Matematika | Felsőoktatás » Matematika szigorlat tételek

Matematika szigorlat tételek Gábor Dénes Műszaki Informatikai Főiskola Szombathelyi Kihelyezett Konzultációs Központ 1998. 1.A A halmaz fogalma, műveletek Tetszőleges dolgok összességét halmaznak tekintjük. Ekkor a "halmaz" szó szinonímája a köznyelvben használt "összesség" , "sokaság" kifejezéseknek. Az összességbe tartozó egyes dolgok a halmaz elemei . Jelölések: a halmazokat A , B , C , . , az elemeket a , b , c , , betűkkel jelöljük Azt , hogy "a" eleme az A halmaznak , a ∈ Α -val jelöljük. Ha "a" nem eleme A-nak , akkor azt a ∉ Α val fejezzük ki Egy halmazt megadni annyit jelent , hogy pontosan megmondjuk mik az elemei. A halmazok megadásának analitikus módja az , amikor kapcsos zárójelben felsoroljuk a halmaz elemeit. A szintetikus megadási módnál csak néhány elemet sorolunk fel , amelyekből kiderül , hogy mik lesznek a halmaz elemei. Egy halmaz megadható valamely , az

elemeit jellemző tulajdonsággal is . Ez a tulajdonság olyan kell , hogy legyen , amely egyértelműen meghatározza a halmazt . A halmazok szemléltetésére az ún. Venn-diagrammot használhatjuk( A halmazokat síkbeli tartományokkal , elemeit pontokkal jelöljük .) Üres halmaz : Olyan halmaz aminek egyetlen eleme sincs. Jele : ∅ Két halmazt egyenlőnek nevezünk , ha pontosan ugyanazok az elemei . Az egyenlőség jelölésére az = jelet használjuk. Az "A" halmazt a "B" halmaz részhalmazának mondjuk , ha "A" minden eleme egyben "B" halmaznak is eleme . Jele : Α ⊆ Β Halmazok egyenlőségét a részhalmaz fogalmával is kifejezhetjük : A=B pontosan akkor ha A ⊆ B és B ⊆ A teljesülnek. Amennyiben A ⊆ B és B-nek van olyan eleme , hogy az nem eleme A-nak , akkor azt mondjuk , hogy A valódi része a B-nek .Jele: A ⊂ B Amikor egy halmazról és annak részhalmazairól beszélünk , akkor a halmazt magát alaphalmaznak

szokás nevezni . Műveletek halmazokkal : • Egyesítés / unió/ A és B halmazok unióján azt az A U B -vel jelölt halmazt értjük , amelynek minden eleme az A és B közül legalább az egyiknek eleme és az összes ilyen elemet tartalmazza . • Metszet A és B halmazok metszetén azt az A I B -vel jelölt halmazt értjük , amelynek minden eleme az A -nak is és a B -nek is eleme és az összes ilyen elemet tartalmazza. • Különbség A és B halmazok különbségén azt az AB -val jelölt halmazt értjük , amely az összes olyan elemet és csak azokat tartalmazza , amelyek A -nak elemei és B -nek nem. • Halmaz komplementere Jelöljük az alaphalmazt H -val . Ekkor a H bármely A részhalmazával kapcsolatban definiálhatjuk az A -val jelölt halmazt , amelyet az A -nak H -ra vonatkozó komplementerének nevezünk , s amelyet úgy definiálunk , hogy H -nak minden olzan eleméből áll amely A -nak nem eleme . A felsorolt halmazműveletekkel kapcsolatban a következö

azonosságok érvényesek : 2 AU A = A AU B = B U A A U( B U C) = ( A U B ) U C AU ∅ = A AU H = H AU A = H AI A = A AI B = B I A A I ( B I C ) = ( A I B ) I C jhgjh AI ∅ = ∅ AI H = A AI A = ∅ ( A U B ) I C = ( A I C) U( B I C) ( A I B ) U C = ( A U C) I( B U C) A+ B = A*B A * B = A + B ⇒ DeMorgan 3 2.A Komplex számok: algebrai, trigonometrikus, exponenciális alak A komplex számok bevezetését az tette szükségessé, hogy a valós számok számköre nem biztosítja negatív számból történő páros gyökvonást. Az olyan egyenleteknek, amelyeknek diszkriminánsa negatív szám, nem volt megoldásuk. A komplex számoknál bevezették az i immaginárius egységet, amelynek jelentése: i= −1 ; 2 i =1. i=képzetes immaginárius egység A komplex számok alakja: z=a+bi, ez az algebrai alak. Az "a" szám a komplex szám valós része, a "b" pedig a képzetes része. Műveletek algebrai alakkal: z1=a+bi; z2=c+di - Összeadás: kommutatív

z1+z2=z2+z1 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i az összeg valós része a valós részek, a képzetes része a képzetes részek összege. -Kivonás: z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i -Szorzás: kommutatív: z1.z2=z2z1 , disztributív az összeadásra z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i -Osztás: z1 = a + bi = ac + bd + bc − ad i 2 2 2 2 c +d z 2 c + di c + d ezt úgy kapjuk meg, hogy a számlálót és a nevezőt is beszorozzuk c-di-vel. -Konjugált: A z=a+bi komplex szám konjugáltja a z =a-bi. konjugáltak összege: z+ z =(a+bi)+(a-bi)=2a konjugáltak szorzata: z. z =(a+bi)(a-bi)=a2-b2 valós szám Az x2-4x+13=0 másodfokú egyenletnek a valós számok között nincs megoldása, mert diszkriminánsa -36. x1,2= −b ± b 2 − 4ac 4 ± 16 − 52 4 ± −36 4 ± 6i = = = 2a 2 2 2 x1=2+3i x2=2-3i Ha x helyére behelyettesítjük a 2+3i és a 2-3i komplex számot: (2+3i)2-4(2+3i)+13=4+12i-9-8-12i+13=0 (2-3i)2-4(2-3i)+13=4-12i-9-8+12i+13=0 Tehát a negatív

diszkriminánsú egyenletnek a komplex számok körében van megoldása (gyöke). A gyököt úgy kapjuk meg, hogy a másodfokú egyenlet megoldóképletébe a gyökös részt d = | d |(−1) = | d |i alakban írjuk fel, feltételezzük, hogy d<0. Az i képzetes egység az x2+1=0 másodfokú egyenlet gyöke. Komplex számok ábrázolása: 4 Az a+bi komplex szám valós és képzetes része egy (a,b) pontot jelöl ki a koordinátarendszerben. Tehát minden komplex szám ( geometriailag ) egy pont a síkon Ezt a síkot komplex számsíknak nevezzük, az x tengelyt valós tengelynek, az y-t képzetes tengelynek hívjuk. i koordinátái: 0,1 mivel i=0+1i b b tgϕ= ϕ=arctg az arctg függvény a tg függvény inverze. a a A komplex számot ábrázoló pontot az r távolság és a ϕ szög egyértelműen meghatározza. Komplex szám abszolutértéke: z = a 2 + b 2 ez a fenti ábrán az r távolsága. A komplex szám abszolutértékét a komplex szám hosszának, nagyságának

nevezik. A komplex számok körében kisebb nagyobb relációról nem lehet beszélni, de az abszolutértékeik összehasonlíthatók. Komplex szám trigonometrikus alakja: Az ábrán látható, hogy a z=a+bi komplex szám valós része a=r.cosϕ , képzetes része b b=r.sinϕ alakban is felírható, ahol r = a 2 + b 2 , ϕ=arctg , a ebből adódóan: z=r(cosϕ+isinϕ) ez a trigonometrikus alak. pl.: z=3+3i trigonometrikus alakja: abszolutérték: r= 32 + 32 = 18 = 3 2 3 π π tgϕ= = 1 ϕ= mert a szög tangense 1, azaz 3 4 4 z=3 2 (cos π 4 +i sin π 4 arctg1= π 4 tehát ) Műveletek trigonometrikus alakkal: z1=r1(cosϕ1+i sinϕ1) z2=r2 (cosϕ2+i sinϕ2) 5 -szorzat: z1.z2=r1r2(cos(ϕ1+ϕ2)+isin(ϕ1+ϕ2)) abszolutértékek szorzodnak a szögek pedig összeadodnak. z1 r1 = (cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i ⋅ sin(ϕ 1 − ϕ 2 )) két komplex szám hányadosának z 2 r2 abszolút értéke az abszolut értékek hányadosa, szöge pedig a szögek különbsége. -hányados:

-hatvány: z n = r n (cos nϕ + i ⋅ sin nϕ ) az abszolút érték n-edik hatványát, a szög n-szeresét vesszük. -gyök : ϕ + 2πk ϕ + 2πk   k=0,1,2,.,n-1 z = n r  cos + i ⋅ sin   n n  egy komplex számnak n db n-edik gyöke van. n Komplex szám exponenciális alakja: z=r.eiϕ pl: 4-4i komplex szám exponenciális alakban: r= 4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 az a szög aminek a tangense -1: ϕ= − 4 = −1 ; 4 π   arctg( −1) = −   4 A ϕ szögre tgϕ= − π 4 Tehát 4-4i exponenciális alakja: 4 2e −i π 4 Műveletek exponenciális alakkal: Legyen z1 = r1eiϕ 1 , z2 = r2 eiϕ 2 -szorzat: z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 e ( i ϕ 1 +ϕ 2 ) -hányados: z1 r1 i ( ϕ 1 −ϕ 2 ) = e z2 r2 -hatvány: legyen z=reiϕ , akkor: z n = r n ⋅ einϕ iϕ -gyök: legyen z=re , akkor: n z = r ⋅e n i ϕ + 2 kπ n Nyilvánvaló a trigonometrikus és az exponenciális alak közötti alábbi összefüggés: r ⋅ e iϕ = r (cosϕ + i sin ϕ ) azaz

, e iϕ = cosϕ + i sin ϕ 6 3.A Matematikai logika: ítéletek, műveletek, kifejezések A logika tudománya a gondolkodással foglalkozik, pontosabban a gondolkodás formáival. A gondolkodás formái: a fogalom és az ezekből felépülő ítélet. Az ítélet állítást vagy predikátumot jelent. A gondolkodási folyamat fogalmakkal és ítéletekkel végzett műveletek sorozata Gondolkodásunkban egész sor olyan következtetési módot használunk, amelyekről tudjuk, hogy helyes, igaz eredményekre vezetnek, ha helyes, igaz ítéletekből indultunk ki. A matematikai logika tárgya formalizált ítéletek bonyolult összetett összefüggéseinek vizsgálata. A matematikai logika a gondolkodás általános összefüggéseit matematikai módszerrel vizsgálja. Az ítélet olyan szavakkal, vagy más szimbólumokkal kifejezett ‘mondat’, ‘objektum’, amely igaz, vagy hamis. Minden ítélethez tartozik egy igaz vagy hamis jelző, ezeket az ítélet logikai értékének

nevezzük. Az ítéleteket latin betűkkel jelöljük, gyakran logikai változóknak nevezzük őket (TRUE, FALSE). Az ítéleteket szöveggel adjuk meg Pl. A: Hull a hó B: 1>0. C: Ha BÉR > 50000, AKKOR SZJA = 0. A és B egyszerű ítéletek, mert ezek nem bonthatók fel további ítéletekre. C összetett ítélet, mert több ítéletet tartalmaz. Az ítéletek között elvégzett műveletek eredménye egy új ítélet, amelynek logikai értéke a műveletben szereplő ítéletek logikai értékétől függ. Az ítéletekkel végzett műveleteket logikai műveleteknek nevezzük. Logikai alapműveletek: (a halmazok szabályai érvényesek) A logikai műveleteket ítéletek, logikai változók között definiáljuk. Legegyszerűbben úgy adhatjuk meg a műveleteket, hogy táblázatba foglaljuk. Ezeket a táblázatokat igazságtáblázatoknak hívjuk A logikai műveleteket ítéletkalkulusnak is szoktuk nevezni. 1. Negáció: egy operandusos logikai művelet, egy állítás

logikai értékét ellenkezőjére változtatja Jele: ¬ (1.) 2. Konjunkció: két ítélet összekapcsolása, logikai ÉS, vagy logikai szorzás Logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mindkét ítélet logikai értéke igaz. Jele: ∧ (2) 3. Diszjunkció: ‘vagy A, vagy B’ - vagy az egyik, vagy a másik igaz, de a kettő együtt nem lehet igaz (kizáró vagy). ‘A vagy B’ - vagy az egyik, vagy a másik igaz, de mindkettő is lehet igaz Jele: ∨ (3.) 4. Implikáció: a leggyakoribb logikai kapcsolat, ha az egyik ítéletből következik a másik, de az implikációt nem korlátozzuk azokra az esetekre, amikor a két ítélet között oksági kapcsolat van. Nyelvi megfogalmazás: ‘ha A, akkor B’ vagy ‘A-ból következik B’. A: előtag, B: utótag vagy premisszának (feltétel) és konklúziónak (következmény) nevezzük. Az implikáció akkor és csak akkor hamis, ha az előtag igaz, és az utótag hamis. Jele: ⇒ (4) 5. Ekvivalencia: ha A⇒B igaz, akkor a

megfordítottja, B⇒A lehet igaz is, hamis is Ha e két implikáció logikai értéke megegyezik, vagyis ha a két ítélet mindig azonos értékű, akkor A ekvivalans B-vel. ‘A⇔B akkor és csak akkor igaz, ha A⇒B és B⇒A is igaz’ Jele: ⇔ (5) A logikai műveletek tulajdonságai (logikai azonosságok): Kommutativitás: A∧B=B∧A; A∨B=B∨A; A⇔B=B⇔A; A⇒B≠B⇒A. Asszociativitás: (A∧B)∧C=A∧(B∧C); (A∨B)∨C=A∨(B∨C); (A⇔B)⇔C=A⇔(B⇔C); (A⇒B)⇒C≠A⇒(B⇒C); Disztributivitás: (A∧B)∨C=(A∨C)∧(B∨C); (A∨B)∧C=(A∧C)∨(B∧C); Implikáció: A⇒B=¬A∨B; Ekvivalencia: A⇔B=(A⇒B)∧(B⇒A); Tagadás: ¬(¬A)=A; ¬(A∧B)=¬A∨¬B; ¬(A∨B)=¬A∧¬B; (de Morgan) ¬(A⇒B)=A∧¬B; ¬(A⇔B)=¬A⇔B=A⇔¬B; 7 Logikai kifejezések: a logikai műveletek kiterjeszthetők több tagra is olyan módon, hogy az összetett ítéleteket zárójelbe téve egy tagként vesszük figyelembe a műveletben ⇒ logikai kifejezés. A

logikai kifejezésekben szereplő ítéletek a logikai változók (operandusok) Általában logikai kifejezésnek nevezzük logikai műveleti jelek, zárójelek és operandusok (ítéletek) tetszőleges sorozatát. Logikai kifejezés kiszámításának szabályai: a.) A műveletek közti elsőbbségi sorrend (precedencia):  elsődleges a negáció;  másodlagos a konjunkcó;  harmadlagos a diszjunkció;  negyedleges az implikáció;  ötödleges az ekvivalencia; Minden operandus a vele szomszédos operandusok közül ahhoz tartozik, amelyhez a magasabb precedenciájú műveleti jel kapcsolja. b.) “Balról jobbra” szabály: Egy operandus, amelynek két oldalán egyenértékű műveleti jelek állnak, a tőle balra levő operandushoz csatlakozik. Természetesen a zárójelezés a fenti két szabály megtörésére szolgál. 1. 2. A ¬A A B A∧B i h i i i h i i h h h i h h h h 3. 4. 5. A B A∨ B A B A⇒B A B A⇔B i i i i i i i

i i i h i i h h i h h h i i h i i h i h h h h h h i h h i 8 4.A Kombinatorika : permutáció, kombináció, variáció Kombinatorika : véges halmazokkal foglalkozik. 1. PERMUTÁCIÓ : n elem egy meghatározott sorrendben való elhelyezését az n elem egy permutációjának nevezzük. (n elemet hányféleképpen lehet egymás mellé tenni, azaz sorozatba rendezni). a) Ha az elemek különbözőek, akkor ismétlés nélküli permutációról beszélünk. Pn = n ! {Pl. : 3 elem permutációja 123 213 312 132 231 321 (Ciklikus permutáció Pl. : kör alakú asztalnál, nem változik az elrendezés, ha mindenki egy vagy több hellyel mondjuk balra ül. 123456, 612345, 561234, 456123, 345612, 234561)} b) Ha viszont bizonyos elemeket egyenlőnek tekintünk akkor ismétléses permutációról beszélünk. n! , ., k = k1!k2!kr ! 1 2 r {Pl. : 1,1,2,3 elemek ismétléses permutációja Pn; k , k P4;2 = 4×23××12×1 = 4 X 3 = 12} 2. VARIÁCIÓ : n

elemből hányféleképpen lehet kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend számít. a) Ismétlés nélküli variáció Adott n különböző elem. Ha ezek közül k elemet ( k ≤ n ) kell kiválasztanunk úgy, hogy minden elemet legfeljebb egyszer választunk ki és a sorrendre is tekintettel vagyunk, akkor az n elem k-adosztályú variációit kapjuk. Az első helyre az 1, 2, , n elemek közül n-féleképpen választhatunk, a másodikra csak (n-1)-féleképpen, stb. , végül a k-adikra már csak n-(k - 1) = n - k + 1 féleképpen választhatunk. Az összes választási lehetőségek száma ezek szorzata : Vn;k = n(n - 1)(n - 2) . (n - k +1) Az előző képlet (n - k)!-sal való bővítés után : Vn;k = ( n−n!k )! {Pl. : Hány háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5, számjegyekből, ha ugyanaz a számjegy minden számban csak egyszer fordul elő ? V5;2 = 5! 5 × 4 × 3 × 2! = = 60} 2! 2! b) Ismétléses variáció 9 Ha adott n elemünk, és ezekből úgy kell

