Matematika | Középiskola » Matematika szerb nyelven középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szerb nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 I. összetevő Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: Важне информације 1. Време за решавање задатака је 45 минута, након његовог истека треба завршити са радом. 2. Редослед решавања задатака је произвољан 3. Приликом решавања задатака могу се користити дигитрон (који не може да меморише и приказује текстуалне податке) и логаритамске таблице са четвороцифреним бројевима, коришћење других

електронских или писаних средстава је забрањено. 4. Коначно решење задатка упишите у одговарајуће оквире, решење задатка образложите само онда ако се то у тексту задатка захтева. 5. Задатке пишите хемијском оловком, а слике (скице) можете цртати обичном оловком. Осим слика, делове који су написани оловком наставник неће вредновати (оцењивати). Ако прецртате неко решење или део решења, тај део се неће вредновати. 6. Код сваког задатка се вреднује (оцењује) само једно решење У случају да покушате са више решења, једносмислено означите за које

решење сте се одлучили! 7. У сиве правоугаонике немојте ништа да уписујете! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2/8 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint 1. Név: . osztály: 1 у скупу реалних бројева, са x −3 1 изузетком броја 3. За коју вредност реалног броја x функција f има вредност ? 20 Функција Ф је дефинисана једначином f ( x) = x= 2. 2 бода Два странична вектора a и b полазе из једног темена ромба код којег се налази оштар угао. Помоћу ова два вектора изразите вектор дијагонале који полази из истог темена! Тражени вектор: 2 бода 3. За који реалан број x је тачна следећа

једначина? 2−x = 8 x= írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2 бода 3/8 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint 4. Név: . osztály: Од следећих графика одредите који је график функције g: R R , g ( x ) = 2 x + 1 , и одредите нулу функције g ! y y 1 y 1 1 1 A x 1 B Слово под којим се налази функција g: Нула функције: 5. x 1 C 2 бода 1 бод На колико се начина од шест књига за лектиру могу одабрати тачно четири? Број могућности: 2 бода 6. За два скупа, A и B, знамо да је A ∪ B = { x; y; z; u; v; w }, A B={ z; u }, B A={ v; w }. Направите скицу ових скупова и наведите елементе скупа A ∩ B ! 1 бод A∩ B ={ írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 } 4/8 1 бод

2012. május 8 x Matematika szerb nyelven középszint 7. Név: . osztály: Колико ће за две године бити вредност ороченог улога од 50 000 форинта, ако се вредност повећава за 10% у односу на претходну годину? Образложите свој одговор! 2 бода Вредност ороченог улога : 8. 1 бод Број N=437y51 представља шестоцифрен број дељив са три у декадном систему бројева. Напишите могуће бројне вредности вредности за y ! Могуће бројне вредности вредности за y: írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 5/8 2 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint 9. Név: . osztály: Установите место максимума и вредност максимума функције f: R

R, f ( x) = −( x − 6) 2 + 3 ! Место максимума функције: 1 бод Вредност максимума функције: 1 бод 10. У возу у једном купеу путује пет путника Међу њима једна особа познаје троје других, три особе имају по 2 познаника, а једна особа познаје само једног сапутника. (Познанства су узајамна) Скицирајте ову групу путника једним графом могућих познанстава! Један граф могућих познанстава: 3 бода írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 6/8 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: 11. Одредите координате центра кружнице чија је једначина x 2 + y 2 − 4 x + 2 y = 0 ! Колики је полупречник

кружнице? Образложите свој одговор! 2 бода Центар кружнице: 1 бод Полупречник кружнице: 1 бод 12. Међу доле наведеним тврдњама одредите која је тачна, а која нетачна! A: Од два реална броја већи је онај чији је квадрат већи. Б: Ако је један број дељив са 5 и са 15, дељив је и са њиховим производом. Ц: Од два различита оштра угла, мањи угао има већу вредност косинуса. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 A: 1 бод Б: 1 бод Ц: 1 бод 7/8 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint I део Név: . osztály: Максималан број бодова 1. задатак 2 2. задатак 2 3. задатак 2 4. задатак 3 5. задатак 2 6. задатак 2 7.

