Matematika | Statisztika » Statisztika ellenőrző kérdések

Statisztika ellenőrző kérdések: 1. fejezet Mi a statisztika fogalma: Egyrészt olyan gyakorlati tevékenység, munka amely valamely célból megfigyelést folytat, adatokat gyűjt tömegesen előforduló jelenségek egyikére, adatokat feldolgozza, elemzi, közli az eredményt. Másrészt tudományág, amely módszereket ad társadalmi, gazdasági jelenségek, tudományos kutatások mennyiség vonatkozásainak feldolgozásához, elemzéséhez, vizsgálatához. Egy bizonyos gazdasági – társadalmi egységet jellemző mutatók összessége. Mi a statisztika tárgya: Nagy számban előforduló jelenségek vizsgálata – ipar, lehet a gazdasági- társadalmi élet valamely rendszere, alrendszere, lehet egy ország népessége, ennek egységei. Mi a statisztika célja, feladata: Feladata és egyben célja, hogy valósághű, tárgyilagos képet adjon a gazdaság, a társadalom, a tulajdonviszonyok, a környezet állapotáról és változásairól az államhatalmi és közigazgatási

szervek, valamint a társadalom szervezetei és tagjai számára, hogy azok az irányításhoz, döntések meghozatalához, az eredményesség vizsgálatához megfelelő információval rendelkezzenek. A statisztikai tevékenység fázisai: 1. a vizsgálati cél eléréséhez vezető program elkészítése 2. a szükséges megfigyelés, adatfelvétel 3. a célnak megfelelő adatfeldolgozás, adatbázis létrehozása 4. elemzés, értékelés a célnak megfelelően a feldolgozott adatok alapján 5. az eredmények közlése a felhasználókkal Mik a statisztikai programkészítés lépései: 1. az elérendő cél kitűzése és statisztikai megfogalmazása 2. a közlés és elemzés megtervezése 3. a feldolgozási terv elkészítése 4. a célnak megfelelő megfigyelés, adatgyűjtés tervének elkészítése 5. szervezési teendők 2. fejezet Mi a statisztikai sokaság: A statisztikai megfigyelésekbe, vizsgálatokba bevont elemek összessége. Ha élőlények akkor populáció. Milyen

sokaságtipusokat ismer: • véges o diszkrét o folytonos • végtelen • álló • mozgó • teljes • mintasokaság • aggregált sokaság 1/18 statisztikai ismérv: a sokaság egyedeinek valamely – a többiektől megkülönböztethető – tulajdonságát, ismertető jegyeit értjük, amely tulajdonság meghatározza az egységek hovatartozását. Ismérvtípusok: • területi (térbeli) • mennyiségi • minőségi • időbeli melyik ismérv változó: az ismérv változatok számszerűek, akkor azokat ismérv értékeknek nevezzük, amelyek lehetnek diszkrét számok vagy intervallumok (osztályközök), az ismérvet pedig változónak nevezzük. Ismérv-változat: Valamely adott tulajdonság szerint lehetséges esetek, kimenetelek. Mi az elemi adat (alapadat): A vizsgált sokaság egyedeiről szerzett különböző információk, amelyeket megfelelő módon rögzítünk. Nem feltétlenül számszerűek Mit értünk adat vagy mutató alatt: Az egész vizsgált

sokaságot összességében jellemző számszerű információkat statisztikai adatoknak, röviden adatoknak nevezzük, egyes esetekben pedig mutatószámoknak (átlagéletkor). Mi az adatbázis: Mit értünk mérési skála alatt: Egy eredetileg nem mennyiségi ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatók, kódolhatók megadott szabályok alapján. Ez a sokaság egységek számokkal való jellemzésének, azaz mérésnek tekinthető. Az egységekhez rendelt számértékek mérésére szolgálnak a mérési skálák, mérési szintek. • Névleges (nominális) • Sorrendi (ordinális) • Különbségi (intervallum) • Arány skála. Milyen adatszerzési módokat ismer: • Szervezett adatgyűjtések, megfigyelések • Meghatározott céllal végzett kísérletekből, • Szervezet által vezetett adminisztratív nyílvántartásból Mit értünk adatszolgáltató vagy számbavételi egység alatt: A megfigyelési egységek összessége. Ezek lehetnek gazdasági

vagy társadalmi egységek, intézmények. 2/18 Mit értünk kísérleti változó alatt: Azt a változót – mennyiségi ismérvet – amelynek értékeit a kísérlet során meg kívánjuk figyelni kísérleti változónak nevezzük, ennek értékeit befolyásoló, alakító tényezőket faktoroknak nevezzük. Milyen elemzést nevezünk leíró elemzésnek: A megfigyelt sokaságot kívánjuk tömören, jól jellemezni különböző adatok, mutatók felhasználásával. Ebben az esetben a kapott eredmények nem kerülnek általánosításra, belőlük messzemenő következtetéseket nem vonunk le. 4. fejezet Mit értünk a sokaság nagysága alatt: Valamilyen jelenségnek a valóságban való elterjedtségét, méretét, egyfajta fontosságát jellemzi. A sokaság nagysága a valóságról nyújtott tömör és lényeges számszerű információ Milyen lehet egy sokaság nagysága: • Diszkrét véges sokaságok esetében nagyságát mérés útján állapítjuk meg.

