Fizika | Felsőoktatás » Giczi Ferenc - Relativitáselmélet, előadás

R l i i á l él Relativitáselmélet Giczi Ferenc SZE, Fizika és Kémia Tanszék 2005. Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Helymeghatározás Az anyagi pont helyét meghatározhatjuk pl. úgy, hogy a választott vonatkoztatási tk t tá i rendszerhez rögzített derékszögű koordináta koordinátarendszerben megadjuk a pont xx, yy, z derékszögű koordinátáit. 2 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az anyagi pont mozgása r(t) x  x(t ) y  y(t ) z  z(t ) yf2(t) zf3(t) xf1(t) Ezekk a kinematikai E ki tik i mozgásegyenletek á l t k meghatározzák h tá ák a mozgó pont által leírt görbét, a pont pályáját. Megjegyzés: A pont pályája lehet térgörbe, síkgörbe, vagy egyenes. 3 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A relativitás elve a klasszikus mechanikában z2 K2 z1 r2 K1 r1 r21 y2 y1 x2 x1 Ha ugyanazt a testet két különböző, egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerből

figyeljük meg, akkor a mozgását jellemző adatok egy részét (pl. helyzetvektor, sebesség, impulzus, energia) eltérőnek találjuk. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), 4 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A relativitás elve a klasszikus mechanikában z2 K2 z1 r2 K1 r1 r21 y2 y1 x2 x1 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), Az adatok közötti összefüggések (a fizikai törvények: pl. Newton II. törvénye, Coulomb törvény, stb) is különbözőek lesznek a különböző koordináta rendszerekben ? 5 x  f1 ( t ), Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A klasszikus mechanika relativitás elve Különböző inerciarendszerekből nézve a mechanikai jelenségek ugyanúgy g anúg zajlanak ajlanak le, le és a különböző inerciarendszerekben a mechanika törvényei azonos matematikai alakban érvényesek. érvényesek Következmény: y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), Az inerciarendszerek között

mechanikai kísérletekkel nem lehet különbséget tenni. (Nem lehet találni abszolút, kitüntetett inerciarendszert.) 6 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Koordináta-transzformációk z2 K2 z1 r2 K1 r1 r21 y2 y1 x2 x1 A koordináta-transzformációk a test mozgását g a K1 és K2 koordinátarendszerekben jellemző adatok ((helyzetvektor, y , sebesség, g, energia, g , stb.)) között teremtenek kapcsolatot. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), 7 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A fizikai törvények koordinátatranszformációkkal szembeni invarianciája Módszer A K1 rendszerben felírt fizikai törvényben szereplő mennyiségeket a transzformációs összefüggések segítségével í é é l fejezzük f j ük ki a K2 rendszer d megfelelő f l lő mennyiségeivel. Így megkapjuk a kérdéses fizikai mennyiségek közötti összefüggést a K2 rendszerben. rendszerben y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ),

Ha a törvény matematikai alakját tekintve azonos a két koordinátarendszerben, akkor azt mondjuk, hogy a törvény invariáns az adott transzformációra. transzformációra 8 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A fizikai törvények koordinátatranszformációkkal szembeni invarianciája Ha az adott transzformációval szemben az összes fizikai törvény invariáns, akkor a transzformáció ö h b van a relativitás összhangban l ti itá elvével. l é l Ha a relativitás elvét, mint tapasztalati tényt elfogadjuk, g j , akkor csak a vele összhangban g lévő koordináta transzformációt használhatjuk. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), 9 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A klasszikus mechanika Galileitranszformációja r1=r2+r21 z2 K2 z1 r2 K1 r1 r21 r2=r1-r21 y2 y1 x2 x1 Ha a K2 rendszer a K1-hez képest állandó v sebességgel mozog: y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1

