Matematika | Analízis » Keszthelyi Gabriella - Az agyi elektromos tevékenység matematikai elemzése

http://www.doksihu Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Keszthelyi Gabriella Az agyi elektromos tevékenység (EEG) matematikai elemzése BSc szakdolgozat Témavezető: Tóth Árpád egyetemi docens Analı́zis Tanszék Budapest, 2009 http://www.doksihu Tartalomjegyzék Bevezetés 2 A kezdetek 3 Mi is történik.? 4 Diszkrét Fourier Transzformáció 7 Gyors Fourier Transzformáció 19 Diszkrét Wavelet Transzformáció 22 Utószó 30 Irodalomjegyzék 31 1 http://www.doksihu Bevezetés Az agyi elektromos tevékenység vizsgálata régóta foglalkoztatja a tudósokat. A XX század hajnalán, az első kísérletek után vérmes reményeket fűztek az agyi tevékenység vizsgálatához. A laikusok gondolatolvasásban reménykedtek, hogy misztikusnak vélt pszichés funkciók válnak realizálhatóvá, de még a tudós emberek is azt gyanították, hogy az agyban lejátszódó folyamatokról világos képet kapnak majd ezután.

Ennél szerényebb, de nem elhanyagolható eredmények születtek ezen a területen: az EEG-regisztrátumok nagyban segítettek bizonyos agyi rendellenességek, diszfunkciók feltérképezésében (pl.: epilepszia), a betegségek korai felismerésében, a diagnózis felállításában. Manapság teljesen bevett szokás az EEG (elektroenkefalográfia), vagy MEG (magnetoenkefalográfia) használata. Ha nem csak a betegségekre vonatkoztatjuk, az elektroenkefalográfia egyszerűen az agyban lejátszódó idegi tevékenységeket, kognitív folyamatokat segít feltérképezni. Ennek az eljárásnak erős matematikai háttérre van szüksége, hogy a bemenő adatokból következtetéseket lehessen levonni, másrészről egy megfelelő struktúrába illeszthessük az agyban lejátszódó idegi tevékenységeket. Rengeteg megközelítése, ha úgy tetszik modellje van az EEGnek Általában az agyban regisztrált feszültségkülönbségek, mint időbeli jelek ábrázolása, feldolgozása a

cél a matematikusok számára. Többféle motiváció létezik, különböző szempontok vezérelték a különböző módszerek megalkotóit. A neurális tevékenység leírása bonyolultabb, mint más szervek modellezése. Jelentősen megnehezíti a rendszer leírását a sztochasztikus, kaotikus elemek, ennek következtében ütötte fel a fejét egy friss elmélet: Lorenz-attraktorokkal, bifurkációkkal, periodikus és aperiodikus trajektóriákkal van kikövezve a dinamikai rendszerekhez vezető út, amely messzemenően túlfeszíti ennek a tanulmánynak a kereteit. Ennek a szakdolgozatnak a célja az EEG-jelek leírása, feldogozása abban az esetben, amikor a folyamatot lineárisnak tekintjük. Bár ez egy egyszerű, és világos célnak tűnik első ránézésre, mégis ki fog derülni, hogy sok szempont szerint kezelhetjük a jeleket, ilyen például a feldolgozás gyorsasága, a tömöríthetőség kérdése, vagy éppen ezek feláldozása, annak érdekében, hogy minél

részletesebben elemezhessük a szignált. Főbb kulcsszavak a Diszkrét Fourier Transzformáció és a Diszkrét Wavelet Transzformáció. Jelen írásomban egy olyan határterületre szeretném elkalauzolni az Olvasót, amely revideálja, vagy alátámasztja eddigi elképzeléseit arról, hogy a matematika valóban a Természet nyelve, amely alkalmazható arra, hogy jobban megértsük törvényeit. Ennek érdekében biológiai és fizikai interpretációra építkezem, de a dolgozat nyomokban tartalmaz felsőbb matematikát is, melyet korábbi tanulmányaimból, valamint aktuális matematikai cikkekből illetve könyvekből merítettem. Ajánlom bármely tudomány iránt elkötelezett, vagy csupán érdeklődő Olvasónak 2 http://www.doksihu A kezdetek Az első EEG-elvezetést Hans Berger nevéhez kötik, aki az 1920-as években foglalkozott az ember agyi tevékenységének vizsgálatával, továbbfejlesztve Richard Caton úttörő módszereit, aki a XIX. század végén

nyulakon kísérletezett Berger először ezüst drótokat ültetett páciensei fejbőre alá, (egyet a koponya elülső, egyet a hátsó részére,) később finomította módszereit, és már a fejen kívül folytatta kísérleteit: az elektródákat a páciensei fejére erősítette gumiszalaggal. Siemens galvanométerével regisztrálta feszültségingadozást, amit folyamatosan rögzített, és elektroenkefalogrammnak nevezte el. Első tudományos munkája 1929-ben jelent meg az EEG-ről, ez irányította rá a figyelmet erre a kutatási területre. A tudósok eleinte az alapjelenségek tanulmányozásával foglalkoztak, spontán agyi felvételeket készítettek, azaz nyugalmi állapotban, vagy alvás közben figyelték meg a pácienseket. Megkülönböztettek bizonyos hullámokat, mint például az alfa hullámot, (amit Berger-hullámnak is neveznek,) a valamivel „gyorsabb” béta-hullámoktól. Próbálták nyomon követni a normális ill abnormális agy jellemző hullámait,

és már akkor felmerült az agyi betegségektől - mint például az epilepsziától szenvedő betegek EEG-megváltozásainak leírása. Nagy tudásanyag gyűlt össze az évek folyamán az egyes idegrendszeri betegségek EEG-diagnosztikájában. A hagyományos EEG-elemzés sokáig nem változott, az agyi elektromos tevékenység időbeli és térbeli jellemzőinek grafikus megjelenítése - a tradicionálisan meghatározott frekvenciatartományok alapján - egészen a 60-as években jelentkező digitális jelfeldolgozásig tartotta magát. A digitális jelfeldolgozás kezdetével köszöntött be az EEG matematikai kezelésének fénykora. Előtte a papírra kinyomtatott jelekkel nehézkesen lehetett bánni, míg a digitális jelek programokkal (pl. Matlab) való vizsgálata nagyságrendekkel kiszélesítette a feldolgozások lehetőségeinek palettáját. A számítógépes feldolgozás vezetett a kvantitatív EEG (QEEG) megalkotásához A QEEG során a digitális EEG-jeleket

Fourier-transzformáljuk, és az egyes frekvenciasávok jelenléte az úgynevezett frekvencia-spektrumok alapján pontosan meghatározható. A frekvenciasávokat a következőképpen szokták osztályozni: 1. Delta hullámok: 3,5 Hz alatt, mély alvásban, gyermekkorban, és súlyos agyi betegségnél jellemző. 2. Theta hullámok: 4-7 Hz között, főleg gyerekkorban fordul elő, felnőtteknél nagy érzelmi stressz esetén. 3. Alfa hullámok (Berger-hullámok): 8-13 Hz között, ébrenlét, nyugalmi állapot jellemző hulláma. 4. Béta hullámok: 13-30 Hz között (alacsony amplitúdó), mentális aktivitásnál erősödik fel Az így keletkező frekvenciaspektrumokból sok információt ki tudunk olvasni az agyi tevékenységekre nézve. 3 http://www.doksihu 1. Ábra Ha Fourier Transzformációt alkalmazunk, elengedhetjük a fantáziánkat, nem kell csupán csak a hullámok osztályzására korlátozni erőinket, némi képi eszköztárral felszerelve gyönyörűen tudja

