Fizika | Mechanika, Kvantummechanika » Égert-Jezsó - Mechanika, Szilárdságtan

Égert János – Jezsó Károly MECHANIKA Szilárdságtan Egyetemi alapképzésben részt vevő mérnökhallgatók számára Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: dr. Égert János egyetemi tanár dr. Jezsó Károly főiskolai docens Lektor: dr. Nándori Frigyes egyetemi docens Miskolci Egyetem, Mechanika Tanszék Szerzők, 2006 Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A dokumentum használata Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz

vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 3 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 6 2. Alapfogalmak 8 3. Matematikai alapok 12 3.1 A görög ABC leggyakrabban használt

betűi 12 3.2 Mátrixalgebrai összefoglaló 12 3.3 Vektorok skaláris, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata 15 3.4 Tenzorok előállítása 17 3.5 Matematikai gyakorló feladatok 19 4. Elemi környezet szilárdságtani állapotai 23 4.1 Elemi környezet alakváltozási állapota 23 4.2 Elemi környezet (pont) feszültségi állapota 25 4.3 Gyakorló feladatok elemi környezet szilárdságtani állapotaira 29 5. Rudak egyszerű igénybevételei 36 5.1 Prizmatikus rudak tiszta húzás-nyomása 36 5.2 A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés 40 5.3 Gyakorló feladatok rudak húzás-nyomására 42 5.4 Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása 53 5.5 Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai 60 5.6 Gyakorló feladatok rudak tiszta, egyenes hajlítására 64 5.7 Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása 76 5.8 Vékonyszelvényű prizmatikus rudak szabad csavarása 82 5.9 Gyakorló feladatok rudak csavarására 83 6. Karcsú, nyomott rudak

kihajlása 95 6.1 Gyakorló feladatok karcsú nyomott rudak kihajlására 101 7. Általános szilárdságtani állapotok 109 7.1 Az általános feszültségi állapot 109 7.2 Az általános alakváltozási állapot 113 7.3 Az általános Hooke-törvény 115 7.4 Szilárdságtani méretezési, ellenőrzési elméletek 118 7.5 Gyakorló feladatok általános szilárdságtani állapotokra 122 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 4 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 8. Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok 130 8.1 Feszültségi és alakváltozási állapot a test terheletlen felületén 130 8.2 A felületi alakváltozási állapot meghatározása nyúlásméréssel 131 8.3 Mohr-féle feszültségi kördiagram felületi feszültségi állapot esetén . 133 8.4 Feladatok felületi feszültségi állapotra 135 9. Rudak összetett igénybevételei

140 9.1 Húzás-nyomás és egyenes hajlítás 140 9.2 Ferde hajlítás 143 9.3 Excentrikus (külpontos) húzás-nyomás 145 9.4 Gyakorló feladatok egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételekre . 148 9.5 Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomás és csavarása . 157 9.6 Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása 160 9.7 Prizmatikus rudak nyírása és hajlítása 163 9.8 Vékonyszelvényű nyitott rudak nyírása és hajlítása 166 9.9 Gyakorló feladatok nem egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételekre . 169 10. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása 186 10.1 Munka, alakváltozási energia 186 10.2 A Betti tétel 187 10.3 Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása Betti tétellel 189 11. Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása. 202 11.1 A Castigliano-tétel 202 11.2 A

Castigliánó-tétel alkalmazása statikailag határozatlan rúdszerkezetekre . 203 11.3 Gyakorló feladatok statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározására. 206 Szakirodalom . 223 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 5 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Bevezetés Vissza ◄ 6 ► 1. Bevezetés A Mechanika számos mérnöki terület fontos alaptudománya. A mérnökképzésben a mechanikának mérnöki szempontok szerinti ismertetésére kerül sor úgy, hogy az a mérnöki gyakorlatban közvetlenül használható legyen, és erre a tudásanyagra a mérnöki szaktárgyak további ismereteket építhessenek. A győri Széchenyi István Egyetem Gépész-, Informatikai és Villamosmérnöki Intézetében az egyetemi alapképzésben a Mechanika négy féléves tantárgy, statikai, szilárdságtani, mozgástani és rezgéstani félévekre tagozódik.

A gépészmérnöki és mechatronikai mérnöki egyetemi alapképzésben résztvevő hallgatók mind a négy félévet hallgatják, a műszaki szakoktató szakos hallgatók statikát, szilárdságtant és mozgástant, a közlekedésmérnök szakos hallgatók statikát és mozgástant, a műszaki menedzser szakos hallgatók pedig statikát és szilárdságtant tanulnak. A Mechanika tantárgy jegyzetei - az előadásokon, gyakorlatokon és konzultációkon történő részvételt feltételezve - segítséget szándékoznak nyújtani a nappali tagozatos hallgatóknak a tantárgy elsajátításához és a vizsgára történő eredményes felkészüléshez. Hasznos segédeszközök lehetnek azonban a levelező és távoktatási tagozatos egyetemi alapképzésben résztvevő gépészmérnöki, mechatronikai mérnöki, műszaki szakoktató, műszaki menedzser, és közlekedésmérnöki szakos hallgatók számára is, akik nagyobb részt önállóan készülnek fel a félévközi házi

feladatok megoldására és a vizsgára. Az önálló felkészülést segíti elő a jegyzetekben például az idegen nevek, mértékegységek, görög betűk, stb. kiejtésének ismertetése is A jegyzetek tartalma nagyrészt megegyezik a távoktatásos hallgatók rendelkezésére bocsátott internetes tananyagokkal, tagolásuk viszont ettől kismértékben eltér. A jegyzetek olyan esetekben is lehetőséget nyújtanak a távoktatási tagozatos hallgatók számára a tárgy tanulására, amikor nem áll rendelkezésre internetes kapcsolat, vagy számítógép. A Mechanika – Szilárdságtan jegyzet megfelelő magyarázatokkal, de tömören tartalmazza a tárgy elméleti tananyagát, részletesen kidolgozott feladatokon mutatja be az elmélet alkalmazását, és a ki nem dolgozott feladatokkal teremt lehetőséget a hallgatóknak az önálló munkára. A kidolgozott példák nagyrészt az [5] példatárból származnak Az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 6 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Bevezetés Vissza ◄ 7 ► önálló feladatmegoldásnak az elméleti anyag megértése és megtanulása, valamint a kidolgozott feladatok gondolatmenetének megértése után célszerű hozzákezdeni. A tananyag elsajátítása a félév során folyamatos munkát igényel. A vizsgára történő eredményes felkészüléshez célszerű a tananyaggal heti 3-4 órát intenzíven foglalkozni és a jegyzetből 15-18 oldalnyi anyagot feldolgozni. Az eredményes felkészüléshez a hallgatók a Gépszerkezettan és Mechanika Tanszék honlapján a http://www.szehu/ag/ címen további oktatási anyagokat, kidolgozott elméleti kérdéseket találnak. A Mechanika – Szilárdságtan tantárgy anyagának elsajátításához a jegyzet szerzői eredményes munkát kívánnak. A szerzők ezen a helyen mondanak köszönetet Dr. Nándori Frigyes egyetemi docensnek, a jegyzet lektorának, hasznos és

érdemi szakmai észrevételeiért, amelyek a jegyzet végleges változatába beépültek. Győr, 2006. június A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 7 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Alapfogalmak Vissza ◄ 8 ► 2. Alapfogalmak A szilárdságtan tárgya: A terhelés előtt és után is tartós nyugalomban lévő, alakváltozásra képes testek kinematikájának, dinamikájának és anyagszerkezeti viselkedésének leírása. A definícióban előforduló fogalmak értelmezése: Terhelés: az általunk vizsgált rendszerhez nem tartozó testektől származó ismert nagyságú hatások (ismert erőhatások). Szilárd halmazállapotú testeknél ezek a hatások (a terhelések) általában felületi érintkezéssel valósulnak meg. (Terhelés ≡ ismert külső erőrendszer.) A tartós nyugalom feltételei: - a testre ható erőrendszer egyensúlyi, - a test megtámasztása nem enged meg

merevtestszerű elmozdulásokat. Alakváltozás: ha a test pontjai terhelés hatására egymáshoz képest úgy mozdulnak el, hogy a test anyagi geometriai alakzatai (hossz, szög, felület, térfogat) megváltoznak. Anyagi geometriai alakzat: a test pontjaival együtt mozgó, együtt alakváltozó geometriai forma. Kinematika: szilárdságtanban leírja a test pontjainak a terhelés hatására bekövetkező elmozdulásait és a test alakváltozásait. Dinamika: szilárdságtanban leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert. Anyagszerkezeti viselkedés: megadja az alakváltozás és belső erőrendszer közötti kapcsolatot. A valóságos testek helyett test modelleket vizsgálunk. Test modell: olyan idealizált tulajdonságokkal rendelkező test, amely a valóságos testnek a vizsgálat szempontjából leglényegesebb tulajdonságait tükrözi. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 8 ► Mechanika Alapfogalmak A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 9 ► (A test lényegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk, a lényegtelennek ítélt tulajdonságokat pedig elhanyagoljuk.) Pl. Merev test Szilárd test C α B A Bármely két pontjának távolsága állandó (a pontok távolsága terhelés hatására sem változik meg). ⇓ Pontjai (részei) egymáshoz képest nem mozdulnak el, nem képes alakváltozásra Alakváltozásra képes test. Pontjainak távolsága, egyeneseinek egymással bezárt szöge megváltozik. ⇓ Felületeinek és térfogatainak alakja és nagysága is megváltozik. Merevtestszerű mozgás: ha a mozgás során a test pontjai úgy mozdulnak el, hogy távolságuk nem változik. A merevtestszerű mozgás két esete: - merevtestszerű haladó mozgás, - merevtestszerű forgó mozgás. A szilárdságtan szilárd testek terhelés hatására bekövetkező viselkedését vizsgálja. A szilárdságtan részterületei Rugalmasságtan

Képlékenységtan Lineáris rugalmasságtan Nemlineáris rugalmasságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 9 ► Mechanika Alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 10 ► Rugalmas alakváltozás: A terhelés hatására alakváltozott test a terhelés megszüntetése (levétele) után visszanyeri eredeti alakját. Lineáris rugalmas alakváltozás: a terhelés és alakváltozás, a terhelés és belső erőrendszer, valamint az elmozdulás és az alakváltozás között lineáris függvénykapcsolat van. Nemlineáris rugalmas alakváltozás: a terhelés és alakváltozás, a terhelés és belső erőrendszer, valamint az elmozdulás és az alakváltozás között nemlineáris függvénykapcsolat van. Képlékeny alakváltozás: A test tehermentesítés után nem nyeri vissza eredeti alakját. A szilárdságtan tantárgy lineárisan rugalmas testek kis elmozdulásaival és kis

alakváltozásaival foglalkozik. (Lineáris feladatok esetén az elmozdulások és az alakváltozások kicsik.) Kis elmozdulás: a test pontjainak elmozdulása nagyságrendekkel kisebb a test jellemző geometriai méreteinél. Kis alakváltozás: a test alakváltozását jellemző mennyiségek lényegesen kisebbek, mint egy. ε 1, γ 1 . Elemi környezet (elemi tömeg): Minden test végtelen sok tömegpontból felépülő rendszernek tekinthető. A tömegpontokhoz úgy jutunk, hogy a testet gondolatban végtelen sok kis részre bontjuk. A kis rész alakját tetszőlegesen választhatjuk meg Lehet például kocka (elnevezése: elemi kocka). elemi tömeg P elemi kocka test Tömegpont ≡ elemi tömeg ≡ elemi környezet. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 10 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Alapfogalmak Vissza ◄ 11 ► Az elemi környezet állapotait az elemi környezet P pontjához kötött

mennyiségekkel írjuk le. A P ponthoz kötött mennyiségek lehetnek: - skaláris mennyiségek (Pl. tömegsűrűség, alakváltozási energia), - vektor mennyiségek (Pl. elmozdulás vektor, szögelfordulási vektor), - tenzor mennyiségek (Pl. alakváltozási tenzor, feszültségi tenzor) Vektor mennyiség: három skalár mennyiséggel adható meg. Tenzor mennyiség: kilenc (3x3) skalár mennyiséggel – mátrixszal adható meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 11 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 12 ► 3. Matematikai alapok 3.1 A görög ABC leggyakrabban használt betűi Kisbetű α β χ δ ε ϕ γ η κ λ µ ν π ϑ ρ σ τ ω ξ ψ ζ Nagybetű Α Β Χ ∆ Ε Φ Γ Η Κ Λ Μ Ν Π Θ Ρ Σ Τ Ω Ξ Ψ Ζ A betű magyar fonetikus kiejtése alfa, beta, vagy béta, khí, delta, epszilon, fí, gamma, eta, vagy éta kappa, lambda, mű, nű, pí,

teta, vagy téta, ró, szigma, tau omega, kszí, pszí, zeta, vagy zéta 3.2 Mátrixalgebrai összefoglaló a) Mátrix értelmezése, jelölése: Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 12 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ ⎢a Mátrix jelölése: ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ 11 ⎢a ⎣ 21 a12 a13 ⎤⎥ a22 a23 ⎥⎦ ⎥ Vissza ◄ 13 ► , kiejtése: A mátrix. Mátrix mérete: Például egy (2x3)-as méretű (ejtsd: kétszer hármas méretű) mátrixnak két sora és három oszlopa van. Az a13 mátrixelem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három. ⎡ a1 ⎤ T Oszlopmátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = ⎢⎢ a2 ⎥⎥ , sormátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = [ a1 ⎢⎣ a3 ⎥⎦ a2 a3 ] . Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van. Az oszlopmátrix a

sormátrixnak transzponáltja, ha ugyanarról a mennyiségről van szó. Az oszlopmátrixot általában kis betűvel, a négyzetes, vagy téglalap mátrixot pedig nagybetűvel szokás jelölni. b) Mátrixműveletek: A műveleteket (2 × 2) -es, (2x1)-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be. - Mátrix transzponáltja (tükrözés a főátlóra): Négyzetes mátrixok esetén a sor-oszlopcsere a tükrözés a főátlóra műveletnek felel meg. A főátlót az azonos indexű elemek alkotják. ⎡ a ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢⎢ 11 ⎢a ⎣ 21 ⎡ a12 ⎤⎥ T ⎢a ⎡ ⎤ A ⎥ ⇒ = ⎢ 11 ⎣ ⎦ ⎢a a22 ⎥⎦ ⎣ 12 (2 × 2) a21 ⎤⎥ ⎥ a22 ⎥⎦ (2 × 2) A transzponálási művelet jele: T (a mátrix felső indexében). A transzponálás oszlopmátrixból sormátrixot, sormátrixból pedig oszlopmátrixot hoz létre. T Az A jelölés kiejtése (kiolvasása): á transzponált. - Mátrixok összeadása, kivonása: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza

◄ 13 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 14 ► A± B = C , ⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21 a a a12 ⎤⎥ ⎡⎢b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ (a11 ± b11 ) (a12 ±b12 ) ⎤⎥ ⎡⎢ c11 c12 ⎤⎥ ⎥±⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. a22 ⎥⎦ ⎢⎣b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ (a21 ±b21 ) (a22 ±b22 ) ⎥⎦ ⎢⎣ c21 c22 ⎥⎦ (2 × 2) (2 × 2) (2 × 2) - Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció): AB=C, ⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21 a a a12 ⎤⎥ ⎡⎢b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ (a11 b11 + a12 b21 ) (a11 b12 + a12 b22 ) ⎤⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ a22 ⎥⎦ ⎢⎣b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ (a21 b11 +a22 b21 ) (a21 b12 + a22 b22 ) ⎥⎦ (2 × 2) Ab =c, ⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21 a a (2 × 2) (2 × 2) (2 × 2) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a12 ⎤⎥ ⎡⎢ b1 ⎤⎥ ⎢ ( a11 b1 + a12 b2 ) ⎥ ⎢ c1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎢ (a b + a b ) ⎥ ⎢c ⎥ a22 ⎥⎦ ⎢⎣b2 ⎥⎦ 21 1 22 2 ⎦ ⎣ ⎣ 2⎦ (2 × 2) (2

× 1) (2 ×1) (2 × 1) a B=d , T T b b12 ⎤⎥ ⎡ ⎥ = ⎢ ( a1 b11 + a2 b21 ) (a1 b12 +a2 b22 ) ⎤⎥⎦ = ⎡⎢⎣ d1 d2 ⎤⎥⎦ . ⎣ ⎢b ⎥ b 22 ⎦ ⎣ 21 (1× 2) (1× 2) (1× 2) (2 × 2) c) Különleges mátrixok: ⎡1 0 ⎤ - Egységmátrix: E = ⎢ ⎥ . Tulajdonsága: E A = A E = A ⎣0 1 ⎦ Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. T - Szimmetrikus mátrix: A = A ⎡ ⎢⎣ 1 a ⎡ ⎢ 11 a2 ⎤⎥⎦ ⎢ A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképével. T - Ferdeszimmetrikus mátrix: A = − A . A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 14 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Matematikai alapok Vissza ◄ 15 ► 3.3 Vektorok skaláris,

kétszeres vektoriális és diadikus szorzata Vektor: irányított geometriai, vagy fizikai mennyiség, amelyet nagyság (előjel), irány és mértékegység jellemez. A vektor koordinátarendszertől független mennyiség a) Vektorok skaláris szorzata: A skaláris szorzás értelmezése: a ⋅ b = a b cos α . ( α a vektorok között bezárt szög.) A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: ⎡bx ⎤ ⎢ ⎥ a ⋅ b = ⎡⎣ ax a y az ⎤⎦ ⎢by ⎥ = axbx + a y by + az bz . ⎢b ⎥ ⎣ z⎦ Az első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrixszorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy skaláris mennyiség. b) Vektorok kétszeres vektoriális szorzata: (a × b ) × c , vagy a × (b × c ) Kiszámítás kétféle úton lehetséges: - a két vektoriális szorzásnak a kijelölt sorrendben történő elvégzésével (a

vektoriális szorzást lásd Statika jegyzetben), - a kifejtési szabállyal: (a × b ) × c = b (a ⋅ c ) − a (b ⋅ c ), ill. a × (b × c ) = b (a ⋅ c ) − c (a ⋅ b ) c) Vektorok diadikus szorzata: Legyen adott az a , b és c tetszőleges vektor. Két vektor diadikus szorzatának jelölése: a b , elnevezése: diád. Az a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé. Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 15 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 16 ► - a diadikus szorzás, és két vektor skaláris szorzata asszociatív (csoportosítható, azaz szorzások elvégzésének sorrendje felcserélhető): (a b ) ⋅ c = a (b ⋅ c ) , - a diád a skaláris szorzás szempontjából nem kommutatív (nem mindegy, hogy egy diádot jobbról, vagy balról szorzunk meg skalárisan

egy vektorral, mert más eredményt kapunk): c ⋅ (a b ) ≠ (a b ) ⋅ c . Ha a szorzás a fenti összefüggéseket kielégíti, akkor a szorzás diadikus. Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodratú, derékszögű koordináta-rendszerben: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ax ⎤⎥ ⎥ ⎡ a b ⎤ = ay ⎥⎥ ⎡⎢bx ⎣ ⎣ ⎦ ⎥ az ⎥⎦ by ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ ax bx ax by ax bz ⎤⎥ bz ⎤⎥⎦ = ay bx ay by ay bz ⎥⎥ . az bx az by az bz ⎥⎥⎦ ⎥ ⎥ Az első szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit sormátrixba rendezzük és a szorzást a mátrix szorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy kilenc skaláris mennyiséget tartalmazó mátrix. Egységvektorok diadikus szorzata: ⎡1 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡⎣ i i ⎤⎦ = 0 [1 0 0] = 0 0 0 , ⎡⎣ j j ⎤⎦ = 1 [ 0 1 0] = ⎢ 0

1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡ k k ⎤ = 0 [ 0 0 1] = ⎢0 0 0 ⎥ , ⎡⎣i ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎡1 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ j ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎥ [ 0 1 0] = ⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 16 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Matematikai alapok Vissza ◄ 17 ► ⎡1 ⎤ ⎡0 0 1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ i k ⎤ = 0 [ 0 0 1] = 0 0 0 , ⎡ j k ⎤ = 1 [ 0 0 1] = ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ ⎡0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡⎣ j i ⎤⎦ = 1 [1 0 0] = 1 0 0 , ⎡⎣ k i ⎤⎦ = 0 [1 0 0] = ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 0⎥⎦ ⎡0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ k j ⎤ = 0 [ 0 1 0] = ⎢ 0 0 0 ⎥ . ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ A skalár számokkal történő szorzás mindig diadikus, vagy más szóhasználattal élve: általános szorzás. 3.4 Tenzorok előállítása a) Tenzor értelmezése és tulajdonságai: Tenzor: Homogén, lineáris vektor-vektor függvényt megvalósító leképezés (hozzárendelés). A tenzor koordinátarendszertől független fizikai mennyiség w = f (v ) = T ⋅ v . A T tenzor a tetszőleges v vektorhoz a w képvektort rendeli hozzá. A tenzor tulajdonságai: - Homogén: A zérus vektorhoz zérus vektort rendel hozzá. 0 = f (0) . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 17 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Matematikai alapok Vissza ◄ 18 ► - Lineáris: Ha egy vektort két másik vektor

lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor a vektor képvektora egyenlő a lineáris kombinációban szereplő vektorok képvektorainak lineáris kombinációjával. és Ha v = λ1v1 + λ2 v2 w1 = f (v1 ) , w2 = f (v2 ) , akkor w = f (v ) = f (λ1v1 + λ2 v2 ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) = λ1w1 + λ2 w2 . Az összefüggésekben λ1 és λ2 tetszőleges skaláris együtthatók b) Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű koordinátarendszerben: - Tenzor megadása: - a tenzor koordinátáival (mátixával) és azzal a koordináta-rendszerrel, amelyben a koordináták értelmezettek. - Tenzor koordinátáinak jelölése: ⎡Txx Txy Txz ⎤ ⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢Tyx Tyy Tyz ⎥ = ⎢⎢T21 T22 T23 ⎥⎥ . xyz ⎢T T T ⎥ ⎢T T T ⎥ ⎣ 31 32 33 ⎦ zy zz ⎦ ⎣ zx A tenzorkoordináták jelölésének kiejtése (kiolvasása): Pl.: T21 - té kettő egy, Tzy - té zé ipszilon - Tenzor előállítása: 1. Tétel: Minden tenzor egyértelműen

megadható három egymásra merőleges vektor és ezek képvektorai (három értékpár) ismeretében 2. Tétel: Minden tenzor előállítható három diád összegeként Legyen ismert három értékpár: i a = f (i ), a = ax i + a y j + az k , j b = f ( j ), b = bx i + by j + bz k , k c = f (k ), c = cx i + c y j + cz k . A tenzor diadikus előállítása: T = (a i + b j + c k ) . ⎡ ax bx cx ⎤ ⎢ ⎥ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ a y by c y ⎥ . xyz ⎢a b c ⎥ z z ⎦ ⎣ z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 18 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 19 ► A tenzor mátrixát a diadikus előállításban kijelölt diadikus szorzások és az összeadások elvégzésével kapjuk. 3.5 Matematikai gyakorló feladatok 3.51 feladat: Skaláris, diadikus és mátrix szorzás gyakorlása ( ) ( Adott: a = 4 i + 6 j − k m, b = −3 i + j − k )

m, c = ( −2 j − 6 k ) m. Feladat: a) Az a ⋅ b és az a b szorzatok meghatározása. b) Az (a b ) ⋅ c és a c ⋅ (a b ) szorzat meghatározása. Megoldás: a) Az a ⋅ b és az a b szorzatok meghatározása: ⎡ −3⎤ a ⋅ b = [ 4 6 − 1] ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = 4 (−3) + 6 ⋅1 + (−1) (−1) = −5 m 2 , ⎢⎣ −1⎥⎦ ( ) ( −3 i + j − k ) = = ⎡( −12 i − 18 j + 3k ) i + ( 4 i + 6 j − k ) ⎣ a b = 4i +6j −k ( ) k ⎤ m2. ⎦ A szögletes zárójelben lévő diádok első szorzó tényezőinek koordinátái a tenzor mátrixának oszlopaiban jelennek meg: ⎡4⎤ ⎡ −12 4 −4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ a b ⎤ = 6 [ −3 1 −1] = ⎢ −18 6 −6 ⎥ m2. ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ −1⎦⎥ ⎣⎢ 3 −1 1 ⎦⎥ j + −4 i − 6 j + k b) Az (a b ) ⋅ c és a c ⋅ (a b ) szorzat meghatározása: (a b ) ⋅ c = a (b ⋅ c ) = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 19 ► Mechanika Matematikai alapok A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ ► 20 ( ) ⎡⎣( −3 i + j − k ) ⋅ ( −2 j − 5 k )⎤⎦ = = ( 4 i + 6 j − k ) [ −2 + 5] = (12 i + 18 j − 3k ) m , = 4i +6j −k 3 ⎡ −12 4 −4 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ −8 + 20 ⎤ ⎡ (a b ) ⎤ [ c ] = ⎢ −18 6 −6 ⎥ ⎢ −2 ⎥ = ⎢ −12 + 30 ⎥ = ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ −5⎥⎦ ⎢⎣ 2 − 5 ⎥⎦ c ⋅ ( a b ) = (c ⋅ a ) b = ( )( ⎡12 ⎤ ⎢18 ⎥ m3. ⎢ ⎥ ⎢⎣ −3⎥⎦ ) ( −3 i + j − k ) = = ⎡ −2 j − 5 k ⋅ 4 i + 6 j − k ⎤ ⎣ ⎦ = [ −12 + 5] ( −3 i + j − k ) = (21i − 7 j + 7k ) m 3 ⎡ −12 4 −4 ⎤ [c ] ⎡⎣(a b ) ⎤⎦ = [0 − 2 − 5] ⎢⎢ −18 6 −6⎥⎥ = ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦ = [ (36 − 15) (−12 + 5) (12 − 5) ] = [ 21 − 7 7 ] m3. 3.52 feladat: Tenzor előállítása Adott: ϕ = 30o , rP = (4i + j ) m. Feladat: a) Annak a T tenzornak az előállítása, amely az xy

sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel elforgatott vektorait állítja elő. b) Meghatározni azt az rA vektort, amelyet az rP vektor ϕ szöggel történő elforgatásával kapunk. y Megoldás: a) A tenzor előállítása: b ϕ Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: i a = (i cos ϕ + j sin ϕ ) , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom j a ϕ x i Vissza ◄ 20 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 21 ► j b = (−i sin ϕ + j cos ϕ ) . A két értékpárból a tenzor: T = (a i + b j ) ⎡cos ϕ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ ⎣sin ϕ − sin ϕ ⎤ ⎡0,866 − 0,5 ⎤ = . cos ϕ ⎥⎦ ⎢⎣ 0,5 0,866 ⎥⎦ b) Az elforgatott rA vektor meghatározása: ⎡cos ϕ − sin ϕ ⎤ ⎡ xP ⎤ ⎡ 0,866 − 0,5 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 2,964⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥m ⎣sin ϕ cos ϕ ⎦ ⎣

yP ⎦ ⎣ 0,5 0,866 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣ 2,866 ⎦ rA = (2,964i + 2,866 j ) m . 3.53 feladat: Tenzor előállítása Adott: ϕ = 45o , rP = (5i + 2 j ) m. Feladat: y A rA ϕ uP P x rP a) Annak a T tenzornak az előállítása, amely az xy sík helyvektoraihoz a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel történő elforgatásakor a helyvektorok végpontjainak elmozdulásvektorait rendeli hozzá. G G b) Meghatározni rP vektor végpontjának uP elmozdulásvektorát a ϕ szöggel történő elforgatásnál. Megoldás: a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: i a = −(1 − cos ϕ ) i + sin ϕ j , j b = − sin ϕ i − (1 − cos ϕ ) j . A két értékpárból a tenzor: T = (a i + b j ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 21 ► Mechanika Matematikai alapok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A tenzor mátrixa: ⎡(cos ϕ − 1) − sin ϕ ⎤ ⎡⎣T ⎦⎤ =

⎢ = (cos ϕ − 1) ⎥⎦ ⎣ sin ϕ ⎡ −0, 293 − 0, 707 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 0, 707 − 0, 293⎦ Vissza ◄ 22 ► y b . ϕ j a ϕ x i b) Az uP elmozdulásvektor meghatározása: ⎡ −0, 293 − 0, 707 ⎤ ⎡5 ⎤ ⎡ −2,879 ⎤ uP = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥m ⎣ 0, 707 − 0, 293⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2,949 ⎦ uP = (−2,879i + 2,949 j ) m . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 22 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 23 ► 4. Elemi környezet szilárdságtani állapotai 4.1 Elemi környezet alakváltozási állapota Elemi triéder: A P pontban felvett, egymásra kölcsönösen merőleges i , j , k egységk vektorok, illetve a P, A, B, C pontok alkotP ják. ⋅ ⋅ j ⋅ Feltételezzük, hogy az i , j , k egységvektoi B rok A, B, C végpontjai az elemi környezeten A belül helyezkednek el. A P pont elemi

környezetének alakváltozását az A, B, C pontoknak a terhelés hatására, a P ponthoz képes bekövetkező elmozdulásai jellemzik. Az elemi triéder alakváltozását a P, A*, B ,C adja: * Elemi környezet alakváltozása: (1 + ε z ) C C az elemi triéder A, B, C pontjának a ( π2 − γ yz ) P ponthoz képest történő azon el( π2 − γ xz ) mozdulásai, amelyek nem tartalk maznak merevtestszerű mozgásból G G G P j (1 + ε x ) B származó részeket. i = j = k = 1 C A* ( A i B* (1 + ε y ) 2 − γ xy ) π PABC alakváltozás ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ PA* BC Megváltozott hosszak: PA∗ = (1 + ε x ) PB = (1 + ε y ) , ∗ Terhelés hatására a test alakváltozik, azaz megváltozik a P pontban felvett egységvektorok hossza és egymással bezárt szöge. Megváltozott szögek: (π / 2 − γ xy ) = (π / 2 − γ yx ) (π / 2 − γ xz ) = (π / 2 − γ zx ) , (π / 2 − γ yz ) = (π / 2 − γ zy ) PC ∗ = (1 + ε z ) Az értelmezésből következően: γ

xy = γ yx , γ yz = γ zy , γ xz = γ zx . Az elemi környezet alakváltozási jellemzői: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 23 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 24 ► Fajlagos nyúlások: ε x , ε y , ε z . εx = PA* − PA PA − 1 = ⇒ PA* = 1 + ε x , 1 PA PB* − PB PB − 1 εy = = ⇒ PB* = 1 + ε y , 1 PB εz = PC * − PC PC − 1 = ⇒ PC * = 1 + ε z . 1 PC Mértékegység az értelmezésből következően: [m/m]=[mm/mm]=[1] Fajlagos szögváltozások (fajlagos szögtorzulások): γ xy , γ yz , γ xz . A fajlagos szögváltozások a fajlagos nyúlásokkal analóg módon értelmezhetők. Az értelmezésből következően: γ xy = γ yx , γ yz = γ zy , γ xz = γ xz Mértékegységek az értelmezésből következően: [mm/mm]=[rad] Az alakváltozási jellemzők geometriai tartalma: Pl. ε x – az x irányú

egységnyi hossz megváltozása, γ yz – a terhelés előtt egymással π / 2 szöget bezáró y és z irányok szögváltozása. Az alakváltozási jellemzők előjele: ε >0 ε < 0 rövidülés, megnyúlás, γ >0 a π / 2 szög csökken, γ < 0 a π / 2 szög nő. Az alakváltozási jellemzők mértékegysége: 1 (nincs mértékegysége). A szögtorzulásokat (önkényesen) megfelezve és a fél-fél szögváltozást a P ponttól egységnyi távolságra lévő pontokhoz kötve, felírható az A, B, C pontok alakváltozásból származó α x , α y , α z elmozdulásvektora. Az α x , α y , α z vektorokat alakváltozási vektoroknak nevezzük A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 24 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom εz 1γ 2 xz C k ( 2 − γ xz ) π 1γ 2 yz Az alakváltozási vektorok: α x = (ε x i + 12 γ yx j + 12 γ zx k ) , (

α y = ( 12 γ xy i + ε y j + 12 γ zy k ) , π 2 − γ yz ) P ⋅ ⋅ j ⋅ i A 1γ 2 zx1 ε x 2 γ yx ( 2 − γ xy ) π Vissza B ◄ 25 ► α z = ( 12 γ xz i + 12 γ yz j + ε z k ) . 1γ 2 zy ε 1γ y xy 2 A három alakváltozási vektor egyértelműen jellemzi a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát. A fenti ábra a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát szemlélteti az α x , α y , α z alakváltozási vektorok koordinátáinak ábrázolásával. Az ábrában a megváltozott szögeket leegyszerűsítve, a koordinátasíkokra vetítve jelöltük be Ismerjük azt a három értékpárt, amely a pontbeli alakváltozási állapotot egyértelműen megadja: i αx , j α y , k αz . A P elemi környezetének alakváltozási állapota tenzorral írható le. Az alakváltozási tenzor: diadikus alakja: AP = (α x i + α y j + α z k ) , ⎡ εx ⎢ mártixa: ⎡⎣ AP ⎤⎦ = ⎢ 12 γ yx ⎢ 12 γ zx ⎣ γ xy εy 1 2 γ zy 1

2 γ xz ⎤ ⎥ 1 2 γ yz ⎥ . ε z ⎥⎦ 1 2 Az alakváltozási tenzor mátrixa szimmetrikus ⇒ A P pont (vagy P pont elemi környezetének) alakváltozási állapotát 6 skalár mennyiség egyértelműen jellemezi. 4.2 Elemi környezet (pont) feszültségi állapota a) A feszültségvektor: a felületen megoszló belső erőrendszer intenzitásvektora (sűrűségvektora). G A feszültségvektor jele: ρn A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 25 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ρn n P P dA Vissza ◄ 26 ► P −n − ρn A vizsgált szilárd testre egyensúlyi erőrendszer hat. A testet a P ponton átmenő síkkal gondolatban két részre bontjuk. Az egyes testrészeknek külön-külön is egyensúlyban kell lenniük. Ez csak úgy lehetséges, ha a metsző síkon, felületen megoszló belső erőrendszer ébred. A metszet felületen ébredő

erőrendszer sűrűségvektorát nevezzük feG szültségvektornak. Jele ρn n – a metsző felületen a testből kifelé mutató normális egységvektor ( ⊥ a felületre). A dA elemi felületen fellépő belső erő: dFb = ρ n dA . A feszültségvektor az egységnyi felületre eső belső erő. A feszültségvektor mértékegysége SI mértékrendszerben: N =Pa (Pascal, ejtsd: paszkál). m2 A mérnöki gyakorlatban leggyakrabban használt mértékegység: MN N = =MPa (ejtsd megapaszkál). 2 m mm 2 A feszültségvektor két dologtól függ: - a P ponton átmenő metszet felület n normálisától, - a P pont helyének megválasztásától. b) A feszültségvektor összetevői, koordinátái: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 26 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom n τ ln σn ◄ 27 ► l ρn σn dA Vissza τn τ mn P m Összetevők

(vektorok): - a normál feszültségvektor: n – az elemi felület normális egységvektora, m, l – az elemi felület síkjába eső, egymásra merőleges egységvektorok. σ n = (n ⋅ ρ n ) n . σn - a csúsztató feszültségvektor: τ n = ρ n − σ n n . Koordináták (skalárok): - a normál feszültség: σ n = n ⋅ ρn = n ⋅σ n . τ mn = m ⋅ ρ n = m ⋅τ n . - a csúsztató feszültségek: τ ln = l ⋅ ρ n = l ⋅τ n . c) Nevezetes feszültségvektorok: (az x, y, z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségek) z ρz P z σz τ xz y τ yz P ρ z = τ xz i + τ yz j + σ z k y x x z z τ zy ρy x P y x τ xyP σy y ρ y = τ xy i + σ y j + τ zy k A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 27 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom x ρx ◄ 28 ► z z P Vissza τ zx P y x σx τ yx y ρ x = σ x i +