kiválasztani k elemet (k ≤ n), hogy a sorrendre is tekintettel vagyunk, és a kivételnél visszatevéssel járunk el (azaz minden kivétel után visszatesszük a kihúzott elemet), és így egy elemet akár többször is kiválaszthatunk, akkor azt mondjuk, hogy az n elem k-adosztályú ismétléses variációit képezzük. Vni;k = n k legyen {Pl. : Hány totószelvényt kell kitöltenünk (különböző módon) ahhoz, hogy biztosan köztük 13 találatos ? i) Ismétléses variáció : V3(;13 = 313 = 1594323 } 10 3. KOMBINÁCIÓ : n elemből hányféleképpen lehet kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít. a) Ismétlés nélküli kombinációk Ha megadott n különböző elem közül k különböző darabot (k ≤ n) választunk ki úgy, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor az n elem egy kadosztályú kombinációját kapjuk. (Másként fogalmazva : n elem közül hány különböző módon lehet k számút kiválasztani úgy, hogy

a sorrendre nem vagyunk kiváncsiak.) n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációja : Cn;k ( ) n( n − 1).( n − k + 1) Cn;k = nk = k! {Pl. : Hányféleképpen lehet kitölteni egy lottószelvényt ? Annyiféleképpen, ahányféleképpen 90 számból ki lehet választani 5-öt, azaz a kitöltendő szelvények száma : ( 590 ) = 90 ×1 ×892××883 ××487× 5× 86 = 43949268 szelvényt kell kitölteni.} b) Ismétléses kombinációk Ha adott n különböző elemből visszatevéssel választunk ki k elemet úgy, hogy a sorrendre nem vagyunk tekintettel, akkor az így kapott k elemű csoportokat az adott n elem k-adosztályú ismétléses kombinációjának nevezzük.  n+ k −1   k  Cn(i;k) =  {Pl. : 7 diák 3 sportágban versenyez Mindhárom sportágban az első helyezett ugyanolyan értékű díjat kap. Ugyanaz a versenyző több díjat is nyerhet Hányféleképpen lehet elosztania három (egyenlőnek vehető) díjat ? A 7 elemből hány

olyan hármas csoport nyerhető, ahol az elemek sorrendjére nem kell tekintettel lenni, és ugyanazt az elemet egy csoportba akár 3-szor is fel lehet tüntetni ?  7+3−1  9 7 eleme 3-adosztályú ismétléses kombinációja : C7(;i3) =   =   = 84 }  3   3 11 5.A Gráf fogalma, jellemzői, fák Adjunk meg egy véges halmazt, és rendeljünk páronként egymáshoz az elemeit (nem feltétlenül mindegyiket mindegyikhez). Ezen párok halmazát gráfnak nevezzük Ha a halmaz elemeit a síkon pl. körökkel, és azt a körülményt, hogy egymáshoz rendeljük őket egy összekötő vonallal akkor a gráf geometriai ábrázolását kapjuk meg. A geometriai alakzat maga tekinthető a gráf megadásának. A fenti alakzatot gráfnak hívjuk. Nevezzük el a köröket csúcsoknak, az összekötő vonalakat éleknek. Az olyan gráfot, amelyben az éleknek irányuk van, irányított gráfoknak nevezzük. DEFINICIÓ : A G = (V, E) rendezett párt, ahol V =

{a1,a2,.,an} egy tetszőleges halmaz, E pedig {ai,aj} párok halmaza, gráfnak nevezzük. Az ai ∈ V elemeket a gráf csúcsainak, az {ai, aj} párokat pedig a gráf éleinek hívjuk. Ha az élek rendezett párok, akkor a gráf irányított, ellenkező esetben pedig irányítatlan. A gráfot a síkon úgy ábrázoljuk, hogy a csúcsokat ponttal (körrel) jelöljük, az éleket pedig a két csúcsot összekötő vonallal. A gráfok jellemzői : A csúcs fokszáma : Legyen G egy irányítatlan gráf. Ennek egy a csúcsában végződő éleiről azt mondjuk, hogy illeszkednek a-ra. Jelöljük q(a)-val ezeknek a számát A q(a) számot a csúcs fokszámának nevezzük. Az irányított gráfot r-edfokú reguláris gráfnak nevezzük, ha minden a csúcsára A ciklus rang. A γ = N - n +1 számot (ahol N az élek, n a csúcsok száma), a gráf ciklikus rangjának, vagy ciklomatikus számának nevezzük. Izolált csúcsok. Ha az élek halmaza üres, akkor azt mondjuk, hogy a gráf izolált

csúcsokból áll Üres gráf : csak izolált csúcsai vannak. Teljes gráf : a gráfban minden csúcspár éllel van összekötve. Hurok : az (a, a) típusú él (azaz a csúcsból önmagába vezet az él). Terminális csúcsok : azok, amelyekből nem vezet él egy másik csúcshoz. Út : az (a1,a2,.,an) csúcsokból képzett (a1,a2), (a2,a3), (an-1,an) élek sorozata (Az út tehát egymásba fűzött élek sorozata.) Az utat alkotó élek számát az út hosszának nevezzük A kör egy olyan út, amelynek első és utolsó csúcsa azonos. A gráf részgráfja : A (V , E ) gráfot a (V, E) gráf részgráfjának nevezzük; ha V ⊆ V és E ⊆ E ( E -beli élek V -beli csúcsokat kötnek össze.) Összefüggő gráf : Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármelyik csúcsából bármelyik másikba eljuthatunk egy úton keresztül. 12 A gráf bázisa : a csúcsok olyan minimális részhalmaza, amelyből minden csúcs úttal elérhető. Fák Ha a G gráfban az r csúcs

olyan, amelybe nem megy be él és belőle bármely csúcshoz egy út vezet, akkor a G gráf fa. A fa olyan gráf, amelynek nincs izolált pontja, és nincs benne kör. A fában gyökérelemnek nevezzük azt a csúcsot, amelyből a fa minden csúcsa pontosan egy úton érhető el. Az élek száma : Könnyen belátható, hogy egy n csúcsú fának n-1 éle van. Elágazási elemek : a fában azok a csúcsok, amelyekbe vezet és megy is ki él. Levelek : A fában a terminális csúcsokat leveleknek hívjuk. Bináris fa : olyan fa, amelyben minden csúcsból legfeljebb két él indul ki. Megjegyzés : a ciklikus rang fogalmából következik, hogy egy gráfból legalább annyi élt kell elhagyni, hogy fát kapjunk, mint amennyi a ciklus rangja. Csúcsmátrix Legyen G egy n csúcsú gráf, jelöljük meg csúcsait az 1,2,.,n számokkal Képezzünk egy C = [cij] mátrixot, amelyben a cij elem az ai és aj csúcsok közötti élek száma. A C mátrixot a gráf csúcsmátrixának

(szomszédsági mátrixának) hívjuk. 13 6.A A vektor fogalma (geomteriai, koordinátás alak) műveletek Az egyenes és a sík egyenletei. Geometriai megfogalmazás szerint vektoron egy irányított szakaszt értünk. Ezen definíció értelmében a vektort akkor ismerjük, ha ismerjük a hosszát és az irányát. Az így definiált vektor abszolút értékén az irányított szakasz hosszát értjük. Jele az a vektor esetén: | a | . Ha a vektor hossza egységnyi, akkor egységnyi hosszúságú vektorról beszélünk. Nullvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek a hossza 0 Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha létezik olyan transzformáció amellyel a két vektor egymásba átvihető. Műveletek vektorokkal - összeadás: paralelogramma módszerrel vagy háromszög módszerrel - kivonás: a kivonandó végpontjából a kisebbítendő felé mutat - szorzás számmal: - skaláris szorzat: a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos γ ahol γ az a és b vektorok hajlásszöge -

vektoriális szorzat: az a és b vektorok vektoriális szorzatán azt az a × b -vel jelölt vektort értjük, amely merőleges a-ra is és b-re is és amelynek hossza a ⋅ b ⋅ sin γ , továbbá a , b , a × b jobbsodrású rendszert alkotnak. - vegyes szorzat: az a , b , c vegyes szorzatán az ( a × b) ⋅ c szorzatot értjük. Vektorok definiálása koordinátákkal Véges sok, rögzített sorrendű számot vektornak nevezünk. Ha a számokat egymás mellé írjuk, akkor sorvektorról ha egymás alá akkor oszlopvektorról beszélünk. A vektort alkotó egyes számokat a vektor koordinátáinak nevezzük, mégpedig az i-edik helyen szereplőt az i-edik koordinátának Az n számú koordinátából álló vektorokat röviden n elemű vektoroknak nevezzük. A kételemű vektorok a síkban a két dimenziós térben ábrázolhatók, ezért ezeket kétdimenziós vektoroknak is szoktuk nevezni; ennek analógjára az n elemű vektorokat n dimenziós vektoroknak nevezzük. Azt a