задатак 3 8. задатак 2 9. задатак 2 10. задатак 3 11. задатак 4 12. задатак 3 УКУПНО 30 датум Постигнут број бодова наставник који исправља programba elért pontszám beírt egész egész számra pontszám/ kerekítve / број целих постигнут број бодова заокружен бодова уписаних у програм на цео број I. rész/ I део javító tanár/ наставник који исправља jegyző/записничар dátum/ датум dátum/ датум Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész maradjon üresen! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási

rész kitöltendő! Напомене: 1. Ако је кандидат започео решавање II дела писменог испита, онда ова табела и део са потписима остају празни ! 2. Ако се испит током решавања I дела прекине, односно не наставља се II делом, онда се табела и део са потписима испуњавају ! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 8/8 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szerb nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika szerb nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 2 / 16 2012. május 8 Matematika szerb nyelven

középszint Név: . osztály: Важне информације 1. Време за решавање задатака је 135 минута, након његовог истека треба завршити са радом. 2. Редослед решавања задатака је произвољан 3. У Б делу од три задатка треба решити само два Након завршетка рада упишите у доњи квадрат редни број задатка који не решавате! Ако наставник који исправља не може једносмислено да утврди за који задатак не желите да се бодује, онда за 18. задатак нећете добити бодове 4. Приликом решавања задатака могу се користити дигитрон (који не може да меморише и приказује текстуалне

податке) и логаритамске таблице са четвороцифреним бројевима, коришћење других електронских или писаних средстава је забрањено. 5. У сваком случају запишите поступак који сте применили приликом решавања задатака, јер се за то даје значајан део бодова! 6. Трудите се да значајнији делови прорачуна могу да се прате и контролишу! 7. Међу теоремама које сте користили приликом решавања задатака, оне које сте већ учили у школи и имају своје име (нпр. Питагорина теорема, теорема о висинама) није потребно тачно објаснити; довољно је споменути назив

теореме, али примену треба кратко образложити. 8. Коначно решење задатка (одговор који се даје на постављено питање) наведите и у текстуалном облику! 9. Задатке пишите хемијском оловком, а скице можете цртати обичном (графитном) оловком. Деловe који су писани графитном оловком – осим скица – наставник који исправља неће оцењивати. Ако прецртате неко решење или део решења, тај део се неће вредновати. 10. Код сваког задатка се вреднује (оцењује) само једно решење У случају да покушате са више решења, једносмислено означите за које решење сте се

одлучили! 11. У сиве правоугаонике немојте ништа да уписујете! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 3 / 16 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: A 13. Десети члан једног аритметичког низа је 10, а разлика тог низа је 4 a) Павле тврди да десети члан овог низа написан у бинарном систему износи 1011. Потврдите или оповргните Павлетову тврдњу! б) Колики је први члан овога низа? ц) Одредите најмањи троцифрени члан овога низа! Који је то по реду члан низа? д) Колико елемената садржи скуп чији су елементи двоцифрени позитивни бројеви овога низа? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 4

/ 16 a) 3 бода б) 2 бода ц) 4 бода д) 3 бода У.: 12 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 5 / 16 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: 14. Болница града Недођије је изнела следеће податке: од 12 320 становника града Недођија у прошлој години су дуже или краће време у градској болници лечили 1978 особа. a) Колика је вероватноћа да су једног случајно изабраног становника града Недођије лечили у болници у прошлој години? Вероватноћу одредите заокружену на две децимале! Током те године, од болесника на болничком лечењу 138

