Matematika | Analízis » Kiss József György - Fourier sorok, a Fourier integrál és a Laplace transzformáció

MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ Fourier sorok, a Fourier integrál és a Laplace transzformáció 1. Fourier sorok 1.1 Ortogonális függvények és függvény sorok A legismertebb ortogonális függvény rendszer az un. trigonometrikus rendszer: 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , cos 3x , sin 3x ,.,cos nx , sin nx , Az alapintervallum bármely 2π intervallum lehet ( -π,+π) vagy (0, 2π) tekintettel a függvények 2π szerinti periodikus voltára. Ortogonálisnak nevezzük a függvény rendszert akkor, ha tetszés szerinti két elemét összeszorozva és ezt a szorzat függvényt egy 2π hosszúságú intervallumon integrálva zérust kapunk eredményül. Legyen a függvényrendszer két eleme: ϕ n és ϕm .2π .+π .a + 2π 0 −π a ∫ ϕ n( x)ϕ .( x) m dx = ∫ ϕ n( x)ϕ ( x) m dx = ∫ ϕ n( x)ϕ ( x) m dx = 0, ha n ≠ m Az ortogonalitás

(merőlegesség) analógiát mutat a merőleges vektorok skaláris szorzatával. A szorzat eltünése, a két vektor merőlegességének a feltétele. Ha a ϕ ortogonális rendszer, akkor elemeinek valamely konstans együtthatós lineáris n kombinációját ortogonális sornak nevezzük. C1ϕ n + C 2ϕ m +. A trigonometrikus rendszer azonban nem normált, mert: +π +π +π ∫ 1 ⋅ dx = 2π , ∫ cos2 nx ⋅ dx = ∫ sin 2 nx ⋅ dx = π , −π −π −π n = 1,2,. A megfelelő normált rendszer: cos x1 sin x cos 2 x sin 2 x cos 3x sin 3x cos nx sin nx 1 , , , , , , ,. , ,. π π π π π π π π 2π ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -1- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ 1.2 Fourier sorok 1.21 A Fourier sor trigonometrikus alakja Tétel (FOURIER): minden f(t)=f(t±T) periodikus függvény

előállítható a T hez tartozó f=1/T frekvencia vagy az ω=2π/T körfrekvencia, úgynevezett alapharmonikus egésszámú többszöröseinek lineáris kombinációjaként (szuperpoziciójaként). Az ilyen módon tõrténõ függvény elõállítást Fourier sornak nevezzük. f ( t ) = A0 + A1 cos ωt + A2 cos 2ωt + A3 cos 3ωt +.+ B1 sin ωt + B2 sin 2ωt + B3 sin 3ωt + = ∞ = A0 + ∑ ( Ak cos kωt + B k sin kωt ) k =1 A Fourier sor együtthatói ( az Ak -k és B k -k ) a következők szerint határozhatók meg: Ak = Bk = 2 T 2 T 1 + T 2 ∫ f ( t ) cos k ω tdt 1 1 − T 2 1 + T 2 ∫ f ( t ) sin k ω tdt 1 1 − T 2 k = 1,2,3,. k = 1,2,3,. +T 1 2 A0 = ∫ f ( t )dt T −T 2 1.22 Állítás: 1. .a + 2π ∫ a k cos kx ⋅cos nxdx = 0, ha k ≠ n a 2. .a + 2π ∫ a k sin kx ⋅cos nxdx = 0, ez min díg! a 1.23 Tétel: Ha az f(x) a (-π,+π) intervallumon integrálható, és: .+π .+π −π −π , ,. ∫ f ( x) dx = 0, ∫ f ( x) cos nxdx = 0, n =

12 akkor majdnem mindenütt f(x)=0. És a következő esetben szintén majdnem mindenütt f(x)=0. .+π .+π −π −π , ,. ∫ f ( x) dx = 0, ∫ f ( x) sin nxdx = 0, n = 12 Továbbá: ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -2- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ .+π .+π −π −π .+π 2 ∫ f ( x) cos nxdx = an ∫ cos nxdx = an ∫ −π 1+ cos 2nx dx = π an , , n = 12 , ,. 2 Ezt képzeljük el úgy mintha az f(x) függvényből a koszinuszos jel mintát venne, mégpedig az nx frekvencián, azaz az alapharmonikus x-nek az n-edik felhangjával, ahogyan ezt szokás mondani n-ik harmonikusával. Ha az eredeti f(x) tartalmazza ezt a frekvenciát, mégpedig koszinuszos jelként, akkor az integrál már nem lehet zérus. Ha viszont az f(x) nem tartalmazza ezt a harmonikust, annak koszinuszos