ábrázolni az agyi tevékenységet, mint EEG topográfiát (térképek az agyról, a tevékenység függvényében változó színekkel ábrázolva, 2. Ábra) 2. Ábra 4 http://www.doksihu Mi is történik.? A testünket neuronhálózat szövi át, amit idegrendszernek nevezünk. Az idegrendszer idegsejtekből épül fel, ezek képesek kommunikálni, és így az agyból érkező ingereket továbbítani. Az ingerületátvitelt, illetve a sejt közötti kapcsolódási helyeket, amelyeken keresztül az ingerület egyik sejtről a másikra terjed át, szinapszisnak nevezzük. Szinapszist általában az egyik neuron axonja (sejttest) hoz létre a másik neuron dendritjével (idegvégződés). Amelyik hozza az ingerületet, az a preszinaptikus, amelyik viszi tovább, az a posztszinaptikus. 3. Ábra A szinapszis során a két idegsejt nem érintkezik, az ingerületet vegyi anyagok (neurotranszmitterek) továbbítják. Ha odaér az ingerület, a preszinaptikus ideg vegyi anyagokat

választ ki, átjutnak a résen és ingerelik a posztszinaptikus ideget. Az ingerület itt csak egy irányban haladhat, ám neurotranszmitterek mindkét irányban haladhatnak. A visszafelé irányuló transzmissziónak általában szabályozó szerepe van. A neuronok rendelkeznek egy alapvető potenciállal, amely a külső illetve belső sejtmembrán közti feszültségkülönbséggel magyarázható, ezt nevezzük nyugalmi membrán-potenciálnak. Ennek nagysága [-90,-40] mV A sejt belsejében 20-30 mV töltéstöbblet keletkezhet a szinapszis során. Az idegsejteknek ezek a potenciálváltozásai önmagukban nem észlelhetők, de sok együtt már kilendíti a voltmérőt, ezeket feszültségváltozásokat a Volt milliomod részével (µV) mérjük. A neuronok akciós és gátló tevékenységei egymás hatását erősítve létrehozhatnak egy EEG-görbét. A hullámokat alakító tényezők: az alany életkora, éberségi szintje, egészségi állapota. Sok funkcionális változásra

érzékeny az EEG, ilyenek a szemmozgás vagy izommozgás, ezek úgynevezett műtermékei az EEG-nek, amiket célszerű kiszűrni. Ha szemléletesen akarjuk ismertetni ezt a módszert, arra kell gondolnunk, mintha egy nagyváros fölé mikrofonokat helyeznénk el, és abból a nagy zajból szeretnénk érdemi információkhoz jutni. Először megpróbáljuk kiszűrni az autók zaját, aztán az emberi hangokat is 5 http://www.doksihu megpróbáljuk megkülönböztetni, de mindig csak egyszerre hallunk sok embert beszélni, ezért az ő mondókájukat átlagoljuk. Körülbelül ilyen torzulásokon mennek keresztül az agy üzenetei, mire digitális formában látjuk őket. Mégis, ha nagy tüntetés van a városban, esetleg tűzvész tör ki, azt ilyen eszközökkel is észrevesszük. Hogyan is lesz ebből egy jel? A fejen elektródákat helyezünk el, amiken mérjük a feszültséget. Mivel nekünk feszültségkülönbségekre van szükségünk, ezért nem árt tisztázni, hogy

miknek a különbségét vesszük. Alapvetően kétféle módszer alakult ki, egyik a bipoláris elvezetés (4. ábra), amikor a szomszédos pontok közötti feszültségkülönbséget mérjük, a másik a monopoláris (5. ábra), amikor van egy referenciapontunk, és mindig az attól való eltérést mérjük 4. Ábra 5. Ábra Általában a bipoláris elvezetést szokták használni klinikai, diagnosztikai vizsgálatokra, a monopolárist pedig kutatási célokra. Jól látszik az ábrán, hogy a bipoláris sokkal alkalmasabb lokális vizsgálatokra, hiszen a szomszédos területeket tudjuk összehasonlítani, ezért szokták diagnosztizálásra (epilepszia fókuszának meghatározása) inkább ezt használni, míg a monopoláris inkább egy általános képet ad az agyműködésről, ez kutatásokra alkalmasabb. A jelfeldolgozásnál hasonló szempontokat kell figyelembe vennünk, attól függően, hogy mit szeretnénk, milyen információval szolgáljon a jel. Amikor egy

általános képet szeretnénk az agyműködésről, akkor kitűnő választás a teljesítmény-sűrűség vizsgálat, Fourier Transzformációval. Amikor lokálisan szeretnénk elemezni az agyműködést (például epilepsziás vizsgálatok esetén), akkor a Wavelet Transzformáció tűnhet kedvező megoldásnak. 6 http://www.doksihu Diszkrét Fourier Transzformáció A teljesítmény-sűrűség vizsgálat a következőképpen zajlik: van egy folytonos szignálunk, nevezetesen a feszültégkülönbségek minden időpontban, ebből mintavételezünk, egyenletes közökkel. A Diszkrét Fourier Transzformáció- ahogy a neve is mutatja- diszkrét bemenettel dolgozik. A transzformáció a jelet felbontja különböző frekvenciájú komponensek (tehát különböző periódusú trigonometrikus függvények) összegére, így megtudjuk, hogy milyen frekvencia dominál a jelben, és akár bizonyos frekvenciákat szűrni is tudunk ezáltal. Ahhoz, hogy ezt meg tudjuk tenni

hallgatólagosan stacionáriusnak feltételezzük a jelet, nem koncentrálva az időbeli történésekre. A Fourier Transzformáció nem követi időben a jelet, hanem általánosabban kezeli, lássuk hogyan teszi ezt. Először is definiáljuk a következő halmazt : ℤ n ={0,1 , . N −1} Legyen z vektor : [ ] z 0 z 1 z= . z  N −1 ahol z  j a z vektor j. komponenese l 2  ℤn  = {z ∈ℤ N : z  j ∈ ℂ , ∀ 0 ≤ j ≤ N −1} ami a szokásos komponensenkénti összegre , és skaláris szorzásra vektorteret alkot ℂ felett. Jelöljük az euklideszi bázist : E = {e 0, e 1, . e N −1}− vel , ahol e j n =1, ha n= j és e j n =0 ha n ≠ j. A komplex skaláris szorzás l 2 ℤ N  −en : N −1 〈 z , w〉 = ∑ z k  w  k  k =0 és a szokásos norma :  N −1 ∥z∥=  ∑ ∣z  k∣2 k =0 7 http://www.doksihu Megjegyzés: z ⊥ w ⇔ 〈 z , w〉=0 Létezik pontosan egy

kiterjesztése z-nek minden egész számra a következőképpen: ∀ j∈ℤ z(N+j) = z(j) z(j) csak j N-el vett osztási maradékától (j mod N) függ, tehát z periodikus N-re nézve. Vezessük be az {E 0 , E 1 , . E N −1 } bázist: Ahol a bázisvektorok a következőképpen vannak definiálva: 1 E 0 n= N 2  in 1 E 1 n= eN N n = 0, 1, N-1 ⋮ 2 inm 1 N e E m  n= N Tétel: {E 0 , E 1 , . E N −1 } ortonormált bázis l 2 ℤ n -ben. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy j , k ∈ {0,1 ,. N −1} Ekkor N−1 〈 E j , E k 〉= 1 N N −1 ∑e ∑ E j n E k n  ijn ijn −2  N N n=0 1−e 1−e mivel Tehát 2 2 i n=0 1 = N N −1 ∑ e 2 i = 1 ∑ N e  2 i  j −k  n N  n=0 = 1 N =0  j−k  N N  =1 2 ijn N ha j≠k {E 0 , E 1 , . E N −1 } ortonormált bázis l 2  ℤn  -ben 8 1 N n=0  j −k  N N  j−k  2 i N e N

