Matematika | Analízis » Csépány Viktória - Lokális bifurkációk

http://www.doksihu LOKÁLIS BIFURKÁCIÓK Szakdolgozat Írta: Csépány Viktória Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet®: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010. http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Lokális bifurkációk 7 2.1 Nyereg-csomó-bifurkáció 7 2.2 Transzkritikus bifurkáció 9 2.3 Vasvilla bifurkáció 10 2.4 Poincare-Andronov-Hopf bifurkáció 11 1 http://www.doksihu Köszönetnyilvánítás Köszönetemet szeretném kifejezni témavezet®mnek, Kovács Sándor Tanár Úrnak, aki bevezetett a lokális bifurkációk elméletébe, és hasznos tanácsaival, precíz magyarázataival nagyban hozzájárult dolgozatom elkészüléséhez. 2 http://www.doksihu 1. Bevezetés Tacoma-híd, g®zgép, centrifugális szabályozó,

paraméter, bifurkációk, . Ezen szakkifejezések között látszólag nincs semmilyen kapcsolat, de ha jobban elmélyedünk tanulmányozásukban, kiderül, nem is állnak oly távol egymástól. Dolgozatomban a paramétert®l függ® dierenciálegyenlet-rendszerek vizsgálatán keresztül keresem ezek kapcsolatát. Mit is értünk ilyen rendszerek alatt? Adott egy dierenciálegyenletrendszer, legalább egy ismeretlen paraméterrel A paraméter ill paraméterek módosításakor bekövetkez® változásokra vagyunk kíváncsiak, ha vannak El®fordulhat ugyanis, hogy a paraméter kis változtatása súlyos következményekkel jár Így történt ez annak idején a g®zgép m¶ködésével is, mely a konstrukciós változtatások miatt egyre megbízhatatlanabbul kezdett m¶ködni. Számos szakember és mérnök dolgozott a probléma megoldásán Végül Visnyegradszkij, az automatikus szabályozások elméletének egyik megalapozója találta meg a kiutat a válságból. Volt ugyanis a

g®zgépnek egy centrifugális szabályozó alkatrésze, mely feladata a következ® volt: növelni tudta a g®z adagolását, ha csökkent a lendít®kerék sebessége, illetve csökkentette a g®zadagolást, ha n®tt a sebesség. Azt várnánk, hogy egy id® után stabilizálódik a szabályozó sebessége Az els® id®kben ez így is történt. A XIX század második felében meggyelt zavar okainak feltárásához viszont Visnyegradszkijnak meg kellett vizsgálni a géprendszer dinamikai m¶ködését és annak stabilitását. Arra a következtetésre jutott, hogy a technika fejl®dése következtében a rendszert leíró egyenletek paraméterei stabilitást rontó irányba kezdtek változni. A paraméterváltoztatás során az az eset is el®fordulhat, hogy bizonyos értékekre a rendszernek periodikus megoldása lesz A Tacoma-híd tragédiájának magyarázatakor is találunk olyan érveléseket, amelyek nem a "periodikus széllökésekre" alapozzák a hídszerkezet

periodikus mozgását, hanem egy paraméter változása okozta Hopf-bifurkáció kialakulására. A paraméterek megváltozása a megoldások kvalitatív viselkedésének megváltozását vonja maga után a viszonylag egyszer¶ ẋ = ax egyenlet esetében is: az ẋ = ax, x(τ ) = ξ 3 http://www.doksihu kezdetiérték-feladat megoldása a ϕ(t) := ξea(t−τ ) (t ∈ R) függvény. Könny¶ kiszámolni, hogy ha 1. a > 0, akkor lim ϕ = sgn(ξ)∞, lim ϕ = 0, −∞ +∞ 2. a = 0, akkor lim ϕ = ξ , lim ϕ = ξ , −∞ +∞ 3. a < 0, akkor lim ϕ = 0, lim ϕ = sgn(ξ)∞ −∞ +∞ 4 4 4 2 –2 –1 2 2 1 –2 2 –1 0 1 2 –2 –1 1 t t 2 t –2 –2 –2 –4 –4 –4 1. ábra Az ẋ = ax megoldásainak grakonjai a > 0, a = 0 ill a < 0 esetén Világos, hogy ha egy (autonóm) dierenciálegyenlet(-rendszer) esetében a paramétereket változtatjuk, akkor a a rendszer "alakja" is megváltozik. Kérdés, hogy a

