Matematika | Középiskola » Juhász Róbert - Logikai függvények

UMSZKI Juhász Róbert Logikai függvények Tartalomjegyzék 1. Logikai hálózatok modellje2 1.1 Logikai áramkörök típusai3 1.2 Kombinációs logikai hálózatok3 1.3 Sorrendi logikai hálózatok3 2. Logikai alapműveletek5 2.1 Halmazelméleti alapok5 2.2 Logikai alapműveletek típusai6 2.21 Negáció, tagadás, invertálás (NOT)6 2.22 Logikai VAGY kapcsolat, diszjunkció (OR)6 2.23 Logikai ÉS kapcsolat, konjunkció (AND)7 2.24 Az összes lehetséges kétváltozós kapcsolat8 1/12 UMSZKI Juhász Róbert Logikai függvények Logikai függvények 1. Logikai hálózatok modellje A digitális berendezések alapvető építőelemei a logikai hálózatok. A logikai elnevezés arra utal, hogy a logikai hálózatok működésének törvényszerűségei és a formális (hétköznapi) logika között igen nagy a hasonlóság. A logikus gondolkodás során az alaptételekből kiindulva logikai műveletek végzésével valamilyen következtetésre jutunk. A következtetés

alapjául szolgáló állítások (premisszák) egy időben csak IGAZAK, vagy HAMISAK lehetnek.1 Hasonlóképpen a logikai hálózatok is kétféle jellel dolgoznak. Az IGAZ (TRUE) tartalomnak a logikai 1, a HAMIS (FALSE) tartalomnak pedig a logikai 0-t feleltetjük meg. Fontos megemlíteni, hogy bármilyen bonyolult is legyen egy digitális berendezés, annak működése visszavezethető elemi logikai alapműveletekre.2 A logikai hálózat modelljét az 1. ábra szemlélteti: A B C LOGIKAI HÁLÓZAT Bemeneti változók Y0 Y1 Y2 Kimeneti logikai jelek 1. ábra: Logikai hálózat modellje A hálózat bemenetére érkező jeleket (bemeneti változók) A, B, C .-vel, azaz az ábécé nagy betűivel, vagy x0, x1, x2 .-vel jelöljük Ezek jelképezik az állításokat (premisszákat), amelyek valamely esemény bekövetkezéséről tájékoztatnak bennünket, és értékük logikai 0, vagy logikai 1 lehet (pl. záródott egy kapcsoló, vagy sem) Ezeket az állításokat a hálózat

feldolgozza és a kimenetein valamilyen döntést hoz, azaz a Y-nal jelölt kimenet logika 0-t vagy logikai 1-et állít elő. Amennyiben a bemeneteket „kis x”-el jelöli, akkor a kimeneten is a „kis y” a szokásos jelölés.3 Természetesen a be- és kimeneti jelekhez mindig valamilyen fizikai (általában villamos) jel tartozik. A tervezés és az analízis során a bemeneti és a kimeneti jelek fizikai jelentésével általában nem foglalkozunk, annak csak igazságtartalmát vizsgáljuk. 1 A logikai kifejezéseket csupa nagy betűvel szokás írni, így elkerülhetjük, hogy a szövegben összetévesszük a hétköznapi értelemben használt megfelelőikkel. 2 Vegyük szemügyre például egy számítógép aritmetikai és logikai egységét (ALU – Arithmetic and Logic Unit), amely a számítási és logikai műveleteket végzi a számítógépben, az is elemi kapuáramkörökből áll össze, csak nagyon sok ilyen egységet tartalmaz. Ezért fontos, hogy megértsük az

