Matematika | Analízis » Heimbuch Zita - Hatványsorok és alkalmazásaik

http://www.doksihu Szakdolgozat Hatványsorok és alkalmazásaik Heimbuch Zita Matematikai elemz® szakirány Témavezet®: Bátkai András, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1 Rövid bevezetés a dolgozat témájáról 1.2 Elméleti bevezetés 2. Dierenciálszámítás alkalmazásai 4 4 7 2.1 Dierenciálszámítás alapfogalmai 2.2 Elemi függvények Taylor-sorba fejtése 3. Végtelen sorok 7 8 12 3.1 Konvergens sor deníciója, a konvergencia és szükséges feltétele . 3.2 Egyszer¶bb konvergenciakritériumok 3.3 M¶veletek konvergens sorokkal a divergencia . 12 . 13 . 15 4. Függvénysorok 19 4.1 A függvénysor fogalma

19 5. Hatványsorok 21 6. Végtelen sorok és hatványsorok alkalmazásai 24 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Mértani sor segítségével megoldható példa . Harmonikus sor segítségével megoldható példa . Hatványsorok alkalmazása a számelmélet témakörében Néhány ismert függvény Taylor-sora, azaz hatványsora Dierenciálegyenlet megoldása hatványsorokkal . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 26 27 30 31 http://www.doksihu 6.51 Az els®rend¶ dierenciálegyenletek megoldása általános hatványsorok segítségével . 31 6.52 Az els®rend¶ dierenciálegyenletek megoldása Taylorsorokkal 34 6.53 Másodrend¶ dierenciálegyenletek megoldása hatványsorok segítségével . 36 6.6 Összegzés 38 3 http://www.doksihu 1. fejezet Bevezetés 1.1 Rövid bevezetés a dolgozat témájáról Jelen dolgozat a hatványsorokba és azok

alkalmazásaiba, alkalmazási módszereibe ad betekintést. Az elején bevezetjük az alapfogalmakat, tételeket, amik kapcsolódnak a hatványsorok témájához vagy amiket a kés®bbiek során használni fogunk. A célom az, hogy a szakdolgozatban - az alkalmazások során - bemutassam a hatványsorok segítségével megoldható problémákat, feladatokat. Bepillantást nyerünk a mértani- és a harmonikus sorok világába, a számelmélet témaköréb®l is ismertetek egy alkalmazási módot, majd megmutatom, hogy hogyan lehet Taylor-sorba fejteni egy hatványsort. A dolgozat végén rátérek arra, hogy hogyan tudok megoldani dierenciálegyenleteket hatványsorok segítségével. Ebben a részben többféle módszert is ismertetek majd. 1.2 Elméleti bevezetés Ebben a fejezetben bevezetjük azokat a deníciókat, jelöléseket, amiket a kés®bbiek során használni fogunk a különböz® számításokhoz. Deníció: Valós számsorozatnak nevezünk minden olyan függvényt,

amely4 http://www.doksihu nek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza. Ebb®l a denícióból következik, hogy egy számsorozatot akkor tekintünk adottnak, ha minden n ∈ N számra ismerjük a sorozat n-edik tagját, azaz a sorozatot jelent® függvénynek az n helyen felvett értékét. Jelölés: Egy számsorozatot (an )-nel, a sorozat n-edik tagját pedig an -nel jelöljük. Egy számsorozatot többféleképpen is megadhatunk. Gyakran használjuk azt a fajta megadási módot, amikor egy képlettel fejezzük ki, hogy hogyan függ az n-t®l a sorozat n-edik tagja.
n √ √ Példa: nn+1 n + 1 − n, 1 + n1 3 +n , Megadhatjuk utasítással és rekurzív denícióval is. A sorozat gyakori megadás módja a rekurzív deníció, amikor megadjuk a sorozat els® néhány tagját, majd az an -et az el®z® tagok függvényeként fejezzük ki. Mindkét módra mutatok példát Példa: Utasítással: a sorozat

páratlan index¶ tagjai legyenek 1-gyel egyenl®k, a páros index¶ tagok pedig 2-vel. Példa: Rekurzív formulával: a1 = 0, an = 2an − 1, ha n ≥ 2. Deníció: Egy a valós szám  > 0 sugarú környezetének nevezzük az (a −  ,a + ) nyílt intervallumot. Deníció: Az (an ) valós számsorozatról akkor mondjuk, hogy konvergens és határértéke A, ha minden  > 0 számhoz van olyan N természetes szám, hogy a sorozat minden N -nél nagyobb index¶ tagja az a szám  sugarú környezetébe esik. Jelölés: Az (an ) sorozat konvergens és határértéke A: lim an = A. n∞ Számításaink során a következ®, sorozatok határértékére vonatkozó tételeket használjuk fel: 5 http://www.doksihu 1. Tétel: A = 0. n∞ n Ha limn∞ an = A, és limn∞ bn = B , akkor lim lim (an ± bn ) = A ± B n∞ lim an · bn = A · B n∞ ha B 6= 0 , akkor  lim n∞ an bn k  k A = , B ahol k = 1, 2, . Deníció: Az (an ) valós számsorozatról akkor

mondjuk, hogy divergens, ha nem konvergens. A sorozatoknak egy fontos osztályát alkotják az úgynevezett monoton sorozatok. Deníció: Egy (an ) sorozatról akkor mondjuk, hogy monoton növ® (vagy fogyó), ha minden n ∈ N-re fennáll, hogy an ≤ an+1 (vagy an ≥ an+1 ). Ha az egyenl®séget nem engedjük meg, akkor szigorúan monoton növ®/fogyó sorozatokról beszélünk. Monoton sorozatok konvergenciaviselkedését viszonylag egyszer¶en el tudjuk majd dönteni, de ehhez még egy segédeszközre lesz szükségünk: Deníció: Egy H ⊂ V nem üres halmazról akkor mondjuk, hogy felülr®l (vagy alulról) korlátos számhalmaz, ha van olyan f szám, hogy H minden x elemére x ≤ f (vagy x ≥ f ). A számhalmazról akkor mondjuk, hogy korlátos, ha alulról és felülr®l is korlátos. 2. Tétel: (Korlátos, monoton sorozatok konvergenciája) a.) Ha az an sorozat monoton növeked® és felülr®l korlátos, akkor konvergens b.) Ha az an sorozat monoton csökken® és

alulról korlátos, akkor konvergens 6 http://www.doksihu 2. fejezet Dierenciálszámítás alkalmazásai Ebben a fejezetben bevezetjük a dierenciálszámítás alapfogalmait, szabályait, amire szükségünk lesz az alkalmazások során. 2.1 Dierenciálszámítás alapfogalmai El®ször kezdjük azzal, hogy mit is jelent az, hogy ha egy függvény dierenciálható az a pont környezetében. Deníció: Legyen f értelmezve az a ∈ D(f ) pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban dierenciálható, ha a f (x) − f (a) =A∈R a x−a lim x véges határérték létezik, ekkor itt a dierenciálhányadosa f 0 (a) = A. df df Jelölés: f 0 (a) = dx (a) = dx |x=a Deníció: Azt mondjuk, hogy az f függvény kétszer dierenciálható az a helyen, ha az a hely egy környezetében dierenciálható és az f 0 derivált függvény dierenciálható az a helyen. 0 Jelölés: Az (f 0 (x) )x=a dierenciálhányadost az f függvény a helyen vett