különböz® paraméterértékekhez tartozó dinamikai rendszerek kvalitatív tulajdonságai ugyanazok maradnak-e. Nézzük most azt az esetet, ha a paramétereket csak kicsit módosítjuk, azaz a rendszert csak "kicsit" változtatjuk meg Ennek a "kicsi"-nek a pontos matematikai megfogalmazását írjuk le a következ® bekezdésben. 1.1 Deníció Legyen M n-dimenziós irányítható kompakt C 2 -sokaság, f, g ∈ C 1 (M, Rn ). Az ẋ = f ◦ x és ẋ = g ◦ x (1.1) dinamikai rendszerek C 1 -távolságán a következ®t értjük: dist(f, g) := max |f (x) − g(x)| + max kfx0 (x) − gx0 (x)k , x∈M x∈M ahol az x ∈ Rn vektor ill. az A ∈ Kn×n mátrix esetében |x| := q ill. kAk := max |Ax| x21 + . + x2n |x|≤1 4 (1.2) http://www.doksihu Megjegyezzük, hogy M kompaktsága miatt a C 1 -távolság jóldeniált, továbbá az els® deriváltak felt¶nése a denícióban természetes, ha biztosítani akarjuk, hogy a közeli rendszerek

egyensúlyi állapotai ugyanolyan típusúak legyenek. 1.2 Deníció Azt mondjuk, hogy az f vektormez® ill az ẋ = f (x) dinamikai rendszer strukturálisan stabilis (robosztus), ha létezik f -nek olyan C 1 -környezete, hogy bármely ebb®l a környezetb®l vett g-nek megfelel® dinamikai rendszer topologikusan ekvivalens az f genarálta dinamikai rendszerrel. 1.1 Példa Az f (x) := (−x2 , x1 ) ((x1 , x2 ) ∈ R2 ) vektormez® generálta dinamikai rendszer nem stukturálisan stabilis, ugyanis • ha K ⊂ R2 olyan kompakt halmaz, amely belsejében tartalmazza az origót, és ((x1 , x2 ) ∈ R2 ), g(x) := (−x2 + µx1 , x1 + µx2 ) akkor  dist(f, g) = |(−µx1 , −µx2 )| + max  −µ 0 0 −µ |x|≤1 =   · x1 x2   = p p (−µ)2 x21 + (−µ)2 x22 + max (−µ)2 x21 + (−µ)2 x22 = |x|≤1 = |µ| |x| + |µ| = |µ| (|x| + 1) és ha d := max |x|, ill. ha  >0, akkor |µ| := /(d + 2) választás esetén x∈K dist(f, g) < ; •

az f ill. a g -nek megfelel® dinamikai rendszerek nem topologikusan ekvivalensek (vö. 2 ábra) A továbbiakban legyen f ∈ Rn × R Rn , f ∈ C 1 és tekintsük az ẋ = f ◦ (x, µ) (µ) paramétert®l függ® dinamikai rendszert. 5 (1.3) http://www.doksihu 2 2 2 y y y 1 1 –2 –1 0 1 1 2 –2 –1 0 1 2 –2 –1 0 x x –1 1 2 x –1 –1 –2 –2 –2 2. ábra Az ẋ = (−x2 + µx1 , x1 + µx2 ) rendszer fázisportréja µ <0, µ =0 és a µ >0 esetén. 1.3 Deníció Azt mondjuk, hogy a µ0 paraméterérték az (13)-beli f (·, µ0 ) vektormez® ill. a hozzá tartozó dinamikai rendszer bifurkációs pontja, ha az f (·, µ0 ) vektormez®nek megfelel® dinamikai rendszer nem strukturálisan stabilis. 6 http://www.doksihu 2. Lokális bifurkációk 2.1 Nyereg-csomó-bifurkáció A µ paramétert®l függ® (2.4) ẋ = f (x, µ) :≡ µ − x2 dierenciálegyenletnek az egyensúlyi helyzeteire vonatkozóan a következ®k

