ χ (yi ) < ai + , i = 1, . , s = m∞ m   1 1 ◦ 0 = lim µ α (yi ) − < ai + , i = 1, . , s = m0 ∞ N m   1 0 ◦ =P α (yi ) − ≤ ai , i = 1, . , s N 33  = http://www.doksihu Másrészt ◦ α (y) − att α (y) − 1 N = | ◦ α (y)|, hiszen a háromszög-egyenl®tlenség mi- 1 1 − | ◦ α (y)| ≤ α (y) − −

◦ α (y) ≈ 0. N N Tehát mivel a véges eloszlások megegyeznek, β P szerinti eloszlása megegye|◦ α| P 0 szerinti eloszlásával. ◦ α P 0 szerint Wiener-folyamat, hiszen ugyan- zik úgy áll el®, mint ahogy a 2.4 szakaszban konstrukciót adtunk a Wiener- folyamatra, csak b®vebb valószín¶ségi mez®vel. Vagyis β eloszlása a nulla id®pont el®tt valóban visszaver®d® Wiener-folyamat eloszlása. Nézzük y≥0 esetét, el®ször tegyük fel, hogy x ≥ 0. 2. lemma x ≥ 0 esetén 1 valószín¶séggel      k k 2 ◦ inf y ∈ R : y ≥ x, ∃k ∈ 0, . , N : x ≤ =0 = ≤ y, χ N N      k k 2 = inf y ∈ R : y ≥ x, ∃k ∈ 0, . , N : x ≤ ≤ y, χ =0 . N N Bizonyítás. Feltehetjük, hogy x = 0. Világos, hogy a bal oldal nem lehet kisebb a jobb oldalnál, az ott szerepl® halmaz sz¶kebb. a bal oldal nagyobb a jobb oldalnál. mely a két oldal értéke közé esik. Ekkor van olyan Tegyük fel, hogy z racionális szám,

Ezért elég belátni, hogy egy rögzített z nulla valószín¶séggel esik a két oldal értéke közé, azaz nulla valószín¶séggel
k 2 ≤ z , χ Nk > 0, de teljesül, hogy minden k ∈ {0, . , N }-ra, melyre 0 ≤ N
k ◦ létezik ugyanilyen k , melyre χ = 0. N 2 Ha ez teljesül, akkor minden ε > 0-ra igaz, hogy minden k ∈ {0, . , N }

k ≤ z , χ Nk > 0, de létezik ugyanilyen k , melyre ◦ χ Nk < ε. ra, melyre 0 ≤ N Jelöljük ezt az eseményt A (ε)-nal. Ezek ε szerint monoton fogyó események A 4. állítás alapján A (ε) bels® halmaz, mégpedig (A (ε))n az alábbi módon adható meg:    kn kn (n) ≤z⇒χ > 0, kn ∈ N, 0 ≤ Nn Nn Ha ugyanis n-ek U -beli és ∃ ilyen kn : χ (n)  kn Nn   <ε . halmazára ez az esemény teljesül, akkor valóban mindig pozitív értékeket kapunk, ugyanakkor k = (kn )U -ra χ ε-nál közelebb kerül a nullához, és ugyanígy fordítva. Tehát a Loeb-mérték

deníciója sze◦ rint P (A (ε)) = µ (A (ε)) = ◦ (µn (An (ε))). ε rögzített, így elég olyan n-eket nézni, melyre εMn > 1. µn szerint χ(n) az 1 n] kezd®pontból indítva olyan bolyongás √ -szerese, amely xn = 0, hn = [hM Mn Nn 1-b®l 0-ba, 0-ból 1-be megy, a többi pontból pedig 1/2-1/2 valószín¶séggel k megy egyet le vagy fel. A bolyongás addig megy, amíg n ≤ z , azaz L = Nn 34 http://www.doksihu [Nn z] lépésb®l áll. Ha tehát a folyamat esemény így fogalmazható: a folyamat Mn -szeresét nézzük, akkor az A (ε)n H = hn Mn -b®l indulva eléri εMn -t, de nem éri el 0-t úgy, hogy 1-b®l mindenképpen lefelé lép, azaz az 1-t is St egyszer¶ szimmetrikus 0-ból indul, és L lépést tesz. legfeljebb az utolsó lépésben éri el. Ezért legyen bolyongás valamely P mérték szerint, amely a Ezzel µn (A (ε)n ) ≤ P (∃ 0 ≤ t ≤ L : St + H ≤ εMn , @ 0 ≤ t ≤ L : St + H = 1) . Számítsuk ki a jobb oldalt a

tükrözési elv segítségével H > εMn esetén: P (∃ 0 ≤ t ≤ L : St + H ≤ εMn , @ 0 ≤ t ≤ L : St + H = 1) = = P (∃ 0 ≤ t ≤ L : St + H ≤ εMn ) − P (∃ 0 ≤ t ≤ L : St + H = 1) ≤ ≤ 2P (SL ≤ −H + εMn ) − 2P (SL < −H + 1) = = 2P (−H + 1 ≤ SL ≤ −H + εMn ) ≤ 2P (−εMn ≤ SL ≤ εMn ) . Az utolsó becslés onnan kapható, hogy rikus bolyongás, így [L/2]-ig SL SL nullából induló egyszer¶ szimmet- eloszlását binomiális együtthatók adják meg, melyek monoton növ®k, onnantól monoton csökken®k. Ezért egy εMn − 1 hosszúságú intervallum mértéke nem lehet nagyobb, mintha a nulla köré mérünk fel ugyanilyen hosszúságú intervallumot felfelé és lefelé. Nézzük a másik esetet, amikor 1 ≤ H ≤ εMn . Ilyenkor szintén a tükrözési elvvel: P (∃ 0 ≤ t ≤ L : St + H ≤ εMn , @ 0 ≤ t ≤ L : St + H = 1) = = P (@ 0 ≤ t ≤ L : St + H = 1) = 1 − 2P (SL < −H + 1) ≤ ≤ 1

− 2P (SL < −εMn + 1) = 2P (−εMn + 1 ≤ SL ≤ 0) ≤ ≤ 2P (−εMn ≤ SL ≤ εMn ) . A két esetre kapott közös fels® becslést írjuk vissza az eredeti mértékekre, így kapjuk, hogy U -beli sok n-re érvényes:  µn (An (ε)) ≤ 2P (−εMn ≤ SL ≤ εMn ) = 2P Mivel SL εMn −εMn √ ≤√ ≤ √ L L L  . L = [zNn ], H = hn Mn = [hMn ], Nn = Mn2 : S[zN ] εMn εMn ≤p n ≤p µn (An (ε)) ≤ 2P − p [zNn ] [zNn ] [zNn ] ! . A centrális határeloszlástételt alkalmazva, hasonlóan ahhoz, ahogy a 2.4 szakaszban láttuk, kapjuk, hogy ◦ (µn (An (ε)))U ≤      ε ε 1 ε ≤2 Φ √ − Φ −√ ≤ 4√ √ . z z 2π z P (A (ε)) = 35 http://www.doksihu Vagyis megszámlálható metszetet képezve valamely nullához tartó εk soro- zattal: ! P A (ε) ε>0 hiszen z rögzített. 1 1 = lim P (A (εk )) ≤ lim 2 √ √ εk = 0, k∞ k∞ 2π z Láttuk, hogy ez elegend®, ebb®l következik, hogy a lemmában