−1 e 2 ikn N = N −1 ∑ e0=1 n=0 ha j=k http://www.doksihu Megjegyzés : N −1 2 Ha z , w ∈ l  ℤ N  , akkor felírható ebben a bázisban: z= ∑ 〈 z , E m 〉 E m . m=0 valamint N −1 〈z , w〉 = ∑ 〈 z , E m 〉 〈w , E m 〉 m=0 és N −1 〈 z , Em〉 = 1 ∑ z n  N e 2 n=0 imn N = 1 N N −1 ∑ z n e −2  imn N n=0 Definíció: Tegyük fel, hogy z = z 0 , z 1 , . , z  N −1 , ∈ l 2 ℤ n , m=0,1 , , N −1, legyen N −1 z m= ∑ z ne −2 imn N ahol z ma z m. komponsene n=0 z = z 0, z 1 ,. , z  N −1 Tehát z ∈l 2  ℤN  Az így definiált operátort , amely l 2  ℤN  l 2 ℤ N  , és z−t z −be viszi , Diszkrét Fourier Transzformációnak  DFT  nevezzük. Megjegyzés: 1. 2. z  m=〈 z , E m 〉  N N −1 ∑ z n e −2 i 

mN  n N n=0 N −1 = ∑ z n e−2 imn/ N e−2 iNn/ N = z m n=0 Azaz periodikus N szerint. Tétel: Legyen z= z 0 , z 1 ,. , z  N −1 , w=w 0 , w 1 , , w  N −1 ∈ l 2 ℤn  , ekkor 9 http://www.doksihu I. Fourier inverziós formula 1 z n= N N −1 ∑ z me 2 imn/ N n=0,1 , . N −1 m=0 II. Parseval -egyenlőség 1 〈 z ,w 〉 = N N −1 ∑ z m w m= 1N 〈 z , w〉  m=0 Bizonyítás: A fenti definícióba való behelyettesítéssel: N −1 N −1 m=0 m=0 z n= ∑ 〈 z , E m 〉 E m n  = I. ∑ N −1/ 2 z m N −1/ 2 e 2 imn / N N −1 〈 z , w〉 = II. ∑ 〈 z , E m〉 〈 w , E m〉 m=0 N −1 = ∑ N −1/2 z m N −1/2 w m m=0 Definíció: 1 2 imn / N e N F ={F 0 , F 1 , . F N −1 } F m n= m=0,1 , . N −1 F Fourier−bázis l 2 ℤ N −ben [ ][ ] [ ]

F 0  0 F 1 0 F N −1 0 F = F 0 1 , F 1 1 ,  F N −1 1 ⋮ ⋮ ⋮ F 0  N −1 F 1  N −1 F N −1  N −1 Megjegyzés: 1. F m=N −1/ 2 Em N −1 2. z = ∑ z m F m m=0 3. z =[ z ]F A z  m komponensek a DFT −ben a z −nek komponensei Fourier bázisban. (Azaz z-t a Fourier-bázisban reprezentáltuk.) 10 http://www.doksihu Megjegyzés : DFT −t mint mátrixot is tudjuk reprezentálni. Az egyszerűség kedvéért : N := e−2 in / N e−2 imn/ N := mn N ennek alapján e 2 imn/ N = −mn N jelölésből adódóan N −1 z m = ∑ z nmn N n=0 WN [ 1 1 1 1 2 1 N N 3N = 1 2N  4N 6N ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ N −1 2 N −1 3  N −1  1 N N N Tehát a mátrix általános eleme  m , n =  N m. komponense W N z−nek : ⋯ 1 ⋯  NN −1 ⋯ 2N N −1 ⋱ ⋮ N −1 N−1 ⋯ N ] mn N −1 N

−1 n=0 n=0 ∑ m , n z n= ∑ z nmnN Azaz : z =W N z A z-t eddig a fentebb definiált E bázisban írtuk fel, a WN úgy is felfogható, mint a bázisváltó-mátrix E és F között. Definíció: 2 Legyen w = {w 0 , w 1 , , w  N −1} ∈ l  ℤN  , w i ∈ ℂ ∀ i N −1 1 ∑ w  m e 2  imn / N n=0,1 , . , N −1 N m =0 w = {w 0 , w 1 , . w  N −1} w n = A ˇ leképezés:  l 2  ℤN  l 2 ℤ N  , amely w−t w−be viszi , Inverz Diszkrét Fourier Transzformációnak  IDFT  nevezzük. 11 http://www.doksihu Következmény:   z n=z n   z =z  w=w n=0,1 , . , N −1 Azaz a DFT invertálható leképezés. N −1 z = ∑ z m F m m =0 Definíció: Frekvencia: f = 1/T ahol T a függvény periódusa , f : ℝ ℂ periodikus , vagy periodikussá kiterjesztett. Mivel Fm(n) =1/N e 2 itm n / N

, az Fm-eket tiszta frekvenciáknak nevezzük. N −1 z  n = ∑ z m F m  n m=0 A z(n) egy időben futó jel, (tegyük fel, egyenletes időközű mintavétel) és z(n)-t megkaphatjuk tiszta frekvenciák lineáris kombinációjaként, minden egyes n-re. Annak jelentősége, hogy a digitális jel frekvenciákon van értelmezve, az EEGfeldolgozásban igen nagy: így könnyen kiszűrhetővé válnak bizonyos frekvenciák, így a műtermékek: a szemmozgás, izommozgás, valamint az egyéb külső zajok. z  m az m. tiszta frekvencia együtthatója, azaz z  m határozza meg egy adott frekvencia súlyát a jelben. Gyakran szokták z  m argumentumát is vizsgálni, ez a jel fázisa z  m abszolút értéke a komponens frekvenciájának erőssége z-ben, | z  m | a amplitúdóspektrumnak is nevezik. Ha z-nek megvan az a tulajdonsága, hogy | z  m | nagy az N/2 közeli m-ekre, akkor z-nek erős magas-frekvenciájú

komponensei vannak. Ha | z  m | nagy az intervallum széleihez közel eső m-ekre, akkor z-nek erős alacsony frekvenciájú komponensei vannak. Hogyan is jutunk erre az eredményre? Ahhoz, hogy ez világossá váljon, előbb egy technikai problémát kell tisztázni. Vizsgáljuk meg az e 2 im n /N függvényt, az Euler-képlet alapján felbomlik a következőképpen: e 2  imn/ N = cos 2  mn/ N i sin 2  mn/ N  Rögzítsük most m-et paraméterként. N a felosztás, n=0,1N-1 értékeket felvehető változó Ekkor ha csak a valós részét vizsgáljuk a függvénynek, akkor azt vehetjük észre, hogy m=1-re ez egy teljes (2π) periódust befutó koszinusz függvény diszkrét változata. m=2-re már fele akkora periódusú koszinusz t kapunk, azaz két teljes hullám fér el az intervallumon, és így tovább, azaz növekedő m-ekre növekedő frekvenciákat kapunk. Az imaginárius rész hasonlóan viselkedik 2 im n /N Viszont e -et ugyanúgy

tekinthetjük az m mint ahogy az n függvényének. Így tekintve erre a függvényre már nem állapíthatjuk meg, hogy nagyobb m-ekre magasabb frekvenciát produkálna a függvény, hiszen m=N-re ugyanazt kapjuk, mint m=0-ra. Azonban tekintsük most a 2 im t / N valós t változóval a függvényt. e egyre magasabb frekvenciát tud produkálni, ahogy m 12 http://www.doksihu nő. De jelen esetben nekünk t helyett n egészünk van csak, és ez az oszcilláció nem megy már − 2i0 n /N végbe az egészek között, ami megmagyarázza, hogy e hogy lehet azonos az − 2iN n /N függvénnyel (ami egyébként az azonosan 1 függvény). e Látható, hogy a zavar az n egészértékűségéből ered, ennek igazolásáért vizsgáljuk most meg m és N arányát: ha m 0 és N/2 közé esik, akkor egyre erősebben oszcillál ( magas frekvenciájú tagokat reprezentál), ha N/2 és N-1 közé, akkor legyen k = N-m, kihasználva a periodicitást: e 2 im n / N = e 2 in  N