igazak 1. µ < 0, nem létezik egyensúlyi pont; 2. ha µ = 0, pontosan egy egyensúlyi pont létezik: x = 0, ami nem stabilis (lásd 3 ábra) √ 3. ha µ > 0, akkor két egyensúlyi pont létezik: x = ± µ és f 0 (x) = −2x miatt az x= √ √ µ egyensúlyi helyzet stabilis, az x = − µ viszont nem (vö. 4 ábra) 3. ábra Nyereg-csomó-bifurkáció fázisportréja Látható, hogy a µ = 0 értéknél az egyenlet nem stukturálisan stabilis: bifurkáció következik be. Az ilyen típusú bifurkációt nyereg-csomó-bifurkációnak nevezik Az implicit függvényre vonatkozó tétel alapján könnyen belátható a következ® 2.1 Tétel Tegyük fel, hogy Ω ⊂ R2 nyílt halmaz, f ∈ C 2 (Ω, R), az (x0 , µ0 ) ∈ Ω pont pedig az ẋ = f ◦ (x, µ) 7 (2.5) http://www.doksihu 4. ábra Nyereg-csomó-bifurkáció a µ, x fázissíkon paraméterfügg® egyenlet nemhiberbolikus egyensúlyi helyzete: f (x0 , µ0 ) = 0, ∂1 f (x0 , µ0 ) = 0. Ha ∂2 f (x0 ,

µ0 ) 6= 0 és ∂11 f (x0 , µ0 ) 6= 0, akkor µ = µ0 a (2.5) bifurkációs pontja, µ = µ0 esetén nyereg-csomó bifurkáció lép fel Hogy a jelenséget jobban tudjuk szemléltetni, tekinsük következ® kétdimenziós rendszert: ẋ = −x2 + µ, (2.6) ẏ = −y. A µ <0-ra a rendszernek nem létezik egyensúlyi pontja. Ahogy µ növekszik, és eléri 0-t, az origó válik a rendszer egyetlen egyensúlyi pontjává. Amennyiben µ tovább n®, √ √ már két egyensúlyi pont gyelhet® meg: az E1 = (− µ, 0), és az E2 = ( µ, 0). A µ =0-ban a rendszer tehát nem strukturálisan stabilis: bifurkáció lép fel. A µ <0-ra még nem volt egyensúlyi pont, µ >0-ra meg már kett® is. Az E1 a linearizált rendszer √ (1) nyeregpontja, ugyanis sajátértékek: λ(1) 1 (µ) = 2 µ, és λ1 (µ) = −1. A két különböz® el®jel¶ sajátértékhez pedig a nyeregszer¶ fáziskép tartozik. Az E2 egyensúlyi helyzet linearizált rendszer esetében csomó,

ugyanis a sajátértékek ebben az esetben: λ(2) 1 (µ) = √ (2) −2 µ, és λ2 (µ) = −1. A két negatív sajátértékr®l pedig tudjuk, hogy csomószer¶ 8 http://www.doksihu fázisképet takar. Az el®bbiek az 5 ábrán is jól láthatók: a bal félsíkban (x <0) nyeregre emlékeztet® trajektóriák gyelhet®k meg, a jobb félsíkbeli fáziskép pedig csomó. 5. ábra Nyereg-csomó-bifurkáció két dimenzióban: a µ <0, µ =0, és a µ >0 esetekben 2.2 Transzkritikus bifurkáció A rendszerünk legyen a következ®: ẋ = µx − x2 . (2.7) Két egyensúlyi helyzet van: x = 0 és x = µ. µ = 0 paraméterértékre egyetlen kritikus pont van: x = 0. Az f (x) ≡ −x2 vektormez® nem strukturálisan stabilis, µ = 0 a bifurkációs pont. A bifurkáció ezen típusát nevezzük transzkritikus bifurkációnak A 6. ábrán látható a rendszer fázisportréja 6. ábra Transzkritikus bifurkáció fázisportréja 9 http://www.doksihu 7. ábra