szerepl® esemény komplementere nulla valószín¶ség¶. Visszatérve az állítás bizonyításához, egyenl®séget bizonyítani. x ≤ 0-ra is szeretnénk hasonló Itt mindkét esetben csak az vesszük gyelembe, ennek megfelel®en S most is L  y ≥ 0 id®pontokat lépésb®l áll, de csak va- T lépésszám utáni szinteléréseket vesszük gyelembe. AlST értéke szerint a feltételes valószín¶ség tételét Láttuk, hogy H = ST nullabeli szint mellett olyan fels® becslést tudunk adni, lamilyen rögzített kalmazzunk rögzített mely β H -tól nem függ, így a bizonyítás átvihet® erre az esetre is. Itt is a kib®vített valószín¶ségi mez®t használjuk, elég azt belátni, hogy ◦ 0 ◦ eloszlása P szerint megegyezik ατ P szerinti eloszlásával, ahol α Wiener- folyamat a τ id®pontban éri el a 0 id®pont után el®ször a 0 szintet. A lemma kiegészítéséb®l következik, hogy 1 valószín¶séggel minden y ≥ τ -ra van olyan


k ≤ y , hogy χ Nk = 0. A valószín¶ségi mez® deníciója N   szerint 0-ból [yN ] biztosan 1/M -be, 1/M -b®l biztosan 0-ba lépünk, így χ értéke csak 0 N ◦ vagy 1/M lehet, azaz β (y) = χ (y) = 0. τ el®tt β = ◦ χ Így β = (◦ α)τ , β valóban a nulla id®pont után 0-ban elnyel®d® Wiener-folyamat. 0≤ Ezzel beláttuk, hogy folyamat rögzített β(x,h) (y) valóban elnyel®d®-visszaver®d® Wiener- (x, h)-ra.  19. állítás Ha (x1 , h1 ) ∈ E, (x2 , h2 ) ∈ E rögzített, akkor β1 (y) = β(x1 ,h1 ) (y) és β2 (y) = β(x2 ,h2 ) (y) független, összeolvadó, visszaver®d®-elnyel®d® Wienerfolyamatok, azaz ha τ = inf {y ≥ max (x1 , x2 ) : β1 (y) = β2 (y)}, akkor 1 valószín¶séggel minden z ≥ τ -ra β1 (z) = β2 (z). Bizonyítás. x1 ≥ x2 feltehet® Azt szeretnénk belátni, hogy 1 valószín¶ség- gel      k k k ◦ ◦ ∗ ≤ y, χ1 = χ2 = inf y ∈ R : ∃k ∈ N, x2 ≤ N N N      k k k ∗ = inf y ∈ R

: ∃k ∈ N, x2 ≤ ≤ y, χ1 = χ2 , N N N 36 http://www.doksihu hiszen ebb®l ugyanúgy következik az állítás, mint az el®z® esetben. El®ször szeretnénk áttérni   Wiener-folyamatokra, ahol βi helyett a koráb[yN ] ◦ ban látott γi (y) = αi N folyamatok szerepelnek. 0 A nulla id®pont el®tt β helyett |γ| használható a P mérték szerint, így β1 (y) = β2 (y), akkor β1 (y) = γ1 (y) vagy β1 (y) = −γ1 (y). Ugyanakkor β1 (y) 6= γ1 (y), akkor egyik egyenl®ség sem állhat fenn. Másrészt a nulla id®pont után, ha β1 (y) = β2 (y) > 0, akkor a 2. lemma bizonyításában használt gondolatmenetben olyan racionális z is található a folytonosság miatt, hogy a folyamatok z -ig nem jártak nullában. Ha pedig β1 (y) = β2 (y) = 0, ha ha akkor a 2. lemma szerint megegyezik a két inmum Tehát elég a γ folyamatokat nézni, és azt belátni, hogy 1 valószín¶séggel      k k k ◦ ◦ ∗ ≤ y, α1 = α2 = inf y ∈ R : ∃k ∈

N, x2 ≤ N N N      k k k ∗ ≤ y, α1 = inf y ∈ R : ∃k ∈ N, x2 ≤ = α2 . N N N Ennek bizonyítása  isa 2. lemmáéhoz hasonlóan  megy. Legyen z ∈ R, [yN ] ] [hM ] z ≥ x2 , αi (y) = αi N , i = 1, 2-re, ahol αi az [xN pontból indul. , M N
∗ Legyen A (ε) az alábbi esemény: ha k ∈ N, x ≤
Nk ≤ z ,
akkor α1 Nk 6=
α2 Nk ugyanakkor létezik ilyen k , melyre α1 Nk − α2 Nk < ε. Most is A (ε) bels® halmaz, és elég belátni, hogy rögzített z -re limε0 P 0 (A (ε)) = 0. Szintén a lemma bizonyításában használt gondolatmenettel kapjuk, hogy ha St , Tt a nulla id®pontban a 0-ból induló, független, egyszer¶ szimmetrikus 0 bolyongások valamely P mérték szerint, akkor µn (A (ε)n ) legfeljebb P (∀t ∈ L : St + H1 6= Tt−L1 + H2 , ∃t ∈ L : |St + H1 − Tt−L1 − H2 | ≤ εMn ) , ahol az alábbi jelöléseket használjuk: L1 = [x2 Nn ] − [x1 Nn ] , L2 = [zNn ] − [x1 Nn ] , L = {t ∈ N : L1 ≤ t ≤ L2 } ,

H1 = [h1 Mn ] , H2 = [h2 Mn ] . L1 lépése után pedig elindul Tt is z -nek megfelel® id®pontig nézzük a két bolyongás különbségét. Két egyszer¶ szimmetrikus bolyongás különbsége 1/4 valószín¶séggel lép kett®t fel, ugyanígy kett®t le, 1/2 valószín¶séggel helyben Azaz H2 St elindul H1 magasságból, az els® magasságból, és innen a rögzített marad. A szimmetria miatt ezekre a megfelel®en súlyozott trajektóriákra is alkalmazhatjuk a tükrözési elvet, így itt is feltételes valószín¶séget számítva SL1 szerint: µ0n (A (ε)n ) ≤ 2P (0 ≤ SL2 −L1 + H1 − TL2 −L1 − H2 ≤ εMn ) . 37 http://www.doksihu TL2 −L1 szerint számítsunk feltételes várható értéket, majd használjuk fel a binomiális együtthatók monotonitási tulajdonságait: µ0n (A (ε)n ) ≤ P (−εMn ≤ SL2 −L1 ≤ εMn ) . Mivel √ L2 − L1 Mn -nek véges konstansszorosa, a bizonyítás a centrális ha-  táreloszlástétel alapján