alapelemek működését 3 Sorrendi hálózatoknál szokásos jelölés a kimeneteknél a Q betű is. 2/12 UMSZKI Juhász Róbert Logikai függvények 1.1 Logikai áramkörök típusai 1.2 Kombinációs logikai hálózatok Ezekre a hálózatokra az a jellemző, hogy a bemeneteire érkező változókkal azonnal elvégzi a logikai műveleteket és ezek eredményeit – az áramkörre jellemző jelkésleltetési idő elteltével – a kimenetekre adja. Másképpen fogalmazva a bemeneti változók összes lehetséges kombinációjára megadja a választ a kimenetein.4 Tulajdonképpen a kombinációs logikai hálózat egy műveletvégző egységnek tekinthető, így az úgynevezett nem intelligens hálózatok kategóriájába sorolható. Modellje megegyezik a logikai hálózatoknál ismertetett blokkvázlattal (2. ábra) A B C KOMBINÁCIÓS LOGIKAI HÁLÓZAT Y0 Y1 Y2 2. ábra:Kombinációs logikai hálózat 1.3 Sorrendi logikai hálózatok Ezen hálózatok a bemeneti jeleken

kívül figyelembe veszik a hálózat előző állapotát is. Ezeknél a hálózatoknál a pillanatnyi vezérlőjeleken kívül a hálózat előző állapotára vonatkozó információk is befolyásolják a hálózat állapotát. Ez minőségi ugrást jelent az előzőekhez képest, ezek a hálózatok már az intelligens hálózatok kategóriájába tartoznak hiszen több lehetőség közül választva kvázi önálló döntést hoznak (természetesen az ember által előre beprogramozva). Mindez úgy lehetséges, hogy kimeneti jeleket, vagy azok egy részét visszavezetjük az áramkör bemenetére. 5 Amennyiben a bemeneti változó értéke módosul – primer változók –, akkor ezek hatására a visszacsatolt jelek is megváltoznak, amelyek a bemenetre jutva újabb változást idézhetnek elő. A folyamat addig tart, amíg a hálózat be nem áll a stabil állapotába. Kivételt képez ez alól, ha astabil áramkört tervezünk (pl. oszcillátor)6 Ezekben a hálózatokban az

állapotváltozások nem egy időben, hanem egymás után zajlanak le. Az ilyen típusú áramköröket aszinkron sorrendi hálózatoknak nevezzük. Az aszinkron sorrendi hálózatok „emlékező” tulajdonságát – azaz, hogy figyelembe veszi előző állapotát is – a visszacsatolás idézi elő. Ennek a modelljét láthatjuk a 3 ábrán 4 Pl. 3 bemeneti változó esetén a bináris rendszer miatt 23=8 kombináció létezik 5 Ez a fogalom az analóg elektronikából már ismeretes, visszacsatolásnak nevezzük. 6 Ilyen típusú áramkörrel pl. négyszögjelet állíthatunk elő A gyakorlatokon valószínűleg találkoztunk már ilyen funkciót megvalósító áramkörrel (pl. astabil multiibrátor) 3/12 UMSZKI Juhász Róbert Primer változók Logikai függvények A B C . . . Szekunder változók . . KOMBINÁCIÓS LOGIKAI HÁLÓZAT . . Visszacsatolás Y0 Y1 Y2 . . . 3. ábra: Sorrendi hálózat Az úgynevezett szinkron sorrendi hálózatok is emlékező

tulajdonsággal rendelkeznek, így rájuk is illik az előbb ismertetett modell. Az alapvető különbség abban rejlik, hogy a visszacsatolt jelek nem azonnal fejtik ki hatásukat, hanem egy speciális jelre, az úgynevezett ütemjelre, vagy órajelre7 várnak, majd ennek megérkezése után íródnak be a bemeneteken erre a célra létrehozott tárolókba. Ezek a tárolók „emlékeztetik” a hálózatot az előző állapotára Ilyen módon a szinkron sorrendi hálózatban minden állapotváltozás csak az órajel által meghatározott ütemben történik. Másképpen megfogalmazva az állapotváltozások az órajellel szinkronizálva történnek. Ez az egyidejűség nagyon sokszor előnyös, mivel minden esemény a hálózatban előre meghatározott időben történik. Ennek azonban ára van, mert a szinkron sorrendi hálózatok sokkal bonyolultabbak, mint az aszinkron társaik. A szinkron sorrendi hálózat modellje a 4 ábrán látható Primer változók A ÓRAJEL (CLOCK)

