Matematika | Középiskola » Vajda István - Függvények

Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 2. Függvények 2.1 Elméleti összefoglaló • Ha az f függvény az A halmaz minden eleméhez hozzárendeli a B halmaz pontosan egy elemét, de az A halmazon kívüli elemekhez nem rendel semmit, akkor A-t az f függvény értelmezési tartományának nevezzük, és D f -fel jelöljük. A B halmaz azon elemeinek halmazát, amelyek előállnak képként (amelyeket az f függvény hozzárendel D f legalább egy eleméhez) az f függvény értékkészletének nevezzük és R f fel jelöljük. A = Df B Rf Megjegyzések: • A függvényt gyakran az értelmezési tartományával együtt adjuk meg. Ha az értelmezési tartományt nem adtuk meg akkor a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük értelmezési tartománynak, amelynek elemeihez a megadott hozzárendelési szabály segítségével értéket tudunk rendelni. • A B halmaz tehát nem feltétlenül egyezik meg az értékkészlettel – bár az

is előfordulhat – mert lehetnek B-nek olyan elemei, amelyek nem állnak elő képként. Mindenképpen igaz viszont az R f ⊆ B összefüggés. Készítette: Vajda István 38 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Példák: Az f : [−1, 2] R, f (x) = 1 − x függvény értelmezési tartománya a [−1, 2] intervallum, mert ez szerepel a függvény megadásában. (Bár a hozzárendelési szabály alkamas lenne arra, hogy ezen intervallumon kívüli elemet, pl. 5-öt behelyettesítsünk) Ugyanezt a függvényt megadhatjuk a következőképpen is: f : D f = [−1, 2] , f (x) = 1 − x y 2 graf (1 − x) 1 Rf x Df -1 1 2 -1 A függvény grafikonjáról leolvasható, hogy f értékkészlete ugyancsak a [−1, 2] intervallum. √ A g(x) = 1 − x függvény értelmezési tartománya a ]−∞, 1] halmaz (amelybe az x ≦ 1 számok tartoznak), mert negatív számból nem tudunk gyököt vonni (pontosabban majd tudni fogunk, de az eredmény nem

valós szám lesz). Figyeljük meg, hogy ez a lehető legbővebb halmaz amit választhattunk, mert minden olyan x szám benne van, amelyre 1 − x ≧ 0. A g függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza, azaz Rg = [0, ∞[. y 2 Rf 1 graf Df -5 -4 -3 √ 1−x x -2 -1 1 2 Definíció Az f : D f R függvény zérushelyén olyan x ∈ D f számot értünk, amelyre f (x) = 0. Megjegyzések: • Egy függvénynek lehet több – esetleg végtelen sok – zérushelye is, de az az is előfordulhat, hogy nincs zérushelye. • A zérushelye(ke)t a függvénygrafikonon a függvénygörbe x-tengellyel való metszéspontja(i) szemléltetik. Készítette: Vajda István 39 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Példák: Az f (x) = 2x − 6 függvénynek egyetlen zérushelye az x = 3, mert f (3) = 2 · 3 − 6 = 0 és f helyettesítési értéke minden más helyen 0-tól különböző. Figyeljük meg, hogy a zérushely az f (x) = 0,

azaz 2x − 6 = 0 egyenlet megoldása. A g : [−2, 2] R, g(x) = 2x − 6 függvénynek nincs zérushelye, mert a 3 azaz a g(x) = 0 egyenlet megoldása nem esik g értelmezési tartományába. y y 2 2 x -2 2 x 4 -2 2 -2 -2 -4 -4 -6 4 -6 graf f graf g -8 -8 -10 -10 A h(x) = sin x függvénynek végtelen sok zérushelye van, mégpedig az x = kπ (Tehát . , −3π, −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, ) k ∈ Z számok. y graf sin x 1 x −2π π −π 2π -1 A k(x) = x2 − 3x + 2 függvénynek két zérushelye van: az x = 1 és az x = 2. (Ezek az x2 − 3x + 2 = 0 egyenlet megoldásai.) y 2 graf k 1 x 1 2 3 -1 Készítette: Vajda István 40 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Definíció Az f : D f R függvény páros, ha ∀x ∈ D f esetén (−x) ∈ D f is teljesül és f (−x) = f (x). Definíció Az f : D f R függvény páratlan, ha ∀x ∈ D f esetén (−x) ∈ D f is teljesül és f (−x) = − f (x).

Megjegyzések: • A ∀x ∈ D f jelölés azt jelenti, hogy az állítás minden olyan x számra teljesül, amely benne van az f függvény értelmezési tartományában. • A páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvények grafikonja pedig középpontosan szimmetrikus az origóra. Példák:Az f (x) = x2 függvény páros, mert a valós számok halmazán értelmezett és ∀x ∈ D f esetén (−x)2 = x2 . A g : [−1, 2] R, g(x) = x2 függvény nem páros, mert 2 ∈ D g , de −2 < D g . Ugyanezért g nem lehet páratlan sem. Az x 7 xn függvény páros ha n páros egész szám, és páratlan, ha n páratlan egész szám. A h(x) = ex függvény nem páros és nem is páratlan, mert pl. h(1) = e ≈ 2, 72 és h(−1) = e = 1e ≈ 0, 368. Tehát a h(1) nem egyezik meg a h(−1)-gyel, de nem is ellentettjei egymásnak h i A k : − π2 , π2 R, k(x) = sin x függvény páratlan, mert ∀x ∈ D f esetén (−x) ∈ D f is

teljesül és sin(−x) = − sin x. −1 Az x 7 cos x függvény páros, az x 7 tg x és x 7 ctg x függvények viszont páratlanok. Definíció Az f : D f R függvény periodikus, ha ∃p ∈ R+ , amelyre ∀x ∈ D f esetén (x ± p) ∈ D f is teljesül és f (x ± p) = f (x). A p számot az f függvény periódusának nevezzük. Megjegyzések: • A ∃p ∈ R+ jelölés azt jelenti, hogy létezik (van olyan) p pozitív szám amelyre az állítás teljesül. • Ha egy p szám periódusa egy f függvénynek, akkor ∀n ∈ Z+ esetén np is periódusa f -nek. Készítette: Vajda István 41 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Példák: Az f (x) = sin x függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa 2π. További periódusai 4π, 6π, . Az f (x) = tg x függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa π. Az f (x) = x2 − 4x + 3 függvény nem periodikus. Ez szemmel látható pl a grafikonjáról, de igazolhatjuk úgy is, hogy pontosan