vektort, amelynek egyetlen komponense 1, a többi 0, egységvektornak nevezzük. Ha az 1-gyel egyenlő komponense az i-edik komponens, akkor i-edik egységvektorról beszélünk és ei vel jelöljük. Egy vektor abszolút értékén (hosszán) a koordinátáinak négyzetösszegéből vont négyzet gyököt értjük. Az a = (a , a ,., a ) vektor hosszán tehát az 1 2 n a = a +a 2 2 1 2 +.+ a n mennyiséget 2 értjük. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal  a1   b1      a2  b2  Legyen a = és b =   valamint λ ∈ R legyen tetszőleges szám. Ekkor  :  :      an   bn  14  a1 + b1   a1 − b1      a 2 + b2  a 2 − b2    és a − b = a+b=  :   :       a n + bn   a n − bn   λa1    n λa 2   és a ⋅ b = ∑ a i ⋅ bi λa =  :  i=1    λa n  Ha az a és b vektorok három

dimenziósak akkor a vektoriális szorzatot az alábbi képlettel kapjuk :  a 2 b3 − a3b2    a × b =  a1b3 − a3b1  .    a1b2 − a 2 b1  Az egyenes és a sík egyenletei Az egyenest - többek között - meghatározza egy pontja és irányvektora: Jelölje r0 az egyenes egy adott pontjába mutató vektort. Legyen v az egyenes irányvektora Jelölje végül r az egyenes tetszőleges pontjába mutató vektort. Ekkor (r − r ) v 0 Ezt a párhuzamosságot egyenlőség formájában is megadhatjuk: r − r0 = λ v , λ ∈ R Ez utóbbi egyenletet az egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. A síkot meghatározza például 1 pontja és a síkra merőleges ún. normálvektor Ez utóbbi vektort n-nel jelölve (r − r ) ⋅ n = 0 0 adódik, amit a sík normálvektoros egyenletének nevezünk. (Itt r a sík egy tetszőleges pontjába, r0 pedig az adott pontba mutató vektor.) Amennyiben a síkot egy pontjával és a síkon felvett két

lineárisan független u és v vektorával határozzuk meg, akkor az λ, , µ ∈ R r = r0 + λ u + µ v egyenlethez juthatunk. (Itt r a sík egy tetszőleges pontjába, r0 pedig az adott pontba mutató vektor) 15 7.A Számsorozatok, a határérték, műveletek, nevezetes sorozatok SOROZAT: sorozaton olyan függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza vagy annak valamely részhalmaza . Számsorozatnak nevezzük a sorozatot ha a függvényértékek valós számok. ha az "a" sorozat N+ halmazon értelmezett függvény akkor az n ∈ N+ helyen felvett a(n) függvényértéket röviden an-nel jelöljük és a sorozat n-edik tagjának nevezzük. Az a(n) függvény értékkészlete tehát az (a1 a2 an) számokból illetve N esetén az (a0 a1 a2 . an ) számokból állEzek a sorozat jelölései is HATÁRÉRTÉK:akkor mondjuk,hogy valamely valós számsorozat határértéke az A valós szám ha A bármely környezetén kivül a sorozatnak

legfeljebb véges sok eleme van.Részletesebben:az a(n) valós számsorozat határértéke az A valós szám, ha bármely ε >0-hoz létezik olyan N0 ∈ N szám, hogy | a(n) -A | < ∈ ,ha n >n0. Az ilyen n0 számot az ε -hoz tartozó küszöbszámnak az ε -t hibakorlátnak nevezzük. Azt , hogy az an sorozat határértéke az A szám úgy is mondhatjuk, hogy az (an) sorozat konvergál vagy tart az A-hoz. Jelölése: an A vagy lim an =A Ha a sorozatnak van véges határértéke , akkor konvergens sorozatról beszélünk, ha nincs, akkor divergens a sorozat. Az A számot a sorozat torlódási pontjának nevezzük ha bármely környezetében a sorozatnak végtelen sok eleme van. -Bármely sorozatnak legfeljeb egy határértéke lehet. Ha sorozat elemeinek halmaza korlátos akkor röviden korlátos sorozatról beszélünk.Ennek megfelelően beszélünk a sorozat felső, ill alsó határáról. -Minden konvergens sorozat korlátos . MŰVELETEK: legyen (an) korlátos és (bn)

nullához konvergáló számsorozat. A két sorozat szorzata az (anbn) sorozat is nullához konvergál. Ha az (an) és (bn) sorozatok konvergensek és lim an =A lim bn=B akkor a két sorozat összege , különbsége , szorzata és b#0 esetén hányadosa is konvergens és - lim (an+bn)=A+B -lim (an-bn)=A-B -lim (anbn)=AB -lim (an/bn)=A/B B#0 B#0 esetén a (bn) sorozatnak csak véges számú tagja lehet nulla, ezeket elhagyva képezhető a hányados sorozat. -Ha az (an) sorozat határértéke A és tagjai nem negativak, akkor lim k an = k A k ∈ N+ -Legyen az (an) és (bn) sorozat konvergens ,és lim an = lim bn=A .Ha valamely n-től kezdve az an ≤ cn ≤ bn egyenlőtlenség , minden n-re fennáll , akkor a (cn) sorozat is konvergens , és lim cn =A. -Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat határértéke plusz (minusz) végtelen ha bármely k ∈ R+ számhoz létezik olyan n0 ∈ N+ küszöbszám .hogy n> n0 esetén an >k (an < -k). MONOTON SOROZATOK:az (an) számsorozat

-növekedő ha an < an+1 , -nem csökkenő ha an ≤ an+1 , csökkenő ha an > an+1 , -nem növekedő ha an ≥ an+1 fennáll minden n ∈ N-re.Ha a sorozat növekedő vagy csökkenő , akkor szigoruan monoton sorozatról,a nem csökkenő, ill nem nem növekedő esetben monoton sorozatról beszélünk. NEVEZETES SOROZATOK: -lim qn = ∞ ha q>1, 1 ha q=1 , 0 ha -1<q<1, divergens ha q ≤ -1. Bizonyitás: ha q>1, akkor legyen q=1+h, ahol h>0. A Bernoulli-féle egyenlőtlenség szerint k −1 qn=(1+h) n ≥ 1+nh. A jobb oldal viszont akármilyen k pozitiv számnál nagyobb, ha n> igy qn h k −1 k −1 1 >k ha n> = . A q=1 eset triviális Ha |q|<1, akkor >1 és igy a fentiek szerint lim h q −1 | q| 16 n  1 1 1 1 azaz   = lim n = ∞ . Ezért bármely pozitiv ε -ra valamely n0-nál nagyobb n-ekre n > ε | q| | q|  |q| |q|n < ε (n>n0). Ha q= -1, akkor a (qn) sorozatnak két torlódási pontja van , az 1 és a -1 igy nem

konvergens. A q<-1 esetben |q|>1, ezért a fentiek szerint lim |q|n= ∞ Ez azt jelenti, hogy a páros indexű tagokból álló részsorozat - ∞ -hez konvergál ,azaz a sorozat tágabb értelemben sem konvergens. n 1  -Az an =  1 +  (n ∈ N) sorozat konvergens.  n -Bármilyen pozitiv számra lim n a =1 . 17 8.A Függvény határértéke, folytonossága Tekintsünk egy f(x) függvényt és egy a ∈ R valós számot. Válasszuk az X értéket a-hoz tetszőleges közel az f(x) értelmezési tartományban. Vizsgáljuk meg, hogy hogyan viselkedik az f(x) függvény ezen X értékekre. Előfordulhat, hogy az ilyen X-ekre (amelyek tehát az a helyhez tetszőlegesen közel lettek választva) az f(x) értékek egy jól meghatározott A szám közelébe esnek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek az a helyen létezik határértéke és az A-val egyenlő. A határérték pontos definíciója ezek után a következő: Legyen f(x) egy függvény és

legyen a egy olyan valós szám, amelynek bármilyen kicsiny sugarú környezete az ε értelmezési tartományába tartozik. Azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek az a helyen A a határértéke, ha tetszőleges kicsiny ε>0-hoz létezik olyan ε-tól függő δ>0 szám, hogy |f(x)-A|<ε teljesül, hacsak |x-a|<δ igaz. |x≠a| Jele: lim f ( x ) = A , minthogy a egy véges számérték volt, ezért ezt a határértéket a végesben vett xa x≠a határértéknek nevezzük. Megjegyezzük, hogy az a szám nem szükségképpen kell, hogy az f(x) értelmezési tartományába tartozzon. Előfordulhat, hogy az f(x) függvény az a számnak vagy csak a bal, vagy csak a jobb oldaláról választott X értékekre értelmezett. Így a határérték definíciójánál is az a környezetének vagy csak a jobb vagy csak a bal oldalát választhatjuk. Ennek megfelelően az a -ban adódó határértéket az f(x) jobb illetve baloldali határértékének nevezzük. Jele: lim f(x)=A