függvényét, akkot maga az a n is zérus. A pektrális képből az n. vonal hiányozni fog, ha a szinuszos összetevőre is zérust adna az integrál (ezt késöbb mutatjuk). Ez a valóságban úgy jelentkene, ha az f(x) éppen egy zenedarab időbeli lefutási függvénye, akkor a Fourier sorban az n. spektrumvonal hiánya azt jelenti, hogy nx frekvenciájú hang nem szolal meg a zenében. Ha van benne ilyen frekvenciájú hang, akkor a Fourier sorban az a n vagy b n , de legalább az egyik nem nulla. Eből következik, hogy: an= 1 .a + 2π ∫ f ( x) ⋅cos nxdx π a Hasonlóan : .+π .+π −π −π .+π 1− cos 2nx dx = π bn , , n = 12 , ,. −π 2 2 ∫ f ( x) sin nxdx = bn ∫ sin nxdx = bn ∫ 1 .a + 2π ∫ f ( x) ⋅sin nxdx bn = π a Tehát, az f(x) jelet megvizsgáljuk n=1,2,3,. és így tovább, minden szóbajöhető harmonikusra Ha valamely n-re az a n vagy b n is zérusra jön ki, akkor a jel spektruma azt az n. harmonikust (felhangot) biztosan nem is

tartalmazza. Ellenkező esetben igen És . 1 1 a + 2π a 0 = 2π ∫ f ( x) dx = T a +T 2 ∫ −T f ( x) dx 2 az eredeti f(x) jel egyenáramú komponensét adja. Megjegyzés: A magyarázó részben kisbetűvel jelölt a n és b n azonos a Fourier tételnél nagybetűvel jelölölt együtthatókkal (ott: A k és B k ként szerepel). A szögfüggvények argumentumában szereplő kωt, az időben változó jelekre szokás alkalmazni, így mivel mi ezekkel foglalkozunk az eredeti tételben ezt alkalmaztuk. Az általánosabb értelmezés az nx argumentummal jelöltük, a magyarázó részben. Ez azért általánosabb mert az x lehet egyenlő az ωt-vel is, de lehet egy tér kordináta menti változás is. Igy ez az általánosabb ( pl. a térképészetben is használják a Fourier sorokat, ahol nem rezgési frekvenciát jelent az nx, hanem valamely térkordináta irányában pl egy domborzati periodicitást). ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -3- GÁBOR

DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ 1.24 A Fourier sor komplex alakja : A Fourier sor képletében a szinusz és a koszinusz helyére azok exponenciális alakját írva: ∞  e jk ω1t − e− jk ω1t  e jk ω 1t + e− jk ω 1t  f ( t ) = ∑ A k +B 2j 2 k0   majd, elemi átalakítások után ∞  Ak + j B k − jk ω 1t Ak − j B k jk ω 1t  f ( t ) = ∑ + e e   2 2 k =0 Legyen: Ak + j B k = C− k 2 és Ak − j B k = Ck 2 Ekkor: f (t) = ∞ C k e jkω t ∑ k 1 =−∞ +T 1 2 ω1 C k = ∫ f ( t ) e− jk ω 1t dt = 2π T −T 2 +T 2 ∫ f (t) e − jk ω 1t dt −T 2 Periodikus jeleknek vonalas színképe van ( Ck .--k), 1.25 Állítás 1. Ha az f(x) páros függvény, azaz f(x)= f(-x), és periodikus 2π-en, akkor az f ( x) ⋅ cos nx n = 12 , ,3. is páros függvény (

szimmetrikus az y tengelyre) 2. Ha az f(x) páratlan függvény, azaz f(x)=- f(-x), és periodikus 2π-en, akkor az f ( x) ⋅ sin nx n = 12 , ,3,. is páratlan függvény ( szimmetrikus az origóra, azaz f(x)=- f(-x)) Fenti tulajdonságok miatt, ha az f(x) páros függvény, akkor az azt közelítő Fourier sor is csak koszinuszos tagokból fog állni, azaz csak az a n -eket kell kiszámítani a b n -ek mindegyike zérus lesz. És a második esetre, mikor az f(x) függvény páratla, csak a b n -ek lesznek értékesek, az a n -ek mindegyike zérus lesz. Tehát a páratlan függvény Fourier sora csak szinuszos tagokat fog tartalmazni. ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -4- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ 1.26 Tétel: ha az f(x) függvénynek az s n függvénysor a közelítése, akkor a .a + 2π δ