két zérushelye van (x = 1 és x = 3), tehát nem található olyan p pozitív szám amelyre f (3) = f (3 + p) teljesülne. Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény felülről korlátos, ha ∃K ∈ R, amelyre teljesül, hogy ∀x ∈ D f esetén f (x) ≤ K. A K számot az f függvény egy felső korlátjának nevezzük. Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény alulról korlátos, ha ∃k ∈ R, amelyre teljesül, hogy ∀x ∈ D f esetén f (x) ≥ k. A k számot az f függvény egy alsó korlátjának nevezzük. Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Megjegyzések: • Ha az f függvénynek egy K ∈ R szám felső korlátja, akkor minden K-nál nagyobb valós szám is felső korlátja. Hasonlóan, ha k ∈ R alsó korlátja a g függvénynek, akkor g-nek minden k-nál kisebb valós szám is alsó korlátja. • Ha az f függvénynek van felső korlátja, akkor van legkisebb felső korlátja

is, azaz van a felső korlátai között egy legkisebb. Hasonlóan, ha a g függvény alulról korlátos, akkor van legnagyobb alsó korlátja. Példák: • Az f (x) = 2x − 6 függvény sem alulról, sem felülről nem korlátos. • A k(x) = x2 −3x+2 függvény alulról korlátos, de felülről nem korlátos (így nem korlátos). Alsó korlátja pl. a −1, −2, stb A legnagyobb alsó korlátja − 14 = −0, 25 Készítette: Vajda István 42 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag • Az f (x) = sin x függvény korlátos. Legnagyobb alsó korlátja a −1, legkisebb felső korlátja 1. Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény monoton növekedő, ha ∀x1, x2 esetén x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2). Megjegyzések: • f : D f R (D f ⊆ R) azt jelenti, hogy az f függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is a valós számok valamilyen részhalmaza. (Nem feltétlenül valódi részhalmaza, bármelyik lehet egyenlő is

a valós számok halmazával.) • A függvény tehát monoton növekedő, ha az értelmezési tartomány két különböző elemét véve, azok közül a nagyobbikhoz legalább akkora függvényérték tartozik, mint a kisebbikhez. y x Monoton növekedő függvény grafikonja Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény szigorúan monoton növekedő, ha ∀x1, x2 esetén x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Megjegyzések: • Tehát a szigorúan monoton növekedő függvény értelmezési tartományának két különböző eleméhez nem tartozhat ugyanaz a függvényérték. • A szigorúan monoton növekedő függvény mindig monoton növekedő is, azonban a monoton növekedő függvény nem biztos, hogy szigorúan monoton növekedő is. Másképpen fogalmazva a szigorúan monoton növekedő függvények a monoton növekedő függvények valódi részhalmazát képezik. Készítette: Vajda István 43 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag

Monoton növekedő függvények Szigorúan monoton növekedő függvények Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény monoton csökkenő, ha ∀x1, x2 esetén x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2). Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény szigorúan monoton csökkenő, ha ∀x1, x2 esetén x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2). Megjegyzés: A monoton csökkenő függvények halmazának valódi részhalmaza a szigorúan monoton csökkenő függvények halmaza. Példák: • Az f (x) = 2x − 1 függvény szigorúan monoton növekedő (így monoton növekedő is). • Az előjelfüggvényt (szignum függvény) a következőképpen definiáljuk:   1 ha x > 0    0 ha x = 0 sgn (x) =     −1 ha x < 0 y 1 graf sgn x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 −1 Az előjelfüggvény monoton növekedő, de nem szigorúan monoton növekedő. • Az f (x) = x2 függvény nem monoton, mert x1 < x2 esetén f (x1 ) és f (x2 ) bármilyen relációban

lehet egymással: 1 < 2 és 12 < 22 −3 < −2 és (−3)2 > (−2)2 −2 < 2 és (−2)2 = 22 Készítette: Vajda István 44 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag • A g : [0, ∞[ R, g (x) = x2 függvény szigorúan monoton növekedő. (Két nemnegatív szám közül a nagyobbiknak a négyzete is nagyobb) 1 • Az f (x) = függvény nem monoton: x 1 1 2 < 3 és > 2 3 1 1 −5 < −4 és − > − 5 4 1 −1 < 2 és −1 < 2 (Az első két sor alapján még gondolhatnánk, hogy a függvény (szigorúan) monoton csökkenő, de a harmadik sor ezt kizárja.) 1 • A g : ]0, ∞[ R, g (x) = függvény szigorúan monoton csökkenő (tehát monoton x csökkenő is), mert két pozitív szám közül a nagyobbik reciproka a kisebb. Definíció Legyen f : D f R (D f ⊆ R) függvény és I ⊆ D f , ahol I egy intervallum. Az f függvény konvex az I intervallumon, ha f (b) − f (a) (x − a) + f (a). ∀a, x, b esetén a

< x < b ⇒ f (x) ≤ b−a Megjegyzés: A konvexitás szemléletes jelentése, hogy kiválasztva az I intervallum két
tetszőleges
pontját (a, b ∈ I), az függvénygrafikon ezekhez tartozó pontjait (P a, f (a) és Q b, f (b) ) összekötve egy olyan húrt kapunk, ami egyetlen helyen sincs a „függvénygrafikon alatt”. y P2 Q2 x Q1 P1 Készítette: Vajda István 45 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Definíció Legyen f : D f R (D f ⊆ R) függvény és I ⊆ D f , ahol I egy intervallum. Az f függvény szigorúan konvex az I intervallumon, ha f (b) − f (a) (x − a) + f (a). ∀a, x, b esetén a < x < b ⇒ f (x) < b−a Megjegyzés: Itt az előző megjegyzésben szereplő húr pontjai – a végpontokat kivéve – a „függvénygrafikon felett” vannak. y P Q x Definíció Legyen f : D f R (D f ⊆ R) függvény és I ⊆ D f , ahol I egy intervallum. Az f függvény konkáv az I intervallumon, ha f (b) −

f (a) (x − a) + f (a). ∀a, x, b esetén a < x < b ⇒ f (x) ≥ b−a Definíció Legyen f : D f R (D f ⊆ R) függvény és I ⊆ D f , ahol I egy intervallum. Az f függvény szigorúan konkáv az I intervallumon, ha f (b) − f (a) (x − a) + f (a). ∀a, x, b esetén a < x < b ⇒ f (x) > b−a Készítette: Vajda István 46 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Példák: • Az f (x) = x2 függvény szigorúan konvex (tehát konvex is). • A g (x) = −x2 függvény szigorúan konkáv (tehát konkáv is). • A h (x) = |x| függvény konvex, de nem szigorúan konvex. • A k (x) = sin x függvény se nem konvex, se nem konkáv. Van azonban olyan intervallum ahol konvex, illetve konkáv: pl a [0, π] intervallumon szigorúan konkáv, a [π, 2π] intervallumon szigorúan konvex. • Az l (x) = 2x − 3 függvény egyszerre konvex is konkáv is (de nem szigorúan). Definíció Az x0 valós számot az f : D f R (D f ⊆ R)