(jobb oldali határérték) lim f(x)=A (bal oldali határérték) xa+ 0 x≠a xa− 0 x≠a A definíció alapján igaz, hogy amennyiben az f(x)-nek a helyen van jobb és baloldali határértéke és azok megegyeznek, akkor f(x)-nek a -ban van határértéke is és az megegyezik a közös jobbilletve baloldali határértékkel. Végtelenben vett határérték: Sok gyakorlati problémánál felmerül annak az igénye, hogy egy adott f(x) függvény viselkedését meghatározzuk, amikor az X értéke tetszőleges nagy szám lehet. Az egyes függvények ez esetben nem egyformán viselkednek. Kitüntetjük azokat, amelyekre igaz, hogy a nagyon nagy X értékekre az f(x) függvényértékek egy jól meghatározott A számérték közelébe kerülnek. Ezekre azt mondjuk, hogy végtelenben van határértékük és az A-val egyenlő. A pontos definíció: Az y=f(x) függvénynek végtelenben A a határértéke, ha tetszőleges kicsiny ε>0-hoz létezik olyan R>0 valós szám, hogy

|f(x)-A|<ε teljesül, hacsak X<R igaz. 18 Jele: lim f ( x ) = A x ∞ Hasonlóan definiálható ( −∞ ) -ben is a határérték: az y=f(x)-nek ( −∞ ) -ben vett határértéke A, ha tetszőleges kicsiny ε>0-hoz létezik olyan R<0 valós szám, hogy |f(x)-A|<ε teljesül, hacsak X<R igaz. Jele: lim f ( x ) = A x −∞ Az y=f(x) függvény folytonossága: A folytonosság a függvénynek pontbeli tulajdonsága. Azt mondjuk, hogy a f(x) függvény az értelmezési tartományának x0 pontjában folytonos, ha létezik x0-nak olyan környezete, amely beletartozik az f(x) értelmezési tartományába, továbbá létezik x0-ban f(x)-nek határértéke és az megegyezik az x0-ban vett behelyettesítési értékkel, azaz lim f ( x ) = f ( x 0 ) x x0 Valamely f(x) függvényt egy intervallumban folytonosnak nevezünk, ha annak minden pontjában folytonos. Végül az f(x) függvényt magát folytonosnak nevezzük, ha értelmezési tartományának minden

pontjában folytonos. Ha az f(x) függvény valamely a helyen nem folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az a hely a függvény szakadási helye. A szakadási helyeket a következőképpen csoportosíthatjuk: − hézagpontja van, ha lim f ( x ) létezik és véges, de a nem eleme az f(x) értelmezési xa x≠a tartományának − megszüntethető szakadási hely, ha lim f ( x ) létezik és véges, továbbá a eleme az értelmezési xa x≠a tartományának, de lim f ( x ) ≠ f ( a ) xa x≠a − lényeges szingularitása van , ha nem létezik a lim f ( x ) véges határérték. xa x≠a 19 9.A A differenciálhányados fogalma Differenciálási szabályok Elemi függvények deriváltjai Legyen adott az y=f(x) függvény, amelyről tudjuk, hogy értelmezve van valamely (a,b) intervallumban. Legyen x0 ennek az intervallumnak egy rögzített pontja Ekkor az f (x ) − f (x 0 ) x − x0 hányadot, ahol az x az x0 egy alkalmas, értelmezési tartománybeli környezetéből

választjuk, az f(x) függvény x0-beli differenciálhányados függvényének nevezzük. Ez a függvény nincs értelmezve x0-ban, ettől azonban ott még létehzet határértéke. Amennyiben létezik a differenciálhányados függvénynek x0-ban határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az y=f(x) függvény az x0-ban differenciálható, és ott a differenciálhányados értéke megegyezik a differenciálhányados függvény határértékével. Amennyiben az y=f(x) függvény az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható, akkor egy újabb függvényt definiálhatunk. Ezen függvény értelmezési tartománya megegyezik az y=f(x) függvény értelmezési tartományával, értékkészlete pedig a differenciálhányados értékekből áll (azaz egy x0 értékhez az f(x0) tartozik, mint függvényérték). Ezen új függvényt deriváltfüggvénynek nevezzük és y=f(x)-szel jelöljük. A differenciálszámításnál az alapfeladat egy y=f(x) függvény

deriváltfüggvényének meghatározása. Ehhez lesz szükségünk deriválási szabályokra és képletekre. Deriválási szabályok − Ha az y=f(x) és y=g(x) függvények deriválhatók, akkor az f(x)+g(x) függvény is deriválható és [f(x)+g(x)]=f(x)+g(x) (Ezt a szabályt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy deriválható függvények összege tagonként deriválható.) − Ha az y=f(x) és y=g(x) függvények deriválhatók, akkor az f(x)-g(x) is deriválható és [f(x)-g(x)]=f(x)-g(x) (A különbséget is lehet tagonként deriválni.) − Ha az y=f(x) deriválható és C egy tetszőleges valós szám, akkor a C ⋅ f ( x ) függvény is deriválható és [ C ⋅ f ( x )] = C ⋅ f ( x ) − Ha y=f(x) és y=g(x) függvények deriválhatók, akkor az f ( x ) ⋅ g ( x ) is deriválható és [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = f ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ( x ) 20 − Ha az y=f(x) és y=g(x) függvények deriválhatók és g ( x ) ≠ 0 teljesül az értelmezési tartomány f

(x ) bármely X elemére, akkor az függvény is deriválható és g(x ) |  f (x )  f (x ) ⋅ g(x ) − f (x ) ⋅ g (x )  g(x )  = g 2 (x )   − Ha az u(x) és f(u) függvények deriválhatók, akkor az f(u(x)) összetett függvény is deriválható és [ f ( u( x ))] | = f u ⋅U x − Ha az y=f(x) függvény deriválható és f-1(x) jelöli az inverz függvényét, akkor az inverz függvény is derviálható lesz és | 1 f −1 ( x ) = f ( f −1 ( x )) [ ] A deriválási szabályokat követően megadjuk az alapfüggvények deriváltjait, amit deriválási képleteknek fogunk nevezni. (Konstans deriváltja 0, ahol n bármilyen valós szám lehet) [ C ] = 0 [ x n ] = n ⋅ x n−1 [ e x ] = e x [ a x ] = a x ⋅ ln a [ln x ] = 1 x 1 x ln a [sin x ] = cos x [cos x ] = − sin x [log a x ] = 1 cos 2 x 1 [ tgx ] = − sin 2 x 1 [ ctgx ] = − sin 2 x 1 [arcsin x ] = 1− x2 [ tgx ] = [arccos x ] = − 1 1− x2 1 1+ x2 1 [ arcctg ] = − 1+ x2 [

shx ] = chx [ chx ] = shx [ arctgx ] = 1 ch 2 x 1 [ cthx ] = − 2 sh x [ thx ] = 21 10.A A differenciálhányados alkalmazásai : Taylor polinom, L’ Hospital szabály A differenciálszámítást felhasználhatjuk egy f(x) függvény különböző tulajdonságainak a meghatározására is. A derivált függvény segítségével meg lehet határozni például az f(x) monotonitási szakaszait, szélsőérték helyeit, konvexitását, konkávitását, adott pontban húzható érintőjének egyenletét. Most azt vizsgáljuk, hogy a differenciálszámítást hogyan használhatjuk fel valamely f(x) függvény közelítő értékének meghatározására. Mac Laurin és Taylor polinom Egy polinom adott helyen felvett értékének kiszámítása alapműveletek segítségével történik. Nehezebb, sőt eddigi ismereteink alapján lehetetlen a sin, cos, exp, log . stb függvények értékének kiszámítására. A Taylor és a Mac Laurin polinomok közelítőleg használhatók egy olyan

függvény helyett, amelyik n-szer deriválható. Ha az f(x) függvény a 0 helyen legalább n-szer differenciálható, akkor a f ( o) f ( o) 2 f ( n) n Pn ( x ) = f ( o) + x+ x + .+ x 1! 2! n! polinomot az f(x) függvény n-edfokú Mac Laurin polinomjának nevezzük. E polinom grafikonja az f(x) grafikonját a 0 helyen n-edrendben érinti. (k ) (Ez utóbbi azt jelenti, hogy f ( k ) ( o) = pn ( o) , ahol k = 0,1,2 . n Ha az f(x) függvény az a helyen legalább n-szer differenciálható, akkor a f (a) f (a) f ( n) (a) (x − a) + ( x − a ) 2 + .+ (x − a) n 1! 2! n! polinomot az f(x) függvény a ponthoz tartozó n-edfokú Taylor-polinomjának nevezzük. t n (x ) = f (a) + E polinom grafikonja az f(x) függvény grafikonját az a helyen n-edrendben érinti. (A Taylorpolinom a = 0 speciális eseteként adódik a Mac Laurin polinom) Tételként kimondhatjuk, hogy ha az f(x) függvény az értelmezési tartományának valamely a -t tartalmazó I intervallumán (n+1)-szer

differenciálható, akkor bármely x ∈ I esetén van legalább egy olyan ς pont az a és x között, amelyre f n+1 (ς ) (a) (x − a) k + ( x − a ) n+1 + 1 ! ( )! k n k=0 teljesül. Ezt a képletet Taylor-formulának az f ( n+1) (ς ) ( x − a ) n+1 Rn ( x ) = ( n + 1)! kifejezést pedig maradéktagnak nevezik. n f (x ) = ∑ f (k ) L Hospital szabály Bizonyos esetekben hányados függvény adott helyen vett határértékének meghatározásakor O ∞ előfordul, hogy behelyettesítéssel határérték nem határozható meg, mert , vagy formájú, ún. O ∞ határozatlan alakhoz jutunk. A differenciálszámítást az ilyen határértékszámítási problémák esetében is felhasználhatjuk. 22 Tétel: Legyen δ > o valamint f(x) és g(x) differenciálható az Ε = [ a − δ , a ) ∪ ( a , a + δ ] halmaza és g ( x ) ≠ 0 , ha x ∈Ε . f (x ) véges (vagy ∞ , illetve −∞ ), akkor g (x ) f (x ) f (x ) . = lim lim xa g(x ) xa g (x ) Ezt a szabályt