Mértékegységgel fejezzük ki, ha ez nem adható meg akkor értékben adjuk meg. • Ha egy sokaság alapvetően azonos rendeltetésű, de eltérő nagyságú, fajtájú, kapacitású, mértékegységű elemekből, termékekből áll, akkor a sokaság nagyságát közös megállapodás alapján kialakított természetes mértékegységben adjuk meg. (pl egy megye állománya: számosállatban, EU államok GDP – euróban) • A végtelen sokaságok nagysága nem adható meg számszerűen. Megszámlálhatóan végtelen vagy nem megszámlálhatóan végtelen a nagysága. Mit értünk statisztikai osztályozás alatt: Az a statisztikai művelet, amelynek során egy adott sokaság egy- vagy több ismérv szerinti csoportra bontását, tagolását végezzük. Milyen osztályozási fajtákat ismer: Kivitelezési szempontból: • Hagyományos • Hierarchikus • Automatikus Mikor jó egy statisztikai osztályozás: Ha teljes, átfedésmentes és homogén. A statisztikai sorok milyen

típusait ismeri: • Idősorok • Területi sor • Minőségi sor • Mennyiségi sor Mi a statisztikai tábla: Kettő vagy több ismérv szerinti osztályozás eredménye. Milyen táblát nevezünk kontingencia táblának: 3/18 A két ismérv szerinti kombinativ osztályozás eredményét kombinációs, azaz kontingencia táblában rögzítjük. Milyen módszerekkel végezhetjük statisztikai adatok, sorok diagrammjának elkészítését: A statisztikai adatok információhordozók egy megfigyelt sokaságra nézve. Ezért elemzésük, vizsgálatuk révén az adott populációra nézve következtetéseket, összefüggéseket igyekszünk feltárni. Az elemzés alapvető módszerei a grafikus ábrázolás, a viszonyszámok, középértékek, indexek felhasználása és a szóródás vizsgálata. Típusai: • Ábrázolás mértani alakzatok felhasználásával, koordinátarendszerben vagy anélkül • Ábrázolás térképeken • Figurális ábrázolás Mivel adhatjuk meg egy

pont helyét a derékszögű- és mivel a poláris koordináta rendszerben: Derékszögű: az ismérv-változatokat az x tengelyen (abcissza), az adatokat, gyakoriságokat az y tengelyen (ordináta) ábrázoljuk. Poláris koordináta-rendszerben való ábrázoláskor egy ismérv változat és a hozzá tartozó adat által meghatározott pont helyét egy szög és egy szakasz segítségével jelöljük ki a síkon. Ez csak idő- és mennyiségi soroknál alkalmazható. Az ismérv változatnak szöget, az adatnak távolságot feleltetünk meg. Mit feleltetünk meg a kördiagrammos ábrázoláskor egy részsokaság adatának: a kördiagrammos ábrázoláskor egy teljes sokaság adatát megfeleltetjük a kör területének, a sokaságon belüli részsokaságok adatát pedig nagyságukkal arányos területű körcikkekkel szemléltetünk. A kör sugara tetszőleges lehet Mit értünk viszonyszám alatt: Két logikailag összefüggő statisztikai adat hányadosa. A hányadosban lévő két

adat közül, amelyhez viszonyítunk, viszonyítási alapnak, bázisnak nevezzük, ez az osztó. Amihez viszonyítunk, a tárgyadat, az osztandó. Milyen viszonyszámokat képezhetünk egynemű- és különnemű adatokból: Egynemű adatok: a viszonyszám mértékegység (dimenzió) nélküli szám. Különnemű: a viszonyszám mértékegysége a viszonyított adat és a bázis mértékegységének hányadosa. Egyneműnél: • Megoszlási viszonyszám, • Teljesítmény viszonyszám, • Dinamikus viszonyszám Különneműnél: • Intenzítási viszonyszám, Mit fejeznek ki a megoszlási viszonyszámok: Akkor képezünk, ha egy sokaság, illetve egy statisztikai sor ismérv-változatok szerinti szerkezetét akarjuk feltárni, más szóval a sor elemeit viszonyítjuk a sor összegéhez. Mit értünk relatív gyakoriság alatt: 4/18 Gyakorisági sorok esetén a gyakoriságokra is képezhetünk megoszlási viszonyszámokat. Megadja a tetszőleges i-ik gyakorisághoz tartozó

megoszlási viszonyszámot. Mi a különbség tervteljesítési- és tervfeladat viszonyszámok között: A gazdasági tevékenység során terveket készítünk bizonyos időszakra. A termelőmunka végzésekor pedig elérünk valamely tényleges eredményt, azaz teljesítjük a kitűzött feladatot bizonyos mértékben. A tervben előírt feladat teljesítésének mérése a terv teljesítési viszonyszámmal történik, jele Vt . (teljesítés) Ha a tervben kitűzött terv adatot egy előző időszak tényleges adatához viszonyítjuk, akkor a tervfeladat viszonyszámot kapjuk, jele: Vtf. (feladatvállalás) Milyen statisztikai sorokra és hogyan képezzük a bázis- és láncviszonyszámokat: A dinamikus viszonyszámok idősorok – állapot, vagy tartam – adatainak összehasonlítására szolgálnak, azaz az időbeli változás mértékét fejezik ki, jele: VD. A viszonyítási időpontot bázisidőnek, ennek adatát bázisidő adatának nevezzük. A viszonyított adat a