függvény (abszolút) maximum helyének nevezzük, ha x0 ∈ D f és ∀x ∈ D f esetén f (x) ≤ f (x0). Ebben az esetben az x0 helyen felvett f (x0) függvényértéket az f függvény (abszolút) maximum értékének nevezzük. Megjegyzések: • Nem minden függvénynek van maximum helye (és maximum értéke). • Egy függvénynek több maximum helye is lehet, de legfeljebb 1 (abszolút) maximum értéke. Definíció Az x0 valós számot az f : D f R (D f ⊆ R) függvény (abszolút) minimum helyének nevezzük, ha x0 ∈ D f és ∀x ∈ D f esetén f (x) ≥ f (x0). Ebben az esetben az x0 helyen felvett f (x0) függvényértéket az f függvény (abszolút) minimum értékének nevezzük. Megjegyzés: A maximum- és minimum helyet közös néven szélsőértékhelynek, a maximumés minimum értékeket pedig szélsőértéknek nevezzük. Készítette: Vajda István 47 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Példák: • Az f (x) = −x + 5

függvénynek nincs szélsőértéke. (Tehát szélsőértékhelye sincs) • A g (x) = x2 függvénynek az x0 = 0 hely minimumhelye, és az itt felvett g (x0 ) = g (0) = 0 a minimum értéke. Maximuma nincs. 1 függvénynek az x0 = 0 hely a maximumhelye, +1 1 maximum értéke pedig h (x0 ) = 2 = 1. 0 +1 Minimuma nincs. • A h (x) = x2 • A k (x) = sin x függvénynek végtelen sok maximumhelye van. Ezeken a helyeken 1-et vesz fel, tehát maximum értéke 1. π A maximumhelyeket + 2kπ (k ∈ Z) alakban tudjuk megadni. A k paraméter tet2 szőleges egész szám lehet, ezeket a képletbe helyettesítve egyenként kaphatjuk meg a maximumhelyeket. π Pl. ha k = 0-t helyettesítünk, akkor a maximumhelyet kapjuk 2 π 5π Ha k = 1-et, akkor a következő maximumhely adódik: + 2π = . 2 2 3π π π 3π A− maximumhely a k = −1 helyettesítéssel kapható: +2·(−1)·π = −2π = − . 2 2 2 2 1 − 7π 2 − 3π 2 −1 y graf sin π 2 π A k (x) = sin x függvénynek

végtelen sok minimumhelye van. Ezeket a − +2lπ 2 képlettel lehet megadni. A minimumérték −1. x 5π 2 (l ∈ Z) Megjegyzés: Ha egy valós-valós függvénynek van abszolút maximuma, akkor felülről korlátos és az abszolút maximum értéke egyben a legkisebb felső korlátja is. Hasonlóan ha egy valós-valós függvénynek van abszolút minimuma, akkor alulról korlátos és az abszolút minimum értéke egyben a legnagyobb alsó korlátja is. Nem szabad azonban a korlátosság és a szélsőérték fogalmát összekeverni. Gyakran előfordul ugyanis, hogy egy függvény felülről, illetve alulról korlátos, mégsincs maximuma, illetve minimuma. 1 Példa erre a fenti h (x) = 2 függvény, amely alulról korlátos (alsó korlátja pl. a 0), mégx +1 sincs minimuma. Készítette: Vajda István 48 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Definíció Legyen x0 ∈ R és r ∈ R+. Az ]x0 − r, x0 + r[ nyílt intervallumot az x0 szám r

sugarú környezetének nevezzük. x0 − r 0 x0 x0 + r Megjegyzés: R+ -szal a pozitív valós számok halmazát jelöltük, tehát r pozitív valós számot jelöl. Definíció Az x0 valós számot az f : D f R (D f ⊆ R) függvény lokális maximum helyének nevezzük, ha ∃r ∈ R+ , amelyre ]x0 − r, x0 + r[ ⊆ D f és ∀x ∈ ]x0 − r, x0 + r[ esetén f (x) ≤ f (x0) Ebben az esetben az x0 helyen felvett f (x0) függvényértéket az f függvény lokális maximum értékének nevezzük. Példa: Az f (x) = x2 − 4 függvénynek x = 0-ban lokális maximuma van, ami nem abszolút maximuma a függvénynek. y 5 4 graf x2 − 4 3 2 1 x -3 Készítette: Vajda István -2 -1 1 2 3 49 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Definíció Az x0 valós számot az f : D f R (D f ⊆ R) függvény lokális minimum helyének nevezzük, ha ∃r ∈ R+ , amelyre ]x0 − r, x0 + r[ ⊆ D f és ∀x ∈ ]x0 − r, x0 + r[ esetén f (x) ≥ f (x0) Ebben

az esetben az x0 helyen felvett f (x0) függvényértéket az f függvény lokális minimum értékének nevezzük. Definíció Az x0 valós számot az f : D f R (D f ⊆ R) függvény inflexiós helyének nevezzük, ha ∃r ∈ R+ , amelyre ]x0 − r, x0 + r[ ⊆ D f és f az ]x0 − r, x0] és [x0, x0 + r[ intervallumok közül az egyikben konvex, másikban konkáv. Példa: Az f (x) = sin x függvény inflexiós helyei az x = kπ végtelen sok inflexiós helye van.) Készítette: Vajda István k ∈ Z számok. (Tehát 50 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 2.11 A valós-valós függvények folytonossága Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény folytonos az x0 helyen, ha ∀ε ∈ R+ számhoz ∃δ ∈ R+ szám amelyre teljesül, hogy ]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ D f és ha |x − x0| < δ, akkor f (x) − f (x0) < ε. Megjegyzések: • A definícióból következik, hogy ha a függvény folytonos x0 -ban, akkor értelmezett is x0 -ban,

sőt értelmezett x0 egy környezetében is. • Akármilyen kis (ε) pozitív számot adunk meg, ha f folytonos x0 -ban, akkor megadható x0 -nak egy környezete, amelyben minden függvényérték ε-nál kevesebbel tér el f (x0 )-tól. Bizonyítható, hogy a fenti definíció ekvivalens a következővel: Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény folytonos az x0 helyen, ha értelmezett az x0 egy környezetében és ∀ (xn) sorozatra teljesül, hogy ha lim xn = x0, akkor lim f (xn) = f (x0). n∞ n∞ Példák: • Az f (x) = 3x − 1, g (x) = x2 , h (x) = sin x függvények minden valós helyen folytonosak. • Az f : ]−1, 2] R, f (x) = x2 függvény folytonos a ]−1, 2[ intervallum minden pontjában. Nem folytonos 2-ben, mert nincs 2-nek olyan környezete, amely része a függvény értelmezési tartományának. Nem folytonos a függvény a −1-nél kisebb, illetve a 2-nél nagyobb helyeken sem, hiszen ezekben nincs értelmezve. 1 • Az f (x) = függvény nem