τ yx j + τ zx k Ezek a feszültségvektorok egy ábrában, a P pont környezetéből kiragadott elemi kocka látható (x, y, z normálisú) oldalfelületein is ábrázolhatók. A nevezetes feszültégvektorok szemléltetése az elemi kockán: z Az x normálisú (az yz síkkal ) oldalσz felületre a ρ x feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel. τ xz τ yz Az y normálisú (a zx síkkal ) oldalfeτ zy τ zx lületre a ρ y feszültségvektor koordinátáit P σy τ yxτ xy y rajzoljuk fel. σ A z normálisú (az xy síkkal ) felületx x re a ρ z feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel. Az x,y,z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségvektorok egyértelműen meghatározzák a P pont feszültségállapotát. c) Pont (elemi környezet) feszültségállapota: Definíció: Az adott P ponton átmenő valamennyi irányhoz (normálishoz) hozzárendelt feszültségvektorok összességét (halmazát) a P pont feszültségállapotának nevezzük. P pont

feszültségállapota a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorokkal, vagy az F P feszültségi tenzorral adható meg. A feszültségi tenzor: diadikus alakja: F P = ( ρ x i + ρ y j + ρ z k ) , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 28 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 29 ► ⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ mátrixa: ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ . ⎢τ τ σ ⎥ ⎣ zx zy z ⎦ Pl. σ y – az y normálisú felületen fellépő normál feszültség, τ zx – az x normálisú felületen fellépő z irányú csúsztató feszültség. A feszültségi tenzor mátrixa szimmetrikus: τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ xz = τ zx . A P pont (vagy P pont elemi környezetének) feszültségi állapotát 6 skaláris mennyiség egyértelműen meghatározza: 6 db. egymástól független skaláris σx , σ y , σz , ⎫⎪ ⎬ mennyiség. τ

xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ zy = τ yz ⎪⎭ d) Feszültségvektor kiszámítása: ρ n = F P ⋅ n . A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon ébredő (bármely n normálishoz tartozó) feszültségvektor kiszámítható. (A feszültségi tenzor egyértelműen meghatározza a P pont feszültségi állapotát.) 4.3 Gyakorló feladatok elemi környezet szilárdságtani állapotaira 4.31 feladat: P pont elemi környezetének alakváltozási állapota Adott: A P pont környezetében az alakváltozási jellemzők és az n irány egységvektor: ε x = 5 ⋅10−3 , ε y = 4 ⋅10−3 , ε z = 10 ⋅10−3 , γ xy = γ yx = γ yz = γ zy = 0, γ xz = γ zx = −10 ⋅10−3 , n = (0, 8 i + 0, 6 k ) . Feladat: a) A P ponti A P alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemléltetése az elemi triéderen. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 29 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani

állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 30 ► b) Az ε n fajlagos nyúlás és a γ ny fajlagos szögtorzulás meghatározása. Megoldás: a) Az A P alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemléltetése az elemi triéderen: ε ⎡A ⎤ = γ ⎣ P⎦ γ ⎡ ⎢ x ⎢ ⎢1 ⎢ 2 yx ⎢ ⎢1 ⎣⎢ 2 zx γ xy εy 1 γ 2 zy 1 2 γ xz ⎤⎥ ⎡ 5 0 −5⎤ ⎥ ⎥ 1 γ , ⎡ A P ⎤ = ⎢⎢ 0 4 0 ⎥⎥ 10−3 . 2 yz ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢⎣ −5 0 10 ⎥⎦ ε z ⎥⎦⎥ 10 1 2 Szemléltetés az elemi triéderen: A 10−3 -mal történő beszorzás az ábrán látható valamennyi mennyiségre vonatkozik. AP 5 × 10 −3 k P 5 i j 4 5 b) Az ε n fajlagos nyúlás és γ ny fajlagos szögtorzulás meghatározása: αn = A P⋅n , ⎡ 5 0 −5⎤ ⎡ 0, 8 ⎤ ⎡ 4−3 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [α n ] = ⎡⎣ A P ⎤⎦ ⋅ [ n ] = 10−3 ⎢ 0 4 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ = 10−3 ⎢ 0 ⎥ = 10−3 ⎢⎢ 0

⎥⎥ , ⎢⎣ −5 0 10 ⎥⎦ ⎢⎣ 0, 6 ⎥⎦ ⎢⎣ −4 + 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎡1 ⎤ ε n = n ⋅ α n = [ 0, 8 0 0, 6] ⎢⎢ 0 ⎥⎥ 10−3 = (0, 8 + 1, 2) 10−3 = 2 ⋅ 10−3 , ⎢⎣ 2 ⎥⎦ γ ny = γ yn = 2 j ⋅ α n = 0 . 4.32 feladat: A P pont elemi környezetének feszültségi állapota A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 30 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ 50 20 −40 ⎤ Adott: ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢⎢ 20 80 30 ⎥⎥ MPa, ⎢⎣ −40 30 −20 ⎥⎦ 1 2 2 2 1 2 n = i + j + k , m = − i − j + k, 3 3 3 3 3 3 2 2 1 l = i − j + k | n |=| m |=| l |= 1, 3 3 3 n ⋅m = l ⋅ m = n ⋅l = 0 . ◄ Vissza 31 ► z P y x Feladat: a) A P pontban a ρ x, ρ y, ρ z feszültségvektorok meghatározása. b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán. c) A P pontban a ρ n feszültségvektor és a σ n

,τ mn ,τ ln feszültség koordináták meghatározása. Megoldás: A P pontban a ρ x, ρ y, ρ z feszültségvektorok meghatározása: ⎡ 50 [ ρ x ] = ⎡⎣ F P ⎤⎦ [i ] = ⎢⎢ 20 ⎢⎣ −40 ρ x = σ x i + τ yx j + τ zx k 20 −40 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ 50 ⎤ 80 30 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 20 ⎥⎥ MPa. 30 −20 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣ −40 ⎥⎦ = (50 i + 20 j − 40 k ) MPa. ⎡ 50 [ ρ y ] = ⎡⎣ F P ⎤⎦ [ j ] = ⎢⎢ 20 ⎢⎣ −40 ρ y = τ xy i + σ y j + τ zy k 20 −40 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 20 ⎤ 80 30 ⎥⎥ ⎢⎢1 ⎥⎥ = ⎢⎢80 ⎥⎥ MPa. 30 −20 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 30 ⎥⎦ = (20 i + 80 j + 30 k ) MPa. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom z [MPa ] P 20 50 x y 40 z [MPa ] 30 80 P y ◄ 31 x 20 Vissza ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡ 50 [ ρ z ] = ⎡⎣ F P ⎤⎦ [k ] = ⎢⎢ 20 ⎢⎣ −40 ρ

z = τ xz i + τ yz j + σ z k ◄ Vissza 32 ► z [MPa ] 20 −40 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ −40 ⎤ 20 80 30 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 30 ⎥⎥ MPa. 30 30 −20 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ −20 ⎥⎦ 40 P y x = (−40 i + 30 j − 20 k ) MPa. b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán: [ ρ x] [ ρ y] [ ρ z ] ↓ ↓ ↓ [MPa ] z 40 20 30 P 30 [ F P ] = ⎡ 50 20 −40 ⎤ MPa. 80 20 ⎢ 20 80 30 ⎥ y 20 ⎢ ⎥ x 50 40 ⎢⎣ −40 30 −20 ⎥⎦ A feszültségi tenzor fenti alakban történő felírása arra hívja fel a figyelmet, hogy a tenzor oszlopaiban a ρ x, ρ y, ρ z feszültségvektorok koordinátái állnak. c) A P pontban a ρ n feszültségvektor és a σ n ,τ mn ,τ ln feszültség koordináták meghatározása: ⎡ 1 ⎤ ⎡⎛ 50 + 40 − 80 ⎞ ⎤ 10 ⎤ ⎟ ⎢ 3 ⎥ ⎢⎜⎝ 3 3 3 ⎠ ⎥ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ 50 20 −40 ⎤ ⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎛ 20 160 60 ⎞ + ⎟ ⎥ = ⎢ 80 ⎥ MPa ρ n = F P ⋅ n = ⎢⎢

20 80 30 ⎥⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎜ + ⎢3⎥ ⎝ 3 3 3 ⎠⎥ ⎢ ⎢⎣ −40 30 −20 ⎦⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 20 ⎥ 2 − ⎢ ⎥ ⎢ 40 60 40 ⎢ ⎥ ⎛ − + − ⎞ ⎣ 3 ⎥⎦ ⎟⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ ⎢⎣⎜⎝ 3 3 3 ⎠⎦ ⎡1 ⎤ ⎢3 ⎥ ⎢ ⎥ 20 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 10 160 40 ⎡10 80 − ⎥ = + − = 50 MPa, σn = ρn⋅n = ⎢ 3 ⎦ ⎢3⎥ 9 3 9 ⎣3 ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 32 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 33 ► ⎡ 2 ⎤ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ 20 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 20 160 20 160 ⎡10 MPa, 80 − ⎥ − = − − =− τ ln = Š n ⋅ l = ⎢ ⎢ ⎥ 3⎦ 3 9 3 9 3 ⎣3 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ τ mn ⎡ 2⎤ ⎢− 3 ⎥ ⎢ ⎥ 20 ⎤ ⎢ 1 ⎥ 20 80 40 100 ⎡10 MPa. 80 − ⎥ − = − − − = ρn⋅m = ⎢ =− ⎢ ⎥ 3⎦ 3 9 3 9 3 ⎣3 ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 4.33

feladat: A P pont elemi környezetének feszültségi állapota ρn Adott: ρ n = (−400 i + 300 j + 200 k ) MPa, n = 0, 8 i + 0, 6 k . P n Feladat: a) A σ n normál feszültség koordináta meghatározása. b) A τ n csúsztató feszültségi vektor meghatározása. Megoldás: a) A σ n normál feszültség meghatározása: ( )( ) σ n = n ⋅ ρ n = −400 i + 300 j + 200 k ⋅ 0, 8 i + 0, 6 k = −200 MPa. b) A τ n csúsztató feszültségi vektor meghatározása: A kétszeres vektoriális szorzást a kifejtési szabállyal számítjuk ki. τ n = ( n × ρ n ) × n = ( n ⋅ n ) ρ n − ( n ⋅ ρ n ) n = ρ n − σ nn = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 33 ► Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ( Vissza ◄ 34 ► 34 ► ) = −400 i + 300 j + 200 k − (−200) 0, 8 i + 0, 6 k = ( ) = −240 i + 300 j + 320 k MPa. 4.34 feladat: A

P pont elemi környezetének feszültségi állapota ( Adott: ρ n = 581 i − 100 j + 200 k ) MPa, 2 n = 0, 5 i + 0, 5 j + k, 2 2 m = −0, 5 i − 0, 5 j + k, 2 2 2 l = i− j. 2 2 n σn l τ ln P τ mn m Feladat: a) A σ n normál feszültség meghatározása. b) A τ mn csúsztató feszültség meghatározása. c) A τ ln csúsztató feszültség meghatározása. Megoldás: a) σ n = 381, 9 MPa. b) τ mn = −99, 08 MPa. c) τ ln = 481, 5 MPa. 4.35 feladat: A P pont elemi környezetének alakváltozási állapota A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ Mechanika Elemi környezet szilárdságtani állapotai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 35 ► Feladat: a) A P pont alakváltozási tenzorának felírása. b) Az ε x , γ xz , γ yz alakváltozási jellemzők meghatározása. c) Az ε n , ε m , γ nm alakváltozási jellemzők meghatározása. z Adott: A P pont alakváltozási állapota

az ábrán ⎛ 2 2 ⎞ i+ k ⎟⎟ , látható módon és n = ⎜⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2 2 ⎞ m = ⎜⎜ i− k ⎟⎟ . 2 2 ⎝ ⎠ 4 2 AP ×10−4 k P i 3 x 2 y j 1 1 Megoldás: ε a) ⎡⎣ AP ⎤⎦ = γ γ ⎡ ⎢ x ⎢ ⎢1 ⎢ 2 yx ⎢ ⎢1 ⎢⎣ 2 zx γ xy εy 1 γ 2 zy 1 2 γ xz ⎤⎥ ⎡ −3 − 1 0 ⎤ ⎥ 1 γ ⎥ = ⎢ −1 0 2 ⎥⎥ 10−4 . 2 yz ⎥ ⎢ ⎥ ε z ⎥⎥⎦ ⎢⎣ 0 2 4 ⎥⎦ 1 2 b) ε x = −3 ⋅10−4 , γ xz = 0, γ yz = 4 ⋅10−4 . c) ε n = 0,5 ⋅10−4 , ε m = 0,5 ⋅10−4 , γ nm = −7 ⋅10−4 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 35 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 36 ► 5. Rudak egyszerű igénybevételei Rúd: olyan test (alkatrész), amelynek egyik mérete lényegesen nagyobb, mint a másik kettő Keresztmetszet: a rúd legnagyobb méretére merőleges metszet. Középvonal

(súlyponti szál): a rúdkeresztmetszetek súlypontjai által alkotott vonal. Mechanikai rúdmodell: a rudat egy vonallal, a középvonalával helyettesítjük és a mechanikai viselkedését jellemző mennyiségeket ehhez a vonalhoz kötjük. Mechanikai rúdmodell ≡ a rúd középvonala. Prizmatikus rúd: olyan egyenes középvonalú rúd, amelynek keresztmetszetei állandók és a rúd középvonala menti párhuzamos eltolással egymásba tolhatók. Igénybevétel: a rúd keresztmetszetén megoszló belső erőrendszernek (a feszültségeknek) a keresztmetszet S súlypontjába redukált vektorkettőse, illetve ennek a vektorkettősnek a skaláris koordinátái. 5.1 Prizmatikus rudak tiszta húzás-nyomása Tiszta húzás-nyomás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag rúderő. N > 0 húzás, N < 0 nyomás a) A rúdban kialakuló szilárdságtani állapotok: y y N >0 z N >0 x S l Tapasztalat: húzás-nyomás esetén egy tetszőleges

keresztmetszetű prizmatikus rúdban homogén szilárdságtani állapotok jönnek létre. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 36 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 37 ► Homogén állapot: ha az állapot a rúd minden pontjában azonos. Feszültségi állapot: ⎡σ x F = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ , 0 0 ⎥⎦ σx = N = állandó. A Az összefüggésben A a rúd keresztmetszetének területe. Húzás-nyomás esetén a rúdban csak rúdirányú normál feszültségek lépnek fel. A feszültségi állapot a rúd minden pontjában azonos. Alakváltozási állapot: ⎡ε x 0 0 ⎤ Hosszirányú nyúlás: ε = ε = l − l = állandó. h x ⎢ ⎥ l A = ⎢ 0 εy 0 ⎥ Keresztirányú nyúlások: ⎢0 0 ε ⎥ z⎦ ⎣ ε k = ε y = ε z = −ν ε x = állandó. l – a rúd terheletlen hossza, l - a rúd alakváltozott hossza, ν – a Poisson

tényező (anyagjellemző). Húzás-nyomás esetén a rúdban szögtorzulások nem lépnek fel. Az alakváltozási állapot a rúd minden pontjában azonos. Anyagtörvény: egyszerű Hooke-törvény σx = Eεx Anyagjellemzők: E – rugalmassági modulus. Az anyagjellemzők méréssel (húzó kísérlettel) határozhatók meg. A szakító diagram jellege (alakítható anyagok, Pl. fémek esetén): A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 37 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σx E= Vissza ◄ 38 ► σx = tg α . εx Az E rugalmassági modulus a szakító diagram egyenes szakaszának irány-tangense. ν= α εx εk . εh A ν Poisson tényező a keresztirányú és a hosszirányú fajlagos nyúlás hányadosa. Alakváltozási energia: - a fajlagos (egységnyi térfogatra eső) alakváltozási energia: 1 u = εx σx . 2 - az egész rúdban felhalmozott

alakváltozási energia: U= ∫ (V ) u dV = 1 N2 l, 2 AE V = Al - a rúd térfogata. Feszültségeloszlás a keresztmetszet y és z tengelye mentén: y z y σx S z N >0 σx A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 38 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 39 ► N > 0 ⇒ σx > 0. A feszültségi állapot a rúd minden pontjában azonos (homogén feszültségi állaP pot). y Egytengelyű feszültségi állapot: Ha a feszültségi tenzorban csak egy elem küσx x lönbözik nullától, és ez a nem zérus elem a főátlóban áll. Gyakorlati példák alkatrész húzás-nyomására: - Felvonó kötele: A felvonó kötél igénybevétele A felvonó mechanikai modelltiszta húzás je z N kötéldob felvonó kötél felvonó kabin N Gk - Dugattyús motor, dugattyús kompresszor

hajtórúdja A hajtórúd igénybevétele tiszA szerkezet mechanikai mota húzás-nyomás dellje N >0 F N <0 dugattyú hajtórúd forgattyúkar N >0 N <0 M Motor üzemmód: az F adott. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 39 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 40 ► Kompresszor üzemmód: az M adott. A fenti megállapítás a Statikából tanultak alapján egyszerűen indokolható. - Rácsos tartószerkezetek rúdjai (lásd: a Statika tantárgyban tanultak) 5.2 A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés Az ebben a pontban leírtak húzásra minden korlátozás nélkül, nyomásra viszont csak zömök rudakra érvényesek. A nyomás esete a 6. fejezetben tárgyalt kiegészítésekkel kezelhető a) A feladatok kitűzése: A szilárdságtani ellenőrzés: Adott a rúd anyaga, igénybevételei és keresztmetszetének méretei. Kérdés,

hogy a rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal el tudja-e viselni? A szilárdsági méretezés: Adott a rúd anyaga és igénybevételei! Feladat a keresztmetszet méreteinek meghatározása úgy, hogy a rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal elviselje. b) Tönkremenetel (határállapot): Tönkremenetel: Azon állapot, amelynek bekövetkeztekor a szerkezet rendeltetésszerű használatra alkalmatlanná válik. σ jell – a rúd anyagára vonatkozó tönkremenetelre jellemző érték. A szakító diagram jellege (alakítható anyag esetén): σx σ jell lehet pl.: Rm , vagy σ B – szakítószilárdság, R po ,2 , vagy σ F – folyáshatár. Rm R p 0 ,2 A választás függ a szerkezet funkciójától, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom εx Vissza ◄ 40 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 41 ► a terhelés időbeni lefolyásától,

stb. A választást gyakran szabványok előírják. c) Biztonsági tényezők: - Előírt biztonsági tényező: n σ meg = σ jell σ meg - megengedett feszültség. n Az n > 1 előírt minimális biztonsági tényezőt szabvány, vagy ennek hiányában egyéni megfontolás alapján kell megválasztani. -Tényleges biztonsági tényező: nt nt = σ jell σt σ t – a rúdban fellépő tényleges feszültség. nt > 1 A tényleges biztonsági tényezőnek nagyobbnak kell lennie egynél. c) Szilárdságtani ellenőrzés, méretezés: - Ellenőrzés: A rúd szilárdságtani szempontból megfelel, ha teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek: σ x ≤ σ meg = σ jell . n Ha a fenti relációk nem állnak fenn, akkor a rúd szilárdságtani szempontból nem felel meg. - Méretezés: A rúd keresztmetszetének méretét kell meghatározni: N N . σ x = ≤ σ meg ⇒ A ≥ Aszüks = A σ meg Aszüks - a keresztmetszet szükséges területe (ahhoz szükséges, hogy a rúd

az adott húzó-nyomó igénybevétel esetén ne menjen tönkre). Az A-ból a keresztmetszet jellemző mérete kiszámítható. A keresztmetszet jellemező méretére lehetőleg szabványos értéket kell választani, mert ezt gyártják nagy tételben. (Például a d = 98,56 mm méret választása nem szerencsés, viszont a d = 100 mm választás jó megoldás.) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 41 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 42 ► 5.3 Gyakorló feladatok rudak húzás-nyomására 5.31 feladat: Kör keresztmetszetű rúd húzása Adott: l = 350 mm, d = 10 mm, E = 2,1⋅105 MPa, ν = 0, 3 , N = 50 kN. y y z P P N φd N x l Feladat: a) A feszültségi tenzor ⎡⎣ F P ⎤⎦ mátrixának a meghatározása a P pontban. b) A rúd ∆l hosszváltozásának meghatározása. c) A rúdátmérő ∆d megváltozásának kiszámítása.

Kidolgozás: a) A feszültségi tenzor ⎡⎣ F P ⎤⎦ mátrixának a meghatározása: ⎡σ x 0 0 ⎤ N d 2π ⎡ F ⎤ = ⎢ 0 0 0⎥ , A ahol σ = és = . x ⎥ ⎣ P⎦ ⎢ A 4 ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ 102 π 50 ⋅103 = 78, 54 mm 2 , σ x = 4 78, 54 ⎡636, 62 A feszültségi tenzor: ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 A= = 636, 62 MPa. 0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ MPa. 0 0 ⎥⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 42 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 43 ► b) A rúd ∆l hosszváltozásának meghatározása: σ 636, 62 = 3, 03 ⋅10−3 , ∆l = l ε x , ahol ε x = x = E 2,1⋅105 ∆l = l ε x = 350 ⋅ 3, 03 ⋅10−3 = 1, 061 mm. c) A rúdátmérő ∆d megváltozásának kiszámítása: ∆d = d ε k , ε k = ε y = ε z = −ν ε x = −0, 3 ⋅ 3, 03 ⋅10−3 = −0, 909 ⋅10−3 , ∆d = d ε k = 10 (−0, 909 ⋅10−3 ) = −0, 909 ⋅10−2

mm. 5.32 feladat: Húzott rudakból álló szerkezet Feladat: a) A rudak igénybevételének a meghatározása. b) A C pont elmozdulásának meghatározása. Adott: l = 5 m, a = 3 m, d = 3 mm, F = 4 kN, E = 2,1⋅105 MPa, b = l − a = 5 − 3 = 4 m, b 4 cos α = = = 0, 8. l 5 2 2 2 y a A 2 x B d α b l C F Kidolgozás: a) A rudak igénybevételének a meghatározása: A C pontra ható erők egyensúlya: F + FA + FB = 0 A vektorábrából: | F A |=| F B | , a FA F α |F| cos α = 2 , | FB| A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom FB Vissza ◄ 43 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ ► 44 |F| 4000 = = 2500 N. 2 cos α 2 ⋅ 0, 8 Mindkét rúd húzott. N =| F A |=| F B |= b) A C pont elmozdulásának meghatározása: A rudak hosszváltozásainak meghatározása: σh N d 2π ∆l = ε h l , ahol ε h = , σh = , A = , A E 4 Nl 4Nl 4 ⋅ 2500 ⋅ 5000 ∆l

= = 2 = 2 = 8, 42 mm. A E d π E 3 π 2,1 ⋅105 A B és C pontok közötti rúd megváltozott hossza: l ′ = l + ∆l = 5000 + 8, 42 = 5008, 42 mm. A C pont elmozdulása: CC ′ = ∆r = −vC j , ∆l 8, 42 = = 10, 53 mm, ahol vC = cos α 0, 8 CC ′ = ∆r = −vC j = (−10, 53 j ) mm. y a B x l α l α ≅ α α C . C′ 5.33 feladat: Változó keresztmetszetű rúd húzása y φ d1 φ d2 F l1 x l2 Adott: l1 = 600 mm, l2 = 200 mm, d1 = 40 mm, d 2 = 30 mm, σ meg = 200 MPa, E = 2,1⋅105 MPa. Feladat: a) A rúd terhelhetőségének meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 44 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 45 ► b) A rúd hosszváltozásának a meghatározása az a) pontban meghatározott megengedett terhelés esetén. Kidolgozás: a) A rúd terhelhetőségének meghatározása: F F σ1 = ; σ 2 = . A1 A2 Mivel A1

> A2 , ezért σ 1 < σ 2 , így σ max = σ 2 = Ebből: Fmeg = A2 σ meg = F ≤ σ meg . A2 d 22 π 302 π 200 = 141, 37 kN. σ meg = 4 4 b) A rúd hosszváltozásának a meghatározása az a) pontban meghatározott megengedett terhelés esetén: σ σ l F l F ∆l = ∆l1 + ∆l2 = l1 ε1 + l2 ε 2 = l1 1 + l2 2 = 1 + 2 = E E E A1 E A2 = 4 F ⎛ l1 l2 ⎞ 4 ⋅141370 ⎛ 600 200 ⎞ + ⎜ 2 + 2 ⎟= ⎜ ⎟ = 0, 512 mm. Eπ ⎝ d1 d 2 ⎠ 210000π ⎝ 402 302 ⎠ 5.34 feladat: Vékony falú cső húzása Adott: N = 30 kN, D = 40 mm, d = 36 mm, en = σ meg = 140 MPa y 3 1 i− j, 2 2 y S z 60 N φd N x en φD l A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 45 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 46 ► Feladat: a) Az F feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán. b) A cső

szilárdságtani ellenőrzése. c) Az e n normálisú S síkon a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség koordináta és a τ n csúsztató feszültségi vektor meghatározása. Kidolgozás: a) Az F feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán: 2 2⎞ ⎛ ⎜ D − d ⎟π (402 − 362 )π ⎝ ⎠ A= = = 238, 76 mm 2 , 4 4 3 N 30 ⋅10 = 125, 65 MPa, σx = = A 238, 64 ⎡125, 65 0 0 ⎤ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa. ⎢ 0 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 y [MPa ] 125,65 x z b) A cső szilárdságtani ellenőrzése: σ x < σ meg , (125, 65 < 140 ) , Tehát a cső szilárdságtani szempontból megfelel. c) Az e n normálisú S síkon a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség koordináta és a τ n csúsztató feszültségi vektor meghatározása: ⎡125, 65 0 0 ⎤ ⎡0,5 3 ⎤ ⎡108, 82 ⎤ ⎢ ⎥ [ ρ n ] = ⎡⎣ F P ⎤⎦ [e n ] = ⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ ⎢ −0,5 ⎥ = ⎢⎢ 0

⎥⎥ MPa, ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ρ n = (108, 82 i ) MPa. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 46 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 47 ► A σ n normál feszültség: ⎛ 3 1 ⎞ i − j ⎟⎟ (108, 82 i ) = 94, 24 MPa. 2 ⎠ ⎝ 2 A τ n csúsztató feszültségi vektor: τ n = (e n × ρ n) × e n = ρ n − (e n ⋅ ρ n) e n = ρ n − σ n e n = ρ n − σ n = σ n = e n ⋅ ρ n = ⎜⎜ ⎛ 3 1 ⎞ = 108, 82 i − 94, 24 ⎜⎜ i − j ⎟⎟ = ( 27, 21i + 47,12 j ) MPa. 2 ⎠ ⎝ 2 A feszültség vektorok szemléltetése: τn ρn S en σn 5.35 feladat: Prizmatikus zömök rúd nyomása y z a y P n P N a m x S N l Adott: n = 0,8 i + 0, 6 j , m = −0, 6 i + 0, 8 j , N = −600 kN, a = 50 mm, l = 100 mm, σ meg = 200 MPa , E = 2 ⋅105 MPa . Feladat: a) A keresztmetszeten ébredő feszültségek

eloszlásának megrajzolása az y és a z tengelyek mentén. b) A P pontban a feszültségi állapot meghatározása, és szemléltetése az elemi kockán. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 47 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 48 ► c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése. d) A P pontban a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség és a τ mn csúsztató feszültség meghatározása. e) A rúdban felhalmozott rugalmas energia meghatározása. Kidolgozás: a) A keresztmetszeten ébredő feszültségek eloszlásának megrajzolása a z és az y tengelyek mentén: y y σx z z σx b) A P pontban a feszültségi állapotnak a meghatározása, és szemléltetése az elemi kockán: y A = a 2 = 502 = 2500 mm 2 . N −600 ⋅103 = −240 σx = = A 2500 ⎡ 0 0 ⎤⎥ ⎡ −240 ⎢σ x ⎢ ⎥ ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ = ⎢ 0

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 ⎣ ⎦ [MPa ] MPa. 0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ MPa. 0 0 ⎥⎦ 240 x z c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése: σ x > σ meg ( 240 > 200 ) , Tehát a cső szilárdságtani szempontból nem felel meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 48 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 49 ► d) A P pontban a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség és a τ mn csúsztató feszültség meghatározása: ⎡ −240 0 0 ⎤ ⎡ 0,8 ⎤ ⎡ −192 ⎤ [ ρ n ] = ⎡⎣ F P ⎤⎦ [ n ] = ⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ ⎢⎢0, 6⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ MPa, ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ρ n = ( −192 i ) MPa, σ n = n ⋅ ρ n = ( 0,8 i + 0, 6 j ) ⋅ ( −192 i ) = −153, 6 MPa, τ mn = m ⋅ ρ n = ( −0, 6 i + 0, 8 j ) ⋅ ( −192 i ) = 115, 2 MPa. e) A rúdban felhalmozott rugalmas energia

meghatározása. 6 ⋅105 ) 100 ( N 2l U= = = 36000Nmm = 36J 2 AE 2 ⋅ 2500 ⋅ 2 ⋅105 2 5.36 feladat: Prizmatikus rúd húzása Adott: a = 20 mm, ∆l = 20 µ m, l = 200 mm, E = 2 ⋅105 MPa, xP = −3 mm, yP = 5 mm, ν = 0, 3 , ∆ a = −4, 5 µ m. y y ζ a 45 z P a η P x N ξ N l Feladat: a) Az ε x hosszirányú, valamint az ε y és az ε z keresztirányú nyúlások meghatározása abban az esetben ha a rúd hosszváltozása ∆l . b) A P pontban az A P alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása az xyz , valamint a ξηζ koordinátarendszerben. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 49 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom c) Az F P Vissza ◄ 50 ► feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása a P pontban. d) Az N rúderő meghatározása. e) Az N rúderő meghatározása abban az esetben, ha az a jelű méret megváltozása

∆ a . Kidolgozás: a) Az ε x hosszirányú, valamint az ε y és az ε z keresztirányú nyúlások meghatározása abban az esetben ha a rúd hosszváltozása ∆l : ∆l 20 ⋅10−6 = 10−4 , ε y = ε z = ε k = −ν ε x = −0, 3 ⋅10−4 . εx = εh = = l 0, 2 b) A P pontban az A P alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása az xyz , valamint a ξηζ koordinátarendszerbe: ⎡10 0 0 ⎤ ⎡10 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ −5 ⎡A ⎤ ⎡A ⎤ = 0 −3 0 ⎥ 10 , = ⎢ 0 −3 0 ⎥⎥ 10−5 . ⎣ P ⎦ ( xyz ) ⎢ ⎣ P ⎦ (ξηζ ) ⎢ ⎢⎣ 0 0 −3⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −3⎥⎦ c) Az F P feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása a P pontban: ⎡ 20 0 0 ⎤ σ x = E ε x = 2 ⋅10 ⋅10 = 20MPa , ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa. ( xyz ) ⎣⎢ 0 0 0 ⎥⎦ 5 −4 d) Az N rúderő meghatározása: N = σ x a 2 = 20 ⋅ 20 ⋅ 20 = 8 000 N. e) Az N rúderő meghatározása abban az esetben, ha az a jelű méret megváltozása ∆ a : A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 50 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom εk = ∆a , a εh = − εk ∆a =− , aν ν σ x = E εh = − Vissza ◄ 51 ► E ∆a , aν A E ∆a 202 ⋅ 2 ⋅105 ⋅ (−4, 5 ⋅10−3 ) N = Aσx = − =− = 60000 N. 20 ⋅ 0, 3 aν 5.37 feladat: Húzott rudakból álló szerkezet Feladat: a) Az 1 , 2 , és 3 jelű rúd igénybevételeinek a meghatározása. b) Az 1 jelű rúd szilárdságtani ellenőrzése. c) A 2 jelű rúd szilárdságtani méretezése. d) Az 1 jelű rúdban felhalmozódó rugalmas energia meghatározása. Adott: G = 150 kN, d = 40 mm, b = 2 a . A 3 jelű rúd 2 darab L55x45x5 mm méretű L szelvényből áll. Mindhárom rúdra: E = 2 ⋅105 MPa, σ meg = 120 MPa. φd 1 3 3m 3m 120 a A b 2m 2 G A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 51 ► Mechanika Rudak

egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 52 ► Megoldás: a) Mindhárom rúd húzott: N1 = N 2 = N 3 = G = 150 kN. b) σ x = 119, 37 MPa. σ x < σ meg (119, 37 < 120) , tehát az 1 jelű rúd megfelel. c) a = 25 mm. Tehát a 2 jelű rúd keresztmetszetének szükséges méretei a = 25 mm és b = 50 mm. d) U1 = 134, 3 J. 5.38 feladat: Húzott prizmatikus rúd Feladat: a) A rúd N 2 rúderő hatására kialakuló l2 hosszának a meghatározása, ha N1 rúderő esetén l1 a rúd hossza. b) Annak az N 3 rúderőnek a meghatározása, amelynek hatására a rúdban az adott σ x feszültség ébred. c) Az anyag E rugalmassági modulusának meghatározása. Adott: l0 = 250 mm, d = 25 mm, N1 = 100 N, N 2 = 50 N, l1 = 250, 27 mm, σ x = 80 MPa. y z y N d N x l0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 52 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 53 ► Megoldás: a) l2 = 250,135 mm. b) N 3 = 39, 2699 kN. c) E = 188, 6 MPa. 5.4 Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása Tiszta hajlítás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag hajlító nyomaték. Homogén igénybevétel: Az igénybevétel a rúd hossza mentén nem változik y z S M hz y M hz x M hz l Feltételezés: Az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye. Kísérlet: - A rúd felületére négyzethálót rajzolunk. - Megfigyeljük (mérjük) az alakváltozást. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 53 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom l ⋅ ◄ 54 ► y y z Vissza húzott szál y S M hz ⋅ M hz x M hz R nyomott szál Φl O Az ábrán a rúd alakváltozás előtti helyzetét szaggatott vonal, az alakváltozott helyzetet folytonos vonal és a

súlyponti szál alakváltozás utáni alakját pedig pontvonal jelöli. Megfigyelés: (Bernoulli hipotézis) Tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei síkok és merőlegesek maradnak a rúd alakváltozott középvonalára. a) Alakváltozási állapot: – A súlyponti szál (középvonal) terheletlen állapotban egyenes (egybeesik az x tengellyel), alakváltozás után pedig körív. – A középvonal hossza nem változik meg: l = lS = lS′ = R Φ l , ahol lS – a súlyponti szál hossza, R – a meggörbült rúd középvonalának görbületi sugara, Φ l a két szélső keresztmetszet egymással bezárt szöge az alakváltozott állapotban, az alakváltozás utáni állapotot jelöli. – A hosszirányú fajlagos nyúlást az y helyen lévő szál hosszváltozásából határozzuk meg: l ′ − l ( R + y ) Φ l − RΦ l y = = = κ y ≠ állandó . ε x = ε x ( y) = l RΦ l R 1 κ = - a középvonal görbülete. R A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 54 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 55 ► – Megfigyeljük a négyzetháló deformációját: y<0 1 y>0 1 1+ ε y 1 1+ ε y 1 1+ εx 1+ ε x A nyúlások között ugyanaz a kapcsolat, mint húzás-nyomás esetén: ε k = ε y = ε z = −νε x , ν - a Poisson tényező. y = κ y = ε x ( y ) , ε y ( y ) = ε z ( y ) = −ν ε x ( y ) . Az R alakváltozási állapot nem homogén (függ az y helykoordinátától). – Valamennyi szögtorzulás nulla: γ xy = γ yx = 0 , γ xz = γ zx = 0 , Különbség: εx = γ zy = γ yz = 0 . ⎡ε x Az alakváltozási tenzor: ⎡⎣ A( y ) ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 b) Feszültségi állapot: 0 εy 0 Érvényes az egyszerű Hooke törvény: σ x = E ε x 0⎤ 0 ⎥⎥ . ε z ⎥⎦ . z ⎡σ x 0 0 ⎤ ⎡⎣ F ( y ) ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ P y Az ábra az M

hz > 0 esetben az y > 0 helyen szemlélteti a feszültségi állaσx x potot. E σ x = σ x ( y ) = E ε x = y = κ E y ≠ állandó . R A hajlított rúdban is egytengelyű feszültségi állapot alakul ki. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 55 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 56 ► A feszültségi állapot itt azonban nem homogén. Probléma: nem ismert a középvonal görbülete (az M hz igénybevétel viszont ismert). Cél: A σ x feszültséget az M hz igénybevételből akarjuk kiszámítani. c) A rúd igénybevételei: A rúd igénybevételei a keresztmetszeten ébredő, felületen megoszló belső erőrendszerből számíthatók. A keresztmetszeten ébredő belső erőrendszer sűrűsége: E ρx = σ xi = y i . R E Az eredő erő: FS = ∫ ρ x dA = ∫ σ x i dA = i y dA = 0 . ∫ R ( A) ( A) ( A) Sz = 0 S z a keresztmetszet súlyponti

z tengelyére számított statikai nyomaték. Az y tengelyre szimmetrikus keresztmetszet súlypontjára számított eredő nyomaték: M S = ∫ r × ρ x dA = ∫ (z k + y j ) × σ x i dA = ( A) = ( A) E E j ∫ z y dA − k ∫ y 2 dA = − M hz k . R ( A) R ( A) I zy = 0 Iz A keresztmetszet másodrendű nyomatékai: I z = ∫ y 2 dA > 0 –a keresztmetszet z tengelyre számított másod( A) rendű (tehetetlenségi) nyomatéka, I yz = ∫ y z dA – a keresztmetszet yz tengelypárra számított má( A) sodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka (itt a szimmetria miatt zérus értékű). Ezeken kívül értelmezhető még: I y = ∫ z 2 dA > 0 – a keresztmetszet y tengelyre számított másod( A) rendű (tehetetlenségi) nyomatéka, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 56 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Ip = ∫ r dA = ∫ ( z 2 ( A) 2 Vissza ◄ 57