Szekunder változók B C KOMBINÁCIÓS LOGIKAI HÁLÓZAT . . . T Á R O L Ó K . . . Visszacsatolás . . 4. ábra: Szinkron sorrendi hálózat 7 Szokásos jelölése: Clock (C), Clock pulse (Cp). 4/12 Y0 Y1 Y2 UMSZKI Juhász Róbert Logikai függvények 2. Logikai alapműveletek 2.1 Halmazelméleti alapok A halmaz és a halmaz eleme alapfogalmak, ezért a matematikában nem definiálják őket. Leggyakrabban a halmazon valamilyen közös tulajdonsággal rendelkező dolgok összességét értjük. Két speciális halmazt is definiálnak: üres halmaz melynek egyetlen eleme sincs, és a teljes vagy univerzális halmazt, amelyet valamely halmaz és ennek komplemense alkot. A halmazokat további halmazokra, úgynevezett részhalmazokra is oszthatjuk. Definíció szerint A halmaz a B halmaznak részhalmaza, ha minden A-beli elem B-nek is eleme. A két legfontosabb művelet, amit a digitális technikában is használunk a halmazok uniója és metszete. Matematikában a

halmazokat úgynevezett Venn-diagramokban ábrázoljuk. A digitális technikában ezeket speciálisan ábrázoljuk Karnaugh vagy Veitch-táblákban. Azon részhalmazt melynek minden eleme része két vagy több halmaznak, azt a halmazok közös részének (metszet) vagy latin kifejezéssel élve a halmazok konjunkciójának nevezzük: A∩B=A⋅B . A Boole-algebrában8 logikai szorzásként jelöljük Az egyesített halmaz (diszjunkció) jelölésére pedig a következőt használjuk: A∪B=A+B . A Boole algebrában a logikai összeadást és ennek jelét használják. A A B Venn-diagram B 0 A 0 A 1 Karnaugh B 0 A 0 1 Veitch B 1 A metszet: A·B 5. ábra: Halmazműveletek 8 George Boole angol matematikus fektette le a logikai algebra alapjait. 5/12 B egyesítés metszet B 1 A B B 0 A 0 1 B 1 A egyesítés: A+B UMSZKI Juhász Róbert Logikai függvények 2.2 Logikai alapműveletek típusai 2.21 Negáció, tagadás, invertálás (NOT) Jelentése: valamely

információ igazságtartalmát az ellenkezőjére változtatjuk. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy az igazságtartalomhoz rendelt logikai 0-t logikai 1-re, a logikai 0-t pedig logikai 1-re változtatjuk (6. ábra) 1 1 Szabványos magyar rajzjel (MSZ) Szabványos német rajzjel (DIN) Szabványos amerikai rajzjel (ANSI) 6. ábra: Tagadás művelete A tagadott változót negáltnak nevezzük, jelölése: A (ejtsd „á negált”). Előfordulhat, hogy azt szeretnénk kiemelni, hogy a változó saját értékével szerepel, ez esetben ponáltnak nevezzük. A logikai áramkörökben a negációt az inverter végzi.9 2.22 Logikai VAGY kapcsolat, diszjunkció (OR) Jelentése: amennyiben a logikai változók közül akár egyetlen egy is logikai 1 értékű, a kimenet – az eredmény – már logikai 1 lesz. A kimenet csak egyetlen egy esetben lesz logikai 0, nevezetesen amikor az összes bemeneti változó értéke egyidejűleg logikai 0. Ilyen módon a logikai VAGY eltér