nevezzük L Hospital-szabálynak. Ha a lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 és a lim xa xa xa Ez a szabály alkalmazható akkor is, amikor lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ , vagy lim f ( x ) = lim g ( x ) = −∞ . xa xa xa xa Amennyiben a határozatlan alak 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ . stb formájú, megfelelő átalakítással 0 , vagy 0 ∞ formájúra kell hoznunk ahhoz, hogy a L Hospital szabályt használhassuk. ∞ 23 11.A Függvények diszkussziója : monotonság, szélsőérték, konvexség, konkávság A differenciálszámítást felhasználhatjuk egy f ( x ) függvény különböző tulajdonságainak a meghatározására . A derivált függvény segítségével meg lehet határozni az f ( x ) monotonitási szakaszait , szélsőérték helyeit , konvexitását , konkávitását , adott pontban húzható érintőjének egyenletét . Monotonitás : Legyen f ( x ) az (a , b ) nyílt intervallumban differenciálható függvény . Bebizonyítható , hogy ha f ( x ) monoton

növekvő az (a , b) intervallumban , akkor ott f ( x ) ≥ 0 , ha monoton csökkentő akkor pedig f ( x ) ≤ 0 . Igaz ezen állítás megfordítása is : ha az f ( x ) függvény deriváltja az (a , b) intervallumban pozitív , akkor abban az intervallumban f ( x ) monoton növekvő , ha pedig az f ( x ) függvény deriváltja az (a , b) intervallumban negatív , akkor abban az intervallumban f ( x ) monoton csökkentő. Ha az (a, b) nyílt intervallumon f differenciálható , és f ( x&) > 0 az (a , b) minden pontjában , akkor az f függvény szigorúan növekvő. Ha f ( x ) negatív az (a , b) minden pontjában , akkor az f ( x ) szigorúan monoton csökkenő az (a , b) intervallumon. Ezen tétel megfordítása már nem igaz . Pl: x 3 függvény a (-1 , 1) intervallumon szigorúan monoton növekvő , de az f ( x ) = 3x 2 függvény ebben az intervallumban nem mindenütt pozitív . 3x 2 -2 -1 y 1 2 x x3 Szélsőérték meghatározása : A deriváltfüggvény

segítségével meghatározhatók a függvény szélsőértékhelyei is . Ha az f ( x ) függvénynek az értelmezési tartományabeli x0 belső pontjában helyi szélsőértéke van és x0 -ban f ( x ) differenciálható , akkor f ( x0 ) = 0 teljesül . Ezt a feltételt a szélsőérték létezése szükséges feltételének nevezzük. Az f ( x0 ) = 0 egyenlet gyökeit az f ( x ) függvény stacionárius pontjának nevezzük. Az f ( x ) helyi szélsőérték helyei a stacionárius pontjai között találhatók , ugyanakkor nem minden stacionárius pont lesz az f ( x ) -nek szélsőérték helye . Az f ( x0 ) = 0 egyenlet valamely x0 gyöke akkor szélsőértékhelye az f ( x ) függvénynek , ha x0 -ban a deriváltfüggvény előjelet vált . Mégpedig , ha x0 -ban az f ( x ) derivált függvény (+) - ból (-) -ba megy át , akkor az x0 maximumhely , ha pedig (-) -ból (+)-ba akkor minimumhely . 24 Amennyiben az f ( x0 ) = 0 , de x0 - ban a deriváltfüggvény nem vált

előjelet , akkor az x0 nem szélsőérték . Az ilyen x0 helyet inflexiós pontnak nevezzük Egy f ( x ) függvény helyi szélsőértékhelyeit meg lehet határozni a magasabb rendű derivált segítségével is. : Ha az f ( x ) függvénynek létezik magasabb rendű deriváltja és f ( x0 ) = 0 , továbbá x0 -ban az első nem 0 értékű derivált rendje páros /azaz másodrendű , negyedrendű stb./ , akkor x0 az f ( x ) - nek helyi szélsőértékhelye , mégpedig minimumhelye ha az említett derivált érték pozitív , maximumhelye ha az említett deriváltérték negatív . Pl.: f (x ) a x 2 f ( x ): y = 2 x f ( x ): y = 2 f y f f -2 -1 1 2 Ahol látszik , hogy az elsőrendű deriváltnál (y=2x) az x0 -hoz 0 tartozik. A másodrendű deriváltnál (y=2) az x0 -hoz 2 tartozik. Igy az f ( x ) -nek itt van szélsőértéke és ez minimuma mert a 2 pozitív. x Konvexitás , konkávitás , inflexiós pont : Legyen az f ( x ) az "a" pont valamely

környezetében kétszer differenciálható . Ha f ( a ) > 0 , akkor az "a" helyen f ( x ) konvex . Ha f ( a ) < 0 , akkor f ( x ) az "a" helyen konkáv. Érvényes a következő állítás is : ha f ( x ) az "a" helyen konvex , akkor f ( a ) ≥ 0 , ha pedig f ( x ) az "a" helyen konkáv akkor f ( a ) ≤ 0 . Ha f ( a ) = 0 és f ( x ) az "a" helyen előjelet vált akkor az "a" f ( x ) függvénynek inflexiós pontja. 25 12.A A határozott integrál, alapintegrálok, integrálási szabályok (parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel). Az integrálás művelete a deriválás fordítottja. Melyik az az F(x) függvény, amelyre F(x) = f(x) egyenlőség igaz? Definíció: Az f függvénynek a H halmazon az F függvény primitív függvénye, ha - H része az f és F értelmezési tartománynak - F differenciálnak a H halmazon - F(x) = f(x) (x ∈ H). | Határozzuk meg f(x)-x3 primitív

függvényét! F ( x ) = 1 4 x3 1  x mivel  x 4  = 4 = x 3 = f (x ) . 4  4 4 1 4 1 x + 1 , x 2 + 2+ .+ n 4 4 1 Ezért a primitív függvényeket ebben az esetben x 4 + C (ahol C valós szám) alakban írjuk fel. 4 | | Bizonyítás: (F(x)+C) = F (x)+0=f(x) Definíció: Az f függvény primitív függvényeinek halmazát az f határozatlan integráljának Megoldás lehet az F ( x ) = nevezzük. Jelölése: ∫ f ( x ) dx . Ha valamely i intervallumon F az f függvénynek primitív függvénye, akkor ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C (A C konstans tagot integrációs állandónak - az f integrálandó függvény, vagy integranciens. Integrálás: a primitív függvények meghatározása. A dx jelölés azt jelzi, ha amennyiben x mellett más változók, vagy paraméterek is vannak, melyik változó szerinti primitív függvényekről van szó. Alapintegrálok: az elemi függvények deriválására vonatkozó tételek megfordítása X α +1 ∫ X dx = α + 1 ax x a

dx = ∫ ln a ∫ cos xdx = sin x α α ∈ R, α ≠ −1 a > 0, a ≠ 1 ∫ sin xdx = − cos x 1 ∫ cos x dx = tgx 1 ∫ sin 2 x dx = − ctgx 26 1 ∫ 1 − x2 −1 ∫ dx = arcsin x dx = arccos x 1 − x2 1 ∫ 1 + x 2 dx = arctgx −1 ∫ 1 + x 2 dx = arcctgx ∫ chxdx = sh ∫ shxdx = chx 1 ∫ ch x dx = thx 2 1 ∫ sh x dx = cthx 2 1 ∫ x +1 1 2 ∫ x2 + 1 dx = arcshx dx = archx arctgx  ha x < 1 1 dx =   ∫ 1− x2 arcthx  ha x > 1 1 ∫ x dx = ln x ∫ f ( x )dx ∫ g ( x )dx léteznek, akkor ∫ ( f ( x ) ± g ( x ))dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx ∫ k ⋅ f ( x )dx = k ⋅ ∫ f ( x )dx minden k valós számra Integrálási szabályok: Ha az − − és Pl.: f ( x ) = 3 ⋅ sin x + 2 cos x = ∫ ( 3 ⋅ sin x + 2 cos x )dx = ∫ 3 sin xdx + ∫ 2 cos xdx = = 3∫ sin xdx + 2 ∫ cos xdx = −3 cos x + 2 sin x + C Ha F az f primitív függvénye az i intervallumon és g differenciálható függvény, akkor