Transzkritikus bifurkáció bifurkációs diagramja 2.3 Vasvilla bifurkáció Tekintsük a következ® dierenciálegyenletet: (2.8) ẋ = f (x, µ) :≡ −x3 + µx. Látható, hogy az x = 0 mindig egyensúlyi pont, továbbá szerinti: ∂1 f (x, µ) = −3x2 + µ miatt x = 0 aszimptotikusan stabilis minden µ <0 esetén, és nem stabilis minden µ >0 esetén (lásd 8.ábra) Az is látható, hogy µ = 0-ra az x = 0 még aszimptotikusan stabilis (vö. 9ábra) Tovább vizsgálva a paraméter értékeit µ >0-ra két másik egyensúlyi pont √ √ is felt¶nik az x =0 mellett: az x = ± µ. Világos, hogy ∂1 f (± µ, µ) = −2µ <0; így mindkett® aszimptotikusan stabilis. Összefoglalva, mikor a µ áthalad az origón, az x = 0 egyensúlyi pont elveszti stabilitását, és helyette két új aszimptotikusan stabilis egyensúlyi pont jelenik meg. Ebben a példában is a 0 bifurkációs pont A bifurkáció ezen fajtáját nevezik vasvilla bifurkációnak. Ez a

bifurkáció szuperkritikus, mely azt jelenti, hogy az új egyensúlyi pontok a kritikus paraméterérték µ = 0 után jelennek meg, és az x = 0 még aszimptotikusan stabilis egyensúlyi pont. Változtassuk meg x3 el®jelét, tehát legyen a rendszerünk: ẋ = x3 + µx. (2.9) Ez az eset analóg az el®z®vel, annyi különbséggel, hogy az új egyensúlyi pontok megjelenése a kritikus paraméterérték el®tt történik, és az x = 0 egyensúlyi pont még nem 10 http://www.doksihu 8. ábra Vasvilla-bifurkáció fázisportréja lesz stabilis µ = 0 esetén. Ez a szubkritikus eset 9. ábra Vasvilla-bifurkáció: az els® ábrán a szuperkritikus eset (28), a másodikon a szubkritikus eset (2.9) látható 2.4 Poincare-Andronov-Hopf bifurkáció Legyen a rendszerünk a következ®:   ẋ = µx − y − x(x2 + y 2 ),  ẏ = x + µy − y(x2 + y 2 ). 11 http://www.doksihu Látható, hogy az (x, y) = (0, 0) mindig egyensúlyi pont. A linearizált rendszer:  X0 =

 µ −1 1 µ   X. A linearizált rendszer sajátértékei µ ± ı, így a µ = 0 paraméterértékre bifurkáció lép fel. A könnyebb érthet®ség kedvéért, írjuk át a rendszert polárkoordinátás alakba:   ṙ = µr − r3 ,  θ̇ = 1. • Ha µ < 0, az origó nyel®, mivel µr − r3 < 0 minden r > 0 értékre, azaz minden megoldás 0-hoz tart. • Ha µ > 0 az origó forrássá változik. √ √ µ. A µ sugarú kör egy √ √ periodikus megoldás 2π periódussal. Tehát r0 > 0, ha 0 < r < µ, és r0 < 0, ha r > µ √ Vagyis minden nemnulla megoldás a µ sugarú körhöz tart. A bifurkáció ezen típusát Mi a helyzet µ = 0 esetén? Amikor µ > 0 az r0 = 0, ha r = Hopf-bifurkációnak nevezzük. 1 y –1 –0.5 2 y 0.5 0 0.5 1 –2 –1 1 0 x 1 2 x –0.5 –1 –1 –2 10. ábra Hopf-bifurkáció µ < 0 és µ > 0 paraméterértékekre 2.2 Tétel Legyen 2 ≤ n ∈ N és f ∈ Rn