második dierenciálhányadosának vagy második deriváltjának nevezzük és 00 f (a)-val jelöljük. 7 http://www.doksihu Deníció: Tetsz®leges n > 1 természetes számra akkor mondjuk, hogy az f függvény az a helyen n-szer dierenciálható, ha az a hely egy környezetében (n − 1)-szer dierenciálható és a függvény (n − 1)-edik derivált függvénye, f (n−1) (x) az a helyen dierenciálható. A következ®kben a függvények m¶veleti azonosságait fogjuk megvizsgálni. 3. Tétel: Legyen D(f ) = D(g) = I intervallum, a ∈ I bels® pont, melyben f és g dierenciálható. Ekkor f ± g ; α · f , ahol α ∈ R; f · g és ha g(a) 6= 0, akkor f g dierenciálható a-ban és (f ± g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a) (α · f )0 (a) = α · f 0 (a) (f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a)  0 f f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) (a) = g g 2 (a) 2.2 Elemi függvények Taylor-sorba fejtése Ebben a részben bevezetjük a Taylor-sorhoz tartozó

elnevezéseket, a Taylorpolinom és a Taylor-sor konstrukcióját. Az y = f (x) függvény legyen az x = a helyen megfelel®en sokszor dierenciálható függvény. Azt a Tn (x) legfeljebb n-ed fokú polinomot, amely és amelynek els® n darab deriváltja az x = a helyen megegyezik az f (x) függvénnyel, illetve ennek els® n deriváltjával, hívjuk az x = a helyen az f (x) függvényhez rendelt n-ed fokú Taylor polinomnak. Ennek tehát a következ® egyenl®séget kell kiegyenlíteni: Tn (a) = f (a) Tn(k) (a) = f (k) (a), 8 http://www.doksihu ahol k = 1, 2, ., n Ha az x = a hely speciálisan az origó, azaz a = 0, akkor a polinomot Maclaurin polinomnak nevezzük. Ha az f (x) függvény az x = a helyen végtelen sokszor dierenciálható, és formálisan felírjuk azt a hatványsort, amelynek formálisan számított dierenciálhányadosai az a helyen megegyeznek f (x) megfelel® deriváltjával, akkor el®állítjuk az f (x) Taylor sorát az x = a helyen. A hatványsort

Maclaurin sornak hívjuk, ha speciálisan a = 0. A Taylor-polinomot, illetve a Taylor-sort lépésr®l lépésre igen könnyen képezhetjük. A polinom, illetve hatványsor célszer¶ általános alakja ez: n X ak (x − a)k , illetve k=1 ∞ X ak (x − a)k . k=1 Az f (a) = Tn (a) követelményb®l azonnal adódik, hogy a0 = f (a). Az f 0 (a) = Tn0 (a) követelményb®l is rögtön teljesíthet®, mert - a deriválás szabályát alkalmazva - a következ®t kapjuk: Tn0 (x) = ∞ X nan (x − a)n−1 k=1 és így Tn0 (a) = 1 · a1 · 1, tehát a1 = f 0 (a). Ugyanígy adódik: Tn00 (a) = 1 · 2 · a2 · 1 és így f 00 (a) a2 = 2! 9 http://www.doksihu . . Tn(k) (a) = k! · ak azaz ak = f (k) (a) k! Ezekután a Taylor-sort T (x)-szel, a Maclaurin-sort pedig M (x)-szel jelölve a következ®ket kapjuk: n X ∞ X (x − a)k Tn (x) = ; f (a) k! k=0 Mn (x) = (x − a)k T (x) = ; f (a) k! k=0 k n X f (k) (0) k=0 xk ; k! M (x) = ∞ X k=0 k f (k) (0) xk ; k!

Természetesen felvet®dik bennünk az a kérdés, hogy minden függvényt el®állít-e a Taylor-sor valamilyen (−R, R) intervallumban? Nyilván nem, azokat biztosan nem, amik nem dierenciálhatóak akárhányszor. És mi a helyzet azokkal, amik akárhányszor dierenciálhatóak 0-ban? Azokkal két baj is lehet: 1.) lehet, hogy a konvergenciasugár 0, azaz csak a 0-ban konvergens 2.) konvergens, de mégsem állítja el® a függvényt Erre példa a következ® függvény: ( f (x) = e− x2 , ha x 6= 0, 1 ha x = 0. 0, Most rátérnénk az úgynevezett maradéktag jelent®ségére, ami a függvény és az ®t approximáló Taylor-polinom eltérését adja meg. El®ször kimondunk egy tételt, melyben deniáljuk, hogy mit is értünk maradéktag alatt: 10 http://www.doksihu 4. Tétel: (Taylor-tétel) Ha az f (x) függvény az a ∈ I intervallumon akárhány- szor dierenciálható, akkor minden n pozitív egész és x ∈ A esetén f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00

(a) f (n) (a) (x − a)2 + . + (x − a)n + Rn (x), 2! n! ahol Rn (x) az úgynevezett maradéktag. Ennek Lagrange-féle alakja Rn (x) = f (n+1) (c) (x − a)n+1 (n + 1)! egy a és x közötti c-vel. 5. Tétel: Ha létezik M konstans, amellyel x és a közötti valamennyi t esetén |f (n+1) (t)| ≤ M, akkor a Taylor-tételben szerepl® Rn (x) maradéktag kielégíti az |Rn (x)| ≤ M |x − a|n+1 (n + 1)! egyenl®tlenséget. Amennyiben ez a feltétel teljesül minden n-re, akkor f (x) Taylor-sora f (x)-et állítja el®. A maradéktag vizsgálata arra is felvilágosítást ad, hogy mennyire tér el a függvény és a Taylor-sor egymástól. El®z®ekben már felírt képletekb®l ugyanis az derül ki, hogy a Taylor-sor n-edik része épp az n-edik Taylor-polinom, azaz a Taylor-sor a Taylor-polinomokból alkotott sorozat határfüggvénye. A Taylor-sor és a sorbafejett függvény eltérését tehát a polinomok maradéktagjaiból alkotott sorozat határfüggvénye jellemzi. 11

http://www.doksihu 3. fejezet Végtelen sorok Formálisan egy (an ) sorozat tagjait + jellel összekapcsolva egy ∞ X (an ) = a0 + a1 + . + an + n=0 végtelen sort kapunk. Az sn = a0 + + an−1 denícióval megadott sorozatot P a ∞ n=0 (an ) = a0 + a1 + . + an + végtelen sor részletösszegei sorozatának nevezzük. Deníció: Az (an ) számsorozatból képezett végtelen soron azt a rendezett párt értjük, amelynek els® komponense az (an ) sorozat, második kompoP nense pedig az az (sn ) sorozat, melyre minden n esetén sn = nk=1 ak . Az P (an ) sorozatból képezett végtelen sornak - melynek jelölésére a (an ) szimbólumot használjuk - az n-edik tagja az an szám, n-edik részletösszege az sn szám, részletösszegsorozata az (sn ) sorozat. 3.1 Konvergens sor deníciója, a konvergencia és a divergencia szükséges feltétele Deníció: Egy végtelen sort attól függ®en nevezünk konvergensnek, illetve divergensnek, hogy részletösszeg-sorozata