особа је било испод 18 година, 633 особе између 18 и 60 година, а остали су били старији. Профил становништва града је: 24% су изнад 60 година, а 18% су испод 18 година. (Приликом прорачунавања можемо да претпоставимо да у граду Недођији није дошло до значајније промене података током једне године.) б) Направите кружни дијаграм расподеле лечених болесника по старости! Напишите прорачуне који су потребни за цртање дијаграма! ц) За колико је већа или мања вероватноћа догађаја под а), од вероватноће да случајно изаберемо некога од особа старијих од 60 година

(такође лечених у болници)? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 6 / 16 a) 3 бода б) 5 бода ц) 4 бода У.: 12 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 7 / 16 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: 15. Геодети на основу одговарајуће нивелације раде са следећом шемом (у равни) Тачку Q од осталих тачака раздваја једна река. Геодета који је радио у тачки A је био удаљен од тачке P 720 метара, а тачке P и Q је видео на једној правој. Угао PAB је измерио да је 53º Геодета који био у тачки B је био удаљен од тачке A 620 метара, а угао ABQ је измерио да је 108º.

На основу датих података, израчунајте растојања BP; PQ и BQ ! Q Решење заокружите на метре! P A У.: B írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 8 / 16 12 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 9 / 16 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: Б Међу задацима 16–18. треба решити два по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3! 16. Шаховске репрезентације две државе, екипа A и екипа B се у једном кампу заједно припремају за светски шампионат. У првој недељи спортисти из исте државе

играју своје првенство по лигашком систему, дакле сваки спортиста игра по један меч са сваким својим сународником. Екипа A је допутовала са 7 играча, а играчи екипе B су одиграли укупно 55 мечева. a) Колика мечева је одиграла екипа A, а колико чланова има екипа B? У другој недељи је сваки од 6 одабраних играча из екипе A играло против 8 играча екипе B, по систему са сваким. б) Колико мечева је укупно било одиграно у другој недељи? На крају кампа за припреме су за све играче организовали томболу са четири поклона који су били идентични предмети. Један

играч може да добије само један поклон. ц) Колика је вероватноћа да један играч из екипе A и три играча из екипе B добију поклоне? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 10 / 16 a) 7 бодова б) 3 бода ц) 7 бодова У.: 17 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 11 / 16 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: Међу задацима 16–18. треба решити два по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3! 17. a) Решите следећу једначину у скупу реалних бројева! lg(2 x − 1) + lg(2 x − 3) = lg 8 б) За угао x

једног троугла важи једначина 4 cos2 x − 8 cos x − 5 = 0 . Колико износи тај угао? ц) Решите следећу једначину у скупу реалних бројева! 4y − 5 = 8 y д) Дато је седам таквих различитих реалних бројева, међу којима је и решење једначине под словом ц). Ове бројеве ћемо написати по неком редоследу Колики је број таквих редоследа са датим бројевима где се поменути број из задатка ц) налази у средини? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 12 / 16 a) 6 бодова б) 4 бода ц) 4 бода д) 3 бода У.: 17 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 13 / 16 2012. május 8

Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: Међу задацима 16–18. треба решити два по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3! 18. Средњи део једног резервоара за воду је прави ваљак чији је пречник основе 6м, а висина 8м, доњи део је облика полусфере (полулопта), а горњи део је облика праве купе. Висина купе је 3м Резервоар је постављен вертикално, на скици је приказан један пресек са осом симетрије. a) Колико квадратних метара површине треба премазати са водонепропусним материјалом приликом

реконструкције целе унутрашње површине резервоара? б) Колико кубних метара воде има у резервоару, ако је он напуњен до 85% висине? Дебљина водонепропусног материјала се може занемарити. Решења нека буду заокружена на целе бројеве! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 14 / 16 a) 6 бодова б) 11 бодова У.: 17 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 15 / 16 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Név: . osztály: редни број задатка максималан број бодова 13. 12 14. 12 15. 12 II/A део постигнут број бодова укупно 17 II/Б део 17 ← изостављени задатак УКУПНО 70