► + y 2 ) dA > 0 – a keresztmetszet poláris másod- ( A) rendű nyomatéka. Mivel az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye, ezért I yz = 0 . Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és a z tengely a keresztmetszet S súlyponti tehetetlenségi főtengelyei Tétel: Minden szimmetria tengely egyben S ponti tehetetlenségi főtengely is. ⇒ A szimmetria tengelyre merőleges S ponti tengely is tehetetlenségi főtengely Egyenes hajlítás: Ha az M S nyomatékvektor párhuzamos valamelyik S ponti tehetetlenségi főtengellyel. M S = − M hz k – ez itt fennáll! Ezt figyelembe véve, a keresztmetszeten ébredő feszültségek S E E M hz pontra számított nyomatéka: M S = − M hz k = − I z k ⇒ = . R R Iz E Ezt az eredményt behelyettesítve a σ x = y összefüggésbe: feszültségR M hz y . Ez az összefüggés tiszta, egyenes igénybevétel kapcsolat: σ x = Iz hajlítás esetén érvényes. d) Kiegészítés a feszültségi állapothoz: y y -

Feszültségeloszlás: M A σ x = hz y összefüggésben M hz ≥ 0, σx Iz z S M hz M hz ≤ 0, I z > 0, y ≥ 0 és y ≤ 0 lehet. Az ábrán az M hz > 0 esethez tartozó feszültségeloszlás látható. z σx - Zérusvonal: a keresztmetszet azon pontjai, ahol σ x = 0 . A zérusvonal egyenlete: y = 0 . (Tiszta egyenes hajlításnál a zérusvonal a keresztmetszet S ponti z tengelye.) - Maximális feszültség, veszélyes pont: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 57 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 58 ► Maximális feszültség a keresztmetszetnek abban a pontjában ébred, amely legmesszebb van a zérusvonaltól. y y A e1 z S σx M hz e2 M hz y, σ max = σ x max . Iz M M σ max = hz emax = hz , emax = max(e1 , e2 ), itt emax = e1 . Iz Kz I K z = z a keresztmetszet z tengelyre számított keresztmetszeti téemax nyezője. σx =

Veszélyes pont: a keresztmetszetnek az a pontja, ahol a σ max fellép. Itt a veszélyes pont a keresztmetszet A pontja. e) Méretezés és ellenőrzés: - Méretezés: Megkeressük a szerkezet veszélyes keresztmetszetét. Az a veszélyes keresztmetszet, ahol az M hz a legnagyobb. A méretezést ezen a keresztmetszeten végezzük el: σ max = M hz Kz ≤ σ meg ⇒ K z ≥K z szüks = M hz σ meg A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom . Vissza ◄ 58 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 59 ► K z szüks – szükséges keresztmetszeti tényező (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott hajlító igénybevétel esetén éppen ne menjen tönkre). A K z -ből a keresztmetszet jellemző mérete kiszámítható. - Ellenőrzés: Megkeressük a szerkezet veszélyes keresztmetszetét. Az a veszélyes keresztmetszet, ahol az M hz a legnagyobb. Az ellenőrzést ezen a

keresztmetszeten végezzük el: σ M hz ≤ σ meg = jell , n – előírt biztonsági tényező. Kz n Ha ez a reláció teljesül, akkor a rúd szilárdságtani szempontból megfelel. f) Alakváltozási energia: 1 A fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energia: u = ε xσ x . 2 σ max = 1 M hz2 l. Az egész rúd alakváltozási energiája: U = ∫ u dV = 2 IzE (V ) Ez az összefüggés akkor érvényes, ha M hz = állandó a rúd hossza mentén g) Az S ponti szál (középvonal) differenciálegyenlete: 1 M κ = = hz - a rugalmas vonal (középvonal) görbülete. R Iz E M ( x) 1 v′′ = y′′ ≈ − = − hz , R IzE M ( x) d 2 v( x) d 2 y ( x) = = − hz - közönséges, hiányos, inhomogén, 2 2 dx dx IzE másodrendű differenciálegyenlet. A differenciálegyenlet megoldása: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 59 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 60 ► - A rúd keresztmetszeteinek szögelfordulása: M ( x) dv ψ z ( x) = = − ∫ hz dx + C1 . dx Iz E - A lehajlás (a középvonal deformálódott alakja): M ( x) v( x) = ∫ (− ∫ hz dx)dx + C1 x + C2 . Iz E A C1 , C2 konstansok peremfeltételekből számíthatók. h) Gyakorlati példa: vasúti kocsi tengelye. F F F F F A tengely mechanikai modellje F T A tengely igénybevételei Mh 5.5 Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai a) Másodrendű nyomatéki tenzor: Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai a keresztmetszet I S súlyponti tehetetlenségi ⎡ Iy tenzorába foglalhatók: ⎡⎣ I S ⎤⎦ = ⎢ ⎣ − I zy − I yz ⎤ I z ⎥⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom n z ⋅ y S m Vissza ◄ 60 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 61 ► A súlyponti tehetetlenségi tenzor ismeretében bármely S súlyponti

tengelyre, vagy tengelypárra számított nyomaték előállítható: In = n ⋅ I S ⋅ n , Im = m ⋅ I S ⋅ m , I nm = I mn = − m ⋅ I S ⋅ n = − n ⋅ I S ⋅ m . b) Steiner-tétel: Összefüggést ad az S ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok között: η ⎫ ⎪⎪ I y = Iη + AzS2 ⎬ ⎪ I zy = Iζη + AzS yS ⎪ ⎭ y I z = Iζ + AyS2 A ζ yS S Tétel: A párhuzamos tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. z zS O A tétel állítása az első két egyenlet alapján könnyen belátható. c) Mohr-féle tehetetlenségi kördiagram: Tétel: Az I n és I nm összetartozó értékei egy derékszögű koordinátarendszerben kört határoznak meg. I nm y 1 2 z Y I yz SS 2 I2 − I yz 1 2 Iz O I y 1 I1 2α 2 z α 2z P Z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza In ◄ 61 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 62 ► A kördiagram szerkesztésének lépései: - az Y pont felvétele – koordinátái: I y , I yz , - a Z pont felvétele – koordinátái: I z , − I yz - a kör O középpontjának felvétele: a ZY egyenes szakasz és a vízszintes tengely metszéspontja. - a P pólus felvétele: a Z ponton át a z tengellyel, az Y ponton át az y tengellyel húzunk párhuzamost. (Ezek az egyenesek a körön metszik egymást.) d) Tehetetlenségi főirányok, fő tehetetlenségi nyomatékok: - Tehetetlenségi főirány (főtengely): Azon 1 és 2 jelű irány (tengely), amelyekre I12 = I 21 = 0 . Az 1 jelű tengely mindig ⊥ a 2 jelű tengelyre. - Fő tehetetlenségi nyomatékok: Az 1 és 2 jelű tehetetlenségi főtengelyekre számított I1 , I 2 másodrendű nyomatékok. - Tehetetlenségi főirányok, fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása a kördiagramban: Az I1 és I 2 fő tehetetlenségi nyomatékot a

kör és a diagram vízszintes tengelyének metszéspontja adja meg. A fő tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása: I1,2 = Iz + I y 2 ⎛ Iz − I y ⎞ 2 ± ⎜ ⎟ + I zy , ⎝ 2 ⎠ 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 62 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 63 ► A kör középpontjához hozzáadjuk, illetve levonjuk a kör sugarát. Megállapodás a sorszámozásra: I1 ≥ I 2 . 1 jelű főirány: a P pontot összekötjük az 1 ponttal. 2 jelű főirány: a P pontot összekötjük az 2 ponttal. A 2 jelű főiránynak a z tengellyel bezárt szöge (derékszögű 2 I zy háromszögből): tg 2α 2 z = . Iz − I y Tétel: Minden keresztmetszetre van legalább egy ilyen főtengelypár. Tétel: A keresztmetszet szimmetriatengelye mindig tehetetlenségi főtengely. Tétel: Ha a keresztmetszetnek kettőnél több S ponti tehetetlenségi főtengelye

van, akkor a keresztmetszet S pontján átmenő minden tengely tehetetlenségi főtengely, amelyekre számított tehetetlenségi nyomaték megegyezik: I = I1 = I 2 . Ebben az esetben a Mohr kör egyetlen ponttá zsugorodik. Ilyen a kör, a körgyűrű, a négyzet és valamennyi szabályos szokszög keresztmetszet. Megjegyzés: A főirányok meghatározásával analóg módon határozható meg a kördiagramban az S ponti n és m irányokhoz tartozó N és M pont. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 63 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 64 ► 5.6 Gyakorló feladatok rudak tiszta, egyenes hajlítására 5.61 feladat: Téglalap keresztmetszet másodrendű nyomatékai η y Adott: a keresztmetszet a, b mérete. Feladat: S a) Az S súlyponti ξ ,η tengelyekre számított Iξ , Iη , és Iξη tehetetlenségi nyomatékok ξ b x meghatározása. A a

b) Az A ponti x, y tengelyekre számított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok meghatározása. Megoldás: a) Az S súlyponti ξ ,η tengelyekre számított Iξ , Iη , és Iξη tehetetlenségi nyomatékok meghatározása: Iξ = ∫η 2 dA = ∫ξ ∫ η =− b2 ( A) Iη = b 2 2 dA = ∫ η =− b2 ( A) Iξη = Iηξ = b 2 b a 2 ⎡η 3 ⎤ 2 a b3 2 , = = η d ξ d η ξ [ ] ⎥ ∫ ξ =− a2 ⎢ ⎣ 3 ⎦η =− b2 12 ξ =− a2 a 2 a a 2 b ⎡ξ 3 ⎤ 2 a3 b 2 2 , = = ξ d ξ d η η [ ] ⎢ ⎥ ∫ η =− b2 12 ⎣ 3 ⎦ ξ =− a2 ξ =− a2 b 2 ∫ ξ η dA = η ∫ ( A) =− b2 a 2 a b ⎡ ξ 2 ⎤ 2 ⎡η 2 ⎤ 2 d d = =0. ξ η ξ η ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ∫ ⎣ ⎦ ξ =− a2 ⎣ 2 ⎦η =− b2 ξ =− a2 b) Az A ponti x, y tengelyekre számított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok meghatározása: A Steiner tétel felhasználásával: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 64 ►

Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 65 ► 2 I x = Iξ + A y 2 AS 3 a b3 ⎛b⎞ ab = +ab⎜ ⎟ = , 12 3 ⎝2⎠ I y = Iη + A x 2 AS 3 a b3 ⎛a⎞ a b , = +ab⎜ ⎟ = 12 3 ⎝2⎠ 2 I xy = I yx = Iηξ + A xAS y AS a b a 2 b2 = 0+a b = . 22 4 5.62 feladat: Kör keresztmetszet másodrendű nyomatékai Adott: a keresztmetszet d átmérője. Feladat: Az S ponti x, y tengelyekre számított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok, y valamint az I p poláris másodrendű y dA r nyomaték meghatározása. S x x Megoldás: A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: φd d d 2 ⎡ r4 ⎤ 2 d4 π . I p = ∫ r dA = ∫ r r dr dϕ = 2 π ∫ r dr = 2 π ⎢ ⎥ = 32 ⎣ 4 ⎦ r =0 ( A) ( A) ( r = 0) 2 2 3 A tengelyekre számított másodrendű nyomaték: Az I p felírható az xy koordinátarendszerben is: Ip = ∫ r dA = ∫ 2 ( A) ( A) ⎛ ⎜ ⎝ x 2 + y 2

⎞⎟⎠ dA = ∫ x 2 dA + ( A) ∫ y 2 dA = I y + I x . ( A) d4 π . 2 64 A tengelypárra számított másodrendű nyomaték: Szimmetria miatt I x = I y , ezért I x = I y = Ip = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 65 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom I xy = ∫ xydA = ( A) d 2 Vissza 2π ∫ ( r cos ϕ r sin ϕ ) r dr dϕ = ∫ ∫ r3 r =0 ϕ =0 ( A) 2π ◄ ► 66 sin 2 ϕ dϕ dr = 2 d 2 4 ⎡ cos 2 ϕ ⎤ ⎡ r ⎤ = ⎢− ⎢ ⎥ = 0. 4 ⎥⎦ ϕ =0 ⎣ 4 ⎦ r =0 ⎣ 5.63 feladat: Körgyűrű keresztmetszet másodrendű nyomatékai Feladat: Az S ponti x, y tengelyekre számított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok, valamint az I p poláris másodrendű nyomaték meghatározása. Adott: a keresztmetszet D külső és d belső átmérője. y Megoldás: y A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: Ip = ∫ r dA =

∫ r 2 ( A) 2 D 2 r dr dϕ = 2 π ∫ dA r x x S r dr = 3 ( r = d2 ) ( A) 4 4⎞ ⎛ ⎜D −d ⎟π ⎡ r4 ⎤ 2 ⎝ ⎠ . = 2π ⎢ ⎥ = 4 32 d ⎣ ⎦ r= 2 D φd φD A tengelyekre számított másodrendű nyomaték: Az I p felírható az xy koordinátarendszerben is: Ip = ∫ r dA = ∫ 2 ( A) ( A) ⎛ ⎜ ⎝ x 2 + y 2 ⎞⎟⎠ dA = ∫ x 2 dA + ( A) Szimmetria miatt I x = I y , ezért I x = I y = ∫ y 2 dA = I y + I x . ( A) Ip ⎛ ⎜ ⎝ D 4 − d 4 ⎞⎟⎠ π = 2 A tengelypárra számított másodrendű nyomaték: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 64 . Vissza ◄ 66 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom I xy = ∫ xydA = ( A) ∫ D 2 ( r cos ϕ r sin ϕ ) r dr dϕ = 2π 2π ∫ ϕ∫ r = d2 ( A) Vissza =0 r3 ◄ 67 ► sin 2 ϕ dϕ dr = 2 D 2 4 ⎡ cos 2 ϕ ⎤ ⎡ r ⎤ = ⎢− ⎢ ⎥ = 0. 4 ⎥⎦ ϕ =0 ⎣ 4 ⎦

r = d ⎣ 2 5.64 feladat: Téglalap keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása y z B km. y b Adott: M 0 = 80 Nm, P (100; 5; 0 ) mm, E = 2 ⋅105 MPa, a = 10 mm, b = 20 mm. M0 A P S B C l = 10 m, x l a Feladat: a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása. b) Feszültségeloszlás megrajzolása a B jelű keresztmetszeten. c) A keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása. d) Feszültségállapot meghatározása a B jelű keresztmetszet P pontjában. e) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása. f) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 67 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 68 ► Kidolgozás: a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása: y A M hz B x C [ Nm ] y 80 y x z b) Feszültségeloszlás megrajzolása a M B jelű

keresztmetszeten: σ x = hz y Iz z M hz σx σx c) A keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása: Iz = b 2 b a 2 ∫ ∫ y =− b2 z =− a2 Iy = b 2 a 2 ∫ ∫ y =− b2 z =− a2 I zy = b 2 a 2 ∫ ∫ y =− b2 z =− a2 ⎡ y 3 ⎤ 2 a b3 y dzdy = [ z ]− a ⎢ ⎥ = , 2 ⎣ 3 ⎦ − b2 12 2 a 2 a b ⎡ z3 ⎤ 2 b a3 , z dzdy = ⎢ ⎥ [ y ]−2 b = 2 3 12 a ⎣ ⎦−2 2 y= b z= a ⎡ y2 ⎤ 2 ⎡ z2 ⎤ 2 = 0. z y dzdy = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦ y =− b ⎣ 4 ⎦ z =− a 2 2 d) Feszültségállapot meghatározása a B jelű keresztmetszet P pontjában: ⎡σ x 0 0 ⎤ a b3 10 ⋅ 203 2 4 ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0 ⎥ , I z = = = 10 mm 4 , ⎢ ⎥ 12 12 3 ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 68 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza M hz 80 ⋅103 5 = 60 MPa. yP = 2 4 Iz 10 3 ⎡60 0 0

⎤ ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0 ⎥ MPa. ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ◄ 69 ► y σ x ( P) = 60 MPa x z e) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása: M M b 80 ⋅103 σ xmax = hz ymax = hz = 10 = 120 MPa. Iz I z 2 2 104 3 A z tengelyre számított K z keresztmetszeti tényezővel: 2 I z a b 2 10 ⋅ 202 2 3 = = = 10 mm 3 , Kz = b 6 6 3 3 M 80 ⋅10 σ xmax = h = = 120 MPa. 2 3 Kz 10 3 f) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása: U= 1 M hz2 1 (80 ⋅103 ) 2 10 ⋅103 = 24000 Nmm = 24 J. l= 2 2 Iz E 2 104 ⋅ 2 ⋅105 3 5.65 feladat: Kör keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása Adott: F = 5 kN, l1 = 2 m, l2 = 3 m, σ meg = 200 MPa. y y F z φd x C B S A l1 l2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom F Vissza ◄ 69 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 70 ► Feladat: a) A rúd igénybevételi ábráinak

a megrajzolása. b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz egy tetszőleges keresztmetszetén. c) Másodrendű nyomatékok képletének felírása A d) A rúd méretezése hajlításra. Kidolgozás: T C B [kN ] 15 kNm x a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása: -5 Az AB rúdszakaszon tiszta hajlítás van. Egyenes hajlítás, mert kör keresztM h [kNm ] metszet esetén minden súlyponti tengely tehetetlenségi főtengely. Kör és körgyűrű keresztmetszetű -15 rudak csak egyenesen hajlíthatók. b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz egy tetszőleges keresztmetszetén: z c) Másodrendű nyomatékok képletének felírása: d4 π z Kör keresztmetszet: I z = I y = ; 64 (D4 − d 4 ) π Körgyűrű keresztmetszet: I z = I y = . 64 x y y σx S M hz σx d) A rúd méretezése hajlításra: Annak a feltételnek kell teljesülnie, hogy a maximális feszültség kisebb, vagy legfeljebb egyenlő, mint a megengedett feszültség. | M

hmax | Így σ xmax = | ymax |≤ σ meg . Iz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 70 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 71 ► | M hmax | d | M hmax | = ≤ σ meg . d4 π 2 d 3π 64 32 32 | M hmax | 32 ⋅15 ⋅106 Ebből a rúd átmérője: d ≥ 3 =3 = 91, 42 mm. π σ meg π 200 Ezt az egyenlőtlenséget átalakítva: 5.66 feladat: Négyzet keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása Adott: M hz = 120 Nm, a = 20 mm, P(0; 6; 6) mm, E = 2 ⋅105 MPa, ν = 0, 25 . y y′ y z′ M hz P S z A a M hz x 2m 3m B a Feladat: a) A z = 0 keresztmetszet feszültségeloszlásának a megrajzolása a z, az y , a z′ és az y ′ tengelyek mentén. b) Feszültségállapot meghatározása a P pontban. c) Alakváltozási állapot meghatározása a P pontban. d) Az y = −10 mm koordinátájú AB oldalél ∆a hosszváltozásának a meghatározása.

Kidolgozás: a) A z = 0 keresztmetszet feszültségeloszlásának a y y′ z′ P A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom z S y y′ Vissza σx ◄ 71σ ► x Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 72 ► megrajzolása a z, az y , a z′ és az y′ tengelyek mentén: M σ x = hz y . Iz b) Feszültségállapot meghatározása a P pontban: a 4 204 4 4 = = 10 mm 4 , Iz = 12 12 3 M 120 ⋅103 σ x ( P ) = hz yP = 6 = 54 MPa 4 4 Iz 10 3 ⎡ 0 0 ⎤⎥ ⎢ 54 ⎢ ⎥ ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥⎦ ⎣ y 54 MPa x z c) Alakváltozási állapot meghatározása a P pontban: ε 0 0 ⎤⎥ ⎡⎣ A P ⎤⎦ = 0 0 εy 0 ⎥⎥ , ε x ( P) = ⎡ ⎢ x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 ⎥ σx ⎥ E ε z ⎥⎦ = 54 = 27 ⋅10−5 , 2 ⋅105 y ε y ( P ) = ε z ( P) = −ν ε x ( P) = −0, 25 ⋅ 27 ⋅10 = −5 = −6, 75 ⋅10−5.

0 0 ⎤ ⎡ 27 ⎢ ⎡⎣ A P ⎤⎦ = 0 −6, 75 0 ⎥⎥ 10−5 . ⎢ ⎢⎣ 0 0 −6, 75⎥⎦ 6,75 × 10 −5 j P i 27 k z x 6,75 d) Az y = −10 mm koordinátájú AB oldalél ∆a hosszváltozásának a meghatározása: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 72 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A hosszváltozás: ∆a = z =+ a2 ∫ z =− a2 ⎡ ⎢ ⎢⎣ z ε ( z ) | y =− A fajlagos nyúlás: ε z = −ν ε x = −ν ∆a = ⎡ M y ⎢ −ν hz ∫ Iz E z =− a2 ⎢ ⎣ z =+ a2 a, 2 σx E ⎤ ⎥ x = 0 ⎥⎦ ◄ Vissza 73 ► dz . y = állandó . ⎤ M a ⎥ dz = −ν hz (− ) a = 2 IzE y =− a2 ⎥ ⎦ M hz z S 9 (−10) 20 = 2, 25 ⋅10−3 mm. a + ∆a 5 2 ⋅10 Az ábrán az eredeti () és az alakváltozott (.) keresztmetszet látható = −0, 25 5.67 feladat: Kör keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása y z y P K S

φd A 6m F B C −F 3m 3m x Adott: | F |= 20 kN, P(0; 80; 0) mm, d = 160 mm. Feladat: a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása és a veszélyes keresztmetszetek meghatározása. b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz K keresztmetszetén. c) Feszültségállapot meghatározása a P pontban. Megoldás: A M hz K B C [kNm] 60 x A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 73 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 74 ► a) Veszélyes keresztmetszetek: az AB rúdszakasz valamennyi keresztmetszete. y y b) P z σx S σx z d 4 π 1604 π = = 32,17 ⋅106 mm4. 64 64 ⎡ 0 0 ⎤⎥ ⎢σ x ⎢ ⎥ M hz 60 ⋅106 ⎢ ⎥ F ⎡⎣ P ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0 ⎥ , σ x ( P ) = yP = 80 = 149, 2 MPa. Iz 32,17 ⋅106 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥⎦ ⎣ c) I z = 5.68 feladat: Téglalap keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása y y F z b S B A x C

l 4m a Adott: F = −F j , l = 1, 5 m, σ meg = 150 MPa, a = 20 mm, b = 40 mm. Feladat: a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása és a veszélyes keresztmetszetek meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 74 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 75 ► b) Feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten, és a veszélyes pontok meghatározása. ′ maximumának a meghatározása, ha a keresztmetszet c) Az F erő Fmax a rajzoltaknak megfelelően áll. d) Az F erő F ′′max maximumának a meghatározása, ha a keresztmetszetet 90 fokkal elforgatjuk, vagyis a és b értékeit felcseréljük. M hz Megoldás: Fl a) Veszélyes keresztmetszet: az A keresztmetszet. b) Veszélyes pontok az y = ± x C A B b helyen találhatók 2 a b3 20 ⋅ 403 = = 10, 67 ⋅104 mm4. 12 12 M hzmax b F ′max l b σ max ≤

σ meg ⇒ = ≤ σ meg . Iz 2 Iz 2 z 2 σ meg I z 150 ⋅10, 67 ⋅104 = = 533, 33 N. F ′max ≤ lb 1500 ⋅ 40 c) I z = ba 40 ⋅ 20 z = = 2, 667 ⋅104 mm4. 12 12 M hymax b F ′′max l b ≤ σ meg ⇒ = ≤ σ meg . Iy 2 Iy 2 d) I y = σ max F ′′max ≤ 3 2 σ meg I y lb 3 y y b σx S a σx 150 ⋅ 2, 667 ⋅104 = = 266, 67 N. 1500 ⋅ 20 5.69 feladat: Kör keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása Adott: F = ( −5 j ) kN, l = 1 m, σ meg = 150 MPa. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 75 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 76 ► Feladat: A rúd méretezése feszültségcsúcsra Mohr szerint. y y z F S A C x B l 4m Megoldás: M h max = 5kNm . d ≥ 69, 76mm , a szabványos választás: d = 70mm 5.7 Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása Tiszta csavarás: a rúd valamennyi keresztmetszetének

igénybevétele kizárólag csavaró nyomaték. Feltételezés: a keresztmetszet kör, vagy körgyűrű alakú. Kísérlet: - A rúd felületére négyzethálót rajzolunk. - Megfigyeljük (mérjük) az alakváltozást. y z Mc S d y Mc Mc x l Megfigyelés (mérés): A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 76 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom - A rúd keresztmetszetei változik: d ′ = d . síkok Vissza maradnak és ◄ alakjuk 77 ► nem - A rúd keresztmetszetei nem mozdulnak el az x tengely irányában: l′ = l . - A rúd keresztmetszetei az x tengely körül elfordulnak. (Az elfordulás mértéke az x tengely mentén lineárisan változik.) a) A rúd pontjainak elmozdulása: Az x helyen lévő keresztmetszet szögelfordulása: Φ = ϑ x . ϑ = állandó – fajlagos szögelfordulás: az egymástól egységnyi távolságra levő keresztmetszetek

egymáshoz képest bekövetkező szögelfordulása. A rúd tetszőleges P pontjának elmozdulása: y eϕ ′ SP z eR R P Mc y Φ Mc P′ P γ (R ) x Mc x d A pont elmozdulás vektorát az R ϕ x hengerkoordináta-rendszerben írjuk fel. A hengerkoordináta-rendszer egységvektorai: eR , eϕ , ex ≡ i . A P pont elmozdulás vektora: t = ueR + ν eϕ + wex . Az elmozdulás vektor koordinátái: u = 0 , ν = R Φ = xγ , w = 0 . A P pont a keresztmetszet x tengely körüli elfordulása miatt eϕ irányban mozdul el: v = Rϑ x = xγ b) Alakváltozási állapot: ⇒ γ = Rϑ . Megfigyelés (mérés): - nincs hosszváltozás: ε R = ε ϕ = ε x = 0 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 77 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 78 ► - csak az eϕ és ex = i egymással bezárt szöge változik meg: γ Rϕ = γ ϕ R = 0 , γ xR = γ Rx = 0 , γ xϕ =

γ ϕ x = γ = ϑ R . Az alakváltozási tenzor: ⎡0 ⎢ ⎣⎡ A⎦⎤ = ⎢ 0 ⎢ ( Rϕ x ) ⎢⎣ 0 0 0 1 2 γ xϕ 0 ⎤ ⎥ 1 γ , 2 ϕx ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦ γ ϕ x = γ xϕ = ϑ R . Az alakváltozási állapot nem homogén: γ xϕ = γ ϕ x = γ ( R) . A γ szögtorzulás az R változó (helykoord.) lineáris függvénye c) Feszültségi állapot: Érvényes a csavarásra vonatkozó Hooke-törvény: τ xϕ = Gγ xϕ = Gϑ R, τ ϕ x = Gγ ϕ x = Gϑ R . G – a csúsztató rugalmassági modulus (anyagjellemző). A G csúsztató rugalmassági modulus nem független az E rugalmassági modulustól: E = 2G (1 +ν ) . A feszültségi tenzor: ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢0 0 τ ϕ x ⎥ , ( Rϕ x ) ⎢0 τ 0 ⎥ xϕ ⎣ ⎦ τ xϕ = τ ϕ x = Gϑ R . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 78 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 79 ► A

feszültségi állapot szintén nem homogén: τ xϕ = τ ϕ x = τ ( R) . A τ feszültség az R helykoordináta lineáris függvénye. Feszültségeloszlás: τ xϕ = τ xϕ ( R ) = G ϑ R . állandó y y R τϕ x z R τϕ x z S S d D D Feszültség csak ott ébred, ahol anyag van (jobb oldali ábra). Probléma: nem ismert a fajlagos szögelfordulás (az M c igénybevétel viszont ismert). Cél: A τ xϕ feszültséget az M c igénybevételből akarjuk kiszámítani. d) A keresztmetszet igénybevételei: Az egységvektorok vektoriális szorzatai: eR × eϕ = ex , eϕ × ex = eR , ex × eR = eϕ eϕ × eR = −ex , ex × eϕ = −eR , eR × ex = −eϕ . A keresztmetszeten ébredő feszültségvektor: ρ x = τ xϕ eϕ = Gϑ Reϕ = Gϑ R (ex × eR ) . Az eredő erő: FS = ∫ ρ dA = Gϑe × ∫ R e x x ( A) R dA = 0 . ( A) SS = 0 S S - az S pontra számított statikai nyomaték (Értelmezése a Statika tantárgyban). Az S súlypontra számított eredő nyomaték: M S

= ∫ R × ρ x dA = Gϑ ∫ R 2 ( eR × eϕ ) dA = ex Gϑ ∫ R 2 dA = ex Gϑ I p . ( ) ex =áll . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ( A) Vissza ◄ 79 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Ip = Vissza ◄ 80 ► ∫ R dA - a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka. 2 ( A) M S = Gϑ I p ex = M c ex ⇒ Gϑ I p = M c , ϑ G = Mc . Ip A feszültség – igénybevétel kapcsolat: τ xϕ = τ ϕ x = Gϑ R = Mc R. Ip Az összefüggésben M c ≤ 0, M c ≥ 0, I p > 0, R > 0 lehet. Feszültségi tenzor, feszültségek, és körkeresztmetszetű rúd esetében a feszültségeloszlás az xyz és xης koordinátarendszerben: ⎡ 0 τ xy τ xz ⎤ y τς x ς y ⎢ ⎥ ⎡⎣ F ⎤⎦ = τ yx 0 , 0 ⎥, η ⎢ z ⎢⎣τ zx 0 ⎥ 0⎦ τ zx Mc Mc Mc z , τ xz = τ zx = y. τ xy = τ yx = − Ip Ip τ yx z Veszélyes pontok: a palást pontjai. e) Alakváltozási

energia: A fajlagos (térfogategységre eső) alakvál2 1 1 τ xϕ tozási energia: u = γ xϕτ xϕ = . 2 2 G 1 M c2 Az egész rúd alakváltozási energiája: U = l. 2 I pG f) Méretezés és ellenőrzés: - Ellenőrzés: M D M τ ϕ x max = τ max = c ⋅ = c , Ip 2 Kp Kp = 2I p D - poláris keresztmetszeti tényező. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 80 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Ha τ max ≤ τ meg = ◄ Vissza 81 ► τ jell , akkora rúd szilárdságtani szempontból megfelel n (n – előírt biztonsági tényező). - Méretezés: τ max = Mc ≤ τ meg Kp ⇒Kp ≥ Kp szüks = Mc τ meg . – a szükséges poláris keresztmetszeti tényező (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott csavaró igénybevételt tönkremenetel nélkül elviselje). K p szüks ⇒ D≥ . K p szüks g) Gyakorlati példa: kormányoszlop. x Mc = D ⋅ F F z D y

F Mc = D ⋅ F 5.8 Vékonyszelvényű prizmatikus rudak szabad csavarása Szabad csavarás: a rúd pontjainak x tengely irányú elmozdulását semmi nem akadályozza. Gátolt csavarás: a rúd pontjai nem mozdulhatnak el x irányban tetszőlegesen. Itt az előző pont gondolatmenetétől eltérő módon kapunk közelítő megoldást. a) Nyitott szelvényű keresztmetszet: - Keskeny téglalap keresztmetszet: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 81 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 82 ► y τ yx ζ Mc b z S M c = Gϑ I c . bv3 Csavarási másodrendű nyomaték: I c = . 3 A feszültségeloszlás a vastagság mentén lineáris: M M τ yx = c 2ζ ⇒ τ max = c v . Ic Ic v - Összetett szelvény: (a keskeny téglalap eredményeinek általánosítása) M c = Gϑ I c . b3 Csavarási másodrendű nyomaték: τ sx 3 Ic = ∑ i =1 3 i i v3 s bv . 3

τ sx b2 A feszültségeloszlás a vastagság mentén M M lineáris: τ sx = c 2ζ ⇒ τ max = c v max . Ic Ic y z v2 S ζ ζ Mc ζ s v1 τ sx b1 - Görbe középvonalú szelvény: M c = Gϑ I c . s b Ic = 1 v3ds . ∫ 3 (b ) τ sx = Mc 2ζ . Ic A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ζ v (s ) τ sx S Vissza Mc ◄ 82 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 83 ► b) Zárt szelvényű keresztmetszet: A feszültségeloszlás a vastagság mentén állandó. y τ sx M c = Gϑ I c . ζ s Csavarási másodrendű nyomaték: Ic = z S Ak M c 4 Ak . 1 ∫ v ds v (s ) Ak a szelvény középvonala által határolt (sraffozott) terület. Bredt képlet: τ sx ( s ) = Mc Mc ⇒ τ max = . 2 Ak v( s ) 2 Ak vmin 5.9 Gyakorló feladatok rudak csavarására 5.91 feladat: Kör keresztmetszetű rúd csavarása Adott: M c = 32 Nm, l = 500 mm, l1 = 160 mm, d =

20 mm, RB = 5 mm, G = 0, 78 ⋅105 MPa. K1 km. ς z B y η y K1 S K2 l1 l RB φd x Mc M c [Nm] x A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 83 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 84 ► Feladat: a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a K1 keresztmetszeten az η , a z és az y tengelyek mentén. b) A K1 keresztmetszet B pontjában az F feszültségi tenzor mátrixá- B nak meghatározása. c) A K1 keresztmetszet B pontjában az A B alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása. d) A K 2 keresztmetszet szögelfordulásának a meghatározása a K1 keresztmetszethez képest. e) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása. τζ x Kidolgozás: y η τ zx z a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a K1 keresztmetszeten az η , a z és az y tengelyek mentén. M τϕx = c R Ip A poláris másodrendű

nyomaték: I p = y Mc τ yx z d4 π . 32 b) A K1 keresztmetszet B pontjában az F B feszültségi tenzor mátrixá- nak meghatározása: | Mc | d4 π | τ ϕ x ( B ) |= RB , I p = ≈ 0,1 d 4 = 16 ⋅103 mm 4 . 32 Ip | τ yx ( B) |= | Mc | 3, 2 ⋅104 5 = 10 MPa, τ yx ( B) = τ xy ( B ) = −10 MPa. RB = 16 ⋅103 Ip y 10 MPa A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 84 B x ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 85 ► A B pont feszültségi tenzora az xyz koordináta-rendszerben: ⎡ 0 τ xy 0 ⎤ ⎡ 0 −10 0 ⎤ ⎡F ⎤ 0 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ −10 0 0 ⎥⎥ MPa. = ⎢τ ⎣ B ⎦ ( xyz ) ⎢ yx ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ A B pontbeli feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán: c) A K1 keresztmetszet B pontjában az A B alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása: τ −10 = −1, 28 ⋅10−4 . γ xy = γ yx = xy = G

