Fizika | Felsőoktatás » Horváth András - Rezgőmozgások, előadás

Rezgőmozgások Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29 Bevezetés • Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Bevezetés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 2 / 66 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. (inga, bonyolult rezgés) Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 3 / 66 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás

Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. (inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 3 / 66 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. (inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető. Ha van olyan x0 , melyre x(t) = x0 -nak sok

megoldása van t-re, akkor rezgőmozgásról beszélhetünk. Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 3 / 66 Bevezetés Bevezetés • Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. (inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető. Ha van olyan x0 , melyre x(t) = x0 -nak sok megoldása van t-re, akkor rezgőmozgásról beszélhetünk. Ha x(t) periodikus, akkor periodikus rezgőmozgásról beszélünk. (Vigyázat! Nem minden rezgőmozgás periodikus.) 3 / 66 Bevezetés Rezgések

kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések Rezgések kialakulása A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 4 / 66 Rezgések kialakulása Bevezetés Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 5 / 66 Rezgések kialakulása Bevezetés Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a

következő: Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta. Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 5 / 66 Rezgések kialakulása Bevezetés Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás Létezik egy olyan pont, ahol a

test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta. A másik oldalon ugyanez ismétlődik, a testre ugyancsak az egyensúlyi pont felé ható erő kezd hatni, visszatér oda, . így előáll egy rezgés. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 5 / 66 Rezgések kialakulása Bevezetés Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Létezik egy olyan pont, ahol a test

egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta. A másik oldalon ugyanez ismétlődik, a testre ugyancsak az egyensúlyi pont felé ható erő kezd hatni, visszatér oda, . így előáll egy rezgés. Matematikailag: Egyensúlyi pont: F (x0 ) = 0 Visszatérítés jobbról: F (x) < 0, ha x > x0 és x − x0 < δ Visszatérítés balról: F (x) > 0, ha x < x0 és x0 − x < δ 5 / 66 szemléltetés: stabil egyensúly Bevezetés Egyensúlyi helyzet rezgéssel: Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések

eredője F(x) visszatérítõ erõ 000000 111111 0000000 000000 1111111 111111 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 0000000 000 111 000000 111111 1111111 0000000 1111111 000 111 0000000 1111111 000 111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 egyensúly 11111111 0000000 1111111 00000000 0000000 1111111 00000000 11111111 0000000 1111111 00000000 11111111 0000000 1111111 0000000 1111111 x 0000000 1111111 0000000 0 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 000 111 0000000 1111111 000 111 000 111 x 6 / 66 szemléltetés: instabil egyensúly Bevezetés Egyensúlyi helyzet rezgés nélkül: Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A

gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője F(x) eltérítõ erõ 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 000 111 000 111 000 111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 000 111 0000000 1111111 000 111 0000000 1111111 000 111 000 111 0000 1111 x 0000 1111 0000 1111 0 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 x egyensúly 7 / 66 összefoglalás Bevezetés Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly Tanulság: Ha egy egyensúlyi helyzet körül F (x) monoton fogyó, akkor ott stabil egyensúly van, azaz kialakul rezgés, különben nem. • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője

Egymásra merőleges rezgések eredője 8 / 66 összefoglalás Bevezetés Rezgések kialakulása • Rezgések kialakulása • szemléltetés: stabil egyensúly • szemléltetés: instabil egyensúly • összefoglalás A harmonikus rezgőmozgás Tanulság: Ha egy egyensúlyi helyzet körül F (x) monoton fogyó, akkor ott stabil egyensúly van, azaz kialakul rezgés, különben nem. Egyszerű példák stabil és instabil egyensúlyi helyzetre: labda dombon és gödörben. Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás instabil egyensúly A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője stabil egyensúly 8 / 66 Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A harmonikus rezgőmozgás A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás,

kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 9 / 66 alapegyenlet Bevezetés Rezgések kialakulása Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus rezgőmozgás alakul ki. A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 10 / 66 alapegyenlet Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus rezgőmozgás alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F (x) = −D · x ahol D szokásos neve:

direkciós állandó vagy rugóállandó. A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 10 / 66 alapegyenlet Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus rezgőmozgás alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F (x) = −D · x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó. Ilyen erő hat pl. egy rugalmasan rögzített testre A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 10 / 66 alapegyenlet Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az

alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus rezgőmozgás alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F (x) = −D · x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó. Ilyen erő hat pl. egy rugalmasan rögzített testre A mozgás egyenlete: F = −Dx = ma ⇒ D a=− x m Beírva a gyorsulás jelentését: D d2 x ′′ = x = − x 2 dt m 10 / 66 az alapegyenlet megoldása Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki

tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.) megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 11 / 66 az alapegyenlet megoldása Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.) megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás x(t) tehát olyan függvény, melynek második deriváltja önmagának negatív konstans szorosa. Ilyenek pl a sin és cos függvények ((sin x)′′

= (cos x)′ = − sin x). A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 11 / 66 az alapegyenlet megoldása Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.) megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok x(t) tehát olyan függvény, melynek második deriváltja önmagának A csillapított rezgőmozgás negatív konstans szorosa. Ilyenek pl a sin és cos függvények ((sin x)′′ = (cos x)′ = − sin x). A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Keressük a megoldást ilyen alakban: x(t) = A sin(B · t + C) ahol A, B és C egyelőre ismeretlen jelentésű állandók. Kis

amplitúdójú rezgések Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 11 / 66 . Bevezetés A sebesség és a gyorsulás: Rezgések kialakulása v(t) = x′ (t) = A cos(B · t + C) · B, A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet a(t) = x′′ (t) = v ′ (t) = −A sin(B · t + C) · B 2 . megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések Kihasználva a(t) = −D/m · x-et: D −A sin(B · t + C)B = − A sin(B · t + C) m 2 A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Ez csak akkor állhat fenn, ha B 2 = D/m. (A és C tetszőleges) Elnevezések: • • • • • B=ω = p D/m: körfrekvencia. T = 2π/ω : periódusidő. f = 1/T = ω/(2π): frekvencia. A: amplitúdó. C=ϕ0 : kezdőfázis. Vigyázat! Nem minden rezgőmozgás harmonikus! 12 / 66 összefoglalás

