Matematika | Diszkrét Matematika » Kiss Péter Norbert - Játékok és statisztikák

http://www.doksihu Játékok és statisztikák Szakdolgozat Készítette: Kiss Péter Norbert Matematika BSc, Tanári szakirány Témavezető: Wintsche Gergely, adjunktus Matematikatanítási és Módszertani Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010 http://www.doksihu „Az élet egy játék, melyet egy hatalmas szabálykönyvből igazgatnak – de meg kell találni a módját annak, hogyan lehet megszegni a szabályokat, és mégis tovább játszani. Minden játék unalmas, ha a szabályokat betartva játsszák – a Monopoly, römi, baseball. De ha az ember elemel egy-két kártyát, anélkül, hogy észrevennék, vagy megcseréli a számokat a dobókockán, mikor a másik nem figyel, az ostoba játék élvezetessé válhat.” - Dean Ray Koontz - „A játék akkor felhőtlen, akkor lesz a képzelet paradicsoma, ha szabályait mindenben betartják.” - Philip Grant - 2 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 4. Bevezetés I. Fejezet

Történeti áttekintés 5. II. Fejezet Játékelmélet 6. 7. 1. Játékok osztályozása 2. Alapfogalmak 10. 3. Kétszemélyes játékok 12. 4. Nash-egyensúly 14. 5. Létezés 17. 6. A játék nyeregpontja 19. 7. Kevert stratégia 23. Összegzés 28. Függelék 29. Hivatkozások 33. 3 http://www.doksihu Bevezetés Azt gondolom, hogy nincs olyan ember, aki ha elkezd játszani valamiféle játékkal, ne latolgatna magában előzetesen, vagy a játék folyamán esélyeket, ne igyekezne minél jobb pozíciót kiharcolni magának azáltal, hogy megpróbálja kiszámítani a játék számára kedvező alakulásához szükséges – optimális lehetőségeket. Természetesen a győzelem alatt nem csak a mindent elsöprő diadalt értem, hanem egy esetleges vesztes helyzet előfordulása kapcsán azon lehetőségeket is melyekkel minél inkább szűkíteni tudja ránézve hátrányos tényezők körét. Természetesen az egyes várható események nem pontosan

kiszámíthatók a külső tényezők miatt, nem elhanyagolható a „szerencse elem” sem, ezért hívták segítségül a statisztikát elméleteik megalkotása kapcsán a témakör kutatói. Számos tudományág foglalkozik valamilyen szinten ezzel a problémakörrel, leginkább talán a közgazdaságtan, hiszen mind a mikro-, mind a makrogazdaság szereplői azzal az alapvető céllal vesznek részt a piaci versenyben, hogy vagy a profitjukat maximalizálják, vagy a veszteségeiket minimalizálják. Jelen dolgozatom természetesen nem hivatott arra, hogy a játékelmélet minden egyes szegmensét megvizsgálja, vagy akár csak meg próbálja bemutatni is, én csupán arra vállalkoztam, hogy a játékelmélet általános bevezetésével valamiféle támpontot adjak az olvasó számára. Munkám leginkább azon szakkörös középiskolás, vagy az egyetemre frissen felvételt nyert matematika (tanári) szakos hallgatók forgathatják haszonnal, mint például jómagam, akik még

sosem találkoztak ezzel a témakörrel iskolai rendszerű oktatás keretében, de mindig is érdeklődve tekintett a játék, s ezen keresztül az élet minél biztosabb kiszámíthatóságának irányába. A dolgozatom felépítése a következőképpen alakult: először néhány mondattal ismertetem a téma történetét, majd összegzést nyújtok a játékok egy lehetséges osztályozási módjáról. Munkám elkészítése során igyekeztem összegyűjteni a legfontosabb tételeket, definíciókat, s megosztani az olvasóval, hiszen ezek ismerete nélkül lehetetlen boldogulni a téma mélyebb rétegeivel. Miután a matematika egészét, s így ezen részét is példák segítségével lehet leginkább szemléltetni, ezért az egyszerű játékelméleti problémák megoldási módszereit példák segítségével mutatom be. 4 http://www.doksihu I. Fejezet Történeti áttekintés A mai játékelmélet „természetesen” nem alakulhatott volna ki magyar közbenjárás

nélkül. Az 1920-as években Borel több rövid cikket publikált az addig csak hobby matematikai témának tekintett stratégiai játékokról. Ő vezette be a stratégiai játékok és a kevert stratégia fogalmát. Ám munkássága teljesen feledésbe merült volna, egy magyar matematikus, Neumann János tevékenysége nélkül. 1928-as cikkében ugyanis Neumann bizonyítást adott az úgynevezett minimax tételre, mellyel tulajdonképpen egyértelművé tette, hogy mely nyerő stratégiát kell egy játékosnak választani. A cikk és benne a játékelmélet alaptételének bizonyítása önmagában nem keltett nagy visszhangot, hiszen nem volt egyértelmű az elmélet alkalmazhatósága. Talán még itt is megszakadhatott volna ennek a fiatal tudománynak a fejlődése, ám Neumannal kapcsolatba lépett Oskar Morgenstein, aki felismerte a téma közgazdaságtani hasznosságát. Több évnyi közös munka után eredményeiket egy könyvben publikálták, melyet The Theory of Games

and Economic Behavior (Játékelmélet és gazdasági viselkedés, 1944) címmel adtak ki. Az ’50-es évektől kezdve sorra jelentek meg az újabb és újabb fontos eredmények. 1950-ben a fiatal John Nash a játékelmélet segítségével forradalmasította a közgazdaságtant. Elméletét nem kooperatív problémákra alkotta és bizonyította 1988-ban Harsányi János és Reinhard Selten Nash munkáját kritizálva újabb bizonyítást adott, mely már figyelembe veszi a játékosok közti együttműködés és nem együttműködés problematikáját. A játékelmélet hasznos tudományként való elismertetése utóbbi három személyhez köthető, akik játékelméleti tevékenységük miatt több egyéb díj mellett 1994-ben elnyerték a Közgazdasági Nobel-díjat. A játékelmélet ismertségét nagyban elősegítette a John Nash életét – hollywoodi stílusban – bemutató 2001-es Egy csodálatos elme című film, melynek sikerét az izgalmas történet mellett a sikeres

