Matematika | Analízis » Földi Eszter - Topologikus terek, folytonosság és a Brouwer-fixponttétel

http://www.doksihu Topologikus terek, folytonosság és a Brouwer-fixponttétel Szakdolgozat Írta: Földi Eszter Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Pfeil Tamás, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. Topológiai bevezetés 5 1.1 Halmazrendszerek 5 1.2 Topológia értelmezése környezetekkel 7 1.3 Topológiai alapfogalmak 7 1.4 Nyílt halmazok, zárt halmazok és azok tulajdonságai 9 1.5 Topológia értelmezése nyílt halmazokkal 12 1.6 Környezetbázis 13 1.7 Példák topologikus terekre 14 1.8 Topologikus tér alterei 16 1.9 Szétválasztási axiómák 17 1.10

Megszámlálhatósági axiómák 19 1.11 Példák 20 2. Folytonos függvények 21 2.1 Konvergens sorozat 21 2.2 Adott pontban folytonos függvény 22 2.3 Adott pontban sorozatfolytonos függvény 24 2.4 Folytonos függvény 24 2.5 A Peano-görbe 26 2.6 Homeomorfizmus 28 2.7 Példa homeomorfizmusra 30 2 http://www.doksihu TARTALOMJEGYZÉK 3. A Brouwer-féle fixponttétel 3 32 3.1 Motiváció 32 3.2 Halmazok távolsága 33 3.3 Sakk-lemma 34 3.4 Brouwer tétele 35 3.5 A fixponttétel egy alkalmazása 39 Köszönetnyilvánítás 40 Irodalomjegyzék 41

http://www.doksihu Bevezetés Szakdolgozatom témájául a topologikus terek és topologikus téren értelmezett folytonos függvények vizsgálatát választottam, ezenkívül egy nevezetes fixponttétellel ismertetem meg az Olvasót. Tekintettel a terjedelmi követelményekre, a szakdolgozat első része csak a topologikus terek alapfogalmaiba nyújt betekintést, és olyan alapvető tételeket ismertet, amelyek a további fejezetek tárgyalásához szükségesek. A második fejezetben megismerjük a topologikus téren értelmezett konvergens sorozatok és folytonos függvények tulajdonságait, emellett egy-egy szép példát is láthatunk folytonos függvényre és homeomorfizmusra. Az utolsó fejezet témája a Brouwer-féle fixponttétel, amely fontos és érdekes megállapítást tesz a folytonos leképezésekről. A tétel kimondja, hogy az n dimenziós korlátos, zárt és konvex tartományokat önmagukba leképező folytonos leképezéseknek létezik fixpontja. Brouwer

tételét a Sakk-lemma segítségével Czách László útmutatása alapján nem közismert módon bizonyítjuk kétdimenziós esetben, majd az általános fixponttételt egy algebrai tétel bizonyításához alkalmazzuk. 4 http://www.doksihu 1. fejezet Topológiai bevezetés 1.1 Halmazrendszerek Ebben az alfejezetben olyan fogalmakkal és tulajdonságokkal ismerkedünk meg, melyek a topológia értelmezéséhez alapvetően szükségesek. 1.11 Definíció Egy olyan nemüres halmazt, melynek elemei maguk is halmazok, halmazrendszernek nevezünk Az olyan halmazrendszereket, amelyeknek elemei egy adott nemüres halmaz bizonyos részhalmazai, X-beli halmazrendszereknek nevezzük A halmazrendszer fogalmát függvény segítségével is értelmezhetjük. Az f : I X függvény által meghatározott halmazrendszer {f (i) ∈ P (X) : i ∈ I}. 1.12 Definíció Egy A halmazrendszert metszetzártnak nevezünk, ha bármely két A-beli halmaz metszete is A-beli halmaz. Ebből az következik,

hogy metszetzárt A halmazrendszer esetén bármely véges sok A-beli halmaz metszete is A-beli. 1.13 Definíció Tetszőleges A halmazrendszer esetén jelölje Am az A-beli halmazok összes véges metszeteiből álló halmazrendszert, amelyet A metszetzárt burkának nevezzük. Az Am halmazrendszer metszetzárt, és A ⊂ Am , emellett Am azonos a legszűkebb olyan metszetzárt halmazrendszerrel, amelynek részhalmaza A. Az A halmazrendszer pontosan akkor metszetzárt, ha Am = A. Megjegyzés. Halmazok végtelen metszetére nézve A nem mindig zárt 5 http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 6 Legyen például A := {(a, b) ∈ P (R) : a, b ∈ R, a < b} ∪ {∅}. A metszetzárt, de ∞ T / A. (− n1 ; n1 ) = {0} ∈ n=1 1.14 Definíció Egy A X-beli halmazrendszer felszálló, ha az A halmazrendszer valamely halmazát tartalmazó X-beli halmaz is eleme a halmazrendszernek Azaz, ha ∀A ∈ A és ∀H ⊂ X-re, amelyre A ⊂ H, teljesül H ∈ A. 1.15 Definíció

Tetszőleges A X-beli halmazrendszer esetén legyen [A] az X összes olyan részhalmazaiból álló halmazrendszer, amely tartalmaz A-beli halmazt, vagyis [A] := {H ⊂ X : ∃ A ∈ A A ⊂ H}, melyet A felszálló burkának nevezzük. [A] felszálló halmazrendszer, amelyre A ⊂ [A], emellett [A] azonos a legszűkebb Xbeli felszálló halmazrendszerrel, amelynek részhalmaza A. Ebből következik, hogy egy A X-beli halmazrendszer pontosan akkor felszálló, ha [A] = A. 1.16 Állítás Ha A és B X-beli halmazrendszerek, akkor az alábbi állítások ekvivalensek: 1. Minden A-beli halmaz tartalmaz B-beli halmazt, 2. [A] ⊂ [B] Bizonyítás. (1) ⇒ (2): Tegyük fel, hogy mindegyik A-beli halmaz tartalmaz B-beli halmazt Ha H ∈ [A], akkor létezik A ∈ A, hogy A ⊂ H A feltevésünk szerint létezik olyan B ∈ B, amelyre B ⊂ A, így B ⊂ H, amiből következik H ∈ [B]. (2) ⇒ (1): Tegyük fel, hogy [A] ⊂ [B], és legyen A ∈ A egy tetszőleges halmaz. Mivel A ⊂ [A] ⊂

[B], azért A ∈ [B], de akkor [B] értelmezése miatt van olyan B ∈ B, amelyre B ⊂ A. 1.17 Definíció Egy A X-beli halmazrendszer bázisa olyan B X-beli halmazrendszer, amelyre az alábbiak teljesülnek: 1. B ⊂ A, 2. Minden A-beli halmaz tartalmaz B-beli halmazt 1.18 Definíció Az A X-beli halmazrendszer szűrő, ha A metszetzárt és felszálló halmazrendszer, továbbá ∅ ∈ / A. 1.19 Definíció Az A X-beli halmazrendszer rács, ha bármely két A-beli halmaz metszete tartalmaz A-beli halmazt, és ∅ ∈ / A. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 7 1.2 Topológia értelmezése környezetekkel A topologikus teret, mint a topológia alapfogalmát többféle (ekvivalens) módon definiálhatjuk. Az analízisben leggyakrabban környezetekkel értelmezzük a topológiát Az előbbi pontban bevezetett definíciókra támaszkodunk a továbbiakban. 1.21 Definíció Adott egy X alaphalmaz és egy τ : X P (P (X)) függvény, amelyik minden x ∈ X ponthoz

hozzárendel egy τ (x) X-beli halmazrendszert. Az (X, τ ) párt topologikus térnek nevezzük, ha teljesülnek az alábbi feltételek ∀x ∈ X esetén: 1. ∀U ∈ τ (x) esetén x ∈ U , azaz a τ (x) halmazrendszer illeszkedik x-re, 2. ha U, V ∈ τ (x), akkor U ∩ V ∈ τ (x), tehát τ (x) metszetzárt, 3. ha U ∈ τ (x) és U ⊂ V ⊂ X, akkor V ∈ τ (x), tehát τ (x) felszálló halmazrendszer, 4. ∀ U ∈ τ (x) halmazhoz ∃ V ∈ τ (x) halmaz, amelyre V ⊂ U , és emellett ∀y∈ V -re V ∈ τ (y). Ha (X, τ ) topologikus tér, akkor a τ : X P (P (X)) függvényt topológiának nevezzük, x ∈ X esetén a τ (x) halmazrendszer elemeit az x pont környezeteinek hívjuk. A definíció első három követelményéből látszik, hogy minden x ∈ X esetén a τ (x) halmazrendszer az x pontra illeszkedő szűrő. 1.3 Topológiai alapfogalmak A további vizsgálathoz olyan alapfogalmak szükségesek, amelyek gyakran előfordulnak a topologikus terek

tárgyalásakor. Legyen (X, τ ) egy tetszőleges topologikus tér. 1.31 Definíció Legyen H ⊂ X egy tetszőleges halmaz Egy x ∈ X pontot a H halmaz belső pontjának nevezzük, ha az x pontnak környezete H, azaz H ∈ τ (x). Jelölje intH a H halmaz belső pontjainak halmazát. A definíció szerint intH ⊂ H és x ∈ intH ⇔ H ∈ τ (x). http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 8 1.32 Definíció Legyen H ⊂ X egy tetszőleges halmaz Az x ∈ X pontot a H halmaz külső pontjának nevezzük, ha x belső pontja H c -nek. Jelölje extH a H halmaz külső pontjainak halmazát. A definíció szerint extH = intH c és extH ⊂ H c . 1.33 Definíció Legyen H ⊂ X egy tetszőleges halmaz Az x ∈ X pontot a H halmaz határpontjának nevezzük, ha x sem belső, sem külső pontja a H halmaznak. Jelölje ∂H a H halmaz határpontjainak halmazát. A definíció szerint ∂H = (intH ∪ extH)c és ∂H = ∂H c . 1.34 Definíció Legyen H ⊂ X egy

tetszőleges halmaz Az x ∈ X pontot a H ⊂ X halmaz érintkezési pontjának nevezzük, ha x belső vagy határpontja a H halmaznak. Jelölje H a H halmaz érintkezési pontjainak halmazát. Ezt a halmazt a H halmaz lezárásának nevezzük. A definíció szerint H = intH ∪ ∂H = (extH)c . 1.35 Definíció Legyen H ⊂ X egy tetszőleges halmaz Az x ∈ X pontot a H ⊂ X halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha az x pont bármely környezete tartalmaz x-től különböző H halmazbeli pontot. Jelölje H 0 a H halmaz torlódási pontjainak halmazát 1.36 Definíció Az x pont egy kipontozott környezetén az U̇ := U {x} halmazt értjük, ha U ∈ τ (x) az x ∈ X pont egy tetszőleges környezete. Ezzel a torlódási pont definíciója úgy is fogalmazható, hogy az x ∈ X pont a H ⊂ X halmaz torlódási pontja, ha az x pont bármely kipontozott környezete tartalmaz H halmazbeli pontot. 1.37 Lemma Ha x ∈ ∂H, de x ∈ / H, akkor x ∈ H 0 . Bizonyítás. Mivel x ∈