konvergens vagy divergens. P Deníció: Egy ∞ n=0 an sort abszolút konvergensnek mondjuk, ha a tagok 12 http://www.doksihu abszolút értékeib®l alkotott ∞ n=1 |an | sor konvergens. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergensnek mondjuk. P Deníció: Ha a (an ) végtelen sor részletösszeg-sorozatának van (véges vagy végtelen) határértéke, akkor ezt a határértéket a végtelen sor összegének P nevezzük, és a ∞ n=1 an szimbólummal jelöljük. P 3.2 Egyszer¶bb konvergenciakritériumok Sok esetben egy an ≥ 0 (n = 1, 2, .) sorról kell eldöntenünk, hogy konvergens-e vagy nem. Ezt könnyen el tudjuk dönteni a különböz® konvergenciakritériumok segítségével 6. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatokra teljesül a következ® két feltétel: (a.) Valamely  küszöbindex fölötti minden egyes n egészre |an | ≤ bn P (b.) a (bn ) végtelen sor konvergens P akkor a (an ) sor abszolút konvergens. 7. Tétel:

(hányados-majoráns kritérium): Ha P (cn ) pozitív tagú konver- gens végtelen sor, N pedig olyan pozitív egész, amelyt®l kezdve minden k egészre |ak+1 | ck+1 ≤ , |ak | ck akkor a P (an ) végtelen sor abszolút konvergens. 8. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatokra teljesül a következ® két feltétel: (a.) Valamely  küszöbindex felett minden n egészre an ≤ bn P (b.) ∞ n=1 an = +∞, P∞ akkor n=1 bn = +∞ 9. Tétel: (hányados-minoráns kritérium): Ha P (cn ) pozitív tagú divergens sor, N pedig olyan pozitív egész, amelyt®l kezdve minden k egészre bn > 0, és bk+1 ck+1 ≤ , bk ck akkor a P (bn ) végtelen sor is divergens. 13 http://www.doksihu Ezekután mutatunk két példát arra, hogy a hányados-majoráns és a hányadosminoráns kritériumokat hogyan tudjuk alkalmazni: 1.Példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ® sor? ∞ X n=1 1 . n2 − 10n + 3 1.Példa megoldása: Mivel létezik n > n0 . Ekkor a n0 úgy, hogy

n2 − 10n + 3 > P∞ 1 konvergens sor majorálja a n=n0 ezért az eredeti sorunk konvergens. 2.Példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ® sor? P∞ 2 n=n0 n2 ∞ X n=1 2.Példa megoldása: Mivel a 1 3 P∞ 1 n=1 n n2 2 n2 −10n+3 , ha sort, 1 . 2n + 1 1 sor divergens és 3n1 < 2n+1 . Ekkor az P∞ 1 divergens sor minorálja a n=1 2n+1 sort, ezért a sor divergens. P∞ 1 n= n 10. Tétel: (Gyökkritérium): Legyen an ≥ 0 minden n esetén, és legyen lim n∞ √ n an = r. Ekkor ∞ n=1 an sor r < 1 esetén konvergens, ha r > 1, akkor divergens, míg ha r = 1, akkor lehet konvergens is és divergens is. P 11. Tétel: (Hányados kritérium): Legyen legyen an > 0 minden n esetén, és an+1 = r. n∞ an lim Ekkor a ∞ n=1 an sor r < 1 esetén konvergens, ha r > 1, akkor divergens, míg ha r = 1, akkor lehet konvergens is és divergens is. P A két kritérium tétel kimondása után is mutatunk egy-egy példát arra, hogy hogyan

tudjuk alkalmazni ®ket. 3.Példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ® sor? n3 ∞  X 1 1− 2 . n n=1 14 http://www.doksihu 3.Példa megoldása: A gyökkritériumot használva: q
n 3
n2 n = 1 − n12 1 − n12 1e < 1, ezért a sor konvergens. 4.Példa: Konvergens-e vagy divergens-e a következ® sor? ∞ X (n!)2 . (2n)! n=1 4.Példa megoldása: Alkalmazzuk a hányados kritériumot: an+1 an gens. = [(n+1)!]2 [2(n+1)]! (n!)2 (2n)! = 2n! [(n+1)!]2 (2n+2)! (n!)2 = (n+1)2 (2n+2)(2n+1) 1 4 < 1, ezért a sor konver- A végtelen sorok egy speciális osztályát alkotják azok, amelyeknek tagjai váltakozó el®jellel követik egymást. P Deníció: A an sort Leibniz-típusúnak mondjuk, ha (a.) tagjai váltakozó el®jel¶ek (azaz an · an+1 < 0), (b.) az |an | számok csökken® sorozatot alkotnak, (c.) lim an = 0 A váltakozó el®jel¶ sort alternáló sornak is nevezzük. Egy végtelen sor tehát akkor Leibniz-típusú, ha alternáló és tagjainak

abszolút értéke monoton módon tart nullához. 12. Tétel: (Leibniz kritérium): Minden Leibniz-típusú sor konvergens Ha a sor alternáló, de lim an 6= 0, akkor divergens is. 3.3 M¶veletek konvergens sorokkal A konvergens végtelen sorok a véges összegek általánosításának tekinthet®k. Érdemes megvizsgálni, hogy a véges összegek szokásos tulajdonságai érvényben maradnak-e a végtelen sorokra. El®ször vizsgáljuk meg a kommutativitás érvényességét. Nézzük a következ® váltakozó el®jel¶ sorozatot: 1 1 1 (−1)n−1 + . = ln 2 1 − + − + . + 2 3 4 n 15 http://www.doksihu Ezután mutassuk meg, hogy egy átrendezéssel a következ® adódik: lim s3n = n ∞ 1 ln 2 2 Cseréljük fel a sorban a tagok sorrendjét úgy, hogy egy pozitív tag után két negatív tag következzen, azaz vizsgáljuk az 1− 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − + . 2 4 3 6 8 5 10 12 sor összegét. A sor s3n alakú részletösszegei így írhatók fel: s3n = (1