tárgyidő adata. Ha egy idősorra nézve a viszonyszámok képzése során a bázisidő adata mindig ugyanaz, akkor a dinamikus viszonyszámot állandó bázisú viszonyszámnak – bázisviszonyszámnak nevezzük – VDÁ. Ha változik esetről esetre a bázisidő adata, akkor változó bázisú viszonyszámnak – láncviszonyszámnak nevezzük – VDV. A dinamikus viszonyszám= tárgyidő adata/bázisidő adata. Hogyan határozzuk meg az idősor átlagos változási ütemét: Milyen összefüggéseket ismer ugyanazon idősor állandó- és változó bázisú viszonyszámai között: Egyik a másik ismeretében is kiszámítható, nemcsak az adatokból. Első összefüggés: V VDV ,k = DÁk , azaz egy adott k-ik (k≥2) időponthoz tartozó változó bázisú viszonyszámot az VDÁk −1 adott időponthoz és az azt megelőző időponthoz tartozó állandó bázisú viszonyszámok hányadosa adja, mivel xk V DÁk x x = b = k = VDvk lesz a törtek osztása és az egyszerűsítés

elvégzése után. x k −1 x k −1 V DÁk −1 xb Második összefüggés: Egy k-ik időponthoz tartozó állandó bázisú viszonyszám egyenlő az elsőtől a k-ik levő viszonyszámok szorzatával, ha a bázisadat x1. Így VDÁK = VDV 2 * VDV 3 . * VDvk , mivel csak a 2. adattól kezdve van láncviszonyszám x x x x Előző igaz, mert VDÁK = VDV 2 * VDV 3 . * VDvk = 2 3 . * k = k = VDÁk lesz az x1 x 2 x k −1 x1 egyszerűsítések elvégzése után. 5/18 Mit mutat meg egy intenzitási viszonyszám szám része: A különnemű, eltérő mértékegységű, de valamely módon egymáshoz kapcsolódó két adat hányadosát intenzitási viszonyszámnak nevezzük. Búzatábla területe: 27 hektár Termett termés: 140,4 tonna Termés/terület = termésátlag (140,4/27=5,2t/ha). Az 5,2 t/ha azt fejezi ki, hogy 1 ha termőterületre 5,2 termésmennyiség esik. A 27 fő/100 ha azt fejezi ki, hogy egy gazdasági egységben 100 ha-ra 27 dolgozó jut. Mit értünk egy sokaság

középértéke alatt: A sokaságok vizsgálata során célunk, hogy az alapadatok formájában a sokaságokról rendelkezésünkre álló információt sűrítsünk, a sokaságot valamilyen mennyiségi ismérv szerint tömören, egy adattal jellemezzük. Ez a középérték, ezt azonos fajta adatok halmazából számítjuk. Számított középérték (átlag) definíciója: • Számtani (aritmetikai): az az adat, amellyel az átlagolandó adatokat helyettesítve azok összege nem változik. • Mértani (geometriai): valamely jelenség átlagos változási ütemének megállapítására használjuk. • Négyzetes (quadratikus): az az adat, amelynek négyzetét az átlagolandó adatok négyzete helyére téve a négyzetek összege nem változik. Milyen esetben számítunk egyszerű-, mikor súlyozott átlagot: Ha minden adat egyszer fordul elő, akkor a számtani átlagot az adatok összegének és adatok számának hányadosa adja – egyszerű számtani átlag. Akkor használunk

súlyozott átlagot, ha az adatok gyakorisága különböző. Adja meg az átlagok kiszámítási képleteit egyszerű- és súlyozott esetben is: Egyszerű: a sokaság minden eleméről van adatunk, azaz az alapadatok állnak rendelkezésünkre, és minden adat csak egyszer fordul elő. A sokaság N elemű, akkor N adatunk van. Ha N adat között van olyan ami többször is előfordul, akkor az adatok gyakorisága (f) különböző. Az x1 adat gyakorisága f1 , x 2 − é , f 2 , és ha k különböző adatunk van, akkor x k -é legyen k f k . A N= ∑ f i áll fenn ekkor i =1 Ha az alapadatokat osztályközös gyakorisági sorba rendezzük, amelynek során k db ismérvváltozatot, osztályt alakítunk ki, így az osztályok gyakorisága különböző lehet. Az egyes osztályokba esés gyakoriságát f-el jelöljük, az i-ik osztályba esés gyakorisága f i , ahol k i= 1, 2, . , k és a ∑f i =1 i = N. Az egyes osztályokat az osztályközepek képviselik, mint adatok ( xci

). Számtani átlag definicíója: ha az X mennyiségi ismérv ismérvértékeit, illetve az adatokat x1 , x 2 ,.x N − el , ezek átlagát pedig x - al jelöljük, akkor 6/18 N x1 + x 2 + . + x N = x1 + x 2 + + x N , ebből N ∑ xi = N * x, kifejezve x = ∑x i =1 i , azaz ha N minden adat egyszer fordul elő, akkor a számtani átlagot az adatok összegének és adatok számának hányadosa adja. Súlyozott számtani átlag: Ha az adatok gyakorisága különböző és az x1 gyakorisága f1 , x 2 − é f 2 , ., x k − é f k , i =1 k akkor az adatok összeg f1 * x1 + f 2 x 2 + . + f k * x k = ∑ f i + xi , az adatok N számát az i =1 k f 1 + f 2 + . + f k = ∑ f i * xi , összeg adja. i =1 k Így x = ∑f i =1 i * xi k ∑f i =1 , ahol k a különböző adatok száma és i=1,2,., k i Mit értünk medián és mit módusz alatt: Medián: (középszám) az az ismérvérték (adat), amelyiknél az összes előforduló ismérvérték (adat) fele kisebb,