∂H, azért x pont bármely környezetében van H-beli és H c -beli pont, és az állítás feltétele szerint az x pont nem eleme a H halmaznak, azért x bármely környezetében van x-től különböző H-beli pont, azaz x ∈ H 0 . 1.38 Definíció Az x ∈ X pontot a H ⊂ X halmaz izolált pontjának nevezzük, ha x ∈ H, és az x pontnak van olyan környezete, amely az x ponton kívül nem tartalmaz más H-beli pontot. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 9 A fenti definíciókból következik, hogy tetszőleges x ∈ H pont torlódási vagy pedig izolált pontja a H halmaznak. 1.4 Nyílt halmazok, zárt halmazok és azok tulajdonságai Az alábbiakban a nyílt, ill. zárt halmazok tulajdonságaival foglalkozunk, amelyek ismeretében a topológiát, valamint a topologikus teret egy másik (az előzővel ekvivalens) felépítéssel is megadhatjuk. 1.41 Definíció Az (X, τ ) topologikus térben egy G ⊂ X halmazt nyíltnak nevezünk, ha e halmaz minden

pontjának környezete G, vagyis G nyílt halmaz ⇔ ∀x ∈ G-re G ∈ τ (x). Legyen G a tér nyílt halmazainak halmazrendszere. 1.42 Tétel Az (X, τ ) topologikus tér nyílt halmazaira teljesülnek az alábbiak: 1. ∅ és X nyílt, 2. véges sok nyílt halmaz metszete is nyílt, 3. tetszőleges sok nyílt halmaz uniója is nyílt Bizonyítás. (1): Az üreshalmaz nyílt, és mivel minden x ∈ X mellett X ∈ τ (x), ezért X is nyílt. (2): Legyenek G és H nyílt halmazok, és legyen x ∈ G ∩ H egy tetszőleges pont. Mivel x ∈ G és x ∈ H, a nyílt halmazok értelmezése miatt G ∈ τ (x) és H ∈ τ (x), amiből az következik, hogy a metszetük is környezete az x pontnak, mert τ (x) metszetzárt halmazrendszer. (3): Legyen {Gi : i ∈ I} a nyílt halmazok egy tetszőleges rendszere, valamint G := S i∈I Gi . Ha x ∈ G egy tetszőleges pont, akkor van olyan i ∈ I index, amelyre x ∈ Gi . Gi nyílt, ezért Gi ∈ τ (x). Mivel τ (x) felszálló

halmazrendszer és Gi ⊂ G, azért G is környezete x-nek. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 10 1.43 Állítás Bármely H ⊂ X halmazra intH megegyezik a H halmazban lévő nyílt halmazok uniójával, így intH azonos a H halmaz legnagyobb nyílt részhalmazával. Bizonyítás. Jelölje G0 a H halmazban lévő nyílt halmazok unióját, azaz G0 := S {G ∈ G : G ⊂ H}. G0 nyílt, G0 ⊂ H és G0 a legnagyobb nyílt halmaz H-ban. Csak azt kell belátnunk, hogy intH = G0 . Legyen x ∈ intH egy tetszőleges pont, akkor a belső pont definíciója miatt H ∈ τ (x), ezért a környezetszűrő 4. axiómája szerint létezik olyan G nyílt halmaz, amelyre x ∈ G ⊂ H. Ekkor G0 értelmezéséből G ⊂ G0 , így x is benne van G0 -ban, ami azt jelenti, hogy intH ⊂ G0 . Megfordítva, legyen x ∈ G0 . Akkor G0 ∈ τ (x), mert G0 nyílt Mivel G0 ⊂ H és τ (x) egy felszálló halmazrendszer, azért H ∈ τ (x), ami megegyezik azzal, hogy x ∈ intH.

Ebből következik, hogy G0 ⊂ intH. 1.44 Definíció Az (X, τ ) topologikus térben a nyílt halmazok komplementereit zárt halmazoknak nevezzük. 1.45 Állítás Az (X, τ ) topologikus tér zárt halmazaira teljesülnek az alábbiak: 1. ∅ és X zárt, 2. véges sok zárt halmaz uniója zárt, 3. tetszőleges sok zárt halmaz metszete is zárt Bizonyítás. Az állítás a nyílt halmazokra megfogalmazott tételből rögtön következik a de Morgan-azonosságok alapján. 1.46 Állítás Bármely H ⊂ X halmaz H lezárása azonos a H-t tartalmazó zárt halmazok metszetével, vagyis H a H-t tartalmazó legkisebb zárt halmaz. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 11 Bizonyítás. Az állítás az 143 Állításból és a zárt halmaz definíciójából következik 1.47 Következmény Bármely H ⊂ X esetén intH, extH nyílt halmazok és ∂H, H zárt halmazok. Bizonyítás. Tudjuk, hogy extH = intH c , ezért extH nyílt halmaz ∂H = (intH ∪ extH)c ,

ezért zárt halmaz. H = (extH)c zárt halmaz, mivel láttuk, hogy extH nyílt halmaz 1.48 Állítás Bármely H ⊂ X halmaz esetén H = H ∪ H 0 Bizonyítás. A torlódási pont definíciójából következik, hogy a H halmaz minden torlódási pontja érintkezési pontja is H-nak, azaz H 0 ⊂ H, továbbá H ⊂ H, és ebből azt kapjuk, hogy H ∪ H 0 ⊂ H. Megfordítva, legyen x ∈ H egy tetszőleges pont. Akkor a H = H ∪ ∂H egyenlőségből vagy x ∈ H következik, vagy x ∈ / H esetén x ∈ ∂H, de akkor az 1.37 Lemma szerint x ∈ H 0 . Tehát H ⊂ H ∪ H 0 A következő két tételben a nyílt és zárt halmazokra vonatkozó ekvivalens állításokat foglalunk össze. 1.49 Tétel Ha G ⊂ X, akkor a következő állítások ekvivalensek: 1. G nyílt, 2. ∀x ∈ G-re G ∈ τ (x), 3. G = intG, 4. G egyetlen határpontját sem tartalmazza, azaz G ∩ ∂G = ∅ 1.410 Tétel Ha F ⊂ X, akkor a következő állítások ekvivalensek: 1. F zárt, 2. ∂F ⊂ F , 3.

F 0 ⊂ F , 4. F = F http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 12 1.5 Topológia értelmezése nyílt halmazokkal Az egyik legegyszerűbb és legrövidebb módon a nyílt halmazok megadásával definiálhatjuk a topologikus teret. 1.51 Definíció Legyen X egy nemüres alaphalmaz és G egy olyan X-beli halmazrendszer, amelyek teljesítik az alábbi követelményeket: 1. ∅ és X ∈ G, 2. véges sok G-beli halmaz metszete G-beli, 3. G-beli halmazok tetszőleges uniója is G-beli halmaz Az ilyen (X, G) rendezett párt topologikus térnek nevezzük. Az alábbi állítás szerint a topologikus tér 1.51 Definícióbeli megadása egyenértékű az 1.21-belivel 1.52 Állítás A topologikus tér nyílt halmazokkal való megadása ekvivalens a környezetekkel definiált topológiával 1. Ha (X, G) teljesíti az 151 Definíció feltételeit, akkor a τG (x) := [{G ⊂ G : x ∈ G}], x ∈ X függvény topológia X-en, és G az (X, τG ) topologikus tér nyílt halmazainak

halmazrendszere. 2. Ha (X, τ ) topologikus tér és G a nyílt halmazok rendszere, akkor (X, G) kielégíti az 1.51 Definíció követelményeit, és bármely x ∈ X esetén G x-re illeszkedő részének felszálló burka τ (x). Bizonyítás. 1. Elsőként azt bizonyítjuk, hogy ha G ∈ G, akkor G nyílt (X, τG )-ben Ha x ∈ G, akkor G ∈ τG (x). Megfordítva, ha U nyílt halmaz τG -ben, akkor minden x ∈ U S esetén U ∈ τG (x), így létezik Gx ∈ G, amelyre U ⊃ Gx 3 x. Legyen G∗ := Gx , ekkor G∗ ∈ G, és U ⊂ G∗ ⊂ U is teljesül. Ebből kapjuk, hogy U = G∗ ∈ G x∈U 2. Azt bizonyítjuk, hogy τ = τG Legyen U ∈ τ (x), ekkor intU ∈ G Így intU ∈ τG (x), amiből már intU ⊂ U alapján következik, hogy U ∈ τG (x). Megfordítva, legyen U ∈ τG (x), ekkor létezik G ∈ G, hogy x ∈ G ⊂ U . Eképpen G ∈ τ (x), és mivel τ (x) felszálló halmazrendszer, ezért U ∈ τ (x) is teljesül. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI

BEVEZETÉS 13 1.6 Környezetbázis 1.61 Definíció Az (X, τ ) topologikus térben az x ∈ X pont τ (x) környezetszűrőjének egy bázisán olyan β(x) X-beli halmazrendszert értünk, amelyre teljesül 1. β(x) ⊂ τ (x), 2. minden τ (x)-beli halmaz tartalmaz β(x)-beli halmazt A τ (x) környezetszűrő egy bázisát az x pont környezetbázisának nevezzük. Az x pont nyílt halmazokból álló környezetbázisát az x pont egy nyílt környezetbázisának nevezzük. A definícióban szereplő két feltétel ekvivalens azzal, hogy a β(x) halmazrendszer felszálló burka megegyezik a τ (x) környezetszűrővel, azaz [β(x)] = τ (x). 1.62 Állítás Minden (X, τ ) topologikus térben minden x ∈ X pontnak létezik nyílt környezetbázisa. Bizonyítás. Ha x ∈ X, akkor β(x) := {intU ⊂ X : U ∈ τ (x)} Tudjuk, hogy az így megadott β(x) nyílt halmazokból áll, melyekre U ⊃ intU és U ∈ τ (x). Ebből az következik, hogy x ∈ intU , így intU ∈ τ (x) is

teljesül. Meghatározzuk a szükséges és elégséges feltételét annak, hogy egy X alaphalmazon értelmezett halmazrendszer értékű β : X P (P (X)) függvényhez mikor létezik az X alaphalmazon olyan τ : X P (P (X)) topológia, amelyre minden x ∈ X esetén a β(x) halmazrendszer az x pont egy nyílt környezetbázisa. 1.63 Definíció Az X nemüres halmazon értelmezett β : X P (P (X)) függvény kielégíti a Hausdorff-féle környezetaxiómákat, ha a függvényre igazak az alábbi feltételek: 1. minden x ∈ X mellett a β(x) halmazrendszer az x pontra illeszkedő rács, 2. minden x ∈ X esetén minden V ∈ β(x) halmazhoz és ennek minden y ∈ V pontjához van olyan W ∈ β(y) halmaz, amelyre W ⊂ V . 1.64 Állítás Ha (X, τ ) egy topologikus tér és β : X P (P (X)) az x pont egy nyílt környezetbázisa, akkor a β függvény kielégíti a Hausdorff-féle környezetaxiómákat. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 14 Bizonyítás.