⋅2 = ∫ a ( f ( x) − sn) 2 dx átlagos négyzetes eltérés akkor minimális, ha az a n és b n együtthatók az f(x) függvény Fourier sorának együtthatói. 1.3 Példák Fourier sorokra 1.31 Példa páros függvényre: Legyen f(x) az y tengelyre szimmetrikus impulzus függvény. f ( x)  0 ha − π ≤ x ≤ −π   π π   1 ha − ≤ x ≤  π π 2 2   π −π − 2 2 π ( )  f x = 0 ha ≤ x ≤ π   2  1 π   2 ha x = ± 2    Az f(x) páros mert az f(x)= f(-x), így csak az a n -eket kell meghatározni. π 1 .a +2π 2 2 π 2 ∫ f ( x) ⋅cos nxdx = ∫ f ( x) ⋅cos nxdx = an = [sin nx] 0 2 π a π 0 nπ x   =  0 ha n = 2k k 2 −1 nπ ha n = 2k ( ) Ebből: f ( x) = 1 2 cos 3x cos 5x cos 7 x  + cos x − + − + −.  2 π 3 5 7 1.32 Példa páratlan függvényre: Legyen: ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -5- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI

TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ  0 ha − π ≤ x ≤ 0  1 ha .0 < x < π     f ( x) =  1  2 ha x = kπ    f ( x + 2π )   f ( x) −π π − 2 π 2 a= 0 x π 1 π +π 2 1 ∫ f ( x) dx = π ∫ 1dx =1 −π 2 −π 2 1π an = ∫ f ( x) ⋅cos nxdx π +π 2 0 π = 1  sin nx  π  n  = 0 ∀n − re 0 π 1 .π 1  sin nx  1  cos nπ 1  1 .π ( ) = − +  bn = ∫ f x ⋅sin nxdx = ∫ 1⋅sin nxdx =  π 0 n 0 π  n n π π 0 1 n +1 1+( −1) nπ [ bn = ] Ebből következik, ha n páros, akkor a b n -ek zérusok. Igy a függvény Fourier sora: f ( x) = Most legyen: 1 2 sin 3x sin 5x sin 7 x  +  sin x + + + + −.  2 π 3 5 7   0 ha x = 0 π − x   ha .0 < x < 2π   f ( x) =  2

    ( ) f x + 2π   f ( x) π 2 −2π −π − π 2 π 2π 4π x Mivel a függvény páratlan, Fourier sora tiszta szinuszos tagokból fog állni. Ezért: ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -6- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ bn = 1 .2π 1 .2π π − x ∫ f ( x) ⋅sin nxdx = ∫ ⋅sin nxdx = π 0 π 0 2 [ ] 2π 2π 1 π − x − cos nx 1 1 cos nx − ∫ 2 n dx = π π 2 n 0 0 [ ] 1π 1 sin nx π   + − π  2n 2n  2nπ n 2π = 0 1 n Az integrálásnál alkalmaztuk a parciális integrálás technikai szabályát. Tehát: f(x)=. f ( x ) = sin x + 2. ∞ sin 2 x sin 3x sin 4 x sin 5x sin kx + + + +. = ∑ 2 3 4 5 k k= Fourier transzformáció Ha a jel nem periodikus, a periodus időt nyújtva, végtelen periódusúnak véve azt: lim T T

∞ ∞ f ( t ) = ∫ [ a( ω ) cos ωt + b( ω ) sin ωt ]dω 0 ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -7- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ Az a (ω ) és b(ω ) amplitúdó sűrűségfüggvény, hasonlóan a Fourier sor együtthatóihoz. a( ω ) = b( ω ) = 1 π 1 π +∞ ∫ f ( t ) cos ωtdt −∞ +∞ ∫ f ( t ) sin ωtdt −∞ Ebben az esetben végtelen periódusra vonatkozó Fourier sor egy végtelen határú integrálba megy át. Ezt az integrált Fourier transzformáltnak nevezzük és az unFourier integrállal állítjuk elő. F { f ( t )} = F (ω ) = +∞ ∫ f (t) e − jωt dt komplex spektrum (amplitúdó sűrűség függvény) −∞ A transzformáció inverziója, a visszatranszformálás: +∞ −1 jωt f ( t ) = F { F ( ω ) } = ∫ F ( f ) e df −∞ 3.