ugyanúgy fejezhet® be, mint a 2. lemmáé 20. állítás Biztosan teljesül, hogy ha (x1 , h1 ), és (x1 , h1 ) E-beliek, z ≥ y ≥ max {x1 , x2 }, és β(x1 ,h1 ) (y) < β(x2 ,h2 ) (y), akkor β(x1 ,h1 ) (z) ≤ β(x2 ,h2 ) (z). Bizonyítás. β(x1 ,h1 ) (y) < β(x2 ,h2 ) (y)-b®l következik, hogy  χ“ [x1 N ] , [h1 M ] ” N M [yN ] N   < χ“ [x2 N ] , [h2 M ] ” N és hogy ez a két érték nem végtelenül közeli. M [yN ] N Vagyis  , U -beli sok n ∈ N-re teljesülnie kell, hogy (n) χ“  [x1 Nn ] [h1 Mn ] , M Nn n Rögzített n ∈ N-re ” [yNn ] Nn  <  (n) χ“ [x2 Nn ] [h2 Mn ] , M Nn n ” [yNn ] Nn  . pedig világos, hogy a trajektóriák nem keresztezhetik egymást, hiszen csak olyan pontokat használunk, ahol a koordináták összege páratlan, és ha két trajektória találkozik egy pontban, akkor az ottani ξ érték jelöli ki mindkett® folytatását, azaz ugyanoda lépnek tovább. Ezért [zNn ] -ben

fennáll az egyenl®tlenség ugyanazokra az n ∈ N-ekre, ezek U -beli Nn halmazt alkotnak. Vagyis z -ben a megfelel® χ-kre teljesül az egyenl®tlenség Standard részt véve kapjuk a β -ra  vonatkozó állítást. Eddigi állításaink alapján az látható, hogy β teljesíti a 17. tétel els® há- rom feltételét, a negyediket azonban nem feltétlenül. Ezért β helyett egy má- sik meghatározással adott folyamatot tekintünk. Az alábbi állítások mutatják, hogy ez balról folytonos, miközben az els® három tulajdonság továbbra is érvényes rá. 15. deníció Deniáljuk véletlen folyamatok egy családját, legyen minden (x, h) ∈ E pontra és y ≥ x-re Λ(x,h) (y) a következ®:      [hM ] [hM ] [yN ] 2 ◦ :h≤ , h≈ , h ∈ 0, . , M . inf χ( [xN ] ,h) N N M M 38 http://www.doksihu Ez értelmes, hiszen valós számokból álló, nem üres halmaz inmumát számítjuk ki. 21. állítás 1 valószín¶séggel a h 7 Λ(x,h) (y)

függvény balról folytonos Bizonyítás. A bizonyításban x és y rögzített, így Λ
és χ paramétereként csak h 7 χ h monoton növ® függvény, ezért Λ is ilyen. Ezért elég belátni, hogy ha R 3 hk h ∈ R monoton növ®en, és valamilyen T valós számra Λ (hk ) ≤ T , akkor Λ (h) ≤ T . 1 (k ∈ N) esetet nézni. Legyen A monotonitás miatt elég a hk = h − k ε > 0 rögzített valós szám. Λ deníciója szerint Λ (hk ) ≤ T -b®l az következik, [hk M ] hogy valamely hk ≤ hk , hk ≈ , hk M ∈ {0, . , N } nemstandard szintre M

◦ χ hk ≤ T + ε, és így χ hk ≤ T + ε is teljesül. Tehát van olyan hk sorozat, hogy minden k ∈ N-re a szintet tüntetjük fel. Világos, hogy hk M ∈ {0, . , N } , hk − Az 1. lemma szerint
2 [hM ] 1 [hk M ] = h− ≤ hk ≤ ≤ , χ hk ≤ T +ε. k k M M
bels® sorozattá. a sorozat kiterjeszthet® hk k∈ ∗ N Mivel χ bels® függvény, a 4. állítás, a bels® deníció elve szerint

azok a k ∈ ∗ N indexek, melyekre a fenti tulajdonságok teljesülnek, bels® halmazt alkotnak. hk választása szerint ez a halmaz minden természetes számot tar- talmaz, ezért a 3. állítás szerint van végtelen nagy eleme is, azaz van olyan K ∈ ∗ N N, melyre hK M ∈ {0, . , N } , h− [hM ] 2 [hK M ] ≤ hK ≤ ≤ , K M M
χ hK ≤ T + ε. [hM ] ≈ h, és K2 ≈ 0, a második feltételb®l következik, hogy Mivel M [hM ] , így hK -t gyelembe vesszük az inmum kiszámításakor. Vagyis M
Λ (h) ≤ ◦ χ hK ≤ Tehát minden ε > 0 ◦ valós számra hK ≈ (T + ε) = T + ε. Λ (h) ≤ T + ε, amib®l következik, és ez elegend® a balról folytonossághoz. Λ (h) ≤ T  22. állítás 1 valószín¶séggel, ha (x1 , h1 ) , (x2 , h2 ) ∈ E, továbbá z > y ≥ max (x1 , x2 ), és Λ(x1 ,h1 ) (y) < Λ(x2 ,h2 ) (y), akkor Λ(x1 ,h1 ) (z) ≤ Λ(x2 ,h2 ) (z). Bizonyítás. A feltételb®l következik, hogy létezik olyan h1 ,

melyre [h1 M ] 1M ] , h1 ≈ , és minden olyan h2 -re, melyre {0, . , N }, h1 ≤ [hM M [h2 M ] [h2 M ] {0, . , N }, h2 ≤ M , h2 ≈ M , teljesül, hogy  χ“ [x1 N ] ,h1 N ” [yN ] N   < χ“ 39 [x2 N ] ,h2 N ” [yN ] N  . h1 M ∈ h2 M ∈ http://www.doksihu Már láttuk, hogy ez utóbbi feltételb®l biztosan következik  χ“ [x1 N ] ,h1 N ” [zN ] N   ≤ χ“ [x2 N ] ,h2 N ” [zN ] N  , χ(n) folyamatok sem keresztezik egymást. Ez minden szóban forgó h2 -re érvényes, standard részt véve is, így valóban Λ(x1 ,h1 ) (z) ≤ Λ(x2 ,h2 ) (z).  hiszen z > y, és a megfelel® 23. állítás 1 valószín¶séggel minden (x, h) ∈ E-re Λ(x,h) (x) = h Bizonyítás. Λ deníciója alapján, felhasználva, hogy ha x, h ∈ H+ , akkor
χ(x,h) (x) = h, kapjuk, hogy Λ(x,h) (x) = inf hiszen  h ≈ h-ból ◦ h = h ◦ h : h ≤ h, h ≈ h, hM ∈ {0, . , N } = h,  következik. 24. állítás Legyen (x, h)

∈ H+ és y rögzített, úgy, hogy y > x, x és y nem végtelenül közeliek, yN ∈ {−N 2 , . , N 2 } Ekkor 1 valószín¶séggel bármely (x0 , h0 ) ∈ H+ pontra és y 0 ≤ x0 -ra, melyre y 0 N ∈ {−N 2 , . , N 2 }, továbbá x0 ≈ x, h ≈ h0 , y ≈ y 0 , teljesül, hogy χ(x,h) (y) = χ(x0 ,h0 ) (y 0 ). Bizonyítás. y−x > ε > 0 rögzített valós számot. Ha n ∈ N, nézzük [xn Nn ] −[εNn ] ≤ Z ≤ [xn Nn ] + [εNn ] egész számokra a következ® folyamatot: Y NZn legyen a   (n) Z 0 0 + értékeknek, úgy, hogy (x , h ) ∈ Hn , továbbá maximuma a χ(x0 ,h0 ) Nn Mivel x és y nem végtelenül közeliek, választhatunk Z 1 ([xn Nn ] − [εNn ]) ≤ x0 ≤ , Nn Nn 1 1 ([hn Mn ] − [εMn ]) ≤ h0 ≤ ([hn Mn ] + [εMn ]) . Mn Mn Tegyük fel, hogy [xn Nn ] − [εNn ] és [hn Mn ] − [εMn ] összege páratlan, azaz + a pontpár Hn -beli. A másik esetben mindenhol eggyel magasabb szinteket nézünk, így módosítható a