0, 78 ⋅105 Az B pont alakváltozási tenzorának a mátrixa az xyz koordináta1 0⎤ ⎡ 0 −0, 64 0 ⎤ ⎡ 0 2 γ xy ⎢ ⎥ ⎢ 1 rendszerben: ⎡⎣ A B ⎤⎦ 0 0 ⎥ = ⎢ −0, 64 0 0 ⎥⎥ 10−4 . = ⎢ 2 γ yx ( xyz ) ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ d) A K 2 keresztmetszet szögelfordulásának a meghatározása a K1 keresztmetszethez képest: A fajlagos szögelfordulás: ϑ= Mc 3, 2 ⋅ 104 ≈ = 2, 564 ⋅ 10−5 rad/mm. 3 5 I p G 16 ⋅ 10 ⋅ 0, 78 ⋅ 10 A szögelfordulás: Φ12 = ϑ l1 = 2, 564 ⋅ 10−5 ⋅ 160 = 4,1 ⋅ 10−3 rad. e) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása: U= M c2 1 M c2 10, 24 ⋅108 ⋅ 500 dx l = = = 205 Nmm = 2 (∫l ) I p G 2 Ip G 2 ⋅16 ⋅103 ⋅ 0, 78 ⋅105 = 0, 205J. 5.92 feladat: Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 85 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom y φ d φ D Adott: M c = 4 kNm, ψ meg = 0, 02 rad. ◄ 86 ► y Mc z Vissza Mc x l D = 2 , G = 0, 8 ⋅105 MPa, τ meg = 70 MPa, d Feladat: a) A rúd méretezése (D és d meghatározása). b) A rúd lmax maximális hosszának meghatározása, ha a rúd két végének keresztmetszete közötti szögelfordulásnak Φ meg a megengedett értéke. Kidolgozás: a) A rúd méretezése (D és d meghatározása): Ip M D Mc . τ max = c ≤ τ meg ⇒ ≥ Ip 2 D 2 τ meg 1 15 D 4 (1 − ) π D3 π I (D4 − d 4 ) π p 16 16 = 0, 092 D 3 . Ip = = ⇒ = D 32 32 32 6 Mc 4 ⋅10 =3 = 67, 72 mm. D≥ 3 2 ⋅ 0, 092 τ meg 2 ⋅ 0, 092 ⋅ 70 Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak átmérőit szabvány írja elő. Szabványos (MSz 4337-71 Hengerelt köracélok) méretű D értéket választva, legyen D = 70 mm és ezzel d = 35 mm. Ezekkel a méretek- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 86 ► Mechanika Rudak egyszerű

igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 87 ► kel számított poláris másodrendű nyomaték: ( D 4 − d 4 ) π (704 − 354 ) π Ip = = = 2, 21⋅106 mm 4 . 32 32 b) A rúd lmax maximális hosszának meghatározása, ha a rúd két végének keresztmetszete közötti szögelfordulásnak Φ meg a megengedett értéke: M l Φ= c Ip G ⇒ ⇒ lmax = Φ meg Φ meg = Ip G Mc M c lmax Ip G = 0, 02 ⇒ 2, 21 ⋅106 ⋅ 0, 8 ⋅105 = 884 mm. 4 ⋅106 5.93 feladat: Kör keresztmetszetű rúd csavarása y F φd F y x z F l φD Adott: F = 6 kN, D = 0, 5 m, d = 70 mm, τ meg = 45 MPa. Feladat: a)A rúd mechanikai modelljének a meghatározása. b)A rúd szilárdságtani ellenőrzése. Kidolgozás: a) A rúd mechanikai modelljének a meghatározása: A rúd igénybevétele csavarás: M c = F D = 6 ⋅103 ⋅ 0, 5 ⋅103 = 3 ⋅106 Nmm. y Mc x l A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 87

► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 88 ► b) A rúd szilárdságtani ellenőrzése: 2I M d 3 π 703 π = = 6, 73 ⋅104 mm 3 , τ max = c , K p = p = Kp d 16 16 τ max = Mc 3 ⋅ 106 = = 44, 6 MPa. K p 6, 73 ⋅ 104 A tartó megfelel, ha τ max ≤ τ meg . A fenti adatokkal 44, 6 < 45 , ezért a tartó megfelel! 5.94 feladat: Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása Adott: M 1 = − M 1 i , M 2 = ( 0,12 i ) kNm, G = 80 GPa, τ meg = 60 MPa, D = 40 mm, d = 20 mm. y z S y M1 A B M2 K 150 C x 150 d D Feladat: a) Az M 1 nyomaték meghatározása azzal a feltétellel, hogy a rúd éppen megfeleljen. b) A rúd A és C keresztmetszete közötti ψ AC elcsavarodás szögének a meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 88 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 89 ► Kidolgozás: a) Az M 1 nyomaték meghatározása azzal a feltétellel, hogy a rúd éppen Mc megfeleljen: A rúd igénybevétele csavarás. | M1 − M 2 | | M1 | A rúd igénybevételi ábrája: z ( D 4 − d 4 )π (404 − 204 )π Ip = = = 2, 36 ⋅ 105 mm 4 . 32 Kp = 2 Ip D = 32 2 ⋅ 2, 36 ⋅105 = 1,178 ⋅104 mm 3 . 40 A rúd éppen megfelel, ha τ max = τ meg ⇒ τ max = M cmax = τ meg . Kp M cmax = K p τ meg = 1,178 ⋅104 ⋅ 60 = 706848 Nmm = 706, 858 Nm, M cmax az M1 és az M1 − M 2 közül a nagyobb, tehát M 1 = (−0, 706858 i ) kNm. b) A rúd A és C keresztmetszete közötti ψ AC elcsavarodás szögének a meghatározása: Mc A fajlagos elcsavarodás szöge ϑ = , szakaszonként változó. Ip G ψ AC = ∫ ϑ dz + ∫ ϑ dz = ψ AB = BC AB +ψ BC = M 1 l AB ( M 1 − M 2 ) lBC + = Ip G Ip G 706858 ⋅150 (706858 − 120000) ⋅150 + = 1, 03 ⋅10−2 rad. 5 4 2, 36 ⋅10 8 ⋅10 2, 36 ⋅105 8 ⋅104 5.95

feladat: Kör keresztmetszetű rúd csavarása Adott: M c = 40 Nm, l = 500 mm, E = 200 GPa, ρ B = 5 mm, ν = 0, 3 . l1 = 160 mm, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom d = 20 mm, Vissza ◄ 89 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 90 ► y ζ y η 30 z K2 M c K1 B S ρB l φd x l1 M c [ Nm ] 40 40 x Feladat: a) A rúd x = 0 keresztmetszetén a feszültségek eloszlásának megrajzolása az η , a z és az y tengelyek mentén. b) Az x = 0 keresztmetszet B pontjában az ⎡⎣ F B ⎤⎦ feszültségi tenzor mátrixának meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán. c) Az x = 0 keresztmetszet B pontjában az ⎡⎣ A B ⎤⎦ alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és az alakváltozási állapot ábrázolása az elemi triéderen. d) A rúd ϑ fajlagos szögelfordulásának, illetve a K 2 és a K1 keresztmetszet

közötti ψ 12 szögelfordulás meghatározása. c) Az l hosszúságú rúdban felhalmozott U rugalmas energia meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 90 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 91 ► Megoldás: a) τζ x Mc η, Ip M M τ zx = c y, τ yx = − c z . Ip Ip τζ x = y y η τ zx z Mc τ yx z b) ⎡ 0 τ xy ⎡ F ⎤ = ⎢τ yx 0 ⎣ B⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 d 4π 0⎤ I p = ≈ 0,1 d 4 = 0,1 ⋅ 204 = 16 ⋅103 mm 4, 32 0 ⎥⎥ , Mc 40 ⋅103 τ τ z 5 = −12, 5 MPa, = = − = − ⎥ 0 ⎦ xy yx B I 16 ⋅103 x p −12,5 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎡ F ⎤ = −12,5 0 0 ⎥⎥ MPa. ⎣ B⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ z y 2 ⋅105 E c) G = = = 76, 9 ⋅103 MPa. 2 (1 + ν ) 2 (1 + 0, 3) 1 ⎡ 0 2 γ xy ⎢ ⎡ A ⎤ = 12 γ yx 0 ⎣ B⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 −0,8 ⎡ 0 ⎢ ⎡ A ⎤ = −0,8 0 ⎣ B⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 B 12,5 MPa 0⎤

τ −12, 5 0 ⎥⎥ , γ xy = γ yx = yz = = −1, 6 ⋅10−4 , 3 G 76, 9 ⋅10 0 ⎥⎦ 0,8 ⋅10−4 0⎤ 0 ⎥⎥ 10−4 0 ⎥⎦ i j k B 0,8 ⋅10−4 d) ψ 12 = 0, 052 rad. e) U = 0, 325 J. 5.96 feladat: Kör keresztmetszetű rúd csavarása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 91 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza ► 92 Adott: | F |= 5 kN, D = 0, 4 m, d = 60 mm, τ meg = 60 MPa. y y F F x z φd −F φD l Feladat: a) A rúd igénybevételeinek meghatározása. b) A rúd x = l keresztmetszete mentén a feszültségek eloszlásának a megrajzolása a tetszőleges R, az x és az y tengelyek mentén, illetve az I p , K p meghatározása. c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése. Megoldás: a) A rúd igénybevétele csavarás: M c = F D = 5 ⋅103 ⋅ 0, 4 = 2 ⋅103 Nm. d 4π 604 π , Ip = = 1, 27 ⋅ 106 mm 4 , 32 32 2 Ip b) I p = Kp

= y R τ zx z Mc , d 2 ⋅ 1, 27 ⋅ 106 Kp = = 42, 4 ⋅ 103 mm 3 . 60 c) τ max = y τϕx z τ yx Mc 2 ⋅ 106 = = 47,17 MPa < 60 MPa, tehát a rúd megfelel. K p 42, 4 ⋅ 103 5.97 feladat: Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 92 ► Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ 93 ► 93 ► D = 2 , G = 80 GPa, τ meg = 60 MPa, d Adott: M c = 2 kNm, y z Vissza y Mc S d D Mc x l0 Feladat: A rúd méretezése. Megoldás: A rúd megfelel, ha τ max = Mc D ≤ τ meg Ip 2 ⇒ Ip D ≥ Mc , 2 τ meg I p D 3 15 π ( D 4 − d 4 ) π D 4 (1 − 161 ) π D 4 15 π = . = = és 512 32 32 512 D I p D 3 15 π Mc Mc = = 0, 092 D 3 ≥ ⇒ D≥ 3 , 512 2 τ meg 2 τ meg 0, 092 D Ip = Behelyettesítve: D ≥ 3 2 ⋅106 = 56, 58 mm. 2 ⋅ 60 ⋅ 0, 092 5.98 feladat: Kör keresztmetszetű rúd egyenes

hajlítása Adott: Az x tengelyű rúd igénybevétele: M S = ( 5 i ) kNm, σ meg = 150 MPa. Feladat: A rúd méretezése feszültségcsúcsra Huber-Mises-Hencky szerint. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ Mechanika Rudak egyszerű igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 94 ► Megoldás: d ≥ 62,15mm , a szabványos választás: d = 65mm . 5.99 feladat: Vékonyszelvényű prizmatikus rúd csavarása Adott: M c = 10 Nm , τ meg = 100 MPa. y Feladat: 2 S a) A rúd keresztmetszetének az I c csavarási másodrendű nyomatékának a meghatározása. 2 10 z 4 M c 20 16 b) A keresztmetszeten ébredő maximális feszültség meghatározása. c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése. Megoldás: a) Az I c csavarási másodrendű nyomaték meghatározása: m Ic = ∑ i =1 16 ⋅ 43 20 ⋅ 23 10 π2 ⋅ 23 = + + = 436,55 mm4. 3 3 3 3 bi vi3 b) A keresztmetszeten ébredő maximális

feszültség meghatározása: M 10000 τ max = c vmax = 4 = 91, 63 . 436,55 Ic c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése: 91, 63 < 100 , tehát a rúd megfelel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 94 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 95 ► 6. Karcsú, nyomott rudak kihajlása Karcsú rúd: a rúd hossza sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet méretei, és karcsúsági tényezője egy meghatározott értéknél nagyobb. Zömök rúd: a rúd hossza nem sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet méretei. A rúd karcsúságát a karcsúsági tényezővel fogjuk jellemezni. Karcsú rudak nyomásánál kihajlási jelenség léphet fel. A nyomásról a 5.1 pontban tanultak csak zömök rúdra érvényesek további kiegészítések nélkül Centrikus nyomás: az F nyomóerő a rúd keresztmetszetének S súlypontjában támad. F F Tapasztalat: Az F erőt

növelve, egy küszöb fölött a rúd meggörbül, hirtelen nagy elmozdulások lépnek fel (a rúd kihajlik), amelyek a rúd tönkremenetelét okozhatják. Stabilitásvesztés: A rudat az egyenes helyzetből kis hatással kimozdítva, a rúd nem tér vissza az egyenes alakhoz. A rúdnak két egyensúlyi helyzete van. Az egyik az egyenes alak, ami labilis, a másik a görbült alak, ami stabil egyensúlyi alak. Kérdés: az F erő mekkora értékénél következik be a stabilitásvesztés? Fkrit - kritikus erő: az erőnek azon értéke, amelynél a stabilitásvesztés bekövetkezik. Az alábbiakban egy közelítő megoldást adunk a kihajlás leírására: a) A kritikus erő meghatározása: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 95 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 96 ► Kiindulás: a rúd középvonala terheletlen állapotban egyenes. Gondolatmenet: -

Feltételezzük, hogy terhelt állapotban a rúd középvonala meggörbül. (Görbült alak csak akkor alakulhat ki, ha a terhelés elérte az Fkrit értéket.) - Keressük a görbe alak kialakulásának feltételét. x t F x x F F M hz = y ( x) F y ( x) lo y F y ( x) x y x y F F y ( x) - a rúd középvonalának elmozdulása a meggörbült helyzetben. A rúd igénybevételei a meggörbült helyzetben: - Nyomás: N ( x) = − F , ahol F ≥ Fkrit . - Hajlítás: M hz ( x) = y ( x) F , ahol F ≥ Fkrit . A rugalmas vonal (S ponti szál Euler-féle) differenciálegyenlete: M ( x) d 2 y ( x) F ′′ y = = − hz =− y ( x) . 2 dx E Iz E Iz F y ( x) = 0 . Az egyenletet egy oldalra rendezve: y′′( x) + EI z Ez az egyenlet másodrendű, közönséges, lineáris, állandó együtthatójú, hiányos, homogén differenciál egyenlet. F Jelölés: α 2 = . E Iz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 96 ► Mechanika Karcsú, nyomott

rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 97 ► A kihajlás Euler-féle differenciál egyenlete: y′′( x) + α 2 y ( x) = 0 . Keressük az y ( x) ≠ 0 megoldást. (Keressük a görbült alak y ( x) egyenletét.) Megoldás: y ( x) = A0 cos α x + B0 sin α x . Peremfeltételek: x=0 y ( x = 0) = 0 = A0 ⋅1 + 0 ⇒ x = l0 y ( x = l0 ) = 0 = B0 sin α l0 . A0 = 0 . A B0 sin α l0 szorzat vagy akkor zérus, ha B0 = 0 , vagy akkor, ha sin α l0 = 0 . A B0 = 0 a súlyponti szál egyenes alakját jelenti, amitől különböző megoldást keresünk. Ha sin α l0 = 0 , akkor B0 = tetszőleges ≠ 0 érték lehet! (E közelítésben akármekkora nagy érték is lehet!) A megoldás a peremfeltételek figyelembevétele után: y ( x) = B0 sin α x - A görbült alak szinusz félhullám, amelynek amplitúdója határozatlan, mert B0 tetszőleges. x F Probléma: A B0 konstans tetszőlegesen nagy is lehet. ⇓ Nagy elmozdulások lépnek

fel. ⇓ A rúd tönkremegy (eltörik). y Mi a feltétele a B0 ≠ 0 esetnek? sin α l0 = 0, ⇒ α lo = kπ , ( k = 1, 2, , n). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 97 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom α 2lo2 = k 2π 2 , ⇒ Vissza ◄ 98 ► Fkrit 2 lo = k 2π 2 . EI z EI z , (k = 1, 2, , n) . lo2 Ezek közül az erők közül a legkisebb a k = 1 , és I z = I min = I 2 esethez tartozik. Már ez a legkisebb erő is problémát okozhat: Fkrit = k 2π 2 Fkrit = Fkrit min = π 2 EI min . l02 Tapasztalat és az Fkrit -ra kapott összefüggésből is ez következik: A rúd arra a keresztmetszeti tehetetlenségi főirányra merőleges síkban hajlik ki, amelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb: Fkrit = Fkrit min = π 2 EI min EI = π 2 22 . 2 l0 l0 A feladat megoldását, a végein csuklósan megtámasztott rúdra állítottuk elő. A

megoldás más megtámasztás esetén is a fenti gondolatmenettel határozható meg b) A kihajlási határgörbe: A kritikus erő (a rúd megtámasztási módja mellett) függ a rúd l0 hosszától és a keresztmetszetnek a hajlítással szembeni legkisebb ellenállására jellemző I min = I 2 másodrendű nyomatéktól. Ennek a rúd geometriáját jellemző két mennyiségnek a függvényében akarjuk meghatározni a rúd tönkremenetele szempontjából kritikus feszültséget Átalakítás: F I E E I 2 σ krit = krit = π 2 min 2 = π 2imin , ahol imin = min a minimális 2 A A l0 l0 A inercia sugár. l A Karcsúsági tényező: λ = 0 = l0 . imin I min A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 98 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 99 ► A σ krit ≤ RA esetben az Euler-féle hiperbola adja a kritikus feszültséget: Euler-féle hiperbola: σ krit = σ krit

(λ ) = π 2 λA λA = π E λ2 . - az σ krit = RA -hoz tartozó karcsúsági tényező, vagyis E . RA Euler összefüggés rugalmas kihajlásra ( σ krit ≤ RA ), vagyis λ ≥ λA értékekre érvényes. A σ krit ≥ RA , vagyis λ ≤ λA esetben a Tetmajer-féle egyenes adja meg a kritikus feszültséget: Tetmajer-féle egyenes: σ krit = σ krit (λ ) = − R p 0,2 − RA λA λ + R p 0,2 Ez az összefüggés képlékeny kihajlásra érvényes. Az Euler-féle hiperbolát és a Tetmajer-féle egyenest diagramban ábrázolva kapjuk a rúd σ krit (λ ) kihajlási határgörbéjét. Kihajlási határgörbe: σ krit Tetmajer-egyenes R p 0,2 Euler- hiperbola RA λ λA képlékeny tartomány rugalmas tartomány c) Nyomott rudak méretezése, ellenőrzése: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 99 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 100 ►

Nyomott rudaknál a méretezést, ellenőrzést nemcsak feszültségcsúcsra, hanem kihajlásra is el kell végezni. Nyomott rudak esetén legtöbbször a kihajlás jelenti a nagyobb veszélyt. - Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra (lásd 5.1 Prizmatikus rudak tiszta húzás-nyomása és 52 A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés): σ F σ x = ≤ σ meg = jell . A n - Méretezés, ellenőrzés kihajlásra: l Először meg kell határozni a rúd karcsúsági tényezőjét: λ = 0 . imin Ezután meg kell határozni az Euler-hiperbola és a Tetmajer-egyenes érvényességi tartományát elválasztó λA értéket: RA = π 2 E ⇒ λA = π E . RA λ Ha λ ≥ λA , akkor a σ krit értéket az Euler-féle összefüggésből szá2 A mítjuk: σ krit = π 2 E λ2 . Ha λ ≤ λA , akkor a σ krit értéket a Tetmajer-féle összefüggésből R − RA számítjuk: σ krit = − p 0,2 λ + R p 0,2 . λE σ F ≤ σ meg = krit A n d) Általánosítás más

megtámasztások esetére: l A karcsúsági tényező: λ = 0 . imin Általánosítás: l0 nem a rúd hossza, hanem a kihajlási fél hullámhossz. Méretezés, ellenőrzés kihajlásra: σ x = A kihajlási félhullámhossz meghatározása: l0 = β l . l – a rúd tényleges hossza. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 100 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 101 ► A leggyakrabban előforduló megtámasztási módok: l l F F β =2 β =1 l l F β = 0 ,5 F β ≈ 0 ,7 Gyakorlati példák kihajlásveszélyre: - Rácsos tartószerkezetek nyomott rúdjai. - Robbanó motor szelepvezérlése – szelepemelő rúd. A szelepemelő rúd A szelepvezérlés vázlata mechanikai modellje himba x rúgó F l szelep szelepemelő rúd l bütykös tárcsa y lo ≅ 0,7l 6.1 Gyakorló feladatok karcsú nyomott rudak kihajlására 6.11 feladat:

Csuklós/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 101 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y Vissza ◄ 102 ► y z F a φd x l Adott: l = 1,1 m, F = 9 kN, E = 2,1⋅105 MPa, d = 10 mm, a = 20 mm, R p 0,2 = 280 MPa, RA = 240 MPa, nkr = 2 . Feladat: a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével. b) A rúd ellenőrzése kihajlásra. Kidolgozás: a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével: σ kr 2 E Tetmajer egyenes Ha λ > λA , akkor: σ krit = π 2 . Ha λ < λA , akkor: R − RA σ krit = − p 0,2 λ + R p 0,2 . λ R p 0, 2 RA Euler hiperbola λ λA λA b) A rúd ellenőrzése kihajlásra: RA = π 2 E λA2 ⇒ λA = π E 2,1 ⋅105 =π = 92, 93 . RA 240 ⎛ d 2 π ⎞ ⎛ 2 102 π ⎞ 2 A = ⎜ a2 − ⎟

= ⎜ 20 − ⎟ = 321, 46 mm . 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎛ a 4 d 4 π ⎞ ⎛ 204 104 π ⎞ 4 − I min = I z = I y = ⎜ − ⎟=⎜ ⎟ = 12842 mm . 64 ⎠ ⎝ 12 64 ⎠ ⎝ 12 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 102 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom imin = iz = i y = Vissza ◄ 103 ► I min 12842 = = 6, 32 mm. 321, 46 A β = 1, l0 = β l = 1 ⋅ 1100 = 1100 mm, λ ≥ λA (174 > 92, 93) ⇒ összefüggést kell alkalmazni. λ= l0 = imin 1100 = 174 . 6, 32 A σ kr meghatározására az Euler- F 9000 = = 28 MPa. A 321, 46 E 2,1 ⋅ 105 A kritikus feszültség: σ kr = π 2 2 = π 2 = 68, 46 MPa. 1742 λ A tényleges feszültség: σ x = A rúd megfelel, ha σ x ≤ Itt σ x < σ kr nkr σ kr . nkr 68, 46 = 34, 23) , tehát a rúd kihajlásra megfeteljesül (28 < 2 lel! 6.12 feladat: Befalazott/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd

kihajlása b Adott: l = 300 mm, E = 200 GPa, v = 1, 5 mm, b = 30 mm, R p 0,2 = 400 MPa, y y z v x F l RA = 300 MPa. Feladat: a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása. b) A kritikus erő meghatározása. Kidolgozás: a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása: A = b v = 30 ⋅1, 5 = 45 mm 2 , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 103 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Iz = b v 3 30 ⋅1, 53 = = 8, 44 mm 4 , 12 12 Iy = Vissza ◄ 104 ► v b3 1, 5 ⋅ 303 = = 3375 mm 4 . 12 12 Az y és z tengelyek tehetetlenségi főtengelyek I y = I1 , I z = I 2 , I min = min( I z ; I y ) = 8, 44 mm 4 , imin = I min 8, 44 = = 0, 433 mm. A 45 b) A kritikus erő meghatározása: E 2, 0 ⋅105 π = = 81,1 . λA2 RA 300 l 210 = 484,99 . β = 0, 7; l0 = β l = 0, 7 ⋅ 300 = 210 mm, λ = 0 = imin 0, 433 λ > λA ( 484,99 > 81,1 ) A σ kr

meghatározására az Euler-összefüggést kell alkalmazni. RA = π 2 E ⇒ λA = π 2, 0 ⋅105 = 8, 39 MPa, λ2 484,992 Fkr = A σ kr = 45 ⋅ 8, 39 = 377,55 N. σ kr = π 2 E =π2 6.13 feladat: Görgős/befalazott megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása Adott: A rúd keresztmetszete kétféle lehet: cső, vagy négyzet. F = 55 kN, E = 200 GPa, R p 0,2 = 300 MPa, RA = 200 MPa, nkr = 2 , d k = 2 Rk = 60 mm, v = 3 mm, a = 40 mm. φ 2Rk y y v x xa F l = 2m A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom a Vissza ◄ 104 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 105 ► Feladat: a) A keresztmetszeti resztmetszetre. jellemzők meghatározása mindkét ke- b) Ellenőrzés kihajlásra mindkét keresztmetszetre. Kidolgozás: a) A keresztmetszeti jellemzők meghatározása mindkét keresztmetszetre: Cső keresztmetszet: A = 2 Rk π v = 2 ⋅ 30 π ⋅ 3 =

565, 5 mm 2 , 2π ∫ Ix = y dA = 2 imin = λ= ∫ ϕ =0 ( A) 2π ⎡ ϕ sin 2ϕ ⎤ = v Rk3 π ( Rk sin ϕ ) v Rk dϕ = v R ⎢ − ⎥ 4 ⎦ϕ =0 ⎣2 2 3 k Ix v Rk3 π R 30 = = k = = 21, 21 mm, 2 Rk π v A 2 2 βl imin = 0, 7 ⋅ 2000 = 66 . 21, 21 Négyzet keresztmetszet: A = a 2 = 402 = 1600 mm 2 , I x = a4 , 12 Ix 40 a 4 /12 a = = = = 11, 55 mm, 2 A a 12 12 β l 0, 7 ⋅ 2000 λ= = = 121, 21 . imin 11, 55 imin = b) Ellenőrzés kihajlásra: RA = π 2 E λA2 ⇒ λA = π E 2, 0 ⋅105 =π = 99, 35 . RA 200 Cső keresztmetszet: A Tetmajer összefüggést kell alkalmazni, mert λ < λA (66 < 99, 35) . R − RA 300 − 200 σ kr = R p 0,2 − p 0,2 λ = 300 − 66 = 233,57 MPa, λA 99, 35 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 105 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σz = Vissza ◄ 106 ► F 55000 = = 97, 26 MPa. A 565, 5 A rúd

megfelel, ha σ z < Itt a σ z < σ kr σ kr . nkr 233,57 = 116, 78) teljesül, tehát a rúd kihaj(97, 26 < 2 nkr lásra megfelel! Négyzet keresztmetszet: Az Euler összefüggést kell alkalmazni, mert λ > λA , (121, 21 > 99, 35) . σ kr = E σz = π2 π2 5 = 2 ⋅ 10 = 134, 35 MPa, λ2 121, 212 F 55000 = = 34, 38 MPa. A 1600 A rúd megfelel, ha σ z ≤ Itt σ z < σ kr nkr megfelel! σ kr . nkr 134, 35 = 67,18) teljesül, tehát a rúd kihajlásra (34, 38 < 2 6.14 feladat: Befalazott karcsú nyomott rúd kihajlása Adott: A rúd keresztmetszete két darab összehegesztett U50-es szelvényből áll. Egy U50-es szelvény adatai (lásd az ábrát is): y A′ = 712 mm 2 , e = 13, 7 mm, η 4 4 I ′ς = 26 ⋅10 mm , 50 z 4 4 I ′η = 9,1⋅10 mm . További adatok: F = 25 kN, R p 0,2 = 300 MPa, y ζ S e x F l RA = 200 MPa, nkr = 2 , l = 2 m, E = 200 GPa. Feladat: a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek a meghatározása. A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 106 ► Mechanika Karcsú, nyomott rudak kihajlása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 107 ► b) Ellenőrzés kihajlásra. Megoldás: a) A = 1424 mm2, I z = 52 ⋅104 mm4, I y = 44, 93 ⋅104 mm4, I min = 44, 93 ⋅104 mm 4 , imin = 17, 76 mm. b) λ A = 99, 35 , l0 = 4000 mm, λ = 225, 23 . λ > λA (225, 23 > 99, 35) ⇒ Az Euler-összefüggést kell alkalmazni. σ kr = 38, 91 MPa, σ x = 17, 56 MPa. σ 38, 91 A rúd kihajlásra megfelel, mert σ x < kr (17, 56 < = 19, 46) . nkr 2 6.15 feladat: Mindkét végén befalazott karcsú nyomott rúd kihajlása Adott: a = 10 mm, b = 30 mm, l = 3 m, n = 2, R A = 300 MPa, R p 0 ,2 = 600 MPa, E = 2 ⋅ 10 5 MPa. a b F l Feladat: Az Fmax terhelő erő legnagyobb értékének a meghatározása. Megoldás: Az Fmax terhelő erő legnagyobb értékének a meghatározása. Fmax = 1,099 kN. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 107 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 108 ► 7. Általános szilárdságtani állapotok 7.1 Az általános feszültségi állapot a) Pont (elemi környezet) feszültségi állapota: Definíció: Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát az adott P ponton átmenő valamennyi n irányhoz hozzárendelt ρ n feszültségvektorok összessége, halmaza alkotja. Megadása: a pontbeli feszültségi tenzorral. Feszültségi tenzor: ⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ F ⎤ = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ . ⎣ P⎦ ⎢τ ⎥ ⎣ zx τ zy σ z ⎦ G G G A feszültségi tenzor oszlopaiban a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorok koordinátái állnak. Tétel: A P pontbeli feszültségállapotot egyértelműen meghatározza három, egymásra kölcsönösen merőleges elemi felületen fellépő feszültségvektor. A feszültségi tenzor

szimmetrikus. b) Adott normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor és feszültségkoordináták kiszámítása: A feszültségvektor: ρ n = F ⋅ n , ahol n – a felületi normális, ( n = 1 ). Tétel: A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon (felületen) ébredő feszültségvektor kiszámítható. A feszültségi koordináták kiszámítása: A normál feszültségi koordináta: σ n = n ⋅ ρ n = n ⋅ ( F ⋅ n ) . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 108 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 109 ► A csúsztató feszültségi koordináták: τ ln = τ nl = l ⋅ ρ n = l ⋅ ( F ⋅ n ) , illetve τ mn = τ nm = m ⋅ ρ n = m ⋅ ( F ⋅ n ) ha l ⋅ n = m ⋅ n = 0 , és | l |=| m |= 1 . A csúsztató feszültség vektor nagysága: 2 τ n = τ ln2 + τ mn = ρ n2 − σ n2 . c) A pontbeli

feszültségi állapot szemléltetése elemi kockán: z Az x normálisú lapra a ρ x feszültségvektor koordinátáit, az y normálisú lapra a ρ y σz τ xz τ zx τ yz τ zy P τ yxτ xy σy y feszültségvektor koordinátáit, a z normálisú lapra pedig a ρ z feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel. x σx A csúsztató feszültségek dualitásának tétele: Bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalára merőleges τ feszültségek egyenlő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat. τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ xz = τ zx . d) Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek: Definíció: Ha az e egységvektorra merőleges felületen τ e = 0 , azaz ρ e = σ e e , akkor az e irány feszültségi főirány (feszültségi főtengely), σ e főfeszültség és az e -re merőleges elemi felület síkja főfeszültségi sík. Tétel: Minden P pontban létezik legalább három

főirány, amelyek kölcsönösen merőlegesek egymásra. Feszültségállapot a főtengelyek koordináta-rendszerében: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 109 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ⎡σ1 0 ⎢ ⎡ F ⎤ = ⎢ 0 σ2 ⎣ ⎦ ⎢ (1,2,3) ⎢0 0 ⎣ Vissza ◄ 110 ► e3 0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ σ3 ⎥⎦ σ3 σ2 σ1 e1 e2 A jelölésre vonatkozó megállapodás: σ 3 ≤ σ 2 ≤ σ 1 . e) A Mohr-féle feszültségi kördiagram: A kördiagram a P pontbeli feszültségi állapot egy másik szemléltetési módszere. Tétel: Valamely főfeszültségi síkba eső összes n irányhoz tartozó N pontok a σ n , τ n koordináta-rendszerben kört határoznak meg. A kördiagram megrajzolása, ha egy főirány ismert: Adott: a P pontbeli feszültségi állapot. Legyen a z irány tehetetlenségi főirány. z σz ⎡σ x τ xy 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ F P ⎤ =

⎢τ yx σ y 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢0 0 σ ⎥ z⎦ ⎣ P x σx Feladat: a kördiagram megrajzolása. A τ feszültség előjelét beforgatással határozzuk meg. Legyen x,y,z és m,n,z jobbsodrású (jobbsodratú) koordinátarendszer. n beforgatása az x és y tengelybe: – ha m és a τ iránya megegyezik: τ > 0 , – ha m és a τ iránya ellentétes: τ < 0 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σy y τ yx τ xy y σy n τ xy m x τ yx α xn σx P Vissza ◄ 110 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 111 ► A kördiagram megrajzolásának gondolatmenete: ρx Px , (beforgatásból: τ yx < 0 ). ρy Py , (beforgatásból: τ xy > 0 ). Px és Py egy kör átmérőjének két végpontja, ezért O . Ezen a körön van P1 és P2 is. Pz ≡ P3 . ρz A P1 és P3 , a P1 és P2 , valamint a P2 és P3 is egy-egy körön van. τ mn e2

j τ xy Py P3 P P2 σ z σ2 σz ≡σ3 e1 y O 2α x1 σ P 1 x σ1 α x1 −τ yx Qn σn i Px A kördiagramból meghatározhatók a főfeszültségek és főirányok. Főfeszültségek (ügyelni kell a nagyság szerinti sorba rendezésre σ 3 ≤ σ 2 ≤ σ 1 ): σ1 = σx +σ y 2 ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 + ⎜ ⎟ + τ yx , ⎝ 2 ⎠ 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 111 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σ2 = σx +σ y 2 Vissza ◄ 112 ► ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 − ⎜ ⎟ + τ xy , ⎝ 2 ⎠ 2 σ3 = σ z . Főirányok: Qn - a normálisok pólusa (a Px-en át az x tengellyel, a Py-on át az y tengellyel húzott párhuzamos egyenesek metszéspontja). e1 főirány: a Qn P1 egyenes, e2 főirány: a Qn P2 egyenes. Az e1 , e2 , e3 irányok jobbsodrású rendszert alkotnak. A kördiagramban levő derékszögű háromszögből: tg 2α x1 = 2τ

yx σ x −σ y ⇒ α x1 = e2 j σ2 j e2 e1 σ1 i α x1 P e1 i P 7.2 Az általános alakváltozási állapot a) Tetszőleges P pont (elemi környezet) alakváltozási állapota: Definíció: Elemi környezet (pont) alakváltozási állapotát a ponton átmenő valamennyi n irányú egységnyi hossz és valamennyi n ⋅ m = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 112 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 113 ► irányok által bezárt 90o-os szög megváltozásának összessége, halmaza alkotja. Megadása: a pontbeli alakváltozási tenzorral. 1 1 ⎤ ⎡ ⎢ ε x 2 γ xy 2 γ xz ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 ⎥ ⎢ Alakváltozási tenzor: ⎡⎣ AP ⎤⎦ = γ yx ε y γ yz . ⎢2 2 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ γ zx 1 γ zy ε z ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 G G G Az alakváltozási tenzor oszlopaiban az αx , α y , αz alakváltozási vektorok koordinátái