Bevezetés x(t) = A sin(ωt + ϕ0 ) Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás v(t) = Aω cos(ωt + ϕ0 ) • alapegyenlet • az alapegyenlet a(t) = −Aω 2 sin(ωt + ϕ0 ) megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás ω= s D , m 2π T = = 2π ω r m D 1 f= T A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 13 / 66 összefoglalás Bevezetés x(t) = A sin(ωt + ϕ0 ) Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás v(t) = Aω cos(ωt + ϕ0 ) • alapegyenlet • az alapegyenlet a(t) = −Aω 2 sin(ωt + ϕ0 ) megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője ω= s D , m 2π T = = 2π ω r m D 1 f= T Ez a mozgás a középiskolából ismert harmonikus rezgőmozgás.

(Érdekesség: a körfrekvencia nem függ az amplitúdótól, de a tömeg növekedésével csökken.) Egymásra merőleges rezgések eredője 13 / 66 energiaviszonyok Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 14 / 66 energiaviszonyok Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás A harmonikus rezgőmozgás közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított

rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 14 / 66 energiaviszonyok Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet A harmonikus rezgőmozgás közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések 1 1 Em (t) = mv 2 = m(Aω)2 cos2 (ωt + ϕ0 ) 2 2 A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 14 / 66 energiaviszonyok Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet A harmonikus rezgőmozgás közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia

is. Mozgási energia: megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés 1 1 Em (t) = mv 2 = m(Aω)2 cos2 (ωt + ϕ0 ) 2 2 Helyzeti (potenciális) energia: 1 1 2 V (t) = Dx = DA2 sin2 (ωt + ϕ0 ) 2 2 Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 14 / 66 energiaviszonyok Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás • alapegyenlet • az alapegyenlet A harmonikus rezgőmozgás közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 1 1 Em (t) = mv 2 = m(Aω)2 cos2 (ωt + ϕ0 ) 2 2 Helyzeti (potenciális)

energia: 1 1 2 V (t) = Dx = DA2 sin2 (ωt + ϕ0 ) 2 2 Kihasználva, hogy ω 2 = D/m, D helyére mω 2 írható: 1 V (t) = mω 2 A2 sin2 (ωt + ϕ0 ) 2 14 / 66 . Az összes energia tehát:   1 2 2 2 E = Em + V = m(ωA) sin (ωt + ϕ0 ) + cos (ωt + ϕ0 ) = 2 15 / 66 . Az összes energia tehát:   1 2 2 2 E = Em + V = m(ωA) sin (ωt + ϕ0 ) + cos (ωt + ϕ0 ) = 2 1 = m(ωA)2 = áll. 2 15 / 66 . Az összes energia tehát:   1 2 2 2 E = Em + V = m(ωA) sin (ωt + ϕ0 ) + cos (ωt + ϕ0 ) = 2 1 = m(ωA)2 = áll. 2 Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. 15 / 66 . Az összes energia tehát:   1 2 2 2 E = Em + V = m(ωA) sin (ωt + ϕ0 ) + cos (ωt + ϕ0 ) = 2 1 = m(ωA)2 = áll. 2 Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: 15 / 66 . Az összes energia tehát:   1 2 2 2 E = Em + V = m(ωA) sin (ωt +

ϕ0 ) + cos (ωt + ϕ0 ) = 2 1 = m(ωA)2 = áll. 2 Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: – maximális kitéréskor Em = 0, V = E 15 / 66 . Az összes energia tehát:   1 2 2 2 E = Em + V = m(ωA) sin (ωt + ϕ0 ) + cos (ωt + ϕ0 ) = 2 1 = m(ωA)2 = áll. 2 Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: – maximális kitéréskor Em = 0, V = E – az egyensúlyi helyzeten áthaladva V = 0, Em = E 15 / 66 Egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Példa: Egy rugón lógó testet rezgésbe hozunk. Azt tapasztaljuk, hogy 10 s alatt 23 rezgést végzett. Mekkora a rezgés periódusideje és körfrekvenciája? Mekkora a rugóállandó, ha a test tömege 0,25 kg? • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása •

összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 16 / 66 Egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Példa: Egy rugón lógó testet rezgésbe hozunk. Azt tapasztaljuk, hogy 10 s alatt 23 rezgést végzett. Mekkora a rezgés periódusideje és körfrekvenciája? Mekkora a rugóállandó, ha a test tömege 0,25 kg? • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Megoldás: 10 s alatt 23 rezgés: 10 s = 0,435 s. T = 23 Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője A körfrekvencia: 2π 1 ω= = 14,45 . T s A kérdezett rugóállandó is meghatározható: Egymásra merőleges rezgések eredője T = 2π r m D ⇒ 4π 2 m N D= = 52,2 . 2 T m