a „hétköznapi” logikában használttól, mert megengedi azt is, hogy egyszerre több bemeneti változó értéke is logikai 1 legyen (7. ábra)10 A VAGY kapcsolatot szokás logikai összeadásnak (diszjunkció) is nevezni: Y=A+B . A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ≥1 Szabványos magyar rajzjel (MSZ) Szabványos amerikai rajzjel (ANSI) A B Y=A∪B=A+B Szabványos német rajzjel (DIN) Érintkezős logika 7. ábra: Logikai VAGY kapcsolat 9 Jegyezzük meg, hogy logikai műveletként sokféle elvezése lehetséges (tagadás, invertálás, negálás), azonban áramköri elemként egyedül az inverter megnevezés a helyes. 10 Ezen tulajdonságát egyes helyeken ki is hangsúlyozzák, és megengedő VAGY-ként hivatkoznak rá. 6/12 UMSZKI Juhász Róbert Logikai függvények Jelen esetben a VAGY kapcsolatot két változóra írtuk fel, azonban a jelentésből következő logika alapján kiterjeszthetjük tetszés szerinti bemeneti változóra. A 7 ábrán

megtalálhatjuk a függvény igazságtábláját, algebrai alakját és a VAGY műveletet megvalósító kapuáramkörök – VAGY kapu (OR gate) szokásos jelképi jelöléseit.11 2.23 Logikai ÉS kapcsolat, konjunkció (AND) Jelentése: az ÉS kapcsolat eredménye akkor logikai 1, ha az összes bemeneti változó értéke logikai 1. Ez megegyezik a hétköznapi értelemben használt ÉS kapcsolattal: az ÉS állítás akkor igaz, ha az A ÉS a B esemény is bekövetkezik, minden más esetben hamis. Az ÉS kapcsolatot szokás logikai szorzásnak (konjunkció) is nevezni. Jelölése a két változó közé írt középen lévő pont, illetve a matematikához hasonlóan ez akár el is hagyható: Y=A⋅B=AB . A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 Y=A∩B=A⋅B & Szabványos magyar rajzjel (MSZ) Szabványos amerikai rajzjel (ANSI) A Szabványos német rajzjel (DIN) B Érintkezős logika 8. ábra: Logikai VAGY kapcsolat Ezt a függvényt is kibővíthetjük tetszés szerinti

bemeneti változóra, hiszen ez következik a jelentéséből. A függvény igazságtábláját, algebrai alakját, illetve az ÉS műveletet megvalósító kapuáramkörök – ÉS kapu (AND gate) szokásos jelképi jelöléseit láthatjuk a 8. ábrán kapujel=0 kapujel=1 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 kapujel Y=0 a kapu lezár A bemenet B Y=B a kapu átenged & Y=0, ha a kapujel=0 Y=B, ha a kapujel=1 9. ábra: ÉS kapu alkalmazása 11 Ezt az elrendezést fogjuk követni a többi függvényeinknél is. A rajzjeleknél a gyakorlatban az IEC és az IEEE (ejtsd: ájtripöl) szabványait alkalmazzuk. Az előbbit használjuk hazánkban (magyar szabványos rajzjelek), míg az utóbbi tartalmazza az USA-ban használtakat is (ANSI rajzjelek). Az itthon kiadott dokumentációkban az IEC (magyar) szimbólumokat kell alkalmaznunk, azonban a legtöbb leírás, adatlap, stb. angol nyelven érhető el és az US jelöléseket használja, ezért elengedhetetlen, hogy ismerjük az IEEE

szabványt is. A szabványokkal külön dokumentum foglalkozik a Moodle rendszerben. 7/12 UMSZKI Juhász Róbert Logikai függvények Az alapvető logikai függvényekkel való megismerkedés után tekintsük át a logikai kapuk áramköri funkcióit, a leggyakoribb alkalmazási példával, az úgynevezett kapuzással. Ehhez vizsgáljuk meg az ÉS kapu igazságtábláját egy kicsit más szemszögből. Legyen az A változónk a vezérlő jel, a kapujel. A B változó pedig a bemenet, az Y természetesen a kimenet lesz Osszuk két részre az igazságtáblát és vizsgáljuk meg a két esetet. Amikor a kapujel = 0 azt tapasztaljuk, hogy a kimenet a B bemeneti jeltől függetlenül 0, tehát a kapu nem engedi át a bemeneti jelet magán. Amennyiben a kapujel = 1, akkor a kimenet megegyezik a B bemeneti jellel (Y = B), azaz a kapu átenged. Ennek a folyamatát követhetjük nyomon a 9 ábrán Az ÉS kapu ezen tulajdonságát a programozásban is felhasználhatjuk, itt a folyamatot