Mivel minden x ∈ X esetén a τ (x) halmazrendszer az x pontra illeszkedő szűrő és β(x) ennek egy bázisa, ezért a β(x) halmazrendszer is illeszkedik az x pontra. Sőt, β(x) rács, ha ugyanis U, V ∈ β(x), akkor U ∩ V ∈ τ (x), és τ (x) bázisa β(x), ezért létezik W ∈ β(x), amely része U ∩ V -nek. Így β(x) kielégíti a Hausdorff-féle első környezetaxiómát Mivel minden x ∈ X esetén β(x) az x pont egy nyílt környezetbázisa, ezért minden V ∈ β(x) halmaz az x pont egy nyílt környezete. Ez azt jelenti, hogy minden y ∈ V esetén V ∈ τ (y), emellett mivel β(y) a τ (y) környezetszűrő egy bázisa, azért van olyan W ∈ β(y), amelyre W ⊂ V , tehát β megfelel a Hausdorff-féle második környezetaxióma feltételének is. 1.65 Állítás Ha β : X P (P (X)) az X nemüres halmazon értelmezett olyan függvény, amely kielégíti a Hausdorff-féle környezetaxiómákat, akkor a τ (x) := [β(x)], x∈X egyenlőséggel definiált τ

: X P (P (X)) függvény olyan topológia X-n, amelyre minden x ∈ X esetén a β(x) halmazrendszer az x pont egy nyílt környezetbázisa. Bizonyítás. Az első Hausdorff-féle környezetaxióma szerint minden x ∈ X esetén a β(x) halmazrendszer az x pontra illeszkedő rács. Ezért a τ (x) halmazrendszer az x pontra illeszkedő szűrő, emellett β(x) a τ (x) egy bázisa. Megmutatjuk, hogy a topológia 4. axiómája is teljesül, amihez elegendő belátni, hogy a β(x) halmazrendszer minden eleme nyílt halmaz. Legyen V ∈ β(x) egy tetszőleges halmaz és y ∈ V egy tetszőleges pont. A második Hausdorff-féle környezetaxióma szerint van olyan W ∈ β(y), amelyre W ⊂ V , és mivel τ (y) = [β(y)], ezért V ∈ τ (y). 1.7 Példák topologikus terekre Az első négy példában olyan topologikus tereket láthatunk, melyeket a nyílt halmazok halmazrendszerének segítségével adunk meg. A további példákban környezetszűrővel definiáljuk a topologikus teret

Mindegyik példában legyen X egy tetszőleges alaphalmaz http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 15 1. Példa G := {∅, X}. Az (X, G) pár kielégíti az 1.51 Definíció feltételeit Ezt a G topológiát X-beli antidiszkrét topológiának nevezzük, az (X, G) párt pedig antidiszkrét térnek mondjuk. Az antidiszkrét térben csak az üreshalmaz és az X alaphalmaz nyílt halmazok, ugyanezek a zárt halmazok is. Ebből azt látjuk, hogy minden x ∈ X pont környezetszűrője τ (x) = {X} 2. Példa G := P (X). Ezt a G topológiát X-beli diszkrét topológiának nevezzük, az (X, G) párt pedig diszkrét térnek mondjuk. A diszkrét térben minden halmaz nyílt (és egyben zárt is), így bármely x ∈ X pont környezetszűrőjét a következőképpen írhatjuk fel: τ (x) = {U ⊂ X : x ∈ U }. Tehát az x pont környezetszűrője azonos X olyan részhalmazainak összességével, amelyek tartalmazzák az x pontot. 3. Példa G := {U ⊂ X : U c véges} ∪

{∅}. Az ilyen G topológiát ko-véges topológiának nevezzük. Ebben az (X, G) topologikus térben az üreshalmaz mellett azok a halmazok nyíltak, amelyeknek komplementere véges halmaz. Ebből az következik, hogy a zárt halmazok X és a véges halmazok Így bármely x ∈ X pont környezetszűrője τ (x) := {U ⊂ X : x ∈ U és U c véges}. 4. Példa G := {U ⊂ X : U c megszámlálható} ∪ {∅}. Ezt a G topológiát ko-megszámlálható topológiának nevezzük. Ebben a topologikus térben a nyílt halmazok az üreshalmaz és X olyan részhalmazai, amelyek komplementere megszámlálható. Bármely x ∈ X pont környezetszűrője τ (x) := {U ⊂ X : x ∈ U és U c megszámlálható}. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 16 5. Példa Legyen X := R és tetszőleges x ∈ R esetén β(x) := {(x − ε, x + ε) ⊂ R : ε ∈ R+ }. A τ (x) := [β(x)], x ∈ R egyenlőséggel értelmezett τ : R P (P (R)) függvény olyan topológia a valós számok

halmazán, amelynél minden x ∈ R esetén a β(x) halmazrendszer az x pont egy nyílt környezetbázisa. Ez a példa az euklideszi topológia a valós számok halmazán. 6. Példa Legyen X := R és tetszőleges x ∈ R esetén 1. β(x) := {(x − ε, x] : ε ∈ R+ }, 2. β(x) := {[x, x + ε) : ε ∈ R+ } Hasonlóan az előző példánkhoz, az itt szereplő β(x) halmazrendszerek is kielégítik a Hausdorff-féle környezetaxiómákat. Legyen mindkét esetben τ (x) := [β(x)], x ∈ R A τ : R P (P (R)) topológiát bal oldali, ill. jobb oldali konvergenciatopológiának nevezzük 1.8 Topologikus tér alterei Egy (X, G) topologikus tér minden nemüres részhalmazán a G topológia segítségével természetes módon értelmezhető topológia. Legyen ∅ 6= X0 ⊂ X egy tetszőleges részhalmaz, és jelölje G0 a G-beli halmazoknak az X0 halmazzal való metszeteiből álló halmazrendszert, vagyis G0 := {G ∩ X0 : G ∈ G} Ha az X0 halmazt tekintjük alaphalmaznak, a G0

halmazrendszer kielégíti a topológia 1.51 Definícióbeli feltételeit, vagyis a G0 halmazrendszer topológia az X0 alaphalmazon Az így kapott (X0 , G0 ) topologikus teret az (X, G) topologikus tér alterének, a G0 topológiát pedig altér-topológiának nevezzük. A G0 topológia elemeit X0 -beli nyílt halmazoknak nevezzük. 1.81 Állítás Legyen (X, G) topologikus tér, (X0 , G0 ) ennek egy altere, és legyen x ∈ X0 egy tetszőleges pont. Jelölje τ (x), ill τ0 (x) az x pont X-beli, illetve X0 -beli környezetszűrőjét Ekkor τ0 (x) = {U ∩ X0 : U ∈ τ (x)}. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 17 1.9 Szétválasztási axiómák 1.91 Definíció Az (X, τ ) topologikus teret T1 térnek, és ezzel együtt a τ topológiát T1 topológiának nevezzük, ha a tér bármely két különböző pontjának van egy-egy olyan környezete, amelyik a másik pontot nem tartalmazza, vagyis ha x, y ∈ X, x 6= y, akkor van olyan U ∈ τ (x) és V ∈ τ (y),

hogy x ∈ / V és y ∈ / U. 1.92 Definíció Az (X, τ ) topologikus teret T2 térnek vagy Hausdorff-térnek, és ezzel együtt a τ topológiát T2 topológiának nevezzük, ha a tér bármely két különböző pontjának létezik diszjunkt környezete, vagyis ha bármely x, y ∈ X, x 6= y esetén létezik olyan U ∈ τ (x) és V ∈ τ (y), melyekre U ∩ V = ∅. A további értelmezésekhez szükségünk lesz a következő fogalomra. 1.93 Definíció Legyen (X, τ ) topologikus tér és A ⊂ X tetszőleges halmaz Egy U ⊂ X halmazt az A egy környezetének mondjuk, ha U tartalmaz A-t tartalmazó nyílt halmazt, azaz ha van olyan G nyílt halmaz X-ben, amelyre A ⊂ G ⊂ U . Ha G egy tetszőleges nyílt halmaz, amelyre A ⊂ G, akkor ez a G halmaz környezete az A-nak, amelyet az A egy nyílt környezetének mondjuk. Az A halmaz összes környezeteiből álló halmazrendszert τ (A)-val jelöljük, vagyis τ (A) := {U ⊂ X : ∃G ∈ G, A ⊂ G ⊂ U }. 1.94 Definíció