folytonos 0-ban, hiszen itt nincs értelmezve. x Minden más valós helyen folytonos. • Az előjelfüggvény nem folytonos 0-ban, bár itt értelmezett. 1 Ez bármelyik definíció alapján látható. Pl az első definíció alapján, ha ε = -et válasz2 tunk, akkor ehhez nem található δ ∈ R+ , amelyre teljesülne, hogy a ]−δ, δ[ intervallum Készítette: Vajda István 51 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 1 1 minden elemére |sgn (x) − 0| < . Ugyanis ha x , 0, akkor |sgn (x) − 0| = |±1| = 1 ≮ 2 2 1 A másik definícióval még egyszerűbb: Tekintsük pl. az xn = sorozatot. Nyilván n   1 1 lim = 0 = x0 , de lim sgn = 1 , 0 = sgn (x0 ). n∞ n∞ n n Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R) függvény jobbról folytonos az x0 helyen, ha ∀ε ∈ R+ számhoz ∃δ ∈ R+ szám amelyre teljesül, hogy [x0, x0 + δ[ ⊆ D f és ha 0 ≤ x − x0 < δ, akkor f (x) − f (x0) < ε. Definíció Az f : D f R (D f ⊆ R)

függvény balról folytonos az x0 helyen, ha ∀ε ∈ R+ számhoz ∃δ ∈ R+ szám amelyre teljesül, hogy ]x0 − δ, x0] ⊆ D f és ha −δ < x − x0 ≤ 0, akkor f (x) − f (x0) < ε. Megjegyzés: Az [x0 , x0 + δ[, illetve ]x0 − δ, x0] intervallumokat szokás az x0 jobboldali-, illetve baloldali (δ-sugarú) környezetének nevezni. √ Példa: Az f (x) = x függvény a 0-ban nem folytonos, de jobbról folytonos ugyanitt. Tétel: Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az x0 helyen, ha jobbról is és balról is folytonos x0-ban. Készítette: Vajda István 52 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 2.12 Műveletek a valós-valós függvények körében Ha két függvény értelmezési tartománya tartalmaz közös elemet (értelmezési tartományaik metszete nem az üres halmaz), akkor értelmezhetjük a két függvény öszegét, különbségét és szorzatát. Definíció Legyen f : D f R és g : D g R, ahol D f ⊆ R, D g

⊆ R, továbbá D f ∩ D g , ∅. Ekkor
f + g : D f ∩ D g R, f + g (x) = f (x) + g (x)
f − g : D f ∩ D g R, f − g (x) = f (x) − g (x)
f g (x) = f (x) g (x) f g : D f ∩ D g R, √ √ Példa: Az f (x) = x + 2 függvény értelmezési tartománya [−2, ∞[, a g (x) = 2 − x függvény értelmezési tartománya pedig ]−∞, 2]. Összegük, különbségük, szorzatuk értelmezési tartománya D f ∩ D g = [−2, 2]. y 3 graf g graf f + g graf f 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 y 3 graf g 4 graf f graf f g 2 1 x -4 Készítette: Vajda István -3 -2 -1 1 2 3 4 53 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag A függvények hányadosánál még arra is figyelemmel kell lenni, hogy 0-val nem oszthatunk: Definíció Legyen f : D f R és g : D g R, ahol D f ⊆ R, D g ⊆ R, g  zérushelyeinek halmazát jelöljük N-nel. (N = x | g (x) = 0 ).   Ha D f ∩ D g N , ∅, akkor  f  : D f ∩ D g N R, g f f (x) (x) = g g (x)

1 függvény a konstans 1 és az x 7 x függvények hányadosa. Ezek x mindegyike értelmezett a valós számok halmazán. f mégsem értelmezett a 0-ban, hiszen itt az x 7 x függvény 0-t vesz fel. Példa: Az f (x) = Definíció Legyen f : D f R és g : D g R, ahol D f ⊆ R, D g ⊆ R, továbbá R g ∩ D f , ∅. Ekkor az f és g függvények f ◦ g-vel jelölt összetett függvényét a okövetkezőképpen értelmezzük: n D f ◦g = x ∈ D g | g (x) ∈ D f és

∀x ∈ D f ◦g esetén f ◦ g (x) = f g (x) . Az f függvényt külső, a g függvényt belső függvénynek nevezzük. Megjegyzés: Tehát amit a belső függvény értékként felvesz, arra alkalmazzuk a külső függvényt. g x Készítette: Vajda István f g (x) f (g (x)) 54 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Példák: • Ha a belső függvény a g (x) = x − 2, a külső függvény az f (x) = |x|, akkor
f ◦ g (x) = |x − 2|. • Ha a belső függvény a g

(x) = |x|, a külső függvény az f (x) = x − 2, akkor
f ◦ g (x) = |x| − 2. Megjegyzés: A fenti példákból látható, hogy az összetett függvény képzése nem kommutatív művelet, azaz (általában) f ◦ g , g ◦ f . Tétel: Ha az f és g valós-valós függvények folytonosak az x0 helyen, akkor f + g, f − g és f g is folytonos x0-ban. Példák: • Mivel az f (x) = x2 és g (x) = sin x függvények minden valós helyen értelmezettek és folytonosak, ezért az



f + g (x) = x2 +sin x, f − g (x) = x2 −sin x, g − f (x) = sin x−x2 , f g (x) = x2 sin x függvények is minden valós helyen értelmezettek és folytonosak. • Az x 7 x2 + sgn x függvény az x = 0 hely kivételével mindenütt folytonos, mert ∀x , 0 esetén az f (x) = x2 és g (x) = sgn x függvények is folytonosak. y 2 1 −2 −1
graf x2 + sgn x x 1 2 −1 −2 Megjegyzés: Ha a két függvény nem folytonos x0 -ban, attól még előfordulhat, hogy összegük,

különbségük vagy szorzatuk folytonos x0 -ban. Készítette: Vajda István 55 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Tétel: Ha az f és g valós-valós függvények folytonosak az x0 helyen f (x ) és g 0 , 0 akkor is folytonos x0-ban. g 1 Példa: Az x 7 fügvény minden x , 0 helyen folytonos, hiszen a konstans 1 függvény és x az x 7 x függvény minden valós helyen folytonosak. Tétel: Ha f és g valós-valós függvények, g folytonos az x0 helyen és f folytonos a g (x0) helyen, akkor f ◦ g is folytonos x0-ban. 1 1 Példa: Az x 7 sin függvény az x = 0 hely kivételével mindenütt folytonos, mert x 7 x x folytonos miden x , 0 helyen, a sin x függvény pedig minden valós helyen folytonos (Tehát 1 -ben is). x Készítette: Vajda István 56 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 2.13 Függvények határértéke Definíció Az x0 ∈ R hely r sugarú pontozott környezetén az ]x0 − r, x0 + r[ {x0} halmazt