maszkolásnak nevezzük. Ilyen feladat lehet például egy nyolcbites regiszterből kinyerni az alsó 4 bit információját, pl. oda kötöttünk négy kapcsolót, és annak az állására vagyunk kíváncsiak, a többi számunkra felesleges, illetve zavaró lehet (10. ábra) ÉS kapcsolatba hozzuk 1 1 0 0 1 0 1 0 eredeti információ 0 0 0 0 1 1 1 1 maszk 0 0 0 0 1 0 1 0 a maszk letilt a maszk átenged 10. ábra: Maszkolás 2.24 Az összes lehetséges kétváltozós kapcsolat Az eddigiekben a három alapvető logikai függvényt tekintettük át: NEM, ÉS, VAGY, röviden a NÉV.12 Ezen rendszer segítségével tetszés szerinti kombinációs logikai hálózatot felépíthetünk (teljes funkciójú hálózat, univerzális művelet). A kétbemenetű függvények igazságtábláját megvizsgálva világossá válik, hogy ezen kívül még több logikai függvény létezik, hiszen csak kétféle logikai elrendezést használtunk. A függvénykapcsolatok számát bináris

rendszerben a n következő képlettel számíthatjuk ki: 2 2 , ahol n a változók száma. Két változó esetében tehát 16 függvény írható fel. Ehhez 16 db igazságtáblát kell felvenni, azonban mindegyik igazságtábla bal oldala (A B) ugyanaz, ezért ábrázolhatjuk közös igazságtáblában (1. táblázat) Több kimenet esetén fontos beazonosítanunk a megfelelő sorszámú kimenetet, ezt alsó indexben jelöljük pl. Y1 Esetenként fontos lehet a bemenetek számát is a kimenetet leíró algebrai alakban jelölni, ezt a felső indexben tehetjük: Y3. Így az Y 43 egy 4 változós függvény 3 számú kimenetét jelöli 12 A szakirodalomban sokszor az angol megfelelőjét használva AND, OR, INVERTER AOI rendszerről beszélünk. 8/12 UMSZKI Juhász Róbert Bemenetek Logikai függvények Kimenetek A B Y 20 Y 21 Y 22 Y 23 Y 24 Y 25 Y 26 Y 27 Y 28 Y 29 Y 210 Y 211 Y 212 Y 213 Y 214 Y 215 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1. táblázat Megvizsgálva az igazságtáblát láthatjuk, hogy sorszámukban az egymást 15-re kiegészítő (komplemens) függvények (Y0-Y15) éppen egymás negáltjai. Tekintsük át ezen függvényeket csoportosítva! • Y 0≡0 , Null függvény (nincs logikai kapcsolat a bemenetekkel). • Y 1≡1 , Egység függvény (nincs logikai kapcsolat a bemenetekkel). • Y 12≡A • Y 3≡A • Y 10≡B • Y 5≡B Az utóbbi négy függvény sem fejez ki logikai kapcsolatot a változók között, hanem csak valamelyik negáltját, vagy ponáltját állítja elő. • Y 8=A⋅B , az előzőekből már ismert ÉS függvény. • Y 7=A⋅B , az ÉS kapcsolat negáltja. Az Y 7=A⋅B függvény neve: NEM-ÉS, NAND (NOT-AND), ami a 11. ábrán látható A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y7 1 1 1 0 & Szabványos magyar rajzjel