16 / 66 Még egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Példa: Egy 300 N/m-es rugóállandójú rugón levő, 0,2 kg tömegű testet 5 m/s-os kezdősebességgel meglökünk. Milyen lesz a kialakuló rezgés amplitúdója? • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 17 / 66 Még egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Példa: Egy 300 N/m-es rugóállandójú rugón levő, 0,2 kg tömegű testet 5 m/s-os kezdősebességgel meglökünk. Milyen lesz a kialakuló rezgés amplitúdója? • alapegyenlet • az alapegyenlet megoldása A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Megoldás: A v0 = 5 m/s-os sebesség a test maximális sebessége, azaz Aω = v0 m/s. p ω egyszerűen

meghatározható: ω = D/m, így azt állíthatjuk, hogy s Egyirányú rezgések eredője ahonnét a keresett amplitúdó: • összefoglalás • energiaviszonyok Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás Egymásra merőleges rezgések eredője v0 = A A = v0 r D , m m = 0,129 m. D Tehát a test 12,9 cm-es amplitúdójú rezgéseket fog végezni. 17 / 66 Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 18 / 66 kis amplitúdójú rezgések Bevezetés Mi a helyzet, ha a testre ható erő nem lineáris? Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Általános esetben bonyolult megadni a rezgés paramétereit. Kis amplitúdójú rezgések • kis

amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 19 / 66 kis amplitúdójú rezgések Bevezetés Mi a helyzet, ha a testre ható erő nem lineáris? Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Általános esetben bonyolult megadni a rezgés paramétereit. Egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések esetén közel harmonikus rezgést fogunk kapni, hisz sima F (x) esetén kis szakaszon F (x) grafikonja jól közelíthető érintőjével. F(x) érintõ egyensúly 11111111 00000000 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 x 0 x x 0 19 / 66 .

Bevezetés Ezért x0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 20 / 66 . Bevezetés Ezért x0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések Mivel az érintő meredeksége F ′ (x), ezért a kis rezgések úgy történnek, mintha D = −F ′ (x) rugóállandójú rugón lenne a test. • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 20 / 66 . Bevezetés Ezért x0 körül közel lineáris

erőtörvény érvényesül. Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Mivel az érintő meredeksége F ′ (x), ezért a kis rezgések úgy történnek, mintha D = −F ′ (x) rugóállandójú rugón lenne a test. Tehát egyensúlyi helyzet körüli kis amplitúdójú rezgések frekvenciája: s s ω= F ′ (x) − = m − 1 dF m dx Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 20 / 66 . Bevezetés Ezért x0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések

eredője Mivel az érintő meredeksége F ′ (x), ezért a kis rezgések úgy történnek, mintha D = −F ′ (x) rugóállandójú rugón lenne a test. Tehát egyensúlyi helyzet körüli kis amplitúdójú rezgések frekvenciája: s s ω= F ′ (x) − = m − 1 dF m dx Nem tévedés! Stabil egyensúly esetén F (x) monoton fogy x0 körül, így itt F (x0 ) < 0, ezért ω képletében a gyökjel alatt pozitív szám áll. 20 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: 5 F (x) = − 9 x Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 2 kg? A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges

rezgések eredője 21 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: 5 F (x) = − 9 x Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F (x0 ) = 0, A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 21 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: 5 F

(x) = − 9 x Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Az egyensúly feltétele: F (x0 ) = 0, azaz most 5/x0 − 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: Megoldás: Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 21 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: 5 F (x) = − 9 x Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Az egyensúly feltétele: F (x0 ) = 0, azaz most 5/x0 − 9 = 0. Ez egyszerűen

megoldható: Megoldás: 5 x0 = 9 (Most csak egy megoldásunk van.) 21 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: 5 F (x) = − 9 x Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Az egyensúly feltétele: F (x0 ) = 0, azaz most 5/x0 − 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: Megoldás: 5 x0 = 9 (Most csak egy megoldásunk van.) Stabil-e ez az egyensúlyi helyzet? 21 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa •

egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: 5 F (x) = − 9 x Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Az egyensúly feltétele: F (x0 ) = 0, azaz most 5/x0 − 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: Megoldás: 5 x0 = 9 (Most csak egy megoldásunk van.) Stabil-e ez az egyensúlyi helyzet? Azaz monoton fogyó-e F (x) x0 egy kis környezetén? 21 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás,

kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 22 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: ′ F (x) =  5 −9 x ′ 5 =− 2 x A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 22 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat

tehát: ′ F (x) =  5 −9 x ′ 5 =− 2 x az egyensúlyi pontban: F ′ (x0 ) = − 5 81 = − = −16,2 2 (5/9) 5 Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 22 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője ′ F (x) =  5 −9 x ′ 5 =− 2 x az egyensúlyi pontban: F ′ (x0 ) = − 5 81 = − = −16,2 2 (5/9) 5 Ez valóban negatív, tehát kialakulhat rezgés. A frekvencia: Egymásra merőleges rezgések eredője ω= s − F ′ (x m 0) = r 16,2 1 ≈ 2,85 2 s 22 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás

Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője ′ F (x) =  5 −9 x ′ 5 =− 2 x az egyensúlyi pontban: F ′ (x0 ) = − 5 81 = − = −16,2 2 (5/9) 5 Ez valóban negatív, tehát kialakulhat rezgés. A frekvencia: Egymásra merőleges rezgések eredője ω= s − F ′ (x m 0) = r 16,2 1 ≈ 2,85 2 s A periódusidő: T = (2π)/ω = 2,21 s 22 / 66 . Bevezetés Egy kicsit segíthet, ha felrajzoljuk F (x) grafikonját: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás 20 Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések 15 10 • egy példa • egy másik példa 5 A csillapított rezgőmozgás 0 A gerjesztett rezgőmozgás,

kényszerrezgés 5/x−9 −5 Egyirányú rezgések eredője −10 Egymásra merőleges rezgések eredője −15 −20 −4 −2 0 2 4 Látszik, hogy egy egyensúlyi helyzet van, mely stabil. 23 / 66 egy másik példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F (x) = 10x3 + x2 − 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 7 kg? A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 24 / 66 egy másik példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított

rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F (x) = 10x3 + x2 − 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a test tömege 7 kg? Megoldás: Egyensúlyi helyzet feltétele: F (x) = 10x3 + x2 − 0,2x = 0 Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 24 / 66 egy másik példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F (x) = 10x3 + x2 − 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis rezgések periódusideje, ha a