értjük. Megjegyzés: Tehát a pontozott környezetet úgy kaptuk, hogy az x0 r sugarú környezetéből elhagytuk az x0 -t. Definíció Legyen az f valós-valós függvény értelmezett az x0 hely egy pontozott környezetében. Az A számot az f függvény x0-beli határértékének nevezzük, ha ∀ε > 0 valós számhoz, ∃δ > 0 valós szám, amelyre teljesül, hogy 0 < |x − x0| < δ esetén x ∈ D f és f (x) − A < ε. Jelölés: lim f (x) = A xx0 Megjegyzés: Amint az a definícióból látható az f függvény x0 -beli határértéke nem függ az x0 -ban felvett helyettesítési értéktől, sőt f -nek akkor is lehet határértéke x0 -ban, ha nincs is ebben a pontban értelmezve. A fenti definíció ekvivalens a következővel: Definíció Legyen az f valós-valós függvény értelmezett az x0 hely egy pontozott környezetében. Az A számot az f függvény x0beli határértékének nevezzük, ha minden olyan xn sorozatra, amelyre ∀n ∈ Z+

esetén xn ∈ D f {x0} és lim xn = x0, az n∞ f (xn) sorozat konvergens és lim f (xn) = A. n∞ Készítette: Vajda István 57 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Tétel: Ha f folytonos x0-ban, akkor létezik x0-ban határértéke is és lim f (n) = f (x0). xx0 Példák: • lim x2 = 9, mert x 7 x2 folytonos x = 3-ban (minden valós helyen folytonos), ezért x3 lim x2 = 32 = 9. x3 • lim sgn x = 1, mert minden olyan sorozatra, amelyre lim xn = 0, de ∀n ∈ Z+ esetén x0 x0 xn , 0 teljesül, hogy f (xn ) = sgn xn a konstans 1 sorozat, melynek határértéke 1. y graf |sgn x| 1 x −2 −1 1 −1 2 x2 + x + 6 x2 + x + 6 = 5. Az x 7 fügvény az x = 2-ben nincs értelmezve (a x2 x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2 x2 + x + 6 x+3 nevező 0), ha pedig x , 2, akkor 2 = . x − 3x + 2 x − 1 • lim y 5 x2 + x − 6 graf 2 x − 3x + 2 −3 3 1 x −1 2 4 6 −2 −4 Az x = 2 hely „elég kis” pontozott környezetében a felvett

függvényértékek kevesebbel térnek el 5-től, mint ε. Készítette: Vajda István 58 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 2.2 Feladatok 1. Határozza meg a következő függvények értelmezési tartományát: x2 − 6x + 11 x2 + 9x + 20 x − 6 x3 − 8 f (x) = 2 − x + 1 x2 − 4 x3 − 8 1 f (x) = 2 : x − 7x + 6 2x − 1 r 8 − 2x f (x) = x+3 r x2 − 3x + 2 f (x) = x2 − x − 12 r r 2−x x+7 3 6 f (x) = + 2x − 15 x2 − 9 5−x f (x) = log3 x+3 f (x) = log3 (5 + x) + log3 (x + 3) a) f (x) = b) c) d) e) f) g) h) i) f (x) = logx−9 3x − 2 x+6 2. Hol van zérushelye a következő függvényeknek? (x2 + 1)(x2 − 1) x2 + 3x + 2 r x+4 b) f (x) = 2x − 1 x c) f (x) = e · sin x a) f (x) = 3. Vizsgáljuk meg a következő függvényeket paritás szempontjából: |x| x3 |x − 1| b) f (x) = x3 c) f (x) = ln |x| a) f (x) = d) f (x) = (x2 − 9)(x − 1)(x + 1) Készítette: Vajda István 59 Villamosmérnök Szak, Távoktatás

Matematika segédanyag 4. Periodikusak-e a következő függvények? Ha igen, akkor határozza meg a legkisebb pozitív periodusukat a) f (x) = cos 2x b) f (x) = x sin x c) f (x) = tg x d) f (x) = |sin x| 2x2 + 11x − 6 5. Határozza meg az f (x) = 2 függvény határértékét az x = 3, x = 12 , x = −6, x + 4x − 12 x = 2 helyeken, továbbá ±∞-ben, ha lehetséges. 6. Határozza meg a x3 − 1 a) lim , x∞ 100x2 + 1000x + 10000 x3 − 1 b) lim , x−∞ 100x2 + 1000x + 10000 x3 + 2 c) lim 5 x∞ x − 1 határértékeket. 7. Hol nem folytonos az függvény? Készítette: Vajda István  x−3    ha x , 3 és x , −1  2  x − 2x − 3    1 f (x) =    ha x = 3   4    4 ha x = −1 60 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 3. Differenciálszámítás 3.1 A differenciálhányados fogalma és tulajdonságai Definíció Legyen az f : D f R, ahol D f ⊆ R és legyen f értelmezett az x0 ∈ D f

pont egy környezetében. A d: D f {x0} R, f (x) − f (x0) d (x) = x − x0 függvényt az f függvény x0 helyhez tartozó különbségi hányados függvényének nevezzük. Megjegyzések: • A különbségi hányados függvényt szokás idegen szóval differenciahányados függvénynek is nevezni. • A különbségi hányados függvény azt adja meg, hogy az x0 helytől indulva és az x helyre érkezve mennyivel változott meg átlagosan az f függvény értéke, azaz mekkora változás esik átlagosan az x tengely mentén történé egységnyi elmozdulásra. • A különbségi hányados függvény x helyen felvett értéke egyenlő az f függvény grafikonjának x0 és x helyhez tartozó pontjain átmenő szelő meredekségével. y f (x) − f (x0 ) x − x0 graf f f (x) − f (x0 ) x0 Készítette: Vajda István x − x0 x x 61 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Definíció Legyen az f : D f R, ahol D f ⊆ R és legyen f

értelmezett az x0 ∈ D f pont egy környezetében. Az f függvényt az x0 helyen differenciálhatónak nevezzük, ha a lim xx0 f (x) − f (x0) x − x0 határérték létezik és véges. Ha f differenciálható x0-ban, akkor a fenti határértéket az f függvény x0-beli differenciálhányadosának nevezzük. graf f x0 x x Megjegyzések: • A differenciálhányadost szokás deriváltnak is nevezni, és ahelyett, hogy a függvény az x0 helyen differenciálható, azt is mondhatjuk, hogy az x0 helyen deriválható. • A fenti definíció alapján a differenciálhányados (derivált) az x0 helyhez tartozó d (x) különbségi hányados függvény határértéke az x0 helyen.