(MSZ) Szabványos német rajzjel (DIN) Szabványos amerikai rajzjel (ANSI) 11. ábra: NAND függvény A NAND univerzális művelet, ami azt jelenti, hogy segítségével bármelyik más logikai kapcsolat megvalósítható. Áramköri szinten ez azt jelenti, hogy pusztán NAND kapuk segítségével bármelyik logikai áramkör felépíthető. A NAND függvény is kiterjeszthető tetszőleges számú bemenetre. 9/12 UMSZKI Juhász Róbert • Y 14=A+B , kétváltozós VAGY függvény. • Y 1=A+B , a VAGY függvény negáltja. Logikai függvények Az Y 1=A+B függvény elnevezése: NEM-VAGY, NOR (NOT-OR), igazságtáblája és a kapujelölések a 12. ábrán láthatóak A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y1 1 0 0 0 1 ≥1 Szabványos magyar rajzjel (MSZ) Szabványos német rajzjel (DIN) Szabványos amerikai rajzjel (ANSI) 12. ábra: NOR függvény A NOR is univerzális művelet, azaz ennek segítségével is felépíthetünk tetszőleges logikai hálózatot.13 Hasonlóképpen a

VAGY kapcsolathoz ez a függvény is kiterjeszthető tetszőleges számú bemeneti változóra. • Y 6=A⊕B , kizáró-VAGY, antivalencia, XOR (eXclusive-OR)14 Az igazságtáblából kiderül, hogy a kimenetén akkor áll elő logikai 1, ha a két bemeneti változó különböző.15 Ez két esetben teljesül: A = 0 ÉS B = 1 VAGY A = 1 ÉS B = 0. Algebrai alakban NÉV rendszerben felírva a következőt kapjuk: Y 6=A⋅B+A⋅B , hiszen az egyenlet akkor ad logikai 1-et, ha az A = 0 ÉS B = 1 – ekkor A=1 ÉS B=1 , tehát az ÉS kapcsolat eredménye: 1 – VAGY ha A = 1 ÉS B = 0 – ilyenkor A=1 ÉS B=1 , így szintén logikai 1-et kapunk. Összefoglalva az Y6 két esetben ad 1-et, ezeket ÉS kapcsolattal jelöltük ( AB , AB ), s közéjük VAGY kapcsolatot írtunk, mert akár az egyik, akár a másik ÉS kapcsolat teljesül a kimenet 1-et ad.16 A másik elnevezése a függvénynek – kizáró-VAGY – pedig arra utal, hogy ez is egy VAGY kapcsolat, de kizárja azt az esetet,

amikor mindkét bemenet logikai 1. Ilyen módon megegyezik a hétköznapi értelemben vett vagy szó jelentésével. Az igazságtábla és a jelképi jelölések17 a 13 ábrán láthatóak 13 Az univerzális függvényeknek nagy jelentőségük volt azokban az időkben, amikor a logikai áramkörök kapukat tartalmazó integrált áramkörökből épültek fel. Az úgynevezett TTL áramkörcsalád alap építőeleme a NAND alapáramkör volt, míg a CMOS logikánál a NOR-t használták. A programozható áramkörök előretörésével ennek jelentősége erősen csökkent. 14 Egyes szakirodalmak EOR, vagy EXOR néven hivatkoznak a függvényre. 15 A definíció megfogalmazható úgy is, hogy akkor ad nullát, ha a bemenetei megegyeznek. 16 Ezt a logikát fogjuk követni a függvények igazságtáblából való kiolvasásakor. 17 Egyes helyeken a magyar szabványos rajzjelből az 1-est elhagyják. 10/12 UMSZKI Juhász Róbert A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y6 0 1 1 0 Logikai