test tömege 7 kg? Megoldás: Egyensúlyi helyzet feltétele: F (x) = 10x3 + x2 − 0,2x = 0 Nyilvánvaló megoldás az x1 = 0. Az ezen kívüli megoldásokat keresve eloszthatjuk az egyenletet x-szel: 10x2 + x − 0,2 = 0 24 / 66 . Bevezetés Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás x2 = 0,1 x3 = −0,2 Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 25 / 66 . Bevezetés Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések x2 = 0,1 x3 = −0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás,

kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 25 / 66 . Bevezetés Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás x2 = 0,1 x3 = −0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F ′ (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F ′ (x) = 30x2 + 2x − 0,2 A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 25 / 66 . Bevezetés Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges

rezgések eredője x2 = 0,1 x3 = −0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F ′ (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F ′ (x) = 30x2 + 2x − 0,2 F ′ (x1 ) = −0,2 F ′ (x2 ) = 0,3 F ′ (x3 ) = 0,6 Ezek közül csak az első negatív, tehát csak x1 = 0 körül alakul ki rezgés. 25 / 66 . Bevezetés Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) Rezgések kialakulása x2 = 0,1 A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F ′ (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F ′ (x) = 30x2 + 2x − 0,2 A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője x3 = −0,2 F ′ (x1 ) = −0,2 F ′ (x2 ) = 0,3 F ′ (x3 ) = 0,6 Ezek közül csak az első negatív, tehát csak x1 = 0 körül

alakul ki rezgés. ω= s F ′ (x1 ) 1 − ≈ 0,169 m s T = 2π/ω = 37,2 s 25 / 66 . Bevezetés 0.1 Rezgések kialakulása rezgés A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések • kis amplitúdójú rezgések • egy példa • egy másik példa 0.05 3 2 10x + x − 0.2 x 0 A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés −0.05 nincs rezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője −0.1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 26 / 66 Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete A csillapított rezgőmozgás • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 27 / 66 a csillapodás oka Bevezetés

Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A közegellenállást, súrlódást és egyéb fékező hatásokat eddig elhanyagoltuk, pedig fontosak: ha egy testet rezgésbe hozok, de magára hagyok, az egyre kisebb amplitúdóval fog rezegni. (ritka közegben, sűrű közegben) A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 28 / 66 a csillapodás oka Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra

merőleges rezgések eredője A közegellenállást, súrlódást és egyéb fékező hatásokat eddig elhanyagoltuk, pedig fontosak: ha egy testet rezgésbe hozok, de magára hagyok, az egyre kisebb amplitúdóval fog rezegni. (ritka közegben, sűrű közegben) Vegyük figyelembe a közeg hatását: Frugó + Fközeg = m · a Itt Frugó = −Dx, a közeg hatását pedig írjuk fel a következő alakban: Fközeg = −C · v Tehát sebességgel arányos fékezőerőt tételezünk fel. Ez pl kis sebességű mozgásnál jó közelítéssel igaz a közegellenállásra. 28 / 66 a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete Bevezetés Az előzőeket folytatva: Rezgések kialakulása −D · x − C · v = m · a A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított Átrendezve: a=− D C x− v m m rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy

példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 29 / 66 a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete Bevezetés Az előzőeket folytatva: Rezgések kialakulása −D · x − C · v = m · a A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa Átrendezve: a=− D C x− v m m D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω02 . A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 29 / 66 a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete Bevezetés Az előzőeket folytatva: Rezgések kialakulása −D · x − C · v = m · a A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított

rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Átrendezve: a=− D C x− v m m D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω02 . C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β -val β szokásos neve: csillapítási tényező. Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 29 / 66 a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete Bevezetés Az előzőeket folytatva: Rezgések kialakulása −D · x − C · v = m · a A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője

Egymásra merőleges rezgések eredője Átrendezve: a=− D C x− v m m D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω02 . C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β -val β szokásos neve: csillapítási tényező. Így a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete: a = −ω02 x − 2β v 29 / 66 a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete Bevezetés Az előzőeket folytatva: Rezgések kialakulása −D · x − C · v = m · a A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések Átrendezve: A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés a=− D C x− v m m D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω02 . C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát

méri. Jelöljük ezt 2β -val β szokásos neve: csillapítási tényező. Így a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete: Egyirányú rezgések eredője a = −ω02 x − 2β v Egymásra merőleges rezgések eredője Másképp: x′′ = −ω02 x − 2βx′ 29 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 30 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: A harmonikus rezgőmozgás Kis

amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A megoldás jellege alapvetően különbözik ha ω0 > β (kis csillapítás) illetve ha ω0 ≤ β (nagy csillapítás). • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 30 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete A megoldás jellege alapvetően különbözik ha ω0 > β (kis csillapítás) illetve ha ω0 ≤ β (nagy csillapítás). Ezek közül a kis csillapítás fordul elő gyakrabban, így ezt tárgyaljuk részletesen.

• kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 30 / 66 kis csillapítások esete Bevezetés Rezgések kialakulása Amennyiben ω0 > β , a csillapított rezgőmozgás az alábbiak szerint zajlik: A harmonikus rezgőmozgás x(t) = A0 · e−βt sin(ωcs t + ϕ0 ) Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete ahol ωcs = q ω02 − β 2 • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 31 / 66 kis csillapítások esete Bevezetés Rezgések kialakulása Amennyiben ω0 > β , a csillapított rezgőmozgás az alábbiak szerint zajlik: A harmonikus rezgőmozgás x(t) = A0 · e−βt sin(ωcs t + ϕ0 )

Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa ahol ωcs = q ω02 − β 2 Tehát a csillapított rezgés frekvenciája kisebb, mint a csillapítatlan (ωcs < ω0 ), amplitúdója pedig A0 -ról exponenciális függvény szerint csökken. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 31 / 66 kis csillapítások esete Bevezetés Rezgések kialakulása Amennyiben ω0 > β , a csillapított rezgőmozgás az alábbiak szerint zajlik: A harmonikus rezgőmozgás x(t) = A0 · e−βt sin(ωcs t + ϕ0 ) Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés

Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője ahol ωcs = q ω02 − β 2 Tehát a csillapított rezgés frekvenciája kisebb, mint a csillapítatlan (ωcs < ω0 ), amplitúdója pedig A0 -ról exponenciális függvény szerint csökken. Maga az amplitúdó időbeli változása: A(t) = A0 e−βt 31 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás x A 0 Kis amplitúdójú rezgések x(t) A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított t rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés −A 0 Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 32 / 66 nagy csillapítások esete Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések Amennyiben ω0 ≤ β , nem is alakul ki rezgőmozgás, hanem az x(t) függvény monoton csökkenően

0-hoz tart. x A csillapított rezgőmozgás nagyon erõs csill. • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa erõs csill. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője t 33 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Egy csillapodó rezgőmozgás amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 34 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések Egy

csillapodó rezgőmozgás amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Megoldás: A szöveg szerint: A csillapított rezgőmozgás A0 = A(t) = A0 e−βt 2 • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa ahol t = 12 s. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 34 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egy csillapodó rezgőmozgás amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Megoldás: A szöveg szerint: A0 = A(t) = A0 e−βt 2 ahol t

= 12 s. Innen egyszerű átrendezéssel: β= ln 2 1 = 0,0578 t s Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 34 / 66 még egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések Egy csillapodó rezgőmozgás körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 35 / 66 még egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás

alapegyenlete Egy csillapodó rezgőmozgás körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A0 = 0,15 m A1 = 0,03 m t1 = 10 s ωcs = 1,3 Hz • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 35 / 66 még egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egy csillapodó rezgőmozgás körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója

kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A0 = 0,15 m A1 = 0,03 m t1 = 10 s ωcs = 1,3 Hz Tudjuk, hogy A1 = A0 e−βt1 Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 35 / 66 még egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás • a csillapodás oka • a csillapított rezgőmozgás alapegyenlete • kis csillapítások esete • egy példa • még egy példa A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Egy csillapodó rezgőmozgás körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A0 = 0,15 m A1 = 0,03 m t1 = 10 s

ωcs = 1,3 Hz Tudjuk, hogy A1 = A0 e−βt1 innét egyszerű átrendezéssel: 1 A1 1 β = − ln = 0,16 t1 A0 s 35 / 66 . Keressük azt a t2 időpontot, melyre A(t2 ) = A2 = 0,001 m: 36 / 66 . Keressük azt a t2 időpontot, melyre A(t2 ) = A2 = 0,001 m: A2 = A0 e −βt2 1 A2 = 31,1s ⇒ t2 = − ln β A0 (Figyelem! Az amplitúdó nem lineárisan csökkent!) 36 / 66 . Keressük azt a t2 időpontot, melyre A(t2 ) = A2 = 0,001 m: A2 = A0 e −βt2 1 A2 = 31,1s ⇒ t2 = − ln β A0 (Figyelem! Az amplitúdó nem lineárisan csökkent!) A csillapítatlan ω0 frekvencia a fenti ωcs = q ω02 − β 2 összefüggésből kapható meg: ω0 = q 2 + β 2 = 1,31 Hz ωcs 36 / 66 Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása A gerjesztett

rezgőmozgás, kényszerrezgés • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 37 / 66 gerjesztett rezgések alapegyenlete Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan „rezgeti”, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl hinta külső állandó löködéssel.) Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 38 / 66 gerjesztett rezgések alapegyenlete Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete

• a gerjesztett rezgés időbeli lefutása Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan „rezgeti”, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl hinta külső állandó löködéssel.) Legegyszerűbb eset: amikor a gerjesztő erő szinuszosan változik: ma = Frugó + Fközeg + Fg ahol Fg = F0 sin(ωg t) • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 38 / 66 gerjesztett rezgések alapegyenlete Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan „rezgeti”, azaz

gerjeszti a rezgést. (Pl hinta külső állandó löködéssel.) Legegyszerűbb eset: amikor a gerjesztő erő szinuszosan változik: ma = Frugó + Fközeg + Fg ahol Fg = F0 sin(ωg t) A fentiekhez hasonlóan: a = −ω02 x − 2βv + a0 sin(ωg t) ahol a0 = F0 /m. 38 / 66 a gerjesztett rezgés időbeli lefutása Bevezetés Kis csillapítások esetén a megoldás: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás x(t) = Ag · sin(ωg t + δ) + A · e−βt sin(ωcs t + ϕ0 ) (A bizonyítást mellőzzük, a megoldás helyességét deriválással ellenőrizhető.) A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 39 / 66 a gerjesztett rezgés időbeli lefutása Bevezetés Kis csillapítások esetén a megoldás:

Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa x(t) = Ag · sin(ωg t + δ) + A · e−βt sin(ωcs t + ϕ0 ) (A bizonyítást mellőzzük, a megoldás helyességét deriválással ellenőrizhető.) x Ag Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője t 39 / 66 a rezonancia Bevezetés Hosszú távon tehát Ag számít. Ennek kifejezése: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Ag = q (ω02 − ωg2 )2 + 4β 2 ωg2 Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a0 Ag nincs csill. • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője gyenge csill.