Legyenek A és B az X tér tetszőleges nemüres részhalmazai Az A és B halmazok szétválaszthatók, ha ezeknek a halmazoknak vannak diszjunkt környezeteik, vagyis ha van olyan U ∈ τ (A) és V ∈ τ (B), amelyekre U ∩ V = ∅. A definícióból azonnal következik, hogy az A és B halmazok csak akkor szétválaszthatók, ha az A és B halmazok maguk is diszjunkt halmazok. Ennek megfordítása viszont nem mindig igaz. Tehát abból, hogy A ∩ B = ∅, nem feltétlen következik, hogy az A és B halmazoknak vannak diszjunkt környezeteik. Hiszen a T2 tér definíciója úgy is fogalmazható, hogy egy (X, τ ) topologikus tér T2 tér, ha benne bármely két diszjunkt egyelemű halmaz szétválasztható. 1.95 Tétel Egy topologikus tér pontosan akkor T1 tér, ha a térben minden egyelemű halmaz zárt. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 18 Bizonyítás. Legyen (X, τ ) T1 tér, és legyen y ∈ X {x} egy tetszőleges pont Ekkor y 6= x, így az x és y

pontoknak létezik egy-egy olyan környezete, amelyik a másik pontot nem tartalmazza. Az y pontnak tehát van olyan V ∈ τ (y) környezete, amelyre x ∈ / V . De akkor V ⊂ {x}c , amiből az következik, hogy {x}c ∈ τ (y). Ez pontosan azt jelenti, hogy az {x} egyelemű halmaz zárt. Megfordítva, legyen (X, τ ) olyan topologikus tér, amelyben minden egyelemű halmaz zárt. Legyen x, y ∈ X, x 6= y Jelölje U := X {y} és V := X {x} halmazokat U és V nyílt halmazok, és mivel x ∈ U és y ∈ V , ezért U ∈ τ (x) és V ∈ τ (y). Ezzel igazoltuk, hogy (X, τ ) T1 tér. 1.96 Tétel Ha (X, τ ) T1 tér, H ⊂ X és az x pont a H halmaz egy torlódási pontja, akkor az x pont bármely környezete végtelen sok H-beli pontot tartalmaz. Bizonyítás. Legyen W ∈ τ (x) az x pont egy tetszőleges környezete Ekkor a torlódási pont definíciója szerint létezik olyan x1 ∈ W ∩ H, amelyre x1 6= x. Mivel (X, τ ) T1 tér, azért az x pontnak van olyan U1 ∈ τ (x)

környezete, amelyre x1 ∈ / U1 . Legyen W1 := U1 ∩ W , ekkor W1 ∈ τ (x) és W1 ⊂ W . Mivel az x pont torlódási pontja H-nak, azért az x pont W1 környezetében is van x-től különböző H-beli pont. Vagyis létezik olyan x2 ∈ W1 ∩H, amelyre x2 6= x. Mivel x1 ∈ / U1 , viszont x2 ∈ U1 , azért x1 6= x2 , továbbá W1 ⊂ W figyelembevételével az x1 és az x2 pontok W -ben vannak. Ezen eljárást indukcióval folytatva kapunk egy olyan (xn ) pontsorozatot, amelynek tagjai páronként különbözőek, emellett minden n ∈ N+ esetén xn ∈ W , amiből a tétel már következik. 1.97 Tétel Ha (X, τ ) T1 tér, akkor bármely H ⊂ X halmaz torlódási pontjainak H 0 halmaza zárt. Bizonyítás. Egy halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza minden érintkezési pontját A tétel igazolásához megmutatjuk, hogy H 0 ⊂ H 0 . Legyen x ∈ H 0 az H 0 halmaz egy érintkezési pontja, továbbá U az x pont egy nyílt környezete. Mivel x ∈ H 0 , ezért az

érintkezési pont értelmezése miatt van olyan y ∈ U , hogy y ∈ H 0 . Tudjuk, hogy U ∈ τ (y), és az előző tétel szerint az U halmazban végtelen sok H-beli pont van. Ebből az következik, hogy létezik z ∈ U ∩ H, amelyre z 6= x. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy x torlódási pontja a H halmaznak. http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 19 Érdemes megemlíteni, hogy a T1 követelménynél van egy gyengébb, T0 szétválasztási axióma is. 1.98 Definíció Az (X, τ ) topologikus teret T0 térnek nevezzük, ha bármely két különböző X-beli pont egyikének létezik olyan környezete, amelyik nem tartalmazza a másik pontot. 1.10 Megszámlálhatósági axiómák A következő két definíciót első, ill. második megszámlálhatósági axiómának nevezzük 1.101 Definíció Az (X, τ ) topologikus teret M1 térnek, ennek topológiáját pedig M1 topológiának nevezzük, ha X minden pontjának van megszámlálható környezetbázisa. 1.102

Definíció Az (X, τ ) topologikus teret M2 térnek, ennek topológiáját pedig M2 topológiának nevezzük, ha a térnek létezik megszámlálható bázisa. 1.103 Tétel Ha (X, τ ) M1 tér, akkor minden x ∈ X pontnak van olyan β ∗ (x) := {Vn : n ∈ N+ } megszámlálható környezetbázisa, ahol a (Vn ) halmazsorozat monoton fogyó, azaz Vn ⊃ Vn+1 , n ∈ N+ . Ezt röviden úgy fogalmazhatjuk, hogy az M1 térben minden pontnak létezik megszámlálható monoton fogyó környezetbázisa. Bizonyítás. Mivel (X, τ ) M1 tér, ezért minden x ∈ X pontnak létezik β(x) := {Un : n ∈ N} megszámlálható környezetbázisa. Legyen Vn := n T Uk , n ∈ N. k=1 A (Vn ) halmazsorozat monoton fogyó, továbbá minden n-re Vn ∈ τ (x) (tudjuk, hogy τ (x) metszetzárt) és Vn ⊂ Un . Tekintsük a (Vn ) halmazsorozat tagjaiból álló β ∗ (x) := {Vn : n ∈ N} halmazrendszert, amelyre β ∗ (x) ⊂ τ (x). Ha U az x pont egy tetszőleges környezete, akkor van olyan Un ∈

β(x), amelyre Un ⊂ U , hiszen β(x) az x pont egy környezetbázisa. De akkor Vn ⊂ Un miatt Vn ⊂ U , azaz az x pont minden U környezete tartalmaz β ∗ (x)-beli halmazt, amiből az következik, hogy a β ∗ (x) halmazrendszer az x pont környezetbázisa. Így a tételt igazoltuk http://www.doksihu 1. FEJEZET TOPOLÓGIAI BEVEZETÉS 20 1.11 Példák 1. Példa Példa olyan T0 térre, amelyik nem T1 tér Legyen X := R és tetszőleges x ∈ R esetén β(x) := {(x − ε, ∞) : ε ∈ R+ }. A τ (x) := [β(x)], x ∈ R egyenlőséggel értelmezett τ : R P (P (R)) függvény olyan topológia a valós számok halmazán, amely T0 tér, hiszen bármelyik két valós számot kiválasztva az egyiknek biztosan létezik olyan környezete, amely nem tartalmazza a másik pontot. Például ha x < y, akkor ε < |x − y| esetén y-nak van olyan (y − ε, ∞) környezete, amelyben x nincs benne. Viszont x bármely környezete tartalmazza y-t, tehát az így definiált

topológia nem T1 tér. 2. Példa Példa olyan T1 térre, amelyik nem T2 tér Legyen X egy végtelen halmaz, és lássuk el ko-véges topológiával. Ebben a topologikus térben egy x ∈ X pont környezetszűrője τ (x) = {U ⊂ X : x ∈ U és U c véges}. A zárt halmazok a véges halmazok és X, így minden egyelemű halmaz zárt, tehát (X, τ ) T1 tér. Azonban X végtelen halmaz, ezért tetszőleges x, y ∈ X, x 6= y esetén bármely U ∈ τ (x) és V ∈ τ (y) mellett U ∩ V 6= ∅, ezért (X, τ ) nem T2 tér. 3. Példa Példa olyan M1 térre, amelyik nem M2 tér Tekintsük a már említett bal oldali konvergenciatopológiát a valós számok halmazán, melyben az x ∈ R pont nyílt környezetbázisa a β(x) := {(x − ε, x] : ε ∈ R+ } halmazrendszer. Az x pont környezetszűrője τ (x) := [β(x)] = {U ⊂ R : ∃ε ∈ R+ , amelyre (x − ε, x] ⊂ U }. Az ilyen topológiával megadott (R, τ ) topologikus tér M1 tér, de nem M2 tér. Indirekt módon, ha B bázis

volna, akkor minden x ∈ R és (x − 1, x] ∈ τ (x) esetén létezne B ∈ B, melyre B ∈ τ (x) és (x − 1, x] ⊃ B. Ezekből az következik, hogy x ∈ B és supB ≤ x. Így létezik maxB = x Tehát minden x ∈ R valós számhoz létezik olyan Bx ∈ B, amelyre maxBx = x. Ha x1 6= x2 , akkor Bx1 6= Bx2 Eképpen létezik R B injekció, amiből azt kapjuk, hogy |B| ≥ |R|. Tehát B nem megszámlálható http://www.doksihu 2. fejezet Folytonos függvények Ebben a fejezetben a konvergens sorozatokkal és a folytonos függvényekkel foglalkozunk. A topologikus terek bevezetését főként az motiválta, hogy a függvények folytonosságát a lehető legáltalánosabb módon lehessen értelmezni. 2.1 Konvergens sorozat 2.11 Definíció Az (X, τ ) topologikus tér pontjaiból álló (xn ) sorozatot konvergens sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan x ∈ X pont, hogy az x pont bármely U ∈ τ (x) környezetéhez van olyan N ∈ N+ index, amelyre minden n ≥ N esetén

xn ∈ U . Ekkor (xn ) − x, másképpen az x pont az (xn ) sorozat határértéke, azaz x = lim(xn ). A környezetbázis, ill. a konvergens sorozat definíciójából következik az alábbi két állítás. 2.12 Állítás Az (X, τ ) topologikus térben (xn ) − x pontosan akkor, ha az x pont egy tetszőleges β(x) környezetbázisának minden V ∈ β(x) eleméhez létezik olyan N index, hogy minden n ≥ N esetén xn ∈ V . 2.13 Állítás Az (X, τ ) topologikus térben a konvergens sorozatok rendelkeznek a következő tulajdonságokkal: 1. Ha (xn ) egy stacionárius sorozat, melynek egy indextől minden eleme x, akkor (xn ) − x. 2. Konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens 21 http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 22 3. Ha (xn ) − x, akkor az (xn ) sorozatból véges sok tag elhagyásával vagy bővítésével keletkező új sorozat is konvergens, és a határértéke x. 4. Ha (xn ) − x és (yn ) − x, akkor az (xn ) és (yn ) sorozatok