(x) • Ha az x0 , f (x0 ) és x, f (x) pontokon átmenő szelőt úgy változtatjuk, hogy
az x, f pontot a függvénygörbe mentén mozgatva közelítjük a rögzített x0 , f (x0 ) ponthoz, ak
kor a szelő „közeledik” a függvénygörbe x0 , f (x0 ) pontbeli érintőjéhez (ha az

létezik). Ha a függvény differenciálható x0 -ban, akkor a szelő meredeksége is minden határon túl megközelíti az x0 -beli érintő meredekségét. Ez azt jelenti, hogy ha az f függvény
differenciálható x0 -ban, akkor x0 -beli differenciálhányadosa a függvénygörbe x0 , f (x0 ) pontbeli érintőjének meredekségével egyenlő. • A függvény x0 -beli differenciálhányadosa az x0 -beli növekedésének mértékét fejezi ki. Készítette: Vajda István 62 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Jelölések: Az f függvény x0 -beli differenciálhányadosát (deriváltját) f ′ (x0 )-lal, vagy df dx -lal jelöljük. x=x0 Példák: • Az f (x) = x2 függvény x0 = 3 helyhez tartozó deriváltja f ′ (3) = 6: f ′ (3) = lim x3 f (x) − f (3) (x − 3) (x + 3) x2 − 9 = lim = lim = lim (x + 3) = 6 x3 x − 3 x3 x3 x−3 x−3 • A g (x) = sin x függvény x0 = 0 helyen vett deriváltja g′ (0) = 1: g′ (0) = lim x0 g (x)

− g (0) sin x = lim =1 x0 x−0 x A fenti példákban egy edott függvény egy adott pontbeli deriváltját határoztuk meg. Ennél hatékonyabb módszer, ha egy adott függvény különböző pontokhoz tartozó deriváltjait egyszerre határozzuk meg: Példák: • Az f (x) = x2 függvény minden x0 ∈ R számra differenciálható és f ′ (x0 ) = 2x0 . (Ennek speciális esete az f ′ (30) = 6, amit fentebb kiszámítottunk.) f ′ (x0 ) = lim xx0 x2 − x20 f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) (x + x0 ) = lim = lim = lim (x + x0 ) = 2x0 xx0 x − x0 xx0 xx0 x − x0 x − x0 √ • A h : Dh = [0; +∞[ , h (x) = x minden x0 ∈ ]0; +∞[ helyen differenciálható és x0 -beli deriváltja h′ (x0 ) = 2 √1x0 . Nyilvánvaló, hogy h nem lehet differenciálható 0-ban, hiszen nincs a 0-nak olyan környezete, amelynek h minden pontjában értelmezett. Egyébként a derivált értékére megadott képlet nem is lehetne jó 0-ban, hiszen 0-val nem lehet osztani. h (x) − h (x0 ) h

(x0 ) = lim = lim xx0 xx0 x − x0 ′ √ √ √ √ x − x0 x − x0 = lim  √ √ √ √ = xx0 x − x0 x − x0 x + x0 = lim √ xx0 Készítette: Vajda István 1 x+ √ x0 = 1 √ 2 x0 63 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Definíció Legyen az f : D f R, ahol D f ⊆ R és n o D f ′ = x ∈ D f | f differenciálható x-ben . Ha D f ′ , ∅, akkor azt az f ′ függvényt, amely minden x ∈ D f ′ számhoz az f függvény x helyen vett deriváltját rendeli az f függvény deriváltfüggvényének (differenciálhányados függvényének) nevezzük. Jelölések: f ′ , illetve df . dx Példák: Az f (x) = x2 függvény deriváltfüggvénye f ′ (x) = 2x, √ a h : Dh = [0; +∞[ , h (x) = x függvény deriváltfüggvénye h′ : Dh = ]0; +∞[ , h′ (x) = 1 √ 2 x Megjegyzés: A deriváltfüggvény értelmezési tartománya az eredeti függvény értelmezési tartományának (nem mindig valódi) részhalmaza. Néhány

függvény deriváltfüggvénye: Készítette: Vajda István 64 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag f (x) f (x) konstans függvény 0 xα (α konstans) αxα−1 ax (a konstans) ax ln a ex (az előző speciális esete) ex loga x (a konstans) ln x (az előző speciális esete) 1 x ln a 1 x sin x cos x cos x − sin x tg x ctg x arcsin x arccos x arctg x arcctg x 1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2 sh x ch x ch x sh x th x cth x arsh x arch x arth x arcth x 1 ch2 x 1 − 2 sh x 1 √ 1 + x2 1 √ 2 x −1 1 1 − x2 1 1 − x2 (|x| < 1) (|x| > 1) 3.2 Differenciálási szabályok Tétel: Ha az f függvény differenciálható az x0 helyen, akkor c ∈ R
′ esetén c f is differenciálható x0-ban, és c f (x0) = c f ′ (x0). Készítette: Vajda István 65 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag
Példa: Mivel az f (x) = x2 deriváltja x0 -ban f ′ (x0

) = 2x
0 , ezért a 3 f (x) = 3x2 függvény deriváltja x0 -ban 3 f ′ (x0 ) = 6x0 . Ennek következtében a 3 f (x) = 3x2 függvény deriváltfüggvénye a 3 f ′ (x) = 6x Tétel: Ha az f és g függvények differenciálhatók az x0 helyen, akkor összegük és különbségük is differenciálható x0-ban, és
′ f + g (x0) = f ′ (x0) + g′ (x0) , illetve
′ f − g (x0) = f ′ (x0) − g′ (x0) .
′ Példa: x2 + sin x = 2x + cos x Tétel: Ha az f és g függvények differenciálhatók az x0 helyen, akkor szorzatuk is differenciálható x0-ban, és
′ f g (x0) = f ′ (x0) g (x0) + f (x0) g′ (x0) .
′ Példa: x3 tg x = 3x2 tg x + x3 · 1 cos2 x Tétel: Ha az f és g függvények differenciálhatók az x0 helyen és g (x0) , 0, akkor hányadosuk is differenciálható x0-ban, és !′ f f ′ (x0) g (x0) − f (x0) g′ (x0) (x0) = . g g2 (x0) Példa:  x + cos x ex ′ = Készítette: Vajda István (1 − sin x) ex − (x + cos x) ex (ex )2 = 1 −