( t ), x  f1 (t ), r21=vt+r0 r2(t)=r1(t)-vt-r0 10 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A klasszikus mechanika Galileitranszformációja r2(t) (t)=rr1(t) (t)-vt-r vt r0 x2(t)=x1(t)-v (t) vxt-x t x0 r2(t)=r1(t)-vt-r (t) vt r0 v2(t)=v1(t)-v y2((t)=y ) y1((t)-v ) yt-yy0 z2(t)=z1(t)-vzt-z0 a2((t)=a ) 1((t)) y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), t2=t1=t Az idő a K2 és a K1 rendszerben azonosan telik. 11 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A klasszikus mechanika Galileitranszformációja r2(t)=r1(t)-vt-r (t) vt r0 v2(t)=v1(t)-v a2(t)=a1(t) A klasszikus y mechanika törvényei invariánsak a Galileitranszformációval szemben. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 12 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az egymáshoz képest mozgó inerciarendszerek speciális esete Koordináta transzformációk z2 z1

x2(t)=x1(t)-vt K2 K1 v y2(t)=y1(t) z2(t)=z1(t) x1 x2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), y  f 2 (t ), t2=tt1 z  f3 (t ), x  f1 (t ), y1 y2 13 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az egymáshoz képest mozgó inerciarendszerek speciális esete Sebesség transzformációk z2 z1 v2x(t)=v1x(t)-v K2 K1 v v2y(t)=v1y(t) v2z(t)=v1z(t) x1 x2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 (t ), y1 y2 14 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az egymáshoz képest mozgó inerciarendszerek speciális esete Gyorsulás transzformációk z2 z1 a2x(t)=a1x(t) K2 K1 v a2y(t)=a1y(t) a2z(t)=a1z(t) x1 x2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 (t ), y1 y2 15 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A Galilei transzformáció alkalmazása Hogyan változik meg a hang terjedési sebessége, ha azt a közeghez képest

állandó sebességgel mozgó koordinátarendszerben d b mérjük? é jük? z z 1 K1 A közeg g és a hangforrás g is nyugszik K1-ben. v2x=v1x-v 2 v1x K2 v x1 y1 x2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), y2 x  f1 (t ), A forrástól távolodó megfigyelő kisebb, a közeledő nagyobb hangsebességet észlel, mint a forráshoz képest nyugvó megfigyelő. 16 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A Galilei transzformáció alkalmazása A megfigyelőnek a hangot hordozó közeghez viszonyított sebessége hangsebesség-mérésekkel meghatározható. v  v  2v v  v v 2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 17 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A relativitás elve az elektrodinamikában • A Maxwell-egyenletek a klasszikus fizikának ugyanolyan alapegyenletei, mint a Newtontö é k törvények. gy a

Maxwell-egyenletek gy • Korábban feltételezték,, hogy az éterhez rögzített koordinátarendszerben érvényesek. • A fény nem más, mint egy olyan zavar, amely az éterben a rugalmas g hullámokhoz hasonlóan terjed. j y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), • A vákuumban terjedő fény sebességét az éterhez viszonyított sebességnek tekintették. tekintették 18 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Próbálkozások az éter létezésének ki t tá á kimutatására Ötlet: Az éterhez képest mozgó Földön különböző irányokban meg kell mérni a fény terjedési sebességét sebességét. Ilyen mérésekkel meg lehetne határozni a Föld sebességét az éterhez képest. p Michelson-Morley Michelson Morley kísérlet y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), Negatív eredmény! 19 Széchenyi István Egyetem

Relativitáselmélet A fény terjedési sebessége egymáshoz ké képest t mozgó ó rendszerekben d kb A fény terjedési sebessége különböző inerciagy az érték,, nem függ gg a rendszerekben ugyanaz rendszer mozgásállapotától. A fény terjedésére nem alkalmazható a G lil i t Galilei-transzformáció. f á ió y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 20 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az elektrodinamika és a relativitás elve A Maxwell-egyenletek nem invariánsak a G lil i t Galilei-transzformációval f á ió l szemben. b Lorentz transzformáció Lorentz-transzformáció A mechanika törvényei nem invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 21 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A Lorentz-transzformáció összefüggései x2  y 2  y1 x1  vt 1 v2

1 2 c z 2  z1 v t1  2 x1 c t2  v2 1 2 c Az idő nem azonosan telik a két rends erben! rendszerben! Az időt is transzformálni kell! y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 22 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Egységes koordináta-transzformáció Elfogadjuk a Galilei-transzformációt, és a Maxwell-egyenleteket hibásnak minősítjük. Elfogadjuk a Lorentz-transzformációt és a mechanika h ik tö törvényeit é it úgy ú kell k ll átalakítani, hogy azok invariánsak legyenek. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 23 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A speciális relativitáselmélet Einstein-féle posztulátumai • Minden fizikai folyamatra érvényes a relativitás elve. • A vákuumban ák b tterjedő j dő fé fény sebessége b é minden i d inerciarendszerben azonos, univerzális áll dó