Definíció = +∞ 1 2π ∫ F (ω ) e ω dω j t −∞ A Laplace transzformáció p = σ + jω komplex frekvencia ekkor az f(t) függvény Laplace transzformáltja: ∞ F ( p) = L{ f ( t ) } = ∫ f ( t ) e − pt dt 0 A transzformáció megfordítása, azaz az inverztranszformáció: f (t) = σ + j∞ 1 L { F ( p)} = 2πj ∫ F ( p) e −1 pt dp, t ≥ 0 σ − j∞ A p változót, a komplex frekvenciát operátorként is kezelhetjük. Az állandó együtthatós lineáris időinvariáns rendszerek leírásánál és számításánál gyakran alkalmazzuk. A Fourier transzformáció és a Laplace transzformáció alakilag, formailag nagyon hasonló. Csupán a transzformáció változójában különböznek, míg a Fourier csak a frekvencia tengely ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -8- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS

KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ menti viselkedést tárja fel, addig a Laplace transzformáció a komplex frekvencia (p= σ+jω) menti viselkedést adja meg. Ez természetesen adja a frekvencia tengelyen való viselkedést is, és azon túl a rendszer csillapítására, annak stabilitására vonatkozó információval is szolgál. Ez utóbbit a σ függvényében való viselkedésként jelllemezi. Az elmondottak miatt az alkalmazásban ezt figyelembe kell venni. Ha állandósult (stacionrt) jelek vagy rendszerek vizsgálatát szeretnénk elvégezni, elegendő a Fourier sor, vagy transzformáltat alkalmazni. De ha egy villamos motor bekapcsolási jelenségét, egy földrengést, egy ütés, vagy koppanás jelét szeretnénk megvizsgálni, akkor már a Laplace transzformáció alkalmazása indokolt, sőt szükséges is. 3.1 A Laplace transzformáció szabályai L f ( t )  F ( p) 1 p L{1} = hasonlóan t =∞  e− pt  L{1( t ) } = ∫ e 1dt = ∫ e dt =

 −p    ∞ 0 − pt − pt ∞ pt 0 t=0 e = lim t ∞ −p − p0 e − −p =− 1 1 1 − pt lim e + = pt ∞ p p  d 1[ t ]  1 = p =1 L p  dt  L{δ ( t ) } = 1 1( t ) t =−0 = 0 p L{cos at } = 2 2 p +a a L{sin at } = 2 2 p +a a L{ shat } = 2 2 p −a L{chat } = p p − a2 L{tf ( t ) } = − ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -9- 2 dF ( p) dp GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ  df ( t )   = pF ( p) − f ( 0) L  dt  ahol f(0) kezdeti érték t  F ( p) L ∫ f ( t ) dt  = p 0  {t L 2 } f (t) = d2 F ( p) d( p 2 ) Tehát a deriválás p-vel való szorzást, míg az integrálás, p-vel való osztást jelent operátoros tartományban, a Laplace transzformáltak világában. 3.11 Eltolási tétel Az

időtartománybeli eltolás ( az idő tengelyen való eltolódás) a transzformált függvény csillapításaként jelentkezik: − pa L { f ( t − a )} = e F ( p) 3.12 Csillapitási tétel Az időtartománybeli csillapítás a transzformáltak világában a p komplex frekvencia eltolásaként jelentkezik: L {e at f ( t )} = F ( p − a ) 3.13 Konvolució: Két időtartománybeli függvény konvoluciójának Laplace transzformáltja, a két függvény transzformáltjainak szorzatába megy át. t f ∗ g = ∫ f ( t − τ ) g{τ }d ( τ ) 0 L { f ∗ g} = F ( p ) G ( p ) ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -10- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ 4. Példák: 5t f (t) = e Legyen:  e−( p − 5) t  ) dt =    −( p − 5)  t =∞ {e } L 5t ∞ = ∫e − pt 0 5t e ∞

dt = ∫ e 0 −( p− 5 t − ( p − 5) t = lim .t e −( p − 5) − ( p − 5) 0 − e −( p − 5) = t=0 =− 1 1 1 1 + = lim ( p − 5) t p − 5 t ∞ p−5 p−5 e 1 0 lim   t ∞ e  p − 5 1 5t Tehát Le = p−5 mivel { } 4.1 Differenciálegyenletek megoldása megoldás t-ben eredmény akadályok Visszatranszformálás idõ tartomány Diff.egyenletek t megoldás p-ben algebrai egy. megoldás lineáris egyenletek Transzformálás komplex frekvencia tart. p 5x , Például oldjuk meg y + 3y = e y( 0) = 4 kezdeti feltétel , , L y , + 3 y = e5 x = L{ y } + L{3 y} = L{e5 x} { ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József } -11- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ L{ y } = pY ( p) − y( 0) 1 Y ( p) − y( 0) + 3Y = p−5 1 Y ( p)( p + 3) = 4 + p−5 4 1

