Fizika | Felsőoktatás » Giczi Ferenc - Merev testek mechanikája, előadás

M Merev testek k mechanikája h ikáj Giczi Ferenc SZE, Fizika és Kémia Tanszék 2005. Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A merev test helyzete A merev test helyzetét a térben egyértelműen meghatározza a merev test három tetszőleges, de nem egy egyenesbe eső pontjának helyzete. A három pont helyzetének megadásához 9 adatra lenne szükség. szükség (x A , y A , zA ) ( x B , y B , zB ) ( x C , y C , zC ) A három pont azonban egymástól mindig ugyanolyan távolságban marad, ezért: ( x A  x B )2  ( y A  y B )2  ( z A  zB )2  d2AB (és még két hasonló egyenlet) A 9 adat közül csak 6 független egymástól. 2 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A merev test helyzete A merev test helyzetét, y , ha a test szabadon mozoghat, 6 független adat határozza meg, azaz a szabad merev testnek 6 „szabadsági foka” van. foka van (Euler, 1707-83) 3 Merev testek mechanikája Széchenyi István

Egyetem A merev test haladó mozgása Transzláció • A test minden i d pontja j egyidejűleg id jűl egymással á l párhuzamos és egybevágó görbéket ír le. • A test minden pontjának sebessége ugyanaz. • A ttestt térbeli té b li irányítása i á ítá nem változik. ált ik Haladó mozgásnál elegendő a test egyetlen pontjának mozgását megadnunk megadnunk. 4 Merev testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A merev test tengely körüli forgása R tá ió Rotáció Egy meghatározott egyenesnek, a forgástengelynek pontjai helyzetüket változatlanul megtartják, a test többi pontjának pályái pedig a forgástengelyre merőleges síkokban fekvő körívek. 5 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A merev test legáltalánosabb mozgása A merev test legáltalánosabb mozgása elemi transzlációk (s) és rotációk () egymásutánjának tekinthető. s Transzlációs v tr  lim t 0 t sebesség 

Szögsebesség   lim t 0 t  s 6 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A szögsebesség mint vektor Tegyük fel, hogy a merev test egy OA tengely körül  szögsebességgel forog. A merev test tetszőleges P pontjának tjá k sebessége: b é v     r sin  v   xr A merev test legáltalánosabb mozgásánál: v  v0   x r 7 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Az erők támadásvonala A merev testre ható erők ők támadáspontja á dá j nem mindig ugyanaz. A merev test két egyenlő gy nagyságú gy g és ellentétes irányú erő hatása alatt akkor van egyensúlyban, ha az erők támadásvonalai egybeesnek. 8 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Az erővektor eltolhatósága ELTOLÁSI TÉTEL A merev testre ható erő támadáspontja a testben a támadásvonal bármely más pontjába p j áthelyezhető y anélkül,, hogy gy az erő hatása megváltozna.

9 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A merev testre ható erők összetevése Az erők támadáspontjait a támadásvonalak D metszéspontjába helyezzük. Megszerkesztjük az F1 és F2 erővektorok F eredőjét F1k 1  F2k 2 F támadáspontja a támadásvonalának bármelyik pontja lehet. Az F támadásvonalának bármely P pontjára. 10 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Párhuzamos erők összetevése Az A1 és A2 pontokban felvesszük az A1A2 támadásvonalú, egymás hatását kompenzáló p F’ és –F’ erőket és ezeket az F1-hez és az F2-höz hozzáadjuk. j OD F1  k1 F OD F2  k2 F F1k 1  F2k 2 Az erők támadáspontjait a tá dá támadásvonalak l kD metszéspontjába helyezzük és megszerkesztjük k tjük eredőjüket. dőjük t 11 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Párhuzamos erők összetevése A merev test A1 és A2 pontjaiban támadó F1, F2 párh amos és megegyező

párhuzamos megeg e ő irán irányú ú erők helyettesíthetők egy, az adott erőkkel párhuzamos erővel amelynek támadásvonala az A1A2 erővel, távolságot a két adott erő nagyságával fordított arányban osztja ketté. ketté F  F1  F2 F1k1  F2k 2 12 Merev testek mechanikája Széchenyi István Egyetem Két antiparalel és nem egyenlő nagyságú erő 13 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Két antiparalel és egyenlő nagyságú erő Két antiparalel antiparalel, egyenlő nagyságú és különböző támadás onalú erő támadásvonalú ERŐPÁR-t képez. Az erőpár a legegyszerűbb olyan erőrendszer, amely nem helyettesíthető egyetlen erővel. 14 Merev testek mechanikája Széchenyi István Egyetem Az erők összetevése általános esetben Az erőrendszer helyettesíthető egyetlen erővel ő l éés n erőpárral. ő á l 15 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Erők tengelyre vonatkozó