bizonyítás. Világos, hogy Z = [xn Nn ] − [εNn ]-re Y  Y  Z Nn  Z+1 Nn értéke  [hn Mn ] + [εMn ]. értéke Ezután ha 1 − 21 valószín¶séggel lesz 2 40 Y Y   Z Nn Z Mn   ≥ [hn Mn ] + [εMn ], akkor   1 − Mn , illetve Y MZn − M1n , http://www.doksihu hiszen a Z id®pont el®tt induló folyamatok maximuma Nn Y  Z Nn  -ben jelenik meg, az éppen ekkor induló folyamatok közül pedig szintén csak a legfeljebb [hn Mn ] + [εMn ] szintr®l indulókat vesszük gyelembe, ez alacsonyabb, nem változtathat a maximumon. Ha viszont Y  Z Nn  értéke [hn Mn ] + [εMn ] − M1m , Z id®pontban [hn Mn ] + [εMn ] magasságból induló folyamat miatt Nn     Z Z+1 = [h M ] + [εM ] . Vagyis Y soha nem léphet a biztosan Y n n n Mn Nn [hn Mn ] + [εMn ] − M1m szint alá, ezen kívül pedig egyforma eséllyel lép fel vagy le. Azaz egy visszaver®d® szimmetrikus bolyongásról van szó, ahol a 1 1 , a visszaver® szint

pedig [hn Mn ] + [εMn ] − . lépések nagysága Mn Mm Ezek alapján, ha (St )t∈N 0-ból induló egyszer¶ szimmetrikus bolyongás 1 , Z0 = z0 Nn , L0 = valamely P mérték szerint, és z0 = ([xn Nn ] + [εNn ]) · Nn akkor a 2 [εNn ], akkor, mivel z0 -ig éppen L0 lépés szükséges:      1/4  Z0 Pn Y ≥ [hn Mn ] + [εMn ] + ε Mn = Nn

= P |SL0 − 1| ≥ ε1/4 Mn ≤ 2P SL0 ≥ ε1/4 Mn .   Z jelöli a folyamatok minimumát, Ha ugyanazon feltételek mellett Y Mn akkor hasonlóképpen kapjuk, hogy      1/4 
Z0 Pn Y ≤ [hn Mn ] − [εMn ] − ε Mn ≤ 2P SL0 ≤ −ε1/4 Mn . Nn  1/4Most megbecsüljük annak valószín¶ségét,  hogyH1 = [Hn Mn ] + [εMn ]H+ 1 ε Mn -re és H2 = [Hn Mn ] − [εMn ] − ε1/4 Mn -re a z0 id®pontban N n H2 és szintekr®l induló folyamatok értéke y -ban megegyezik. Itt is Mn -nel Nn szorozva két egyszer¶ szimmetrikus bolyongás különbségér®l van szó, melyek függetlenek, de ha találkoznak, együtt

haladnak tovább. A kezdeti távolság   H0 = H1 − H2 = 2 [εMn ] + 2 ε1/4 Mn , a lépések száma L1 = [yNn ] − [z0 Nn ]. Alkalmazhatjuk a tükrözési elvet Legyen (Tt )n∈N St -t®l független, 0-ból induló egyszer¶ szimmetrikus bolyongás szintén a P mérték szerint. Ekkor  Pn χ (n) H1 ) ( NZn0 , M n (yn ) = χ (n) H2 ) ( NZn0 , M n  (yn ) ≥ 2P (SL1 − TL1 ≤ −H0 ) = = 1 − P (−H0 < SL1 − TL1 < H0 ) ≥ 1 − P (−H0 < SL1 < H0 ) ≥ ≥ 1 − 2P (0 ≤ SL1 ≤ H0 ) , ahol az utolsó becsléseket úgy kapjuk, hogy TL1 szerint feltételes valószín¶sé- get számítunk, és felhasználjuk, hogy a binomiális együtthatók monotonitási 41 http://www.doksihu tulajdonságai szerint az adott hosszúságú intervallumok közül a nullára szimmetrikusnak legnagyobb a mértéke Ha egyszerre teljesül, hogy az χ (n) H1 ( NZn0 , M ) n (yn ) = χ (n) H2 ( NZn0 , M ) n (yn ), oldalú négyzetb®l induló összes SL1 eloszlása

szerint.    Z0 Y Nn ≤ H1 , Y NZ0n ≥ H2 , akkor biztos, hogy az χ(n) folyamat értéke (x, h) yn -ben továbbá középpontú, 2ε megegyezik, hi- Z0 -beli legnagyobb és legkisebb értékekb®l induló folyamatok is találkoznak yn -ig. A fenti becsléseket összevetve, H0 értékét beírva kapjuk, hogy szen a ennek valószín¶sége legalább  

1 − P 0 ≤ SL1 ≤ 2 [εMn ] + 2 ε1/4 Mn − 4P SL0 ≥ ε1/4 Mn . A deníciók szerint L0 = 2 [εNn ] és L1 = [yNn ] − [εNn ] − [xn Nn ], így ezt átírhatjuk:  ! 2 [εMn ] + 2 ε1/4 Mn SL1 √ − 4P 1−P 0≤ √ ≤ L1 L1 ε1/4 Mn S √L0 ≥ p L0 2 [εNn ] ! . A centrális határeloszlástétel alalpján ebb®l a becslésb®l azt kapjuk, hogy ha A (ε) az az esemény, hogy az (x, h) középpontú, 2ε oldalú négyzetb®l induló χ folyamatok értéke y -ban megegyezik, és A (ε) = (A (ε)n )U , ahol A (ε)n az (n) az esemény, hogy az (xn , hn ) középpontú, 2ε oldalú négyzetb®l

induló χ folyamatok értéke yn -ben megegyezik, akkor P (A (ε)) =      1 ε + ε1/4 ◦ − 2Φ − 1/4 . = (Pn (A (ε)n )) ≥ 1 − 1 − 2Φ √ y−ε−x 2ε Látható, hogy ennek limesze ε0 esetén 1. Ha ε csökken, akkor a A (ε) ε halmazok b®vülnek. Ezek alapján annak valószín¶sége, hogy valamely A (ε) bekövetkezik, 1. Ekkor pedig bármely, az állításban szerepl® x0 ≈ x-re, h0 ≈ h-ra χ(x,h) (y) = χ(x0 ,h0 ) (y), ellenkez® esetben ugyanis minden ε-ra a 2ε oldalú négyzetb®l indulva nem találkozhat minden folyamat, egyik A (ε) sem következhet be. A fenti gondolatmenet érvényes úgy is, hogy y helyett egy olyan y0 id®- pontot tekintünk, mely x és y közé esik, de egyikhez sincs végtelenül közel. y0 -nál bármilyen y 0 ≈ y id®pont nagyobb, így ha a χ folyamatok értéke y0 -ban megegyezik, akkor minden kés®bbi id®pontban is, ez világos a valószín¶ségi mez® deníciójából. Ezért 1 valószín¶séggel