× R Rn , f ∈ C 5 , majd tegyük fel, hogy az ẋ = f ◦ (x, µ) rendszert esetében f (0, µ) ≡ 0 és az ∂1 f (0, µ) mátrixnak két komplex-konjugált sajátértéke van: α(µ) ± iω(µ), ahol ω(µ) > 0, α(0) = 0, α0 (0) 6= 0 (ún. transzverzalitási feltétel), és a többi (n − 2) darab sajátérték valósrésze negatív. Ekkor 12 http://www.doksihu 1. létezik olyan δ >0 és µ : (−δ, δ) R C 3 -függvény, hogy minden  ∈ (−δ, δ)-ra az ẋ = f ◦ (x, µ()) rendszernek van p(·, ε) periodikus megoldása, melynek periódusa T () >0, azaz T ∈ p C 3 , µ(0) = 0, T (0) = 2π/ω(0), p amplitúdója |µ()|-nal arányos; 2. (0, 0) ∈ Rn × R-nak van olyan környezete, amelyben nincs más nem állandó periodikus megoldás, csak p(·, ) A kialakuló periodikus megoldás (pályamenti) stabilitását illet®en a következ® mondható: ha • l1 < 0, akkor p(·, ) orbitálisan aszimptotikusan stabilis ill. az eredeti egyensúlyi helyzet

már nem stabilis (szuperkritikus Hopf-bifurkáció), • l1 > 0, akkor p(·, ) nem stabilis ill. az eredeti egyensúlyi helyzet még stabilis (szubkritikus Hopf-bifurkáció), ahol l1 = 1 Re[hp, C(q, q, q̄)i − 2 hp, B(q, s)i + hp, B(q̄, r)i], 2ω ahol ω > 0, B és C koordinátafüggvényei: Bi (x, y) = és n X ∂ 2 fi (ξ, 0) ∂ξj ∂ξk j,k=1 n X ∂ 3 fi (ξ, 0) Ci (x, y, z) = ∂ξj ∂ξk ∂ξl j,k,l=1 ξ=0 ξ=0 xj yk xj yk zl (x, y ∈ Kn ), (x, y, z ∈ Kn ) (i = 1, 2, . , n), továbbá p, q ∈ Cn az A := ∂1 f (0, µ) Jacobi-mátrixnak az ıω ill a −ıω sajátértékekhez tartozó bal- ill. jobboldali normált sajátvektora, azaz hp, qi = 1 és AT p = −ıωp Aq = ıωq, valamint s := A−1 B(q, q̄), r := (2ıωI − A)−1 B(q, q). 13 http://www.doksihu 11. ábra A szuper- és szubkritikus Hopf-bifurkáció kétdimenziós rendszerekben 14 http://www.doksihu A következ® alkalmazások kapcsán megmutatható, hogy Hopf

bifurkáció lép fel. Minden egyes esetben kiszámítjuk l1 -et 2.41 Hopf-bifurkáció kimutatása visszajelz®-ellen®rz® rendszereknél Tekintsük a következ® dierenciálegyenletet, mely a pozitív α és β paraméterekt®l függ: d3 y d2 y dy + α + β + y(1 − y) = 0. 3 2 dt dt dt (2.10) Ez írja le a Lur-típusú visszajelz®-ellen®rz® rendszert. Bevezetve az x1 = y , x2 = x˙1 , és x3 = x˙2 jelöléseket, az egyenlet a következ® dierenciálegyenlet-rendszerrel ekvivalens:    x˙ = x2 ≡ f1 (x, α, β)   1 x˙2 = x3 ≡ f2 (x, α, β)     x˙3 = −αx3 − βx2 − x1 + x2 ≡ f3 (x, α, β) 1 A rendszernek két egyensúlyi pontja van minden (α, β ) értékpárra: x(0) = (0, 0, 0) és x(1) = (1, 0, 0). Vizsgáljuk az egyensúlyi helyzetet az origóban A rendszer Jacobi- mátrixa az x(0) pontban:  0 1 0   J = 0 0 1  −1 −β −α    ,  karakterisztikus polinomja: λ3 + αλ2 + βλ + 1 = 0.

(2.11) A következ® lépésekben kiszámítjuk l1 -et, mely el®jele segít eldönteni, hogy a Hopfbifurkáció szuper- vagy szubkritikus. • 0. lépés: Keressünk olyan (α, β) paraméterértékpárt, melyre a karakterisztikus polinomnak két komplex konjugált sajátértéke van: ±ıω , ahol ω > 0, és nincs más 1 , β > 0, valamint β = ω 2 , ω > 0 esetén pontosan β 1 ez a helyzet. Fixáljuk α-t a kritikus paraméterértékre, -ra Beírva ezt a rendszer β ilyen típusú sajátérték. α = 15 http://www.doksihu Jacobi-mátrixába, valamint felhasználva, hogy β = ω 2 , azt kapjuk, hogy  0 1 0   A= 0 0 1  −1 −ω 2 −1/ω 2    .  • 1. lépés: Kiszámoljuk az el®z®ekben deniált p, q sajátvektorokat Könnyen el- len®rizhet®, hogy    ıω   3 p ∼  ıω − 1  −ω 2 1     q ∼  ıω  ,   2 −ω      valóban sajátvektorai az A és AT