sin x − x − cos x ex 66 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Tétel: Ha a g függvény differenciálható az x0 helyen és az f függvény differenciálható a g (x0) helyen, akkor az f ◦ g függvény is differenciálható x0-ban, és
′
f ◦ g (x0) = f ′ ◦ g (x0) · g′ (x0) .
′ Példa: tg x2 + 3x + 1 = Készítette: Vajda István 1 · (2x + 3) cos2 (x2 + 3x + 1) 67 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 3.3 A differenciálszámítás alkalmazásai Tétel: L’Hospital-szabály: Ha az f és g valós-valós függvények differenciálhatók az x0 hely egy pontozott környezetében, lim f (x) = lim g(x) = 0, xx0 ′ xx0 f (x) f (x) létezik, akkor lim is létezik és xx0 g′ (x) xx0 g(x) továbbá lim f (x) f ′(x) lim = lim ′ . xx0 g(x) xx0 g (x) A tétel alkalmazható akkor is, ha csak féloldali határértéket kívánunk számolni, +∞-ben és −∞-ben vett határértékek esetén is, továbbá

akkor is ha a lim f (x) = lim g(x) = 0 feltétel helyett x. x. lim g(x) = +∞ áll fenn. x. Példák: 1 arctg x 1+x2 • lim = lim =1 x0 x0 1 x • lim x2 x2 − 4 2x 1 = π = lim π π x x x2 2 ln 2 + 2 cos 2 − sin x ln 2 x x Tétel: Ha az f függvény differenciálható az I intervallumon, és a deriváltja ezen az intervallumon mindenütt nemnegatív (nempozitív), akkor f monoton növekedő (csökkenő) I-n. Készítette: Vajda István 68 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Tétel: Ha az f függvény monoton növekedő (csökkenő) és differenciálható az I intervallumon, akkor a deriváltja I-ben csak nemnegatív (nempozitív) értékeket vesz fel. Példa: Az f (x) = x2 függvény a [0; ∞[ intervallumon (szigorúan) monoton növekedő, deriváltfüggvénye f ′ (x) = 2x, ami csak nemnegatív értékeket vesz fel ezen az intervallumon. Ugyanez a függvény a ]−∞; 0] intervallumon (szigorúan) monoton csökkenő, deriváltja

ezen az intervallumon csak nempozitív értékeket vesz fel. y pozitív csökken f′ f nő x negatív Tétel: Ha az f függvény differenciálható az I intervallumon, és a deriváltja ezen az intervallumon mindenütt pozitív (negatív), akkor f szigorúan monoton növekedő (csökkenő) I-n. Tétel: Ha az f függvény szigorúan monoton növekedő (csökkenő) és differenciálható az I intervallumon, akkor a deriváltja I-ben csak nemnegatív (nempozitív) értékeket vesz fel úgy, hogy értéke legfeljebb csak diszkrét pontokban lehet 0. Példa: Az f (x) = x3 függvény szigorúan monoton növekedő, deriváltfüggvénye f ′ (x) = Készítette: Vajda István 69 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 3x2 csak nemnegatív értékeket vesz fel és csak egyetlen egy diszkrét pontban (x = 0) vesz fel 0-t. y f′ f x Tétel: A szélsőérték létezésének szükséges feltétele: Ha az f függvény differenciálható x0-ban és ott

szélsőértékhelye van, akkor f ′ (x0) = 0. Megjegyzés: • A tétel megfordítása nem igaz, tehát ha f deriváltja az x0 helyen 0, akkor f -nek nem biztos, hogy szélsőértéke van x0 -ban. Pl az f (x) = x3 függvénynek a deriváltja x0 = 0ban 0, mégsincs a 0 helyen szélsőértéke • A tétel semmit nem mond arról az esetről, amikor f nem diffferenciálható az x0 helyen. Tehát, ha f nem differenciálható x0 -ban, akkor ott lehet szélsőértéke, de természetesen nem biztos, hogy van. Készítette: Vajda István 70 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Tétel: Ha az f függvény differenciálható x0 egy környezetében és f ′ előjelet vált x0-ban, akkor f -nek x0-ban szélsőértéke van. Példák: • Ha f (x) = x2 , akkor deriváltfüggvénye f ′ (x) = 2x az x = 0-ban 0, és itt előjelet vált (negatívból pozitívba). Ennek megfelelően f -nek a 0-ban szélsőértéke (minimuma) van • Ha f (x) = x3 , akkor

deriváltfüggvénye f ′ (x) = 3x2 az x = 0-ban 0, de itt nem vált előjelet, hiszen a 0 előtt és után egyaránt pozitív értékeket vesz fel. Ilyen esetben az eredeti függvénynek nincs szélsőértéke. Tétel: A szélsőérték létezésének elégséges feltétele: Ha az f függvény kétszer differenciálható x0-ban, f ′ (x0) = 0, de f ′′ (x0) , 0, akkor f -nek szélsőértéke van x0-ban, mégpedig f ′′ (x0) > 0 esetén minimuma, f ′′ (x0) < 0 esetén maximuma. Tétel: Ha az f függvény kétszer differenciálható az I intervallumon és ∀x ∈ I esetén f ′′ (x) > 0 ( f ′′ (x) < 0), akkor f szigorúan konvex (konkáv) I-ben. Tétel: Ha az f függvény kétszer differenciálható az I intervallumon és konvex (konkáv) I-ben, akkor ∀x ∈ I esetén f ′′ (x) ≥ 0 ( f ′′ (x) ≤ 0). Példa: Az f (x) = x2 függvény második deriváltfüggvénye f ′′ (x) = 2 mindenütt pozitív, ezért f szigorúan konvex. 3.4 Teljes

függvényvizsgálat A teljes függvényvizsgálat lépései: Készítette: Vajda István 71 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 1. Értelmezési tartomány meghatározása Tengelymetszetek meghatározása. (Az y-tengelyt legfeljebb egy helyen metszheti a grafikon – ez az f (0) érték – az x-tengelyt már több helyen is metszheti, ezek a tengelymetszetek a zérushelyek 2. Szimmetriatulajdonságok meghatározása Páros-e, páratlan-e, periodikus-e a függvény. 3. Folytonosság és határértékek Legtöbbször olyan függvények fordulnak elő, amelyek majdnem mindenütt folytonosak, tehát azt kell megnézni, hogy hol van a függvénynek szakadási helye. Természetesen előfordulhat az is, hogy nincs szakadási hely. A bal- és jobboldali határértékeket meg kell nézni a szakadási helyeken, továbbá meg kell nézni a határértéket az „értelmezési tartomány szélein”. (Az utóbbi általában a −∞-ben és a +∞-ben vett

határértéket jelenti, de pl. az f (x) = ln x függvény esetén nem lehet szó a −∞-ben vett határértékről, hiszen a függvény csak a pozitív számok halmazán értelmes. Ebben az esetben a 0-ban vett jobboldali határértéket kell meghatározni.) 4. Első derivált, monotonitás és szélsőértékek 5. Második derivált, konvexitás - konkávitás, inflexiós helyek 6. Ebben a pontban a függvény grafikonját kell felrajzolni, a már megállapított tulajdonságok alapján 7. Értékkészlet meghatározása Megjegyzés: A fenti sorrendtől indokolt esetben el lehet térni, de ritkán találkozunk olyan függvénnyel, amikor ez valóban szükséges. Készítette: Vajda István 72 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Példák: 2 Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f (x) = xex függvényen! Megoldás: 1. D f = R, zérushelye x = 0. 2 2. Páratlan, ( f (1) = 2e, f (−1) = − ) nem periódikus (Pl a zérushelyből látszik) e