fele nagyobb. A sokaság nagyságsorrendbe rendezett tagjai közül a középső. Módusz: az az ismérvérték, amely a statisztikai sokaságban leggyakrabban fordul elő. A leggyakoribb ismérvérték, folytonos mennyiségi ismérv esetén pedig a gyakorisági görbe maximumhelye. Lehet egymóduszú vagy több móduszú a gyakorisági sor Ha a gyakoriség egyenlő akkor a módusz nem értelmezhető. Milyen képletekkel számítjuk ki a mediánt és a móduszt osztályközös gyakorisági sorok esetén: Ha az adatok külön-külön adottak, akkor a mediánt úgy határozzuk meg, hogy az adatokat N +1 nagyság szerint sorba rendezzük és ha páratlan számú adatunk van, akkor a medián az 2 dik adat lesz, azaz a középső, ha N az adatok száma. Ha páros számú adat van, akkor a rangsor két középső adatának a számtani átlaga lesz a medián. Sorszámuk N/2 és N/2+1 Ha osztályközös gyakorisági sorból kell meghatározni, akkor a mediánt tartalmazó osztályt kell

kiválasztani, meghatározni. Az az i-edik osztályköz tartalmazza a mediánt, amelynél N először áll fenn, hogy f i ≥ , ahol i=1,2,.,k, az osztályok számát jelöli k, az f i , pedig az 2 i-edik osztály felfelé kumulált gyakorisága. N − f me −1 Medián Képlet: Me= x me + 2 * hme f me Xme: mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa f’me-1: a mediánt megelőző osztályköz felfelé kumulált gyakorisága fme: a mediánt tartalmazó osztályköz gyakorisága hme: a mediánt tartalmazó osztályköz hossza 7/18 Módusz képlet: Mo = x mo + da * hmo , ahol da + d f x mo : a móduszt tartalmazó osztály alsó határa f mo : a móduszt tartalmazó osztály gyakorisága d a = f mo − f mo −1 , itt f mo −1 a móduszt tartalmazó osztály megelőző osztály gyakorisága d f = f mo − f mo +1, itt f mo +1 a móduszt tartalmazó osztályt követő osztály gyakorisága hmo : a móduszt tartalmazó osztályköz hossza. Milyen kérdésre adunk választ

aggregált sokaságból számított indexekkel: Két különböző minőségű, mértékegységű adatsorral, változóval jellemzett jelenségek – termékek – időbeli, illetve térbeli összehasonlítása történik az aggregátumok felhasználásával, összehasonlításával. A különböző minőségű, mértékegységű, azaz aggregált sokaságok értékben megadott nagyságát nevezzük aggregátumnak. Mit értünk egy termék értéke alatt: Mi a különbség az egyedi index és az index között: Ha Az időben vagy térben különböző két sokaság összehasonlítását végezzük. A két különböző sokaság értékben kifejezett nagyságának hányadosa az index. Egyedi index esetén a kérdésre egy termékre vonatkozóan válaszolunk. Indexekkel 3 kérdésre adunk választ: • Hogyan változott meg a termelés értéke a bázisidőszakhoz viszonyítva a tárgyidőszakban a mennyiség és az egységár változás együttes hatására? – értékindex • Hogyan

változott meg a termelés értéke csak a mennyiségi változás hatására? – volumenindex • Hogyan változott meg a termelés értéke csak az egységár változás hatására? – árindex. Miben egyezik és miben különbözik az érték-, volumen-, és árindex kiszámítása: • Értékindex: a tárgyidőszak értékét osztjuk a bázisidőszak értékével, a mennyiségi és az egységár is változik a bázisidőszakhoz képest. • Volumenindex: az értékváltozást csak a mennyiség függvényében vizsgáljuk, miközben az egységár állandó. • Árindex: az értékváltozást csak az egységár változásának függvényében vizsgáljuk, miközben a mennyiség állandó. Adja meg az érték-, volumen- és árindex kiszámítási képleteit: Értékindex: n Iv = ∑q i =1 n ∑q i =1 li * pli 0i * p 0i Volumenindex: 8/18 n I = 0 q ∑q * p 0i ln i i =1 ∑q i =1 0i * p 0i Árindex: n I = 1 p ∑q i =1 n 1i ∑q i =1 li * p1i * p 0i

Milyen összefüggések vannak köztük: 1, iv ,k = iq ,k * i p ,k 2, I v = I q0 * I 1p I v = I q1 * I p0 I v = I qF * I pF Mikor alakulnak ki indexsorok: Kettőnél több időszakra vonatkozó, azonos típusú indexek sorozata. Képzését kétféle módon végezhetjük: ha minden időszakot ugyanahhoz a bázisidőszakhoz viszonyítunk, akkor bázisindexsorokat kapunk. Ha minden időszakot az őt közvetlenül megelőző időszakhoz viszonyítunk, akkor láncindexsort kapunk. Milyen kérdésre adnak választ az intenzitási viszonyszámokból számított indexek: • Az egy főre jutó termelési érték, azaz a termelékenység. • Egyes növények termésátlagai • A népsűrűség • Állateltartó képesség • Az egy főre jutó jövedelem Mi a különbség főátlag és részátlag között: Főátlag: hogyan változik meg az összetett intenzítási viszonyszám az összetétel és a részátlagok együttes változásának hatására. Részátlag: hogyan változik meg a