−k /N = e−2 in k / N = cos 2 nk / N - − i 2  nk / N  cos(2πnk/N) isin(2πnk/N) Tehát ha m N-hez közelít, akkor N-m 0-hoz, így visszavezettük a kis m-ek esetére. Minél közelebb esik m az N/2-höz annál nagyobb a frekvencia, ám ha az intervallum valamelyik végéhez közeli számnak választjuk, az alacsony frekvenciát produkál. Tehát m=N/2 személyében megkapjuk a legmagasabb frekvenciájú függvényt, amit m/N képes produkálni, nevezetesen cos(πn)+isin(πn) n=0,,N-1, ezért fontos, hogy a mintavételezés száma (N) legalább kétszerese legyen az eredeti függvény legmagasabb frekvenciájának, ahogy azt Shannon mintavételi törvénye is kimondja. Shannon− Nyquist mintavételezési tétel : Ha f : ℝℂ  f a Fourier transzformáltja , és f kompakt tartójú supp f ⊂[−B , B ], akkor az f n  t meghatározza f −et , ha  t1/ 2B. A bizonyítás túlmutat a dolgozat keretein. Mi történik, hogyha a

mintavételezés nem elég sűrű? Ha a mintavételi függvény frekvenciája kisebb, mint az eredetié, akkor nem csak lemaradnak a nagyobb frekvenciájú tagok, hanem alacsonyabb frekvenciájúak formájában jelentkeznek „rejtve” (6. ábra), ez az aliasing jelensége („alias” = álnéven) A szokványos EEG regisztrátum nem tartalmaz 50 Hz feletti frekvenciakomponenseket, ezért a 100 Hz-cel történő mintavételezés (mintavételi idő 10 ms) általában kielégítő. Ahogy azt eddig sikerült tisztázni, a jel csak egy függvény, ha analóg, akkor valós számegyenesen van értelmezve, ha digitális, akkor egész számokon. Egy ℂ N −beli vektorra lehet úgy gondolni, mint egy N ponton értelmezett függvényre, azaz mint egy jelre. Rendszernek nevezzük azt, ami transzformálja a bemenő jelet egy kimenő jellé (analógból digitálissá) – tehát egy rendszer egy transzformáció. Most lássuk mit is várunk egy ilyen T transzformációtól? Ideális esetben a

jel felerősítése lineáris: először is két jel összegének felerősítése megegyezik azzal,ha egyenként felerősítjük és összeadjuk őket ( T(u+v)= T(u)+T(v)). Ha a bemenő jelet valamilyen skalárszorosára erősítjük, akkor a kimenő jel is annyiszorosára erősödjön (T(c*u) = c*T(u)).Ezek az ideális tulajdonságai a jelerősítésnek A valóságban ha egy elég nagy tényezővel szorozzuk be a jelet – amennyit már a rendszer nem bír el, akkor a kimenő jel 0 lesz. Ugyanakkor általában egy jó erősítő közel áll a lineárishoz. Ez már elegendő ahhoz, hogy matematikailag megalapozzuk a rendszert. Még egy természetes elvárás, hogyha késleltetünk egy bemenő jelet, akkor a kimenő jel is késlekedjen – ugyanolyan mértékben. Más szavakkal: a rendszer legyen stacionárius – invariáns az eltolásra (időben) 13 http://www.doksihu 6. Ábra 14 http://www.doksihu Definíció : Eltolásnak nevezzük azt a transzformációt , amire a

következő teljesül :  R k z =z  n−k  ∀ n ∈ℤ Tétel :  Rk z  m = e −2  imk / N z m Bizonyítás : N −1 N −1 n=0 n=0 −2 imn/ N =  Rk zm= ∑  R k zn e ∑ z  n−k e−2 imn / N Vezessünk be új változót helyettesítéssel : l=n−k  Rk zm = N −k−1 ∑ z l e N −k−1 z l  e z l e−2 iml / N N szerinti periodicitását : N −k −1 −1 −2  iml / N ∑ l =−k kihasználva z l  és e ∑ = e −2 imk / N l =−k −2  iml/ N N −k −1 −2 im lk / N = l =−k ∑ −2  im l N / N z l N  e  l =−k ∑ z l e−2 im l / N l =0 Legyen az első szummában n=l N , a másodikban pedig n=l N −k −1 ∑ z  ne −2 im l / N N −1 ∑ = l =−k N −1 −2  imn / N z  n e n=N −k N −k −1  ∑ z  ne−2

im n/ N = n=0 ∑ z  n e−2  imn / N n=0 Legyen k ∈ℤ tetszőleges. Ekkor valamilyen r egészre k =krN Így l =l−rN helyettesítéssel N −k −1 N −k −rN −1 ∑ z l  e ∑ z l  e−2  iml / N l =−k N −k −1 −2  iml / N = ∑ z l rN  e−2 im l rN / N = l =−k−rN l =−k Így a bizonyítandó állítást kaptuk. 15 http://www.doksihu Definíció : Legyen T : l 2  ℤN  l 2 ℤ N  egy lineáris transzformáció. T eltolás−invariáns , ha T  R k z = R k T  z  2 ∀ z∈l  ℤ N −re és k ∈ℤ−ra. Definíció : z , w ∈l 2 ℤ N  a konvolúció z∗w ∈l 2 ℤ N  egy vektor a következő koordinátákkal : N −1 z∗w m= ∑ z m− n w n n=0 ∀m Definíció : Tegyük fel , hogy b ∈l 2  ℤ N  . Definiáljuk a T b : l 2  ℤN   l 2  ℤN  leképezést : T b  z  = b∗z ∀ z ∈ l 2

ℤ N  . Minden T transzformációt , ami T = T b alakú , valamilyen b ∈ l 2  ℤN −re , konvolúciós operátornak nevezzük. Lemma : 2 Legyen b ∈l  ℤN  és legyen T b a b− re koncentrált konvolúciós operátor . Ekkor T b eltolás−invariáns. Bizonyítás : Legyen z ∈l 2  ℤN  , k ∈ℤ . Ekkor ∀ m N−1 T b  Rk z  m = b∗ Rk z  m = ∑ b  m−n  R k z  n n =0 N −1 = ∑ b m−n z  n−k  = n=0 Vezessük be az l= n−k indexet : N −1− k = ∑ N −1 b m−k −l z  l  = l =−k Azaz T b ∑ b  m−k −l  z l  l =0 = b∗z  m−k = Rk b∗z  m = R k T b  z  m eltolás−invariáns. Definíció : Definiáljuk  ∈l 2 ℤ N  a következőképpen : 16 = = http://www.doksihu { Lemma : ∀ w ∈ l 2  ℤN −re   n= 1 0 w∗ = w ha n=0 ha n=1,2 , . , N −1 } Ugyanis :