állandó. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), • Az étert nem tekinthetjük fényhordozó közegnek közegnek. • Az étert nem tekinthetjük kitüntetett vonatkoztatási rendszernek. y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 (t ), El Elveszítette ít tt é értelmét, t l ét h hogy az ét éter létét feltételezzük. f ltét l ük 24 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A Lorentz-transzformáció összefüggései x2  x1  vt 1 v2 1 2 c y 2  y1 t2  z 2  z1 v x 2 1 c v2 1 2 c t1  Az Einstein-féle alapelvekből levezethetők levezethetők. Kis sebességekre Ki b é k visszakapjuk i k j k a Galilei-transzformációt. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), A vákuumbeli ák b li fé fénysebesség b é határsebesség szerepét játssza játssza. x  f1 (t ), 25 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A hely meghatározása a relativitáselméletben

fényjelekkel 1 x1  ct 2 Az origóból g elindítunk egy gy fényjelet, yj , a vizsgált g pontban pedig elhelyezünk egy tükröt, amelyről a fényjel visszaverődik az origóba. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 26 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az órák szinkronizálása fényjelekkel t=0 időpillanatban az origóban egy fényjelet hozunk létre. létre Az origótól l távolságra lévő pontba a fényjel t=l/c idő alatt ér. Az órát erre az időpontra p kell beállítani és akkor indítani, amikor a fényjel odaér. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 27 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az időtartamok relativitása Tegyük fel, hogy a K2 rendszerben azonos helyen lejátszódik j két esemény. y I. 2 t , x2 I. esemény: y p pl. egy gy lámpa p kigyullad gy II. 2 t , x2 II. esemény: pl egy

lámpa kialszik x  x  x2 II. 2 I. 2 A két esemény között eltelt idő K2 –ben: b y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), t 2  t  t II. 2 I. 2 28 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az időtartamok relativitása t1  t  t A két esemény között eltelt idő K2 –ben: II. 1 v t  2 x2 c t1I.  v2 1 2 c I. 2 t1  t1II.  t t II. 2 I. 2 2 v 1 2 c  I. 1 v x2 2 c v2 1 2 c tII2.  t 2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 2 v 1 2 c 29 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Mozgási és nyugalmi időtartam, idődilatáció t1  tII2.  tI2 v2 1 2 c Mivel  t 2 v2 1 2 c v2 1 2  1 c Két esemény között eltelt időtartamok is különbözőek. ezért t1  t 2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3

(t ), x  f1 ( t ), Az események A é kh helyéhez l éh ké képestt mozgó ó megfigyelő az események között eltelt időt hosszabbnak találja, mint az eseményekhez képest nyugvó megfigyelő. T x  f1 (t ), T0 v2 1 2 c 30 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Hogyan határozható meg egy rendszerhez képest mo mozgó gó tárg tárgynak nak a mo mozgásirányba gásirán ba eső mérete? A tér különböző pontjaiban található szinkronizált órák közül kiválasztunk kettőt, kettőt amelyek közül az egyik a tárgy egyik végének elhaladását ugyanabban az időpillanatban jelzi, mint a másik a tárgy másik végének elhaladását. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), A mozgó tárgy mozgásirányba eső hossza egyenlő a két óra távolságával. 31 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A távolságok relativitása Számítsuk ki, hogy milyen eredményre

vezet egy rúd hosszának mérése egymáshoz gy képest p mozgó g inerciarendszerekben. A rúd a K2-ben nyugszik. x 2  x  x y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), k 2 v 2 32 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A távolságok relativitása A K1 rendszerben a hosszt az egyidejű kezdő és végpont gp koordináták leolvasásával kapjuk. pj x1  x  x k 1 t k 1 y  f 2 (t ), y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), z  f3 (t ), x  f1 (t ), t v 1 v 1  33 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A távolságok relativitása x1  x  x k 1 x k2  x 2  x k2  x 2v  x x k 1 v 1 v2 1 2 c v 1 x1k  vt 1k t k 1 x 2v  v2 1 2 c  t1v  x1v  vt 1v v2 1 2 c x1 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ),  x  f1 (t ), v2 1 2 c 34

Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A mozgási és nyugalmi hossz Lorentz-kontrakció A hosszúság oss úság iss koordinátarendszertől oo d áta e ds e tő függő üggő mennyiség. x 2  x k2  x 2v  x1k  x1v v2 1 2 c  x1 v2 1 2 c y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), L  L0 v2 1 2 c 35 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A sebesség-transzformáció z1 K1 Galilei-transzformáció z2 K2 v v1x v2x=v1x-v x1 x2 y1 y2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), Mivel a fénysebesség minden inerciarendszerben azonos, a sebesség-transzformációnak alapvetően különbözni kell a G lil i fél sebesség-transzformációtól. Galilei-féle b é f á ió ól 36 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A sebesség-transzformáció Egy test v2x sebessége a K2 rendszerben: Ahol x2 

x1  vt 1 v2 1 2 c v 2x t2  v 2x dx 2  dt 2 v x 2 1 c v2 1 2 c t1  dx1  vdt 1  v dt1  2 dx1 c y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 37 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A sebesség-transzformáció A számláló és a nevező dt1-gyel való osztása után: Mivel v 2x dx1 v dt1  v dx1 1 2 c dt1 dx1 v 1x  dt1 Kis sebességek esetén visszaadja a Galilei-féle sebesség-transzformáció összefüggését összefüggését. v 2x v 1x  v  v 1 2 v 1x c y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 38 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A négydimenziós téridő A Lorentz-transzformáció Lorentz transzformáció a térkoordináták mellett az időt is transzformálja. • Ezért egy esemény koordinátáinak a téridőben az (x, y, z, t) mennyiséget tekintjük. • Egy esemény

a négydimenziós téridőben egy pontnak felel meg. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), Ha az időadatot megfelelően választjuk, az esemény koordinátáit megadó négydimenziós mennyiség egy négydimenziós vektor (NÉGYESVEKTOR) lesz. lesz 39 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Négyesvektorok Előzmények: A háromdimenziós térben a vektor mintájául a helyzetvektor szolgál. • Vektornak nevezünk minden olyan három komponenssel megadott mennyiséget, amelynek komponensei a koordinátarendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint a helyzetvektor koordinátái. • A skaláris mennyiségek értéke nem függ a koordinátarendszer választástól. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), s2  x 2  y 2  z 2  x2  y2  z2  s2 Két pont távolságának négyzete invariáns a

koordinátakoordináta transzformációval szemben. 40 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Négyes állapotvektor invariáns intervallumnégyzet • A négyes állapotvektor komponensei a Lorentztranszformációval transzformálódjanak. transzformálódjanak • Két esemény közötti „négydimenziós távolság” négyzete é t legyen l iinvariáns iá a L Lorentzt transzformációval szemben. Bebizonyítható, hogy az (x1, y1, z1, t1) és az (x2, y2, z2, t2) eseményekre felírt y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), x  f1 ( t ), s  ct   x 2  y 2  z 2 y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 (t ), 2 2 intervallumnégyzet vagy négyes-távolságnégyzet négyes távolságnégyzet invariáns a Lorentz-transzformációval szemben. 41 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Állapotváltozás a négyestérben Állandó sebességgel mozgó test világvonala egyenes. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t

), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), Azok az események, amelyeknek a világvonala párhuzamos az x tengellyel, azonos időben (de különböző helyeken) zajlanak le le. 42 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek ábrázolása négyestérben Az x’ tengely helyzetét úgy k ll megválasztani, kell ál t i hogy h a fény világvonala ugyanaz maradjon és érvényes maradjon, legyen rá az x’=ct’ összefüggés. y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 43 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A négyestér tartományai s2AB  0 s2AB  0 fényszerű s2AB  0 s  ct   x  y  z 2 2 2 2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), 2 x  f1 (t ), Meghatározzuk, hogy milyen az előjele egy vonatkoztatási esemény és a

vizsgált tartományba eső eseményt összekötő intervallumnégyzetnek. 44 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A négyestér tartományai Még sohasem figyeltek meg olyan részecskét, ami a fény vákuumbeli sebességénél gyorsabban mozgott volna. l A részecskéknek időszerű világvonalat kell követnie. Az események -val jelölt időbeli szeparációját sajátidőnek j vagy gy lokális időnel nevezik. s AB    c ct  2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ),  x 2  y 2  z 2 c x  f1 ( t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 (t ), 45 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A makroszkopikus sajátidő Ha a tö H tömegpontt sebessége b é változik, ált ik a pillanatnyi ill t i sebességének megfelelően mindig más és más inerciarendszerben van nyugalomban nyugalomban. Elemi sajátidő B c 2 dt 2  dx 2  dy 2  dz 2 ds d  d  c c y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y