forgatónyomatéka k Csak olyan erő forgathat, amelynek hatásvonala nem párhuzamos a forgástengellyel. Az F erő csak akkor létesít forgást, forgást ha a támadásvonala nem metszi a tengelyt. Egy, a Z tengelyre merőleges ő síkban í ható F erő Z tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka: Mz  F  k 16 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Tengelyre vonatkozó forgatónyomaték Rögzített tengely körül forgatható merev test a tengelyre merőleges síkban ható erők esetén akkor van egyensúlyban, ha a tengelyre vonatkozó forgatónyomatékok összege zérus. F1k1  F2k 2  0 F1k 1  F2k 2 Forgásnál végzett munka W  Fs cos   Frcos   Fk W  M 17 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A forgatónyomaték mint vektor k  r sin  M  Fk  rF sin  Az r és F vektorszorzatának abszolút b lút értéke. é ték A P pontban támadó F erőnek

valamely O pontra vonatkozó forgatónyomatéka: M  r xF 18 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Pontra vonatkozó forgatónyomaték Egy rögzített O ponttal rendelkező merev test tetszés szerinti F1, F2, erők hatása esetén akkor van egyensúlyban, ha az erők g y O ppontra vonatkozó forgatónyomatékainak vektori összege zérus. M i 0 19 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Erőpár forgatónyomaték M  r1 x F  r 2 x  F M  r1 x F  r 2 x F M  r 1 - r 2  x F M  l xF M  Fl sin   Fd 20 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Erőpár forgatónyomatéka M  l xF Az erőpár forgatónyomatéka független az O vonatkoztatási pont helyzetétől, iránya merőleges az erőpár síkjára, nagysága pedig az egyik erő nagyságának és a tá dá támadásvonalak l k d tá távolságának l á á k a szorzata. t M  Fl sin   Fd 21 Széchenyi

István Egyetem Merev testek mechanikája Erőpár forgatónyomatéka Az erőpár hatása szempontjából csak a forgatónyomaték iránya és nagysága számít. l, F és az erők támadáspontja külön-külön nem lényegesek. y g Fd  F1d1 Az erőpár M nyomatékvektora önmagával párhuzamosan tetszés szerint eltolható, vagyis M kezdőpontja a merev test bármely pontjába helyezhető. helyezhető Ebből következik, hogy merev testre ható két vagy több erőpár összetehető egyetlen erőpárrá, amelynek M nyomatéka az egyes erőpárok M1, M2 nyomatékainak y eredője. j 22 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Tetszőleges erőrendszer redukálása A merev ttestt A1,.,A An pontjaiban tj ib támadó F1,.,Fn erők rendszere helyettesíthető egy egy, a test tetszőleges O pontjában támadó erővel és egy M nyomatékú y erőpárral. p n F  Fi i1 n M   r i  Fi i1 1 A merev test egyensúlyának gy y feltétele n F 

 Fi  0 i1 n M   r i  Fi  0 i 1 i 23 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A merev test súlypontja (tömegközéppontja) A merev test súlypontja yp j az a pont, amelyen a test G súlyának támadásvonala a t t minden test i d helyzetében h l téb átmegy. A súlypontjában yp j alátámasztott merev test bármelyy helyzetben y egyensúlyban van. y a súlypontra yp vonatkozó A merev test súlyának forgatónyomatéka a test bármely helyzetében zérus. 24 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A merev test súlypontja m1 r 12  r 1   m2 r 2  r 12  r 12  m1r 1  m2 r 2 m1  m2 Példa: Az x tengely g y mentén két, elhanyagolható y g tömegű g rúddal összekötött test fekszik, a 0,4 kg tömegű test az x=2 m, míg a 0,6 kg tömegű az x=7 m pontban. Határozzuk meg a súlypont úl t x koordinátáját! k di átáját! 25 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A

merev test súlypontja rs mr   m i i i rs mr   i i m rdV  rdV    m  dV Példa: Egy gy L hosszúságú g egyenes gy rúd egyik gy vége g az origóban g van, a másik vége pedig az x=L pontban. A rúd hosszegységre eső tömege (x)=Ax összefüggés szerint változik, ahol A áll dó H állandó. Holl van a tömegközéppont? tö kö é t? 26 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Rögzített tengely körül forgó merev test perdülete Ni  mi r i  vi  Ni z  mi  v i  ri cos  Ni z  mi  li  li Ni z  mili2 Nz   Ni z   mili2 27 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Rögzített tengely körül forgó merev test perdülete Nz   Ni z  z  m l 2 ii   m l 2 ii A z tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték Nz   z  28 Merev testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A tehetetlenségi nyomaték