N −1 ∀ m ∈ ℤN  w∗ m = w  m−n  n=w n ∑ n=0  n=0 kivéve ha n=0, mert akkor  0=1. Alapvető fontosságú a következő tétel, ami azt mondja ki, hogy a konvolúció a Fouriertranszformációt követően jelentősen leegyszerűsödik: szorzattá alakul. Tétel : Tegyük fel , hogy z , w ∈ l 2 ℤ N . Ekkor ∀ m−re   z∗w m=z  m w  m Bizonyítás : N −1 N −1 N −1 n=0 n=0 k =0   z∗w m= ∑  z∗wn e−2 imn/ N = ∑ ∑ z  n−k  w k e−2 im n/ N N −1 N −1 = ∑ ∑ z n−k  w  k  e−2 im n−k / N e−2  imk / N = n=0 k =0 N −1 = −2 imk / N ∑ wke k =0 N −1 ∑ z  n−k  e−2  mn−k / N n=0 legyen l = n−k ,ekkor a második szumma a következőképp alakul : N −1 ∑ z  n−k  e −2  im n−k / N n=0 N −1−k = ∑

−2 i ml/ N z l  e l =−k N −1 = ∑ z l  e−2  iml / N l =0 Helyettesítéssel : N −1   z∗w m= ∑ w  k  e k =0 −2 im k / N N −1 ∑ z l  e−2  ml / N =z m w m l =0 17 = http://www.doksihu Definíció: Legyen m ∈l 2 ℤ N  . Definiáljuk H m  −et a következőképpen : H  m : l 2 ℤ N   l 2 ℤ N  H m  z = m z  Ahol m és z szorzása komponensenként történik : m z  n = m  n z n H m  −et Fourier −szorzóoperátornak nevezzük. Megjegyzés : N −1 N −1 k=0 k =0 H m  z = ∑  H m  z k  F k = ∑ m  k  z k  F k H m  a k −adik DFT együtthatót  z  k −t  szorozza m  k −val , innen a Fourier − szorzóoperátor elnevezés. Lemma : 2 2 Legyen H : l ℤ N l  ℤN egy lineáris

transzformáció. Ekkor H egy Fourier−szorzóoperátor 2 H m  valamilyen m ∈ l  ℤN −re , akkor és csak akkor , ha H mátrixa a Fourier−bázisban diagonális. Bizonyítás : Legyen H  m egy Fourier−szorzóoperátor. Definiáljunk egy D N × N −es diagonális mátrixot , aminek elemei d = mn ∀ 0≤n≤N −1−re . Ekkor mivel H   z  = m z , ezért nn  m ][ ] ][ ] [ d 00 z 0 m 0 z  0 m1 z 1 d 11 z 1 [ H  m   z ] F = = = . . . . m N −1 z  N −1 d N −1, N−1 z  N −1 = [ d 00 0 . 0 z 0 0 d 11 0 . 0 z 1 = D z = D[ z ] F . . . . . . . . . . z   N −1 0 . . 0 d N −1, N −1 Megfordítva , tegyük most fel , hogy D = [ d mn ]0≤ m, n≤N −1 diagonális mátrix reprezentálja H −t a Fourier −bázisban. Legyen m n = d mn ∀ 0≤ n ≤ N −1−re , és H  m pedig a Fourier −

szorzóoperátor. Ekkor [ H  z ]F = D[ z ] F = [ H m   z ]F Így H = H  m  . 18 http://www.doksihu Gyors Fourier Transzformáció Ugyan a DFT nagyon hasznos konstrukciónak bizonyult, mégis kénytelenek vagyunk megismerkedni a korlátaival: nem elég gyors. Bizonyosodjunk meg efelől, számoljuk ki a műveletigényét: Tegyük fel , hogy z ∈ l 2  ℤ N  . Ha B egy bázisa l 2 ℤ N −nek , akkor z előállítható [ z ] B alakban , az eukideszi bázis elemeinek és egy bázisváltó− mátrixnak a segítségével. [ z ]B = A [ z ]E = Az N −1 Mivel az m−edik komponense Az −nek ∑ amn z n N komplex szorzást igényel , így ha a vektor n=0 hossza N , akkor a bázisváltás művelete N 2 szorzásba kerül. Nincs ez másként a Fourier −bázisnál sem : z = [ z ]F = W N z ahol W N a DFT mátrixa. Ha teljesen pontosan számolnánk , akkor hozzávennénk az összeadások számát is , de mivel a számítógépen a komplex

szorzás jóval lassabb , ezért csak ezt szoktuk figyelembe venni a műveletek összeszámolásánál. Elvileg egy komplex szorzás 4 db valós szorzást igényel , de egy trükk segítségével 3−ra lehet redukálni ezt : a bic di = a −b d c −d  a [a −b d c d  b] i azaz csak az a−b d ,  c−d  a , és a c d  b kerül kiszámításra. Tehát körülbelül N2 szorzást igényel a DFT. Ezt kellene valahogy lecsökkenteni, nézzük meg, lehet-e a definíción kívül valami mással is számolni, erre szolgál a Gyors Fourier Transzformáció (Fast Fourier Transform = FFT). Lássuk az algoritmus legegyszerűbb változatát: Lemma : Tegyük fel , hogy M ∈ ℕ , és N = 2M. Legyen z ∈ l 2 ℤ N  Definiáljuk u , v ∈ l 2  ℤM −et a következőképpen: u k  = z 2k  k = 0,1 , . , M −1 és v k  = z  2k1 k = 0,1 , . , M −1 azaz u =  z 0 , z 2 ,

z 4 , . , z  N −4 , z  N −2 és v =  z 1 , z 3 , z 5 ,. , z  N −3 , z  N −1 19 http://www.doksihu Legyen z a z −nek DFT − je , N ponton , azaz z = W N z. Legyen u és v u−nak és v −nek DFT − je , M = N /2 ponton definiálva ; u =W M u , és v =W M v. Ekkor ∀ m=0,1 , . , M −1−re : z  m = u m  e−2  im / N v m Legyen l =m−M , ∀ m = M , M 1, . , N −1, ekkor z m = z l  M  = u l −e −2 il / N v l  Bizonyítás : ∀ m = 0,1 , . N −1 N −1 z m = ∑ z n e−2  im n/ N n= 0 a definíció szerint. A szummát kettészedhetjük páros n = 2k , k =0,1 , M −1, illetve páratlan n = 2k1, k =0,1 , . M −1 összegekre : M −1 z m = ∑ k =0 M −1 = = z 2k  e ∑ u k  e −2  i2km/ N M −1  ∑ −2  i 2k 1 m / N z 2k

1 e = k=0 −2  ikm N /2 −2  im / N e M −1 ∑ v k  e k =0 M −1 k =0 M −1 k =0 k =0 −2  ikm N /2 = ∑ u k  e−2  ikm/ M  e−2  im / N ∑ v k  e−2  ikm/ M = Abban az esetben , ha m=0,1 , . M −1, akkor az utolsó kifejezés nem más , mint u  me−2  im / N v  m , tehát megkaptuk a kívánt egyenlőséget. Tegyük fel , hogy m= M , M 1, . , N −1 Ekkor m=l M helyettesítéssel a következőt kapjuk : M −1 = ∑ u k  e −2  ik  l M / M e −2  i  l M / N k =0 M −1 = ∑ u k  e−2  ikl/ M  e−2  il / N k =0 M −1 ∑ v k  e−2  ik l  M / M = k =0 M −1 ∑ v k  e−2  ikl/ M , k =0 mivel az e−2  ikl / M periodikus M szerint , e −2  iM / N = e− i = −1, N = 2M −re . Ez eredményezi az egyenlőséget. 20 http://www.doksihu 7. Ábra A legegyszerűbb lépése