∫ f ( g ( x ) g ( x )dx ) = F ( g ( x )) + C | g ( x ) ∈i Esetei: ∫ f α ( x ) ⋅ f | ( x )dx = f α +1 ( x ) +C α +1 α ≠ −1 27 ∫ ∫ f | (x) = dx = ln f ( x ) + C f (x) 1 f (ax + b)dx = F (ax + b) + C a Példa: ∫ sin ∫ sin 4 4 ( x + cos 3 x )dx = ∫ sin 4 x ⋅ cos 2 x ⋅ cos xdx = ∫ sin 4 x (1 − sin 4 x ) cos xdx = x cos xdx − ∫ sin 6 x cos xdx mivel (sin x ) | = cos x , így 4 6 ∫ sin x cos xdx − ∫ sin x cos xdx = sin 5 x sin 7 x − +C 5 7 Parciális integrálás: Ha n és v differenciálható függvények, valamely i intervallumon és itt az u|v függvénynek létezik primitív függvénye, akkor az uv| függvénynek is van primitív függvénye az i intervallumon. Bizonyítás: A szorzat integrálási szabálya szerint: ( u( x ) v ( x )) | = u | ( x ) v ( x ) − u( x ) v | ( x )dx , ezután mindkét oldalt integrálva kapjuk: ∫ ( u ( x ) v ( x ) + u( x ) v ( x )dx = u( x ) v ( x ) + C integrálva: ∫ u ( x ) v ( x )dx +

∫ u( x ) v ( x )dx = u( x ) v ( x ) + C | Tagonként | | | átrendezéssel kapjuk az alábbit: ∫ u( x ) v ( x )dx = u( x ) v ( x ) − ∫ u ( x ) v ( x )dx | | | v | ( x ) cos( 3x + 1) 1 akkor u | ( x ) = 2 x v ( x ) = sin( 3x + 1) 3 1 2 2 1 ∫ x cos( 3x + 1)dx = x 3 sin( 3x + 1) − ∫ 2 x 3 sin( 3x + 1)dx = Így 1 2 = x 2 sin( 3x + 1) − ∫ x sin( 3x + 1)dx 3 3 A jobb oldali integrált is így számíthatjuk ki: u( x ) = x v | ( x ) = sin( 3x + 1) 1 u| ( x ) = 1 v ( x ) = − cos( 3x + 1) 3 1 1 ∫ x sin( 3x + 1)dx = − 3 cos( 3x + 1) + 3 ∫ cos( 3x + 1)dx = 1 1 − cos( 3x + 1) + sin( 3x + 1) 3 9 behelyettesítve kapjuk: 1 2 2 2 2 ∫ x cos( 3x + 1)dx = 3 x sin( 3x + 1) + 9 x cos( 3x + 1) − 27 sin( 3x + 1) + C . Integrálási helyettesítéssel: Példa: f ( x ) = x 2 cos x ( 3x + 1) u( x ) = x 2 28 Az ∫ f ( g ( x ) g ( x ))dx = F ( g ( x )) + C | g ( x ) ∈i alapján a jobb oldali függvény az alábbi alakzatban is felírható: F ( g ( x )) =

Ezekből adódik: (∫ f (u)du) ⋅ u = g ( x ) , majd ennek kiszámítása után az u helyett g(x)-t írunk. ∫ f ( g ( x )) g ( x ) =( ∫ f ( u)du)u = g ( x ) |  x3 = u  u u x3 Példa: ∫ e 3x dx =  2  = ∫ e du = e + C = e + C  3x dx = du A fenti megoldás speciális esetekre. Általánosabban használható módszer: x3 2 ∫ f ( x )dx = ( ∫ f ( g ( u)) g ( u)du) ⋅ u = g | -1 −1 f (x) = e x g(x) = x 3 (x) -1 ahol g: differenciálható, létezik inverz függvénye g , a g függvény értelmezési tartományának része. 29 13.A A határozott integrál: definíciója; a Newton-Leibniz formula Improprius integrál Területszámítás, forgástest térfogata. Tekintsük az f(x)=x2 függvényt a [0,5] intervallumban. Számítsuk ki a görbe alatti és a [0,5] intervallum feletti rész területét. Osszuk fel az intervallumot n részre az 5 5 5 5 x0=0, x1= , x2=2 , , xi=i , , xn=n n n n n pontokkal (Két osztópont között a távolság:

5/n). Számítsuk ki az [x0, x1],[x1, x2],,[xi, xi+1],,[xn-1, xn] részintervallumok feletti olyan téglalapok területét, amiknek magassága a függvény értéke a részintervallumok bal végpontjában. Az i-dik téglalap területe: 2   5  5 .  ( i − 1)     n  n  Adjuk össze ezeket a területeket! Az alábbi összeget kapjuk: 2 2 5  5 5  5 5 sn=f(x0)(x1-x0)+f(x1)(x2-x1)++f(xi)(xi+1-xi)++f(xn-1)(xn-xn-1)=0 +   + 2  + + n  n n  n n 2 5  5 53  2 = 3 1 + 2 2 + 32 + .+( n − 1) + ( n − 1)  n n n  ( ) TK. 247oldal 91 ábra Használjuk fel az első n négyzetszám összegére vonatkozó képletet, akkor a következőt kapjuk: 53 ( n − 1) n( 2n − 1) sn = 3 . 6 n Finomítsuk a felosztást! Mi történik n∞ esetén? 53 53 n − 1 2n − 1 53 n−1 2n − 1 lim sn = lim = 2 = , mivel 1, 2. n∞ n∞ 6 3 n n 6 n n Azt kaptuk tehát, hogy az sn területösszeg egy véges számhoz

53/3-hoz tart. Ezt a számot az 2 x függvény [0,5] intervallumon vett határozott integráljának nevezzük és így jelöljük: 5 ∫x 2 dx . 0 A példában látott módon definiáljuk egy tetszőleges f(x) függvénynek egy adott [a,b] intervallumon vett határozott integrálját. DEFINICIÓ: Legyen f az [a,b] intervallumon értelmezett korlátos függvény. Akkor mondjuk, hogy f az [a,b] intervallumon integrálható és határozott integrálja I, ha az [a,b] intervallum tetszés szerinti, minden határon túl finomodó felosztásához tartozó közelítő összegek bármely (In) sorozata I-hez konvergál. Az f függvény (a,b) intervallumon vett határozott integrálját a következőképpen jelöljük: b ∫a f (x)dx a: az integrál alsó határa; b: az integrál felső határa; Ezt az integrált Riemann-féle integrálnak is nevezzük. A határozott integrál egy valós szám, definiálásával valamely [a,b] intervallumon integrálható függvények mindegyikéhez

egy-egy valós számot rendelünk (A határozatlan integrál egy függvényhez egy függvényhalmazt rendelt, a primitív függvények halmazát. Ha f az [a,b] intervallumon monoton és korlátos, akkor az említett intervallumon integrálható. 30 b ∫ f (x )dx Az [a,b] intervallumon integrálható függvény a határozott integráljának kiszámítása a definíció szerint a következő épésekben történhet: 1. Felosztjuk az [a,b] intervallumot n részre az a=x0<x1<x2<<xn=b osztópontokkal; a felosztás finomsága δ n = max( x i − x i −1 ) 1≤ i ≤ n 2. Választunk minden részintervallumban egy pontot, legyenek ezek rendre x1*,x2,,xn n 3. Meghatározzuk az In= ∑ f (x i )(x i − x i −1 ) (Riemann-féle) közelítő összeget. * i =1 4. Növeljük az n értékét úgy, hogy a felosztás minden határon túl finomodjon, és meghatározzuk a b n lim ∑ f (x i )(x i − x i −1 ) = ∫ f (x )dx δ n 0 * i =1 a határértéket. A

határozott integrál tulajdonságai: • Ha az f függvény az [a,b] intervallumon integrálható és c valós szám, akkor cf is integrálható itt, és b b a a ∫ cf (x )dx = c∫ f (x )dx . • Ha az f és g függvények integrálhatók az [a,b] intervallumon, akkor f+g is integrálható itt és b b b a a a ∫ ( f (x ) ± g (x ))dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx • Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor a b ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx , és ∫ f (x )dx = 0 b a a a • Ha az f függvény az [a,b] intervallumon integrálható, akkor integrálható bármely részintervallumán is b ∫ c b a c f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx , ahol c∈[a,b] a • Ha f integrálható az [a,b] intervallumon és nem negatív, akkor b ∫ f (x )dx ≥ 0 a • Ha f integrálható az [a,b] intervallumon és nem pozitív, akkor b ∫ f (x )dx ≤ 0 a • Ha f(x) véges sok pont kivételével folytonos és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor a

határozott integrál létezik. • Ha f(x) folytonos [a,b]-n, akkor létezik olyan ξ ∈[a , b] , amelyre b ∫ f (x )dx = f (ξ )(b − a) -középértéktétel a 31 x   ∫ f (t )dt = f (x ), x ∈[a , b] a  Newton-Leibniz formula: Ha f integrálható az [a,b] intervallumon és F primitív függvénye ezen intervallumon f-nek, akkor b ∫ f (x )dx = F (b) − F (a ) (Newton-Leibniz formula.) a Improprius integrálok: A határozott integrál fogalmát véges intervallumon és ott korlátos függvényekre definiáltuk. Ebben a pontban a határozott integrál fogalmát kiterjesztjük azokra az esetekre, amikor a. az intervallum végtelen; b. az integrandus az adott intervallumon nem korlátos DEFINICIÓ: Legyen f értelmezve az [a,∞) intervallumon, és annak bármely véges [a,v] v Ha a lim ∫ f (x)dx részintervallumán integrálható. v∞ a határérték létezik, akkor ezt a határértéket az f függvény [a,∞) intervallumon vett impoprius