állnak. Az alakváltozási tenzor szimmetrikus. Tétel: A P pontbeli alakváltozási állapotot egyértelműen meghatározzák a P pontban felvett három, egymásra kölcsönösen merőleges egységnyi hossz végpontjainak elmozdulásai. Az n irányhoz tartozó alakváltozási vektor: α n = AP ⋅ n . b) A pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése az elemi triéderen: εz 1γ 1γ xz 2 2 yz A P pontban felvett i , j , k egy1γ ségvektorok végpontjaiba felrajzoljuk 1γ k 2 zy 2 zx P j az adott irányhoz tartozó alakváltozási εy vektorok koordinátáit. i 1 1γ xy ε x 2 γ yx 2 c) A pontbeli alakváltozási jellemzők kiszámítása: Legyen: n = 1 , m = 1 és n ⋅ m = 0 . A fajlagos nyúlások: ε n = n ⋅ α n = n ⋅ ( A ⋅ n ), ε m = m ⋅ α m = m ⋅ ( A ⋅ m) . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 113 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 114 ► A fajlagos szögtorzulások: 1 1 γ mn = γ nm = m ⋅ α n = n ⋅ α m = n ⋅ ( A ⋅ m) = m ⋅ ( A ⋅ n ) . 2 2 d) Alakváltozási főtengelyek, főnyúlások: Definíció: Ha az e irány-egységvektorhoz tartozó alakváltozási vektor e irányú, azaz α e = ε e e , akkor az e irány alakváltozási főirány (főtengely) és ε e főnyúlás. e) Mohr-féle alakváltozási kördiagram 1 2 γ mn P3 ε3 P2 P1 ε n ε2 ε1 Ugyanaz érvényes, mint a feszültségi állapotnál. 7.3 Az általános Hooke-törvény Az általános Hooke-törvény az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye. A Hooke-törvény tenzor egyenlet Az anyagtörvény olyan összefüggés, amely a feszültségi és az alakváltozási állapot között áll fenn. Izotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függetlenek. Pl.: fémek, kerámiák, üvegek, stb Anizotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függőek. Pl.: fa, szálerősített

műanyag, stb A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 114 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 115 ► Lineárisan rugalmas egy anyag, ha a belső erők (feszültségek) és az alakváltozási jellemzők között lineáris függvénykapcsolat áll fenn. Az anyagi viselkedés jellege szakítódiagrammal szemléltethető: Rideg anyag szakítódiagAlakítható anyag szakítódiramjának jellege: agramjának jellege: σx σx Rm Rm R p 0 ,2 εx Pl.: lágyacél, réz, stb. alumínium, εx Pl.: szerszámacél, öntöttvas, üveg, kerámia, stb A Hooke-törvény a szakítódiagram lineáris (egyenes) szakaszán írja le az anyag viselkedését. a) Az általános Hooke-törvény egyik alakja: 1 ⎛ ν ⎞ FI E ⎟ , ahol a G csúsztató rugalmassági modulus és a ⎜F − 2G ⎝ 1 +ν ⎠ ⎡1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ν Poisson tényező anyagjellemzők, ⎡⎣ E

⎤⎦ = ⎢ 0 1 0⎥ az egység tenzor, ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ FI = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 , a feszültségi tenzor első skalár invariA= ánsa (a tenzor főátlójában álló elemek összege). Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben). Skaláris egyenletek: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 115 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom εx = 1 ⎡ ν σx − (σ x + σ y + σ ⎢ 2G ⎣ 1 +ν εy = 1 ⎡ ν σy − (σ x + σ y + σ ⎢ 2G ⎣ 1 +ν εz = 1 ⎡ ν σz − (σ x + σ y + σ ⎢ 2G ⎣ 1 +ν z z z Vissza ◄ 116 )⎤⎥⎦ , 1 1 1 γ xy = τ xy γ xy = τ xy , G 2 2G )⎤⎥⎦ , 1 1 1 γ yz = τ yz γ yz = τ yz , G 2 2G )⎤⎥⎦ , 1 1 1 γ xz = τ xz γ xz = τ xz . G 2 2G ► b) Az általános Hooke-törvény másik

alakja: ν ⎛ ⎞ F = 2G ⎜ A + AI E ⎟ , ahol a G csúsztató rugalmassági modulus és 1 − 2ν ⎝ ⎠ ⎡1 0 0⎤ ⎢ ⎥ a ν Poisson tényező anyagjellemzők, ⎡⎣ E ⎤⎦ = ⎢ 0 1 0⎥ az egység tenzor, ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ AI = ε x + ε y + ε z = ε1 + ε 2 + ε 3 az alakváltozási tenzor első skaláris inva- riánsa Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben). Skaláris egyenletek: ⎡ ⎣ σ x = 2G ⎢ε x + ⎡ ⎣ σ y = 2G ⎢ε y + ⎡ ⎣ σ z = 2G ⎢ε z + ν (ε 1 − 2ν x ν (ε 1 − 2ν x ν (ε 1 − 2ν x ⎤ + ε y + ε z ) ⎥ , τ xy = Gγ xy , ⎦ ⎤ + ε y + ε z ) ⎥ , τ yz = Gγ yz , ⎦ ⎤ + ε y + ε z ) ⎥ , τ xz = Gγ xz . ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 116 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza

◄ 117 ► c) A korábban megismert speciális alakok és az általános Hooketörvény közötti kapcsolat: – Egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás, hajlítás): ⎡ε 0 0 ⎤ ⎡σ x 0 0 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ F ⎤ = ⎢ 0 0 0⎥ , ⎡ A⎤ = ⎢ 0 ε y 0 ⎥ , ε y = εz = −νεx . ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎢ 0 0 εz ⎦⎥ σ x = Eε x . Az egyszerű Hooke-törvény: Az általános Hooke-törvényből: ν ⎡ σ x = 2G ⎢ε x + (ε x −νε x −νε x ) ⎤⎥ = 1 − 2ν ⎣ ⎦ ν ⎡ = 2G ⎢ε x + (1 − 2ν ) ε x ⎤⎥ = 2G (1 +ν ) ε x 1 − 2ν ⎣ ⎦ A két eredményt összevetve összefüggést kapunk az E és a G rugalmassági modulusok, illetve a ν Poisson szám között: E = 2G (1 + ν ) . – Csavarás: τ xϕ = Gγ xϕ ezt az általános Hooke-törvényből közvetlenül megkap- juk, ha a tenzorokat az R, ϕ , x koordináta rendszerben írjuk fel. 7.4 Szilárdságtani méretezési,

ellenőrzési elméletek a) Speciális eset - egytengelyű feszültség állapot: σ x ≤ σ meg = σ jell , ahol σ jell a tönkremenetelre jellemző feszültség és n n az előírt biztonsági tényező. Itt nincs probléma, mert csak egy feszültségkoordináta, a σ x nem nulla. Ezt kell összehasonlítani a tönkremenetelre jellemző feszültséggel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 117 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Általános szilárdságtani állapotok Vissza ◄ 118 ► Az anyag tönkremenetelét jellemző feszültség ismert az egytengelyű feszültségi állapotra! (húzó-nyomó kísérlet – szakító diagram). b) Általános eset - tetszőleges térbeli feszültség állapot: Nem tudom, hogy melyik feszültség ⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ koordinátát hasonlítsam össze a ⎡ F P ⎤ = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎣ ⎦ σ jell ⎢τ zx τ xy σ z ⎥ σ = értékkel. meg

⎣ ⎦ n Redukált feszültség/ összehasonlító feszültség/ egyenértékű feszültség: olyan feszültség, amely a pontbeli feszültség állapotot a károsodás szempontjából egyértelműen úgy jellemzi, mintha az egytengelyű lenne. A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges térbeli feszültség állapotot egytengelyű feszültség állapotra vezetjük vissza. c) Elméletek a redukált feszültség meghatározására: – Coulomb elmélet: Tönkremenetel az anyag egy pontjában akkor következik be, ha ott a legnagyobb normálfeszültség eléri a szakító, vagy a nyomó szilárdság értékét. A Coulomb elmélet rideg anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését abban az esetben, ha van egy domináns főfeszültség, amihez képest a másik két főfeszültség kicsi. – A Coulomb-féle redukált feszültség: σ red ( Coulomb ) = max ( σ 1 , σ 3 ) . Coulomb szerint a redukált feszültség egyenlő a főfeszültségek közül az

abszolút értékben vett legnagyobbal. Az összefüggésben σ 1 a legnagyobb és σ 3 a legkisebb főfeszültség. A Coulomb-féle redukált feszültséget kellő megfontolással célszerű alkalmazni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 118 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 119 ► – Mohr elmélet: Két általános térbeli feszültségállapot tönkremenetel szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha a hozzájuk tartozó legnagyobb Mohr-kör átmérője megegyező. A Mohr elmélet alakítható anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését. – Mohr-féle redukált feszültség: σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 . Mohr szerint a pontbeli feszültségállapotot a károsodás szempontjából a legnagyobb Mohr-kör átmérője jellemzi. Az összefüggésben σ 1 a legnagyobb és σ 3 a legkisebb főfeszültség. –

Huber-Mises-Hencky (HMH) elmélet: Két feszültségi állapot tönkremenetel szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha torzulási alakváltozási energiájuk megegyezik. A HMH elmélet alakítható anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését. A Mohr és a HMH elmélet szerint számított redukált feszültség csak kis mértékben tér el egymástól Általában σ red ( HMH ) ≤ σ red ( Mohr ) . – Huber-Mises-Hencky féle redukált feszültség A redukált feszültség arányos az uT torzulási energiával. A főtengelyek 1,2,3 koordináta-rendszerében vett feszültségi koordinátákkal: σ red ( HMH ) = 1⎡ 2 2 2 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 ) ⎤⎦ . ⎣ 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 119 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 120 ► Az x,y,z koordináta-rendszerben vett

feszültségi koordinátákkal: σ red ( HMH ) = = 2 2 1⎡ 2 − + − + − + 6 (τ xy2 + τ yz2 + τ xz2 ) ⎤⎥ . σ σ σ σ σ σ ( ) ( ) ( ) x y y z x z ⎦ 2 ⎣⎢ d) Méretezés, ellenőrzés tetszőleges térbeli feszültségi állapot esetén: A szerkezet σ red ≤ σ meg = σ jell n szilárdságtani szempontból megfelel, ha a feltétel teljesül a szerkezet minden pontjában. Tetszőleges térbeli feszültségi állapot esetén mindig a redukált (öszszehasonlító, egyenértékű) feszültséget hasonlítjuk össze az anyagra vonatkozó megengedett feszültség értékével. A méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek esetén: – A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének (keresztmetszeteinek) megkeresése. A szerkezetnek az a veszélyes keresztmetszete, ahol az igénybevételek a legnagyobbak. – A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok megkeresése. A keresztmetszetnek az a veszélyes pontja (pontjai), ahol a σ

red redukált feszültség a legnagyobb. – A veszélyes pontban (pontokban) a méretezés, ellenőrzés elvégzése a σ red max ≤ σ meg összefüggés alapján. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 120 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 121 ► 7.5 Gyakorló feladatok általános szilárdságtani állapotokra 7.51 feladat: Pont feszültségi állapota, általános Hooke-törvény ⎡ 70 0 40 ⎤ Adott: ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 50 0 ⎥⎥ MPa, ν = 0,3 , G = 80 GPa. ⎢⎣ 40 0 10 ⎥⎦ Feladat: a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán. b) A feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramjának megrajzolása. c) A főfeszültségek és főirányok meghatározása. d) A redukált feszültségek meghatározása. e) A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen.

Kidolgozás: a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán: x [MPa ] 70 40 10 y z 50 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 121 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 122 ► b) A feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramjának megrajzolása. x − z sík τ nm Px Előjelszabály y − 2 sík az xz síkon x 70 y − 1 sík 1 40 x n z α z1 1 10 m σ y =σ2 σ3 10 10 σ1 σ n Py 3 α z1 z Qn Pz 3 c) A főfeszültségek és főirányok meghatározása: σx +σz ⎛ σ −σ z ⎞ 2 σ1 = + ⎜ x ⎟ + τ xz = 90 MPa, 2 2 ⎝ ⎠ σ 2 = σ y = 50 MPa, σ3 = σx +σz 2 ⎛ σ −σ z ⎞ 2 − ⎜ x ⎟ + τ xz = −10 MPa, 2 ⎝ ⎠ 2 40 tgα z1 = = 2, n1 = 20 2 2 5 i+ 1 5 k , n2 = j , n3 = − 1 5 i+ 2 5 k, d) A redukált feszültségek meghatározása: σ red (Coulomb) = max ( σ

1 , σ 3 ) = 90 MPa A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 122 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 123 ► σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 = 100 MPa σ red ( HMH ) = = 1⎡ 2 2 2 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 ) ⎤⎦ = ⎣ 2 2 2 1⎡ 2 ( 90 − 50 ) + ( 90 − ( −10 ) ) + ( 50 − ( −10 ) ) ⎤⎦ = 87,18MPa ⎣ 2 e) A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen: 1 ⎛ ν ⎞ A Hooke-törvény: A = FI E ⎟ , ⎜F − 2G ⎝ 1 +ν ⎠ FI = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 = 70 + 50 + 10 = 130 MPa, ν 1 +ν FI = 0,3 130 = 30 MPa. 1 + 0,3 εx = τ 10−5 ( 70 − 30 ) = 2,5 ⋅10−4 , γ xy = xy = 0 G 2 ⋅ 0,8 εy = τ 10−5 ( 50 − 30 ) = 1, 25 ⋅10−4 , γ yz = yz = 0 G 2 ⋅ 0,8 εz = τ 10−5 40 = 5 ⋅10−4 (10 − 30 ) = −1, 25 ⋅10−4 , γ

xz = xz = 5 G 0,8 ⋅10 2,5 2 ⋅ 0,8 2,5 ⎤ ⎡ 2,5 0 ⎢ ⎡ A ⎤ = 0 1, 25 0 ⎥⎥ ⋅ 10−4 ⎣ P⎦ ⎢ ⎢⎣ 2,5 0 −1, 25⎥⎦ 7.52 feladat: Pont alakváltozási állapota 2,5 2,5 i j k 1,25 × 10−4 1,25 Feladat: a) A P pont alakváltozási állapotának szemléltetése az elemi kockán. b) Az alakváltozási állapot Mohr-féle kördiagramjának a megrajzolása. c) A főnyúlások és az alakváltozási főirányok meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 123 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 124 ► d) A P pont feszültségi tenzorának a meghatározása és szemléltetése az elemi kockán. ⎡12 −3 0 ⎤ Adott: ⎡⎣ AP ⎤⎦ = ⎢⎢ −3 4 0 ⎥⎥ ⋅10−4 , ν = 0, 4, G = 80 GPa. ⎢⎣ 0 0 −2 ⎥⎦ Kidolgozás: a) A P pont alakváltozási állapotának szemléltetése az elemi kockán: 2

×10−4 3 k i 3 4 j 12 b) Az alakváltozási állapot Mohr-féle kördiagramjának a megrajzolása: z − 1 sík Szabály az xy síkon 4 2 × 3 1 −4 0 n 2 z − 2 sík 12 i x − y sík y 1 − γ yx 2 m j 1 γ mn 2 3 ε z = ε3 Qn ε2 Pz 1 1 γ xy 2 εy Px α x1 εx x ε1 ε n 1 Py A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 124 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 125 ► c) A főnyúlások és az alakváltozási főirányok meghatározása: ε1 = ε2 = εx +ε y 2 εx + εy 2 ⎛ ε −εy ⎞ ⎛ 1 ⎞ −4 + ⎜ x ⎟ + ⎜ γ xy ⎟ = 13 ⋅10 , 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎛ ε −εy ⎞ ⎛ 1 ⎞ −4 − ⎜ x ⎟ + ⎜ γ xy ⎟ = 3 ⋅10 , 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ε 3 = ε z = −2 ⋅10 , tgα z1 = γ xy −4 n1 = 3 10 i− 1 10 j , n2 = 1 10 2 ε1 − ε y i+ 3 10 = −3 1 =− , 9 3 j ,

n3 = k . d) A P pont feszültségi tenzorának a meghatározása és szemléltetése az elemi kockán. ν ⎛ ⎞ F = 2G ⎜ A + AI E ⎟ , 1 − 2ν ⎝ ⎠ AI = ε x + ε y + ε z = ε1 + ε 2 + ε 3 = 14 ⋅10−4 , σ x = 2 ⋅ 0,8 ⋅105 (12 + 28 )10−4 = 640 MPa, ν 1 − 2ν τ xy = Gγ xy = −48 MPa, σ y = 2 ⋅ 0,8 ⋅105 ( 4 + 28 )10−4 = 512 MPa, σ z = 2 ⋅ 0,8 ⋅105 ( −2 + 28 )10−4 = 416 MPa, ⎡ 640 −48 0 ⎤ ⎡ F ⎤ = ⎢ −48 512 0 ⎥ MPa ⎣ P⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 416 ⎥⎦ AI = 28 ⋅10−4 , τ yz = Gγ yz = 0 MPa, x τ xz = Gγ xz = 0 MPa, [ MPa ] 640 48 416 512 y z 7.53 feladat: Az általános Hooke-törvény alkalmazása Adott: A test tetszőleges P pontja, ahol az alábbi mennyiségek ismertek: ε x = 22 ⋅10−5 , ε y = −2 ⋅10−5 , γ xy = 24 ⋅10−5 , ν = 0, 25 , ρ z = (40 i − 48 j + 40 k ) MPa, G = 80 ⋅103 MPa. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 125 ► Mechanika

Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 126 ► Feladat: a) Az A P alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása. b) Az F P feszültségi tenzor mátrixának meghatározása. Kidolgozás: a) Az A P alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása: Az alakváltozási tenzor mátrixa az ismert és ismeretlen értékekkel: 22 ⋅10−5 ⎡ A ⎤ = 1210 ⋅ −5 ⎣ P⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ γ 1 2 zx 1210 ⋅ −5 −210 ⋅ −5 γ 1 2 zy γ γ ε ⎤ 1 2 xz ⎥⎥ ⎥ 1 2 yz ⎥ ⎥ ⎥ z ⎦⎥ . A ρz feszültségi vektor koordinátái: τ xz = 40 MPa, τ yz = −48 MPa, σ z = 40 MPa . Az általános Hooke törvényből: τ yz τ 40 −48 = 50 ⋅10−5 , γ yz = = = −60 ⋅10−5 . γ xz = xz = 3 G 80 ⋅10 G 80 ⋅103 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ν ν ⎢ ⎥ σ z = 2 G ⎢ε z + AI ⎥ = 2 G ⎢ε z + (ε x + ε y + ε z ) ⎥ ⇒ ⎢ ⎥ 1− 2ν 1− 2ν ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1− 2ν ν σz − (ε x + ε y ) = 2 G (1 −ν ) 1 −ν 1 − 2 ⋅ 0, 25 0, 25 = 40 − (22 ⋅10−5 − 2 ⋅10−5 ) = 10 ⋅10−5 . 3 2 ⋅ 80 ⋅10 (1 − 0, 25) 1 − 0, 25 z Az alakváltozási tenzor: 30 10 × 10 −5 ⎡ 22 12 25 ⎤ 25 ⎡ A ⎤ = ⎢12 −2 −30 ⎥ 10−5 k ⎥ ⎣ P⎦ ⎢ j ⎢⎣ 25 −30 10 ⎥⎦ P εz = 25 2 i x A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 22 y 12 12 30 Vissza ◄ 126 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom b) Az F P Vissza ◄ 127 ► feszültségi tenzor mátrixának meghatározása: ⎡ ⎤ ν F P = 2 G ⎢A P + AI E ⎥ . 1− 2ν ⎣ ⎦ −5 AI = ε x + ε y + ε z = 22 ⋅10 − 2 ⋅10−5 + 10 ⋅10−5 = 30 ⋅10−5 . Behelyettesítve: ⎧ ⎡ 22 12 25 ⎤ ⎪ ⎢ ⎡ F ⎤ = 2 ⋅ 8 ⋅10 ⎨ 12 −2 −30 ⎥ 10−5 + ⎢ ⎥ ⎣ P⎦ ⎪ ⎢ 25 −30 10 ⎥ ⎦ ⎩⎣ 4 ⎡1 0 0 ⎤ ⎫ ⎡59, 2 19, 2

40 ⎤ 0, 25 ⎪ −5 ⎢ + 30 ⋅10 ⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎬ = ⎢⎢19, 2 20, 8 −48⎥⎥ MPa. 1 − 2 ⋅ 0, 25 ⎪ ⎣⎢0 0 1 ⎥⎦ ⎭ ⎣⎢ 40 −48 40 ⎦⎥ z 40 [MPa ] 48 19,2 x 20,8 y 40 59,2 7.54 feladat: Az általános Hooke-törvény alkalmazása z Adott: A P pontbeli feszültségi állapot, valamint G = 40 GPa = 4 ⋅ 104 MPa és ν = 0, 25 . Feladat: 20 [ MPa ] 20 30 P A P pontbeli alakváltozási állapot meghatározása. 60 y 40 x A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 10 Vissza ◄ 127 ► Mechanika Általános szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 128 ► Kidolgozás: A test P pontjában az F P feszültségi tenzor mátrixa: 40 ⎤ ⎡ −10 30 ⎢ ⎥ ⎡F ⎤ ⎣ P ⎦ = ⎢ 30 60 −20 ⎥ MPa. ⎢⎣ 40 −20 −20 ⎥⎦ A test P pontjában az alakváltozási koordináták: τ τ 30 40 = 7, 5 ⋅10−4 , γ xz = xz = = 10 ⋅10−4 , γ xy = xy = 4

4 G 4 ⋅10 G 4 ⋅10 τ yz −20 γ yz = = = −5 ⋅10−4 , 4 G 4 ⋅10 FI = σ x + σ y + σ z = −10 + 60 − 20 = 30 MPa, εx = ⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 TI ⎥⎥ = ⎢σ x − 2 G ⎣⎢ 1 +ν ⎦⎥ 2 ⋅ 4 ⋅104 εz = ⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 TI ⎥⎥ = ⎢σ z − 2 G ⎣⎢ 1 + ν ⎦⎥ 2 ⋅ 4 ⋅104 0, 25 ⎡ ⎤ −4 ⎢ −10 − 1 + 0, 25 30 ⎥ = −2 ⋅10 , ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 1 ⎢ ν 1 0, 25 ⎡ ⎤ TI ⎥⎥ = εy = 60 − 30 ⎥ = 6, 75 ⋅10−4 , ⎢σ y − 4 ⎢ 2 G ⎣⎢ 1 + ν ⎦⎥ 2 ⋅ 4 ⋅10 ⎣ 1 + 0, 25 ⎦ 0, 25 ⎡ ⎤ −4 ⎢ −20 − 1 + 0, 25 30 ⎥ = −3, 25 ⋅10 . ⎣ ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 128 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 129 ► 8. Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok 8.1 Feszültségi és alakváltozási állapot a test terheletlen felületén z

A z normálisú sík terheletlen külső felület: ρz = 0 . P y x ⇓ τ xz = τ yz = σ z = 0 . A testek terheletlen felületén síkfeszültségi állapot alakul ki: - Feszültségi állapot a terheletlen felület P pontjában: ⎡σ x τ xy ⎡⎣ F P ⎤⎦ = ⎢τ yx σ y ⎢ ⎢⎣ 0 0 0⎤ 0 ⎥⎥ . 0 ⎥⎦ - Alakváltozási állapot a terheletlen felület P pontjában: ⎡ εx ⎡⎣ AP ⎤⎦ = ⎢ 12 γ yx ⎢ ⎢⎣ 0 γ xy εy 1 2 0 0⎤ 0 ⎥⎥ . ε z ⎥⎦ - Az alakváltozási jellemzők előállítása a feszültségekből (Hooketörvény): 1 1 +ν ε x = (σ x −νσ y ), γ xy = 2 τ xy , E E 1 ε y = (σ y −νσ x ), γ yz = γ xz = 0, E A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 129 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom εz = − Vissza ◄ 130 ► ν (ε x + ε y ) – nem független koordináta, az ε x és ε

y fajla1 −ν gos nyúlásokból kiszámítható. - A feszültségek meghatározása az alakváltozási jellemzőkből (Hooke-törvény): E E σx = (ε x + νε y ), τ xy = γ xy , 2 1 −ν 2(1 + ν ) E σy = (ε y + νε x ), τ yz = 0, 1 −ν 2 σ z = 0, τ xz = 0. 8.2 A felületi alakváltozási állapot meghatározása nyúlásméréssel Megfigyelés: ha megváltozik egy vezeték hossza, akkor megváltozik az elektromos ellenállása is. Tétel: az elektromos ellenállás megváltozása arányos a hosszváltozással. Nyúlásmérő bélyeg – a felületnek arra a pontjára kell felragasztani, ahol mérni akarunk. Ábrázolás / jelölés: Megvalósítás: x x Ilyen bélyeggel egy irányban (az x irányban) lehet mérni fajlagos nyúlást. A kereskedelemben kaphatók nyúlásmérő bélyegek. Ezek között vannak ún. rozetták, amelyek három irányban mérnek nyúlást: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 130 ► Mechanika

Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 45o -os rozetta: ◄ Vissza 131 ► 60o -os rozetta: c c 60 45 60 45 a a b b A mérés eredménye: ε a , ε b , ε c A felületi alakváltozási állapot meghatározása 45o -os rozettával történő mérés esetén: 1 0⎤ ⎡ εx 2 γ xy ⎢ Az alakváltozási tenzor: ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ 12 γ yx ε y 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 ε z ⎥⎦ 0 A fajlagos nyúlásokat közvetlenül megkapjuk: ε x = εa , ν εz = − (ε a + ε c ) . ε y = εc , 1 +ν A γ xy = γ yx szögtorzulást számítással kell meghatározni: y n 45 x ⎡ εx ⎢ [α n ] = ⎡⎣ A⎤⎦ ⋅ [ n ] = ⎢ 12 γ yx ⎢⎣ 0 γ xy εy 1 2 0 ⎡ 22 ⎤ ⎢ ⎥ n = ⎢ 22 ⎥ . ⎢0⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 0⎤⎡ 2 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ 22 ⎥ = ⎢ ε z ⎥⎦ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 2 2 εx + 2 4 γ yx + 2 4 γ xy ⎤ 2 2 ⎥ εy⎥, 0 ⎥ ⎥⎦ ⎡

22 ε x + 42 γ xy ⎤ ⎢ ⎥ ε b = n ⋅ α n = ⎡⎣ 22 22 0 ⎤⎦ ⎢ 42 γ yx + 22 ε y ⎥ = 12 ε x + 14 γ xy + 14 γ yx + 12 ε y . ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣ ⎥⎦ Ebből: γ xy = 2ε b − (ε a + ε c ) . Az alakváltozási állapot ismeretében a feszültségek a Hooketörvényből állíthatók elő: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 131 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 132 ► E (ε x + νε y ), σ z = 0, 1 −ν 2 E σy = (ε y +νε x ), τ yz = 0, 1 −ν 2 E τ xy = γ xy , τ xz = 0. 2(1 −ν ) A 60o -os rozetta mérési eredményeiből hasonló gondolatmenettel lehet a pontbeli alakváltozási állapotot meghatározni. σx = 8.3 Mohr-féle feszültségi kördiagram felületi feszültségi állapot esetén ⎡σ x τ xy Felületi feszültségi állapot: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢⎢τ yx σ y ⎢⎣ 0 0 0⎤ 0

⎥⎥ . 0 ⎥⎦ Tétel: Az xy síkba eső n irányokhoz tartozó ρ n feszültségvektoroknak megfelelő N pontok a σ n τ mn koordinátarendszerben egy körön helyezkednek el, ha a síkban két főirány található, mint itt. Előjelszabály a kördiagram megrajzolásához: y Alkosson az x,y és m,n jobbsodratú koordináta-rendszert. σy n beforgatása ( m -mel együtt) az n τ xy x, vagy y tengelybe: m - ha m és τ iránya megegyezik, x τ > 0. akkor β τ σx yx - ha m és τ iránya ellentétes, akkor τ < 0 . A felületi feszültségi állapot Mohr-féle feszültségi kördiagramja: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 132 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom τ mn τ mn τ xy σ z = σ3 −τ yx −τ nm j e2 P2 σ2 Pn Py σy β Qn Pm Vissza ◄ 133 ► n e1 2α x1 σ P x 1 σ1 O σn α x1 i Px m A diagram

megszerkesztésének gondolatmenete: - A Px és Py pontok meghatározása (a τ yx és τ xy előjelét az n , m vektorok beforgatásával határozzuk meg). - A kör O középpontja: a Px Py pontokat összekötő egyenes és a σ n tengely metszéspontja. - A normálisok Qn pólusa: a Px ponton át az x tengellyel, a Py ponton át az y tengellyel párhuzamos egyenesek metszéspontja. A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a kördiagramból: Főirány: Olyan normális, amelyre merőleges síkon nem lép fel τ feszültség. A körön a P1 és P2 pont teljesíti ezt a feltételt Meghatározás: A Qn -t összekötöm a P1 ponttal e1 . A Qn -t összekötöm a P2 ponttal e2 . 2τ xy Derékszögű háromszögből: tg2α x1 = . σ x −σ y e3 = k (A 3. főirány a z tengely) Főfeszültségek: a σ n tengely metszéspontjai a körrel: σ 1 , σ 2 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 133 ► Mechanika Testek felületén kialakuló

szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza ► 134 A főfeszültségek sorszámozása: σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Terheletlen felület esetén σ 3 = 0 , ezért σ 3 = σ z = 0 . A főfeszültségek kiszámítása: a kör középpontjához hozzáadjuk, illtve levonjuk a kör sugarát: σ1 = σx +σ y 2 ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 + ⎜ ⎟ + τ yx , ⎝ 2 ⎠ 2 σ2 = σx +σ y 2 ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 − ⎜ ⎟ + τ xy ⎝ 2 ⎠ 2 σ 3 = 0. Tetszőleges n -hez tartozó feszültségvektornak megfelelő N pont: - Qn-ből párhuzamos egyenest húzunk n -nel: N az egyenes metszéspontja a körrel. - Az N pont koordinátái: σ n , τ mn . (A τ mn előjelét beforgatással határozzuk meg ⇒ a τ mn m irányban pozitív) 8.4 Feladatok felületi feszültségi állapotra 8.41 feladat: Felületi feszültségi állapot Mohr-féle feszültségi kördiagramja y Adott: A P pont a test terheletlen felületén van. σ x = −60 MPa,

σ n = −85 MPa, τ mn = −15 MPa, n=( 2 2 2 2 i+ j ), m = ( i− j) . 2 2 2 2 n x P m Feladat: a) A P ponti ⎡⎣ F ⎤⎦ feszültségi tenzor mátrixának meghatározása. ( xyz ) b) A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültségek meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 134 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 135 ► Kidolgozás: a) A P ponti ⎡⎣ F ⎤⎦ feszültségi tenzor mátrixának meghatározása: ( xyz ) A feszültségi tenzor ismert és ismeretlen koordinátái az x, y , z koordi⎡σ x τ xy 0 ⎤ ⎡ −60 τ xy 0 ⎤ nátarendszerben: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢⎢τ yx σ y 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ τ yx σ y 0 ⎥⎥ . ( xyz ) ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ Az x, y síkbeli, adott koordináták (σ n , τ mn ) felírása a tenzor koor2 2 0 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ −30

2 + τ xy 2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ dinátáival: 0 ⎥⎥ ⎢ 22 ⎥ = ⎢ τ yx 22 + σ y 22 ⎥ . ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 1 σ n = ρ n ⋅ n = ⎜⎜ −30 + τ xy ⎟⎟ + ⎜⎜ τ xy + σ y ⎟⎟ = −30 + τ xy + σ y . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝2 2 ⎠ 2 ⎝ ⎡ −60 τ xy [ ρ n ] = ⎡⎣ F ⎤⎦ [ n ] = ⎢⎢ τ yx σ y ⎢⎣ 0 0 ⎛ τ mn = τ nm = ρ n ⋅ m = ⎜⎜ −30 2 + τ xy 2⎞ 2 + ⎟ 2 ⎟⎠ 2 ⎝ ⎛ 2 2⎞⎛ 2⎞ + ⎜⎜τ xy +σ y ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎟= 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 = ⎜⎜ −30 + τ xy ⎟⎟ + ⎜⎜ − τ xy − σ y ⎟⎟ = −30 − σ y . ⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 2 ⎝ A megoldandó egyenletrendszer: 0, 5 σ y = −30 + 15 ⎪⎫ τ xy = −40 MPa, ⇒ ⎬ τ xy + 0, 5 σ y = 30 − 85⎪ σ y = −30 MPa. ⎭ A feszültségi tenzor a kiszámolt értékekkel: ⎡ −60 −40 0 ⎤ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢ −40 −30 0 ⎥ MPa. ⎢ ⎥ ( xyz )

⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y − 30 − 40 n m − 60 P Vissza x − 40 ◄ 135 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 136 ► b) A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültségek meghatározása: τ mn [ MPa ] Px 40 −60 P3 σn −45 −30 P2 P1 [ MPa ] −40 Py σ 1 = σ z = 0 MPa, σ2 = σ3 = σx +σ y 2 σx +σ y ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 2 2 + ⎜ ⎟ + τ xy = −45 + 15 + 40 = −2, 28 MPa, ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ σ x −σ y ⎞ 2 2 2 − ⎜ ⎟ + τ xy = −45 − 15 + 40 = −87, 72 MPa ⎝ 2 ⎠ 2 2 8.42 feladat: A feszültségállapot Mohr-féle kördiagramja Adott: Az x tengely feszültségi főtengely. σ x = 120 MPa n = (0, 6 j + 0, 8k ) , m = n × i = (0, 8 j − 0, 6k ) . z τ mn n 20 30 P 30 m 100 z Pz y σn 100 20 30 30 Qn A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Py y Vissza ◄ 136 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 137 ► Feladat: a) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján az F P feszültségi tenzor mátrixának a felírása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán. b) A ρ n , a σ n és a τ mn feszültségek meghatározása számítással. c) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján a főfeszültségek és főirányok meghatározása számítással és a σ n , τ mn feszültségek meghatározása szerkesztéssel. Kidolgozás: a) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján az F P feszültségi tenzor mátrixának a felírása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán: 0⎤ ⎡120 0 ⎡ F ⎤ = ⎢ 0 100 30 ⎥ MPa. ⎥ ⎣ P⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 30 20 ⎥⎦ 30 z 20 30 120 x 100 y b) A ρ n , a σ n és a τ mn

feszültségek meghatározása számítással: 0 ⎤⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡120 0 [ ρ n ] = ⎡⎣ F P ⎤⎦ [ n ] = ⎢⎢ 0 100 30 ⎥⎥ ⎢⎢0, 6⎥⎥ = ⎢⎢84 ⎥⎥ MPa, ⎢⎣ 0 30 20 ⎥⎦ ⎢⎣ 0, 8 ⎥⎦ ⎢⎣34 ⎥⎦ ( )( ) = ( 0, 8 j − 0, 6k ) ⋅ ( 84 j + 32k ) = 48 MPa. σ n = n ⋅ ρ n = 0, 6 j + 0, 8k ⋅ 84 j + 34k = 77, 6 MPa, τ mn = m ⋅ ρ n c) Az y,z sík Mohr-féle kördiagramja alapján a főfeszültségek és főirányok meghatározása számítással és a σ n , τ mn feszültségek meghatározása szerkesztéssel: σ 1 = σ x = 120 MPa, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 137 ► Mechanika Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σ2 = σ3 = σ y +σz 2 σ y +σz 2 ► 138 ► ⎛ σ y −σ z ⎞ 2 2 2 − ⎜ ⎟ + τ yz = 60 − 40 + 30 = 10 MPa, ⎝ 2 ⎠ 2 τ mn e3 z τ mn Pz n Pn 30 m 100 y σ 3 20 30