a folyamatnak a pillangó , ami u m és a v m bevitelével megadja z  m és z mM  értékeket lásd 7. ábra  Ez egy olyan egyszerű számítás , hogy néhány hardver teljesítménye is „ pillangókban ” van megadva , azaz hányat tud kiszámolni egy másodperc alatt. Tekintsük a fentebb definiált u l −t és v l−t , ∀ 0 ≤ l ≤ M −1. Először is számoljuk ki u −ot és v −ot , mindkettő hossza M = N /2, tehát M 2 komplex szorzást igényelnek. −2 im N v  m −et m = 0,1 . , M −1−re , az még hozzátesz M db számítást Ha kiszámoljuk e Tehát az összes szorzás , amire szükség van : 2M 2 M =2  N /22  N / 2= 12  N 2  N  . Ez közel feleannyi , mint amire eddig azt hitük , hogy szükség van. Ha kettő helyett 4− gyel osztjuk N −et , jobb eredményben is reménykedhetünk. Legyen C N a minimuma a komplex szorzások számának , melyek

szükségesek ahhoz , hogy egy N hosszú vektor DFT − jét kiszámoljuk. Ekkor C N ≤ 2CM  M. Lemma : Legyen N = 2 n valamilyen n ∈ ℕ . Ekkor C N ≤ 1 N log 2 N 2 Bizonyítás : n szerinti indukcióval. Ha n = 1, akkor a 21 hosszú vektor z =  a , b alakú. Ekkor z = a b , a −b . A komplex szorzások száma C 2=0  1= 2log 2 2/2 Most tegyük fel , hogy ∀ n = k −1− re teljesül , vizsgáljuk az n = k esetet : C 2k ≤ 2 C 2k − 1 2 k −1 ≤2 1 k −1 1 k 1 k −1 k−1 2 k −1 2 = k2 = k2 = N log 2 N 2 2 2 21 http://www.doksihu Diszkrét Wavelet transzformáció Ugyan a sebességén segítettünk, érdemes megismerkedni a DFT többi korlátjával. A módszer a kezeltnél több sebből vérzik. Vegyük például a stacionaritást A legnagyobb jóindulattal sem nevezhetők a valóságban stacionáriusnak az EEG-jelek. Mivel a DFT nem időben, hanem frekvenciálisan dolgozza fel a jeleket, így az időben lefutó

eseményekről nem sok biztosat állíthatunk. Mi is történik? Kiveszünk egy szeletet az EEG-görbéből, és ezt mintavételezzük Tehát még egyszer nincs szó valós idejű feldolgozásról, nem tudjuk az időben követni az eseményeket, „csak” általános információkat tudunk leszűrni az agyműködésről. Mivel nem tudjuk gyakorlatilag valós időben feldolgozni a jeleket, ezért valamilyen rendkívüli esemény bekövetkezését sem tudjuk nyomon követni. Gondolok itt például egy epilepsziás roham jeleire, vagy ha nem akarok ilyen drasztikus példával élni, akkor csak egy esemény által kiváltott potenciál vizsgálatra, ahol a várva várt agyi reakció elmarad a képernyőn. Szó sincs róla, hogy a frekvencia-tartománybeli elemzések ne lennének hasznosak számunkra. Az epilepsziás diagnosztikai vizsgáltok rendkívül komplexek, a teljesítmény-sűrűség vizsgálat keretében a béta-hullámok intenzitása is sok információval szolgál magáról az

epilepszia gyanújáról, viszont a lokális vizsgálat az epilepszia fókuszát segíthet meghatározni. A frekvencia-tartománybeli elemzés előnyeit megtartva térbeli és időbeli elemzésre is lehetőségünk nyílik, mindezt az FFT gyorsaságával (nlogn). Azt mondjuk, hogy egy z vektor elhelyezkedése a térben n0 -ra koncentrált, hogyha z(n) a legtöbb n-re 0, vagy elhanyagolhatóan kicsi, (azaz a legtöbb koordináta 0 vagy elhanyagolhatóan kicsi), kivéve néhány az n0 számhoz közeli indexű komponenst. Ez lefordítva magára a jelre annyit tesz, hogy valamely időpontra, vagy időpontokra van egy kiugró értékünk, ha úgy tetszik abban (azokban) az időpont(ok)ban a görbe egy szokatlan eseményre reflektál. A Fourier-bázis elemeire ez a tulajdonság nem teljesül, hiszen F m(n) = 1/N e 2 itm n / N , aminek ugyanannyi a hossza minden n-re, tehát a Fourier-bázis elemei egyenletesen szétszóródnak. Miért jó, hogyha egy vektor egy adott n0 köré

lokalizálódik? Tegyük fel , hogy B={b 0, b 1, . ,b N } egy bázis l 2 ℤn −ben , és a bázis elemei lokalizáltak a térben Ekkor a z vektort fel tudjuk írni a következőképpen : N −1 z= ∑ a n bn , n=0 ahol a 0, . , a N −1 skalárok Ekkor a koncentráltság miatt azokat a tagokat, amik olyan bázisvektort tartalmaznak, hogy n0 körül 0-k vagy elhanyagolhatóan kicsik, elhagyhatjuk az összegből, anélkül, hogy n0 körül a viselkedést jelentősen befolyásolná. Általánosságban egy térben lokalizált bázis nagyon hasznos, lehetőséget nyújt a jel lokális elemzésére. Amikor egy együttható z felbontásában nagy, akkor könnyen nyomon követhető a helye, hova fókuszálódik. (Hogyha rákoncentrálunk egy adott régióra a jelben, akkor ez azt is magába foglalja, hogy jóval kevesebb tényezővel kell dolgoznom, összetömöríthetem a jelet.) 22 http://www.doksihu Az euklideszi bázis ebből a szempontból láthatóan egy jól szituált

bázis: minden báziselemre teljesül, hogy egy pontra koncentrálódik, mindegyiknek csak 1 db nemnulla eleme van. Van viszont a Fourier-bázisnak egy ritka jó tulajdonsága, amit jelen esetben szeretnénk megtartani. Gyorsan tudunk a segítségével eltolás-invariáns lineáris transzformációkat számolni Emiatt vezetjük be a frekvencia-lokalizáltságot. Ez éppen azt jelenti, amire a neve utal: a bázisvektorok tartalmazzanak minél kevesebb frekvenciát, azaz a bázis DFT-je 0 vagy elhanyagolhatóan kicsi legyen egy adott tartományt kivéve. A standard euklideszi bázis nem frekvencia-lokalizált: ∣em k ∣= 1 ∀ k , szemben a Fourier−bázissal , amire F m n csak m=n−re nem nulla. Mivel a Fourier-bázis frekvencia-lokalizált, és diagonalizálja az eltolás-invariáns lineáris transzformációkat, arra számítunk, hogy azok a bázisok, amik „közel frekvencia-lokalizáltak”, bizonyos értelemben „közel diagonalizálják” ezeket a

transzformációkat. Hasonló eset ez a térbeli lokalizáltsághoz, csak egy másik térben: ha adódnak például kicsi együtthatós magas frekvenciájú tagok, akkor ezeket szintén el lehet hagyni anélkül, hogy szignifikánsan megváltoztatnánk a jelet. A célunk tehát, hogy a jel mind térben, mind frekvenciálisan jól lokalizált legyen. Definíció: 2 ∀ w = ∈l 2 ℤ n , definiáljuk a w∈l  ℤn a következőképpen :  w n = w −n = w  N −n ∀ n−re w a konjugált reflexiója w−nek. Legelőször is idézzük fel az Rk eltolás-operátort: Rk(z) = z(n-k) Megyjegyzés: Ezzel az operátorral generálhatunk egy bázist egyetlen vektorból, eltolással. A legegyszerűbb példa egy ilyen „cirkulált” bázisra az előbb emlegetett euklideszi, ahol a bázisvektorokat úgy kaphatjuk meg egyetlen egyből, hogyha azt az egy szem egyest minden soron következő vektornál eggyel „arrébb toljuk”:   