Gladiátor, Russel Crowe alakítása biztosította. 5 http://www.doksihu II. Fejezet Játékelmélet A játékelmélet, mint a matematika új ága viszonylag fiatal, körülbelül 100 éve kezdett kialakulni. Ennek ellenére más tudományok már jóval korábban, igaz közvetetten, de foglalkoztak vele. Így például Adam Smith 1700-as években publikált „Láthatatlan kéz” 1 elmélete. A matematikai játékelmélet alapja a modellezés, modellalkotás. Már a reneszánsz korában megkezdődtek a kísérletek a „szerencsén”, véletlenen alapuló játékok elemzésére. Később e játékok vizsgálata vezetett a véletlen törvényszerűségeinek felismeréséhez, a valószínűségszámítás kialakulásához. A XX. század elején kezdtek el olyan stratégiai játékokkal foglalkozni, melyekben a véletlennek nincs vagy elhanyagolható a szerepe. Az ilyen játékokban a végső kimenetelek döntő mértékben a játékosok tudásán, ravaszságán múlik. Mivel a

stratégiai játékokban általában a résztvevők érdekei eltérőek vagy ellentétesek, így megtalálhatóak bennük a különböző konfliktusok főbb elemei, leírásuk és tanulmányozásuk viszonylag egyszerű. Tehát a játékelmélet megpróbálja meghatározni egy adott helyzetben a legoptimálisabb döntések sorozatát. Nem szabad azonban összekeverni a játékelméletet a döntéselmélettel. Utóbbiban egy személy vagy csoport választ két vagy több lehetséges lépés közül, melyeknek egyértelműen tisztában vannak a következményeivel. Más megfogalmazásban: Definíció. Játékelméleten a racionális szereplők stratégiai interakcióinak elemzését értjük Itt azonban néhány kifejezés magyarázatra szorul: Csoport (szereplők): Egy játékban egynél több döntéshozó szerepel, őket hívjuk játékosoknak. Ha csak egy játékos van, nem játékról, hanem döntési problémáról beszélünk 1 A "láthatatlan kéz" Adam Smith, XVIII.

századi skót közgazdász által létrehozott gazdasági kifejezés, amelyet A nemzetek gazdagsága (1776) című művében vezetett be. Adam Smith szerint a piacot a láthatatlan kéz irányítja oly módon, hogy a kereskedő a saját érdekét szem előtt tartva minél több profitra szeretne szert tenni, ám ennek érdekében minél jobb minőségű terméket kell előállítania, hiszen arra nagyobb a kereslet. Természetesen termékeit minél kisebb áron kell kínálnia a kereslet, és ezzel a profit maximalizálása érdekében. Ezek a gazdasági folyamatok alakítják ki a "természetes árat" és biztosítják a piacon lévő termékek minőségét. 6 http://www.doksihu Interakció: Ha legalább egy játékos döntései közvetlenül befolyásolják egy másik játékos magatartását a csoporton belül. Ellenkező esetben a játék független döntési problémák sorozata. Stratégia: Olyan cselekvések, ahol az egyes egyének számításba veszik ezt a

kölcsönös függést. Racionalitás: A kölcsönös összefüggés figyelembevételével az egyes játékosok a legjobb cselekvésüket választják. A következőkben megismerkedünk a játékelmélet alapjaival és fontosabb fogalmaival. 1. Játékok osztályozása [1] A stratégiai játékok igen különbözőek lehetnek. Ám néhány szempont alapján viszonylag jól osztályozhatóak. A.) A játékosok lépései egyidejűek, vagy egymást követőek A szekvenciális játékokban, mint például a sakk, a játékosok lépéseit nem csak az adott állás befolyásolja, hanem az a gondolat is, hogy az ellenfél hogyan reagál az adott lépésre. A jelen lépés a többiek jövőbeni lépéseinek kalkulációján alapul. Ezzel szemben a szimultán lépéses játékokban a lépéssel kapcsolatos döntések az ellenérdekű felek jelenlegi lépéseivel kapcsolatos várakozásaikon alapulnak. B.) A játékosok érdekkonfliktusainak természete Az egyszerű játékok kimenetelét

tekintve az egyik játékos nyereménye a többi játékos vesztesége. Az ilyen játékokat zérus összegű játéknak nevezzük Általánosan tekintve ezekben a játékokban egy adott konstans összegű nyereményen osztoznak az ellenérdekű csoportok. 7 http://www.doksihu Előfordulhat az is, hogy a nyeremény egy előre meghatározott összeg, de nem zérus. Ekkor konstans összegű játékról beszélünk. A hétköznapi életben előfordulhat, hogy a játékosok nyereménye nem egy előre meghatározott összeg, illetve magatartásuktól függően változhat. Elképzelhető az is, hogy minden résztvevő nyer és természetesen az is, hogy a játékból senki sem kerül ki győztesen. Utóbbi játékokat szokás negatív jellegű játékoknak is nevezni. C.) A játékosok informáltsága Egyes játékok esetén, mint például az előbb is említett sakk esetében, a játékosok nem csak jelenlegi helyzetükkel vannak tisztában, de már a játék kezdetétől fogva ismerik

a saját és az ellenfél összes lehetséges lépését. Az ilyen játékokat teljes információs játékoknak nevezzük. Általában ez a helyzet kivételesnek tekinthető, a hétköznapi életben egyes játékosok több, mások kevesebb információval rendelkeznek egy adott játékról. A játékelméletben a lehetséges információs állapotokat így osztályozzák:
Közös tudás: minden játékos tudatában van annak, hogy a többi játékos is teljes információval rendelkezik, és hogy a többiek ezt róla is tudják.
Teljes információ: mindegyik játékos tudja, hogy a többi játékos rendelkezésére milyen stratégiák és azokhoz kapcsolódóan milyen kifizetések állnak.
Perfekt információ: minden játékos megfigyelheti a többiek összes lépését.
Szimmetrikus információ: azonos információ áll minden játékos rendelkezésére.
Magán információ: olyan információ a játékkal kapcsolatban, mely csak adott játékos

rendelkezésére áll.
Teljes emlékezet: egyik játékos sem felejti el múltbeli lépéseit. 8 http://www.doksihu
Visszacsatolás (Closed loop): az ismétléses játékban a játékosok minden részjáték végén jelzést kapnak a többiek lépéseiről.
Open loop: az ismétléses játékban az egyes részjátékok után a játékosok csak a saját lépéseikről rendelkeznek információval. D.) A játék szabályai rögzítettek vagy manipulálhatóak? A köznapi értelemben vett játékoknál a szabályok általában minden tekintetben teljesek, azaz, az adott játékban előforduló összes lehetséges helyzetre vonatkoznak. Ezeket a szabályokat sokszor kívülálló személyek felügyelik, mint például a labdajátékok esetén a bírók. A közéleti, politikai, gazdasági játékok azonban nem ilyen kötöttek. Bár itt is léteznek szabályok, ezeket nem minden esetben tartják be, sőt az egyes résztvevők gyakran megpróbálják érdekeiknek megfelelően

megváltoztatni őket. Gyakran érdemes megvizsgálni, hogy az adott szabályok mennyire manipulálhatóak, illetve ezek megváltoztatása mennyiben befolyásolja az egyes játékosok érdekeit. E.) Lehetséges-e a játékosok közötti kooperáció és ha igen, mennyiben? Érdemes megvizsgálni, hogy fűződik-e érdeke a játékosoknak az esetleges együttműködéshez. Két játékos esetén csak akkor érdemes kooperálniuk, ha a nyeremény nem zérus összegű, vagyis, ha az egyik játékos nyereménye nem a másik vesztesége. Három vagy több játékos esetén azonban már két vagy több játékosnak sokszor célszerű szövetkezni egy erősebb ellenfél legyőzésére. Ez alapján tehát megkülönböztethetünk kooperatív és nem kooperatív játékokat. 9 http://www.doksihu F.) A játék egyszer vagy többször megismételt Bizonyos játékoknál a játékosok adott helyen adott időben megjelennek, lejátsszák a játékot, majd ki-ki a maga nyereményével,