 f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), A elemi Az l i sajátidő játidő iis Invariáns. 46 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A makroszkopikus sajátidő Elemi sajátidő c 2dt 2  dx 2  dy 2  dz 2 ds  d  c c 1 d  dt 1  2 c  dx  2  dy  2  dz  2            dt   dt   dt   d  dt 1  y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), 2 v pill c2 x  f1 ( t ), Az invariáns makroszkópikus sajátidőt az elemi sajátidők j összegzésével kapjuk. x  f1 (t ), B    dt 1  A 2 v pill (t) c2 47 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A relativisztikus dinamika alapjai Jellemezzük az m0 nyugalmi tömegű tömegpont mozgását egy új négyesvektorral: m0 cdt, dx,, dy, y, dz   d m0 egy invariáns skalár d   m0 v y  m0 c m0 v x m0 v z , , ,  2 2 2

2 v v v v pill pill pill  1  pill    1 1 1  c2 c2 c2 c2         d  dt 1  y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), 2 v pill ill c2 x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 48 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A relativisztikus impulzus és tömeg   m0 v y  m0 c m0 v x m0 v z , , ,  2 2 2 2 v v v v pill pill pill  1  pill    1 1 1  c2 c2 c2 c2         A fenti négyesvektor utolsó három komponense kis sebességekre (vpill <<c) a közönséges impulzusvektor p három komponensét p adja. j y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), p x  mv x p y  mv y p z  mv z 49 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A relativisztikus impulzus és tömeg p x  mv x p y  mv y p z  mv z A fenti négyesvektor utolsó három komponense kis sebességekre (vpill

<<c) a közönséges impulzusvektor három komponensét adja. adja Ennek alapján: p 1 m0 v 1 v2 c m m0 2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), v2 x  f1 ( t ), c2 x  f1 (t ), Relativisztikus tömegnövekedés g (több direkt kísérlet igazolta) 50 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A Lorentz-transzformációval szemben invariáns mozgásegyenlet     dp d(mv ) d  m0 v  F    2  dt dt dt  v   1 2  c   y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), Relativisztikus tömegnövekedés g (több direkt kísérlet igazolta) 51 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az energia a relativitáselméletben A munkatétel értelmében: 2 1 1 2 W12   Fdr  mv 2  mv 12  Em 2 2 1 Ha a tömegpontnak nincs helyzeti energiája W12  E Teljes energia változás y  f 2 (t ), z  f 3

(t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 2 2 1 1 W12   Fdr   dp dt 2 dr   v(p)dp 1 52 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az energia a relativitáselméletben 2 2 1 1 W12   Fdr   p m0 v 1 1 v 2 dp dt 2 dr   v(p)dp 1 cp v(p)  m02c 2  p 2 c2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), W12  c m02c 2  p 22  c m02c 2  p12 53 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az energia a relativitáselméletben W12  c m02c 2  p 22  c m02c 2  p12 Ez azt jjelenti, hogy gy ha nincs helyzeti y energia, g akkor a munkatétel alapján az energiának az alábbi kifejezés felel meg: E( v )  c m c  p 2 0 2 2 E( v ) y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), m0 c x  f1 ( t ), x  f1 (t ), 1 2 v2 c2 54 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az

energia a relativitáselméletben E( v ) m0 c 1 1 2 v2 c2 E  mc 2 E  mc 2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), Egy rendszerben az energia és a tömeg változása mindig együtt jár, egymással arányosan történik. x  f1 (t ), 55 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet Az energia a relativitáselméletben E( v )  m0 c 2 1 v  c esetén v2 c2 1 E( v )  m0c  m0 v 2 2 2 y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y  f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), E(v) megváltozása a klasszikus mozgási energia megváltozásával egyenlő egyenlő. 56 Széchenyi István Egyetem Relativitáselmélet A nyugalmi energia és a tömeghiány 1 E( v )  m0c  m0 v 2 2 2 A relativitáselméletben a klasszikus mozgási energiának megfelelő kifejezés: Em  mc 2  m0c 2 E 0  m0 c 2 E  Em  m0 c 2 Nyugalmi y g energia g y  f 2 (t ), z  f 3 (t ), y

 f 2 (t ), z  f3 (t ), x  f1 ( t ), x  f1 (t ), A tapasztalatok alapján a nyugalmi energia részben vagy egészben át tud alakulni másfajta energiává. energiává 57