 1 4 E = 0 , E 2= 0 0 4 1 0 1 , E 4= 3 0 0 0 0 , E 4= 4 1 0 0 0 0 1 Az euklideszi bázis térbeli lokalizáltságát szeretnénk intuitve megközelíteni ezzel az eltolásos megoldással. Látni fogjuk, hogy a cirkulált bázisok nagyon hasznosak a diszkrét waveletek körében 23 http://www.doksihu Lemma: Tegyük fel , hogy z , w ∈ l 2 ℤ N  . ∀ k ∈ ℤ z∗w  k  = 〈 z , Rk w 〉 és z∗w  k  = 〈 z , Rk w 〉 Bizonyítás : Definíció szerint : N −1 N −1 n=0 n=0 〈 z , R k w 〉 = ∑ z n Rk w n = ∑ z n w n−k  N −1 = ∑ z n w n−k  = w∗z   k  = z∗w k  n=0 Mivel w = w , ezért w helyére w−t helyettesítve könnyen megkapjuk a másik egyenlőséget is.  Tegyük fel , hogy w ∈ l 2 ℤ N  , és B = {R k w} , k = 0,1 , . , N −1 ortonormált bázis l 2  ℤN −ben Ekkor z komponenseit ebben a bázisban 〈 z , Rk w〉 skaláris

szorzat segítségével kaphatjuk meg. Ezek a komponensek egyúttal  z∗w  komponensei is , azaz [ z ]B = z∗w FFT −t használva ez a konvolúció igen gyorsan kiszámolható. Ha tehát B egy w vektor eltoltjai által 2 generált bázis l ℤ N −ben , akkor az E−ből B−be váltó mátrixhoz igen gyorsan hozzájuthatunk.  Ahol E az euklideszi bázis. Lemma : Legyen w ∈ l 2 ℤ N  . Ekkor {R k v } , k = 0,1 , , N −1− re egy ortonormált bázis l 2 ℤ N −ben , akkor és csak akkor , hogyha∣w  n∣ = 1 ∀ n ∈ℤ N . Bizonyítás : 〈 w , R k w〉 = w∗ w  k ami ekvivalens w∗w  = kifejezéssel , ahol  a jólismert Dirac−delta. N −1 w∗w k  = ∑ n=0 N −1 w k −n w  n = ∑ w  k −n w −n , ez az összeg minden egyes k −ra 0, n=0 kivéve a k = 0, amire 1, tehát tényleg a Dirac −deltát kaptuk. 1 =  n =  w∗w  n

= w  n w n = w  n w n = ∣w n∣2 ∀ n Megjegyzés : Ezzel igen egyszerűen ellenőrizhetővé vált egy bázis ortonormalitása , ugyanakkor kiderült , hogy ∀ n∣w n∣ = 1, tehát ugyanattól a bajtól szenved , mint az euklideszi bázis : nem frekvencia − lokalizált. Ezen úgy próbálunk segíteni , hogy két vektor eltoltjaiból rakjuk össze a bázisunkat 24 http://www.doksihu Legyen N = 2M , M ∈ ℕ . Egy ortonormált bázist l 2  ℤN −ben , ami következő alakban áll elő M −1 ∪ {R k=0 2k u , R2k v } valamilyen u , v ∈ l 2  ℤN  segítségével l 2  ℤN  elsőlépcsős wavelet bázisának nevezzük. Ekkor u , v −t az elsőlépcsős wavelet −bázis generátorainak nevezzük , vagy néha anya−illetve apa−waveletnek . A célunk megtudni , hogy milyen tulajdonságú u , v párok generálnak elsőlépcsős wavelet −bázisokat. Lemma : Tegyük fel , hogy M ∈ℕ , N

=2M és z ∈ l 2  ℤN  , ekkor  z  n −1n = z n M  ∀n Bizonyítás : Definíció által  z n−1n = N −1 ∑ −1k z k  e−2  ikn/ N = N −1 k =0 N −1 k=0 k =0 ∑ e−i  k z k  e−2  ikn / N = ∑ z  k  e−2  ik n M / N = z nM  Lemma : Tegyük fel , hogy M ∈ℕ N = 2M , w∈l 2 ℤ N . Ekkor R2k w k =0,1 , M −1 egy ortonormált halmaz , akkor és csak akkor , ha  n∣2∣w  nM ∣2 = 2 ∣w n = 0,1 ,. , M −1 Bizonyítás : { } ha k = 0 w∗w  2k = 〈w , R2k w 〉 = 1 0 ha k = 1,2 , . , M −1 valamint ha n páros w∗w  w ∗ w −1n n = 2w∗w n 0 ha n páratlan Most ha n páros , akkor legyen n = 2k , ekkor { { w∗ww∗ w −12k  2k = 2  0 páratlan n−ekre automatikusan 0. Ennélfogva } ha k =0, ha k =1,2 ,. , M −1 

w∗ww∗  w −1n n = 2  n  n = 1  ∀n n   w∗wn w∗w−1 n = 2     w∗wn = w n  wn = w n w n =∣w n∣2   n 2   w∗w−1 n =   w∗w   nM  =∣w nM ∣ ∣w nM ∣2 ∣w nM M ∣2 =∣w nM ∣2 ∣w n∣2 25 } http://www.doksihu Definíció : Tegyük fel , hogy M ∈ℕ , N = 2M és u , v ∈l 2 ℤ N . ∀ n∈ℤ definiáljuk An−t mint az u és v rendszer −mátrixát a következőképpen: 1 u n v  n A n =  2 u nM  v  nM  [ ] Tétel : Tegyük fel , hogy M ∈ ℕ és u , v ∈ l 2  ℤN  , ekkor B= M −1 ∪ {R k=0 2k u , R2k v}egy ortonormált bázis l 2  ℤN −ben , akkor és csak akkor , hogyha u és

v rendszer −mátrixa A n unitér ∀ n = 0,1 , . , M −1−re Ekvivalens megfogalmazásban : B egy elsőlépcsős wavelet −bázis l 2 ℤ N −ben , akkor és csak akkor , ha ∣u n2∣  ∣u  n M 2∣ = 2 ∣v n2∣  ∣v  n M 2∣ = 2 azaz A  n oszlopai 1 hosszúak , és u  n v n  u n M  v n M  ∀ n = 0,1 , . M −1, azaz A n oszlopai ortogonálisak Bizonyítás : 2 Egy 2 × 2−es mátrix akkor és csak akkor unitér , hogyha ortonormált bázis ℂ −ben , {R 2k u} k = 0,1 , . , M −1 pedig akkor és csak akkor ortonormált , hogyha A  n első oszlopa 1 hosszú ∀ n = 0,1 , . , M −1, hasonló állítás igaz {R 2k v }−re és a második oszlopra továbbá megköveteljük , hogy 〈 R2k u , R 2j v 〉 = 0 ∀ j , k = 0,1 , . , M −1, akkor és csak akkor , ha A n ortogonális. Ez elég egyértelmű , hiszen azáltal , hogy az oszlopokra

kikötöttük , hogy 1 hosszúak legyenek , teljesült , hogy {R 2k v}és {R 2j u} külön−külön ortonormált rendszert alkossanak , ezért csak arra van szükség , hogy a két rendszer vektorai egymásra páronként merőlegesek legyenek , épp ezt fejezi ki ez a skaláris szorzat. Ezekből a feltételekből következik , hogy B egy ortonormált rendszer , így ortonormált bázis l 2  ℤN −ben , akkor és csak akkor , ha A n unitér ∀ n = 0,1 , . , M −1−re A n ortogonalitása miatt : 〈 R 2k u , R 2j v 〉 = 0 ⇔ u∗v 2k  = 〈u , R 2k v 〉 = 0 ∀ k = 0,1 , . , M −1, tehát a páros koordinátákat kinulláztuk , n u∗v  u∗v  −1  n = 0 páratlan n−ek miatt.  u∗v  u∗v  −1n  n = 0   u∗ v n = u n v  n   u∗v  −1n  n = u  nM  v  n M  Ezzel az állítást beláttuk.