vagy veszteségével távozik. Gyakran azonban nem egyszeri alkalomról van szó, hanem a játékosok többször, egymás után játsszák ugyanazt a játékot. Ilyenkor ismétlődéses játékokról beszélünk Érdemes tisztában lennünk azzal is, hogy az ismétlődések száma véges vagy végtelen. Véges ismétlődéses játékok esetén megkülönböztetjük a rögzített ismétlődésű játékokat és azokat, melyek nem ilyenek, vagyis tudjuk, hogy a játék befejeződik egyszer, csak azt nem tudjuk, hogy ez mikor következik be. G.) Véges vagy végtelen játékok Véges játékról beszélünk, ha mind a játékosok, mind pedig a játékosok rendelkezésére álló stratégiák száma véges. Ellenkező esetben, tehát ha a játékosok száma, vagy az egyes játékosok stratégiáinak száma végtelen, akkor a játékot végtelennek nevezzük. H.) Evolúciós (tanuló) játékok Még a viszonylag egyszerű játékok kimenetele is nagymértékben függ az egyes játékosok

felkészültségétől. Könnyen belátható, hogy előnyben van az, aki már játszott egy játékot azzal szemben, aki még a szabályokkal sincs teljesen tisztában. 2. Alapfogalmak Játékosok A játékban részt vevő ellentétes érdekeltségű megszámlálható számosságú csoportok halmaza, tehát nem feltétlenül egyéneket tekintünk játékosnak, hiszen például a bridzset egyszerre négy személy játssza, de ha a partnerek nem cserélődnek, akkor a négy fő két ellentétes érdekeltségű csoportra osztható. 10 http://www.doksihu A játékelméletben a játékosok mennyiségét tekintve három számnak van kiemelt szerepe: az egynek, a kettőnek és a kettőnél többnek. Egyszemélyes játékokkal a játékelmélet nem foglakozik, de bizonyos játékokat kétszemélyesnek tekinthetünk, ha feltesszük, hogy a másik személy a természet. Stratégiák Stratégián a játékosok előtt álló döntési alternatívákat értjük, ugyanakkor feltesszük róla,

hogy teljes, vagyis az ellenfél nem tud olyan lépést tenni, mely az adott játékos lehetséges cselekvéssorozataival kiegészítve ne képezné a stratégia leírásának részét. Kifizetések – Nyereség Kifizetésen egy adott stratégia-kombináció melletti eredményt értjük, mely lehet numerikus, de nem feltétlenül. Numerikusan, ha a nyereményeket pozitív nyereségként, a veszteségeket negatív nyereségként értelmezzük, akkor a játékot nulla összegű vagy nem nulla összegűnek nevezzük, attól függően, hogy az össznyereség nulla vagy nem nulla. Racionalitás A játékosok fő célja az ellentétes érdekek által vezérelt ellenfelüktől biztos úton a lehető legtöbbet nyerjék el. A játék szabályai Felteszik, hogy minden játékos tisztában van azzal, hogy mi az a játék, amiben részt vesz, sőt tudja ezt a többi játékosról is, azaz a játék szabályai a köztudás részét képezik. A játék szabályai tartalmazzák: - a játékosok

meghatározását, - az egyes játékosok stratégiáit, - az egyes játékosok kifizetéseit az összes releváns stratégiakombinációra, - és azt, hogy a játékosok racionálisak. 11 http://www.doksihu 3. Kétszemélyes játékok 1. Példa (Két ujjú mora játék): Tekintsük a következő játékot: két játékos I és II a következő játékkal múlatja az időt: Hangosan elszámolnak háromig, majd egyszerre feltartják egy vagy két ujjukat. Ha mindketten egyet mutatnak, akkor II fizet I-nek 40 forintot Ha mindketten kettőt, akkor I. fizet II-nek ugyanennyit Ha I egyet II pedig kettőt, akkor II fizet 30 forintot. Ellenkező esetben I fizet 30 forintot A fenti játékot a következő mátrixszal foglalhatjuk össze: 1 ujj I.II 2 ujj 1 ujj (40, -40) (30, -30) 2 ujj (-30, 30) (-40, 40) ,ahol a zárójelben lévő első szám I., míg a második szám II nyereményét jelenti A stratégiai játékokat normál formában is megadhatjuk, egy ilyen megadás a

következőket tartalmazza: 1. A játékosok halmazát N = {1, K , n} 2. Mindegyik játékos rendelkezik döntési alternatívák, stratégiák egy halmazával, jelölje ezt S i . A megelőző példában: egy vagy két ujj felmutatása, azaz S1 = S 2 = {1,2} 3. A játék lehetséges kimenetelei, azaz, az összes lehetséges stratégiai kombináció: S = ∏ S i . A megelőző példában (1,1 )(1, 2 )(2 ,1 )(2 , 2 ), 2 × 2 = 4 kimenet van i 4. A játékosok preferenciákkal rendelkeznek a lehetséges kimenetelekkel kapcsolatban A fenti példában mivel pénzre megy a játék, elég egyszerű a helyzet, a több pénz többre értékelt. Számos esetben a kimenetelek nem feltétlenül számszerűsíthetők, ekkor azt várjuk el, hogy a játékosoknak legyen rendezése a kimenetelek felett. 12 http://www.doksihu Ha egy játék minden lehetséges kimenetele esetén számértékeket rendelünk a játékosokhoz, akkor a játékosok számára kifizetőfüggvényeket definiálunk. ui :

S R Definíció. Egy G-játékot normált formában megadott játéknak nevezünk, ha 1. a játékosok adottak és számuk véges: N = {1,2,, n} { } 2. ∀i ∈ N -re ∃ S i = s i1 , K , s in stratégia halmaz 3. ∀i ∈ N -re ∃ u i : ∏S i R kifizetőfüggvény. Jelölésben: i G = {S 1 , K , S n ; u1 , K , u n } 2. Példa Két játékos sakkozik, a vesztes 10 forintot fizet a győztesnek Döntetlen esetén egyikük sem fizet. Definíció. Egy játékot kétszemélyes zérus összegű játéknak nevezünk, ha N = 2 és u1 = −u 2 . Definíció. Egy játékot kétszemélyes véges összegű játéknak nevezünk, ha N = 2 és u i < ∞ ∀i -re. Tehát összefoglalva: Tekintsünk egy G-mátrixjátékot, ahol az I játékosnak m, a II játékosnak n stratégiája van! Jelölje: S = {s1 , s 2 , K , s m }, R = {r1 , r2 , K , rn } a stratégiahalmazaikat. 13 http://www.doksihu Legyen értelmezve I játékos számára egy kifizetőfüggvény a

következőképpen: u I (i, j ) = a ij i = 1, 2, , m; , ahol j = 1, 2, , n, és a ij ∈ R. Ha a játék zérusösszegű, akkor egyértelműen jellemzi a fenti kifizetőfüggvény, melyet ezután u (i, j ) = a ij i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n jelöl, ahol az első változó I, a második változó II játékos tiszta stratégiáinak sorszámát jelöli. A kifizetőfüggvény értékei az alábbi m x n típusú mátrixszal megadhatóak: a11 a12 L a1n  a O M  21  = (aij ) A= M O M    a m1 L L a mn  i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n, ahol a ij az I játékos nyereményét jelöli az (i, j) stratégia pár választása esetén. Az A mátrix egyértelműen meghatározza a játékot, ezért szoktunk A mátrixjátékokról beszélni. 4. Nash-egyensúly Térjünk vissza az 1. Példához Hogyan érdemes játszani a játékosoknak? I játékos számára 1 ujj felmutatása előnyösebb, hiszen 1 ujj esetén nyer, míg ha kettőt mutatna mindig veszítene.