30 tgα y 2 = 138 2 n 30 ◄ ⎛ σ y −σ z ⎞ 2 2 2 + ⎜ ⎟ + τ yz = 60 + 40 + 30 = 110 MPa, ⎝ 2 ⎠ z 20 Vissza σn 100 e2 σ n Qn τ yz 30 = = 0, 3333 , ⇒ σ 1 − σ z 110 − 20 σ2 α y2 Py y α y 2 = 18, 435o . A kördiagramból leolvasva az N pont koordinátái: σ n ≈ 78 MPa , τ mn ≈ 48 MPa . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 139 ► 9. Rudak összetett igénybevételei Rudak összetett igénybevételeinek vizsgálatánál lineárisan rugalmas esetben alkalmazható a szuperpozíció elv. Ez azt jelenti, hogy összetett igénybevételek esetén az egyszerű igénybevételek szilárdságtani állapotai összegezhetők. Ilyen eset például: N, Mh ≠ 0, N, Mc ≠ 0, Mh, Mc ≠ 0, stb. Kivételes eset: Ty, Mh ≠ 0. (A nyírás csak hajlítással együtt fordul elő.) 9.1

Húzás-nyomás és egyenes hajlítás y y z S M hz N M hz M hz N x l Az ábrán az N > 0 , M hz > 0 eset látható. Feltételezés: az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye. Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és z tengelyek a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei. egyenes hajlítás N . A M = hz y . Iz A húzásból származó feszültség: σ xN = A hajlításból származó feszültség: σ xM A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 139 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 140 ► A húzásból és az egyenes hajlításból származó feszültség (szuperpozíció): σx = σx +σx = N M N M hz + y. A Iz Feszültségeloszlás: y y y y V z σx S M hz N σx M σ x max σx yo zérusvonal Veszélyes pont: A keresztmetszetnek az a pontja, ahol a redukált feszültség maximális (legnagyobb). Ebben az

esetben a veszélyes pont: V. N M σ x max = + hz yV . A Iz Zérusvonal: a keresztmetszetnek azon pontjai, ahol a σ x zérus. N Iz N M Zérusvonal egyenlete: σ x = 0 = + hz y0 y0 = − . M hz A A Iz Veszélyes pont: A keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb levő pontja. A veszélyes pontnak ez a meghatározása csak abban az esetben igaz, amikor egytengelyű feszültségi állapot van. Méretezés húzás + hajlítás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben): 1. Elhanyagoljuk a húzást 2. Meghatározzuk a szükséges geometriai méreteket csak hajlításra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 140 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 141 ► 3. Kiválasztunk egy szabványos geometriai méretet, amely megfelel a szükséges geometriai méreteknek. 4. A kiválasztott szabványos méretű tartót ellenőrizzük húzás + hajlítás eredeti

terhelésre. 5. Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük a procedúrát. 1. Gyakorlati példa húzás és hajlításra: fúrógép oszlop igénybevételei. Gk – a konzol súlyereje, Ff – a fúrásból származó erő. A terhelések redukciója az oszlop középvonalába: N 0 = Ff − Gk , M 0 = F f l f − Gk lk . N0 konzol Gk Ff M0 lk lf oszlop 2. Gyakorlati példa nyomásra és hajlításra: beton oszlop z feszültségei szélterhelésre. Adatok: y Az oszlop méretei: a = 30 cm, b = 60 cm, h = 2,5 m, M hz S Az oszlop tömegsűrűsége: ρ = 1600 kg/m3, A szélnyomás: q = 260 N/m2. σ xN y Feladat: A beton pillér (oszlop) alsó, A keresztmetszetében σ xM y ébredő feszültségek meghatározása Megoldás: σx y Az A keresztmetszet igénybevételei: N = − ρ gV = − ρ g abh = −7200 N . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 141 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 142 ► A felületi terhelést a súlyponti szálba, vonal mentén megoszló x terhelésre redukáljuk: p = q b = 260 ⋅ 0, 6 = 156 N/m , q h Ty = p h = 156 ⋅ 2,5 = 390 N, M hz = p h = 487,5 Nm . 2 h Feszültségek az A keresztmetszetben: N −7200 σ xN = = = −40000 Pa = −0, 04 MPa . A 0,3 ⋅ 0, 6 y A 3 M ba σ xM = hz y; I z = = 1,35 ⋅109 mm 4 , z 12 Iz M hz a 487,5 ⋅103 σ xM = = 150 = 0, 054MPa . I z 2 1,35 ⋅109 Feszültségek a bal oldalon: σ xb = −0, 094 MPa, q b y a Feszültségek a jobb oldalon: σ x j = 0, 014 MPa . 9.2 Ferde hajlítás Ferde hajlítás: ha az M h nyomatékvektor nem párhuzamos a keresztmetszet egyik tehetetlenségi főtengelyével sem. Tehetetlenségi főtengely: az x és y tengely, ha Ixy=Iyx=0. Zérusvonal: a keresztmetszet azon pontjai, ahol σ x = 0 . Ferde hajlítás (másik

definíció): ha az M h nyomatékvektor nem párhuzamos a zérusvonallal. Feltételezés: y,z a keresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei. y M hy > 0 Mh z S M hz > 0 Megoldás: Az M h hajlítónyomatékot felbontjuk a tehetetlenségi főtengelyek irányába eső koordinátákra: M h = M hy j − M hz k A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 142 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 143 ► Ferde hajlítás ≡ két egyenes hajlítás szuperpozíciója (összegzése). y y ⎡σ x 0 0⎤ F = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ M hy > 0 [ ] Mh α z α M M σ x = σ x′ + σ x′′ = hz y + hy z . Iz Iy S y = y( z) = − σ ′x′ M hz > 0 σ ′x′ z σx = 0 = σ ′x σ ′x z Feszültségeloszlás: Zérusvonal: y M M hz y + hy z . Iz Iy Az összefüggést átrendezve: M hy I z I z = tgα z z = z ⋅ tg β , M hz

I y Iy ahol α - az Mh nyomatékvektornak a (pozitív) z tengellyel bezárt előjeles szöge, β - a zérusvonalnak a (pozítív) z tengellyel bezárt előjeles szöge. η σ η A x A zérusvonal nem párhuzamos az M h nyomatékvektorral (kivéve az I z = I y = I1 = I 2 esetet, amikor egyenes a hajlítás). y Ha M hy > 0, M hz > 0 akkor tgα < 0 . z A σ x feszültség a zérusvonaltól távolodva S lineárisan növekszik. α Veszélyes pontok (max. feszültség): a B keresztmetszetnek a zérusvonaltól zérusvonal . legtávolabb levő pontjai: itt A és B. Gyakorlati példa: esztergakés igénybevételei. A kés szárának befogását befalazással modellezzük. Ff – a forgácsolásból származó erő, Fe – az előtolásból származó erő, ha a kés a -z tengely irányában mozog a munkadarab mentén. β Mh A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 143 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 144 ► y l x Ff z Fe v Mechanikai modell: térbeli terhelésű befalazott tartó. y x B Ff Fe A z l Igénybevételi ábrák: y Ff z x Fe B A l A M hz Ff l x B l M hy x x −lFe Veszélyes keresztmetszet: B A B keresztmetszet igénybevételei: M hz = − Ff l , M hy = − Fel . y zérusvonal β α z C S D M hy Zérusvonal: és M hz Mh y=− M hy I z z . M hz > 0 M hz I y M hy < 0 , ezért az iránytangens pozitív. Mivel I z > I y ⇒ β > α Veszélyes pontok: C, D. 9.3 Excentrikus (külpontos) húzás-nyomás Definíció: Ha a keresztmetszetre ható erőrendszer eredője a rúd tengelyével párhuzamos egyetlen olyan erő, amelynek hatásvonala nem megy át a keresztmetszet S pontján. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 144 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom ◄ 145 ► y y F F D z Vissza yD S z D , yD - az F erő támadáspontjának helykoordinátái (adott értékek). x zD l Az F erőt redukáljuk a kereszt-metszet S pontjába. x F ⇓ y D z N zD S M hz húzás + ferde hajlítás. yD M hy ⇓ ferde hajlítás ≡ két egyenes hajlítás. A rúd igénybevételei: ⎫ N=F ⎪ M hz = F yD ⎬ . M hy = F z D ⎭⎪ A rúd pontjaiban egytengelyű feszültség állapot alakul ki: ⎡σ x F = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ , 0 0 ⎥⎦ σx = σx +σx = N M M hy N M hz + y+ z. A Iz Iy σx = Az igénybevételeket behelyettesítve: Az inercia sugarat bevezetve: N zD N N yD + y+ z. A Iz Iy Iz ⎫ ⎪ I z = i ⋅ A ⎫⎪ A⎪ ⎬ ⇒ ⎬. I y = i y2 ⋅ A⎪⎭ Iy ⎪ iy = A ⎪⎭ 2 z iz = A rúdirányú normál feszültség: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 145 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Szakirodalom σx = ◄ 146 ► Húzás esetén: N > 0 . Nyomás esetén: N < 0 . y z ⎞ N⎛ ⎜⎜1 + 2D y + 2D z ⎟⎟ . A⎝ iz iy ⎠ Zérusvonal: σ x = 0 = 1 + Vissza yD y z D z + 2 , ⇒ iz2 iy y = y( z ) = − iz2 z D iz2 . z − i y2 yD yD A zérusvonal nem függ az erő nagyságától és előjelétől. A zérusvonal csak az erő támadáspontjának helykoordinátáitól függ. Az egyenes általános (matematikában szokásos) alakja: y = a z + b . A zérusvonal iránytangense: a=− iz2 z D . i y2 yD iz2 . yD A zérusvonal nem megy át a keresztmetszet S pontján ( b ≠ 0 ). Feszültségeloszlás: A zérusvonal metszése az y tengellyel: b = − η σx y η A D z yD S zD zérusvonal y z ⎞ F⎛ ⎜⎜1 + 2D y + 2D z ⎟⎟ . A⎝ iz iy ⎠ A σ x feszültség a zérus-vonaltól távolodva lineárisan növekszik. Veszélyes pont: a keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb eső pontja. Veszélyes pont itt az A pont.

σx = Magidom (belső mag): azon támadáspontok mértani helye, amelyeken ható F erő esetén a keresztmetszeten csak azonos előjelű feszültségek keletkeznek. Ha az erő támadáspontja, a magidomon belül van, akkor a hozzá tartozó zérusvonal nem metsz bele a keresztmetszetbe ⇒ a keresztmetszeten csak egynemű (+ vagy -) σ x feszültség lép fel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 146 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 147 ► a A keresztmetszet bal alsó, P sarokpontján átmenő zérus-vonalakhoz tartozó D támadás-pontok (egyenest alkotnak) egyenlete: y y z z y b z a 1 + D2 + D2 = 0 ; 1 − 2D + 2D = 0 ; iz 2 i y 2 iz iy zérusvonalak a iz2 2iz2 yD ( z D ) = 2 z D + b iy b yD = yD ( z D ) y b z ⎛ b a⎞ ⎜− ; ⎟ ⎝ 2 2⎠ ◄ Vissza P . Ez az egyenes a magidom egyik P( z = a / 2 , y = b / 2 ) határvonala. Méretezés ugyanúgy

történik, mint az a húzás-nyomás + hajlítás esetében le van írva (lásd 9.1 Húzás-nyomás és egyenes hajlítás) 9.4 Gyakorló feladatok egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételekre 9.41 feladat: Nyomás és egyenes hajlítás y Adott: a = 40 mm, b = 60 mm, F = (−120 i ) kN, M S = ( 4 j ) kNm, R p 0,2 = σ F = 390 MPa. M hy MS b F S Feladat: a z x a) A rúd igénybevételeinek meghatározása. b) A zérusvonal egyenletének felírása. c) Feszültségeloszlás megrajzolása az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása. d) A legnagyobb feszültség meghatározása. e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 147 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ ► 148 Kidolgozás: z a) A rúd igénybevételeinek meghatározása: A

rúd nyomott: N = −120 kN. N <0 A rúd y tengely körül hajlított: M hy = 4 kNm. x z x M hy > 0 b) A zérusvonal egyenletének a felírása: A = a b = 40 ⋅ 60 = 2400 mm 2 , σ x = σ x, + σ x,, = z=− N M hy z=0 + A Iy Iy = ba 60 ⋅ 40 = = 32 ⋅104 mm 4 12 12 3 3 ⇒ N Iy −120 ⋅ 103 32 ⋅ 104 =− A M hy 2400 4 ⋅ 106 c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása: Veszélyes pontok: az AB oldalon lévő pontok. ⇒ z = 4 mm. y A z z y y σ ′x σ ′x′ y σx M hy B σ ′x z σ ′x′ d) A legnagyobb feszültség meghatározása: σx z 3 N −120 ⋅10 σ x, = = = −50 MPa, A 2400 M hy ⎛ a ⎞ 4 ⋅106 ⎛ 40 ⎞ ,, σ x ( z = −a / 2) = ⎜− ⎟ = ⎜ − ⎟ = −250 MPa, I y ⎝ 2 ⎠ 32 ⋅104 ⎝ 2 ⎠ σ x max = σ x ( z = − a / 2) = 50 + 250 = 300 MPa. e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása: R R p 0,2 390 σ σ x max ≤ jell = p 0,2 ⇒ n= = = 1, 3

. σ x max 300 n n 9.42 feladat: Húzás és egyenes hajlítás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 148 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 149 ► Feladat: a) Az ACB rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása. b) A feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten. c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra. d) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása. 5 kN Adott: A tartó kör keresztmetszetű. y σ meg = 160 MPa, E = 2 ⋅105 MPa. A C B x φ 300 Kidolgozás: 200 400 a) Az ACB rúd igénybevételi ábráinak megrajzolása, a veszélyes keresztmetszet meghatározása: A terhelés redukálása a tartó középvonalába: y 1,25 kN A 1,25 kN 5 kN 5 kN C N 5 [ kN] Ty [kN] 0,75 kNm x B x 1,25 x 0,75 kNm M hz [kNm] 0,5 x 0,25 Fx = −5 kN , M c = 5

⋅ 0,15 = 0, 75 kNm. A támasztóerők meghatározása: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 149 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 150 ► M a = 0 = 0, 75 + FBy 0, 6 ; FBy = −1, 25 kN. M b = 0 = − FAy 0, 6 + 0, 75 , FAy = 1, 25 kN. Fx = 0 = −5 + FBx ; FBx = 5 kN Veszélyes keresztmetszet a C + . b) Feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten: y y y y P z σ x′ σ x′′ σx Veszélyes pont: P. c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra: A tartó megfelel, ha a veszélyes keresztmetszet veszélyes pontjában N M σ x max ≤ σ meg . σ x max = σ x max + σ "x max = + hz A Kz d2 π d3 π K , . z = 4 32 A keresztmetszeti jellemzőket a méretezési egyenlőtlenségbe behelyet4 N 32 M tesítve: 2 + 3 hz ≤ σ meg . d π d π Ez a d ismeretlenre nézve harmadfokú egyenlet. A harmadfokú egyenlet megoldása

helyett a tartót először csak hajlításra méretezzük, majd a kapott méretet megnövelve hajlításra és húzásra ellenőrizzük. Méretezés tisztán hajlításra: 32 M hz 32 M hz 32 ⋅ 0, 5 ⋅106 3 d σ ≤ ⇒ ≥ = = 31, 69 mm. 3 meg d3 π σ meg π 160 π A keresztmetszeti jellemzők: A = Ellenőrzés hajlításra és húzásra: Az d-re a számítottnál nagyobb szabványos d értéket (MSz 4337-64) választva, legyen: d = 34 mm. Ezzel a keresztmetszeti jellemzők: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 150 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Rudak összetett igénybevételei ◄ Vissza 151 ► 342 π 343 π = 907, 92 mm 2 , K z = = 3858, 66 mm3 , 4 32 344 π Iz = = 65597 mm3 . 64 Ellenőrzés: 5 ⋅103 0, 5 ⋅106 N M σ x max = + hz = + = 5,51 + 129,57 = 135, 08 MPa. A K z 907,92 3858, 66 A rúd megfelel, mivel σ x max ≤ σ meg , vagyis 135, 08 < 160 . A= d) A rúdban

felhalmozott alakváltozási energia meghatározása: U = U húz + U hajl + U nyír . A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagolva: 1 N2 1 M2 U= ∫ dz + ∫ hz dz = 2 (l ) A E 2 (l ) I z E 1 N 2 lCB 1 l AC ⎧ − 2⎫ 2 ⎨ 0 + 4 [ M hz (0,1)] + [ M hz (0, 2 )] ⎬ + = + ⎩ ⎭ 2 AE 2 Iz E 6 1 lCB (5 ⋅103 ) 2 ⋅ 0, 4 ⋅103 2 + 2 + {[M hz (0, 2 )] + 4 [M hz (0, 4)] + 0} = 2 ⋅ 907,92 ⋅ 2 ⋅105 + 2 Iz E 6 ⎧ 0, 2 ⋅103 ⎡ 1 6 2 6 2⎤ ⎢ 4 ⋅ ( −0, 125 ⋅ 10 ) + ( −0, 25 ⋅ 10 ) ⎥ + ⎨ 5 ⎣ ⎦ 2 ⋅ 65597 ⋅ 2 ⋅10 ⎩ 6 ⎫ 0, 4 ⋅103 ⎡⎣ (0, 5 ⋅106 ) 2 + 4 (⋅0, 25 ⋅106 ) 2 + 0 ⎤⎦ ⎬ = + 6 ⎭ = 27,54 + 1429,18 = 1456, 72 Nmm = 1, 45672 J. + 9.43 feladat: Ferde hajlítás y Adott: A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele: M S = (100 j − 160 k ) Nm, a = 25 mm, b = 50 mm. B z MS S b A a C Feladat: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 151 ► Mechanika Rudak

összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 152 ► a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése. b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban. y B c) A zérusvonal egyenletének meghatározása. MS z S Kidolgozás: a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése: Veszélyes pontok a B és C. A z σx y σx C b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban: 2I 25 ⋅ 502 Keresztmetszeti jellemzők: K z = z = = 10417 mm3, b 6 2I 50 ⋅ 252 Ky = y = = 5208 mm 3 . a 6 A keresztmetszet igénybevétele ferde hajlítás: M hy = 100 Nm, M hz = 160 Nm . A σ x feszültség a keresztmetszet tetszőleges pontjában: σx = M hy M hz y+ z. Iz Iy Feszültségállapot az A, B és C pontokban: M M M M σ x ( A) = hz y A + hy z A = hz − hy = Iz Iy Kz Ky ⎡ −3,84 0 0 ⎤ 160 ⋅103 100 ⋅103 = − = −3,84 MPa, ⎡⎣ F B ⎤⎦ =

⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa. 10417 5208 ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ M M M M σ x ( B) = hz yB + hy zB = hz − hy = Iz Iy Kz Ky A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 152 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 153 ► ⎡34, 56 0 0 ⎤ 160 ⋅103 100 ⋅103 = + = 34, 56 MPa, ⎡ F B ⎤ = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa. ⎣ ⎦ 10417 5208 ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ M M M M σ x (C ) = hz yC + hy zC = − hz − hy = Iz Iy Kz Ky ⎡ −34, 56 0 0 ⎤ 160 ⋅103 100 ⋅103 0 0 ⎥⎥ MPa. =− − = −34, 56 MPa, ⎡⎣ F C ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 10417 5208 ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ c) A zérusvonal egyenletének meghatározása: M M σ x = hz y + hy z = 0 . Iz Iy y=− =− M hy I z M K b z = − hy z z = M hz I y M hz K y a y z y = −2 ,5 z MS S 100 10417 50 z = −2, 5 z 160 5208 25 9.44 feladat: Ferde hajlítás Adott: A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele: M S =

(100 j − 160 k ) kNm, a = 20 mm, b = 40 mm. y A MS B z S b Feladat: a C a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése. b) A feszültségállapot meghatározása az A és B pontokban. c) A zérusvonal egyenletének meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 153 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 154 ► Kidolgozás: y a) Veszélyes pontok: A és D. y A B MS b) Keresztmetszeti jellemzők: K z = 5333 mm3 , K z = 2667 mm3 . A keresztmetszet igénybevételei: M hz = −150 Nm , M hy = 120 Nm . Feszültség az A pontban: σ x ( A ) = −73,12 MPa . σx z S D σx z C y Feszültség a B pontban: σ x ( B ) = 16,87 MPa . A B MS c) y = 3, 2 z S z 9.45 feladat: Excentrikus nyomás C D y = 3 ,2 z Feladat: a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a meghatározása az x = 0

keresztmetszeten. b) A zérusvonal egyenletének a felírása. c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén és a veszélyes pont meghatározása. x yD F d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása. Adott: F = 10 MN = 107 N, D ( l ; 0, 6 ; 0, 3) m, a = 1m b = 2m zD S D l S Kidolgozás: a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a z y A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 154 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 155 ► meghatározás az x = 0 keresztmetszeten: A rúd excentrikusan nyomott. Igénybevétele húzás-nyomás és ferde hajlítás: N = − F = −10MN = −107 N , M hy = − F z D = −107 ⋅ 0, 3 = −3 ⋅106 Nm = −3 ⋅109 Nmm, M hz = − F yD = −107 ⋅ 0, 6 = −6 ⋅106 Nm = −6 ⋅109 Nmm. A = a b = 1⋅ 2 = 2 m 2 = 2 ⋅106 mm2 , b a 3 2 ⋅13 = = 0,1667 m 4 =

166, 7 ⋅109 mm 4 , 12 12 3 a b 1 ⋅ 23 Iz = = = 0, 6667 m 4 = 666, 7 ⋅109 mm 4 . 12 12 Iy = b) A zérusvonal egyenletének a felírása: M N M σ x = σ x, + σ x,, + σ x,,, = + hz y + hy z = 0 A Iz Iy N I z M hy I z y=− z= − M hz A M hz I y 1 I z zD I z z =− − yD A yD I y Dy z . −10 0, 6667 −3 0, 6667 − z= −6 −6 0,1667 . 2 = −0, 5556 − 2 z zérusvonal y D S zD 2m 1m y y=− y y y σ xN σ xM σ x z S c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása: z σ xN σ xM z d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb z feszültség meghatározása. A veszélyes pont: y = 1m, z = 0,5m helyen. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σx Vissza ◄ 155 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σ x max = = ◄ Vissza 156 ► M N M hz y + hy z = + A Iz Iy −107 −6 ⋅109 −3 ⋅109 + + 100

50 = −5 − 0,9 − 0,9 = −6,8 MPa. 2 ⋅106 666, 7 ⋅109 166, 7 ⋅109 9.5 Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomás és csavarása y N >0 x N >0 P Mc > 0 Mc > 0 Feszültségi állapot a P pontban: ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢ 0 0 τ ϕ x ⎥ ( Rϕ x ) ⎢ ⎥ ⎣ 0 τ xϕ σ x ⎦ M N σ x = , τ xϕ = C R . A Ip eR P τ xϕ τ ϕ x σx i eϕ A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban: τ mn Px τ ϕx PR σ3 σ2 Pϕ σx σ1 σn A rúd tetszőleges pontjában szemlélteti feszültségi állapotot. P a −τ xϕ Főfeszültségek a P pontban: σx σ ⎛σ ⎞ ⎛σ ⎞ σ 1 = + ⎜ x ⎟ + τ x2ϕ , σ 2 = σ R = 0 , σ 3 = x − ⎜ x ⎟ + τ x2ϕ . 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Redukált feszültségek a P pontban: 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 2 Vissza ◄ 156 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom ◄ Vissza 157 ► σ red ( Coulomb ) = max ( σ 1 , σ 3 ) . ⎛σ ⎞ σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 = 2 ⎜ x ⎟ + τ x2ϕ , σ red ( Mohr ) = σ x2 + 4τ x2ϕ . ⎝ 2 ⎠ 2 1⎡ 2 2 2 (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 2 ) ⎤⎦ , ⎣ 2 σ red ( HMH ) = σ red ( HMH ) = σ x2 + 3τ x2ϕ . Feszültség eloszlás a keresztmetszeten: y y y τϕ x z R σx S τ zx Mc σx z τ yx z Veszélyes pontok: D R= 2 Általánosítás: minden olyan esetben érvényes, amikor a feszültségi tenzorban csak egy σ és egy τ feszültség van, és ezek egy síkba esnek: Speciális eset! (Nem ez a redukált feszültség értelmezése!) σ red = σ 2 + β τ 2 . Huber-Mises-Hencky: β = 3 , σ P τ τ Mohr: β = 4 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 157 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 158 ► Méretezés húzás

+ csavarás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben): 1. Elhanyagoljuk a húzást. 2. Meghatározzuk csavarásra. 3. Kiválasztunk egy szabványos geometriai méretet, amely megfelel a szükséges geometriai méreteknek. 4. A kiválasztott szabványos méretű tartót ellenőrizzük húzás + csavarás eredeti terhelésre. 5. Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük a procedúrát. a szükséges geometriai méreteket csak 9.6 Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása y Mc > 0 Mc > 0 x P M hz > 0 M hz > 0 Feszültségi állapot a P pontban: ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢0 0 τ ϕ x ⎥ ( Rϕ x ) ⎢ ⎥ ⎣0 τ xϕ σ x ⎦ eR P τ xϕ τ ϕ x σx i M hz M eϕ y , τϕx = c R Iz Ip Feszültség eloszlás a keresztmetszeten: σx = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 158 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y y ◄ Vissza 159 ► y A τϕx z R σx M hz S τ zx Mc B σx z τ yx z A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban: τ ϕx τ mn Px PR σ3 σ2 Pϕ σx σ1 σn A rúd tetszőleges P pontjában szemlélteti a feszültségi állapotot. −τ xϕ Főfeszültségek a P pontban: σx σ ⎛σ ⎞ ⎛σ ⎞ σ 1 = + ⎜ x ⎟ + τ x2ϕ , σ 2 = σ R = 0 , σ 3 = x − ⎜ x ⎟ + τ x2ϕ . 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Veszélyes pontok: A, B. Feszültségek a veszélyes pontokban: σ x max = 2 Mh d Mh = , Iz 2 Kz 2 τ xϕ max = Mc d Mc = Ip 2 Kp Kör és körgyűrű keresztmetszet esetén: I p = 2 I z ⇒ K p = 2 K z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 159 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 160

► Redukált feszültség a veszélyes pontokban: σ red max ( Coulomb ) = max ( σ 1 , σ 3 ) A, B . σ red = σ x2 + βτ x2ϕ , (HMH: β = 3 , Mohr: β = 4 .) 2 σ red max 2 ⎛M ⎞ β ⎛M ⎞ M = ⎜ h ⎟ + ⎜ c ⎟ = red , Kz 4 ⎝ Kz ⎠ ⎝ Kz ⎠ M red = M h2 + β 4 M c2 . Az M red redukált nyomaték hajlítás és csavarásnál olyan szerepet játszik, mint tiszta hajlításnál a hajlítónyomaték. σ red max = σ red ( A ) = σ red ( B ) . Hajlítás + csavarás esetén úgy méretezünk, hogy meghatározzuk a redukált nyomatékot, és azt úgy tekintjük, mint azt egyenes hajlítás esetében tettük. Gyakorlati példa hajlítás és csavarásra: gépkocsi hűtővíz keringető szivattyújának tengelye. ékszíjtárc sa y y csapágyak R x z tengely F2 F1 szivattyú járókerék A tengely igénybevételi ábrái: Egyszerűsítés: F1 F2 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 160 ► Mechanika Rudak

összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Feltételezés: F1 > F2 , F0 = F1 + F2 , ( Vissza ◄ 161 Mo x ► y Mo ) Fo A B M 0 = R F1 − F2 . F Ay Ha a nyírási igénybevételt elhanyagoljuk, akkor a tengely T y igénybevétele: hajlítás + csavarás Veszélyes keresztmetszet: A. M hz F By x x Mc x 9.7 Prizmatikus rudak nyírása és hajlítása Rúdszerkezeteknél általában a nyírás önmagában nem lép fel, csak hajlítással együtt. A nyírás és a hajlítás kapcsolata (A Statikában tanult egyensúly egyenlet): d M hz = −Ty ( x ) - az egyensúlyi egyenlet differenciális alakja, dx x M hz ( x) = M hz ( x = 0) − ∫ T ( x)dx y – az egyensúlyi egyenlet integrál x =0 alakja. Példa: kéttámaszú konzolos tartó. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 161 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom Vissza ◄ 162 ► y F1 Ty A FA x B F2 FB x M hz x A nyírás és hajlítási feladat közelítő megoldása: a) A σ x úgy számítható, mint hajlításnál. b) A τ yx egyensúlyi feltételből határozható meg. Feltételezések: a) A z és y a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei ⇒ egyenes hajlítás. b) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a τ x feszültségek az y tengelyen egy pontban metsződnek. c) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a τ yx állandó ⇒ τ yx = τ yx ( y ) . A keresztmetszeten ébredő feszültségek számítása: Normál feszültség (hajlításból): σ x = M hz y. Iz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 162 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Csúsztató feszültség (nyírásból): τ yx = − Ty S1z ( y ) I z a( y) Vissza ◄ 163 ► . Az összefüggésekben: Ty – a

nyíróerő, M hz - a hajlító nyomaték, I z – a keresztmetszet z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka, S1z ( y ) - a keresztmetszet sraffozott A1 részének statikai nyomatéka a z tengelyre, a( y ) - az y = áll. egyenes metszetének hossza (jobboldali ábra) y y O τ yx = áll. z y S a( y) Ty > 0 A1 τ yx < 0 z Ty y S Ty > 0 Az O pontot a keresztmetszet kontúrjának érintői határozzák meg. Ty . Közepes csúsztató feszültség: τ köz = A Feszültségi tenzor a P pontban: σ x és τ yx a fenti képletekből, ⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ zx a τ x irányából határozható ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢τ yx 0 0⎥. ⎢τ meg. 0 ⎥⎦ ⎣ zx 0 Speciális esetek (speciális keresztmetszetek): Csak a τ feszültséget vizsgáljuk. a) Téglalap keresztmetszet: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 163 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom y y S z y = a τ max 164 ► Iz = Asraff Ty > 0 3 = τ köz , 2 ◄ ab3 , 12 ⎛b ⎞1⎛b ⎞ S1z ( y ) = a ⎜ − y ⎟ ⎜ + y ⎟ = ⎝2 ⎠2⎝ 2 ⎠ a ( y ) = a, τ yx b Vissza a ⎛ b2 2⎞ ⎜ − y ⎟, 2⎝ 4 ⎠ τ yx = τ yx ( y ) = − τ zx = 0 Ty ⎛ 1 y 2 ⎞ 6⎜ − ⎟ . A ⎝ 4 b2 ⎠ τ yx ( y ) másodfokú parabola. b) Kör keresztmetszet: y y a( y ) = d cos ϕ , I z = a (y ) ϕ τ x (y , z ) z y S ϕ Ty > 0 τ yx d 4π , 64 d3 S1z (ϕ ) = cos3 ϕ . 12 ⎞ 4 T 4 ⎛ d2 τ yx = − y 2 ⎜ − y 2 ⎟ . 3 Ad ⎝ 4 ⎠ τ yx ( y ) parabola. tgϕ = d τ zx τ yx ⇒ τ zx = a kerületi pontokban, 4 τ max = τ köz . 3 9.8 Vékonyszelvényű nyitott rudak nyírása és hajlítása. Vékonyszelvény: ha a keresztmetszet v vastagsági mérete sokkal kisebb, mint a keresztmetszet más méretei. Ilyenek például a szabványos idomacélok: az I, U, L, stb. szelvények. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

| Szakirodalom Vissza ◄ 164 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 165 ► Feltételezés: A z és az y tengelyeksúlyponti tehetetlenségi főtengelyek. y τ ex (s ) s A1 e z CT M hz S Ty Ty v( s ) Hajlítás: σ x = M hz y. Iz Nyírás: – Az s a középvonal mentén mért ívkoordináta. – A τ feszültség a középvonal érintőjének irányában mutatnak: τ ex = τ xe . – A τ feszültségek eloszlása a v vastagság mentén állandó. A τ feszültség kiszámítása: τ ex = τ xe = Ty S1z ( s ) I z v( s ) . Nyírási középpont (CT): a keresztmetszeten fellépő τ nyírófeszültségek eredőjének támadáspontja. Tétel: A nyíró igénybevételből számított feszültségek csak akkor vannak egyensúlyban a külső (terhelő) erőrendszer eredőjével, ha a terhelés síkja átmegy a CT nyírási középponton. Tétel: Ha a terhelés eredője nem megy át

a CT nyírási középponton, akkor a keresztmetszet (általában gátolt csavarással) csavarva is lesz. A csavaró nyomatékot a terhelés eredőjének a CT nyírási középpontra számított nyomatéka adja. A csavarás különösen nyitott vékonyfalú szelvények esetén veszélyes, mert ezeknek kicsi a csavarással szembeni ellenállásuk. Speciális esetek: - A keresztmetszetnek van szimmetria tengelye: CT rajta van a szimmetriatengelyen. - A keresztmetszetnek két szimmetria tengelye van: CT ≡ S. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 165 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 166 ► Példa: U szelvény nyírásból származó feszültsége. y FH Ty z Ty < 0 CT S Ty a b S − FH Ty , FH és − FH a τ feszültség eredői. Nyírási középpont: - A keresztmetszetnek az a pontja, amelyre a τ feszültségek nyomatéka nulla. - A

nyomaték akkor nulla, ha a feszültség eredője (terhelés) átmegy a ponton. Az eredő erő: Fer = Ty + FH − FH = Ty j . Nyomaték a CT pontra: M CT = 0 = aTy − bFH ⇒ a=b FH . Ty Megjegyzés: a) Ha a terhelés eredője átmegy a CT ponton, akkor a keresztmetszet igénybevétele: hajlítás és nyírás. b) Ha a terhelés eredője nem megy át a CT ponton, akkor a keresztmetszet igénybevétele: hajlítás, nyírás és csavarás. A csavarás elkerülése: A terhelő és a támasztó erők síkjának át kell mennie a CT ponton. Ez sok esetben csak bonyolult szerkezeti megoldásokkal lehetséges. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 166 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 167 ► 9.9 Gyakorló feladatok nem egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételekre 9.91 feladat: Húzás-nyomás és csavarás Feladat: a) A

keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása. b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a rúd tetszőleges keresztmetszetén. c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével. d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban. e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban. Adott: F = 117, 8 kN, M c = 0, 9818 kNm, d = 50 mm, G = 80 GPa, ν = 0, 3 . Kidolgozás: y y z P Mc Mc F F Mc x S φd a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása: d 2 π 502 π A= = = 1963, 5 mm2, 4 4 4 d π 504 π Ip = = = 613, 6 ⋅103 mm 4 . 32 32 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 167 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 168 ► b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a rúd tetszőleges keresztmetszetén: y y y Veszélyes pontok: Húzásból veszélyes a keresztmetszet N valamennyi pontja. σ x = σx τ zx z S A P Mc Csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő M pontjai. τ ϕ x = c R σx Ip z Együttesen húzásból és csavarásból veszélyesek a τ yx keresztmetszet paláston lévő z pontjai. c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével: τ nm y x − y sík Qn Szabály az xy síkban y n 40 mx σ 3 e3 60 e1 Px x z − 1 sík 10 σ1 σn σ z =σ2 10 e1 e3 z − 3 sík Py ⎡σ x τ xy ⎡F ⎤ ⎢ ⎣ P ⎦ = ⎢τ yx 0 ⎢⎣ 0 0 0⎤ 0 ⎥⎥ , 0 ⎥⎦ σx = N 117, 8 ⋅103 = = 60 MPa, A 1963, 5 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 168 ► Mechanika Rudak összetett

igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom τ yx = τ xy = − Mc 0, 9818 ⋅106 25 = −40 MPa. zP = − 613, 6 ⋅103 Ip ⎡ 60 −40 0 ⎤ ⎡ F ⎤ = ⎢ −40 0 0 ⎥ MPa. ⎥ ⎣ P⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ Vissza ◄ 169 ► y τ xy < 0 P σx >0 x z d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban: σx ⎛σ ⎞ + ⎜ x ⎟ + τ xy2 = 30 + 50 = 80 MPa, A főfeszültségek: σ 1 = 2 ⎝ 2 ⎠ σx 2 ⎛σ ⎞ σ 2 = σ z = 0 MPa, σ 3 = − ⎜ x ⎟ + τ xy2 = 30 − 50 = −20 MPa. 2 ⎝ 2 ⎠ Redukált feszültség Coulomb szerint: σ red = σ 1 = 80 MPa . Redukált feszültség Mohr szerint: σ red = σ 1 − σ 3 = 100 MPa, vagy 2 σ red = (σ x )2 + 4 τ xy2 = 100 MPa. Redukált feszültség Huber-Mises-Hencky szerint: σ red = (σ x )2 + 3 τ xy2 = 91, 65 MPa. e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban: ⎡ A ⎤ = 1 ⎡ F − ν FI E ⎤ , FI = σ x + σ y + σ z = 60