Egymásra merőleges rezgések eredője erõs csill. ω 0 ωg 40 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A sajátfrekvencia környékén tehát a gerjesztett rezgés amplitúdója igen megnőhet, ha a csillapítás kicsi. Ez a rezonancia jelensége A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 41 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A sajátfrekvencia környékén tehát a gerjesztett rezgés amplitúdója igen megnőhet, ha a csillapítás kicsi. Ez a rezonancia jelensége A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli

lefutása Egyszerű példa: rezgetett végű rugón lógó test. Ez sokszor fellép a gyakorlatban, néha káros, néha hasznos. • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 41 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések Egy rezgés sajátfrekvenciája ω0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett rezgések jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 42 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A

gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egy rezgés sajátfrekvenciája ω0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett rezgések jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? Megoldás: A gerjesztett rezgések amplitúdója: a0 Ag (ωg ) = q (ω02 − ωg2 )2 + 4β 2 ωg2 Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 42 / 66 egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Egy rezgés sajátfrekvenciája ω0 = 12,4 1/s. A

rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett rezgések jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? Megoldás: A gerjesztett rezgések amplitúdója: a0 Ag (ωg ) = q (ω02 − ωg2 )2 + 4β 2 ωg2 A sajátfrekvencián kialakuló rezgések esetében ez: a0 a0 Ag (ω0 ) = q = 2βω0 (ω02 − ω02 )2 + 4β 2 ω02 42 / 66 . Bevezetés Igen kis frekvencián: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás a0 = 2 ω0 (ω02 − 02 )2 + 4β 2 02 Ag (0) = q a0 A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 43 / 66 . Bevezetés Igen kis frekvencián: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított

rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a0 = 2 ω0 (ω02 − 02 )2 + 4β 2 02 a0 Ag (0) = q Ezek arányát kérdezi a feladat: Ag (ω0 ) ω0 = Ag (0) 2β • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 43 / 66 . Bevezetés Mennyi lesz β ? Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 44 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás Mennyi lesz β ? Mivel a rezgés amplitúdója t = 3,2 s alatt feleződik meg: A0 = A0 ·

e−βt 2 ⇒ β= ln 2 1 = 0,217 t s A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője 44 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés • gerjesztett rezgések alapegyenlete • a gerjesztett rezgés időbeli lefutása • a rezonancia • egy példa Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Mennyi lesz β ? Mivel a rezgés amplitúdója t = 3,2 s alatt feleződik meg: A0 = A0 · e−βt 2 ⇒ β= ln 2 1 = 0,217 t s A kérdezett arány tehát: Ag (ω0 ) ω0 = = 28,6 Ag (0) 2β Tehát a rezonanciafrekvencián kialakuló rezgések amplitúdója 28,6-szor nagyobb a kis frekvenciák mellett kialakuló amplitúdónál. (Ez

valóban jelentős különbség: a frekvenciától függően tehát kb. 30-szoros eltérés lehet a gerjesztett rendszer amplitúdójában.) 44 / 66 Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 45 / 66 Bevezetés Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti rezgések. A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett

rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 46 / 66 Bevezetés Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti rezgések. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra

merőleges rezgések eredője 46 / 66 Bevezetés Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti rezgések. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú rezgések: eredőjük egyenes menti rezgés. Merőleges rezgések: eredőjük síkmozgás. meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 46 / 66 Bevezetés Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis

amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti rezgések. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú rezgések: eredőjük egyenes menti rezgés. Merőleges rezgések: eredőjük síkmozgás. meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú Sőt! Tovább korlátozzuk a vizsgálatokat harmonikus rezgésekre. rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 46 / 66 Alapvető meggondolások Bevezetés Két harmonikus rezgés összege: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás x(t) = A1 ·

sin(ω1 t + ϕ1 ) + A2 · sin(ω2 t + ϕ2 ) Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 47 / 66 Alapvető meggondolások Bevezetés Két harmonikus rezgés összege: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés x(t) = A1 · sin(ω1 t + ϕ1 ) + A2 · sin(ω2 t + ϕ2 ) Ha semmit nem tudunk az együtthatókról, semmi különös nem állítható a két rezgés összegéről. Például ha ω1 /ω2 nem racionális, az eredő nem is lesz periodikus. Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője

• azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 47 / 66 Alapvető meggondolások Bevezetés Két harmonikus rezgés összege: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás x(t) = A1 · sin(ω1 t + ϕ1 ) + A2 · sin(ω2 t + ϕ2 ) Ha semmit nem tudunk az együtthatókról, semmi különös nem állítható a két rezgés összegéről. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Például ha ω1 /ω2 nem racionális, az eredő nem is lesz periodikus. Egyirányú rezgések eredője Gyakorlat szempontjából fontos eset: ω1 = ω2 = ω • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 47 / 66 szemléltetés: azonos frekvenciák Nézzük meg először bizonyítás nélkül a legjellemzőbb

eseteket! 48 / 66 szemléltetés: azonos frekvenciák Nézzük meg először bizonyítás nélkül a legjellemzőbb eseteket! A1 = A2 = 1, ω1 = ω2 = 1, ϕ1 = 0, ϕ2 = 1 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −2 −50 −25 0 25 50 −2 −50 −25 0 25 50 (kék, zöld: eredeti rezgések, piros: eredő) 48 / 66 szemléltetés: racionális frekvenciaarány A1 = A2 = 1, ω1 = 1, ω2 = 2, ϕ1 = ϕ2 = 0 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −2 −50 −25 0 25 50 −2 −50 −25 0 25 50 (kék, zöld: eredeti rezgések, piros: eredő) 49 / 66 szemléltetés: közel irracionális frekvenciaarány Természetesen nem tudunk egzaktul irracionális frekvenciaarányt bemutatni, csak olyat, mely esetén a frekvenciaarány viszonylag nagy számlálójú és nevezőjű törtként áll elő. A1 = A2 = 1, ω1 = 1, ω2 = √ 5, ϕ1 = ϕ2 = 0 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −2 −50 −25 0 25 50 −2 −50 −25 0 25 50 (kék, zöld: eredeti rezgések,

piros: eredő) 50 / 66 megoldási módszer Bevezetés Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések x(t) = A1 · sin(ωt + ϕ1 ) + A2 · sin(ωt + ϕ2 ) A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 51 / 66 megoldási módszer Bevezetés Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője x(t) = A1 · sin(ωt + ϕ1 ) + A2 · sin(ωt + ϕ2 ) Kétféle módszer lehetséges: • matematikai azonosságokkal (addíciós tételek)