bármely, az állításban szerepl® x0 ≈ x-re, h0 ≈ h-ra és y 0 ≈ y -ra χ(x,h) (y) = χ(x0 ,h0 ) (y 0 ).  42 http://www.doksihu 25. állítás Λ FICRAB-folyamat, amely teljesíti a 17 tétel feltételeit Bizonyítás. Λ (x1 , h1 ) , . , (xk , hk ) Az el®z® állítások alapján már csak azt kell belátni, hogy FICRAB-folyamat. Az állítás bizonyításához véges sok E-beli pontot kell rögzíteni, és az ezekb®l induló folyamatokat vizsgálni. A 24 állítást alkalmazva látható, hogy ha y > x rögzített, akkor 1 valószín¶séggel [h1 M ] -re, teljesül, hogy bármilyen h1 -re, melyre h1 M ∈ {0, . , N } és h1 ≈ M fennáll az alábbi egyenl®ség:  χ“ χ(n) [x1 N ] ,h1 N ” [yN ] N   = χ“ [x1 N ] [h1 M ] , M N ” [yN ] N  . y id®pont után végig biztosan fennáll az egyenl®ség. Ezt y = x1 +1, x1 +1/2, x1 +1/3 ra alkalmazva kapjuk, hogy 1 valószín¶séggel minden y > x1 -re megegyezik a két folyamat. y = x1

-ben a standard részek között kapunk egyenl®séget Tehát 1 valószín¶séggel minden y ≤ x1 -re és h1 ≈ h1 , h1 M ∈ {0, . , N }-ra     [yN ] [yN ] ◦ “ ◦ “ ” ” χ [x1 N ] ,h = χ [x1 N ] , [h1 M ] = β(x1 ,h1 ) (y1 ) , 1 N N M N N Szintén a folyamatokat tekintve ebb®l következik, hogy az visszatérve a korábbi jelöléshez. Inmumot véve kapjuk, hogy minden y≥ x1 -re Λ(x1 ,h1 ) (y) = β(x1 ,h1 ) (y). i = 1, . , k Λ(x1 ,h1 ) (y) , . , Λ(xk ,hk ) (y) folyamaβ(x1 ,h1 ) (y) , , β(xk ,hk ) (y) folyamatok Mivel véges sok pontot rögzítettünk, 1 valószín¶séggel minden esetén hasonló egyenl®ség áll fenn. Így a tok együttes eloszlása megegyezik a együttes eloszlásával. A 19. állítás szerint pedig ez független, összeolvadó  RAB-folyamatok családja, azaz FICRAB-rendszer. 3.4 A visszafelé haladó rendszer és az öntaszító folyamatok Az el®z® szakaszban szerepl® β folyamatok duálisát fogjuk deniálni

az [5]- beli diszkrét esetnek megfelel®en. Legyen F− = {(x, h, y) ∈ E × R : y ≤ x} , − H =  k l , N M   2 : k ∈ −N , . , N 2 43  , l ∈ 0, . , M 2  , k+l páros http://www.doksihu (x, h) ∈ H− pontra γ(x,h) (·) az x id®pontban h magasságból visszafelé − indított véletlen folyamat lesz. Pontosabban, legyen minden (x, h) ∈ H Minden esetén γ(x,h) (x) = x, y ≤ x, yN ∈ {−N 2 , . , N 2 } id®pont esetén     1 1 1 = γ(x,h) (y) − √ ξ y − , γ(x,h) (y) . γ(x,h) y − N N N majd rekurzióval minden (n) is bels® függvény, és hasonló rekurziós összefüggés áll fenn a γ koordi(n) (n) nátafüggvényekre. n ∈ N-t rögzítve azt látjuk, hogy β és γ trajektóriái γ nem metszhetik egymást. Ugyanis a rácspontok paritásának választása miatt 0 0 ez kétféleképpen lehetne lehetséges, valamely (xn , hn ) és (xn , hn ) kezd®pontokkal: 1 (n) (n) β(xn ,hn ) (yn ) = γ(x0n ,h0n ) (yn ) −

√ , Nn   1 1 (n) (n) β(xn ,hn ) yn + = β(xn ,hn ) (yn ) + √ , Nn Nn   1 1 (n) (n) γ(x0n ,h0n ) yn + = γ(x0n ,h0n ) (y) − √ , Nn Nn illetve 1 (n) (n) β(xn ,hn ) (yn ) = γ(x0n ,h0n ) (yn ) + √ , Nn   1 1 (n) (n) β(xn ,hn ) yn + = β(xn ,hn ) (yn ) − √ , Nn Nn   1 1 (n) (n) γ(x0n ,h0n ) yn + = γ(x0n ,h0n ) (y) + √ . Nn Nn Nézzük az els® lehet®séget, a második esetben ugyanúgy járhatunk el. A második egyenletb®l következik, hogy   (n) ξ (n) yn , β(xn ,hn ) (yn ) = 1, azonban ezt az els® és a harmadik egyenlettel, illetve γ (n) deníciójával össze- vetve ellentmondásra jutunk. (n) (n) Tehát γ és β soha nem találkoznak. Ebb®l következik, hogy h0 > β(x,h) (y) ⇒ γ(y,h0 ) (x) ≥ h. 44 http://www.doksihu γ -ból a korábbihoz hasonló módon származtatjuk standard véletlen fo(x, h, y) ∈ F− , akkor legyen Λ− (x,h) (y) az alábbi: lyamatok egy családját. Ha     [yN ] [hM ] [hM ] inf γ( [xN ] ,h) :

hM ∈ {0, . , N } , h ≤ , h≈ . N N M M −ξ (z − 1, h) eloszlása megegyezik, azt lát− hatnánk be a korábbihoz hasonlóan, hogy a y 7 Λ(x,h) (y) véletlen folyamatra igazak a 17. tétel feltételei, azaz FICRAB-rendszer, teljesül a kezd®pontra Felhasználva, hogy ξ (z, h) és vonatkozó feltétel, nem keresztezik egymást az egyes trajektóriák, és érvé− nyes a h-beli balról folytonosság is. A Λ rendszer a Λ duális rendszere, és együttesükb®l származtathatók további folyamatok, a következ®képpen. (x, h) ∈ E, y ∈ R ( Λ(x,h) (y) Λ(x,h) (y) = Λ− (x,h) (y) [5]-nek megfelel®en ha tetsz®leges, akkor legyen ha ha x ≤ y, y < x. Ezután  D (x, h) = (x0 , h0 ) ∈ E : h0 ≤ Λ(x,h) (x0 ) , ez 1 valószín¶séggel korlátos halmaz. Így értelmes Z ∞ T (x, h) = |D (x, h)| = Λ(x,h) (y) dy, −∞ Pt = {(x, h) ∈ E : T (x, h) ∈ (t − ε, t + ε)}. ε>0 Λ− folya- egyelem¶. Pt = [5] szerint ha az ott

szerepl® konstrukcióval állítjuk el® a matokat, akkor 1 valószín¶séggel minden {(Xt , Ht )}, és az R+ 3 t 7 Xt ∈ R t ∈ [0, ∞)-re Pt Λ és sztochasztikus folyamat valódi öntaszító folyamat (true self-repelling motion). Ennek nyomán folytathatjuk a nemstandard konstrukciót, visszatérve a γ és β családokhoz. Módosítsuk ezeket úgy, hogy minden n ∈ N-re β (n) -t (n) megállítjuk a nulla szint nulla utána els® elérésénél, γ -t pedig ugyanígy, amennyiben hátrafelé haladó folyamatként paraméterezzük. A megállított  folyamatokat jelölje γ̃ β̃ (n) , illetve γ̃ (n) , majd legyenek
(n) β̃ = β̃ (n) U az ezekb®l kapható bels® folyamatok. (x, h) ∈ H+ esetén legyen U 2     N xN −1 k 1 X k 1 X β̃(x,h) + . γ̃(x− 1 ,h) T (x, h) = N N k=xN N N N 2 k=−N 45 és γ̃ = http://www.doksihu (x, h) ∈ H− esetén pedig legyen 2     N xN −1 k 1 X 1 X k γ̃(x,h) T (x, h) = + . β̃(x− 1 ,h)