Ilyenkor azt mondjuk, hogy az 1 ujjas stratégia dominálja a 2 ujjas stratégiát. ) Definíció. Az i ∈ N játékos s i ∈ S i stratégiája gyengén dominálja az s i stratégiát, ha ) u i (s i , s − i ) ≥ u i (s i , s − i ) ∀ s − i -re és ) u i (s i , s − i )> u i (s i , s − i 14 ) legalább egy s −i -re. http://www.doksihu Itt pongyolán fogalmazva s-i = (s1, , si-1, si+1, , sn) vagyis s = (s1, , si, ,sn) i-edik komponensének elhagyásával keletkezett vektor. ) Definíció. Az i ∈ N játékos s i ∈ S i stratégiája szigorúan/ erős értelemben dominálja az si stratégiát, ha ) u i (s i , s − i )> u i (s i , s − i ) minden s-i-re. Definíció. Az i ∈ N játékos si ∈ Si stratégiáját szigorúan domináltnak nevezzük, ha van egy másik stratégiája ( s i ), amely mindig nyereségesebb az előzőnél függetlenül attól, hogy mit lép a többi fél: ( ) u i s i , s −i > u i (s i , s − i ) minden s-i-re.

Kissé általánosabb a következő fogalom: Definíció. Az i ∈ N játékos si ∈ Si stratégiáját gyengén domináltnak nevezzük, ha van egy másik stratégiája ( s i ), amely legalább olyan nyereséges, mint az előző, függetlenül attól, hogy a többi játékos mit lép; és legalább egy esetben nyereségesebb is ( ) u i s i , s −i ≥ u i (s i , s −i ) minden s-i-re és ( ) ( u i s i , s − i > u i s i , s − i ) alkalmas s − i -re. 1. Példa folytatása A mátrix így alakul FG 1 ujj 1 ujj (40, -40) 2 ujj (30, -30) hiszen F játékos a 2-es stratégiát sosem fogja választani, így G játékos számára csak a veszteség minimalizálása marad; az 1 ujj stratégiával 40 forintot, míg a 2 ujj stratégiával 30 15 http://www.doksihu forintot veszít. Azaz, a 2 ujj stratégia dominálja az 1 ujj stratégiát Tehát a játék egyensúlypontja (1 ujj, 2 ujj). ) ) ) Felfedezője tiszteletére egy s = ( s1 , K , s n ) stratégia vektort

Nash-egyensúlynak nevezzük, ha ) ) ) u i ( s ) ≥ u i ( s1 , K , si , K , s n ) bármely i ∈ N és bármely si ∈ Si-re. Vagyis semelyik játékosnak sem érdemes eltérnie az egyensúlyi stratégia-együttesben szereplő saját stratégiájától. ) ) ) Definíció. Egy s = ( s1 , K , s n ) stratégiavektort szigorú értelemben vett Nashegyensúlynek nevezzük, ha ) ) ) u i ( s ) > u i ( s1 , K , s i , K , s n ) bármely i ∈ N és bármely si ∈ Si-re. A jobb megértés érdekében érdemes bevezetni a következő fogalmat. Definíció. Az s i ∈ Si stratégia az i-edik játékos egy legjobb válasza a többi valamilyen s − i ∈ S −i stratégia-együttesére, ha s − i ∈ S −i esetén s i maximalizálja az i-edik játékos hasznát: u i (s i , s − i ) ≥ u i (s i , s − i ) bármely s i ∈ Si-re. Az i-edik játékos legjobb válaszainak halmazát bi (s-i) ⊆ Si stratégia-részhalmaz jelöli: u i (s i , s − i ) ≥ u i (s i , s − i )

bármely s i ∈ Si-re 16 s i ∈ bi (s −i ) . http://www.doksihu 5. Létezés [2] Nem minden játéknak van azonban Nash-egyensúlya. Milyen feltételek szükségesek ahhoz, hogy legalább egy Nash-egyensúly létezzen? A válaszhoz bevezetjük a következő fogalmakat és segédtételeket. 1. Lemma (Brouwer2-féle fixpont-tétel, 1913) Legyen q egy természetes szám Ha K ⊆ R q kompakt és konvex halmaz, és f : K K folytonos függvény, akkor az f függvénynek ( ) létezik legalább egy fixpontja: x * = f x . A maximalizálandó függvények vizsgálatánál gyakran hasznos a következő Definíció. Egy f: R q R függvényt kvázikonkávnak nevezünk, ha egy X ⊆ R q konvex halmazon van értelmezve, és ha minden {x ∈ X : f ( x ) > t } felső szinthalmaza konvex, ahol a t tetszőleges valós szám. Akárcsak a konkáv, a kvázikonkáv függvényeknél is igaz, hogy a rájuk vonatkozó maximumfeladatoknál a lokális maximum egyben globális is.

Természetesen egy konkáv függvény kvázikonkáv. A kvázikonkáv függvények valóban általánosítják a konkáv függvényeket abból a szempontból, hogy az előbbieknek bármely monoton transzformáltja is kvázikonkáv, míg az utóbbiaknál lehet nem konkáv is. Mivel a maximum nagyon gyakran nem egyértelmű, szükségünk van a halmazértékű függvényekre. Definíciók. 1 Leképezésnek nevezünk két absztrakt halmaz, X és Y közötti f : X Y hozzárendelést, amely minden x ∈ X ponthoz egy f (x) ⊆ Y halmazt rendel. (Ha f (x) minden esetben pont, akkor függvényről beszélünk.) 2. A folytonos függvény egyik lehetséges általánosításaként egy leképezést felülről félig folytonosnak nevezünk, ha bármely olyan {x m} ⊆ X sorozatra, amely konvergál x ∈ X-hez, és 2 Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), holland matematikus és filozófus 17 http://www.doksihu amelynél y m ∈ f (x m) ⊆ Y, { y m } konvergál y ∈ Y-hoz, akkor y ∈ f