• grafikus szemléltetéssel • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 51 / 66 megoldási módszer Bevezetés Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője x(t) = A1 · sin(ωt + ϕ1 ) + A2 · sin(ωt + ϕ2 ) Kétféle módszer lehetséges: • matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) • grafikus szemléltetéssel Mi az utóbbit választjuk. Módszer neve: forgóvektoros ábrázolás • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 51 / 66 megoldási

módszer Bevezetés Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője x(t) = A1 · sin(ωt + ϕ1 ) + A2 · sin(ωt + ϕ2 ) Kétféle módszer lehetséges: • matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) • grafikus szemléltetéssel Mi az utóbbit választjuk. Módszer neve: forgóvektoros ábrázolás Alapötlet: forogjon egy A hosszúságú vektor úgy, hogy irányszöge ωt + ϕ szerint változzon. Ekkor 2 koordinátája épp egy harmonikus rezgést ír le: A · sin(ωt + ϕ) Szinuszos rezgőmozgás helyett egyenletes körmozgást vizsgálunk. 51 / 66 a forgóvektoros

ábrázolás Bevezetés Szemléltessük az előzőket: Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés A sin(ωt + ϕ) A Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú ωt + ϕ rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 52 / 66 két rezgés eredője Bevezetés Rezgések kialakulása Forgóvektoros ábrázolással két rezgés eredője is kiszámolható. Ötlet: a vektorok komponensenként is összeadhatók, A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A

lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 53 / 66 két rezgés eredője Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések Forgóvektoros ábrázolással két rezgés eredője is kiszámolható. Ötlet: a vektorok komponensenként is összeadhatók, A forgóvektorokat adjuk össze, és az összeg 2. koordinátáját figyeljük t=0 A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető A α A A2 ϕ2 meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője A2 ϕ1 A1 A1 • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője Könnyű belátni, hogy α = π − ϕ2 + ϕ1 53 / 66 . A cosinus-tételből: A2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos α 54 / 66 . A cosinus-tételből: A2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos α A2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos(π − ϕ2 + ϕ1 ) = = A21 + A22 + 2A1 A2

cos(ϕ2 − ϕ1 ) Innen az eredő amplitúdó: A= q A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) 54 / 66 . A cosinus-tételből: A2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos α A2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos(π − ϕ2 + ϕ1 ) = = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) Innen az eredő amplitúdó: A= q A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) Ha a rezgések frekvenciája egyenlő, a vektorok ugyanolyan ütemben fordulnak körbe, így az előző ábra vektorait csak elforgatni kell. Ekkor az eredő tiszta szinuszos rezgés lesz a fenti A amplitúdóval. 54 / 66 azonos frekvenciájú rezgések eredője Bevezetés Rezgések kialakulása Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú rezgések eredője tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A= q A21 + A22 + 2A1 A2 cos ∆ϕ A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés •

Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 55 / 66 azonos frekvenciájú rezgések eredője Bevezetés Rezgések kialakulása Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú rezgések eredője tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője A= q A21 + A22 + 2A1 A2 cos ∆ϕ Adott A1 és A2 esetén ez csak a ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 fáziskülönbségtől függ. • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 55 / 66 azonos frekvenciájú rezgések eredője Bevezetés Rezgések kialakulása Az előzőek

alapján tehát az azonos frekvenciájú rezgések eredője tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető A= q A21 + A22 + 2A1 A2 cos ∆ϕ Adott A1 és A2 esetén ez csak a ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 fáziskülönbségtől függ. Ez a függés monoton: A akkor a legnagyobb, ha ∆ϕ a legnagyobb és viszont. meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 55 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ∆ϕ = 0 + k · 2π , ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos

∆ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A= q A21 + A22 + 2A1 A2 · 1 = q (A1 + A2 )2 ) Amax = A1 + A2 Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője 56 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ∆ϕ = 0 + k · 2π , ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ∆ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A= A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője q A21 + A22 + 2A1 A2 · 1 = q (A1 +

A2 )2 ) Amax = A1 + A2 Hasonlóan: legkisebb eredő amplitúdó akkor lesz, ha ∆ϕ = π + k · 2π , ekkor cos ∆ϕ = −1. A legkisebb eredő amplitúdó tehát: A= q A21 + A22 + 2A1 A2 · (−1) = Amin = |A1 − A2 | q (A1 − A2 )2 ) 56 / 66 . Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ∆ϕ = 0 + k · 2π , ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ∆ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A= A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője q A21 + A22 + 2A1 A2 · 1 = q (A1 + A2 )2 ) Amax = A1 + A2 Hasonlóan: legkisebb eredő amplitúdó akkor lesz, ha ∆ϕ = π + k · 2π ,

ekkor cos ∆ϕ = −1. A legkisebb eredő amplitúdó tehát: A= q A21 + A22 + 2A1 A2 · (−1) = Amin = |A1 − A2 | q (A1 − A2 )2 ) Az eredő amplitúdó tehát A1 + A2 és |A1 − A2 | közt bármilyen érték lehet. 56 / 66 Egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás Példa: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 15 Vos, ha csak a másik, akkor 12 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését! A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője

57 / 66 Egy példa Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője • Bevezetés • Alapvető meggondolások • megoldási módszer • két rezgés eredője • azonos frekvenciájú rezgések eredője • A lebegés Egymásra merőleges rezgések eredője Példa: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 15 Vos, ha csak a másik, akkor 12 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését! Megoldás: Párhuzamos rezgések eredőjéről van szó: A1 = 15 V és A2 = 12 V, az eredő pedig A = 5 V. A= q A21 + A22 + 2A1 A2 cos ∆ϕ átrendezésével a fáziseltérés koszinusza: A2 − A21 − A22 cos ∆ϕ = =