kiszámítása    mili2 Példa: Egy 0,8 m hosszúságú elhanyagolható tömegű rúd két végére kisméretű 2 kg és 3 kg tömegű testeket erősítünk. erősítünk Mekkora az így készített merev test tehetetlenségi nyomatéka y olyan y forgástengelyre g g y vonatkozólag, g, amely ya rúdra merőleges és a 2 kg tömegű testtől 0,2 m távolságra van? 29 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Merev test forgása rögzített tengely körül d z dN  Mz dt dz   Mz dt Rögzített tengely körül forgó g gy merev test mozgásegyenlete dz   Mz dt d  2  Mz dt 2 d    állandó Ha Mz=0, akkor dt 30 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Egyenletesen gyorsuló forgás Ha Mz=állandó, akkor d2  Mz   állandó   2 dt  Ha t=0-nál  =0 és =0 (t )    t 1 2 ( t )    t 2 31 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája

Egyenletesen gyorsuló forgás d  Mz   állandó   2 dt  2 Ha Mz=állandó, akkor Példa: Egy 00,61 61 m sugarú sugarú, 36 36,3 3 kg tömegű korong 360 min-1 fordulatszámmal o du ats á a forog. o og. A fékező súrlódás forgatónyomatéka 0,553 Nm. Számítsa ki, mennyi idő alatt áll meg a kerék! Ha t=0-nál  =0 és =0 (t )    t 1 2 ( t )    t 2 32 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Forgó merev test mozgási energiája Ekin 1   mi  v i2 2 vi  li Ekin 1 2   2 Ekin 1   mi  li22 2 Ekin 1 2    mi  li2 2 33 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Forgó merev test mozgási energiája Ekin 1 2   2 Példa: Egy 10 kg tömegű, 12 cm átmérőjű henger a tengelye körül 2 s-1 szögsebességgel g gg forog. g Mekkora a forgási g energiája? 34 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Megfelelések a

haladó és forgó mozgás között Koordináta (út) Szög (szögelfordulás) x  Sebesség Szögsebesség dx vx  dt d z  dt 35 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Megfelelések a haladó és forgó mozgás között Szöggyorsulás Gyorsulás 2 dv x d x ax   2 dt dt d  z d2  z   2 dt dt Mozgásegyenlet 2 dx m 2  Fx dt d  2  Mz dt 2 36 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Megfelelések a haladó és forgó mozgás között Tömeg Tehetetlenségi nyomaték m   m l Erő g y Forgatónyomaték Fx Mz 2 ii 37 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Megfelelések a haladó és forgó mozgás között Impulzus Impulzusmomentum lendület perdület px  mv x Impulzustétel dpx  Fx dt Nz  z Impulzusmomentum tétel dNz  Mz dt 38 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Megfelelések a haladó és forgó mozgás

között Elemi munka W  Fx  x W  Mz   Teljesítmény P  Fx  v x P  Mz   z 39 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Megfelelések a haladó és forgó mozgás között Kinetikai energia Ekin ki 1 2  mv 2 Ekin 1 2   2 40 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája Tehetetlenségi nyomatékok egymással párhuzamos tengelyekre  A  S  m  s 2 Steiner tétele Példa: Egy 2 m hosszú E h ú vékony ék rúd úd tö tömege 8 k kg. M Mennyii a rúd úd tehetetlenségi nyomatéka az egyik végén átmenő tengelyre számolva, ha a rúd tömegközéppontján átmenő, a rúd síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatva =1/12mL2. 41 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A csavarási (torziós) inga Mz  D d2   2  D dt  d D 2      2 dt  2 Lehetőség a tehetetlenségi nyomaték mérésére. 

T  2  D 42 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A fizikai inga d2   2  mg  s  sin  dt d2  mgs  sin  2 dt   T  2 mgs 43 Széchenyi István Egyetem Merev testek mechanikája A fizikai inga d2   2  mg g  s  sin  dt d2  mgs g  sin  2 dt   T  2 mgs g Példa: Péld Egy 60 cm hosszúságú homogén rudat egyik végén átmenő a rúdra merőleges tengely körül lengetünk átmenő, lengetünk. Mennyi a lengésidő? 44