N N k=xN N N N 2 k=−N A nemstandard megközelítésben ezek az összegek felelnek meg az integrálnak. Legyen még     [xN ] [hM ] ◦ Pt = (x, h) ∈ E : T , =t . N M Ha belátnánk, hogy 1 valószín¶séggel minden t-re Pt egyelem¶, akkor ezen az úton is tudnánk egy véletlen, valós érték¶ folyamatot deniálni. (n) (n) Rögzített n ∈ N és ξn ∈ Ωn esetén β és γ folyamatok [5] alapján egy labirintust alkotnak, ahogy az ábrán  is látható.  ellen®rizhet®, hogy a − 12 N1n , M1n Esetvizsgálattal könnyen pontból indulva ebben a labirintusban (n) (n) mindig egyértelm¶en léphetünk tovább anélkül, hogy  β vagy  γ trajektó(n) (n) riáját kereszteznénk. A lépések sorozatát jelölje S̃t , Ht . A vízszint∈N tes koordináta minden lépésben egy lépéssel csökken vagy n®, a függ®leges eggyel csökken, n®, vagy nem változik. A skálázás miatt a lépések nagysága 1 1 vízszintes koordináta esetében , a függ®leges

koordinátánál pedig . Az Nn Mn is könnyen látható, hogy egy pontba csak úgy léphetünk, ha az összes alatta lev®ben jártunk, s®t, azokban a pontokban is, melyeknek els® koordinátája legfeljebb egy lépésnyivel tér el, második koordinátája pedig kisebb a vizsgált pont megfelel® koordinátáinál. @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ Ha ebben a megközelítésben azt vizsgáljuk, hogy egy adott xn − 12 , hn
rácspont eléréséig hányat léptünk a labirintusban, és ezt megszorozzuk az 1 egy lépéshez tartozó bejárt terület nagyságával, 3/2 -nel, akkor éppen a Nn (n) T (n) (xn , hn ) mennyiséget kapjuk vissza. Azaz S̃T (n) (xn ,hn ) + 12 = xn , és (n) HT (n) (xn ,hn ) = hn . 46 http://www.doksihu  Azt szeretnénk belátni, hogy ha tekintjük az S̃t = 1 S̃ (n)  véletU len folyamatot, akkor értelmes S̃t standard részér®l beszélni. Ehhez azt kell 0 megmutatni, hogy 1 valószín¶séggel, ha t ≈ t

, akkor S̃t ≈ S̃t0 . 3/2 Nn n] ( [tN Nn ) [5] nyomán haladunk, és el®ször az (x, x + ε) átmetszéseit vizsgáljuk. l k + , hn = Legyen (xn , hn ) ∈ Hn tetsz®leges. Tudjuk, hogy ekkor xn = Nn Mn 2 2 alakú, ahol k ∈ {−Nn , . , Nn }, l ∈ {0, , Nn } Legyen még ε > 0 rögzített, [εNn ] . és legyen εn = Nn Deniáljuk az alábbi megállási id®ket: τ0 (xn , εn ) = 0, o n (n) σa (xn , εn ) = inf t ≥ τa−1 (xn , εn ) : S̃t = xn , a ≥ 1, o n (n) τa (xn , εn ) = inf t ≥ σa (xn , εn ) : S̃t = xn + εn , a ≥ 1. Tekintsük az xn és x n + εn közötti intervallum átmetszéseinek számát a t id®pontig: Utxn ↑xn +εn = sup {a ≥ 0 : τa (xn , εn ) ≤ t} . Végül legyen ε n +εn U(x . = UTxn(x↑xn ,h n ,hn ) n) ε tehát azt jelenti, hogy amíg a labirintusban a folyamat elér az (xn , hn ) U(x n ,hn ) (n) ponthoz, S̃ hányszor metszi át balról jobbra az (xn , xn + εn ) intervallumot. A skálázás miatt ennek az

intervallumnak a szélessége [εNn ] lépés. El®ször azt látjuk be, hogy ε U(x = n ,hn ) azaz n o (n) Λ(xn ,h0n ) (xn + εn ) : h0n ∈ (0, hn ] − 1, ε U(x -t úgy is megkaphatjuk, hogy megnézzük, hogy az xn id®pontban n ,hn ) [εNn ] id®pontban hány Nn különböz® értéket vesznek fel, hány folyamattá olvadtak össze [εNn ] lépés legfeljebb hn magasságból induló folyamatok az alatt. Ehhez legyen xn + n o (n) 0 h ∈ Λ(xn ,h0n ) (xn + εn ) : hn ∈ (0, hn ] , és h a legnagyobb (n) olyan szint, melyre Λ(x ,h) (xn n  + εn ) = h. Tegyük fel, hogy h < h Ebben az  esetben biztos, hogy az xn + 2N1 n , hn pontot még a T (n) (xn , hn ) id®pont el®tt elérjük a labirintusban, és innen a h-ból induló trajektória mentén hala(n) dunk tovább. h deníciója szerint xn + εn eléréséig a Λ(x ,h) -ba becsatlakozó n Λ trajektóriák xn -nél kés®bb indulnak, hiszen ezek is h-ba érkeznek az xn +εn id®pontban. Ezért amikor ezen

becsatlakozó trajektóriák mentén visszafelé 47 http://www.doksihu haladunk, nem juthatunk vissza xn -ig, amíg el nem értük xn + εn -t. Vagyis valóban egy átmetszést kaptunk. Másrészt, ha van egy átmetszés, világos, hogy az xn -ben nála magasabbról induló trajektóriák xn + εn -ig ezt nem ke- resztezhetik, ezért ebben az id®pontban magasabban kell lenniük, mint az (n) átmetszést alulról határoló Λ trajektória. Ez így valóban egy adott h-hoz tartozó legnagyobb magasságból induló trajektória lesz. Mivel h < h kell T (n) (xn , hn )-ig befejez®djön, a legnagyobb szin- ahhoz, hogy az átmetszés tet már nem vehetjük gyelembe, ezért a fenti halmaz elemszámából egyet levonva kapjuk az átmetszések számát, és ezt akartuk belátni. 1 ≤ j ≤ l = hMn -re, ha j + xn páratlan, jelölje Aj a következ® n o (n) (n) Aj = Λ(xn ,j/Mn ) (xn + εn ) < Λ(xn ,(j+2)/Mn ) (xn + εn ) , szintr®l induló Λ trajektóriák xn +