összefésüléséből kapott    x n+1 , ha n páratlan   2 zn :=     y n , ha n páros 2 sorozat is konvergens, és határértéke x. Tetszőleges topologikus térben a konvergens sorozatok szerepe korántsem akkora, mint az euklideszi R térben. Hiszen a topologikus terekben egy konvergens sorozatnak több határértéke (akár végtelen sok) is lehet. Az antidiszkrét topologikus térben például minden (xn ) sorozat konvergens, és a tér bármely pontja határértéke a sorozatnak. 2.2 Adott pontban folytonos függvény A továbbiakban legyenek (X, τ1 ) és (Y, τ2 ) topologikus terek, valamint legyen f : X Y függvény. A most következő alfejezetben bevezetjük az f függvény folytonosságának fogalmát egy adott pontban, majd erre vonatkozó állításokat gyűjtünk össze. 2.21 Definíció Az f : X Y függvény egy x0 ∈ D(f ) pontban folytonos, ha az f (x0 ) ∈ Y pont bármely V környezetéhez létezik az x0 pontnak olyan U környezete,

hogy minden x ∈ U ∩ D(f ) esetén f (x) ∈ V teljesül. A környezetbázis értelmezése szerint a fenti definícióban elegendő, ha az x0 és f (x0 ) pontok U és V környezetét a pontok egy-egy környezetbázisából választjuk. 2.22 Állítás Jelölje β1 (x0 ), ill β2 (f (x0 )) az x0 ∈ D(f ), ill az f (x0 ) pontok egy tetszőleges környezetbázisát. Ekkor az f : X Y függvény pontosan akkor folytonos az x0 pontban, ha ∀V ∈ β2 (f (x0 )) ∃U ∈ β1 (x0 ), ∀x ∈ U ∩ D(f ) f (x) ∈ V . Alkalmazzuk az állítást az f : R R függvényre, ahol a valós számok halmazát mindkét esetben az euklideszi topológiával látjuk el. Az x0 ∈ D(f ), ill az f (x0 ) ∈ R pont egy-egy környezetbázisa http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 23 β(x0 ) := {(x0 − δ, x0 + δ) : δ ∈ R+ }, β(f (x0 )) := {(f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε) : ε ∈ R+ }. Az f : R R függvény akkor és csak akkor folytonos az x0 ∈ D(f ) pontban, ha minden ε ∈

R+ számhoz létezik olyan δ ∈ R+ , hogy minden x ∈ D(f ), |x − x0 | < δ esetén |f (x) − f (x0 )| < ε. 2.23 Állítás Az f : X Y függvény egy x0 ∈ D(f ) pontban pontosan akkor folytonos, ha az f (x0 ) képpont bármely V környezetének f −1 (V ) ősképe az x0 pont környezete. Bizonyítás. Az állítás abból következik, hogy f pontosan akkor folytonos x0 -ban, ha bármely V ∈ τ2 (f (x0 )) környezethez létezik olyan U ∈ τ1 (x0 ) környezet, melyre U ⊂ f −1 (V ). 2.24 Állítás Az f : X Y függvény egy x0 ∈ D(f ) pontban pontosan akkor folytonos, ha az f (x0 ) képpont egy β(f (x0 )) környezetbázisa bármely V elemének f −1 (V ) ősképe az x0 pont környezete, azaz f folytonos x0 -ban ⇔ ∀V ∈ β(f (x0 )) f −1 (V ) ∈ τ (x0 ). 2.25 Állítás Az f : X Y függvény az értelmezési tartományának minden izolált pontjában folytonos. Bizonyítás. Ha x0 ∈ X izolált pontja a függvény értelmezési tartományának, akkor

van olyan U környezete x0 -nak, amelyre U ∩ D(f ) = {x0 }. Ekkor f x0 -beli folytonosságának definíciójában ez a környezet megfelel. A továbbiakban szükségünk lesz a függvények határértékének értelmezésére. 2.26 Definíció Legyen f : X Y függvény, és x0 ∈ D(f )0 a függvény értelmezési tartományának egy torlódási pontja. Az f függvénynek az x0 pontban határértéke y0 ∈ Y , ha az y0 pont bármely V környezetéhez létezik x0 -nak olyan U környezete, hogy minden x ∈ U ∩ D(f ), x 6= x0 mellett f (x) ∈ V . Jelölése: limxx0 f = y0 A topologikus terek közötti függvény adott pontbeli határértéke nem mindig egyértelmű. Ha például τ2 az antidiszkrét topológia az Y halmazon, akkor tetszőleges x0 ∈ D(f )0 pontban az f : X Y függvény határértéke bármely y0 ∈ Y . 2.27 Állítás Az f : X Y függvény az értelmezési tartomány egy x0 ∈ D(f )0 torlódási pontjában pontosan akkor folytonos, ha az f függvénynek az

x0 pontban létezik legalább egy határértéke, és az egyik határérték megegyezik f x0 -beli helyettesítési értékével, azaz limxx0 f = f (x0 ). http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 24 2.3 Adott pontban sorozatfolytonos függvény Legyenek (X, τ ) és (Y, ξ) tetszőleges topologikus terek, valamint legyen f : X Y függvény. 2.31 Definíció Az f : X Y függvényt az x0 ∈ D(f ) pontban sorozatfolytonosnak hívjuk, ha bármely (xn ) ⊂ D(f ), xn − x0 esetén f (xn ) − f (x0 ). 2.32 Állítás Ha az f : X Y függvény folytonos az x0 ∈ D(f ) pontban, akkor az f függvény sorozatfolytonos is ebben a pontban. Bizonyítás. Ha az x0 pont az értelmezési tartomány izolált pontja, akkor x0 -nak létezik olyan U környezete, melyre U ∩ D(f ) = {x0 }. Ha (xn ) ⊂ D(f ), xn − x0 , akkor a konvergencia definícióját erre az U környezetre alkalmazva kapjuk, hogy (xn ) egy indextől kezdve az x0 értékű konstanssorozat. Ebből az

következik, hogy f (xn ) − f (x0 ) Ha x0 az értelmezési tartomány torlódási pontja, és a függvény folytonos x0 -ban, akkor x0 -nak létezik határértéke f (x0 )-ban. Azt kell belátnunk, hogy bármely (xn ) ⊂ D(f ), xn − x0 esetén f (xn ) − f (x0 ). Legyen V ∈ ξ(f (x0 )). Az f függvény x0 -beli folytonossága szerint létezik olyan U ∈ τ (x0 ) környezet, amelyre f (U ) ⊂ V . Mivel xn − x0 , létezik N ∈ N+ , hogy minden n ≥ N esetén xn ∈ U , sőt xn ∈ U ∩ D(f ), így minden f (xn ) benne van f (x0 ) V környezetében. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy f (xn ) − f (x0 ). 2.4 Folytonos függvény Legyenek (X, τ1 ) és (Y, τ2 ) tetszőleges topologikus terek, valamint legyen f : X Y függvény. 2.41 Definíció Az f : X Y függvény folytonos a H ⊂ D(f ) halmazon, ha f a H halmaz minden pontjában folytonos. Ha D(f ) = X és f az egész X alaphalmazon folytonos, akkor az f függvényt folytonosnak hívjuk. 2.42 Tétel Az f : X Y

függvény pontosan akkor folytonos, ha minden Y -beli nyílt halmaz ősképe nyílt halmaz X-ben. http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 25 Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az f függvény folytonos, és legyen G ⊂ Y egy tetszőleges nyílt halmaz. Megmutatjuk, hogy az f −1 (G) halmaz nyílt X-ben Legyen x ∈ f −1 (G) egy tetszőleges pont. Ekkor f (x) ∈ G, és mivel G nyílt, ezért G az f (x) pont egy környezete, de akkor ennek ősképe, f −1 (G) az x pont egy környezete. Megfordítva, legyen f : X Y egy olyan függvény, hogy minden Y -beli nyílt halmaz ősképe nyílt az X halmazon. Azt igazoljuk, hogy ekkor f folytonos Legyen x0 ∈ X egy tetszőleges pont és β2 (f (x0 )) az f (x0 ) ∈ Y képpont egy nyílt környezetbázisa. Ekkor bármely V ∈ β2 (f (x0 )) esetén f −1 (V ) nyílt és x0 ∈ f −1 (V ), amiből az következik, hogy f −1 (V ) ∈ τ1 (x0 ), tehát az f függvény folytonos. 2.43 Következmény Az f : X Y függvény

pontosan akkor folytonos, ha minden Y -beli zárt halmaz ősképe zárt halmaz X-ben. 2.44 Példa Ha (X, τ ) és (Y, ξ) topologikus terek és y0 ∈ Y , akkor az f : X Y , f (x) := y0 , D(f ) := X konstansfüggvény folytonos. Bizonyítás. Minden Y -beli nyílt halmaz ősképe nyílt halmaz X-ben, hiszen bármely halmaz ősképe X vagy ∅. 2.45 Példa Ha (X, τ ) egy diszkrét topologikus tér, (Y, ξ) pedig egy tetszőleges topologikus tér, akkor minden f : X Y , D(f ) := X függvény folytonos. Bizonyítás. A diszkrét topologikus térben minden halmaz nyílt, így az Y -beli nyílt halmazok ősképe is nyílt 2.46 Példa Ha (X, τ ) egy tetszőleges topologikus tér, (Y, ξ) pedig egy antidiszkrét topologikus tér, akkor minden f : X Y , D(f ) := X függvény folytonos Bizonyítás. Az Y antidiszkrét térnek két nyílt halmaza van, Y és az üreshalmaz Ezek ősképe X, ill. az üreshalmaz, melyek nyíltak X-ben 2.47 Tétel Ha (X, τ1 ), (Y, τ2 ), (Z, τ3 ) tetszőleges

topologikus terek, valamint g : X Y és f : Y Z folytonos függvények, akkor az f ◦ g : X Z kompozíciófüggvény is folytonos. Bizonyítás. Tudjuk, hogy bármely H ⊂ Z halmaz esetén (f ◦ g)−1 (H) = g −1 (f −1 (H)) Ha H ⊂ Z egy tetszőleges nyílt halmaz, akkor az f folytonossága miatt f −1 (H) nyílt halmaz Y -ban, és g folytonossága miatt g −1 (f −1 (H)) nyílt halmaz X-ben. A fenti egyenlőségből az következik, hogy bármely H ⊂ Z nyílt halmazra az (f ◦ g)−1 (H) halmaz nyílt X-ben. http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 26 2.5 A Peano-görbe Ennek a résznek a célja, hogy egy alapvető példát ismertessünk folytonos függvényre. A Peano-görbe, másnéven síkkitöltő görbe folytonos leképezés zárt intervallumból négyzetre. Az ilyen megfeleltetések, amelyeket Peano 1890-ben mutatott be, fontos szerepet töltenek be a topológiában. A példánkban szereplő görbe konstrukcióját David Hilbert nevéhez