3. Folytonos lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞. x∞ x−∞
2 4. f ′ (x) = ex 1 + 2x2 > 0 A függvény szigorúan monoton nő.
2 5. f ′′ (x) = ex 4x3 + 6x x f (x) x<0 − f (x) ∩ ′′ x=0 0 infl. 0 0<x + ∪ y 3 2 1 1 x −1 −1 −2 6. −3 7. R f = R Készítette: Vajda István 73 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f (x) = ex − ex függvényen! Megoldás: 1. D f = R, zérushelye x = 1, f (0) = −1. 2. Nem páros, nem páratlan, nem periódikus (Pl a zérushelyből látszik) 3. Folytonos    ex ex ex lim f (x) = lim x · e − = −∞, mert lim = lim = ∞, x∞ x∞ x∞ x x∞ 1 x | {z } x lim f (x) = lim (ex − e ) = −∞ x−∞ x−∞ 4. f ′ (x) = e − ex x f (x) x<1 + f (x) ↑ ′ L′ H x=1 0 max. 0 1<x − ↓ 5. f ′′ (x) = −ex Mivel f ′′ mindenütt negatív f szigorúan konkáv y -3 -1 x 1 3 -2 -4 -6 6. 7. R

f =] − ∞; 0] Készítette: Vajda István 74 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag x+1 Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f (x) = e x−1 függvényen! Megoldás: 1. D f = R {1}, 1 f (0) = . e zérushelye nincs, 2. Nem páros, nem páratlan, nem periódikus (értelmezési tartomány) 3. f értelmezési tartományának minden pontjában folytonos lim f (x) = e, lim+ f (x) = ∞, lim− f (x) = 0 x±∞ x1 4. f ′ (x) = − x f (x) f (x) ′ 5. f ′′ (x) = x f (x) ′′ f (x) 2 x1 x+1 2 (x − 1) x<1 − ց 4x · e x−1 1<x − ց x+1 4 (x − 1) · e x−1 x<0 − ∩ 1 e x=0 0 infl. ≈ 0, 368 0<x<1 + x=1 × 1<x + ∪ × ∪ y 8 6 4 2 x 6. -6 -4 -2 2 4 6 7. R f = ]0, ∞[ {e} Készítette: Vajda István 75 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 3.5 Feladatok 1. Képezze határátmenettel a következő függvények differenciálhányadosát az x0 ∈ R

helyen: a) f (x) = x2 b) f (x) = 2x2 + 3x 5 c) f (x) = 2 x √ d) f (x) = x 2. Képezze az f (x) = ( (x − 3)2 ha x < 4 2x − 7 ha x ≧ 4 függvény differenciálhányadosát az x0 = 4 helyen. 3. Képezze a g(x) = ( x2 ha − 2 < x x − 2 ha x ≦ −2 függvény differenciálhányadosát az x0 = −2 helyen. 4. Határozza meg a következő függvények x szerinti első deriváltját: x3 + 7x2 + 11x − 3 4x √ √ 2 x − 3x x + 5x + 6 x − 11 b) f (x) = 2x 2 c) f (x) = x · sin x − x · cos x a) f (x) = d) f (x) = x · ch x + x3 · sh x x2 − 3x + 5 ln x 2 sin x f (x) = − 2 x+5 x sin x f (x) = e   x f (x) = tg 1−x   x+2 f (x) = arcsin x−2 e) f (x) = f) g) h) i) 5. Írja fel az f (x) = x2 − 8x + 3 függvény x0 = 2 abszcisszájú pontjához húzható érintőjének az egyenletét! Készítette: Vajda István 76 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 3π 6. Írja fel az f (x) = cos 2x függvény x0 = abszcisszájú

pontjához húzható érintőjének 4 az egyenletét! 7. Számítsa ki L’Hospital-szabállyal a következő határértékeket: x x∞ ln x x b) lim 2 x∞ ln x x−4 c) lim x4 log x − 2 2 a) lim 1 1 d) lim x − x4 e − 1 tg x ! 8. Végezzen teljes függvényvizsgálatot a következő függvényeken: 2x x2 + 2x − 3 a) f (x) = 2 b) f (x) = 2 x +9 x − 6x + 8 Készítette: Vajda István 77 Villamosmérnök Szak, Távoktatás Matematika segédanyag 3.6 Megoldások 8. 2x +9 I. D f = R, zérushely: x = 0 2 · (−x) 2x II. Páratlan, mert f (−x) = =− 2 = − f (x). 2 (−x) + 9 x +9 Nem periodikus, mert pontosan egy zérushelye van. III. Minden x ∈ R helyen folytonos, mert folytonos fügvényekből alapműveletek segítségével képezzük és a nevező sehol nem zérus. lim f (x) = 0, mert a nevező magasabb fokú, mint a számláló. a) f (x) = x2 x±∞ IV. f ′ (x) = 2(x2 + 9) − 2x · 2x 18 − 2x2 = 2 (x2 + 9)2 (x + 9)2 f (x) x < −3 − f

(x) ց ′ x = −3 0 min. − 13 A derivált zérushelyei: x = ±3 −3 < x < 3 + ր x=3 0 max. 1 3 3<x − ց −4x · (x2 + 9)2 − (18 − 2x2 ) · 2(x2 + 9) · 2x 4x(x2 − 27) = (x2 + 9)3 (x2 + 9)4 √ A második derivált zérushelyei: x = 0 és x = ±3 3 V. f ′′ (x) = f ′′ (x) f (x) √ x < −3 3 − ∩ √ x = −3 3 0 infl. √ − 63 ≈ −0, 29 √ −3 3 < x < 0 + ∪ √ 0<x<3 3 − x=0 0 infl. 0 ∩ √ x=3 3 0 infl. √ 3 ≈ 0, 29 6 √ 3 3<x + ∪ y 1 3 VI. √ −3 3 −3 3 √ 3 3 x − 13 h i VII. R f = − 31 , 31 b) f (x) = x2 + 2x − 3 x2 − 6x + 8 Készítette: Vajda István 78