максималан постигнут број број бодова бодова I део 30 II део 70 Број бодова писменог дела испита 100 наставник који исправља датум elért programba pontszám egész beírt egész számra kerekítve/ pontszám/ постигнут број број целих бодова бодова заокружен на уписаних у програм цео број I. rész/ I део II. rész/ II део javító tanár/ наставник који исправља jegyző/ записничар dátum/ датум dátum/ датум írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 16 / 16 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1111 MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI

ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Важне информације Формални захтеви: 1. Задатак треба исправити хемијском оловком другачије боје од оне коју користи кандидат, а грешке, недостатке итд. обележити одговарајући наставничкој пракси 2. Међу сивим правоугаоницима који су поред задатака у првом је максималан број бодова за тај задатак, а у други наставник уписује постигнут број бодова за тај задатак. 3. У случају потпуно исправног решења (без грешке) у одговарајући правоугаоник је довољно уписати максималан број

бодова. 4. У случају решења са недостатком/грешком, молимо да се на задатак напише појединачи делимични број бодова. 5. Осим скица (цртежа), делове који су написани графитном оловком наставник не може да вреднује (оцењује). Садржајни захтеви: 1. Код појединих задатака смо дали бодовање за више начина решавања Уколико се нађе тачно решење различито од наведених, потражите у упутству делове који се подударају и на основу тога извршите бодовање! 2. Бодови у упутству се могу даље разложити Међутим, број бодова који се додељује може бити само цео број.

3. У случају тачног поступка решавања и коначног решења максималан број бодова се даје и онда ако је код кандидата опис из упутства дат са мање детаља. 4. Ако у решењу има рачунске грешке, нетачности, бодови се не дају само на онај део где је ученик начинио грешку. Ако са погрешним делимичним резултатом даље ради тачним поступком, а проблем за решавање се у суштини не мења, додељују му се даљи делимични бодови. 5. У случају принципијелне грешке у оквиру једне мисаоне целине (у упутству означено двоструком линијом) ни за формално тачне математичке

поступке се бодови не додељују. Уколико ученик наставља са радом и као почетни податак узима лоше решење које је добио због принципијелне грешке, а даље тачно рачуна у следећој мисаоној целини или делу питања, онда за тај део добија максималан број бодова, уколико се проблем за решавање у суштини није променио. 6. Ако се у упутству за решавање у загради налази нека напомена или нека мерна јединица, у случају њиховог недостатка се решење сматра да има потпуну вредност. 7. Од више тачних покушаја решења за један задатак вреднује се она варијанта

коју је кандидат означио. 8. За решења се наградни бодови (бодови који прелазе прописани максимални број за дати задатак или његов део) не могу доделити. 9. За делимичне прорачуне који су са грешкама али их кандидат при решавању задатка није искористио не одузимају се бодови. 10. Од означених задатака у испитном делу II/Б се од 3 задатка вреднују само решења за 2 задатка. Кандидат је уписао у квадрат – вероватно – редни број задатка чије вредновање неће ући у укупан број бодова. Према томе, евентуално дато решење за означени задатак ни не треба

исправљати. Ако није једносмислено јасно за који задатак кандидат не жели да се бодује, онда ће задатак који се не бодује аутоматски бити онај који је последњи по истакнутом редоследу. írásbeli vizsga 1111 2 / 13 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. x − 3 = 20 1 бод x = 23 1 бод образложења се дају оба И за одговор без бода. Укупно: 2 бода Укупно: Ако се из одговора не 2 бода види да су a и b вектори, даје се само 1 бод. 2 бода Укупно: 2 бода 2 бода Слово под којим се налази функција g : B. Нула функције: ( x =) − 1. Укупно: 2 бода 1 бод 3 бода 2. a+b 3. x = −3