köthetjük. Legyen I := [0, 1] zárt intervallum és Q := [0, 1]×[0, 1] zárt egységnégyzet. Negyedeljük az I intervallumot, ekkor az I11 , I21 , I31 , I41 négy kisebb zárt intervallumot kapjuk. Ezeket 2 is felosztjuk további négy egyenlő részre, így kapjuk az I12 , I22 , ., I16 intervallumokat. Ezt tovább folytatva több egyre kisebb Iji zárt intervallumot kapunk, amelyekből minden i ∈ N+ esetén pontosan 4i darab van, a hosszuk pedig 4−i . Az intervallumokat balról jobbra számozzuk. Ezek után vegyük Q 2 × 2-es típusú rácsszerű felosztását. Így Q-n belül Q11 , Q12 , Q13 , Q14 zárt és kisebb négyzeteket állítottunk elő. Ezen négyzetek további 2 × 2-es rácsszerű felosztása után már Q21 , Q22 , ., Q216 zárt négyzetek keletkeznek Az eljárást folytatva rögzített i ∈ N+ esetén a Qij (1 ≤ j ≤ 4i ) zárt négyzetekkel rendelkezünk Akkor még egy felosztást követően megkapjuk a kisebb, ugyancsak zárt Qi+1 négyzeteket, amelyeknek

j oldalhossza rendre 2−i−1 . Az ábrán egy lehetséges számozássorozat látható 4, 42 , 43 , 44 lépéssel, a vonal mentén haladva számozzuk a négyzeteket. 2.1 ábra Fontos megjegyezni, hogy az i növelésével előállított zárt négyzeteket hogyan számozzuk. Az első lépés megtétele után csupán annyi a feltétel, hogy Q1m és Q1m+1 szomszédosak legyenek minden 1 ≤ m ≤ 3 indexre. A második lépésnél sorrendben az első négy négyzet Q11 -ben, a következő négy Q12 -ben stb. fekszik, úgy, hogy a szomszédos indexű http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 27 Q2m , 1 ≤ m ≤ 15 négyzetek továbbra is szomszédosak. Hasonlóan, az i + 1 lépésben az első négy négyzet Qi1 -ben, a sorrendben következő négy Qi2 -ben, ., az utolsó négy pedig a Qi4i négyzetben legyen. 2.51 Állítás Adott x ∈ [0, 1] esetén (ji ) legyen olyan sorozat, melyre x ∈ Ijii , i ∈ N+ ∞ T Ekkor a Qiji halmaz egyelemű. i=1 Bizonyítás. Tegyük

fel, hogy az x ∈ I pont az I intervallum egy végpontja, vagy egy olyan pont, melyre x 6= k , 2n k, n ∈ N+ . Ekkor minden i pozitív egészhez pontosan egy olyan ji index van, hogy x ∈ Ijii , hiszen feltettük, hogy x nem lehet a belső intervallumok végpontja. Mivel az intervallumok egymásba skatulyázottak, ezért a fenti konstrukció alapján a Qiji négyzetek is egymásba vannak skatulyázva. Vetítsük ezen négyzeteket Q egyik vízszintes oldalára. Így egymásba skatulyázott zárt intervallumokat hoztunk létre. Tudjuk, hogy ezeknek van közös pontja A vetített négyzetek oldalhossza között tetszőleges pozitív számnál kisebb is van, ezért a kapott szakaszok hossza is akármilyen kicsi lehet. A szakaszok metszete a Cantor-féle közösponttétel szerint egyelemű Ugyanígy a függőleges vetítéssel kapott szakaszok metszete is egyelemű. Ebből következik, hogy a négyzetek metszete is egyelemű. Ha x ∈ I olyan pont, amely k lépést követően már

osztópont lesz, akkor i ≥ k esetén az x pont pontosan két intervallumban fekszik, méghozzá a szomszédos Ijii és Ijii +1 intervallum határán. Ekkor a Qiji négyzetek egymásba skatulyázottak, ahogy a Qiji +1 négyzetek is A Qiji és a Qiji +1 négyzetek a feltétel szerint szomszédosak. Így Qiji és Qiji +1 négyzetek rendelkeznek közös oldallal, ráadásul ezek a közös oldalak egymásba skatulyázott zárt szakaszok, ezért van közös pontjuk. Mivel a szakaszok hossza tetszőlegesen kicsi lehet, ezért a metszet is egyelemű. 2.52 Definíció Legyen f : I Q az a görbe, amelyre minden x ∈ I pont esetén f (x) az x pontot tartalmazó intervallumoknak megfelelő négyzetek közös pontja, azaz ha ∞ ∞ T T Qiji . x= Ijii , akkor f (x) = i=1 i=1 2.53 Állítás A most értelmezett f folytonos leképezés az I zárt intervallum és a Q zárt négyzet között, tehát f Peano-görbe. http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 28 Bizonyítás. Legyen

x0 ∈ I nem osztópont és ε ∈ R+ Ekkor létezik k ∈ N+ , hogy √ 2 · 2−k < ε. Tudjuk, hogy van olyan 1 ≤ jk ≤ 2k−1 egész, melyre x0 ∈ intIjkk A fenti f leképezés definíciója miatt f (Ijkk ) ⊂ Qkjk , így |f (x) − f (x0 )| ≤ 2−k · √ 2 < ε, x ∈ Ijkk . Hasonlóan látjuk be f folytonosságát az x0 ∈ I osztópontban. Adott ε ∈ R+ esetén √ létezik k ∈ N+ , hogy 2 · 2−k < ε. Vegyük az x0 -t tartalmazó Ijkk és Ijkk +1 intervallumot, melyeknek x0 pontosan a határán van. Ekkor f (Ijkk ) ⊆ Qkjk és f (Ijkk +1 ) ⊆ Qkjk +1 , így √ |f (x) − f (x0 )| ≤ 2−k · 2 < ε, x ∈ Ijkk , √ |f (x) − f (x0 )| ≤ 2−k · 2 < ε, x ∈ Ijkk +1 . Ijkk ∪ Ijkk +1 környezete x0 -nak, és minden x ∈ Ijkk ∪ Ijkk +1 esetén |f (x) − f (x0 )| < ε, ezért f folytonos x0 -ban. 2.6 Homeomorfizmus A következőkben legyen (X, τ ) és (Y, ξ) tetszőleges topologikus tér. 2.61 Definíció Az f : X Y

függvényt nyílt leképezésnek nevezzük, ha minden X-beli nyílt halmaz f -képe nyílt halmaz az Y térben. Az f : X Y függvényt zárt leképezésnek nevezzük, ha bármely X-beli zárt halmaz f -képe zárt halmaz az Y térben. 2.62 Lemma Ha az f : X Y függvény bijekció az (X, τ ) és (Y, ξ) topologikus terek között, akkor f pontosan abban az esetben nyílt leképezés, ha zárt leképezés. Bizonyítás. Legyen f egy nyílt leképezés Mivel f bijekció X és Y között, azért bármely A ⊂ X esetén f (Ac ) = (f (A))c . Ha A ⊂ X egy tetszőleges zárt halmaz, akkor Ac nyílt, és mivel az f nyílt leképezés, ezért az f (Ac ) halmaz is nyílt. Ekkor az azonosság miatt az (f (A))c halmaz nyílt Y -ban, ebből pedig az következik, hogy f (A) zárt halmaz, tehát f zárt leképezés. Megfordítva, f legyen egy zárt leképezés. Ha A ⊂ X egy tetszőleges nyílt halmaz, akkor Ac zárt, és mivel az f zárt leképezés, ezért az f (Ac ) halmaz is zárt. Ekkor

az http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 29 azonosság miatt (f (A))c halmaz zárt Y -ban, ebből pedig az következik, hogy f (A) nyílt halmaz, tehát f nyílt leképezés. 2.63 Tétel Ha az f : X Y függvény bijekció az (X, τ ) és (Y, ξ) topologikus terek között, akkor a következő állítások ekvivalensek: 1. f folytonos, 2. f −1 nyílt leképezés, 3. f −1 zárt leképezés Bizonyítás. Mivel f bijekció az X és Y halmaz között, azért minden Y -beli halmaz ősképe megegyezik az f −1 képével, amiből már következik, hogy 1. és 2 állítások ekvivalensek A 2. és 3 állítás ekvivalenciája pedig az előző lemmából következik 2.64 Tétel Ha az f : X Y függvény bijekció az (X, τ ) és (Y, ξ) topologikus terek között, akkor a következő állítások ekvivalensek: 1. f −1 folytonos, 2. f nyílt leképezés, 3. f zárt leképezés Bizonyítás. Az f függvény bijekció X és Y között, ezért f −1 bijekció Y és X

között A tétel az előző bizonyításból következik, ha azt f helyett f −1 -re alkalmazzuk, hiszen (f −1 )−1 = f . 2.65 Definíció Az f : X Y függvényt az X és Y terek közötti homeomorfizmusnak nevezzük, ha f bijekció X és Y között, valamint az f és f −1 függvények folytonosak. 2.66 Definíció Az (X, τ ) és (Y, ξ) topologikus terek egymással homeomorfak, ha létezik a két tér között f : X Y homeomorfizmus. Az egymással homeomorf terek ugyanolyan topológiai tulajdonságokkal rendelkeznek, így ezeket topológiailag azonosnak tekintjük. A homeomorfizmus szoros kapcsolatban áll a nyílt, illetve zárt leképezésekkel, amint a fenti két tétel alábbi következménye mutatja. http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 30 2.67 Tétel Ha az f : X Y függvény bijekció az (X, τ ) és (Y, ξ) topologikus terek között, akkor a következő állítások ekvivalensek: 1. f homeomorfizmus az X és Y terek között, 2. f és f −1

nyílt leképezések, 3. f és f −1 zárt leképezések 2.68 Állítás Ha X, Y, Z topologikus terek, és g : X Y , f : Y Z homeomorfizmus, akkor az f ◦ g : X Z kompozíciófüggvény is homeomorfizmus. 2.7 Példa homeomorfizmusra Adott egy n dimenziós gömbfelület, rajta egy a pont, valamint egy hipersík, amely párhuzamos a gömbfelület a-beli érintőhipersíkjával. Egy a gömbfelületről a hipersíkra képező függvényt adunk meg a következőképpen. A gömbfelület a-tól különböző x pontjainak képét az a és az x pontokra illeszkedő D egyenes döfi ki a hipersíkból Az a pontban nem értelmezzük a függvényt. Megmutatjuk, hogy ez a leképezés homeomorfizmus a gömbfelület a-tól különböző pontjai és a hipersík pontjai között. Az ilyen kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést sztereografikus projekciónak nevezzük. 2.2 ábra Legyen Sn az Rn+1 tér egységgömbjének felülete, azaz Sn := {(x1 , x2 , ., xn+1 ) ∈ Rn+1 : x21 + x22 + +