főátlag csak a részátlagok változásának hatására. Miben egyezik és miben különbözik a főátlagindex, a részátlagindex és az összetételhatás index kiszámítása: Főátlagindex: (I)a tárgyidőszak főátlagát elosztjuk a bázisidőszak átlagával. Nincs mértékegysége, mivel a két főátlag azonos mértékegységű, ezért %-ban kifejezhető: I=I’*I” A részátlagindexet (I’) úgy számítjuk ki, hogy csak a részátlagok változásának függvényében vizsgáljuk a főátlagok változását, miközben az összetétel állandó, mégpedig a tárgyidőszak összetételét vesszük állandónak, standardnak. Az összetételindex (I’’) kiszámításánál csak az összetétel-változást vesszük figyelembe, miközben a részátlagok állandók, mégpedig a bázisidőszak részátlagait vesszük standardnak. Hogyan adhatjuk meg az értékváltozás illetve a főátlagváltozás nagyságát: Bármelyik index kiszámításakor a tárgyidőszak és

bázisidőszak értékének különbsége adja az értékváltozás nagyságát. 9/18 Főátlagok: az összetett intenzitási viszonyszámok, melyeket a részsokaságok intenzitási viszonyszámainak súlyozott számtani átlaga adja. Főátlagváltozás nagysága: Mit értünk adatok szóródása alatt: Azonos tulajdonságú észlelési adatok, egymástól vagy valamely középértéktől való eltérését, különbözőségét szóródásnak nevezzük. Milyen mutatókkal mérjük a szóródást: • A szóródás terjedelme – R • A kvartilis eltérés – Q • Az átlagos eltérés – ∂ (delta) • A négyzetes átlageltérés vagy szórásnégyzet (variancia) - σ 2 • A szórás σ (szigma) • A szóródási együttható (variációs koefficiens) vagy relatív szórás (CV vagy s%) Mit értünk szórásnégyzet (variancia) és mit szórás alatt: A statisztikai adatok által képviselt sokaság jellemzésére a középérték mellett a leggyakoribb mutató

(paraméter) a négyzetes átlageltérés más néven szórásnégyzet (variancia). Ennek pozitív négyzetgyöke a szórás, ami a sokaság változékonyságát fejezi ki. Az átlagtól való eltérések négyzetének átlagát nevezzük szórásnégyzetnek, amit szigma négyzettel jelölünk. Milyen esetben számítunk tapasztalati- és milyen esetben korrigált szórást: Milyen két mutatóval jellemzünk egy sokaságot: 4. fejezet Milyen esetben szükséges a minták alapján végzett statisztikai elemzés: • Gazdasági- társadalmi jelenségek vizsgálatakor: pl. egy egész ország lakosságának véleményét, vagy életkörülményeit vizsgáljuk akkor nincs mód mindenki megkérdezésére ezért mintát veszünk és ennek eredményéből következtetünk az egészre. Induktív elemzés: Az az eljárás, módszer, amikor a minta vizsgálati eredményeiből következtetünk a teljes sokaság jellemzőire (átlag, szórás, értékösszeg, arány). Mit értünk mintasokaság

alatt: A teljes sokaságot jól reprezentáló részsokaság. Mi a minta: A mintasokaság elemeiről szerzett alapadatok. Milyen mintavételi eljárásokat ismer: • Véletlen kiválasztáson alapuló mintavételi módszerek: 10/18 • o Egyszerű véletlen, o Rétegezett, o Csoportos és többlépcsős, o Szisztematikus kiválasztás Nem véletlen kiválasztáson alapuló mintavételi módszerek o Kvóta (arány) szerinti, o Koncentrált, o Önkényes kiválasztás Milyen mintát nevezünk FAE mintának: Az ismertetésre kerülő próbák mindegyike a véges sokaságok esetén véletlen, visszatevéses mintavételt, végtelen sokaságok esetén, véletlen visszatevéses vagy visszatevés nélküli mintavétellel nyert mintát igényel. Az ilyen mintákat független, azonos eloszlású mintáknak, röviden FAE mintáknak nevezzük. Mely változókat nevezünk valószínűségi változóknak: A visszatevéses mintavételnél, kiválasztunk egy elemet a sokaságból,

megfigyeljük vagy megmérjük a vizsgált ismérvértéket, az alapadatot lejegyezzük, majd az elemet visszatesszük a sokaságba. Ezután kiválasztjuk a következő elemet, megállapítjuk az ismérvértékét, majd visszatesszük és így tovább, n-szer ismételve. Ha így teszünk akkor minden elemnek ugyanakkora az esélye, hogy a mintába kerüljön, hiszen mindig N számú sokaságból kerül kiválasztásra. Tehát a mintaelemek egymástól függetlenek és azonos eloszlású valószínűségi változók. Mit értünk statisztikai becslés alatt: A sokasági jellemzők közelítő értékeinek számszerű meghatározását jelenti mintából számított jellemzők alapján, becslőfüggvények segítségével. Milyen módszerekkel végezzük a becslést: o A becslőfüggvény olyan képlet, ami valamely sokasági jellemző mintából történő közelítő kiszámítására szolgál. Ez a függvény egy n elemű mintához egy értéket rendel hozzá. Mivel egy valós