4. 5. Број могућности је 15. Укупно: ⎛6⎞ 2 бода Прихвата се и ⎜⎜ ⎟⎟ -! ⎝ 4⎠ 2 бода 6. Тачна скица. A z u B x y v w 1 бод A ∩ B = {x; y} Укупно: 1 бод 2 бода Укупно: 2 бода се дају и ако без формуле напише: 1 бод 50 000 ⋅1,12 . Ако добро израчуна вредност после 1 1 бод године, а затом лоше настави, добија 1 бод! 3 бода 7. t 2 = t0 ⋅ q 2 1 бод t2 = 50 000 ⋅1,12 Вредност ороченог улога: 60 500 Ft. írásbeli vizsga 1111 3 / 13 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 8. За једно или два добра решења укупно 1 бод. 2 бода Ако се у решењу налазе и погрешне вредности, бод се не додељује. Могуће

вредности за y : 1; 4; 7. Укупно: 2 бода Укупно: 1 бод 1 бод 2 бода 9. Место максимума функције: 6. Вредност максимума функције: 3. 10. На скици се налази тачно један чвор трећег степена, тачно три чвора другог степена и тачно један чвор првог степена. Укупно: 11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 1 бод 1 бод 1 бод 3 бода За тачно скицу се дају сва 3 бода. 2 бода се дају и у случају да добро примењује 2 бода одговарајуће формуле из логаритамских таблица. Центар је тачка са координатама O(2; –1) , а полупречник је 5 . Укупно: 1 бод 1 бод 4 бода 12. A: нетачно. B: нетачно. C: тачно. Укупно: írásbeli

vizsga 1111 4 / 13 1 бод 1 бод 1 бод 3 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 10112=11, Павлетова тврдња је нетачна. Укупно: 2 бода 1 бод 3 бода Укупно: 1 бод 1 бод 2 бода 13. б) 10 = a1 + 36 a1 = −26 13. ц) први начин − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100 2 бода n ≥ 32,5 ; дакле 33. члан низа Тражени члан је a33 = 102 . Ако у релацији нешто недостаје, даје се 1 бод. 1 бод Укупно: 1 бод 4 бода 13. ц) решење на други начин Делећи са бројем 4 у овом низу, ради се о бројевима са остатком два. Међу њима је најмањи троцифрен број 102. 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Дакле, ради се о 10 + 23 = 33. члану низа Укупно: 1 бод 1

бод 1 бод 1 бод 4 бода 13. д) Први одговарајући члан је a10 = 10 , а последњи a32 = 98 , зато скуп има 22+1=23 елемента. Укупно: írásbeli vizsga 1111 5 / 13 2 бода 1 бод 3 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) p= Уколико се ова мисао види k ⎛ број повољних случајева ⎞ ⎜= ⎟ n ⎜⎝ број укупних случајева ⎟⎠ 1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод. 1978 ≈ 12320 ≈ 0,16 p= 1 бод Укупно: 1 бод ≈16,06% 3 бода 14. б) између 18 и 60 год. испод 18 год. изнад 60 година Број лечених особа које су изнад 60 година: 1978 − 138 − 633 = 1207 . За 138 особа испод 18 год. је на кружном дијаграму 138

⋅ 360° ≈ 25o -одговарајући угао. 1978 За 633 особе између 18 и 60 год. је на круж диј ⎛ 633 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟115° - одговарајући угао. ⎜ ⎝ 1978 ⎠ За 1207 особа преко 60 год. је на круж дијаграму ⎞ ⎛ 1207 ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° - одговарајући угао. ⎜ ⎝ 1978 ⎠ Тачан кружни дијаграм (одговарајући углови, натписи на кружним исечцима). Укупно: 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод Ако се тачан начин израчунавања углова у кружном дијаграму уопште не појављује, и у случају да су подаци добри се даје само 1 бод. Ако детаљише само један прорачун, а сва три податка су тачна, дају се 2 бода. 1 бод 5 бодова 14. ц) Међу