εn -ben különböznek. ε Az el®állításból világos, hogy U(x ,h ) az Aj események indikátorainak összen n geként írható, ahol csak az el®bbi feltételt teljesít® j -ket vesszük gyelembe: azaz a j. eseményt: és j + 1. X ε U(x = n ,hn ) χ (Aj ) . 0≤j≤l−1  P  ε = 0≤j≤l−1 Pn (Aj ), ahol Pn a korábbi, egyenletes En U(x n ,hn ) lásból származó mérték, En pedig az erre vonatkozó várható érték. Ezért elosz- Ha nem lenne a nulla szinten elnyel®dés és visszaver®dés, a következ®képpen számolhatnánk rögzített j -re. A j/Mn és (j + 2)/Mn magasságból induló folyamatok független, egyszer¶ szimmetrikus bolyongások, addig, amíg nem találkoznak. Ezért a korábban látott módszerrel, ha X és Y 0-ból induló, P mérték szerint, ak- független, egyszer¶ szimmetrikus bolyongások valamely kor Pn (Aj ) = P (Xt − Yt 6= 2, 1 ≤ k ≤ [εNn ]). A két bolyongás különbségére is alkalmazható a

tükrözési elv, így
P (Xt − Yt 6= 2, 1 ≤ k ≤ [εNn ]) = 1 − 2P X[εNn ] − Y[εNn ] ≥ 2 =

= 1 − P X[εNn ] − Y[εNn ] ≥ 2 − P X[εNn ] − Y[εNn ] ≤ −2 =  

2 [εNn ] = P X[εNn ] − Y[εNn ] = 0 = P X2[εNn ] = 0 = [εNn ] a függetlenség miatt. 1 [hMn ] 2 tagja van, tehát ha nincs elnyel®dés és visszaver®dés, a várható értékre Mivel csak a megfelel® paritású szinteket nézzük, az összegnek   2 [εNn ] 1 [hMn ] [εNn ] 2 48 http://www.doksihu 2b adódik. A Stirling-formula következménye, hogy a binomiális együttható b
√ 2b 1 √ -val egyezik meg, azaz limb∞ aszimptotikusan b = √1π . Ezért ha b πb most áttérünk a nemstandard konstrukcióra és ott a Loeb-mértékre, (x, h) ∈ ε H+ , akkor U(x,h) várható értéke
    1 ◦ h √ i 2 [εN ] 2 [εN ] h 1◦ = [hM ] h N = √ . [εN ] 2 2 [εN ] 2 πε [5] függeléke alapján belátható, hogy ez az összefüggés megmarad az

elnyel®d®-visszaver®d® esetben is. n-re Most rögzített ε U(x n ,hn ) megbecsüljük szórásnégyzetét. Ezt a valószí- n¶ségi változót indikátorok összegére bontottuk, ez alapján ε U(x n ,hn )
2 X X 0≤j≤l−1 j+1≤j 0 ≤l−1 ε = U(x +2 n ,hn ) χ (Aj ∩ Aj 0 ) . Szintén az indikátorok összegére bontásból adódik, hogy ε En U(x n ,hn )

2 ≥2 X X 0≤j≤l−1 j+1≤j 0 ≤l−1 Pn (Aj ) Pn (Aj 0 ) . Vagyis X

ε ε D2 U(x ≤ E U + 2 n (xn ,hn ) n ,hn ) 0≤j≤l−1 −2 X X 0≤j≤l−1 j+1≤j 0 ≤l−1 X Pn (Aj ∩ Aj 0 ) − j+1≤j 0 ≤l−1 Pn (Aj ) Pn (Aj 0 ) . 0 Az összeget tagonként becsüljük, legyen j < j rögzített. Jelölje Aj+2,j 0 0 azt az eseményt, hogy a j + 2. és j szintr®l induló folyamatok xn + εn -ben (n) (n) különböznek, azaz Λ(x ,(j+2)/N ) (xn + εn ) < Λ(x ,j 0 /N ) (xn + εn ). A különn n n n böz® szintekr®l induló folyamatok függetlenek, amíg nem

találkoznak, így világos, hogy
Pn (Aj ∩ Aj 0 ) − Pn Aj ∩ Acj+2,j 0 ∩ Aj 0 = = Pn (Aj ∩ Aj+2,j 0 ∩ Aj 0 ) ≤ Pn (Aj ) Pn (Aj 0 ) , átrendezve: Pn (Aj ∩ Aj 0 ) − Pn (Aj ) Pn (Aj 0 ) ≤ Pn (Aj ∩ Aj+2,j 0 ∩ Aj 0 ) . Rögzített j -re a különböz® j0 értékekre az egyenl®tlenség jobb oldalán sze- repl® események diszjunktak, és egyesítésük sz¶kebb 49 Aj -nél, hiszen pontosan http://www.doksihu egy olyan j0 szint van, hogy az onnan induló folyamat találkozik a j + 2. j 0 + 2. szintr®l induló folyamat már magasabbra érke- szintr®l indulóval, de zik. Ezért X Pn (Aj ∩ Aj+2,j 0 ∩ Aj 0 ) ≤ Pn (Aj ) . j+2≤j 0 ≤l−1 Mindezeket egybevetve X


ε ε ε D2 U(x ≤ E U P (A ) = 3E U + 2 . n n j n ,h ) (x ,h ) (x ,h ) n n n n n n 0≤j≤l−1 Így a Csebisev-egyenl®tlenség alapján, ha hn < 1√ πε, akkor 4

ε ε Pn U(x = 0 = 1 − Pn U(x ≥1 = n ,hn ) n ,hn )  
hn ε ε ≥ = 1 − Pn U(xn ,hn )

− En U(xn ,hn ) ≥ 1 − √ 2 πε     ε ε U 3E D2 U(x n (xn ,hn ) n ,hn ) ≥1−  2 ≥ 1 −  2 . h h n n 1 − 2√πε 1 − 2√πε Legyen x > 0, ε > 0. Rögzített ε = 0 n-re U(x n ,hn ) azt jelenti, hogy az (n) xn id®pontban hn magasságból induló Λ(xn ,hn ) folyamat értéke xn + εn -ben nulla. Ugyanis láttuk, hogy a legnagyobb nullába érkez® szint felett kialakul ε egy átmetszés, és a feltételünk szerint most ilyen nincs. Tehát U(x ,h ) = 0 n n esetén a hn magasságból induló folyamat xn + εn id®pontig eléri a nullát. (n) Másrészt, ha xn + εn els® elérését nézzük az S̃ folyamatnál, ez éppen az [xn , xn + εn ] els® átmetszésének végénél következik be. Láttuk, hogy az S̃ (n) folyamat csak olyan pontba léphet, amelynél alacsonyabb szint¶ pontokan xn +εn els® eléréséig bejárt terület legalább akkora, mint az els® átmetszés alatti terület. Ha az els® átmetszés hn -nél magasabbról indul,