− 12 ) − 41 + ( 13 − 61 ) − 18 + ( 51 − 1 1 ) − 12 + . 10 1 1 1 1 1 1 1 1 − 4 + 6 − 8 + 10 − 12 + . + 4n−2 − 4n = 2 1 1 1 (1 − 12 + 31 − 41 + 15 − 16 + . + 2n−1 − 2n ) 2 1 1 1 − 12 − 14 + 13 − 16 − 81 + 15 − 10 − 12 + . 1 + ( 2n−1 − 1 ) 4n−2 − 1 4n = . Mivel a sor s3n+1 és s3n+2 alakú részletösszegei s3n -t®l csak 0-hoz tartó tagokban különböznek, ezért ezek határértéke is és így a sor összege is 21 ln 2. Példánk azt mutatja, hogy a végtelen sorokra általában nem érvényes a kommutativitás, tehát nem cserélhet® fel a sor tagjainak sorrendje. A disztributív tulajdonság megfelel®jét egyszer¶ formában így fogalmazhatjuk meg: P ha ∞ n=1 = an konvergens sor, amelynek összege s és v tetsz®leges valós szám, P akkor ∞ n=1 = van is konvergens és összege vs, azaz konvergens sorokra fennáll a következ® egyenl®ség: v ∞ X an = n=1 ∞ X van . n=1 Az el®z® egyenl®ség

igazolásához azt kell megjegyezni, hogy ha sn = akkor nyilván igaz a v limn ∞ sn = limn ∞ vsn egyenl®ség. Pn k=1 ak , A disztributivitásnak egy általánosabb formáját is vizsgálhatjuk: Két konvergens végtelen sor szorzatáról milyen esetben igaz, hogy konvergens lesz? P P Két végtelen sor n=1 an és n=1 bn szorzatát úgy értjük itt, hogy minden 16 http://www.doksihu tagot minden taggal megszorzunk, azaz képezzük az összes ak bl alakú tagok szorzatát, amelyeket a következ® sémában foglalhatunk össze: a1 b1 , a1 b2 , ., a1 bn , a2 b1 , a2 b2 , ., a2 bn , . an b1 , an b2 , ., an bn , . Az így kapott tagokat valamilyen sorrendben össze kell adni. 13. Tétel: (Riemann-tétel): Ha a P∞ k=1 ak sor konvergens, de a P∞ k=1 |ak | sor divergens, akkor k=1 ak sor tagjai átrendezhet®k úgy, hogy az új sor összege tetsz®leges, el®re adott C valós szám legyen, vagy úgy is , hogy divergens legyen. P∞ Emiatt a tétel miatt nem

mindegy, hogy milyen sorrendet választunk. Az egyik leggyakrabban alkalmazott szorzási szabály a Cauchy-féle szorzás. P∞ P Deníció: Legyen adott a ∞ n=0 bn végtelen sor. E két sor n=0 an és P∞ Cauchy-féle szorzatán értjük azt a n=0 cn sort, ahol cn = (a0 bn + a1 bn−1 + . + an−1 b1 + an b0 ) = n X ak bn−k . k=0 A kérdés nyiván az, hogy ha az eredeti sorok konvergensek, akkor a szorzat konvergens-e egyeltalán, és ha igen, akkor összege megegyezik-e az eredeti sorok összegeinek szorzatával, azaz ∞ ∞ ∞ X X X ( an )( bn ) =? cn . n=0 14. Tétel: n=0 n=0 P P (Mertens tétele): Ha a (an ) és (bn ) végtelen sorok konver- gensek, és egyikük abszolút konvergens, akkor Cauchy-féle szorzatuk is konvergens, és ennek összege a két sor összegének szorzata. 17 http://www.doksihu E tétel alapján nyilvánvaló, hogy ha mind a két sor abszolút konvergens, akkor a Cauchy-féle sorzatuk is konvergens, s®t abszolút konvergens.

Megjegyzés: (1.) Konvergens (tehát nem abszolút konvergens) sorok Cauchy-féle szorzata lehet divergens is. (2.) Két divergens sor Cauchy-féle szorzata lehet konvergens, s®t abszolút konvergens. (3.) Ha két konvergens sor Cauchy-féle szorzata konvergens, akkor összege egyenl® a két sor összegének szorzatával. Most pedig mutatunk egy példát arra, hogy az el®z®eket hogyan is tudjuk alkalmazni: Példa: Állítsuk el® az 1− és az 1 1 1 (−1)n−1 + − + . + + . = ln 2 2 3 4 n 1 1 1 1 + + + . + n + = 1 2 4 8 2 konvergens sorok Cauchy-féle szorzatát. Megoldása: Az els® sor: 1− 1 1 1 (−1)n−1 + − + . + + . = ln 2 2 3 4 n Ez egy Leibniz-típusú sor, amib®l az következik, hogy nem abszolút konvergens, mert tagjainak abszolút értékeib®l képzett 1 + 12 + 13 + . + n1 + sor divergens. A sor tehát csak feltételesen konvergens A második sor: 1 1 1 1 + + + . + n + = 1 2 4 8 2 abszolút konvergens. Ekkor a szorzatsor konvergens lesz, összege

pedig 1·ln 2. Nézzük a szorzatsort:






1 1 · 14 + − 12 · 41 + 1 · 18 + − 12 · 14 + 13 · 12 + 1 · 16 + − 12 · 18 + 13 · 41 + − 14 · 12 +
1 1 1 . = 12 + 41 − 18 + 81 − 18 + 16 ) + 16 − 16 + 12 − 18 ) + . = ln 2 1 + 2 18 http://www.doksihu 4. fejezet Függvénysorok 4.1 A függvénysor fogalma Ebben a fejezetben deniáljuk a függvénysorok fogalmát, hogy a kés®bbiek folyamán használni tudjuk a hatványsorok meghatározása során. Az el®z® fejezetben olyan végtelen sorokkal foglalkoztunk, amelynek tagjai számok voltak. Most legyenek a sor tagjai függvények Deníció: Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük. Általános alakja f1 + f2 + f3 + . + fn + = ∞ X fn . n=1 Az f1 , f2 , f3 , ., fn , függvények a függvénysor tagjai Deníció: Ha a függvénysorozat az I intervallum minden pontjában konvergens, akkor a sorozatot az I intervallumon konvergensnek mondjuk, f pedig az (fn )

függvénysorozat határfüggvénye. Az így értelmezett konvergenciát pontonkénti konvergenciának is szokták nevezni. Azok az x számok, amelyeknél a sorozat konvergens, a függvénysorozat konvergenciatartományát alkotják. Jelölés A határfüggvény jelölése: limn∞ fn = f . Deníció: Az (fn ) függvénysorozat az I intervallumon pontosan akkor konvergens, ha bármely  > 0-hoz és bármely x ∈ I helyhez van olyan N ter19 http://www.doksihu mészetes szám, hogy n > N és m > N esetén: |fn (x) − fm (x)| < . Deníció: Az (fn ) függvénysorozat az I intervallumon egyenletesen konvergens, vagy más szóval egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha tetsz®leges  > 0 számhoz található N = N (), hogy n > N esetén az I intervallumban lev® minden x-re |fn (x) − f (x)| < . Jelölés: egyenletes konvergencia: fn , f . A pontonkénti konvergenciánál láttuk, hogy az N küszöbszám függ -tól és x-t®l is. Az egyenletes