(x) teljesül. Kompakt X tér esetén ez azt jelenti, hogy az [x, f (x)] gráf zárt halmaz. Könnyen belátható a 2. Lemma Legyen Y és V egy véges-dimenziós euklideszi tér kompakt és konvex részhalmaza, és legyen a g: Y × V R függvény folytonos az (y, v) szerint és kvázikonkáv az y szerint. Rendelje a h leképezés minden v ∈ V-hez a maximumot adó pontok halmazát Y-ban Ekkor a h leképezés nem-üres, felülről félig folytonos és konvex értékű. A folytonos függvényekre vonatkozó Brouwer-féle fixpont-tételt általánosítja leképezésekre a 3. Lemma (Kakutani3-fixpont-tétele, 1941) Ha X egy véges-dimenziós euklideszi tér nem-üres, konvex és kompakt halmaza; ha f az X-nek egy önmagára való, felülről félig folytonos leképezése, amely minden x ∈ X-hez nem-üres konvex halmazt rendel, akkor f-nek létezik fixpontja: x* ∈ f (x ). A most felsorolt fogalmak és segédtételek szinte sugallják a nem kooperatív játékelmélet

alaptételét: Tétel. (Nikaido4-Isoda5, 1955) Egy n-személyes játéknak létezik legalább egy Nashegyensúlya, ha teljesülnek a következő feltételek: a) az Si stratégiahalmaz egy véges-dimenziós euklideszi tér nem-üres, konvex és kompakt halmaz; b) Az i-edik játékos ui (s1, , si, , sn) hasznosságfüggvénye folytonos minden változójában és kvázikonkáv si-ben, i = 1, , n. Bizonyítás. A 2 segédtétel szerint a legjobb válasz leképezés nem-üres, konvex értékű és felülről félig folytonos. Definiáljuk a következő leképezést: b (s1, , sn) = b1 (s-1) × × bn (s-n). Ez a leképezés az egyéni bi leképezések Descartes-szorzata, a nem-üres konvex és kompakt S halmazt önmagára 3 Shizuo Kakutani (1911-2004), japán matematikus Hukukane Nikaidô (1923-) 5 Kazuo Isoda (1932-), koreai matematikus 4 18 http://www.doksihu képezi le és szintén felülről félig folytonos. Kakutani fixpont-tételének minden feltétele teljesül, azaz létezik

olyan s* ∈ S stratégia-együttes amely legjobb válasz önmagára: s ∈ b (s*). 6. A játék nyeregpontja 3. Példa: (Campingezők) Az egyetemista fiú és barátnője - legyenek ők Zsolti és Juci - campingezni szeretne, de míg Zsolti magasan, Juci alacsonyan szeretne tábort ütni. A kiszemelt területen észak-dél és kelet-nyugati irányban is három-három út halad át. A pár abban állapodik meg, hogy valamelyik útkereszteződésnél fognak sátrazni. Illetve megállapodnak abban is, hogy táborhelyüket a következőképpen választják: Zsolti kiválaszt egy kelet-nyugat irányú utat, Juci egy észak-dél irányút, és sátrukat ezek kereszteződésében ütik fel. A Zsolti számára elérhető útkereszteződések magassága (100 méterekben) a következő: 1 (út) 1 5 2 2 (út) 6 4 3 3 (út) 8 9 2 Első pillantásra gondolhatnánk, hogy Zsoltinak a 8, 9, 2 magasságú útkereszteződésekből álló Zsolt 3 utat kell választania, hiszen így akár

900 méter magasra is kerülhet a táborhely. Ám érdemes jobban odafigyelnie, hiszen ha Juci ügyes megakadályozhatja Zsoltit céljainak elérésében. Tehát Zsoltinak úgy kell utat választania, hogy figyelembe veszi, Juci is ésszerűen gondolkodik ő is a számára legelőnyösebb választást keresi. Igaz hogy a Zsolt 3 út választásával 900 méterre is kerülhet, de lehet, hogy csak 200 méter magasságra kerül a táborhelyük. Gondosabb elemzés után Zsolti úgy dönt, hogy a Zsolt 2 utat kell választania, hiszen így 300 méternél alacsonyabbra biztosan nem kerülhet tábor, ám ha Juci figyelmetlen, akkor ennél magasabbra is juthatnak. 19 http://www.doksihu Juci előtt a következőképpen sorakoznak a választható utak magasságpontjai: 1 (út) 2 (út) 3 (út) 1 5 2 6 4 3 8 9 2 Juci a Juci 1 út választásával elérheti, hogy a sátor a lehető legalacsonyabbra kerüljön. Ésszerűen gondolkodva azonban rá jön, hogy így nagyon kedvezőtlen

helyzetbe is kerülhet. Célszerűbb, ha a Juci 2 utat választja: így ugyanis biztos, hogy nem kerül 300 méternél magasabbra. Ha Juci bármilyen más utat választana, akkor ennél kedvezőtlenebb helyzetbe kerülne. Vizsgáljuk meg a kialakult eredményt. Zsoltinak olyan stratégiája van, mely biztosítja, hogy a táborhely legalább 300 méter magasan lesz, Jucinak pedig olyan, mely azt biztosítja, hogy 300 méternél nem kerül magasabbra. Másképp szólva: mindegyik játékos elérheti, hogy ha a másik is ügyes, akkor 300 méter magasra, ha a másik nem ügyes, akkor a maga számára kedvezőbb helyre kerüljön a sátor. Ha két játékos garantált minimális, illetve maximális nyeresége pontosan egyforma, akkor azt mondjuk, hogy a játéknak nyeregpontja van. Ha valamelyik játékos eltérne a nyeregpont stratégiától, akkor feleslegesen veszít, ha mindketten eltérnek, akkor lehet, hogy az egyik, lehet, hogy a másik veszít feleslegesen. Tekintsük át kissé

szabatosabban, hogy mi is történt az előző példában. A két játékost jelöljük Z-vel (Zsolti) és J-vel (Juci). Z úgy keresheti meg a legelőnyösebb stratégiát, hogy megnézi az egyes stratégiáknál a kifizetőfüggvény értékek közül melyik a legkisebb és igyekszik ezt a lehető legnagyobbra választani. Vagyis megnézi az egyes sorminimumokat (1, 3, 2) és azt a sort választja, melyre ez a minimum a legnagyobb (3). Az ilyen stratégiát maximin stratégiának nevezzük Hasonló elgondolás alapján választ magának J is stratégiát. Megnézi, hogy számára az egyes stratégiák legrosszabb kimenetelei közül melyik a legkevésbé kellemetlen. Tehát kiválasztja az oszlopmaximumok (8, 9, 3) közül melyik a legkisebb (3). Ezt a játékos minimax stratégiája. 20 http://www.doksihu Általánosítsuk az előző gondolatmenetet! Ha Z az i-edik stratégiát játssza, akkor a kifizetőfüggvény értéke (nyereménye) legalább annyi lesz, mint az i-edik sor

legkisebb eleme min a ij j Definíció. Az I játékos i ∗ ∈ S stratégiát biztonságinak (prudens) nevezzük, ha ϕ = min a i j . * j A Z játékos azt az i stratégiát igyekszik választani, melyre ez a minimum a lehető legnagyobb lesz. Keresi tehát a sorminimumok közül a legnagyobbat Definíció. Az I játékos biztos nyereménye: ϕ = max min aij j i Ha ezt az i’ stratégia esetén találja meg, akkor a i j nyereséget tud magának biztosítani, függetlenül attól, hogy milyen stratégiát játszik II. Ez az i’ stratégia I maximin stratégiája Ugyanígy, ha G választ egy j stratégiát, akkor vesztesége legfeljebb γ = max aij i lesz. Ezért azt a j stratégiát keresi, amelynél ez az érték a legkisebb. γ = min max aij j i Ha ezt az értéket a j’ stratégia esetén találja meg, akkor a ij veszteséget tud magának biztosítani, függetlenül attól, hogy I milyen stratégiával játszik. 21 http://www.doksihu Definíció. Ha G