mátrixoknak, de még nem teljesül rájuk, hogy hp, qi = 1. A normálás után:    ıω  1  3 p=  ıω − 1 2ω(ω 3 + ı)  −ω 2 1     q =  ıω  ,   −ω 2      már igen. • 2. lépés: Kiszámoljuk az s ∈ Rn és r ∈ Cn vektorokat Mivel a dierenciálegyenlet- rendszerünkben csak a harmadik egyenlet tartalmaz nemlineáris tagot, a B bilineáris függvényünk ill. C 3-lineáris függvényünk a következ® alakú lesz:    B(x, y) =    0 0 2x1 y1     (x, y ∈ K3 ) mivel C(x, y, z) ≡ 0. A     0 0         B(q, q) = B(q, q̄) =  0  =  0  ,     2q12 2 16 http://www.doksihu behelyettesítve s és r képletébe, kapjuk:   −2     s= 0    0   1   2   és r = −  . 2ıω 3 3(1 + 2ıω )   2 −4ω • 3. lépés: l1 meghatározása Ezek

alapján: l1 = 1 ω 3 (1 + 8ω 6 ) Re(−4p̄3 q1 s1 + 2p̄3 q̄1 r1 ) = − . 2ω (1 + 4ω 6 )(1 + ω 6 ) Elvégezve az ω 2 = β helyettesítést: √ (1 + 8β 3 )β β l1 = − < 0, (1 + 4β 3 )(1 + β 3 ) vagyis a bifurkáció szuperkritikus. 2.42 További alkalmazások Brüsszelátor. A következ® kémiai modellr®l van szó:   ẋ = A − (B + 1)x + x2 x 1 1 1 2  ẋ2 = Bx1 − x2 x2 1 ahol A > 0 x, B pedig a bifurkációs paraméter. A következ® Maple alkalmazás segítségével láthatjuk, hogy B = 1 + A2 paraméterértékre a rendszerben szuperkritikus Hopfbifurkáció jelensége gyelhet® meg >restart: >with(linalg): >readlib(mtaylor): >readlib(coeftayl): >F[1]:=A-(B+1)*X[1]+X[1]^2X[2]; F1 := A − (B + 1)X1 + X12 X2 >F[2]:=B*X[1]-X[1]^2X[2]; F2 := BX1 + X12 X2 17 http://www.doksihu >J:=jacobian([F[1],F[2]],[X[1],X[2]]);  J :=  −B − 1 + 2X1 X2 X12  B − 2X1 X2 −X12  >K:=transpose(J);  K := 

−B − 1 + 2X1 X2 B − 2X1 X2 X12 −X12 >sol:=solve({F[1]=0,F[2]=0},{X[1],X[2]});  sol := X1 = A, X2 = B A >assign(sol); >T:=trace(J); T := B − 1 − A2 >diff(T,B); 1 >sol:=solve({T=0},{B}); sol := {B = 1 + A2 } >assign(sol); >assume(A>0); >omega:=sqrt(det(J)); 18   http://www.doksihu ω := A− A Brüsszelátornak a B = 1 + A2 paraméterérték esetén az egyensúlyi helyzete:  T 1 + A2 A, , A a rendszer Jacobi-mátrixának sajátértékei λ1,2 = ±ıω , ahol ω = p det(J) = A > 0. >ev:=eigenvects(map(eval,J));       −A− I + A−2 −A− I + A−2 − − , −IA , 1, 1, − ev := A I, 1, 1, − A−2 A−2 >q:=ev[1][3][1]; −A− I + A−2 q := 1, − A−2   >q:=evalm(1/q[2]*q): q:=map(simplify,map(evalc,q));   A− (A− + I) q := − ,1 1 + A−2 >et:=eigenvects(map(eval,K));   −     A I + A−2 −A− I + A−2 − − et := A I, 1, , −IA , 1, A−2 A−2