már járt, ezért az akkor, mivel a trajektóriák nem keresztezik egymást, ez legalább akkora, (n) mint a Λ(x ,h ) alatti terület. n n Ha ez U -beli sok n-re teljesül, akkor az ultraszorzatban is igaz, hogy amíg S̃ eléri x-t, legalább akkora területet bejár, mint a Λ(x,h) alatti terület. Ha h > 0, és h nincs innitezimálisan közel a nullához, akkor, mivel ◦ Λ(x,h) 1 valószín¶séggel folytonos, 1 valószín¶séggel a Λ(x,h) trajektória alatti terület standard része is pozitív. Azaz standard rész nélkül N vízszintes lépésnyi távolság eléréséig legalább N 3/2 -nel arányos a lépések száma, hiszen egy lépés N 13/2 területnek felel meg. Ez pedig éppen azt mutatja, hogy ha t ≈ 0, akkor S̃ nem érheti el x + ε-t a t id®pontig. 50 http://www.doksihu h > 0-ra, melyre h nincs innitezimálisan közel U(x,h) = 0 esemény, ebb®l már következik, hogy x + ε eléréséig a bejárt terület pozitív. h-val nullához tartva az

el®bbi események monoton b®vül®k, ezért annak valószín¶sége, hogy az x + ε eléréséig bejárt   ε terület pozitív, limh0+ P U(x,h) = 0 . Ezek alapján, ha valamely a nullához, teljesül az Fenti becslésünk szerint  ε U(x n ,hn ) 3En
ε Pn U(x = 0 ≥ 1 −  ,h ) n n 1− hn √ 2 πε  2 , így a Loeb-mértékre  3E
ε P U(x,h) =0 ≥1−  1− ε U(x,h) √h 2 πε  2 . Azt is láttuk korábban, hogy a Loeb-mérték szerint ε U(x,h) várható értéke √h , így a h-val jobbról nullához tartva a limesz 1. Tehát 1 valószín¶séggel 2 πε teljesül, hogy az x + ε eléréséig bejárt terület pozitív. x > 0, ε > 0 esetén érvényes, és elmondható x < 0-ra x−ε-nal t ≈ 0, akkor 1 valószín¶séggel S̃t ≈ 0. Ez minden is a duális folyamatokkal. Vagyis ebb®l következik, hogy ha Hasonlóképpen, az átmetszések számának és a bejárt területeknek küt ≈ t0 , akkor S̃t ≈ S̃t0 , és így

értelmes lönbségét vizsgálva kapjuk, hogy ha ◦ deniálni a S̃t folyamatot. Másképpen is eljuthatunk hasonló eredményhez: az átmetszések számára vonatkozó becslésekb®l következik, hogy 1 valószín¶séggel minden M (x, y) x < y -ra lokálisan véges, ahol  M (x, y) = Λ(z,h) (y) = (z, h) ∈ E, z < x . Ebb®l és Λ, Λ− eddigi tulajdonságaiból [5] szerint következik az alábbi állítás. 26. állítás 1 valószín¶séggel minden (x1 , h1 ) 6= (x2 , h2 ) E-beli pontra a kö- vetkez® események közül pontosan az egyik teljesül: • (x1 , h1 ) ∈ D (x1 , h1 ) ⊂ D (x2 , h2 ) , (x2 , h2 ) ∈ / D (x1 , h1 ) és D (x2 , h2 ) D (x1 , h1 ) tartalmaz nem üres nyílt halmazt; • (x2 , h2 ) ∈ D (x2 , h2 ) ⊂ D (x1 , h1 ) , (x1 , h1 ) ∈ / D (x2 , h2 ) és D (x1 , h1 ) D (x2 , h2 ) tartalmaz nem üres nyílt halmazt. A nem üres nyílt halmaz pozitív területe biztosítja, hogy vehetjük dard részét. 51 S̃ stan-

http://www.doksihu 3.5 Összefoglalás [5] alapján el®ször a félsíkon megadott visszaver®d®-elnyel®d®, összeolvadó Wiener-folyamatok, illetve bolyongások rendszere közötti kapcsolatot vizsgáltuk, beláttuk, hogy ahogyan a bolyongásokból nemstandard konstrukció segítségével kapható Wiener-folyamat, itt a bolyongások rendszeréb®l képeztünk egy, a korábbitól eltér® konstrukciót a Wiener-folyamatok rendszerére. [5] szerint ez a rendszer a megadott tulajdonságokkal, melyeket a nemstandard konstrukció is teljesít, eloszlásban egyértelm¶, így valóban megfelel® eloszlású folyamathoz jutottunk. [5] szerint a visszaver®d®-elnyel®d®, összeolvadó bolyongások rendszere egy labirintust alakít ki. Az ebben a labirintusban bolyongó sztochaszti- kus folyamat vízszintes koordinátáját tekintve pedig olyan diszkrét, öntaszító folyamathoz jutunk, mely egy adott pontból annak a szomszédos élnek irányába lép, amelyiken kevesebbszer

járt, egyenl®ség esetén pedig egyenl® valószín¶séggel lép a két irányba. A folytonos idej¶ öntaszító folyamat konstrukciójának alapja [5]-ben a visszaver®d®-elnyel®d®, összeolvadó Wiener-folyamatok rendszere, lényegében az a pont, amelyre az éppen Xt értéke (Xt , ht )- b®l induló trajektória alatti terület t. Itt pedig azt láttuk, hogy úgy is értelmes valós sztochasztikus folyamathoz juthatunk, ha a nemstandard koordinátákkal leírt labirintusban bolyongó nemstandard érték¶ folyamat standard részét képezzük. További kérdés, hogy ennek eloszlása megegyezik-e a [5]-ben deniált folytonos idej¶ öntaszító folyamat eloszlásával, illetve, hogy ez alapján beláthatóe eloszlásbeli konvergencia erre az öntaszító folyamatra és diszkrét változataira. 52 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Robert M. Anderson A non-standard representation for Brownian motion and Itô integration. Israel J. Math, 25(1-2):1546, 1976

Developments in nonstandard 336 of Pitman Res. Notes Math [2] Nigel Cutland. Loeb measure theory In mathematics (Aveiro, 1994), volume Ser., pages 151177 Longman, Harlow, 1995 Loeb measures in practice: recent advances, volume 1751 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000 [3] Nigel J. Cutland [4] C. Ward Henson Foundations of nonstandard analysis: a gentle intro- Nonstandard analysis (Edinburgh, NATO Adv. Sci Inst Ser C Math Phys Sci, duction to nonstandard extensions. In 1996), volume 493 of pages 149. Kluwer Acad Publ, Dordrecht, 1997 [5] Bálint Tóth and Wendelin Werner. The true self-repelling motion Theory Related Fields, 111(3):375452, 1998. 53 Probab. http://www.doksihu Tartalomjegyzék Bevezetés 2 1. A nemstandard univerzum 4 1.1 A nemstandard valós számok halmaza . 1.2 A nemstandard univerzum konstrukciója . 6 1.3 Az átviteli elv . 7 2. A Wiener-folyamat

konstrukciója 4 13 2.1 Bels® függvények és hipervégesség . 13 2.2 A Loeb-mérték 16 2.3 Loeb-integrálelmélet . 19 2.4 A Wiener-folyamat konstrukciója a Loeb-mérték segítségével . 21 . 3. Az összeolvadó Wiener-folyamatok rendszere 28 3.1 Az el®rehaladó rendszer . 28 3.2 Az összeolvadó bolyongások rendszere . 30 3.3 A nemstandard konstrukció 30 3.4 A visszafelé haladó rendszer és az öntaszító folyamatok 3.5 Összefoglalás . . 43 . 52 Irodalomjegyzék 53 54