kétszemélyes zérusösszegű játékra teljesül, hogy a sorminimumok maximuma és az oszlopmaximumok minimuma egyenlő, akkor ezt G értékének nevezzük. Definíció. Egy (i’, j’) stratégiapárt nyeregpontnak nevezünk, ha bármely i és bármely j esetén a ij ≤ a i j ≤ a i j . Tétel. Ha egy mátrixjátéknak (i0, j0) és (i1, j1) tiszta nyeregpontjai, akkor v = a i 0 j 0 = a i1 j1 (ekvivalencia), továbbá (i0, j1) és (i1, j0) szintén nyeregpontok (felcserélhetőség). Bizonyítás. Mivel (i0, j0) nyeregpont, ezért a i1 j 0 ≤ a i 0 j 0 ≤ a i 0 j 1 . Hasonlóan, mivel (i1, j1) nyeregpont, ezért a i 0 j 1 ≤ a i1 j 1 ≤ a i1 j 0 . A két egyenlőségből viszont a i 0 j 1 ≤ a i1 j 1 ≤ a i1 j 0 ≤ a i 0 j 0 ≤ a i 0 j 1 következik, ami mind az ekvivalenciát, mind a felcserélhetőséget igazolja. Definíció. Azokat a mátrixjátékokat, melyeknek van nyeregpontjuk nyeregpontjátékoknak, vagy meghatározott játékoknak nevezzük A

nyeregponthoz tartozó (i*, j) stratégiapár tagjai a játék optimális stratégiái, az a i* j = v szám a játék értéke, az (i, j, v) rendezett hármas pedig a játék megoldása. 22 http://www.doksihu 7. Kevert stratégia Minden játék megoldásának első lépése a nyeregpontok vizsgálata! Ha van nyeregpont, akkor megoldottuk a játékot! Megoldható-e a játék, ha nem rendelkezik nyeregponttal? Matematikai értelemben a kérdés elsőre elgondolkodtató, ám ha a mindennapi életben előforduló konfliktusokra gondolunk, tudjuk, hogy található olyan kompromisszum, mely mindkét fél számára előnyösnek tekinthető. 4. Példa III 1. 2. 1. 1 9 2. 8 2 A sorminimumok (1, 2) és az oszlopmaximumok (8, 9) számbavétele után rögtön láthatjuk, hogy semelyik kettő sem egyenlő. Hogy alakul ilyenkor a játék? Hogyan gondolkodhatnak a játékosok? Ha az első játékos csak az I 1. stratégiát játssza, akkor számítania kell arra, hogy II ezt

észreveszi, így nyeresége 9 egységről 1 egységre csökken. Ha csak az I 2 stratégiát alkalmazza, akkor 8 egység helyett csak 2-őt nyerhet. Hiszen mindkét játékos racionális, tehát arra törekszik, hogy számára a lehető legjobb eredménnyel záruljon a játszma. A probléma magában hordozza a megoldás kulcsát, hiszen ha II kitart valamelyik tiszta stratégia mellett, akkor I túlságosan jól jár, II kénytelen a fennmaradó másik lehetőséghez folyamodni, vagyis ahhoz, hogy mindkét stratégiát alkalmazza. Tegyük fel, hogy II felváltva alkalmazza egyik, illetve másik stratégiáját, míg I csak az I 1. stratégiát használja Így az esetek egyik felében II vesztesége 1 másik felében 9 egység Megfelelően nagyszámú játszma után veszteségének várható értéke: 23 http://www.doksihu 1⋅1 + 1⋅ 9 =5 1+1 egység. Ezt úgy kaptuk meg, hogy meghatároztuk a nyereségek valószínűségi arány szerinti súlyozott átlagértékét. Ha I az I

2.-t alkalmazza, akkor az átlagos nyereség: 1⋅ 8 + 1⋅ 2 =5 1+1 egység, vagyis annyi, mint az előző esetben. Tehát II jobban jár, ha felváltva alkalmazza az II 1. és II 2 stratégiát, így ugyanis átlagosan 5 egységnél semmiképpen sem kell többet fizetnie, függetlenül attól, hogy I melyik stratégiát alkalmazza. Ez az 5 egység pedig nyilván kevesebb, mint az oszlopmaximumok legkisebbike, ami ebben a példában 8 egység volt. A megoldás kulcsa újabb kérdést vet fel, hogyan érdemes II-nek a saját stratégiáit keverni? Ha adott mintával játszik, akkor I felfedezheti ezt és a számára kedvezőbb válasszal reagálhat erre. Feltettük, hogy II felváltva játssza az II 1 és az II 2 stratégiát Ezt néhány kör alatt I észreveheti és ő is felváltva kezdi el játszani a maga stratégiáit. Így jutottunk el a kevert stratégia fogalmáig, mely a tiszta stratégiák valamilyen arányú, véletlenszerűen váltakozó alkalmazását jelenti. Tehát a 4.

Példához visszatérve, II kitart amellett, hogy fele-fele arányban játssza az egyik, illetve másik stratégiát, akkor úgy lehet a legeredményesebb, ha a véletlenre bízza magát, és egy pénzfeldobással dönti el, hogy épp melyik stratégiát választja. Hogy dönthetjük el, hogy milyen arányban érdemes a stratégiákat választani? a) Megoldás. Ez a módszer nem igényel mély matematikai ismeretket, ám kissé hosszadalmas is lehet, már az általános iskolában is könnyen elsajátítható. Kezdjük az I játékossal. 1. 1 9 2. 8 2 24 http://www.doksihu Vonjuk ki a második oszlopot az elsőből. A kapott számokat írjuk fel külön egy új mátrixban: 1. -8 2. 6 I 1. gyakoriságát a 1. 6 mátrix 2. sorában kapott elem, I 2 gyakoriságát pedig a mátrix másik eleme adja -8 2. A két szám közül az egyik mindig negatív. Hagyjuk el a negatív előjelet Az így kapott gyakoriságok azt jelentik, hogy I-nek 14 játékból 6-szor az 1. míg 8-szor a

2 stratégiát kell megjátszani. Azaz a stratégiák aránya 6 : 8, ami ekvivalens a 3 : 4 aránnyal II legjobb stratégiáit hasonló módszerrel kereshetjük meg: 1. 2. 1 9 8 2 Most az első sorból vonjuk ki a másodikat: 1. 2. -7 7 Itt II 1. gyakoriságát a második oszlop 25 http://www.doksihu 1. 7 II 2. stratégia gyakoriságát pedig az első oszlop eleme adja: 2. -7 A negatív előjel itt is elhagyható, vagyis II 1. és II 2 gyakoriságának aránya 7 : -7, azaz 7 : 7 adja, ami ekvivalens az 1 : 1 aránnyal, tehát a két stratégiát egyformán kell alkalmazni. b) Megoldás. Általánosítva Tekintsük a következő mátrixot: III 1. 2. 1. a11 a12 2. a21 a22 Mivel a mátrixnak nincs nyeregpontja, így célunk az átlagos (várható) nyeremény (E) maximalizálása, azaz minden stratégiához rendeljünk valószínűséget és azt vizsgáljuk, hogy ez a valószínűség mekkora legyen, hogy az átlagos nyereményünk maximális legyen. Ha I az I 1.