26 http://www.doksihu Azért is hasznos ez a könnyű ellenőrizhetőség a wavelet-bázisok ortonormáltságára, mert ritkán látszik ránézésre ez a tulajdonság. Szép kivételt képez a Haar-féle elsőlépcsős wavelet, amit Haar Alfréd konstruált: Tegyük fel , hogy N = 2M , ∀ M ∈ ℕ. Definiáljuk az u , v ∈ l 2 ℤ N −t a következőképpen: 1 1 u= , , 0,0 , .,0 2 2 1 1 v= ,− , 0,0 , . ,0 2 2     A másik példa a szintén jól használható Shannon-bázis: Elsőlépcsős Shannon −bázis Tegyük fel , hogy N osztható 4− gyel , ekkor definiáljuk u , v ∈l 2  ℤN −t a következőképpen : u  n = v  n = { { } } N 3N 3N 1, . , N −1  2 ha n = 0,1 , . , −1 vagy n = 4 4 N N 3N 3N 1, . , −2, −1 4, 4 4 4 0 ha n = 0 ha n = 0,1 , . , 2 4, N 3N 3N −1 vagy n = 1, . , N −1 4 4, 4 N N 3N 3N ha n = 1, . , − 2, −1 4, 4 4 4 Megyjegyzés : ∀ n−re u

n = 0 vagy v  n = 0, így az előző tétel utolsó egyenlősége garantája A  n ortogonalitását. Szintén ∀ n−re u n =  2 és u  n N /2 = 0 vagy fordítva , tehát az első oszlop hossza 1 ∀ n−re , így A n unitér ∀ n−re . Mindebből következik , hogy  N /2−1 ∪ k =0 {R 2k u , R 2k v}egy elsőlépcsős wavelet −bázis. Megyjegyzés : Vegyük észre , hogy míg∣v m∣csak az N / 4≤ m ≤3N / 4−1 értékekre nemnulla   2 , addig ∣u m∣éppen fordítva , [0, N /4−1]∪[3N /4, N −1] tartományon  2. Ez éppen azt jelenti , hogy a magas frekvenciákat  N / 2 közelieket tároljuk a v−ben , míg az alacsony frekvenciákat u−ban. Így  N /2−1 z= ∑ k =0  N / 2−1 〈 z , R 2k v 〉 R 2k v  ∑ k =0 〈 z , R 2k u 〉 R 2k u ahol az első szumma tartalmazza a magas frekvenciájú , míg a második szumma az alacsony

frekvenciájú tagokat. Ezzel elértük a vágyva vágyott frekvencia−lokalizáltságot Vizsgáljuk meg kicsit a térbeli lokalizáltságot, ehhez tekintsük az elsőlépcsős Shannon-bázist: 27 http://www.doksihu Elsőlépcsős valós Shannon− bázis Tegyük fel , hogy N osztható 4− gyel , ekkor definiáljuk u , v ∈ l 2 ℤ N −t a következőképpen : { 3N  2 ha n = 0,1 , . , N −1 vagy n = 1, , N −1 i u n = −i 0 { 4 N 4 3N ha n = 4 N 3N 3N ha n = 1, . , −2, −1 4 4 4 ha n = 4 } } N 3N 3N −1 vagy n = 1, . , N −1 4 4, 4 N 3N v n = 1 ha n = vagy n = 4 4 3N 3N N N  2 ha n = 4, 4 1, . , 4 − 2, 4 −1 0 ha n = 0,1 , . , Belátható , hogy u és v valós értékű vektorok , ekkor a bázis minden eleme az. az inverziós formula alapján : N −1 1 v n = v m e 2  min/ N ∑ N m =0 és N −1 1 v  0 = ∑ v  m N m =0 Míg v 0−ban nincs elhagyható tag , hiszen

v m ebben az esetben v m≥0 ∀ m , addig ha n ≠0, v  n−ből el lehet hagyni tagokat e 2 min / N tendenciája miatt. Ez azt jelenti , hogy 0−ból kimozdulva v  n−nek kis értékei lesznek. u n hasonlóképpen számítható 8. Ábra 28 http://www.doksihu A 8. ábrán látható R256v az N= 512 esetben, a centruma körül lokalizálódik A 9. ábrán egy alkalmazást követhetünk figyelemmel: egy kiváltott potenciál vizsgálat megjelenítése wavelet-analízissel: 9. Ábra Jól látszik, hogy az esemény (zöld vonal) hatására hogy változtak meg az egyes csatornákból érkező jelek, a C3-ban, CP1-ben és C5-ben azonosíthatók jelentős megváltozások. Ebben a fejezetben kiderült tehát, hogy léteznek időben, és frekvenciálisan egyaránt lokalizált bázisok, ilyenek az elsőlépcsős wavelet-bázisok. Léteznek magasabb rendű (többlépcsős) waveletek, amiket az elsőlépcsősekből lehet megkapni iteáció

segítségével – ezek már túllépnek ezen a szakdolgozaton. 29 http://www.doksihu Utószó A dolgozat során megpróbáltam az EEG-feldolgozás bizonyos mechanizmusait, tulajdonságait absztrakt környezetbe átültetni, matematikailag leírni. A jelfeldolgozás szempontjából fontos momentumokat emeltem ki, de nem tértem ki a jelek statisztikai összetevőire –az általam ábrázol struktúrában nem volt szerepük. Úgy vélem a Diszkrét Fourier Transzformációban és a Gyors Fourier Transzformációban rejlő lehetőségeket a rendelkezésre álló helyet arányaiban kihasználva sikerült felvázolni a tanulmányomban. A Wavelet-analízisnek sajnos csak az alapjai fértek bele a dolgozat keretébe, ugyanakkor igyekeztem kiemelni azon matematikai jellemzőit, amik miatt a biológiai jelekfeldolgozásánál ezt a módszert alkalmazzuk. Szeretném megköszönni konzulensemnek - Tóth Árpádnak -, hogy tanácsaival ellátott a félév folyamán, és körültekintően

korrigálta matematikai pontatlanságaimat, illetve hiányosságaimat. Köszönöm Barátaimnak, - akik szívéhez a téma nem állt közel, csak személyem - hogy időt és energiát szántak rá, hogy átolvassák, és figyelmemet felhívják a hibákra. Köszönöm Családtagjaimnak,-akik koprodukciója nélkül ez a szakdolgozat nem jöhetett volna létre- hogy mindig biztosították a feltételeket tanulmányaimhoz, ezen belül a szakdolgozat írásához, valamint odaadó figyelemmel tanulmányozták át, és segítettek korrigálni hibáimat. Szeretném ezt a szakdolgozatot Édesapámnak ajánlani, aki mindig hitt bennem, bármibe is fogtam. Keszthelyi Gabriella 30 http://www.doksihu Irodalomjegyzék Michael W. Frazier: An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra (Springer, 1999) Maan M. Shaker: EEG Waves Classifier using Wavelet Transform and Fourier Transform (International Journal of Biological and Medical Sciences 1:2 2006) Détári László: Biológiai jelek

számítógépes elemzése (Tanulmány) Dr. Hidasi Zoltán: Statikus és dinamikus elektroenkefalográfiás vizsgálatok Alzheimer kórban (Tanulmány) Tófalvi Péter: EEG-görbék számítógépes feldolgozása (Tanulmány) Háden Gábor Péter: Az EEG alapjai (Jegyzet) Boha Roland: Pszichoaktív élvezeti szerek hatása a spontán és kiváltott agyi elektromos tevékenység spektrális és komplexitás jellemzőire (Tanulmány) 31