számnak a számegyenesen egy pont felel meg, ezért az ilyen, egy pontot adó becslést pontbecslésnek nevezzük. o Lehet olyan becslést is végezni, amelynek eredményeként egy intervallumot adunk meg. Ez az intervallumbecslés Amely során olyan intervallumot adunk meg, számítunk ki, amely előre megadott valószínűséggel tartalmazza a vizsgált, ismeretlen jellemzőt. Mely paraméterek becslésére ismertünk meg eljárást: o Várható érték (számtani átlag) becslése o Értékösszeg becslése Sorolja fel a statisztikai becslés lépéseit logikai sorrendben: o a szükséges mintaelemszám meghatározása: n o a mintavétel végrehajtása: egyszerű, véletlen mintavétel, amely lehet visszatevéses vagy visszatevés nélküli, eredménye: x x1 , x 2 ,., x n adatok n o a becslőfüggvény alapján µ = x becslése: x = 11/18 ∑x i =1 n i n ∑ (x o a korrigált szórás kiszámítása: s= i =1 i − x) 2 n −1 o az átlag standard hibájának

kiszámítása: s x = s visszatevéses, s x = s * 1− n N n n visszatevés nélküli esetben, ahol N az alapsokaság elemszáma. o A konfidencia intervallum határainak kiszámítása: α megadása után ha = x − h és hf = x + h o A becslés jóságát szoktuk jellemezni a relatív hibával: V= h * 100% , amely minél x kisebb, annál jobb a becslés. Milyen tulajdonsággal rendelkezik a becslés eredményeként kapott konfidencia intervallum: Szimmetrikus, kétoldali. Mit értünk standard hiba és hibahatár alatt a becsléseknél: Mit értünk hipotézis alatt a statisztikában: Vannak olyan esetek amikor a sokasággal kapcsolatosan nincs elegendő információnk, ismereteink hiányosak. Úgy járunk el, hogy a sokaság kérdéses problémáját illetően egy feltevést, egy feltételes állítást fogalmazunk meg, aminek igazságáról nem vagyunk meggyőződve. Ez a feltevés a hipotézis Mire szolgálnak a statisztikai próbák (tesztek): A különböző hipotézisek

vizsgálatára szolgáló módszerek. Nullhipotézis és alternatív hipotézis: A vizsgálatra kerülő hipotézis megfogalmazása két lépésből áll. Először megfogalmazzuk egyértelműen a vizsgálni kívánt hipotézist, ezt nevezzük nullhipotézisnek. Utána az ebben megfogalmazott állítás ellentetjét, ami az alternatív hipotézis. A vizsgált sokaságok változóinak mely paramétereire végeztünk hipotézisvizsgálatokat: Nincs elegendő információ, ismeretek hiányosak, ezért van szükség a hipotézisre. Pl. egy üzem által készített termék megfelel-e a szabvány előírásainak?, vagy két különböző péküzem azonos tömegű kenyereket süt-e?, vagy egy adott sokaság eloszlása normális eloszlás-e? Milyen paraméterekre illetve eloszlásra vonatkozó hipotéziseket vizsgáltuk a t, F és x 2 próbákkal: Ez a próbafüggvény. Ez a mintaelemek ( x1 , x 2 ,x n ) egy olyan függvénye, amelynek valószínűleg eloszlása ismert (normális eloszlás, t

eloszlás, F eloszlás, ² eloszlás). x Ennek képletét minden próbához megadjuk. A próbafüggvény értéke különböző minták esetén más 12/18 ás más, tehát egy valószínűségi változó. Egy adott mintára nézve a valószínűségi változó egy értékét adja. Hogyan állapítjuk meg, hogy a nullhipotézis elfogadható vagy sem: Milyen feltételei vannak a t próbák elvégzésének: Mire szolgál a varianciaanalízis: A várható értékek összehasonlítása történik. A szórásnégyzeteket használjuk fel. H 0 helyességének eldöntéséhez a Mit ellenőrzünk a Bartlett próbával: A hipotézisvizsgálatnál alkalmazzuk. Alkalmazásának feltétele az, hogy a vizsgált sokaságok eloszlása normális legyen. Végrehajtásához az egyes sokaságokból vett egy-egy független mintára van szükség. Miket kell ismerni a kritikus értékek táblázatból való kiolvasásához: P kvantilis (osztópont) értékét, v egy minta esetén: v=n-1, vagy

Szf=n-1. α megadása után: p=1- α baloldali kritikus tartománynál, ekkor c a = −t p (v) p=1- α 2 kétoldali kritikus tartománynál, ekkor c a = −t p (v) c f = t p (v) p=1- α jobboldali kritikus tartománynál, ekkor c f = t p (v) , ahol t p (v) a Student-féle t táblázatból a megfelelő p oszlopban és v-dik sorban található kritikus értékét jelenti. Előjelet vegyük figyelembe Ha a próbafüggvény számított értéke a c a , illetve c f kritikus értékek által meghatározott elfogadási tartományba esik, akkor H 0 igaz, ellenkező esetben hamis. Röviden: t €E, akkor H 0 igaz 1- α valószínűséggel. A x² próba során mit értünk standardizáláson: Célunk annak eldöntése, hogy a sokaság valamely vizsgált valószínűségi változója milyen valószínűségi eloszlású. x −x képlet alapján végzünk becsléses esetben. zi = i s Sorolja fel a hipotézisvizsgálatok lépéseit logikai sorrendben: • A nullhipotézis ( H 0 ) és

ellenhipotézise az alternatív hipotézis ( H 1 ) megfogalmazása • A megfelelő próbafüggvény kiválasztása • A mintavétel végrehajtása • A próbafüggvény értékének kiszámítása az adott minta alapján 13/18 • • Az α szignifikancia szint kiválasztása és a kritikus értékek meghatározása α és a szabadságfok (v) alapján a megfelelő táblázatból A H 0 és a H 1 helyességének eldöntése. Ha a próbafüggvény értéke az elfogadási tartományba (E) esik, akkor H 0 igaz, elfogadjuk – ellenkező esetben H 1 lesz az igaz 5. fejezet Mely ismérvek kapcsolatát nevezzük asszociációs-, vegyes- és korrelációs kapcsolatnak: Asszociációs: a két kapcsolatban álló ismérv minőségi vagy területi ismérv Vegyes: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi, a másik minőségi vagy területi ismérv Korrelációs: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (változó) Milyen mutatóval mérjük az asszociációs kapcsolatok szorosságát:

r k ( f − f * )2 ij ij , (khi négyzet). Ez a mutató az: x² = ∑ ∑ * f ij i =1 j =1 x² = 0, akkor X és Y ismérv független egymástól, ha x²=N*min{(r.1),(k-1)}, akkor X és Y között függvényszerű a kapcsolat, ha x² a kettő közötti értéket veszi fel, akkor a függetlenség és a függvényszerű kapcsolat között sztochasztikus kapcsolat áll fenn, ami annál erősebb, minél közelebb van x² a maximumhoz. Mely C értéknél, milyennek nevezzük a két ismérv közti kapcsolatot: C a Cramer-féle asszociációs együttható. Úgy kapjuk, hogy x²-et a maximális értékéhez az N*min{(r.1),(k-1)}-hez viszonyítjuk Ez lesz C² x2 C²= N * min{(r.1), (k - 1)}, Ennek négyzetgyökét, a C= C² -et nevezzük a Cramer-féle asszociációs együtthatónak. x² értelmezéséből és határaiból adódóan C értéke csak 0 és 1 közötti értéket vehet fel: 0 ≤ C ≤ 1 . Ha C=0, akkor X és Y függetlenek, azaz nincs köztük kapcsolat, ha C=1, akkor

függvénykapcsolat van köztük, a 0<C<1 esetben sztochasztikus a kapcsolat X és Y között, amely annál erősebb, minél közelebb van C értéke 1-hez. Milyen mutatóval mérjük a vegyes kapcsolatok szorosságát: Mennyiségi ismérv: Y, a másik (minőségi vagy területi) X. Itt az X ismérv szerint alakítunk ki ismérv-változatokat, osztályokat. Arra szeretnénk választ adni, hogy az Y változó értékeinek változását milyen mértékben befolyásolja az X ismérv. A kapcsolat mérésére szolgáló mutató,- amit variancia-hányadosnak nevezzük (H²), - ezt σ K2 fejezi ki. H²= 2 , azaz H²-et a külső szórásnégyzet és a teljes szórásnégyzet hányadosa adja σ Tehát H² az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által meghatározott része. Ha H² = 0 azt jelenti, hogy σ K2 =0, azaz az X szerint képzett részsokaságok átlagai egyformák, ami azt jelenti, hogy az X ismérv változatai nincsenek hatással Y szórásnégyzetére, tehát X és Y

ismérvek függetlenek. Ha H²=1 esetben a σ K2 = σ 2 áll fenn. Azaz az egyes osztályokon belül a szórásnégyzet σ B2 =0 Másképpen Y szórásnégyzetének megváltozását teljes egészében X osztályai határozzák meg, tehát X és Y kapcsolata függvényszerű. A 0< H²<1 esetben X és Y kapcsolata sztochasztikus 14/18 kapcsolat, amely a függetlenség és a függvényszerű kapcsolat között különböző erősségű attól függően, hogy H² mennyire van közel 1-hez. A korrelációs kapcsolatok vizsgálatát hány változó esetén végeztük el: X változó egy értékéhez Y változó egy értéke tartozik. Hogyan nevezzük a kapcsolatban, összefüggésben szereplő változókat: Befolyásoló változó (független változó) Eredményváltozó (függő változó) Sorolja fel a kétváltozós összefüggések, kapcsolatok vizsgálatának lépéseit logikai sorrendben: • Az ( xi , y i ) értékpárok vagy adatpárok grafikus ábrázolása derékszögű

koordináta rendszerben – a kapott pontdiagram elemzése • A pontdiagram alapján megsejtett, kiválasztott regressziós függvénytípus meghatározása, azaz együtthatóinak kiszámítása – regressziószámítás • A változók közti kapcsolat szorosságának megállapítása – korrelációszámítás • A kapott regressziós függvény illeszkedési jóságának megállapítása Miért szükséges a két változó mért adatainak grafikus ábrázolása: Mit jelent a regresszió: A változók között fennálló törvényszerű összefüggés Mit mond ki a legkisebb négyzetek elve: Egy-egy függvénytípus együtthatói bármely valós számot felvehetnek értékül, azaz végtelen sokat. Viszont nekünk olyan regressziós együtthatók kellenek, amelyek mellett a mért y i értékek és a függvény képletel alapján számított y i értékek közti különbségek négyzetösszege a lehető legkisebb, azaz minimális. Mely regressziós függvény típusokkal írtuk

le az összefüggéseket két változós esetben? Adja meg az analitikus regressziós függvények képleteit: Lineáris: Y= α + βx + ε y=a+b*x 2 Másodfokú: Y = α + βx + γx + ε y=a+b*x+cx² x Exponencionális: Y = α * β + ε y=a* b x Hatvány: Y = α * x β + ε y=a* x b β b Hiperbolikus: Y = α + + ε , ahol ε a hibatag. y=a+ , ahol a,b,c az elméleti regressziós x x függvényben szereplő α , β , γ becsült értékei. Mire szolgálnak a normál egyenletrendszerek: A regressziós függvény együtthatóinak (paramétereinek) kiszámítására szolgál. Mit vizsgálunk a korrelációszámítás során: A kétváltozós nem lineáris kapcsolatoknál a változók közti kapcsolat erősségének mérése. Milyen mutatókkal vizsgáljuk a változók közti kapcsolatok erősségét háromváltozós lineáris esetben: 15/18 Páronkénti korrelációs együtthatóval, amely a két befolyásoló változó együttese és az eredményváltozó közti kapcsolat