konvergenciánál viszont N függetleníthet® x-t®l, vagyis N minden x ∈ H esetén köszöbszám. Könnyen átgondolható az, hogy az egyenletes konvergencia er®sebb a pontonkénti konvergenciánál. Ebb®l a következ® állítást fogalmazhatjuk meg: Állítás: Ha (fn ) egyenletesen tart f -hez, akkor pontonként is. 20 http://www.doksihu 5. fejezet Hatványsorok Ebben a fejezetben az x paramétert tartalmazó (an (x − c)n ) alakú sorozatokból képezett végtelen sorokkal foglalkozunk, ezeket nevezzük hatványsoroknak. Itt sorozaton általában a nemnegatív egészek halmazán értelmezett függvényt értünk. Deníció: Az c = 0 hely körüli hatványsornak nevezzük a ∞ X an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn + n=0 alakú függvénysort. Az x = c körüli hatványsor: ∞ X an (x − c)n = a0 + a1 (x − c) + a2 (x − c)2 + . + an (x − c)n + n=0 Itt a c számot a hatványsor középpontjának, az a0 , a1 , a2 , ., an , valós számokat pedig a

hatványsor együtthatóinak nevezzük. 15. Tétel: Minden P∞ n=0 an xn alakú sorhoz van olyan 0 ≤ R ≤ ∞ érték, amelyre |x| < R esetén a sor abszolút konvergens, |x| > R esetén pedig a sor divergens. Ezt az R számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük Nézzük meg a következ® ábrát, ami a konvergencia illetve a divergencia tartományát próbálja szemléltetni: 21 http://www.doksihu Ezenkívül megjegyezzük még, hogy a konvergenciaintervallum végpontjaiban, vagyis x = R és x = −R helyeken külön meg kell vizsgálni, hogy a hatványsor konvergens-e vagy sem. A konvergenciaintervallum középpontját, konvergenciaközéppontnak is nevezhetjük Ezután térjünk rá arra, hogy egy hatványsor mikor lesz dierenciálható. 16. Tétel: Ha a P∞ n=0 an xn hatványsor konvergenciasugara R > 0, és összeg- függvénye f (x), akkor minden x ∈ (−R, R)-re fennáll, hogy f (x) dierenciálható és ∞ f 0 (x) = X n · an xn−1 .

n=1 Az el®z® tételhez még hozzáf¶zzük, hogy a hatványsor dierenciálását szabad tagonként végezni, mivel az a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn + hatványsor tagonkénti deriválásával nyert sor maga is hatványsor lesz: a1 + 2 · a2 x + . + n · an xn−1 + 22 http://www.doksihu 17. Tétel: Ha a P∞ n=0 an xn hatványsor konvergenciasugara R > 0, és összeg- függvénye f (x), akkor minden x ∈ (−R, R)-re fennáll, hogy f (x) tetsz®legesen sokszor dierenciálható és 0 f (x) = ∞ X (n + 1)an+1 xn , n=0 00 f (x) = ∞ X (n + 2)(n + 1)an+2 xn , n=0 . . f (k) (x) = ∞ X (n + k)(n + k − 1).(n + 1)an+k xn n=0 Következmény: Minden hatványsor az összegfüggvényének Taylor-sora, mivel az el®z® tétel szerint f (k) (x0 ) = k · (k − 1) · . · 1 · ak ak = f k (x0 ) valamint k! f (x0 ) = a0 . 23 azaz http://www.doksihu 6. fejezet Végtelen sorok és hatványsorok alkalmazásai 6.1 Mértani sor segítségével megoldható

példa Ez a példa azt próbálja bemutatni, hogy hogyan tudjuk eldönteni egy sor összegét és konvergenciáját. Példa: Határozzuk meg a ∞ X n 2n n=0 sor összegét (ha konvergens). 1. Megoldás: El®ször egy olyan geometriai módszert mutatunk be, amely akár általános iskolában is tárgyalható. Vezessük be a geometriai sor denícióját, mert kés®bb szükségünk lesz rá Deníció: A ∞ X a · qn n=0 alakú sort mértani (geometriai) sornak nevezzük. 18. Tétel: Az P∞ n=0 a · q n alakú mértani sor (a 6= 0 esetén) akkor és csak akkor konvergens, ha |q| < 1 és ekkor összege 24 a q−1 . http://www.doksihu Az ábra alapján világos, hogy az A1 , A2 , ., An , téglalapok területei éppen 12 , 212 , 21n , ., a B1 , B2 , Bn , téglalapoké pedig 1, 21 , , 21n , Viszont a bal oldali síkidomot eltolva a jobb oldaliba éppen az adódik, hogy a két síkidom területe megegyezik, azaz 1 1 1 1 1 1 + 2 + . + n + = 1 + + 2 + + n + 2 2 2 2 2

2 Viszont a jobb oldali sor egy a = 1, q = 21 paraméter¶ geometriai sor, így összege 2, tehát a példában lev® sornak is 2 az összege. 2. Megoldás: Írjuk fel a sort részletesen: 1 2 3 4 n + 2 + 3 + 4 + . + n + 2 2 2 2 2 Bontsuk fel a sort a következ®képpen: 1 1 1 1 + 2 + 3 + . + n + = 1 2 2 2 2 1 1 1 1 + 3 + . + n + = 2 2 2 2 2 1 1 1 + . + n + = 2 23 2 2 . . 25 http://www.doksihu A fenti sorok mind mértani sorok, így könnyen adódtak az eddigiek alapján az egyenl®ségek jobb oldalán szerepl® számok. Ha tekintjük a jobb oldali oszlop elemeit, azok a következ® végtelen sort adják: 1+ 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + . + n + = 1 · 2 2 2 2 1− 1 2 = 2, hiszen ez egy a = 1, q = 21 paraméterekkel rendelkez® mértani sor. Tehát a kérdéses sor konvergens, és összege 2. 6.2 Harmonikus sor segítségével megoldható példa Ezekután a harmonikus sorral kapcsolatban adok egy motiváló példát. Deníció: Harmonikus sornak nevezzük a következ® sort:

∞ X1 1 1 1 1 1 + + + + . + + = . 2 3 4 n n n=1 Valamint kimondok egy tételt, mert a következ® példa megoldásához szükségünk lesz rá. 19. Tétel: A P∞ 1 n=1 n harmonikus sor divergens. Ez a következ® képletb®l következik:  lim an = lim n∞ n∞ 1 1 1 + + . + 2 n  = ∞. A képlet ugyanis azt fejezi ki, hogy a harmonikus sor n-edik részletösszege a ∞-be tart, ha n ∞. Ezekután oldjuk meg a következ® példát. Példa: Egy autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén korlátlan mennyiség¶ üzemanyag van, a sivatagban jelenleg nincs Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lerakatokat készíthetünk. Adjunk meg egy olyan 26 http://www.doksihu eljárást, mellyel át tudunk kelni bármilyen széles sivatagon! Megoldás: 1 egységnek vegyünk 1 tankolásnyi benzint, és ezzel megtehet® utat is vegyünk 1 egységnek. Világos, hogy 1 egységnyi benzinnel 1 egység mélyen jutunk be a sivatagba. Mit csináljunk 2 egység

benzinnel? Tegyen meg 31 egység utat az autó, ott rakjon le 31 egység benzint és menjen vissza a maradékkal a kiindulópontra, vegye fel a második egység benzint és ismét induljon, vegye fel az el®bbi 13 egységnyi lerakatot, így még 1 egységgel távolabb tud jutni. Azaz 2 egységgel 1 + 31 egység mélyen hatol be a sivatagba. Nézzük, 3 egységgel hogy járhat el. 1 egység felvételével 15 egység út megtételével 53 egység benzint rakjon le és menjen vissza, majd ezt ismételje meg a második egység benzinnel, majd a harmadik egységgel indulva eljut a lerakatig, a tankban 45 és az ott lev® 65 egység benzinnel összesen 2 egység van a lerakatnál, ahonnan az el®z® módszerrel 1 + 31 egységgel mélyebbre tud hatolni, azaz így 3 egység benzinnel 1 + 13 + 51 egységnyi utat tesz meg. 1 Így folytatva, n egység benzinnel 1 + 13 + 51 + . + 2n−1 egységnyi távolságra juthat el, és mivel a harmonikus sor divergenciája miatt az 1 + 13 + 15 + . + 1 + .