függvények =1 Szabványos magyar rajzjel (MSZ) Szabványos német rajzjel (DIN) Szabványos amerikai rajzjel (ANSI) 13. ábra: Kizáró-VAGY függvény A kizáró-VAGY kapu tulajdonságaiból következően sokféle alkalmazásával találkozhatunk: ◦ digitális komparátor: amennyiben a bemenetére érkező két információ megegyező, akkor a kimenetén 0 jelzést ad. ◦ paritásbit generátor: a bejövő kétbites információt a kimenetén úgy egészíti ki, hogy összességében páros legyen az egyesek száma (páros paritás). ◦ modulo-2 összeadó: a kettes számrendszernek megfelelően ad össze két számot a legkisebb helyiértéken (fél-összeadó – Half Adder)18. ◦ vezérelt inverter: a működését a kapuzásnál ismertetetthez hasonlóan vizsgálhatjuk meg. Legyen az A változó a vezérlő jel, stílusosan a B változó a bemenet, az Y pedig a kimenet. Amennyiben a vezérlőjel = 0, akkor a kimenet a B-vel egyezik meg (Y = B), amikor pedig a

vezérlőjel = 1, akkor pedig Y=B , azaz a B negáltja áll elő a kimeneten. vezérlés=0 vezérlés=1 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y6 0 1 1 0 vezérlés A Y=B bemenet B Y=B invertál =1 Y=B, ha a vezérlés=0 Y=B, ha a vezérlés=1 14. ábra: Vezérelt inverter A folyamatot a 14. ábrán követhetjük nyomon A vezérelt inverter funkciót is felhasználhatjuk a programozásban, erre láthatunk példát a 15. ábrán Tegyük fel, hogy az adott információ alsó 4 bitjét szeretnénk invertálni. Ehhez létrehozunk egy olyan maszkot, amelynek alsó 4 bitje 1-es, a többi 0. Ezt kizáró-VAGY kapcsolatba hozzuk az eredeti információval. Eredményként az alsó 4 bitet invertálva kapjuk vissza, míg a felső 4 nem változik. 18 A következő helyiértéken teljes-összeadó (Full Adder) van, ami figyelembe veszi az előző helyiértékről jött átvitelt. 11/12 UMSZKI Juhász Róbert XOR kapcsolatba hozzuk Logikai függvények 1 1 0 0 1 0 1 0 eredeti információ 0 0

0 0 1 1 1 1 maszk 1 1 0 0 0 1 0 1 nem invertál invertál 15. ábra: Invertálás XOR kapcsolattal, maszk segítségével Az eddigi függvényeknél megszokhattuk, hogy tetszőleges számú bemeneti változóra kiterjeszthetjük (kivétel természetesen az invertálás). Ez itt ennyire nem egyértelmű, ugyanis három változós esetre is létezik többféle értelmezés. A továbbiakban ezért szigorúan véve két változóra fogjuk értelmezni ezt a függvényt. ◦ Y 9=A⊙B , megengedő-ÉS, ekvivalencia, ENOR (Exclusive-NOR)19 Az antivalencia függvény negáltja. A kimenetén akkor ad logikai 1-et, ha a két bemenet egyforma (ekvivalens). Ez két esetben lehetséges, ha mindkét bemenet 0 – A⋅B – vagy ha mindkét bemenet logikai 1 (A·B). A kimeneti függvény így a következő alakban írható fel: Y=A⋅B+A⋅B=A⊙B . Alkalmazásai gyakorlatilag megegyeznek a kizáró- VAGY kapcsolatnál ismertetekkel. Ezt is szigorúan véve két változóra értelmezzük. A

magyar jelölésnél – a XOR-hoz hasonlóan – egyes szakirodalmak itt is elhagyják az 1-est, A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y9 1 0 0 1 =1 Szabványos magyar rajzjel (MSZ) Szabványos német rajzjel (DIN) Szabványos amerikai rajzjel (ANSI) 16. ábra: Ekvivalencia függvény ◦ Y 2=A⊃B , tiltás, inhibíció: A tiltja B-t. ◦ Y 4=B⊃A ,tiltás, inhibíció: B tiltja A-t. ◦ Y 11=A B , következtetés, implikáció: ha A, akkor B is. ◦ Y 13=B A , következtetés, implikáció: ha B, akkor A is. Az utóbbi négy függvényt a gyakorlatban nem használjuk. 19 Egyes szakirodalmak EXNOR, vagy XNOR néven hivatkoznak a függvényre. 12/12