−0,9556. 2A1 A2 Innen: ∆ϕ = ±2,842 + k · 2π = ±162,9◦ + k · 360◦ , ahol k tetszőleges egész. 57 / 66 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? 58 / 66 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, 58 / 66 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, azaz ∆ϕ lassan változik, 58 / 66 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, azaz ∆ϕ lassan változik, azaz az eredő amplitúdó lassan, periodikusan csökken-növekszik. 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −2 −50 −25 0 25 50 −2 −50 −25 0 25 50 A

jelenség neve: lebegés. 58 / 66 Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 frekvenciaarány 59 / 66 Merőleges rezgések eredője Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés x(t) = A1 · sin(ω1 t + ϕ1 ) y(t) = A2 · sin(ω2 t + ϕ2 ) • A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A1 , y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A2 hosszúságú. Egyirányú rezgések eredője Egymásra

merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 frekvenciaarány 60 / 66 Merőleges rezgések eredője Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete x(t) = A1 · sin(ω1 t + ϕ1 ) y(t) = A2 · sin(ω2 t + ϕ2 ) • A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A1 , y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A2 hosszúságú. • Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A1 = A2 = 1 m esetet tárgyalni. • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3

frekvenciaarány • 1:1,4142136 frekvenciaarány 60 / 66 Merőleges rezgések eredője Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 x(t) = A1 · sin(ω1 t + ϕ1 ) y(t) = A2 · sin(ω2 t + ϕ2 ) • A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A1 , y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A2 hosszúságú. • Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A1 = A2 = 1 m esetet tárgyalni. • Ha a frekvenciák aránya racionális, akkor a mozgás pályája egy idő után önmagába tér vissza:

Lissajous-görbék. frekvenciaarány 60 / 66 Merőleges rezgések eredője Bevezetés Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 x(t) = A1 · sin(ω1 t + ϕ1 ) y(t) = A2 · sin(ω2 t + ϕ2 ) • A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A1 , y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A2 hosszúságú. • Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A1 = A2 = 1 m esetet tárgyalni. • Ha a frekvenciák aránya racionális, akkor a mozgás pályája egy idő után önmagába tér vissza: Lissajous-görbék. • Ha

a frekvenciák aránya irracionális, akkor a pálya sosem záródik. frekvenciaarány 60 / 66 azonos frekvenciák esete Bevezetés Első tárgyalt eset: ω1 = ω2 = ω . Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 frekvenciaarány 61 / 66 azonos frekvenciák esete Bevezetés Első tárgyalt eset: ω1 = ω2 = ω . Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések A csillapított rezgőmozgás x(t) = sin(ωt + ϕ1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ2 ) Ha ϕ1 = ϕ2 , akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Egyirányú

rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 frekvenciaarány 61 / 66 azonos frekvenciák esete Bevezetés Első tárgyalt eset: ω1 = ω2 = ω . Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések x(t) = sin(ωt + ϕ1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ2 ) A csillapított rezgőmozgás Ha ϕ1 = ϕ2 , akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Ha ϕ1 = ϕ2 + π/2, akkor: Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete x(t) = cos(ωt + ϕ2 ) y(t) = sin(ωt + ϕ2 ) Ez egy körmozgás! • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 frekvenciaarány 61 / 66

azonos frekvenciák esete Bevezetés Első tárgyalt eset: ω1 = ω2 = ω . Rezgések kialakulása A harmonikus rezgőmozgás Kis amplitúdójú rezgések x(t) = sin(ωt + ϕ1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ2 ) A csillapított rezgőmozgás Ha ϕ1 = ϕ2 , akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni. A gerjesztett rezgőmozgás, kényszerrezgés Ha ϕ1 = ϕ2 + π/2, akkor: Egyirányú rezgések eredője Egymásra merőleges rezgések eredője • Merőleges rezgések eredője • azonos frekvenciák esete • 1:2 frekvenciaarány • 1:3 frekvenciaarány • 2:3 frekvenciaarány • 1:1,4142136 x(t) = cos(ωt + ϕ2 ) y(t) = sin(ωt + ϕ2 ) Ez egy körmozgás! Az előző két eset közti átmenetben a kör és az egyenes átmenetét kapjuk. Bebizonyítható, hogy pontosan ellipszis lesz az alak frekvenciaarány 61 / 66 .szemléltetés ∆ϕ = 0 ∆ϕ = (1/4)π ∆ϕ = (1/2)π ∆ϕ = (3/4)π 62 / 66 1:2

frekvenciaarány Bizonyítás nélkül, csak szemléltetjük az ω2 = 2ω1 esetet. ∆ϕ = 0 ∆ϕ = (1/4)π ∆ϕ = (1/2)π ∆ϕ = (3/4)π 63 / 66 1:3 frekvenciaarány Bizonyítás nélkül, csak szemléltetjük az ω2 = 3ω1 esetet. ∆ϕ = 0 ∆ϕ = (1/4)π ∆ϕ = (1/2)π ∆ϕ = (3/4)π 64 / 66 2:3 frekvenciaarány Bizonyítás nélkül, csak szemléltetjük az 2ω2 = 3ω1 esetet. ∆ϕ = 0 ∆ϕ = (1/4)π ∆ϕ = (1/2)π ∆ϕ = (3/4)π 65 / 66 1:1,4142136 frekvenciaarány Bizonyítás nélkül, csak szemléltetjük az ω2 = T = 10 T = 1000 √ 2ω1 esetet. T = 100 T = 10000 Látható, hogy a pálya nem záródik, ezért a teljes területet betölti a mozgás. 66 / 66