sor is divergens, amib®l az következik, hogy bármilyen nagy M szá2n−1 1 >M mot is adunk meg, tudjuk n-et úgy választani, hogy 1+ 13 + 15 +.+ 2n−1 legyen, így bármilyen széles a sivatag, át tud rajta kelni. Be lehet látni, hogy 1 az el®bb kapott 1 + 13 + 51 + . + 2n−1 egység a legnagyobb távolság, ameddig az autó n egységnyi benzinnel eljuthat. 6.3 Hatványsorok alkalmazása a számelmélet témakörében Most egy szép alkalmazását mutajuk meg a hatványsoroknak. Ez az ún analitikus számelmélet témakörébe tartozik és lineáris felbontásnak (vagy pénzváltási problémának) nevezik. Azt a kérdést vetjük fel, hányféleképpen oldható meg a c1 x1 + c2 x2 + . + ck xk = n 27 http://www.doksihu egyenlet, ahol ci , xi (i = 1, 2, ., k) és n természetes számok? Más szavakkal az a kérdés, hogy hányféleképpen lehet egy n forintost felváltani c1 , c2 , ., ck címlet¶ bankjegyekre? Vagy n forintból hányféleképpen tudunk vásárolni c1 ,

c2 , ., ck címlet¶ bélyegeket A következ® példában ennek egy speciális esetét oldjuk meg Példa: Hány (x1 , x2 ) megoldása van az x1 + 2x2 = n egyenleteknek, ahol x1 , x2 , n természetes számok? Megoldás: Mivel a megoldások száma csak n-t®l függ, így jelölhetjük t(n)nel. Induljunk ki az alábbi hatványsorokból (|x| < 1): ∞ X xn = 1 + x + x2 + . + xn + = n=0 (*) ∞ X 1 = f1 (x), 1−x x2n = 1 + x2 + x4 + . + x2n + = n=0 1 = f2 (x), 1 − x2 ahol a kitev®k a c1 = 1 és c2 = 2 együtthatók többszörösei. Jelölje f (x) a fenti két függvény szorzatát, azaz legyen f (x) = f1 (x) · f2 (x) = 1 . (1 − x)(1 − x2 ) Az f (x) hatványsor kifejtésében minden tag xx1 · x2x2 = xx1 +2x2 = xn alakú lesz, hiszen (*)-ban a bal oldalak összeszorzásából ilyen tagok adódnak, és ilyen tag éppen annyi lesz, ahányféleképpen el®áll az x1 + 2x2 = n eset, azaz ahány megoldása van a kérdéses egyenletnek, más szóval, xn együtthatója

minden n-re megadja az t(n) értéket. Tehát f (x) hatványsor kifejtése f (x) = ∞ X n=0 28 t(n)xn . http://www.doksihu Feladatunk a t(n) értékek meghatározása. El®ször az f (x) = 1 (1 − x)(1 − x2 ) törtet bontsuk fel elemi törtekre az ismert módon, azaz adjuk meg az A, B, C számokat úgy, hogy 1 1 A C B = = + 2 2 2 (1 − x)(1 − x ) (1 − x )(1 + x) (1 − x) (1 − x) 1 + x teljesüljön. Hogy meghatározzuk az együtthatókat, szorozzuk végig a bal oldal nevez®jével: 1 = A(1 + x) + B(1 − x)(1 + x) + C(1 − x)2 . Itt, ha x helyébe rendre a −1, 1 és 0 értékeket helyettesítjük, akkor A = 21 , C = 41 , B = 14 adódik. Tehát f (x) = 1 1 1 1 1 1 · + · + · . 2 2 (1 − x) 4 (1 − x) 4 (1 + x) 1 Most feladatunk az xn együtthatóinak meghatározása. Ezért (1−x) 2 helyett 1 0 írjunk ( 1−x ) -t, hogy majd a megfelel® hatványsor tagonkénti deriváltjával könnyen meg tudjuk határozni az xn együtthatóit. Így f (x) a következ®

alakban írható fel: 1 f (x) = · 2  1 1−x 0 + 1 1 1 1 · + · . 4 1−x 4 1+x Mivel 1 = 1 + x + x2 + . + xn + 1−x  0 1 = 1 + 2x + . + (n + 1)xn + 1−x 1 = 1 + x + x2 + . + (−1)n xn + , 1+x ezért az xn együtthatóit összegy¶jtve, gyelembe véve az f (x) kifejezésében szerepl® együtthatókat is, t(n)-re a következ®t kapjuk: 1 1 1 t(n) = (n + 1) + + (−1)n · . 2 4 4 Ez a t(n) érték adja a példa megoldását. Például, ha n = 10, akkor t(n) = 6, ami azt jelenti, hogy 10 forintot 6 féleképpen tudunk kizetni 1 és 2 forintos érmékkel. 29 http://www.doksihu 6.4 Néhány ismert függvény Taylor-sora, azaz hatványsora Els®ként megjegyeznénk, hogy ha egy függvény el®áll egy hatványsor összegeként, akkor az csak a függvény Taylor-sora lehet, mert ha egy f (x) függvény hatványsorba fejthet®, akkor abból az következik, hogy akárhányszor dierenciálható. Továbbá a hatványsor n-edik együtthatója cn a következ® (n)

alakban áll el®: cn = f n!(a) . Ez pedig a Taylor-sor deníciója szerint azt jelenti, hogy az f (x) függvényt el®állító hatványsor nem más, mint az f (x) Taylor-sora. Ezek után írjuk fel néhány ismert függvény Taylor-sorát, azaz hatványsorát. ∞ X xn x x2 xn e =1+ + + . + + . = , 1! 2! n! n! n=0 x x ∈ R. ∞ X x2 x4 x2n x2n + + . + (−1)n + . = (−1)n , cos x = 1 − 2! 4! (2n)! (2n)! n=0 x ∈ R. ∞ X x3 x5 x2n+1 x2n+1 +. = (−1)n , sin x = x− + +.+(−1)n 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n=0 Ezek közül a sin x = ∞ X (−1)n n=0 x ∈ R. x2n+1 (2n + 1)! formulával foglalkozunk részletesebben. Példa: Bizonyítsuk be, hogy a sin x = ∞ X (−1)n n=0 x2n+1 (2n + 1)! minden valós x-re fennáll. Megoldás: Legyen f (x) = sin x és számítsuk ki az f (n) (0) deriváltakat. Mivel (sin x)0 |0 = cos x|0 = 1, (sin x)00 |0 = − sin x|0 = 0, 30 http://www.doksihu (sin x)000 |0 = − cos x|0 = −1, (sin x)iv |0 = sin x|0 = 0, ezért