x2n+1 = 1} Továbbá legyen a := (0, 0, ., 0, 1) ∈ Sn , valamint R0n+1 := {(x1 , x2 , ., xn , 0) ∈ Rn+1 : x1 , x2 , , xn ∈ R} http://www.doksihu 2. FEJEZET FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 31 Jelölje x ∈ Sn {a} esetén f (x) az x-hez a sztereografikus projekcióval rendelt R0n+1 -beli pontot. Tudjuk, hogy x − a = (x1 , x2 , ., xn+1 − 1) és f (x) = a + λ(x − a), ahol λ ∈ R alkalmas szám. A képpontok akkor lesznek Rn+1 -beliek, ha 1+λ(xn+1 −1) = 0. 0 Ez akkor lesz igaz, ha λ = 1 . 1−xn+1 Mivel x 6= a, ezért xn+1 6= 1. Így megkapjuk a D egyenes és az Rn+1 hipersík f (x) metszéspontjának koordinátáit: 0 y1 = x1 , 1−xn+1 y2 = x2 , 1−xn+1 ., yn = xn , 1−xn+1 yn+1 = 0. (1) Mivel az f : Sn {a} Rn+1 leképezés minden koordinátafüggvénye folytonos, ha 0 Rn+1 -t az euklideszi topológiával látjuk el, ezért f is folytonos. Emellett f bijekció, 0 mert ha y = (y1 , y2 , ., yn , 0) ∈ Rn+1 , akkor az alábbiak szerint pontosan egy olyan 0

x = (x1 , x2 , ., xn+1 ) ∈ Sn {a} pont létezik, amelyre f (x) = y Az f folytonos leképezés (1) koordinátáira az alábbi feltételek teljesülnek: xi = yi (1 − xn+1 ), 1 ≤ i ≤ n, n P yi2 (1 − xn+1 )2 + (xn+1 )2 = 1, i=1 és ha osztunk az 1 − xn+1 nullától különböző elemmel, akkor (y12 + y22 + . + yn2 )(1 − xn+1 ) − 1 − xn+1 = 0 Ekkor    x =   n+1     x = i 2 −1 y12 +y22 +.+yn , 2 2 2 y1 +y2 +.+yn +1 2yi 2 +1 y12 +y22 +.+yn (1 ≤ i ≤ n) Tehát y 2 +y 2 +.+y 2 −1 2y1 2y2 n+1 n 1 2 f −1 (y) = ( y2 +y2 +.+y . 2 +1 , y 2 +y 2 +.+y 2 +1 , , y 2 +y 2 ++y 2 +1 ), y ∈ R0 1 2 n 1 2 n 1 2 n Az f leképezés inverzének is minden koordinátafüggvénye folytonos, ezért f −1 folytonos. A fentiekből következik, hogy f : Sn {a} Rn+1 homeomorfizmus. Ezenkívül 0 Rn , (y1 , ., yn , 0) (y1 , , yn ) homeomorfizmus, ami pontosan azt tudjuk, hogy Rn+1 0 eredményezi, hogy a sztereografikus projekció segítségével

Sn {a} és Rn között megadható homeomorfizmus. http://www.doksihu 3. fejezet A Brouwer-féle fixponttétel 3.1 Motiváció Számos fixponttételt fogalmaztak meg a matematikai különböző területein. Ezek közül az egyik legismertebb a következő. 3.11 Tétel (Brouwer) Ha az f folytonos leképezés az n dimenziós korlátos, zárt és konvex G halmazt önmagába képezi le, akkor létezik legalább egy fixpontja. Az, hogy n dimenziós korlátos, zárt és konvex tartományokat önmagukba leképező folytonos leképezésnek létezik fixpontja, a közgazdaságtanban is fontos szerepet játszik. A tétel további alkalmazási lehetőségeit Neumann János látta meg a játékelmélet területén. A fixpont létezése az általános egyensúlyelmélet alapja, az egyensúly létezésére meghatározott alapvető tételek bizonyítása is többek között a Brouwer-tételen alapul. A legalapvetőbb ezek közül Neumann tétele (1928), amelyet szokás minimax-elvnek is nevezni. Ez

az elv egy olyan döntési szabályt határoz meg, ami szerint azt a lehetőséget kell választani, ami minimalizálja a maximális veszteséget. Ez felfogható a minimális nyereség maximalizálásaként is. Az elmúlt évtizedekben a Brouwer-féle fixponttételre számos bizonyítás született, felhasználva az algebrai topológiában és a fokszámelméletben foglaltakat. Célunk az, hogy nem közismert módon lássuk be a tételt kétdimenzióban. Az ehhez szükséges segédtételekkel alábbi két alfejezetben ismerkedünk meg 32 http://www.doksihu 3. FEJEZET A BROUWER-FÉLE FIXPONTTÉTEL 33 3.2 Halmazok távolsága 3.21 Definíció Az (M1 , d1 ), és az (M2 , d2 ) metrikus terek szorzata az (M1 × M2 , d) metrikus tér, ahol d((x, y), (s, t)) := max{d1 (x, s), d2 (y, t)}, (x, y), (s, t) ∈ M1 × M2 . 3.22 Állítás Ha (M, d) egy metrikus tér, akkor a d : M × M R távolságfüggvény folytonos. Bizonyítás. Legyen x0 , y0 , x, y ∈ M , ekkor |d(x, y) − d(x0 , y0

| = |d(x, y) − d(x, y0 ) + d(x, y0 ) − d(x0 , y0 )| ≤ ≤ |d(x, y) − d(x, y0 )| + |d(x, y0 ) − d(x0 , y0 )|. Tudjuk, hogy d(x, y) ≤ d(x, y0 ) + d(y0 , y) és d(x, y0 ) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y0 ), ezért |d(x, y) − d(x, y0 )| + |d(x, y0 ) − d(x0 , y0 )| ≤ d(y, y0 ) + d(x, x0 ) ≤ 2dM ×M ((x, y), (x0 , y0 )). Eképpen látható, hogy d Lipschitz-tulajdonságú, tehát folytonos. 3.23 Definíció Az (M, d) metrikus tér F és G halmazának távolsága legyen d(F, G) := inf{d(x, y) : x ∈ F, y ∈ G}. 3.24 Állítás Legyen n ∈ N+ és lássuk el az Rn halmazt az euklideszi topológiával Ha F, G ⊂ Rn tetszőleges nemüres, korlátos és zárt halmazok, akkor ezek távolsága felvétetik, tehát létezik olyan x ∈ F és y ∈ G, amelyre d(F, G) = d(x, y). Bizonyítás. Az infimum definíciójából következik, hogy van olyan (xn ) ⊂ F és (yn ) ⊂ G, amelyre d(xn , yn ) − d(F, G). Mivel az F és a G nemüres halmaz a feltétel szerint korlátos és zárt,

azért létezik olyan (xnk ) konvergens részsorozat, amelyre (xnk ) − x0 ∈ F , és létezik olyan (ynkl ) konvergens részsorozat, amelyre (ynkl ) − y0 ∈ G. Ekkor d(F, G) = d(x0 , y0 ) Ugyanis, ha d(xn , yn ) − d(F, G), abból következik, hogy d(xnkl , ynkl ) − d(F, G). Mivel d folytonos, ezért az átviteli elv miatt d(xnkl , ynkl ) − d(x0 , y0 ), végül a határérték egyértelműsége bizonyítja az állítást. http://www.doksihu 3. FEJEZET A BROUWER-FÉLE FIXPONTTÉTEL 34 3.3 Sakk-lemma 3.31 Definíció Legyen Q egy tetszőleges zárt négyzet Vegyük Q egy n × n (n ∈ N+ ) típusú rácsszerű felosztását. Zárt rácsnégyzetek egy olyan sorozatát, melyben a szomszédos zárt rácsnégyzetek éllel csatlakoznak egymáshoz, bástyaútnak nevezzük. Zárt rácsnégyzetek egy olyan sorozatát, melyben a szomszédos zárt rácsnégyzetek csatlakoznak egymáshoz, vezérútnak nevezzük. 3.32 Lemma (Sakk-lemma) Legyen Q egy tetszőleges zárt négyzet

Vegyük Q egy n×n (n ∈ N+ ) típusú rácsszerű felosztását. Tetszőleges sok zárt négyzetet színezünk feketére, a többit fehéren hagyjuk. Ekkor létezik bástyaút az első oszlopból az n oszlopba fehér négyzeteken, vagy vezérút az első sorból az n. sorba feketére színezett négyzeteken Bizonyítás. Tegyük fel, hogy nem létezik fehér négyzetekből álló bástyaút az első oszloptól az utolsóig. Így a legfelső sorban van feketére színezett négyzet, különben az első sor rácsnégyzetei a feltevéssel ellentétben vízszintes bástyautat alkotnának. Teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy létezik az első sorból induló k. sorig leérő fekete vezérút. k = 1-re az előzőek szerint létezik Tegyük fel, hogy k esetén van ilyen Ekkor indirekt módon tegyük fel, hogy k + 1-re már nem igaz a feltevés. 3.1 ábra Jelölje H az első sorbeli fekete négyzetből fekete négyzetek alkotta vezérúton elérhető zárt fekete négyzetek unióját,

K pedig a többi zárt fekete négyzet unióját. E két halmaz a definíciója miatt még csúcsban sem érintkezhet egymással. Ebből az következik, hogy d(H, K) ≥ 1. Így közöttük halad bástyaút az 1 oszlopból az n oszlopig fehér rácsnégyzeteken, hiszen a fekete négyzeteket mindig el tudjuk kerülni Ezzel ellentmondásra jutottunk. http://www.doksihu 3. FEJEZET A BROUWER-FÉLE FIXPONTTÉTEL 35 3.4 Brouwer tétele 3.41 Tétel Legyen Q := [0, 1]×[0, 1] a zárt egységnégyzet Bármely ϕ : Q Q folytonos leképezésnek van legalább egy fixpontja. Bizonyítás. Az ábrán a Q := [0, 1] × [0, 1] négyzet látható, a csúcsai O, A, C, B 3.2 ábra Legyen ϕ : Q Q egy tetszőleges folytonos függvény. Azt kell belátnunk, hogy van olyan z = (x, y) ∈ Q, amelyre ϕ(z) = z. Legyenek f és g : Q R függvények a ϕ függvény koordinátafüggvényei. Tehát f és g folytonos, valamint minden (x, y) ∈ Q esetén ϕ(x, y) = (f (x, y), g(x, y)). A Brouwer-tétel így

ekvivalens azzal, hogy létezik olyan (a, b) ∈ Q pont, amelyre f (a, b) = a és g(a, b) = b. Vezessünk be további két függvényt: F(x, y) := f (x, y) − x és G(x, y) := g(x, y) − y, D(F) := D(G) := Q. Tudjuk, hogy |F| ≤ 1 és |G| ≤ 1. A fenti F és G függvények ismeretében a tétel ekvivalens azzal, hogy a Φ : Q R2 , Φ := (F, G) függvénynek létezik zérushelye Q-ban. Tekintsük az F és G függvények alábbi leszűkítéseit: F|OB ≥ 0 és F|AC ≤ 0, azaz F(0, y) ≥ 0 és F(1, y) ≤ 0 ∀y ∈ [0, 1] esetén. G|OA ≥ 0 és G|BC ≤ 0, azaz G(x, 0) ≥ 0 és G(x, 1) ≤ 0 ∀x ∈ [0, 1] esetén. http://www.doksihu 3. FEJEZET A BROUWER-FÉLE FIXPONTTÉTEL 36 Jelölje F az F függvény, G a G függvény zérushelyeinek halmazát, azaz F := {(x, y) ∈ Q : F(x, y) = 0} és G := {(x, y) ∈ Q : G(x, y) = 0}. F és G nemüres halmazok, ugyanis az FOA és GOB folytonos függvények nempozitív és nemnegatív értéket egyaránt felvesznek, ezért a