>P:=et[2][3][1];  −A− I + A−2 p := ,1 A−2 Ezen parancssorokkal kiszámoljuk a J Jacobi-mátrix p és q sajátvektorait, melyekre  Jq = iωq, J T p = −iωp. >s1:=simplify(evalc(conjugate(P[1])*q[1]+conjugate(P[2])q[2])); s1 := − 2(−1A− I) 1 + A−2 >p:=evalm(1/conjugate(s1)*p): p:=map(simplify,map(evalc,p));   −1 −2 I(1 + A ) 1 1   p :=  2 , − IA−  − A 2 2 19 http://www.doksihu >simplify(evalc(conjugate(p[1])*q[1]+conjugate(p[2])q[2])); 1 Ahhoz, hogy teljesülhessen, hogy a hp, qi = 1, megtörténik a p és q megfelel® normálása. >F[1]:=A-(B+1)*x[1]+x[1]^2x[2]; F1 := A− (2 + A−2 )x1 + x21 x2 >F[2]:=B*x[1]-x[1]^2x[2]; F1 := (1 + A−2 )x1 − x21 x2 >x[1]:=evalc(X[1]+z*q[1]+z1conjugate(q[1]));   −2 − − −2 z1A zA z1A zA − + − + x1 := A− − I 1 + A−2 1 + A−2 1 + A−2 1 + A−2 >x[2]:=evalc(X[2]+z*q[2]+z1conjugate(q[2])); x2 := 1 + A− + z + z1 A−

>H:=simplify(evalc(conjugate(p[1])*F[1]+conjugate(p[2])F[2])); 1 H := − (−z12 A−2 z + 2zz1A− + 3z 2 A−2 z1 − 2z12 A−3 2 2 −3 −2z A + Iz 2 − z 2 A− − z12 A− + z 3 A−2 − 3z13 A−2 + 3A−4 z 2 z1 +3A−4 z12 z − 2zA−5 z1 + 2Iz 2 A−2 − 2Izz1 − 2IzA− +Iz12 A−4 + Iz 3 A− + Iz13 A− − 2IzA−5 − 3Iz13 A−3 + Iz 3 A−3 −4IzA−3 + Iz 2 A−4 + 2Iz1A−2 − Iz 2 A− z1 − 5Iz12 A−3 z −Iz12 A− z + 2IzA−4 z1 − Iz 2 A−3 z1 + A−4 z 3 + A−4 z13 −z12 A−5 − z 2 A−5 )/(1 + A−2 )2 >g[2,0]:=simplify(2*evalc(coeftayl(H,[z,z1]=[0,0],[2,0]))); g2,0 := A− − I >g[1,1]:=simplify(evalc(coeftayl(H,[z,z1]=[0,0],[1,1]))); 20 http://www.doksihu g1,1 := (A−2 − 1)(A− − I) 1 + A−2 >g[2,1]:=simplify(2*evalc(coeftayl(H,[z,z1]=[0,0],[2,1]))); g2,1 := − A− (3A− − I) 1 + A−2 Az l1 kiszámítása a következ® jelölésekkel történik: g20 = hp, B(q, q)i , g11 = hp, B(q, q̄)i és g21 = hp,

C(q, q, q̄)i − 2 hp, B(A−1 B(q, q̄))i + hp, B(q̄, (2iω0 I − A)−1 B(q, q))i + 2 1 1 hp, B(q, q)i hp, B(q, q̄)i − |hpB(q, q̄)i|2 − |hpB(q, q̄)i|2 . ıω0 ıω0 3iω0 Ezen jelölésekkel l1 képlete a következ® alakot ölti: l1 = 1 Re(ig20 g11 + ωg21 ). ω2 >l[1]:=simplify(1/(2*omega^2)Re(Ig[2,0]g[1,1]+omegag[2,1])); l1 := − 2 + A−2 2A− (1 + A−2 ) Ragadozó-zsákmány modell. Az el®z®ek alapján több hasonló problémát oldhatunk meg. Egy ilyen a ragadozó-zsákmány modell:   ẋ = rx (α + x )(1 − x ) − c x x ≡ f (x , x , α) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2  ẋ2 = −αdx2 + (c − d)x1 x2 ≡ f2 (x1 , x2 , α). A rendszerben x1 és x2 a ragadozók és zsákmányok, mint populációk számát jelöli, r, c, d olyan pozitív paraméterek, melyek a populációk viselkedéseinek paraméterei, α pedig egy szabályozó paraméternek tekinthet®. Feltehetjük továbbá, hogy c > d Ha 21 http://www.doksihu alkalmazzuk az el®z® Maple