MPa, ⎣ P ⎦ 2 G ⎣⎢ P 1 + ν ⎦⎥ 1 ⎡ ν 1 ⎡ 0, 3 ⎤ ⎤ 60 − 60 ⎥ = 2, 88 ⋅10−4 , FI ⎥ = εx = σx − 5 ⎢ ⎢ 2G ⎣ 1 +ν 1, 3 ⎦ 1, 6 ⋅10 ⎣ ⎦ 1 ⎡ ν 1 ⎡ 0, 3 ⎤ ⎤ 0− 60 ⎥ = −0, 86 ⋅10−4 , FI ⎥ = σy − 5 ⎢ ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦ 1, 6 ⋅10 ⎣ 1, 3 ⎦ 1 ⎡ ν 1 ⎡ 0, 3 ⎤ ⎤ 0− 60 ⎥ = −0, 86 ⋅10−4 , FI ⎥ = εz = σz − 5 ⎢ ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦ 1, 6 ⋅10 ⎣ 1, 3 ⎦ εy = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 169 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 170 ► 1 1 ⎡ ν −40 ⎤ τ xy γ xy = τ xy − FI ⋅ 0 ⎥ = = = −2, 5 ⋅10−4 , 5 ⎢ 2 2G ⎣ 1 +ν 2 1 6 10 G , ⋅ ⎦ ⎡ ⎤ 1 γ 0⎥ ⎢ εx 2 xy 0,86 × 10−4 ⎢ ⎥ 2 , 5 ⎥ ⎡ A ⎤ = ⎢⎢ 12 γ yx ε y 0⎥= ⎣ P⎦ ⎢ ⎥ j ⎢ 0 0 ε z ⎥⎦ ⎣ i 0 ⎤ ⎡ 2, 88 −2, 5 ⎢ 0 ⎥⎥ 10−4. = ⎢ −2,

5 −0, 86 ⎢⎣ 0 0 −0, 86 ⎥⎦ 0,86 2,88 k 2,5 9.92 feladat: Húzás-nyomás és csavarás Feladat: a) A feszültségeloszlás megrajzolása a x = 0 keresztmetszeten. b) A feszültségi és alakváltozási koordináták meghatározása a P pontban. c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint. Adott: N = 120 kN, M c = 1 kNm, d = 50 mm, z σ meg = 120 MPa, P G = 80 GPa, ν = 0, 3 . y S y Mc N N Mc x ◄ 170 P φd A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom l Vissza ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 171 ► Kidolgozás: a) A feszültségeloszlás megrajzolása a x = 0 keresztmetszeten: Veszélyes pontok: a palást pontjai. y y y z S P σx τ zx Mc σx z τ yx z b) A feszültségi és alakváltozási koordináták meghatározása a P pontban: A feszültségi és alakváltozási tenzor általánosan a P

pontban: ⎡ ε x 12 γ xy 0 ⎤ ⎡σ x τ xy 0 ⎤ ⎥ ⎡ F ⎤ = ⎢⎢τ yx 0 0 ⎥⎥ , ⎡ A ⎤ = ⎢⎢ 12 γ yx ε y 0 ⎥. ⎣ P⎦ ⎣ P⎦ ⎢0 ⎢ 0 0 0⎥ ε z ⎥⎦ 0 ⎣ ⎦ ⎣ jellemzők: A= A keresztmetszeti Ip = d 4 π 504 π = = 6,136 ⋅105 mm 4 . 32 32 A feszültségi tenzor koordinátái: σ x = τ yx ( P) = τ xy ( P) = d 2 π 502 π = = 1963, 5 mm 2 , 4 4 N 120 ⋅103 = = 61,1 MPa, A 1963, 5 Mc 106 (−25) = −40, 74 MPa. xP = 6,136 ⋅105 Ip A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 171 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 172 ► 1 ⎡ ν ⎤ F P− FI E ⎥ , FI = σ x = 61,1 MPa. ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦ Az alakváltozási tenzor koordinátái: ⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 0, 3 ⎡ ⎤ ⎥ − 61,1 − 61,1⎥ = 2, 94 ⋅10−4 , εx = σ σ ⎢ x x⎥ = 3 ⎢ 2 G ⎢⎣ 1 + ν ⎥⎦ 2 ⋅ 80 ⋅10 ⎣ 1 + 0, 3 ⎦ A Hooke-törvény:

A P = ⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 ⎥ − σ σ ⎢ y x⎥ = 2 G ⎢⎣ 1 + ν ⎥⎦ 2 ⋅ 80 ⋅103 0, 3 ⎡ ⎤ −5 ⎢0 − 1 + 0, 3 61,1⎥ = −8, 8 ⋅10 , ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 1 ⎢ ν 1 0, 3 ⎡ ⎤ 0− 61,1⎥ = −8, 8 ⋅10−5 , εz = σ x ⎥⎥ = ⎢σ z − 3 ⎢ 2 G ⎢⎣ 1 + ν ⎥⎦ 2 ⋅ 80 ⋅10 ⎣ 1 + 0, 3 ⎦ 1 1 (−40, 74) = −5, 09 ⋅10−4 . γ yx = γ xy = τ xy = 3 G 80 ⋅10 A feszültségi és az alakváltozási tenzor a P pontban: −40, 74 0 ⎤ ⎡ 61,1 ⎡ F ⎤ = ⎢ −40, 74 0 0 ⎥⎥ MPa, ⎣ P⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ εy = 0 ⎤ ⎡ 29, 4 −25, 5 ⎡ A ⎤ = ⎢ −25, 5 −8, 8 0 ⎥⎥ 10−5 ⎣ P⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 −8, 8⎥⎦ y y [MPa ] FP AP 25,4 8,8 × 10 −5 40 ,7 j 61,1 P x i 29,4 k z z 8,8 x 25,4 . A főfeszültségek: σ1 = σx 61,1 ⎛σ ⎞ ⎛ 61,1 ⎞ 2 + ⎜ x ⎟ + τ yx2 = + ⎜ ⎟ + 40, 74 = 81, 47 MPa, 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza

◄ 172 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 173 ► σ2 = 0 , σx 61,1 ⎛σ ⎞ ⎛ 61,1 ⎞ 2 − ⎜ σ 3 = − ⎜ x ⎟ + τ yx2 = ⎟ + 40, 74 = −20, 37 MPa. 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 A főnyúlások: ⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 FI ⎥⎥ = ε1 = ⎢σ 1 − ⎢ ⎥ 2G ⎣ 1 + ν ⎦ 2 ⋅ 80 ⋅103 0, 3 ⎡ ⎤ −5 ⎢81, 47 − 1 + 0, 3 61,1⎥ = 42,1 ⋅10 ⎣ ⎦ ⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 0, 3 ⎡ ⎤ 0− 61,1⎥ = −8, 8 ⋅10−5 , FI ⎥⎥ = ε2 = ⎢σ 2 − 3 ⎢ ⎢ ⎥ 2G ⎣ 1 +ν ⎦ 2 ⋅ 80 ⋅10 ⎣ 1 + 0, 3 ⎦ ε3 = ⎤ 1 ⎡⎢ ν 1 FI ⎥⎥ = ⎢σ 3 − ⎢ ⎥ 2G ⎣ 1 + ν ⎦ 2 ⋅ 80 ⋅103 0, 3 ⎡ ⎤ ⎢ −20, 37 − 1 + 0, 3 61,1⎥ = ⎣ ⎦ = −21, 5 ⋅10−5 , c) A tartó ellenőrzése feszültségcsúcsra Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint: A tartó megfelel, ha a veszélyes pontokban σ red max ≤ σ meg . A P pont a paláston van, tehát veszélyes

pont. σ red max Mohr szerint: σ red max = σ red ( P) = σ x2 + β τ yx2 = 61,12 + 4 ⋅ 40, 742 = 101, 84 MPa. Itt σ red max = 101, 84 MPa < σ meg = 120 MPa, tehát a tartó megfelel. σ red max Huber-Mises-Hencky szerint: σ red max = σ red ( P) = σ x2 + β τ yx2 = 61,12 + 3 ⋅ 40, 742 = 93, 34 MPa. Itt σ red max = 93, 29 MPa < σ meg = 120 MPa, tehát a tartó megfelel. 9.93 feladat: Csavarás és egyenes hajlítás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 173 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 174 ► Adott: M S = (−150i + 100k ) Nm, d = 50 mm, E = 200 GPa. y y z MS MS S B x B φd Feladat: a) Feszültségeloszlás megrajzolása az x = 0 keresztmetszet z és y tengelye mentén. b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban. Kidolgozás: a) Feszültségeloszlás az x = 0 keresztmetszet z és y

tengelye mentén: y M hz = −100 Nm , M c = −150 Nm. z Veszélyes pontok: A és B . y y A σx S τ zx M hz B z Mc σx τ yx z b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban: A feszültségi tenzor általánosan a B pontban: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 174 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom σ ⎡ ⎢ x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ zx ⎡T ⎤ = 0 ⎣ P⎦ τ Vissza ◄ 175 ► 0 τ xz ⎤⎥ ⎥ 0 0 ⎥⎥ . A keresztmetszeti jellemzők: 0 0 ⎥ ⎥ ⎦ d 3 π 503 π = = 12, 27 ⋅103 mm 3 , K p = 2 K x = 24, 54 ⋅103 mm 3 . 32 32 A feszültségi tenzor koordinátái a B pontban: M −100 ⋅103 = 8,15 MPa, σ x = − hz = − 12, 27 ⋅103 Kz Kx = τ xz = τ zx = − Mc −150 ⋅103 =− = 6,11 MPa. 24, 54 ⋅103 Kp 9.94 feladat: Csavarás és egyenes hajlítás Feladat: a) A feszültségeloszlás

megrajzolása az x = 0 keresztmetszeten. b) A Mohr szerinti M red redukált nyomaték meghatározása. y - M hz k c) A rúd méretezése Mohr szerint. MS Adott: M S = (800i − 600k ) Nm, D = 2 d , x σ meg = 80 MPa. φd z Kidolgozás: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Mc i φD Vissza ◄ 175 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 176 ► 176 ► a) A feszültségeloszlás megrajzolása az x = 0 keresztmetszeten: y y y A z S Mc z z M hz σx τ zx B σx τ yx Veszélyes pontok: A és B. b) A Mohr szerinti M red redukált nyomaték meghatározása: M red = M h2 + β 4 M c2 = 6002 + 8002 = 1000 Nm. 4 4 c) A rúd méretezése Mohr szerint: A tartó megfelel, ha: σ red max ≤ σ meg . A veszélyes pontban a redukált feszültség: σ red max = M red . Kz (D4 − d 4 ) π 2 . 64 D 15 d 3 π Kihasználva a D = 2 d összefüggést: K z = . 64 64 M

red 64 M red 64 ⋅106 3 σ ≤ ⇒ ≥ = = 25, 7 mm, d 3 meg 15 d 3 π 15 σ meg π 15 ⋅ 80 π A keresztmetszeti tényező: K z = D = 2 d ≥ 51, 4 mm. Szabványos D értéket választva: d = 27 mm, D = 54 mm. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 177 C x ► 9.95 feladat: Csavarás és egyenesyhajlítás A Adott: A d átmérőjú ABC rúd M hz [kNm ] igénybevételei és 6 σ meg = 120 MPa. Feladat: a) A feszültségeloszlás megrajzolása a veszélyes keresztmetszeten. B x M hy [kNm ] x -8 Mc [kNm] 12 b) A Mohr szerinti redukált nyomaték meghatározása a veszélyes keresztmetszeten. x c) A rúd méretezése Mohr szerint. Kidolgozás: a) A feszültségeloszlás a veszélyes keresztmetszeten: Veszélyes keresztmetszet: B. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 177 ►

Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y y y y σ ′x′ τ zx Vissza ◄ 178 ► 12 kNm z S 6 kNm σ ′x 8 kNm z σ ′x z σ ′x′ z τ yx b) A Mohr szerinti redukált nyomaték meghatározása a veszélyes keresztmetszeten: M red = ( M hz2 + M hy2 ) + β 4 M c2 = 62 + 82 + 122 = 15, 62 kNm. c) A rúd méretezése Mohr szerint: A tartó megfelel, ha: σ red max ≤ σ meg . A veszélyes pontban a feszültség: σ red max = 32 M red ≤ σ meg d3 π ⇒ d≥ 3 32 M red σ meg π = 3 M red d3 π . , Kz = 32 Kz 32 ⋅15, 62 ⋅106 = 109, 86 120 π mm. Szabványos d értéket választva, a rúd átmérője: d = 110 mm. 9.96 feladat: Nyírás és hajlítás Feladat: a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 178 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 179 ► b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség meghay tározása az S, A és B pontokban. B Adott: FS = (− 24 j ) kN, M S = ( 0, 72 k ) kNm, Ty − M hz A (0,15, 0) mm, a = 40 mm, b = 60 mm. A z M hz < 0 S b Ty > 0 Kidolgozás: a a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása. y y y T S ( y) M σ x = hz y , τ yx = − y z , I z a( y ) Iz y a b3 Iz = a( y) = a 12 ⎞ a ⎛⎜ b 2 ⎟ S z = ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ 4 ⎠ Veszélyes pontok: Hajlításból az y = ±b / 2 , nyírásból az y = 0 pontok. A redukált feszültséget mindkét helyen ki kell számítani! σx S τ yx z σx z τ yx z b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség meghatározása az S, A és B pontokban. y y x x M hz = −0, 72 kNm, Ty = 24 kN. M hz < 0 Ty > 0 a b3 40 ⋅ 603 A = a b = 40 ⋅ 60 = 2400

mm 2 , = = 0, 72 106 mm 4 ; 12 12 ⎞ ⎞ a ⎛⎜ b 2 40 ⎛⎜ 602 2⎟ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Sz ( yA ) = ⎜ − yA ⎟ = − 15 ⎟⎟ = 13500 mm 3 . ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ 4 2 ⎜⎝ 4 ⎠ ⎠ A feszültségek meghatározása: 3T 3 ⋅ 24 ⋅103 σ x ( S ) = 0 MPa, τ yx ( S ) = − y = − = −15 MPa, 2 A 2 ⋅ 2400 Iz = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 179 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza ► 180 σ red ( S ) = 2 | τ yx ( S ) |= 2 ⋅15 = 30 MPa. M hz −0, 72 ⋅106 15 = −15 MPa, y ( A) = 0, 72 ⋅106 Iz T S (y ) 24 ⋅103 ⋅13, 5 ⋅103 τ yx ( A) = − y z A = − = −11, 25 MPa, Iz a 0, 72 ⋅106 ⋅ 40 σ x ( A) = σ red ( A) = [σ x ( A)]2 + 4 [τ yx ( A)]2 = (−15)2 + 4 ⋅ (−11, 25)2 = = 27, 04 MPa. M σ x ( B) = hz y ( B) Iz −0, 72 ⋅10 = 30 = −30MPa. 0, 72 ⋅106 τ yx ( B) = 0 , 6 σ red ( B) =| σ x ( B) |= 30 MPa. y y

A C z F = 10 kN A C 20 S 45 x S 40 Ty [kN ] 15 10 x 0, 4 kNm 9.97 feladat: Nyírás és hajlítás M hz [kNm ] 0, 4 Adott: (lásd ábra) y x y y Feladat: a) Az x = 0 keresztmetszeten a feszültségeloszlások megrajzolása, és a veszélyes pont(ok) meghatározása. b) A feszültségállapot meghatározása az x = 0 keresztmetszet C pontjában. Kidolgozás: y z σx S τ xy σx z τ xy z a) Az x = 0 keresztmetszeten a feszültségeloszlások megrajzolása, és a veszélyes pont(ok) meghatározása: Veszélyes pontok: Hajlításból az y = ±22, 5 mm pontok, nyírásból az y = 0 pontok. Mindkét helyet meg kell vizsgálni A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 180 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 181 ► b) A feszültségállapot meghatározása az x =y 0 keresztmetszet y C pontjában: x x Ty = 10 kN. M hz = 0, 4 kNm, Ty > 0

> M hz 0 Keresztmetszeti jellemzők: a b3 15 ⋅ 453 Iz = = = 113, 9 103 mm 4 , 12 12 ⎛ 2 ⎞ ⎞ a ⎜b 15 ⎛⎜ 452 ⎟ ⎟ S z ( yC ) = ⎜⎜ − yC2 ⎟⎟ = ⎜⎜ − 202 ⎟⎟ = 796, 875 mm 3 . ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ 4 2 ⎜⎝ 4 ⎠ ⎠ A feszültségi állapot a C pontban: M hz 0, 4 ⋅106 σ x (C ) = 20 = 70, 24 MPa, yC = 113, 9 ⋅103 Iz Ty S z ( yC ) 10 ⋅103 ⋅ 796, 875 τ yx (C ) = − =− = −4, 66 MPa, Iz a 113, 9 ⋅103 ⋅15 ⎡σ x τ xy ⎡ F ⎤ = ⎢τ yx 0 ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎤ ⎡ 70, 24 −4, 66 0 ⎤ 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ −4, 66 0 0 ⎥⎥ MPa. 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ 9.98 feladat: feladat: Nyírás és hajlítás 10 ) z MS M S 1000 k Nm . 30 Feladat: 10 a) A feszültségeloszlások megrajzolása. C B Adott: A keresztmetszet és FS = (25 j ) kN , ( y 12 A FS S 10 30 b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában. Kidolgozás: a) A

feszültségeloszlások megrajzolása: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 181 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y z MS F S y ◄ Vissza 182 ► y σ x τ yx S ζ ζ τ zx b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában. Az I x másodrendű nyomaték: 30 ⋅ 503 20 ⋅ 303 − = 267, 5 ⋅103 mm 4 . 12 12 Feszültségek az A pontban: M −106 τ yx ( A) = 0, σ x ( A) = hz y A = 25 = −93, 46 MPa. 267, 5 ⋅103 Iz T S (z ) τ zx ( A) = − y z A , S z ( z A ) = 10 ⋅10 ⋅ 20 = 2000mm3 , v = 10 mm, Iz v Ix = τ zx ( A) = 25 ⋅103 ⋅ 2000 = 18, 69 MPa. 267, 5 ⋅103 ⋅10 σ red ( A ) = σ x2 + 4 τ zx2 = = 93, 462 + 4 ⋅18, 692 = 100, 66MPa. z FA [MPa ] 18 ,69 ⎡ −93, 46 0 18, 69 ⎤ 93,46 ⎥ MPa. ⎡F ⎤ = ⎢ 0 0 0 A ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ x ⎢⎣ 18, 69 0

0 ⎥⎦ Feszültségek a B pontban: M −106 τ yx ( B) = 0, σ x ( B) = hz yB = 15 = −56, 07 MPa. 267, 5 ⋅103 Iz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza y ◄ 182 ► Mechanika Rudak összetett igénybevételei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom τ zx ( B) = Ty S z ( z B ) Iz v , ◄ Vissza 183 ► S z ( zB ) = 10 ⋅ 3 ⋅ 20 = 600 mm 3 , v = 10 mm, z 25 ⋅103 ⋅ 600 = −5, 61 MPa. τ zx ( B) = − 267, 5 ⋅103 ⋅10 ⎡ −56, 07 0 −5, 61⎤ ⎡F ⎤ = ⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa. ⎣ B⎦ ⎢ ⎢⎣ −5, 61 0 0 ⎥⎦ [MPa ] FB 5 ,61 y 56, 07 x σ red ( B ) = σ x2 + 4 τ zx2 = 56, 07 2 + 4 ⋅ 5, 612 = 57,18 MPa. Feszültségek a gerincen lévő C pontban: τ zx (C ) = 0 . T S (y ) −25 ⋅103 ⋅10 ⋅ 30 ⋅ 20 = 56, 07 MPa, τ yx (C ) = − y z C = − Iz a 267, 5 ⋅103 ⋅10 σ x (C ) = σ x ( B) = −56, 07 MPa. σ red = σ x2 + 4 τ yx2 = 56, 07 2 + 4 ⋅ 56, 07 2 = 125, 39MPa. z ⎡ −56,

07 56, 07 0 ⎤ ⎡ F ⎤ = ⎢ 56, 07 0 0 ⎥⎥ MPa. ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ Feszültségek az S pontban: σ x ( S ) = 0, τ zx ( S ) = 0, τ yx ( S ) = − [MPa ] FC y 56,07 Ty S z ( yS ) Iz a . x 56,07 z S z ( yS ) = 10 ⋅ 30 ⋅ 20 + 15 ⋅10 ⋅ 7, 5 = 7125 mm , 3 τ yx ( S ) = − FS −25 ⋅103 ⋅ 7125 = 66,59 MPa. 267, 5 ⋅103 ⋅10 66,59 0 ⎤ ⎡ 0 ⎡ F ⎤ = ⎢ 66,59 0 0 ⎥⎥ MPa. ⎣ S⎦ ⎢ 0 0 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 [MPa ] y 66,59 x σ red = σ x2 + 4 τ yx2 = 2 τ yx = 2 ⋅ 66,59 = 133,18 MPa . A keresztmetszet veszélyes pontjai a z tengelyen vannak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 183 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 184 ► 10. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása 10.1 Munka, alakváltozási energia a) A külső erők munkája: Feltételezzük, hogy a terhelés Mj ϕj és az

alakvátozás folyamatosan, Fi egyidejűleg növekedve éri el a Pj megadott értékét. ti Pi A szerkezetre ható külső erők B munkája: A 1 n 1 m W = ∑ Fi ⋅ ti + ∑ M j ⋅ ϕ j . 2 i =1 2 j =1 Fi – a szerkezet Pi pontjára ható, i jelű (i-edik) koncentrált erő. ti = ui i + vi j + wí k – a rugalmas vonal (középvonal) Pi pontjának (a Pi pontnál lévő keresztmetszet S pontjának) elmozdulása. M j – a szerkezet Pj pontjára ható, j jelű koncentrált nyomaték. ϕ j = ϕ xj i + ϕ yj j + ϕ zj k – a rugalmas vonal Pj pontjánál lévő keresztmetszet szögelfordulása. b) Alakváltozási energia: – Fajlagos alakváltozási energia: 1 u = (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ xzγ xz + τ yzγ yz ) . 2 – Rúdszerkezet alakváltozási energiája: U = ∫ u dV = U N + U H + U C + U T . (V ) UN UH UC UT – az alakváltozási energia húzás-nyomásból származó része, – az alakváltozási energia hajlításból származó része, – az

alakváltozási energia csavarásból származó része, – az alakváltozási energia nyírásból származó része. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 184 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 185 ► A nyírásból származó alakváltozási energia rész a másik három tag mellett legtöbbször elhanyagolhatóan kicsi, ezért elhanyagoljuk: UT ≈ 0 . Rúdszerkezet alakváltozási energiájának közelítő kiszámítása: ⎛ ⎜ 2 M hy2 M hz2 MC N ⎜ U= ⎜ + + + 2 AE 2 EI z 2 EI y 2GI p (l ) ⎜ ⎜ hajlítás ⎝ ∫ ⎞ ⎟ ⎟ dx . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Feltételezés: az y és z a rúdkeresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei. 10.2 A Betti tétel Egy adott szerkezetre egyidejűleg két egyensúlyi erőrendszer hat. Fi′ ⎫⎪ Fi′′ ⎫⎪ Az 1. jelű erőrendszer. ⎬ A 2. jelű erőrendszer ⎬ M i′⎪⎭ M i′′⎪⎭

N ′ ⎫ Az 1. jelű erőrendszer N ′′ ⎫ A 2. jelű erőrendszer ⎪ ⎪ M h′ ⎬ hatására M h′′⎬ hatására létrejövő létrejövő ⎪ ⎪ igénybevételek. igénybevételek. M c′ ⎭ M c′′⎭ Az 1. jelű erőrendszer A 2. jelű erőrendszer ′′ t′ ⎫ t ⎫ hatására létrejövő hatására létrejövő ⎬ ⎬ – elmozdulás, – elmozdulás, ′ ′′ ϕ⎭ ϕ ⎭ – szögelfordulás. – szögelfordulás. Ha az 1. és 2 jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek munkája az alábbi részekre bontható: W = W11 + W12 + W22 = W11 + W21 + W22 . W11 – az 1. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). W12 – az 1. erőrendszer munkája a 2 erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 185

► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 186 ► W22 – a 2. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). W21 – a 2. erőrendszer munkája az 1 erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). Idegen munka: az a munka, amelyet valamely erőrendszer egy másik erőrendszer által létrehozott alakváltozáson végez. Ha az 1. és 2 jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek hatására a rúdszerkezetben felhalmozott alakváltozási energia: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ( N ′ + N ′′) 2 ( M hz′ + M hz′′ ) 2 ( M hy′ + M hy′′ ) ( M C′ + M C′′ ) 2 ⎟ ⎜ U= ⎜ + + + ⎟ dx 2 AE 2 EI z 2 EI y 2GI p ⎟ (l ) ⎜ ⎜ ⎟ hajlítás ⎝ ⎠ Az integranduszban elvégezve a négyzetre emelési

műveleteket és a kapott tagokat célszerűen átcsoportosítva, az alakváltozási energia az alábbi részekre bontható: U = U11 + U12 + U 22 = U11 + U 21 + U 22 . U11 – az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon. U12 – az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a 2 erőrendszer okozta alakváltozásokon. U 22 – a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon. U 21 – a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia az 1 erőrendszer okozta alakváltozásokon. ∫ Betti tétel: W12 = W21 = U12 = U 21 . A Betti tétel leggyakrabban használt alakja: W21 = U12 . A 2. erőrendszer munkája az 1 erőrendszer által okozott alakváltozásokon egyenlő az alakváltozási energia „vegyes” részével. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 186 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának

számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom n m i =1 j =1 Vissza ◄ 187 ► W21 = ∑ Fi′′⋅ ti′ + ∑ M ′′j ⋅ ϕ ′j a 2. erőrendszer munkája az 1 erőrendszer által okozott alakváltozásokon. U12 = ⎛ N ′N ′′ M hz′ M hz′′ M hy ′ M hy′′ M c′ M c′′ ⎞ + + + ⎜⎜ ⎟⎟ dx AE EI EI I G z y p ⎝ ⎠ (l ) ∫ az alakváltozási energia „vegyes” része. c) Az integrálok kiszámítása: közelítő képlettel (Simpsonformulával). xj f h ∫ f ( x ) dx ≈ 6 ( f f (x ) fj fk fb b + 4 fk + f j ) . x = xb fb fk fj x xb xk h xj A közelítő képlet harmadfokú polinomig bezárólag (az integrandusz legfeljebb harmad-fokú polinom lehet) az integrálra pontos értéket szolgáltat. 10.3 Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása Betti tétellel 10.31 feladat: Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása y Adott: l, q, E, A, Iz . Feladat: q x B A l a) A rúd B jelű

keresztmetszeténél az S pont y irányú, ν B elmozdulásának kiszámítása. b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, ϕ B szögelfordulásának kiszámítása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 187 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 188 ► Kidolgozás: a) A rúd B jelű keresztmetszeténél az S pont (a középvonal B pontja) y irányú, ν B elmozdulásának kiszámítása: Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú FBy erő és a hozzá tartozó támasztó erők. Az 1. ER igénybevételei: Ty′ = Ty és M hz′ = M hz A 2. ER igénybevételei: Ty′′ = FBy t B és M hz′′ = FBy mB , ahol t B és mB az egységnyi FBy -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. M

′ M ′′ W21 = U12 , ahol W21 = ν B FBy és U ≈ U H , ⇒ U12 = ∫ hz hz dx . Iz E (l ) ν B FBy = ∫ M hz mB FBy (l ) IzE ⇒ dx , Az 1. ER igénybevételi ábrái: y MA = ql 2 2 y q x FAy = ql A x B tB l x ql 2 2 FBy =1N l B ql M hz′ M hz mB dx . Iz E (l ) ∫ A 2. ER igénybevételi ábrái: ql A Ty′ νB = MA x −1 mB 2 ql 8 x x −l Az elmozdulás kiszámítása: ⎤ M m 1 l ⎡ ql 2 ql 2 ⎛ l ⎞ ν B = ∫ hz B dx = l − + 4 ( ) ⎜ − ⎟ + 0 ⋅ 0⎥ = ⎢ 8 ⎝ 2⎠ Iz E Iz E 6 ⎣ 2 ⎦ (l ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 188 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 189 ► 1 l ⎡ ql 3 ql 3 ⎤ 1 l ⎛ 3ql 3 ⎞ − − = ⎜− ⎟. I z E 6 ⎢⎣ 2 4 ⎥⎦ I z E 6 ⎝ 4 ⎠ ql 4 νB = − ↓ Negatív előjel: a B pont lefelé, az FBy -nal ellenté8EI z tesen mozdul el.

= b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, ϕ B szögelfordulásának kiszámítása: 1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú M Bz nyomaték és a hozzá tartozó támasztó erők. Az 1. ER igénybevételei: Ty′ = Ty és M hz′ = M hz A 2. ER igénybevételei: Ty′′ = M Bz tϕ és M hz′′ = M Bz mϕ , ahol tϕ és mϕ az egységnyi M Bz -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. W21 = U12 ⇒ M Bz ϕ B = ∫ M hz mϕ M B z Iz E (l ) Az 1. ER igénybevételi ábrái: y MA = ql 2 2 A 2. ER igénybevételi ábrái: y ql q x FAy = ql A B 1 x ql 2 2 x tϕ ql M hz′ M Bz = 1Nm 1Nm B A Ty′ dx . MA mϕ ql 2 8 x 1 x x A szögelfordulás kiszámítása: ϕ B = −1 −1 ⎤ 1 l ⎡ ql 2 ql 2 − + 1 4 ( ) ( −1) + 0⎥ = ⎢ EI z 6 ⎣ 2 8 ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Szakirodalom Vissza ◄ 189 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 190 ► 1 l ⎛ ql 2 ql 2 ⎞ ql 3 . Negatív előjel: a B keresztmetszet a − − = − ⎜ ⎟ EI z 6 ⎝ 2 2 ⎠ 6 EI z felvett nyomatékkal ellentétesen fordul el. = 10.32 feladat: Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása y F Adott: F, a, E, A, Iz. C A B Feladat: FAy a FBy a x a a) A rúd C jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, ν C elmozdulásának kiszámítása. b) A rúd C jelű keresztmetszeténél a z tengely körüli ϕC szögelfordulás kiszámítása. Kidolgozás: a) A rúd C jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, ν C elmozdulásának kiszámítása: Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a C pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú FCy erő és a hozzá tartozó támasztó erők.