tiszta stratégiát q valószínűséggel játssza, akkor az I 2 stratégiát nyilván 1 - q valószínűséggel választja, ugyan ez elmondható II-re is, aki az II 1. és 2 stratégiákat p, 1 – p arányban alkalmazza. Vagyis az egyes nyeremények (a11, a12, a21, a22) várható értékét a következő táblázattal kapjuk. III 1. 2. p 1-p 1. q qpa11 q(1 - p)a12 2. 1-q (1 - q)pa21 (1 - q)(1 - p)a22 26 http://www.doksihu Innen könnyen leolvashatjuk az egyes felekhez tartozó várható eredményeket: E (q, p) = p [a11q + a21(1 - q)] + (1 - p)[a12q + a22(1 - q)] I nyeremény a q függvénye, így q-ban kell szélsőértéket keresnünk: E’ dq = pa11 + (1 - p)a12 - pa21 - (1 - p)a22= 0 p-re megoldva: p= a 22 − a12 . a11 − a12 + a 22 − a 21 27 http://www.doksihu Összegzés Mikor kiválasztottam a szakdolgozatom címét, még úgy gondoltam, hogy a téma pusztán összegyűjti az általános- és a középiskolában előforduló egyszerű matematikai

játékokat. Az első „megbeszélésen” tudatosodott bennem, hogy ez a téma nem pusztán erről szól. Előkerült a „játékelmélet” kifejezés, melyről addig nem sokat hallottam. Néhány cikk és könyv elolvasása után úgy gondoltam, hogy tanár szakosként nagy hasznát venném a téma egyszerű bevezetését tartalmazó „jegyzet”-nek, elkerülendő azt a lehetetlennek tűnő helyzetet, miszerint el lehet végezni 2 év gimnáziumi matematika fakultációt és 3 év matematika BSc-t anélkül, hogy valaha is kapcsolatba kerültünk volna ezzel az egyre befolyásosabb matematikai ágazattal. A játékelmélet mondhatni felszínes megismerése után úgy gondolom, hogy ha nem is a szakkifejezések mentén haladva, de ez a témakör mindenképpen érdemeses lenne arra, hogy a magyar középiskolák tananyagának részét képezze. Ezt többek között az indokolja, hogy néhány kivételtől eltekintve a felsőoktatás legtöbb természettudományi,

közgazdaságtudományi, informatikai szakának tananyagában, előfordul, illetve az, hogy az egyszerűbb játékok érdekes példának tekinthetők, melyek segítségével, még viszonylag korán, azok figyelmét is fel lehetne kelteni a matematika, mint tudományág iránt, akik addig kevésbé voltak fogékonyak rá. Ugyanakkor az egyszerű, hétköznapi példák azokban is fenntartják az érdeklődést az anyag iránt, akik az átlagosnál gyengébb logikai gondolkodással rendelkeznek. Összegezve: én személy szerint kifejezetten élveztem az e témában való elmélyedést, és így, hogy már tudom, körülbelül mit is takar a játékelmélet kifejezés, remélem a jövőben az egyetem keretein belül is foglalkozhatok a játékok matematikai értelmezésével. A dolgozat tartalmát tehát nagyban befolyásolta az anyag kezdetben korlátozott szintű ismerete. 28 http://www.doksihu Függelék Életrajzok Félix Edouard Justin Émile Borel (Saint Affrique, 1871. január

7. – Párizs, 1956 február 3) francia matematikus, politikus 1893-ban a Lille-i Egyetemen kapott segédprofesszori állást, 1897ben az École Normale Supérieure-ben. 1901-ben vette feleségül Marguerite Appellt (álnevén Camille Marbo), Paul Émile Appell matematikus lányát. 1905-ben a Francia Matematikai Társaság elnökévé nevezték ki. 1909-ben a Sorbonne Függvényelmélet Tanszékét kapta meg, amelyet kifejezetten neki alapítottak, ezt az állást 1941-ig megtartotta. 1921-ben a Francia Tudományos Akadémia tagja lett, 1933-ban megválasztották az intézmény alelnökének, 1943-tól pedig az elnökének. Részt vett az Institut de Statistique de lUniversité de Paris statisztikai intézet 1922-es, illetve az Institut Henri Poincaré 1928-as megalapításában. A háború után Francia Becsületrenddel tüntették ki. 1948-ban az UNESCO Tudományos Bizottságát vezette René-Louise Baire-rel és Henri Lebesgue-gel egyetemben a mértékelmélet, illetve annak a

valószínűségelmélet terén történő alkalmazásának úttörője, a két tudós mellett a modern valós függvénytan egyik megalapozója. Habár előtte is definiálták már divergens számsorok összegét, ő dolgozta ki az első szisztematikus módszert ezek tanulmányozására 1899-ben. 1913 és 1914 között összekapcsolta a hiperbolikus geometriát és a speciális relativitás elméletét. 1921 és 1927 között a játékelmélet területén ért el eredményeket, több írása jelent meg ebben a témában, a bridzs kártyajáték tanulmányozásával is foglalkozott. Nevéhez fűződik az a gondolatkísérlet, ami az angol nyelvben Végtelen Majom Tétel néven vonult be a köztudatba: ültessünk egy képzeletbeli örökéletű majmot egy olyan írógép elé, amelyből sohasem fogy ki a szalag és a papír. Ha a majom véletlenszerűen üti le a billentyűket, akkor egészen biztosak lehetünk benne, hogy egyszer (sőt, végtelen sokszor!) megjelenik Shakespeare

összes műve a papírokon. 29 http://www.doksihu Neumann János (Budapest, Lipótváros, 1903. december 28. – Washington, 1957 február 8) magyar származású matematikus. Édesapja 1913-ban nemesi címet kapott, és felvette a margittai előnevet. Így lett hivatalosan margittai Neumann János, később külföldi tartózkodása idején vette fel a John von Neumann nevet. A világ nagyobbik részén ma is így ismerik. 1913-ban szülei beíratták a híres Fasori Evangélikus Főgimnáziumba. Ebbe az iskolába járt a Nobel-díjas Wigner Jenő (1963, fizikai) és Harsányi János (1994, közgazdasági) is, ahol mindhárman Rátz László tanár úrtól tanultak matematikát. Egyetemi évei alatt sokat tartózkodott Berlinben, ahol Fritz Habertnél kémiát, Albert Einsteinnél statisztikus mechanikát és Erhardt Schmidtnél matematikát hallgatott. 1923-ban Zürichbe ment, hogy a zürichi Szövetségi Műszaki Egyetemen vegyészetet tanuljon. Vegyészmérnöki

diplomáját 1925-ben szerezte, matematikából pedig egy évvel később doktorált Budapesten. 1930-ban meghívták vendégprofesszornak az Egyesült Államokba, Princeton-ba. Hamarosan az ottani egyetem professzora, majd az újonnan megnyílt a princetoni Institute for Advanced Studies professzora lett. A II világháború idején bekapcsolódott a haditechnikai kutatásokba Rendszeresen járt Los Alamosba, ahol részt vett az első atombomba megépítésében. Az 1930as évek végétől érdeklődése egyre jobban az alkalmazott matematikai problémák felé fordult Megkapta az Egyesült Államok Érdemérmét (1954), 1955-ben az öttagú Atomenergia Bizottság (AEC) tagjává nevezték ki. Tudományos pályafutása kezdetén behatóan foglalkozott kvantumelmélettel és a matematika alapjaival, halmazelmélettel és matematikai logikával. Tőle származik a halmazelmélet egzakt megalapozása. Jelentős eredményeket ért el az ergódelelméletben és kifejlesztette a