parancssort a paraméterek módosításával, kapjuk, hogy a megfelel® paraméterérték, ahol a Hopf-bifurkáció jelensége fennáll: α0 = c−d c+d melyre létezik a rendszernek olyan x0 egyensúlyi pontja, hogy a sajátértékek λ1,2 = ±iω , ω >0, és ω2 = rc2 d(c − d) . (c + d)3 A transzverzalitási feltétel is teljesül: µ0 (α0 ) = − α0 rd(c + d) < 0. 2(c − d)2 A rendszer Jacobi-mátrixa az x0 pontban, és α0 értéket is behelyettesítve:  cd 0 −  c+d  A= 2 . ω (c + d) 0 cd  Mint az el®bbi esetben, a parancssor lefuttatásával megkapjuk a megfelel® p és q sajátvektorokat, és a gjk értékeket. Végül kiszámítható l1 is: l1 = − c2 d 2 r < 0, ω 3 (c + d)2 minden pozitív ω esetén, vagyis a Hopf-bifurkáció ismét szuperkritikus. Bautin példája.   ẋ = y  ẏ = −x + αy + y + xy + y 2 A Bautin-példa egyenleteit írva a Maple parancssorba kapjuk, hogy a rendszer Jacobimátrixa  J = 0 1

−1 + 2X1 + X2 α + X1 + 2X2 X1 , X2 helyére a megoldások értékét írva: 22  , http://www.doksihu  J = 0 1 −1 α  . A parancssor ismét kiszámolja nekünk a sajátvektorokat, gij együtthatókat, és végül megkapjuk l1 értékét: ω2 + 1 > 0. 2ω 5 A Ljapunov-együttható tehát minden pozitív ω értékre pozitív, vagyis a bifurkáció l1 = szubkritikus. Rayleigh egyenlete.   ẋ = y  ẏ = −x3 + 2αy − x A rendszer Jacobi mátrixa, az X2 = 0 megoldást is behelyettesítve:  J = 0 1 −1 2α  . A keresett Ljapunov-együttható: 3 l1 = − ω < 0. 2 A Hopf-bifurkáció szuperkritikus fajtája jelenik meg ismét. A 12ábrán látható a kritikus érték el®tti állapot, mikor a 0 még stabilis egyensúlyi pont, majd a kritikus érték utáni állapot, mikorra már kialakul a határciklus. A kívülr®l induló megoldások "rátekerednek", a belülr®l induló megoldások pedig a körvonalhoz

konvergálnak. Van der Pol oszcillátor. Az egyenletrendszerünk:   ẋ = αx − y 2 x − y  ẏ = −x. A már ismert Maple parancssor segítségével könnyen láthatjuk, hogy ismét szuperkritikus Hopf-bifurkációval állunk szemben. Az els® Ljapunov-együttható: 1 l1 = − ω < 0 2 23 http://www.doksihu minden pozitív ω -ra. 12. ábra Rayleigh egyenlete: az α <0 és az α >0 esetekben 13. ábra Van der Pol oszcillátor: az α <0 és az α >0 esetekben 24 http://www.doksihu Hivatkozások [1] Farkas, M.: Periodic Motions, Berlin, Heidelberg and New York: Springer-Verlag (1994). Dierential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos, Pure and Applied Mathematics (Amsterdam) 60. Amsterdam: Elsevier/Academic Press (2004) [2] Hirsch, W., Smale S and Devaney, Robert L: [3] Kuznetsov, Y. A: [4] Perko, L.: Elements of Applied Bifurcation Theory, Berlin, Heidelberg and New York: Springer-Verlag (1998). Dierential

Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics: Springer-Verlag (1991). 25