Az 1. ER igénybevételei: Ty′ = Ty és M hz′ = M hz A 2. ER igénybevételei: Ty′′ = FCy tC és M hz′′ = FCy mC , ahol tC és mC az egységnyi FCy -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. M ′ M ′′ W21 = U12 , ahol W21 = ν C FCy és U ≈ U H , ⇒ U12 = ∫ hz hz dx . Iz E (l ) ν C FCy = ∫ (l ) M hz mC FCy Iz E dx , Az 1. ER támasztó erői: ⇒ νC = M hz mC dx . Iz E (l ) ∫ M a = 0 ⇒ FBy = F / 2 ↑ . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 190 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 191 ► M b = 0 ⇒ FAy = F / 2 ↑ . 3 A 2. ER támasztó erői: M a = 0 = 2aFBy + 3a ⋅1 ⇒ FBy = − N ↓ , 2 1 M b = 0 = −2aFAy + a ⋅1 ⇒ FAy = N ↑ . 2 Az 1. ER igénybevételi ábrái: A 2. ER igénybevételi ábrái: y y FCy = 1N F A FAy Ty C B a a x FBy A FAy a FBy a −F 2 mC x

Az elmozdulás kiszámítása: ν c = 0,5 0,5 −1 x −1 x −0,5a − Fa 2 = 2a tC F 2 x M hz C x B −a M hz mC dx = EI z (l ) ∫ ⎤⎫ 1 ⎧a ⎡ Fa 3a ⎛ Fa ⎞ a ⎛ Fa ⎞ a ⎤ a ⎡⎛ Fa ⎞ a + 0⎥ ⎬ = ⎨ ⎢0 + 4 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ + ⎢⎜ ⎟ +4 Iz E ⎩ 6 ⎣ 4 4 ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎦ 6 ⎣⎝ 2 ⎠ 2 ⎦⎭ 1 ⎪⎧ a ⎛ Fa 2 Fa 2 ⎞ a ⎛ Fa 2 3Fa 2 ⎞ ⎪⎫ Fa 3 + + ⎨ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎬ = 4 ⎠ 6⎝ 4 4 ⎠ ⎭⎪ 4 I z E I z E ⎩⎪ 6 ⎝ 4 a C pont felfelé mozdul el. = ↑ . Pozitív előjel: b) A rúd C jelű keresztmetszeténél a z tengely körüli ϕC szögelfordulás kiszámítása: Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a C pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú M Cz nyomaték és a hozzá tartozó támasztó erők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 191 ► Mechanika Rúdszerkezetek

alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 192 ► Az 1. ER igénybevételei: Ty′ = Ty és M hz′ = M hz A 2. ER igénybevételei: Ty′′ = M Cz tϕ és M hz′′ = M Cz mϕ , ahol tϕ és mϕ az egységnyi M Cz -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. W21 = U12 ⇒ M Cz ϕC = ∫ M hz mϕ M C z (l ) Az 1. ER igénybevételi ábrái: IzE dx . A 2. ER igénybevételi ábrái: y y M Cz = 1Nm F A FAy Ty M hz a a x C B FBy A 1 2a a x C B 2a 1 2a a tϕ F 2 x 1 x mϕ 1 2a −F 2 − Fa 2 2a x 1 x −0,5 −1 M m A szögelfordulás kiszámítása: ϕc = ∫ h z dx = Iz E (l ) = 1 ⎧a ⎡ Fa 1 Fa 1 ⎤ a ⎡ Fa 1 Fa 3 ⎤ ⎫ + + ⎢ +4 +0 ⎬= ⎨ ⎢0 + 4 ⎥ Iz E ⎩ 6 ⎣ 4 4 2 2⎦ 6 ⎣ 2 2 4 4 ⎥⎦ ⎭ = 1 ⎧ a ⎛ Fa Fa ⎞ a ⎛ Fa 3Fa ⎞ ⎫ Fa 2 + + ⎨ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎬ = 4 ⎠ 6⎝ 4 4 ⎠⎭ 4I z E IzE ⎩6 ⎝ 4 . Pozitív előjel: a C ke-

resztmetszet a felvett nyomatékkal megegyező irányban fordul el. A feladat megoldásának menetéből látszik, hogy a BC rúdszakaszon minden keresztmetszetnek ugyanakkora a szögelfordulása. 10.33 feladat: Rúdszerkezet elmozdulása Feladat: A tartó B keresztmetszeténél az S pont x irányú, uB elmozdulásának meghatározása. Adott: I z E = állandó, AE = állandó, F. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 192 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 193 ► y Kidolgozás: D B s Betti tétel: l l 1. ER: az adott terhelés (F) és a hozzá tartozó F támasztó erők. E 2. ER: a B pontban ható, x irányú, l tetszőleges nagyságú FBx erő és a hozzá s A x tartozó támasztó erők. Az 1. ER igénybevételei: N ′ = N , T ′ = T és M hz′ = M hz A 2. ER igénybevételei: N ′′ = FBx nB , T ′′ = FBx t B és M hz′′

= FBx mB , ahol nB , t B és mB az egységnyi FBx -hez tartozó rúderő, nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. Az 1. ER támasztó erői: M a = 0 ⇒ FBy = F ↑ , M c = 0 ⇒ FAy = − F ↓ , Fx = 0 ⇒ FAx = − F ← . A 2. ER támasztó erői: M a = 0 ⇒ FBy = 2 N ↑ , M c = 0 ⇒ FAy = −2 N ↓ , Fx = 0 ⇒ FAx = −1 N ← Adott (1.) erőrendszer: A 2. erőrendszer: y y D B D B s l l F s l FBy E l A l FBy FAx C E l s FBx = 1 N F Ax C x FAy Az 1. ER igénybevételi ábrái: s A x FAy A 2. ER igénybevételi ábrái: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 193 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A E D s B A T E D B 194 ► s tB F F −F −F s −l − 2l − Fl N F nB F 2 s 2 W21 = U12 , ahol W21 = uB FBx M ′ M ′′ N ′N ′′ U12 = ∫ hz hz dx + ∫ dx . Iz E AE (3l ) (3l ) ∫

(3l ) M hz mB FBx IzE s −2 −2 mB s − Fl 1 1 s M hz uB FBx = ◄ Vissza dx + ∫ N nB FBx (3l ) AE és 1 s U ≈ UH +UN , ⇒ dx ⇒ M m N nB uB = ∫ hz B dx + ∫ dx . I E AE z l l (3 ) (3 ) Az integrálok kiszámítása: = M hz mB ds = I E z (3l ) ∫ 1 ⎧l ⎡ Fl l 3 ⎤ l⎡ ⎤ + Fl ⋅ l ⎥ + ⎢ Fl ⋅ l + 4 Fl l + Fl ⋅ 2l ⎥ + ⎨ ⎢0 + 4 2 2 2 Iz E ⎩6 ⎣ ⎦ 6⎣ ⎦ l⎡ Fl ⎤⎫ + ⎢ Fl ⋅ 2l + 4 l + 0 ⎥ ⎬ = 6⎣ 2 ⎦⎭ 1 ⎧ 2 Fl 3 9 Fl 3 4 Fl 3 ⎫ 1 ⎛ 15 3 ⎞ 5 Fl 3 . + + = ⎨ ⎬ ⎜ Fl ⎟ = 6 6 ⎭ Iz E ⎝ 6 Iz E ⎩ 6 ⎠ 2I z E Nn 1 ⎧ 2l ⎫ 4 Fl ∫(l ) AE ds = AE ⎨⎩ 6 [ F ⋅ 2 + 4 ⋅ F ⋅ 2 + F ⋅ 2]⎬⎭ = AE . = 5 Fl 3 4 Fl uB = + 2 I z E AE . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 194 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 195 ► 10.34 feladat:

Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása Feladat: a) A C keresztmetszet y irányú vC elmozdulásának meghatározása. b) A B keresztmetszet z tengely körüli ϕ B szögelfordulásának meghatározása. y Adott: A nyírásból származó M0 x A B C alakváltozási energia elhanyagolható. l = 1, 2 m, l I z = 50000 mm 4 , M 0 = 3,1 kNm, E = 2,1 ⋅105 MPa. Kidolgozás: a) A C keresztmetszet y irányú vC elmozdulásának meghatározása: Betti tétel: W21 = U12 Az 1. erőrendszer: az eredeti terhelés ⇒ M hz′ = M h Az 1. erőrendszer igénybevételi ábrái: y A M0 l T B C M0 x M0 l l M0 x M0 l Mh M0 x A 2. erőrendszer: a C pontban működő y irányú egységnyi erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ ⇒ 195 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 196 ► M ′′h = FCy m1 . Az egységnyi FCy -hoz tartozó

igénybevételi ábrák: y A 1 kN 2 t1 − FC y = 1kN C l [−] x B 1 2 kN 1 2 x 1 2 m1 [m ] l 4 FCy vC = x 1 M h FCy m1 dx I z E (∫l ) ⇒ vC = 1 M h m1 dx . I z E (∫l ) Az integrál kiszámítása: l M 0 l M 0 l ⎤ 2l ⎡ M 0 l 3 l ⎤ 2 ⎡ = + + + ⎢ + 4 M 0 + 0⎥ = M m dx 0 4 ∫(l ) h 1 ⎢ ⎥ 6⎣ 4 8 2 4⎦ 6 ⎣ 2 4 4 8 ⎦ l ⎤ l ⎡ M0 l 3 M0 l ⎤ M0 l2 ⎥ + 12 ⎢ 8 + 8 ⎥ = 16 . ⎦ ⎣ ⎦ 2 1 M0 l 3,1⋅106 ⋅12002 Az elmozdulás: vC = = = 26, 57 mm ↑ . 16 ⋅ 5 ⋅104 ⋅ 2,1⋅105 I z E 16 A C pont FCy irányában, vagyis felfelé mozdul el. = l ⎡ M0 l M0 + 12 ⎢⎣ 8 8 b) A B keresztmetszet z tengely körüli ϕ B szögelfordulásának meghatározása: Az 1. erőrendszer: az eredeti terhelés ⇒ M hz′ = M h A 2. erőrendszer: a B pontban működő z irányú egységnyi nyomaték, ⇒ M hz′′ = M Bz m2 . Az egységnyi M Bz -hez tartozó igénybevételi ábrák: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom

Vissza ◄ 196 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y t2 197 ► M Bz = 1kNm B x A 1 l ◄ Vissza 1 l l [1/ m ] 1 l x m2 [− ] 1 kNm x 1 M Bz ϕ B = 1 M h M Bz m2 dx I z E (∫l ) ⇒ ϕB = 1 M h m2 dx . I z E (∫l ) Az integrál kiszámítása: M 1 M l l⎡ ⎤ l ∫(l ) M h m2 dx = 6 ⎢⎣0 + 4 20 2 + M 0 1⎥⎦ = 6 2 M 0 = 30 . 1 M0 l 3,1⋅106 ⋅1200 A szögelfordulás: ϕ B = . = = 0,118 rad Iz E 3 3 ⋅ 5 ⋅104 ⋅ 2,1⋅105 A B keresztmetszet óramutató járásával megegyező irányban ( M Bz irányában) fordul el. 10.35 feladat: Rúdszerkezet elmozdulása y Adott: l = 2 m, A q I z = 5 ⋅104 mm 4 , C B x q = 3 kN/m , l l E = 2,1⋅105 MPa. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. Feladat: A C keresztmetszet y irányú elmozdulásának a meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄

197 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 198 ► Kidolgozás: Az 1. erőrendszer: az eredeti terhelés ⇒ M hz′ = M h A 2. erőrendszer: a C pontban működő y irányú egységnyi erő ⇒ M hz′′ = FCy mC . Betti tétel: W21 = U12 . 1 FCy vC = M h FCy mC dx I z E (2∫l ) ⇒ vC = 1 M h mC dx . I z E (2∫l ) y A ql 2 q C B l ql 2 y x l 1 kN x tC 2 kN l l [−] 1 Mh ql 2 ql 2 8 x C B A T ql 2 FCy = 1 kN x mC 1 [m] ql 2 4 x −1 −1 x −l Az integrál kiszámítása: 4 ⎤ l⎡ ⎛ q l 2 ⎞ −l l⎡ −l ⎤ ql 0 4 0 0 4 0 0 M m dx = + − + + + ⋅ ⋅ + = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ∫(l ) h C ⎢⎣ ⎥⎦ 24 . 6⎣ 6 2 ⎝ 8 ⎠ 2 ⎦ 4 3 ⎛⎜⎝ 2 ⋅103 ⎞⎟⎠ 1 ⎛ q l4 ⎞ Az elmozdulás: vC = = = 190, 5 mm ↑ . ⎜ ⎟ I z E ⎝ 24 ⎠ 24 ⋅ 5 ⋅104 ⋅ 2,1 ⋅105 A C pont y irányába ( FCy irányába), vagyis felfelé

mozdul el. 10.36 feladat: Rúdszerkezet elmozdulása Adott: A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = 102 mm 2 , E = 2,1 ⋅ 105 MPa. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 198 ► Mechanika Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y Feladat: A C pont y irányú vC elmozdulásának a meghatározása. 2m 1 2 A Kidolgozás: ◄ Vissza 4 3 2m 2m 199 ► C 5 4kN B z 2m Az 1. erőrendszer: az adott terhelés ⇒ N i′ = N i y A 2. erőrendszer: a C pontban működő 4 C y irányú egységnyi erő és a hozzá tartozó 2m 1 3 5 FCy támasztó erők ⇒ N i′′ = FCy ni . 2 A B z Betti tétel: W21 = U12 . 2m 2m 2m 5 5 N i FCy ni N i ni li . FCy vC = ∑ ∫ dl ⇒ vC = ∑ Ai E i =1 li i =1 Ai E Rúd Ni[kN] ni[-] li[m] Ai[m2] E[kPa] 1 2 3 4 5 2,83 -2 -2,83 4 -5,66 2,83 4 2,83 4 2,83 -0,71 0,5 0,71 -1 1,41 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 2,1⋅108 2,1⋅108 2,1⋅108

2,1⋅108 2,1⋅108 −2, 71⋅10−4 −1,90 ⋅10−4 −2, 71⋅10−4 −7, 62 ⋅10−4 −10, 75 ⋅10−4 −2,569 ⋅10−3 vCy = −2,569 mm. C 10.37 feladat: Rúdszerkezet elmozdulása 2kN/m ∑ N i ni li [m] Ai E Adott: I z = 8 ⋅106 mm 4 , E = 2 ⋅105 MPa. y B 2m x A 2m Feladat: A C pont szögelfordulásának a meghatározása. Megoldás: A C pont szögelfordulása: ϕC = −1, 67 ⋅10−2 rad A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 199 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 200 ► 11. Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása Statikailag határozott szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek száma megegyezik a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak (a

statikai ismeretlenek) számával. Statikailag határozatlan szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek száma kisebb, mint a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak száma. A statikai ismeretlenek száma nagyobb mint a rendelkezésre álló statikai egyenletek száma. Példa statikailag határozatlan szerkezetre: y Statikai ismeretlen: FAx , FAy , M Az , FBx , FBy , M Bz , B C 2 db. ism. F12 x , F12 y , vagy F21x , F21 y . 2 3 db. ism. Az ismeretlenek száma: 8 db. A statikai egyenletek száma: 2 ⋅ 3 = 6 db. A szerkezet statikailag kétszeresen határozatlan. 1 3 db. ism. A x 11.1 A Castigliano-tétel y Mi Fi Pi A x B A tartó terhelése: Fi , M i (i = 1, 2, , n) . A tartó támasztóerői: FA , FB A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 200 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 201 ► A támasztóerők és az alakváltozási energia is a terhelés függvényei: FA = FA ( Fi , M i ), FB = FB ( Fi , M i ), U = U ( Fi , M i ) . Síkbeli terhelés esetén: U = U ( Fxi , Fyi , M zi ) A Castigliano-tétel (síkbeli esetben): ui = ∂U , ∂Fxi vi = ∂U , ∂Fyi ϕi = ∂U . ∂M zi Az 1. és 2 összefüggés: A szerkezetet terhelő Fi erő támadáspontjának az Fi erő irányba eső elmozdulása egyenlő a szerkezet alakváltozási energiájának az Fi erő szerint vett deriváltjával. A 3. összefüggés: A szerkezetet terhelő M zi nyomaték támadáspontjában levő keresztmetszet ϕi szögelfordulása egyenlő az alakváltozási energiának a ϕi szögelfordulással megegyező irányú M zi nyomaték szerint vett deriváltjával. 11.2 A Castigliánó-tétel alkalmazása statikailag határozatlan rúdszerkezetekre Feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszerének

és igénybevételeinek meghatározása. A feladat megoldásának gondolatmenetét egy példán mutatjuk be: a) A tartó statikailag határozottá tétele: y M Az FAx F B A F Ay FBy x Bejelöljük a támasztó erőrendszer négy skaláris koordinátáját. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 201 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 202 ► Módosítjuk a megtámasztást ⇒ statikailag határozott tartó (törzstartó). A szerkezet többféle módon (többféle változatban) tehető statikailag határozottá: Módosított Változat Törzstartó y terhelés M Az F 1. F és FBy B x FAx A FBy F Ay y 2. M Az A FAx F F Ay B x F és M Az x F és FAy FBy y M Az 3. FAx F B A FAy FBy A statikailag határozottá tett tartóra továbbra is hat a

megfelelő támasztóerő koordináta ⇒ ezt a koordinátát a terheléshez soroljuk. A statikailag határozottá tett szerkezet (törzstartó) igénybevételei két részből állnak: az eredeti terhelésből származó részből és az ismeretlen támasztóerő koordinátából származó részből. A tartó hajlító igénybevételének M hz összefüggése attól függ, hogyan tesszük a tartót statikailag határozottá: 1. változat esetén: M hz = M h 0 + FBy m1 2. változat esetén: M hz = M h 0 + M Az m2 3. változat esetén: M hz = M h 0 + FAy m4 b) Olyan kinematikai korlátozásnak az előírása, ami az elhagyott kényszert helyettesíti: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 202 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 203 ► A kinematikai korlátozás attól függ, hogyan tesszük a tartót statikailag

határozottá: 1. változat esetén: ν B = 0 2. változat esetén: ϕ A = 0 3. változat esetén: ν A = 0 c) A Castigliano tétel alkalmazása: - A Castigliano tétel alkalmazása az 1. változat esetén: ∂U ∂ νB = 0 = = ∂FBy ∂FBy νB = ∫ (l ) (M h0 + FBy m1 ) 2I z E 2 dx . ⎤ 1 1 ⎡ 2 M F m m dx M m dx F m dx + = + ⎢ ⎥ = 0. ( ) 1 1 h0 By 1 h0 1 By ∫ I z E (∫l ) I z E ⎢⎣ (∫l ) ⎥⎦ (l ) ∫ M h0 m1dx FBy = − (l ) ∫ m dx 2 1 . (l ) Az FBy ismeretében a többi támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható. - A Castigliano tétel alkalmazása a 2. változat esetén: 2 ⎤ ∂U ∂ ⎡ ( M h 0 + M Az m2 ) ϕA = 0 = dx ⎥ . = ⎢∫ ∂M Az ∂M Az ⎢⎣ ( l ) 2I z E ⎥⎦ ⎤ 1 1 ⎡ 2 ϕA = M M m m dx M m dx M m dx + = + ( ) ⎢ ⎥=0 2 2 h0 Az 2 h0 2 Az ∫ I z E (∫l ) I z E ⎣⎢ (∫l ) (l ) ⎦⎥ M Az = − ∫M h0 m2 dx (l ) ∫ m dx 2 2 . (l ) Az M Az ismeretében a többi

támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható. A Castigliano tétel alkalmazása a 3. változat esetén is a fentiekkel analóg módon történik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 203 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 204 ► 11.3 Gyakorló feladatok statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározására 11.31 feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere y Adott: q, l, Iz, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. F Ax q x B A l M Az Feladat: FAy FBy A támasztó erőrendszer meghatározása. Megoldás: A statikai ismeretlenek száma: 4. A statikai egyenletek száma: 3. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. - A statikailag határozottá tétel egy

lehetéséges esete: A hajlító igénybevétel: M hz = M h 0 + FBy mB . y Az alakváltozási energia: 1 ( M h 0 + FBy mB ) U= ∫ dx . 2 (l ) Iz E 2 q B x A l – A kinematikai korlátozás: FBy 2 ⎧ ⎫ ∂U ∂ ⎪ ( M h 0 + FBy mB ) ⎪ νB = 0 = = dx ⎨∫ ⎬, ∂FBy ∂FBy ⎪(l ) 2I z E ⎩ ⎭⎪ 1 ⎧⎪ ⎪⎫ 2 0= ⎨ ∫ M h 0 mB dx + FBy ∫ mB dx ⎬ . I z E ⎩⎪(l ) (l ) ⎭⎪ – Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az egységnyi FBy a törzstartón: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 204 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom M Az = ql 2 2 FAy = ql ◄ Vissza 205 ► y q A x l ⋅ kN B l y A FBy = 1kN B x l l x 1kN T0 ql x tB ql 2 2 −1 M h0 ql 2 2 ql 2 8 −1 mB x x −l – Az integrálok

kiszámítása: l ⎡ ql 2 ql 2 ⎛ l ⎞ ⎤ 1 4 = − + M m dx l 4 ∫ h 0 B 6 ⎢⎣ 2 ( ) 8 ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ + 0⎥⎦ = − 8 ql , 2 ⎤ l3 l⎡2 ⎛l⎞ 4 0 m dx = l + + ⎢ ⎥= . ⎜ ⎟ ∫ 6 ⎢⎣ ⎝2⎠ ⎥⎦ 3 – Az FBy támasztóerő koordináta kiszámítása: 2 B 1 4 ql 3ql 8 FBy = − = = ↑ 3 2 l 8 m dx ∫ B 3 – A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása a statikai egyenletekből: 3 5 Fy = 0 = FAy − ql + ql ⇒ FAy = ql ↑ , 8 8 2 ql 3 ql 2 . M a = 0 = M Az − + ql 2 ⇒ M Az = 2 8 8 ∫ M h 0 mB dx 11.32 feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 205 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 206 ► Feladat: A támasztó erőrendszer meghatározása és az

igénybevételi ábrák megrajzolása. y F Adott: F, a, Iz, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. x B A a a Megoldás: 1. lehetséges megoldás: – Statikailag határozottá tétel (a görgős támasz elhagyásával) és az igénybevétel meghatározása a statikailag határozott szerkezeten: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az egységnyi FBy a törzstartón: y y F A B a x FBy = 1kN A a m1 x Fa x x a a M h0 B −2a – Kinematikai korlátozás: vB = 0 ⇒ FBy = − ∫ M h 0 m1dx (2 a ) ∫ m12 dx . (2 a ) – Az integrálok kiszámítása: a⎡ Fa ⎛ 3 ⎞ ⎤ a 2 2 M h 0 m1dx = ⎢ Fa ( −2a ) + 4 ⎜ − a ⎟ + 0 ⎥ = ( −2 Fa − 3Fa ) = ∫ 6 2 2 6 ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ (2 a ) 5 = − Fa 3 , 6 ∫ (2 a ) m12 dx = 2a 8 ⎡⎣ 4a 2 + 4 ⋅ a 2 + 0 ⎤⎦ = a 3 . 6 3 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 206 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek

támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 207 ► - Az FBy kiszámítása: ∫ 5 − Fa 3 15 5 (2 a ) FBy = − F = F ↑. =− 6 = 2 8 3 48 16 m1 dx ∫ a (2 a ) 3 – A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből: y 11 Fy = 0 ⇒ FAy = F ↑ . F M Az 16 x B 5 M a = 0 = M Az − aF + 2a F , A 16 5 F a a 16 FAy 5 3 M Az = aF − aF = aF . M h 0 m1dx 8 8 - Az igénybevételi ábrák megrajzolása: Ty 11 16 M Az F x − 165 F M hz 3 8 aF x − 165 aF 2. lehetséges megoldás: A tartót másképpen tesszük statiakilag határozottá. – Statikailag határozottá tétel (a befalazás csuklóval történő helyettesítésével) és az igénybevétel meghatározása a statikailag ha-tározott szerkezeten: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az egységnyi M Az a törzstartón A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 207 ►

Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ B x 208 ► y y F A B x a M h0 Fa 2 a M Az = 1Nm A a x a m2 1 2 1 – Kinematikai korlátozás: ϕ A = 0 ⇒ M Az = − ∫ x M h 0 m2 dx (2 a ) ∫ m22 dx . (2 a ) – Az integrálok kiszámítása: a⎡ ⎛ Fa ⎞ 3 ⎛ Fa ⎞ 1 ⎤ M h 0 m2 dx = ⎢0 + 4 ⎜ − ⎟ ⎥+ ⎟ +⎜− ∫ 6 4 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎦ ⎣ (2 a ) 2 2 a ⎡ Fa 1 Fa 2 ⎛ Fa ⎞ 1 ⎤ Fa ⎛ 3 1 ⎞ Fa ⎛ 2 ⎞ + ⎢− + 4⎜ − = − − + − = − , ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6⎣ 2 2 6 ⎝ 4 4⎠ 6 ⎝ 4⎠ 4 ⎝ 4 ⎠ 4⎦ 2 ⎤ 4a 2 2a ⎡ ⎛1⎞ 2 m dx = 1 + 4 = a. ⎢ 2 ⎜ ⎟ + 0⎥ = ∫ 6 2 6 3 ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ (2 a ) ⎣ ⎦ – Az M Az kiszámítása: Fa 2 M h 0 m2 dx ∫ − (2 a ) 4 = 3Fa . =− M Az = − 2 2 8 m dx ∫ 2 a (2 a ) 3 Az M Az -re ugyanazt a megoldást kaptuk, mint az előző esetben.

A támasztóerők többi koordinátáinak a kiszámítása statikai egyensúlyi egyenletekből legyen önállóan elvégzendő feladat. 11.33 feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere Feladat: A berajzolt támasztó erőkoordináták meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 208 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Adott: F, a, Iz, A, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. ► F Ax F a A FBx B a x FBy FAy A statikai ismeretlenek száma: 4. A statikai egyenletek száma: 3. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. y – A statikailag határozottá tétel egy lehetéséges esete: a Az igénybevételek: N = N 0 + FBx n1 , A M hz = M h 0 + FBx m1 . a Az alakváltozási energia: F B FBx x a 1 ( M h 0 + FBx m1 ) 1 ( N 0 + FBx n1 ) ds ds

. + 2 (∫l ) 2 (∫l ) IzE AE 2 U= 209 y a Megoldás: ◄ Vissza 2 – A kinematikai korlátozás: ( M h 0 + FBx m1 ) m1 ds + ( N 0 + FBx n1 ) n1 ds = 0 . ∂U =∫ uB = ∫ ∂FBx ( l ) Iz E AE (l ) – Az FBx támasztóerő koordináta meghatározása: 1 1 M h 0 m1ds + N 0 n1ds ∫ I z E (l ) AE (∫l ) FBx = − . 1 1 2 2 m1 ds + n1 ds I z E (∫l ) AE (∫l ) –Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 209 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Az eredeti terhelés a törzstartón: y Vissza ◄ 210 ► Az egységnyi FBx a törzstartón: F F A x B y F 2 a a 1kN A F 2 N0 F a x Fa T0 n1 [ − ] 1 t1 x F 2 M h0 Fa 2 x x x m1 − Fa2 – Az integrálok kiszámítása: 2 ∫ M h 0 m1ds = 0, ∫ m1 ds = 0, (3 a ) FBx = 1kN x B a

(3 a ) ∫ N 0 n1dx = Fa ⋅1, (3 a ) x ∫ n12 dx = 1⋅ 2a . (3 a ) – Az FBx támasztóerő koordináta kiszámítása: FBx = − ∫ N 0 n1dx (3 a ) ∫ 2 1 n dx =− F 2 ←. (3 a ) – A támasztóerő-rendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből: F −F Fx = 0 = F − + FAx ⇒ FAx = ← y 2 2 F a F F Ax F x 2 A B M a = 0 = − aF + 2aFBy ⇒ FBy = ↑ 2 a a F FBy FAy M b = 0 = −aF − 2aFAy ⇒ FAy = − ↓ 2 11.34 feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 210 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 211 ► Feladat: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása. b) A támasztóerők

meghatározása. c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megrajzolása. d) A tartó veszélyes keresztmetszetének meghatározása. y Adott: l = 2 m, F = 32 kN, I z = 50000 mm 4 , A F B C x D 2l l l E = 2,1 ⋅ 105 MPa. A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk. Kidolgozás: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának y meghatározása: F FAx A B C x Az ismeretlen támasztóerő D koordináták száma: 4. 2l l l FCy Statikai egyenletek száma: 3. FAy FBy A tartó statikailag egyszeresen határozatlan. b) A támasztóerők meghatározása: – Statikailag határozottá tétel: A tartót háromféleképpen lehet határozottá tenni: 1. Elhagyjuk az A pontban az y irányú támasztást 2. Elhagyjuk a B pontban az y irányú támasztást 3. Elhagyjuk a C pontban az y irányú támasztást Ha a harmadik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei: Ty = T0 + FCy tC , M hz = M h 0 + FCy mC . –

A statikailag határozottá tett tartó igénybevételi ábrái: Az eredeti terhelés a törzstartón: Az FCy a törzstartón: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 211 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom y A FAx′ ◄ Vissza B C FAx′′ x ► FCy y F 212 A B x C D D FAy′ 2l l FBy′ l 2l l l FBy′′ FAy′′ M a = 0 = 2 l FBy − 3 l F , M a = 0 = 2 l FBy + 4 l FCy ⇒ FBy = 1, 5 F . ⇒ FBy = −2 FCy . M b = 0 = −2 l FAy − l F , M b = 0 = −2 l FAy + 2 l FCy ⇒ FAy = −0, 5 F , ⇒ FAy = FCy Fx = 0 = FAx . Fx = 0 = FAx . Az eredeti terhelés, valamint az egységnyi FCy értékhez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón: T0 [ kN ] 1 F x − 12 F M h 0 [ kNm ] [1] tC −1 mC x [m ] Fl x x 2l – Kinematikai előírás: a C pont y irányú elmozdulása zérus:

∂U M hz2 =0. Castigliano tétel: vC = U= ∫ dx , ∂FCy 2 Iz E (4 l ) M hz = M h 0 + FCy mC ⇒ U= ∫ (4 l ) vC = ⎛ ⎜ ⎝ M h 0 + FCy mC ⎞⎟⎠ 2 Iz E 2 dx .0 ∂U 1 ⎛ ⎞ =0= ⎜ M h 0 + FCy mC ⎟ mC dx . ∫ ⎝ ⎠ ∂FCy I z E (4l ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 212 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom 1 ⎛ 0= ⎜ M h 0 mC dx + FCy I z E ⎜⎝ (4∫l ) Vissza ◄ 213 ► ∫(4l ) M h 0 mC dx ⎞ 2 ∫(4l ) mC dx ⎟⎟ ⇒ FCy = − m2 dx ⎠ ∫ C (4 l ) Az integrálok kiszámítása: 2l ⎡ ⎤ ⎛Fl⎞ ∫(4l ) M h 0 mC dx = 6 ⎢⎣0 + 4 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ( −l ) + ( F l ) ( −2 l )⎥⎦ + l⎡ 13 F l 3 ⎛F l⎞⎛ 3 ⎞ ⎤ + ⎢ ( F l ) ( −2 l ) + 4 ⎜ − l + 0 = − , ⎟⎜ ⎟ ⎥ 6⎣ 6 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎦ 2l 2 2 2 ∫(4l ) mC dx = 6 ⎡⎣0 + 4 ( −l ) + ( −2 l )

⎤⎦ + 2l ⎡ 32 l 3 2 2 −2 l ) + 4 ( −l ) + 0 ⎤ = . ( ⎦ 6 ⎣ 6 13 F l 3 − 13 6 FC y = − = F = 13 kN. 3 32 l 32 6 Az FCy pozitív, tehát felfelé mutat. + – A hiányzó támasztóerő koordináták meghatározása statikai egyensúlyi egyenletekből: Fx = 0 = FAx , M a = 0 = 2 l FBy − 3 l F + 4l FCy , FBy = 22 kN . M b = 0 = −2 l FAy − l F + 2l FCy , FAy = −3 kN . c) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 213 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom A 3kN B 32kN 22kN D Vissza ◄ 214 ► C 13kN T [kN ] 19 −3 − 13 Mh x [kNm] 12 x − 26 y d) A veszélyes keresztmetszet meghatározása: Veszélyes keresztmetszet: D − . Igénybevételei: Ty = 19 kN , Mhz < 0 z M hz = −26 kNm . Az igénybevételek szemléltetése: Ty > 0 11.35 feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet

támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái y Adott: I x = állandó, A s E = 2,1 ⋅ 105 MPa. A nyírásból 2m és a húzásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk. Feladat: 3kNm C B z 4m a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 214 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ◄ Vissza 215 ► b) A támasztóerők meghatározása. c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megrajzolása. d) A tartó veszélyes keresztmetszetének meghatározása. y Kidolgozás: FAy a) A tartó statikai ismeretleneinek A s és a statikai egyenletek számának 2m meghatározása: Az ismeretlen támasztóerő koordináták száma: 4. B 3kNm Statikai egyenletek száma: 3. A tartó

statikailag egyszeresen határozatlan. FAz FCy FCz z C 4m b) A támasztóerők meghatározása: – Statikailag határozottá tétel: A tartót négyféleképpen lehet statikailag határozottá tenni. 1. Elhagyjuk az A pontban az y irányú megtámasztást 2. Elhagyjuk a C pontban az y irányú megtámasztást 3. Elhagyjuk az A pontban az z irányú megtámasztást 4. Elhagyjuk a C pontban az z irányú megtámasztást Ha a negyedik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei: T = T0 + FCz tC , M hx = M h 0 + FCz mC . – A statikailag határozottá tett tartó igénybevételi ábrái: y y FAy FAy A s F Az D 2m 2m FCy C 3kNm A s FAz D B 4m M a = 0 = −4 FCy + 3 , FCy C z B FCz z 4m M a = 0 = −4 FCy − 2 FCz , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 215 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza

◄ 216 ⇒ FCy = 0, 75 kN, ⇒ FCy = −0, 5 FCz , M d = 0 = 4 FAy + 3 , M d = 0 = −4 FCy + 2 FCz , ⇒ FAy = −0, 75 kN, ⇒ FAy = 0, 5 FCz , ► Fz = 0 = FAz . Fz = 0 = FAz + FCz ⇒ FAz = − FCz . Az eredeti terhelés, valamint az egységnyi FCz értékhez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón: A M0 B C A [kNm ] mC C B [m ] s 2 s 3 – Kinematikai előírás: a C pont z irányú elmozdulása zérus: ∂U M hx2 = 0. Castigliano tétel: wC = U= ∫ ds , ∂FCz 2 Ix E (6 m ) M hx = M h 0 + FCz mC , ⇒ U = ∫ (6 m ) wC = = ( M h 0 + FCz mC ) 2 Ix E 2 ds . ∂U 1 =0= ( M h 0 + FCz mC ) mC ds = ∂FCz I x E (6∫m ) 1 1 M h 0 mC ds + FCz ∫ mC2 ds = ∫ I x E (6 m ) IxE (6 m ) ⎞ 1 ⎛ 2 ⎜ ∫ M h 0 mC dz + FCz ∫ mC dz ⎟ . ⎟ I x E ⎜⎝ (6 m ) (6 m ) ⎠ Az integrálok kiszámítása: (C ) 4 3 ∫( B ) M h 0 mC dz = 6 ⎡⎣ −3 ⋅ 2 + 4 ( −1, 5) 1 + 0⎤⎦ = −8 kNm , = (C ) ∫m 2 C (B) dz = 2⎡ 4 2 2 2 2 0 + 4 (1)

+ ( 2 ) ⎤ + ⎡( 2 ) + 4 (1) + 0 ⎤ = 8 m 3 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 6 6 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 216 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom ∫ M h 0 mC dz FCz = − (6 m ) ∫ 2 C m dz =− Vissza ◄ 217 ► −8 = 1 kN. 8 (6 m ) Az FCz pozitív, tehát z irányába mutat. – A hiányzó támasztóerő koordináták meghatározása statikai egyensúlyi egyenletekből: FAy = −0, 25 kN, FCy = 0, 25 kN, FAz = −1 kN. c) Igénybevételi ábrák: A N [ kN ] 0, 25 T B 1 [ kN ] Cs s 3kNm s 0, 25 1 M h [ kNm ] 2 s 1 d) A veszélyes keresztmetszet meghatározása: Veszélyes keresztmetszetek: Hajlításra és nyírásra: B − , húzásra: B + . 11.36 feladat: Statikailag határozatlan rácsos tartó támasztó erőrendy szere C1 4 5 2m 2 3 Adott: Ai E = állandó, (i = 1, 2,., 7) 6 A (A rácsos

tartóra vonatkozó, Statikában 2m 2m tanult feltételezésből következően valamennyi rúd igénybevétele tiszta húzás-nyomás) 7 4kN B x 2m Feladat: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 217 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 218 ► b) A támasztóerők meghatározása. Kidolgozás: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása: Ismeretlenek: FAy , FAx , FBy , FCx , statikai egyenletek száma 3, a tartó egyszeresen statikailag határozatlan b) A támasztóerők meghatározása: Elhagyjuk a C pontban a megtámasztást, és előállítjuk a rúderőket y N i = N 0i + FCx ni , ( i = 1, 2,., 7 ) alakban FCx C 1 4 uC = 7 ( N +

FCx ni ) ni dl ∂U = 0 = ∑ ∫ 0i , ∂FCz Ai E i =1 li 7 FCx = − ∑N i =1 nl A 5 2 3 6 FAx FAy 7 4kN B x FBy 0i i i 7 ∑n l 2 i =1 Rúd 1 2 3 4 5 6 7 i i N0i[kN] 0 0 2,83 4 -2,83 -2 5,66 ∑ FCx = − li[m] 2 2 2,83 4 2,83 4 2,83 ni[-] -1 0 0,71 0 -0,71 0,5 0 N0inili[kNm] 0 0 6,36 0 6,36 -4 0 8,72 ni2li [m] 2 0 1,41 0 1,41 1 0 5,82 8, 72 = −1,5 kN, FAx = 1,5 kN, FAy = −1, 25 kN, FBy = 5, 25 kN. 5,82 11.37 feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 218 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Adott: I z E = állandó, A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk. ◄ Vissza 219 ► y A 4 kN m Feladat: 2m x C B 2m a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre

álló statikai egyenletek számának meghatározása. b) A támasztóerők meghatározása. Megoldás: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: Ismeretlenek: FAy , FAx , FBy , FCy , statikai egyenletek száma 3, a tartó egyszeresen statikailag határozatlan b) A támasztóerők meghatározása. FAx = 0 kN, FAy = 3 kN, FBy = 10 kN, FCy = 3 kN 11.38 feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái Feladat: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása. Adott: I z E = állandó, A nyírásból és a húzásnyomásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk. C 2kN/m b) A támasztóerők meghatározása. y B 2m x A 2m Megoldás: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 219 ► Mechanika Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek meghatározása

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 220 ► a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: Ismeretlenek: FAy , FAx , FBy , FBx , statikai egyenletek száma 3, a tartó egyszeresen statikailag határozatlan b) A támasztóerők meghatározása. FAx = −1, 75 kN, FAy = 0, 25 kN, FBx = −2, 25 kN, FBy = −0, 25 kN A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 220 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Szakirodalom Vissza ◄ 221 ► Szakirodalom [1] M. Csizmadia B – Nándori E: Mechanika mérnököknek Szilárdságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002 [2] Beer, F.P – Johnston, ER: Mechanics of materials, McGrawHill Inc, New-York, 1992 [3] Budinas, R.G: Advanced Strength and Applied Sterss Analysis, McGraw-Hill International Edition, 1999. [4] Schell, W. – Gross, D – Hauger, W: Technische Mechanik 2 – Elastostatik,

Springer Verlag Berlin Heidelberg New-York, 1995. [5] NME Mechanikai Tanszék Munkaközössége: Mechanika Példatár II., Tankönyvkiadó Budapest, 1981 [6] Égert J. – Jezsó K: Szilárdságtan példatár, Universitas Győr Kht. 2004 [7] Jenkins, C. H M – Khanna, S K:Mechanics of materials, Elsevier Academic Press, 2005. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Szakirodalom Vissza ◄ 221 ►