ezekkel az együtthatókkal valóban a ∞ X x2n+1 sin x = (−1) (2n + 1)! n=0 n sor konstruálható meg, azaz a Taylor-sor: x− x2n+1 x3 x5 x7 + − + . + (−1)n + . 3! 5! 7! (2n + 1)! 6.5 Dierenciálegyenlet megoldása hatványsorokkal A következ® alkalmazásként dierenciálegyenletek megoldását fogjuk tárgyalni. Nagyon sok olyan dierenciálegyenlet van, amely a szokásos integrálással nem oldható meg olyan módon, hogy elemi függvények segítségével felírható legyen a megoldás. 6.51 Az els®rend¶ dierenciálegyenletek megoldása általános hatványsorok segítségével El®ször az els®rend¶ dierenciálegyenletek megoldásával foglalkozunk. Rögtön mutatunk is egy példát, hogy hogyan tudjuk megoldani hatványsorok segítségével. Példa: Határozzuk meg az y0 = 2x − y 1−x dierenciálegyenlet megoldását hatványsorok segítségével. Megoldás: Az f (x, y) = 2x−y függvény az x = 1 egyenes mentén nincs 1−x értelmezve, legyen

tehát x 6= 1. Tegyük fel, hogy az egyenlet megoldása y(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn + 31 http://www.doksihu alakú. Ekkor y 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . + nan xn−1 + Visszahelyettesítve a dierenciálegyenletbe (1 − x)(a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . + nan−1 xn−1 + ) = = 2x − (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . + an xn + ) A szorzást elvégezve és az egyenl® fokszámú tagok együtthatóit összehasonlítva: a1 = −a0 2a2 − a1 = 2 − a1 , ⇒ 3a3 − 2a2 = −a2 , ⇒ 4a4 − 3a3 = −a3 , ⇒ . . nan − (n − 1)an−1 = −an−1 ⇒ és így an = = = a2 = 1, a2 1 a3 = = , 3 3 1 a3 = , a4 = 2 6 an = n−2 an−1 , n n−2 (n − 2)(n − 3) an−1 = an−2 = n n(n − 1) (n − 2)(n − 3)(n − 4) an−3 = . = n(n − 1)(n − 2) (n − 2)(n − 3)(n − 4) · . · 2 · 1 a2 = n(n − 1)(n − 2) · . · 4 · 3 2 = , ha n ≥ 2. n(n − 1) Így a keresett hatványsor y(x) = a0 − a0 x + x2 + x3 x4 x5 2 + + + . + xn + . = 3 6 10 n(n − 1) a0 (1

− x) + ∞ X n=2 32 2 xn . n(n − 1) http://www.doksihu Nézzük meg, milyen x értékekre konvergens ez a sor. A Cauchy-féle hányadoskritériumot alkalmazva lim n∞ an+1 2xn+1 n(n − 1) · = lim = n∞ (n + 1)n an 2xn n(n − 1) = |x| n∞ (n + 1)n = |x| lim A sor tehát akkor konvergens, ha |x| ≤ q < 1. Ezután a példa után mutatunk egy olyat, aminek a megoldását megkeressük hatványsor alakban és Taylor-sor alakban is. Példa: Határozzuk meg az y0 = x + y dierenciálegyenlet általános megoldását hatványsor alakban. Megoldás: Feltételezzük, hogy a megoldás el®áll y = a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn + hatványsor alakban. Tagonkénti deriválás után: y 0 = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . + nan xn−1 Helyettesítsük be ezeket a dierenciálegyenletbe: a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 . = x + a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + , vagy másképp: a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + . = a0 + (a1 + 1)x + a2 x2 + a3 x3 + Ez pedig x-ben identikusan csak akkor állhat

fenn, ha x megfelel® hatványainak együtthatói mindkét oldalról megegyeznek, azaz a1 = a0 , 2a2 = a1 + 1, 33 http://www.doksihu 3a3 = a2 , 4a4 = a3 , . . Ebb®l következik, hogy a1 = a0 , a0 + 1 a2 = , 1·2 a0 + 1 a3 = , 1·2·3 a0 + 1 , a4 = 1·2·3·4 . . Tehát a0 + 1 2 a0 + 1 3 a0 + 1 4 y = a0 + a0 x + x + x + x + . = 2! 3! 4!   x2 x3 x4 + + + . − x − 1 = = (a0 + 1) 1 + x + 2! 3! 4! = (a0 + 1)ex − x − 1. 6.52 Az els®rend¶ dierenciálegyenletek megoldása Taylorsorokkal El®ször mutatunk egy példát, amely segítségével megoldunk egy els®rend¶ dierenciálegyenletet. Majd a második példában az el®z® alfejezet második feladatát oldjuk meg Taylor-sor módszerével. Megmutatjuk, hogy mindkét módszer során ugyanazt az eredményt kapjuk a dierenciálegyenletre. Példa: Határozzuk meg Taylor-sor segítségével az y 0 = 3x + y 2 dierenciálegyenletnek az y(0) = 1 feltételnek eleget tev® partikuláris megoldását! Megoldás: Esetünkben

x0 = 0, y0 = 1, f (x0 ) = y0 = 1. y 0 = f 0 (x) = 3x + y 2 , 34 g 0 (x0 ) = 1, http://www.doksihu y 00 = f 00 (x) = 3 + 2yy 0 , g 00 (x0 ) = 5, y 000 = f 000 (x) = 2(y 0 )2 + 2yy 00 , y IV = f (4) (x) = 6y 0 y 00 + 2yy 000 , y V = f (5) (x) = 6(y 00 )2 + 8y 0 y 000 + 2yy (4) , g 000 (x0 ) = 12, g (4) (x0 ) = 54, g (5) (x0 ) = 354, és így tovább. A megoldás tehát y = 1+ illetve 1 5 12 54 354 (x − 0) + (x − 0)2 + (x − 0)3 + (x − 0)4 + (x − 0)5 + ., 1! 2! 3! 4! 5! 5 9 177 5 y = 1 + x + x2 + 2x3 + x4 + x + . 2 4 66 Most pedig nézzük a már hatványsorral megoldott feladat levezetését Taylor-sorral. Példa: Határozzuk meg az y0 = x + y dierenciálegyenlet általános megoldását Taylor-sor alakjában. Megoldás: Feltesszük azt, hogy ha x = 0, akkor y(0) = a0 . Ekkor az adott dierenciálegyenlet szerint y 0 (0) = a0 . Képezzük az ismeretlen függvény magasabb rend¶ deriváltjait: y 00 = 1 + y 0 , y 000 = y 00 , y (4) = y 000 , y (5) = y 4 , . . 35