szorosságának mérésére alkalmas mutató. Adja meg r és I K képletét: n Lineáris korrelációs együttható: r= ∑ (x i =1 n i − x) * ( y i − y ) 2 n ∑ ( xi − x) * ∑ ( yi − y) i =1 n r= ∑x i =1 vagy 2 i =1 * yi − n x y i n *σ x σ y Korrelációs index: ∧   y y −  ∑ i i  i =1  n Ik = 1− ∑ (y n i =1 i −y 2 ) 2 Milyen mutatókkal vizsgáljuk a regressziós függvények a mért adatokra való illeszkedésének jóságát: - reziduális szórás (standard hiba) - relatív reziduális szórás (relatív hiba) Adja meg S E ésVE képletét: n Se = Ve = ∑e i =1 2 i n Se Se , vagyVe = * 100% y y Mit értünk reziduumok alatt: Ugyanazon xi -hez tartozó mért és számított y értékek különbsége (eltérés, hiba) Mi a különbség a páronkénti- és a parciális korrelációs együtthatók között: A három változós lineáris kapcsolatoknál két változó kapcsolatának szorosságát mérő

mutató /3 eset van/ (páronkénti korrelációs mutató), a másik ugyanezt úgy méri, hogy a harmadik változó hatását kiküszöböli /3 eset van/. Hogyan számítható ki és mit mutat meg a determinációs együttható: A lineáris korrelációs együttható négyzete %-ban kifejezve. Hogyan számítjuk ki és hogyan értelmezzük az elaszticitást: A regressziós függvény befolyásoló változója 1%-kal való megváltoztatásának eredményét adó mutató. 16/18 6. FEJEZET Az idősorokban szereplő két változó és a korrelációs vizsgálatokban szereplő két változó között mi a lényeges különbség: Az idősorok adatai egy változó mért értékeinek felelnek meg, amelyek bizonyos t időpontokhoz vannak hozzárendelve. Tehát itt olyan kapcsolatról van szó, amelyben az idő (t), a tényező változó (független változó) és az idősor az eredményváltozó (y), de az időpontok és az idősor értékei között nincs oksági kapcsolat. Mely

összetevőknek tulajdonítható az idősorok változása: - az alapirányzat, vagy trend - a periodikus vagy szezonális ingadozás - a véletlen ingadozás Mit nevezünk trendnek: Az idősorban tartósan érvényesülő alapirányzat, tendencia Milyen esetben végezzük a trendszámítást mozgó átlagolással: Ha az alapirányzatot, tendenciát az idősor hullámzása elfedi, ekkor először kiegyenlítjük az idősort. Azaz egy új kevésbé hullámzó idősort állítunk elő, amelyből már kitűnik az alapirányzat. Miért csökken az idősor ingadozása, ha az idősor valahány adata helyett azok átlagát szerepeltetjük: Mit jelent a centrírozás és mikor, hogyan végezzük: Középre igazítás, ami páros tagú mozgóátlagolásnál a két középső időpont közül a nagyobbikhoz való hozzárendelést jelenti. Milyen típusú analitikus függvényeket használunk a trendben felismert tendencia közelítő leírására: képletek: • • ∧ exponenciális trend: y

= a * b1 ∧ b hiperbolikus trend: y = a + t ∧ • hatvány trend: y = a * t b • parabolikus trend: y = a + b * t + c t 2 ∧ Milyen esetben végzünk az időpontokra transzformációt az analitikus trendszámítás során: Hogy a számítás a különböző időegységek (év, negyedév, stb) esetén egyszerűbb, könnyebb, egységesebb legyen a valódi időértékeket átalakítjuk, transzformáljuk. Miért nem végzünk korrelációszámítást az analitikus trendszámítás során: Mert az idő és idősor étékei, azaz a két változó között nincs oksági kapcsolat. Milyen mutatókkal vizsgáljuk a trendfüggvények a mért adatokra (rajtuk keresztül az idősorra) való illeszkedésének jóságát: • reziduumok szórása (Se) • relatív reziduális szórás (Ve) 17/18 Milyen két típusa van a periodikus ingadozásnak: • szezonális, idényszerű: évszakok, társadalmi szokások, hagyományok • konjukturális: gazdasági folyamatokban ciklusok Milyen

típusú kapcsolatok lehetnek a trend, a periodicitás és a véletlen között: • összegező (additív), azaz a három komponens eredőjeként létrejött idősor-értékekeket a trendérték, a szezonhatás és véletlen hatás összege adja. • Multiplikatív kapcsolat: az idősor értékeinek alakulását a három komponens szorzata határozza meg. Milyen mutatókkal mérjük a szezonhatás szerepét additív és multiplikatív esetben: T ∧    y ij − y ij  ∑  Additiv: Nyers szezonális eltérés: s j = i =1  , ahol j=1,2,., k T k Multiplikatív: Korrigált szezonális eltérés: s j = s j − s , ahol s = ∑s j =1 j k Hol használjuk és mit jelent a trend-extrapolációt: A trendfüggvényeknél az értelmezési tartományon kívüli t i értékre a helyettesítési érték kiszámítása 18/18