Bolzano-tétel miatt van zérushelyük. A Brouwer-tételt igazoltuk, ha megmutatjuk, hogy F ∩ G 6= ∅. Legyen d := d(F, G). Mivel F és G korlátos és zárt halmazok, azért létezik z1 := (x1 , y1 ) ∈ F és z2 := (x2 , y2 ) ∈ G, hogy d = d(z1 , z2 ). A fixponttétel igazolásához a továbbiakban azt kell belátnunk, hogy d = 0. Ezt indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy d > 0, és válasszuk az n ∈ N számot olyan nagyra, hogy n > √ 2 2 d legyen. Tekintsük Q n × n típusú rácsszerű felosztását Színezzük ki a felosztás azon zárt négyzeteit pirossal, amelyek F -beli pontot tartalmaznak. A többi négyzetet fehéren hagyjuk. Megmutatjuk, hogy az OB-re támaszkodó első oszlopból bástyaúton nem juthatunk el fehéren hagyott négyzeteken az AC-re támaszkodó n. oszlopba Ugyanis, indirekt módon tegyük fel, hogy mégis eljuthatunk. Ha szakaszokkal összekötjük e fehér bástyaút éllel érintkező szomszédos négyzeteinek középpontjait,

akkor egy összefüggő gráfot kapunk, amelyből kiválaszthatunk egy minimális, összefüggő gráfot, amelynek csak egy-egy négyzetközéppontja van az 1. és n oszlopban Az így kiválasztott gráf élei egy töröttvonalat alkotnak. A gráf két végpontjába vezető élt hosszabbítsuk meg az OB, ill AC szakaszokig Jelölje ezt a meghosszabbított töröttvonalat L. Az ábrán egy ilyen töröttvonal látható: 3.3 ábra http://www.doksihu 3. FEJEZET A BROUWER-FÉLE FIXPONTTÉTEL 37 A kapott töröttvonal egyes szakaszainak hossza legyen sorrendben l1 , l2 , ., lk Ekkor P a töröttvonalak kiegyenesítésével kapott ψ : L [0, ki=1 li ] függvény homeomorfizmus. P Tekintsük az F ◦ ψ −1 : [0, ki=1 li ] R folytonos függvényt. Tudjuk, hogy P (F ◦ ψ −1 )(0) ≥ 0 és (F ◦ ψ −1 )( ki=1 li ) ≤ 0. Ekkor az F ◦ψ −1 függvényre alkalmazható Bolzano tétele, ezért a függvénynek van legalább egy zérushelye, ami az adott színezésnél piros

négyzetet jelentene, vagyis ellentmondást. Akkor a Sakk-lemmából az következik, hogy a szóbanforgó színezésnél a BC oldalra támaszkodó első sorból eljuthatunk vezérúton az OA-ra támaszkodó n. sorba piros négyzeteken Összekötjük a pirosra színezett szomszédos négyzetek középpontjait, és a kapott összefüggő gráfból kiválasztunk egy olyan minimális, összefüggő gráfot, amelynek csak egyegy négyzetközéppontja van az 1. és az n sorban Az ezen pontokba vezető törtvonalat meghosszabbítva érjük el a BC és az OA szakaszokat. Hasonlóan az előző meggondoláshoz, ismét tekintsük Q n × n típusú rácsszerű felosztását. Színezzük ki zölddel a felosztás azon zárt négyzeteit, amelyekben van G-beli pont, a többit hagyjuk fehéren. Megmutatjuk, hogy a BC-re támaszkodó első sorból bástyaúton nem juthatunk el az OA-ra támaszkodó n. sorba fehér négyzeteken Ugyanis, indirekt módon tegyük fel az ellenkezőjét. Ha szakaszokkal

összekötjük e fehér bástyaút éllel érintkező szomszédos négyzeteinek középpontjait, akkor egy összefüggő gráfot kapunk, amelyből kiválaszthatunk egy minimális, összefüggő gráfot, amelynek csak egy-egy négyzetközéppontja van az 1. és n sorban Az így kiválasztott gráf élei egy töröttvonalat alkotnak A gráf két végpontjába vezető élt hosszabbítsuk meg a BC, ill. OA szakaszokig Jelölje ezt a meghosszabbított töröttvonalat R Az ábrán egy ilyen töröttvonal látható: 3.4 ábra http://www.doksihu 3. FEJEZET A BROUWER-FÉLE FIXPONTTÉTEL 38 A kapott töröttvonal egyes szakaszainak hossza legyen sorrendben r1 , r2 , ., rm Ekkor P a töröttvonalak kiegyenesítésével kapott ξ : R [0, m i=1 ri ] függvény homeomorfizmus. P Tekintsük a G ◦ ξ −1 : [0, m i=1 ri ] R folytonos függvényt. Tudjuk, hogy (G ◦ ξ −1 )( Pm i=1 ri ) ≥ 0 és (G ◦ ξ −1 )(0) ≤ 0. Ekkor a G ◦ ξ −1 függvényre alkalmazható Bolzano

tétele, ezért a kompozíciófüggvénynek van legalább egy zérushelye, ami azt jelenti, hogy a kiválasztott bástyaúton zöld négyzetre is léptünk, tehát ellentmondásra jutottunk. Akkor a Sakk-lemmából az következik, hogy ezen színezésnél a OB-re támaszkodó első oszlopból eljuthatunk vezérúton az AC-re támaszkodó n. oszlopba zöld színű négyzeteken Összekötjük a szomszédos zöld négyzetek középpontjait, ekkor összefüggő gráfot kapunk, amiből kiválasztunk egy minimális, összefüggő gráfot, amelynek csak egy-egy pontja van az 1. és az n oszlopban Az ezen pontokba vezető törtvonalat meghosszabbítva érjük el az OB és az AC szakaszokat. A 3.5 ábrán a piros és a zöld színű vezérútvonal egy részlete látható 3.5 ábra Tudjuk, hogy létezik olyan négyzet, amit zöldre és pirosra is színeztünk, vagy létezik olyan 2 × 2-es négyzet, amelyben mindkét szín előfordul. 3.6 ábra http://www.doksihu 3. FEJEZET A BROUWER-FÉLE

FIXPONTTÉTEL 39 A pirosra színezett négyzetekben van F -beli pont, a zöld négyzetekben van G-beli pont. √ F és G távolságát így a következőképpen tudjuk felülről becsülni: d(F, G) < 2 · 2 · n1 . Ebből azt kapjuk, hogy n < √ 2· 2 , d ami ellentmondás. Tehát d = 0, a tételt beláttuk 3.42 Tétel Legyen T ⊂ R2 egy zárt négyzettel homeomorf tartomány Ekkor bármely f : T T folytonos leképezésnek van legalább egy fixpontja. Bizonyítás. Adott egy tetszőleges f : T T folytonos függvény és a t : T Q homeomorfizmus Ekkor a h := t◦f ◦t−1 függvény folytonos Q-n, R(h) ⊂ Q, ezért alkalmazhatjuk a zárt egységnégyzeten igazolt fixponttételt. 3.43 Következmény Ha T ⊂ R2 konvex, korlátos és zárt halmaz, és e halmaz belseje nem üres, akkor bármely f : T T folytonos leképezésnek van legalább egy fixpontja. 3.5 A fixponttétel egy alkalmazása 3.51 Tétel (Perron) Jelöljön A egy olyan n × n-es mátrixot, amelynek

minden aij eleme pozitív. Ekkor A-nak van legalább egy pozitív sajátértéke, amelyhez megadható csak nemnegatív elemekből álló sajátvektor. Bizonyítás. Legyen G := {(x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, , n és Pn i=1 xi = 1}. G konvex, korlátos és zárt halmaza Rn -nek. Ezenkívül legyen f : G G az a függvény, amelyre f (x) = Ax , kAxk 1 x ∈ G. Ekkor f folytonos függvény, mivel minden norma folytonos és a G G, x 7 Ax függvény is folytonos leképezés. Ezért a Brouwer-tétel szerint f -nek létezik legalább egy fixpontja G-ben, jelölje ezt w ∈ G. Tehát w-re Aw kAwk 1 = w, azaz Aw = kAwk1 w. Ekkor λ := kAwk1 sajátértéke az A mátrixnak a w sajátvektorral. http://www.doksihu Köszönetnyilvánítás Hálásan köszönöm témavezetőmnek, Pfeil Tamásnak, hogy odaadó, precíz munkájával, hasznos tanácsaival és ötleteivel hozzájárult a szakdolgozatom elkészítéséhez. Köszönettel tartozom Czách László tanár úrnak a

sok segítségért és a rám fordított időért, figyelemért. Végül szeretném még megköszönni a támogatást, amelyet a családomtól és a szeretteimtől kaptam. 40 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Czách László, Topológia (kézirat), 1988. [2] Jacques Dixmier, General Topology, Springer-Verlag, 1984. [3] Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann-Verlag, 1989. [4] Robert B. Reisel, Elementary Theory of Metric Spaces, Springer-Verlag, 1982 [5] Besenyei Ádám, A Peano-görbe, KöMaL, 2003/4, 196-202. [6] Gelbaum-Olmsted, Counterexamples in Analysis, Holden-Day, Inc., 1964 [7] Simonovits András, Mikroökonómiai vázlat, http://www.mathbmehu/diffe/mikropdf [8] Internetes forrás, Győri István, Hartung Ferenc, Fixpont tételek, http://math.uni-pannonhu/ hartung/okt/ma6116a/jegyzet7pdf 41