http://www.doksihu Behelyettesítve az x = 0, y(0) = y 0 (0) = a0 értékeket: y 00 (0) = a0 + 1, y 000 (0) = a0 + 1, y (4) (0) = a0 + 1, y (5) (0) = a0 + 1, . . Mivel y = y(x) Taylor-sora y(x) = y(0) + y 0 (0) y 00 (0) 2 y 000 (0) 3 y (4) 4 x+ x + x + x + ., 1! 2! 3! 4! ezért a mi esetünkben: a0 + 1 2 a0 + 1 3 a0 + 1 4 x + x + x + . = 2! 3! 4!   x2 x3 x4 + + + . − x − 1 = = (a0 + 1) 1 + x + 2! 3! 4! y = a0 + a0 x + (a0 + 1)ex − x − 1. 6.53 Másodrend¶ dierenciálegyenletek megoldása hatványsorok segítségével Az els®rend¶ dierenciálegyenletek megoldását megadó módszerek közül a hatványsorokkal történ® megoldás, a másodrend¶ dierenciálegyenletre is alkalmazható egyes esetekben. Erre mutatunk most példát Példa: Oldjuk meg a következ® másodrend¶ dierenciálegyenletet a mellékelt kezdeti feltételek mellett: y 00 + xy = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 1. Megoldás: El®ször azt hangsúlyozzuk, hogy itt nem foglalkozunk azzal, 36

http://www.doksihu hogy egyáltalán létezik-e megoldás, hány megoldás van és a megoldás milyen intervallumon elégíti ki az egyenletet, csupán egy formális módszert mutatunk meg. Keressük tehát a megoldást az y = a0 + a1 x + a2 x2 + . + an xn + hatványsor alakban. Tagonkénti deriválással az adódik, hogy y 00 = 2 · 1 · a2 + 3 · 2 · a3 x + . + n(n − 1)an xn−2 + Írjunk fel egy egyenletet is ezen hatványsorok segítségével: (2·1·a2 +3·2·a3 x+.+n(n−1)an xn−2 + )+x(a0 +a1 x+a2 x2 ++an xn +) = 0 Egyenl®vé téve a megfelel® fokszámú tagok együtthatóit 0-val, az alábbi egyenl®ségek adódnak: 2 · 1 · a2 = 0 3 · 2 · a3 + a0 = 0 4 · 3 · a4 + a1 = 0 . . n(n − 1)an + an−3 = 0 . . Ezekb®l az egyenletekb®l az együtthatókra az alábbi adódik: a2 = 0, a6 = − a3 = − a0 , 2·3 a4 = − a3 a0 = , 5·6 2·3·5·6 a1 , 3·4 a7 = − a5 = − a4 a1 = , 6·7 3·4·6·7 általában a3k a3k−1 = 0, a0 = (−1)k , 2 · 3 · 5

· . · (3k − 1)3k 37 a2 = 0, 4·5 http://www.doksihu a3k+1 = (−1)k a1 . 3 · 4 · 6 · . · 3k(3k + 1) Az a0 és a1 együtthatókat a kijelölt kezdeti feltételek határozzák meg. Nevezetesen y(0) = 0 ⇐⇒ a0 = 0, y 0 (0) = 1 ⇐⇒ a1 = 1. Tehát ebben a konkrét megoldásban akkor az együtthatók a következ®k lesznek: a3k−1 = 0, a3k = 0, a3k+1 = (−1)k . 3 · 4 · 6.3k(3k + 1) Így a megoldás: y =x− x4 x7 x3k+1 + − . + (−1)k + . 3·4 3·4·6·7 3 · 4 · 6 · .3k(3k + 1) Könnyen igazolható egyébként, hogy ennek a hatványsornak a konvergenciasugara végtelen, tehát minden x esetén abszolút konvergens a sor. Differenciálással igazolható, hogy ez a függvény valóban megoldása az adott egyenletnek. 6.6 Összegzés A dolgozat során bepillantást nyertünk a hatványsorokba és alkalmazásaikba. Az elején bevezettünk számos deníciót, tételt, amiket a dolgozat során felhasználtunk. Ezekután foglalkoztunk a

dierenciálszámítással, és a függvények Taylor-sorba fejtésével, majd bevezettük a sorokat és kimondtuk a különböz® konvergenciakritériumokat. Foglalkoztunk a függvénysorokkal, mert enélkül nem tudtuk volna deniálni a hatványsorokat. A hatványsorok áttekintése után tértünk át az alkalmazásokra, ahol a megértést segít® feladatokat mutattunk be. Itt láthattuk, hogy a hatványsoroknak milyen 38 http://www.doksihu szerteágazó lehet a használata. Láttunk példát arra, hogy hogyan tudjuk kiszámítani egy sor konvergenciáját mértani sor segítségével, majd hogy hogyan tudunk a sivatagban eljutni A-ból B-be, úgy hogy benzin lerakatokat készítünk. Bepillantást nyertünk a számelmélet témekörébe is Ebben a fejezetben azt néztük meg, hogy egy adott egyenletnek hány különböz® megoldása lehet. A következ® példa során áttekintettük azt, hogy hogyan tudjuk megadni egy függvény hatványsorát, azaz Taylor sorát. Az utolsó

alfejezetben foglalkoztunk a dierenciálegyenletekkel. Áttekintettük az els®és másodrend¶ dierenciálegyenleteket Néztünk olyan megoldást is, amit hatványsor-módszerrel és néztünk olyat is, amit Taylor-sor módszerrel is meg tudunk oldani. A dolgozat célja az volt, hogy bemutassa a hatványsorok széleskör¶ alkalmazását, nem kihagyva az alapfogalmakat, alaptételeket. 39 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Bárczy Barnabás Dierenciálszámítás M¶szaki Könyvkiadó, Budapest (2005) [2] Dr. Frey Tamás: M¶szaki Matematikai Gyakorlatok adó, Budapest (1965) Tankönyvki- [3] Bátkai András: Hatványsorok, függvénysorok ELTE kézirat [4] Bátkai András: ELTE kézirat Egyváltozós függvények dierenciálszámítása [5] Szilágyi Tivadar: Végtelen sorok, hatványsorok ELTE kézirat [6] Császár Ákos Végtelen sorok Tankönyvkiadó, Budapest (1988) [7] Németh József El®adások a végtelen sorokról Poligon, Szeged (2002) [8] Obádovics J.

Gyula,Szarka Zoltán Fels®bb matematika Scolar kiadó, Budapest (2002) [9] Denkinger Géza Analízis Tankönyvkiadó, Budapest (1987) [10] Urbán János Határértékszámítás (2004) M¶szaki Könyvkiadó, Budapest [11] Dr. Bajcsay Pál Közönséges dierenciálegyenletek I-II Tankönyvkiadó, Budapest (1965) 40 http://www.doksihu [12] Scharnitzky Viktor Dierenciálegyenletek M¶szaki Könyvkiadó, Budapest (2003) 41