algebrai egyenlet! Y ( p) = + ( p + 3) ( p + 3)( p − 5) , Résztörtekre bontás Tagonkénti vissza transzformálást alkalmazva:  4  1  = +1 1 −1  p + 3 8 p − 5 8 ( p + 3)( p − 5)  1 5t 1 −3t 1 −3 t −3 t 5t = 4 e + e − e = 31e + e 8 8 8 L {Y ( p)} = L −1 −1 ( t=0-nál ellenőrzés, y=4! PL.: ) d L {tf ( t )} = − dp F ( p) -re 3 d L {t sin 3t } = − dp ⋅ p 2 +9 =− 0 − 3⋅ 2p 6p = ( p + 9) ( p + 9) 2 2 2 2 1 ⋅ ( p − 25) − p( 2 p) 2 p2 − p2 + 25 d p {t ⋅ ch5t } = − ⋅ 2 =− = dp p − 25 ( p2 − 25) 2 ( p2 − 25) 2 2 L 1 ( p − 5)( p + 3) = A B + p−5 p+3 1 = A( p − 3) + B( p − 5) p = −3 1 = A ⋅ 0 + B( −3 − 5) 1 B=− 8 ha p = 5 1 = A( 5 + 3) 1 A= 8 4 1 1 1 Y ( p) = + −1 p + 3 8 p − 5 8 ( p + 3)( p − 5) ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -12- GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA, RENDSZERTECHNIKA,

IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ 4.11 Példák eltolási tételekre L {e 3t (Csillapitási tételek) cos 5t } = p−3 ( p − 3) 2 + 25 p L {cos 5t } = L {e L −7 t ⋅ t 2} = p + 25 2 ( p + 7) 3 1  −7 t t  3 e sh  =  3  ( p − 2) 2 − 1 L L {e −6 t 9 1  t 3  sh  =  3 p2 − 1 9 p L {ch8t } = L 2 ⋅ ch8t } = t   e−2t ⋅ ∫ ch3tdt  =   0  L e 2 p − 64 p+6 ( p + 6) 2 − 64 −2 t L {t } = 2 L {t } = n 3 sh3t  = 3  ( p + 2) 2 − 9 2! p3 n! pn+1 4.12 Visszatranszformálási gyakorlatok 1., Y ( p) = 2., Y ( p) = 1 ( p + 7) 2 −4 6 ( p + 5) 2 +9 ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József 1 −7 t sh2t 2e −1 y( t ) = −1 y( t ) = 2 e sin 3t L  L  -13- −5 t GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA MATEMATIKAI SILLABUSZ MŰSZAKI DIAGNOSZTIKA,

RENDSZERTECHNIKA, IRÁNYÍTÁSTECHNIKA, KIBERNETIKA ÉS KOMMUNIKÁCIÓS ESZKÖZÖK CÍMŰ TÁRGYAKHOZ 3., Y ( p) = 4., Y ( p) = 5 −1 ( p − 2) 3 p − 5p + 6 ( 3p ) y( t ) = 3 e 5., Y ( p) = 5 t 2 ( =3 ) ( p − 52 + 52 ) 8 2 p − 6p + 4 ( ) = ) 5 t 5 t 1 1 15 5 t 1 1 ch t + 2 e 2 sh t = 3 e 2 ch t + 15 e 2 sh t 2 2 2 2 2 = −1 Y ( p) = 3p 2 2 1 1 25 5 5 5 6 − − + p− 2 p− 2 p− 2 − 4 4 4 p − 52 15 1 = =3 + 2 2 1 1 2 5 5 p− 2 − p− 2 − 4 4 8 5 2 5 ( p − 3) − 5 8 3t e sh 5t 5 y( t ) = L  6., = 2 ( −1 1 2t 2 2e t 3p 2 Y ( p) = L  y( t ) = 5 L   df ( t )   = pF ( p) − f ( 0) L  dt  p ( p − 3) 2 ha f(0)=0, akkor:  df ( t )   = pF ( p)  dt  L y ( t ) = ( t e3t ) −1 L  7., Y ( p) = 3t 3t 3t = 1e + 3t e = e ( 1 + 3t ) τ  1 L ∫ f ( t ) dt  = F ( p) 0  p 3 p( p + 9) , 2 −1 L  τt ∫ 0

τt [ cos 3t f ( t ) dt = ∫ sin 3tdt = − 3 0 ESZI BME ENERGETIKAI FŐISKOLA PAKS, 1997 Kiss József -14- ] 1 1 1 = − cos 3t + = ( 1 − cos 3t ) 3 3 3 t=0 t GÁBOR DÉNES FŐISKOLA SZEKSZÁRDI TAGOZATA