„folytonos geometria” elméletét is. Az ő nevéhez fűződik a „játékelmélet” megteremtése (minimax elv, 1928). A koreai háború idején például ennek az elméletnek a kiértékelése volt az oka, hogy az USA nem támadta meg Kínát! 1955. augusztus 15-én egy orvosi vizsgálat alkalmával csontrákra utaló elváltozást találtak a nyakában, amely feltehetőleg a korábban diagnosztizált prosztatarák áttéte volt. Neumann János 1957. február 8-án halt meg Washingtonban, nyughelye Princetonban van 30 http://www.doksihu Oskar Morgenstern (Görlitz, 1902. január 24 – Princeton, 1977. július 26) német születésű osztrák közgazdász Bécsi tanulmányai után az Österreichischen Instituts für Konjunkturforschung igazgatója, 1935 és 1938 között a Bécsi Egyetem professzora. Ausztria német megszállása idején az Egyesült Államokban tartózkodott. A háború miatt az emigráció mellett döntött A Princeton Egyetem, és az Institute for

Advanced Studies professzora lett. 1944-ben Neumann Jánossal közösen publikálták a Theory of Games and Economic Behaviourcímű könyvet, mellyel megalapozták a játékelméletet. 1963-ban Paul F. Lazarsfelddel megalapította a bécsi Institut für Höhere Studien-t (IHS), melynek 1970-ig igazgatója volt. Később visszatért az USA-ba 1977-ben Princetonban halt meg. Harsányi János (Budapest, 1920. május 29 – Berkeley, 2000. augusztus 9) magyar származású Nobel-díjas amerikai közgazdász, a korlátozott információjú játékelmélet kutatója. 1938-ban érettségizett a Fasori Evangélikus Gimnáziumban. 1942-ben gyógyszerészi oklevelet szerzett Budapesten. Zsidó származása miatt 1944 májusától novemberéig munkaszolgálatos. 1945-ben megszökött. A Katolikus Hittudományi Főiskolán 1946-tól filozófiát hallgatott, 1947-ben doktorált. 1948-ban leendő feleségével Ausztriába menekült. 1950-ben Ausztráliába emigrált 1954-1956 között a

Brisbane-i Egyetemen közgazdaságtant tanított. 1956-ban Stanford Egyetemre került Kenneth Arrow mellett 1958-ban közgazdasági doktorátust szerzett. Főként matematikát és statisztikát tanult. 1958-ban a Camberrai, 1961-ben a Detroiti Egyetemen kapott állást 1964ben a kaliforniai Berkeley Egyetem professzora lett 1994-ben – John Forbes Nashel és Reinhard Seltennel megosztva – „A nem-kooperatív játékok elméletében az egyensúly-analízis terén végzett úttörő munkásságért” Nobel-díjat nyert. Élete végén Alzheimer-kórban szenvedett. 80 éves korában szívroham következtében hunyt el. 31 http://www.doksihu Reinhard Selten (1930. október 5 Breslau, -) német közgazdász. 1957-ben a Frankfurti Egyetemen matematikából mesterfokozatot szerzett. 1961-ben szerezte meg a PhD fokozatát matematikából. A kísérleti közgazdaságtan egyik alapító tagjának lehet tekinteni. Jelenleg a Bonni Egyetem emeritus professzora, és számos

tiszteletbeli doktori cím tulajdonosa. 1994-ben megosztva kapta a közgazdasági Alfred Nobelemlékdíjat a játékelmélet terén élert kutatásainak eredményéért. John Forbes Nash Jr. (1928 június 13 Bluefield, NyugatVirginia –) amerikai matematikus Már gyerekkorában kitűnt, hogy nem kedveli az embereket, és hogy egyedül szeret dolgozni. 20 évesen már megszerezte diplomáját a Carnegie Mellon Universityn, Pirrsburgben. Ezután a Princeton Egyetemen tanult, ahol PhD fokozatot szerzett matematikából. 1950-ben a nem kooperatív játékelmélet témakörben írt dolgozata által kapta meg a fokozatot. Ezt az eredményt később Nash-egyensúlynak nevezték el. Témavezetője Albert W. Tucker volt Legfontosabb eredményeit a játékelmélet terén alkotta A Nash-féle beágyazási tétel szerint minden Riemann-sokaság izometrikusan beágyazható a megfelelő eukleidészi térbe. Munkássága kiterjedt a nemlineáris parabolikus parciális

differenciálegyenletekre és az algebrai geometriára is. Nash 1959-ben elmegyógyintézetbe került paranoid skizofréniája miatt. Nem sokkal ezután megszületett a fia, John Charles Nash, később ő is matematikussá vált és nála is diagnosztizálták a skizofréniát. A – Neumann János által megalapított - játékelmélet terén elért kiemelkedő eredményeiért 1994-ben (Harsányi Jánossal és Reinherd Seltennel megosztva) megkapta a közgazdasági Alfred Nobel-emlékdíjat. Mégsem ez hozta meg neki a világhírt, hanem az életét feldolgozó film, a 2001-es Egy csodálatos elme. 32 http://www.doksihu Hivatkozások [1] MÉSZÁROS József: Játékelmélet, Gondolat Kiadó, 2005 [2] http://www.mathbmehu/diffe/jatekpdf [3] J. D Williams: Játékelmélet, Műszaki Könyvkiadó, 1972 Dr. FELIP László: Játékelmélet, Filum Kiadó, http://epa.oszkhu/00000/00017/00122/pdf/02koczypdf http://hu.wikipediaorg/wiki/L%C3%A1thatatlan k%C3%A9z

http://web.uni-corvinushu/~pmiklos/Works/PDF/forgo jatekelmeletpdf http://hu.wikipediaorg/wiki/%C3%89mile Borel http://hu.wikipediaorg/wiki/Neumann J%C3%A1nos http://en.wikipediaorg/wiki/Oskar Morgenstern http://de.wikipediaorg/wiki/Oskar Morgenstern http://hu.wikipediaorg/wiki/John Forbes Nash A szakdolgozatomban esetlegesen előforduló szó szerinti idézések nincsenek jelölve. A tételek, bizonyítások, állítások egyértelműsége, és az hogy az e témában és ezen a szinten elérhető szakirodalom elég egysíkú, szinte lehetetlenné teszi a szó szerinti idézés elkerülését. 33