становницима града Недођије 12320⋅ 0,24 = = 2956,8(≈ 2957) особа су изнад 60 година. Број особа изнад 60 год. које су лечене је 1207, па 1207 (≈ 0,41) . је тражена вероватноћа: 2957 Вероватноћа се увећала за 0,41 − 0,16 = 0,25 . Укупно: írásbeli vizsga 1111 6 / 13 1 бод 1 бод прихвата се и 2956. 1 бод 1 бод 4 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 15. Примењујући косинусну теорему у троуглу ABP : BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 Угао AQB је 19º. Примењујућу синусну теорему (два пута) у троуглу ABQ : AQ 620 = , sin 19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 BQ 620 = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 Растојања заокружена

на метре: PQ = 1091 m, BQ = 1521 m és BP = 605 m. Ако се ова мисао види 1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод. 1 бод 2 бода* 1 бод Ако се ова мисао види само током решавања, 1 бод и онда се даје 1 бод. 1 бод 1 бод * 1 бод * 1 бод 1 бод * Овај бод се даје за означену мерну 1 бод * јединицу (м) у одговору. Укупно: 12 бодова Уколико приликом прорачуна примењује правилно заокруживање које се може пратити, бодови који су означени са * се додељују и у случају да резултати одступају од тачних највише 3 метра. írásbeli vizsga 1111 7 / 13 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató

II. Б 16. a) (Код екипе A сваки од 7 играча игра меч са својих 6 сународника, па смо тако израчунали дупли број мечева.) 7⋅6 = 21 меч. Код екипе A је одигран 2 (Екипа B има n чланова,) n ⋅ (n − 1) = 55 . па је број одиграних мечева 2 Az n2 − n − 110 = 0 позитивни корен једначине је 11 (корени су − 10 и 11). Екипа B има 11 чланова. 1 бод 2 бода 1 бод 2 бода 1 бод Укупно: 7 бодова 16. б) Сваки од 6 играча екипе A игра 8 мечева. У другој недељи је одиграно укупно 6·8 = 48 мечева. Укупно: 1 бод 2 бода 3 бода 16. ц) (Уз примену класичног модела вероватноће.) бројповољнихслучајева p=

бројукупнихслучајева ⎛18 ⎞ Добитнике можемо изабрати на ⎜⎜ ⎟⎟ начина. ⎝4⎠ Од 7 чланова екипе A једнога на 7 начина, од 11 чланова екипе B тројицу можемо изабрати ⎛11⎞ на ⎜⎜ ⎟⎟ начина. ⎝3⎠ (Два избора независно једно од другог.) ⎛11⎞ Број повољних случајева: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3⎠ ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 Тражена вероватноћа p = ⎝ ⎠ = ⎛18 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ Ако се ова мисао види 1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод. 1 бод 1 бод 1 бод Ови бодови се дају и у случају да тачно напише само број повољних случајева. 1 бод 1 бод ⎛ 7 ⋅165 ⎞ ⎜= ⎟≈ ⎝ 3060 ⎠ За тачну

вероватноћу ≈ 0,377 ≈ 38%. 1 бод дату у било којем облику 1 бод. Укупно: 7 бодова írásbeli vizsga 1111 8 / 13 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) Бод се даје и у случају да на крају приликом замене 1 бод открије корен који не одговара. 2 x − 1 > 0 и 2 x − 3 > 0 , дакле x > 1,5 На основу једнакости логаритама: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 (За логаритамску функцију важи принцип узајамно једносмислене,) па је (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 , 4 x 2 − 8x − 5 = 0 . значи Корени су : 5 1 x1 = и x 2 = − . 2 2 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод У област дефинисаности припада само x1 = 5 , па 2 1 бод је то решење. Укупно:

6 бодова 17. б) Добијени корени једначине за cos x се поклапају са коренима једначине другог степена под a) . 5 1 ( (cos x )1 = и (cos x )2 = − ) 2 2 5 За cos x = не добијамо решење. 2 1 cos x = − 2 Једини угао који од решења 2π x = 120o = 3 , који може бити угао троугла је па је то решење задатка. Укупно: 2 бода 1 бод За било које тачно решење угла x се даје 1 бод. 1 бод Бод се не даје ако кандидат напише више углова. 4 бода 17. ц) први начин Увешћемо замену y = z , па је зато решење само 0 ≤ z . Једини позитиван корен једначине другог степена 5 4 z 2 − 8z − 5 = 0 је z = . 2 25 Тако је решење почетне

једначине y = , 4 што је и решење задатка. Укупно: írásbeli vizsga 1111 9 / 13 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 4 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. ц) други начин Обе стране једначине ћемо подићи на квадрат: 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y Корени једначине другог степена 25 1 y1 = 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 су , y2 = 4 4 Замењивањем или контролом скупа вредности почетне једначине се показује да је само први корен тражено решење једначине. Укупно: 1 бод 2 бод 1 бод 4 бода 17. д) Ако се ова мисао види Средњи број ћемо фиксирати. Редослед осталих бројева је могућ на 6! начина, дакле за

седам бројева постоји 720 начина да их напишемо по редоследу на тражени начин. Укупно: írásbeli vizsga 1111 10 / 13 1 бод само током решавања, и онда се даје 1 бод. 1 бод 1 бод 3 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A E F 3m 3m 3m B 8m D G C 3m Разумевање задатка. Површина доњег дела резервоара (површина сфере полупречника r = 3 метра): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅ π = 18π (≈ 56,5) 2 Површина средњег дела резервоара (површина омотача правог ваљка полупречника основе r = 3 метра и висине m = 8 метара): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) Површина горњег дела резервоара

(површина омотача праве купе полупречника основе r = 3 метра и висине m = 3 метра): Изводница купе: AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 ) 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод Унутрашња површина: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9 2 π ≈ 247 ,33 m2 пошто по тумачењу задатка овде заокруживање треба извршити на горе, да би било довољно 1 бод материјала, тачан одговор је 248 m2 . Укупно: 6 бодова ( írásbeli vizsga 1111 ) 11 / 13 Уколико изврши само математичко заокруживање, и за 247 m2 eсе даје бод. 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. б) A A скица 1. 1. ábra F 0,9 m 3m 3m E I B E 2,1 m r’ 0,9 m F H B 3m 8m A скица

2. 2. ábra G D C I 3m E Висина резервоара: (3 + 8 + 3 = ) 14 метара. 85% од висине је: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 метара, што значи да су полулопта и ваљак сасвим пуни, а у купи је вода до 0,9 метара висине. Запремина доњег дела резервоара (запремина полулопте полупречника r = 3 метра): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 Запремина средњег дела резервоара (запремина правог ваљка полупречника основе r = 3 метра и висине m = 8 метара): V 2= r 2π m = = = 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) . ⎛ IH ⎞ r 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r = 2,1 . π π 3 ( ) m r 2 + r 2 + rr = ( 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод * 1

бод ) 1 бод 1 бод Укупно: írásbeli vizsga 1111 1 бод 1 бод * ⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . 3 Запремина воде у резервоару: V = 18π + 72π + 5,913π = 95,913 π ≈ 301 m3. = F 1 бод Запремина горњег дела резервоара (запремина зарубљене купе). Полупречник круга који затвара зарубљену купу ћемо израчунати из подударности троуглова: (скица 1.) V 3= 3m r’ H 0,9 m J 0,9 mB 12 / 13 11 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Други начин решавања за два бода означена са * . Запремина горњег дела резервоара (запремина зарубљене купе). Полупречник круга који затвара зарубљену

купу ћемо израчунати ако приметимо да су троуглови AFB∆ и HJB∆ правоугли са истим крацима, (скица 2.) па је r = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 . írásbeli vizsga 1111 13 / 13 1 бод * 1 бод * 2012. május 8