∞ Jele: ∫ f (x)dx integráljának nevezzük. a Hasonlóan definiálhatók az b ∞ b v ∫ f (x)dx = ulim ∫u f (x)dx, ∫ f (x)dx = ulim ∫u f (x)dx −∞ −∞ −∞ −∞ v∞ impoprius integrálok, ha a jobboldali határértékek léteznek. Véges határérték létezése esetén konvergens ellenkező esetben divergens impoprius integrálról beszélünk. Területszámítás: Ha f az [a,b] intervallumon folytonos és nem negatív, akkor az f függvény és az [a,b] intervallum által meghatározott terület b T= ∫ f (x)dx a Az y=f(x) egyenletű görbe, az [a,b] intervallum, valamint az x=a és x=b egyenesek által határolt síkidom területe b ∫a f (x) dx ha ez a határozott vagy impoprius integrál létezik. A szektor területe: Legyen r az [α,β] ⊂ [0,2π] intervallumon nem negatív folytonos függvény. A síkbeli polár koordinátarendszerben az r=r(ϕ) egyenletű görbe, valamint a ϕ=α és ϕ=β egyenletű félegyenesek által határolt

síkidomot az r függvény és az [α,β] intervallum által meghatározott szektornak nevezzük. Legyen r a 0 ≤ a < b ≤ 2π intervallumon folytonos nem negatív függvény. Az r függvényhez és az [a,b] intervallumhoz tartozó szektor területe β 1 2 T= ∫ r (ϕ )dϕ 2α Forgástest térfogata: A térbeli derékszögű koordinátarendszerben elhelyezett test minden pontjának x koordinátája legyen az [a,b] intervallumban. Az [a,b] intervallumon értelmezett q 32 függvény x0∈[a,b] helyen felvett értéke legyen az x=x0 sík által a testből kimetszett síkidom területe. Ezzel azt is feltételeztük, hogy minden ilyen síkmetszetnek létezik a területe Ha a q függvény integrálható az [a,b] intervallumon, akkor azt mondjuk, hogy a testnek létezik térfogata és b az a V = ∫ q (x)dx határozott integrállal egyenlő. a A definiciónak nagyon fontos következménye a Cavalieri-féle elv : Két test térfogata egyenlő, ha a. két párhuzamos (sa és sb)

sík között helyezkedik el; b. mindkét testnek van térfogata; c. bármely az adott síkokkal párhuzamos sík azonos területű síkidomot metsz ki belőlük (ezzel azt is feltételeztük, hogy ezen síkidomoknak létezik a területe). Az [a,b] intervallumon értelmezett f függvény grafikonját forgassuk meg az x tengely körül. Az így keletkezett felületet az f függvényhez és [a,b] intervallumhoz tartozó forgásfelületnek nevezzük. E felület és az a illetve b pontokon átmenő, az x tengelyre merőleges síkok által határolt test, az f függvényhez és az [a,b] intervallumhoz tartozó forgástest. TÉTEL: Ha az f2 függvény az [a,b] intervallumon integrálható, akkor az f függvényhez és az [a,b] b intervallumhoz tartozó forgástest térfogata V= π ∫ f 2 (x)dx . a A tételben szereplő integrál lehet impoprius is, ha az konvergens. 33 14.A Kétváltozós függvények, definíció, a parciális derivált a szélsőérték DEFINICIÓ : Az olyan

függvényt, amely számpárhoz valós számot rendel, kétváltozós függvénynek nevezzük. {Pl. : az r sugarú és m magasságú körhenger térfogatát a V = r2 p m képlettel számítjuk Itt az r és m mennyiségek bizonyos ésszerű határok között változhatnak. Ezek tehát a változók. Vagyis a V értéke két változótól függ ( Minden egyes (r, m) számpárhoz tartozik egy-egy valós szám (a V értéke)). Tulajdonképpen ez egy olyan függvény, ahol a független változó szerepét számpár, számhármas stb.veszi át Az ilyen függvényt többváltozós függvénynek nevezzük.} Ha a függvény jele f, a számpár pedig (x, y), akkor f(x, y) a függvény (x, y) helyen vett helyettesitési értéke. A szóbajöhető számpárok halmaza a függvény értelmezési tartománya, a függvényértékek halmaza pedig a függvény értékkészlete. Az x és y változókat független változóknak is mondjuk. A kétváltozós függvénynek tehát két független változója

van. Tekintettel arra, hogy a T, értelmezési tartomány (valós) számpárokból áll, ezért része az R2 halmaznak (azaz T ⊂ R2 ). Mivel pedig R2 az [ x, y ] sík pontjaival szemléltethető, ezért a T értelmezési tartomány nem más, mint ennek a síknak a része, vagyis síkbeli pontok halmaza. {A függvények megadásakor meg kell adni az értelmezési tartományt is, ha ezt nem tesszük, akkor az f függvény értelmezési tartománya mindazon (x, y) számpárokból (pontokból) áll, amelyekre f(x, y) értelmes. Az értelmezési tartományt rendszerint egyenlőtlenségekkel adjuk meg.} A kétváltozós függvény ábrázolása : A kétváltozós függvény vizsgálatát megkönnyítheti ha a független változót, ami most számpár, és a hozzátartozó függvényértéket egy pont koordinátájának tekintjük, és e pontokat Descartes-féle koordinátarendszerben ábrázoljuk. Tekintsük az f kétváltozós függvényt és vezessük be az f(x, y) = z jelölést. Ekkor

az R(x, y, z) pontok halmazát az f függvény képének (ábrájának) nevezzük. A gyakorlati esetek többségében ezek a pontok egy felületet alkotnak, amelynek egyenlette : z = f (x, y). Az előző képletből következik, hogy a kétváltozós függvény felülettel ábrázolható. Az ábrázolás másik módja, az úgynevezett főmetszetekkel való ábrázolás. Messük el a z = f (x, y) felületet a koordinátasíkokkal párhuzamos, azaz a koordinátatengelyekre merőleges síkokkal. A keletkező metszetgörbék (ezek a főmetszetek) összesége esetleg jó szemléletes képet ad a felület alakjáról. E metszetgörbék közül kitüntetett szerepet jut azoknak, amelyek a z = z0 (= állandó ) síkokkal való metszéskor keletkeznek. Ezeket szintvonalaknak nevezzük, amelynek az egyenlete : z0 = f (x,y). A szintvonalakat tehát úgy képzeljük el, hogy a felületet különböző "magasságokban " elmetszve különböző metszetgörbéket kapunk. Ezeket az [ x, y ]

síkon ábrázoljuk ( TK 290 o) A rétegvonal térkép a domborzatnak, mint felületnek, szintvonalakkal való ábrázolása. A kétváltozós függvény felülettel ábrázolható. A leggyakrabban előforduló egyszerűbb felületek egyenlete felírható kétváltozós függvény segítségével z = f (x, y) v. F (x, y, z) = 0 A felület egyenletének ilyen, ún. skaláris megadási módja a leggyakoribb Az alkalmazások miatt gyakori még a vektoros megadási mód. Itt a felület egyenelete: r = r(u, v) alakban írjuk fel, ahol u és v skaláris paraméterek, r pedig a felület tetszőleges pontjához tartozó helyvektor. Kétváltozós függvény határértéke és folytonossága 34 Legyen a kétváltozós f függvény értelmezve az (x0, y0) pont valamely környezetében. DEFINICIÓ : Az f függvénynek az (x0,,y0) helyen van határértéke, és ez a határérték a H szám, ha tetszőleges pozitív e számhoz van olyan pozitív d szám, hogy f ( x , y ) − H < e, hacsak 0

< x − x0 < d és 0 < y − y0 < d A határérték jelölése : lim f ( x , y ) = H x x0 y y0 A határérték létezése azt jelenti, hogy ha az (x, y) pont elég közel van az (x0, y0) ponthoz, akkor az f (x, y) helyettesítési érték is közel van a H számhoz. Az így értelmezett H határértéket szokás kettős határértéknek is nevezni. DEFINICIÓ : Az f függvény az (x0, y0) helyen folytonos, ha az f(x0, y0) helyettesítési érték megegyezik a H határértékkel, azaz, ha f(x0, y0) = H. A folytonossághoz tehát szükséges a határérték létezése is és a helyettesítési érték létezése is. A parciális derivált A derivált fogalma kétváltozós függvény esetében is értelmezhető. Tekintsük az f (x, y) kétváltozós függvényt, amely legyen értelmezve az (x0, y0) pont valamely környezetében. f ( x0 + ∆x , y0 )− f ( x0 , y0 ) DEFINICIÓ : Az f x ( x0 , y0 ): = lim ∆x ∆x0 határértéket az f függvény (x0, y0) helyhez tartozó

x szerinti parciális differenciálhányadosának nevezzük (feltéve, hogy ez a határérték létezik és véges). Hasonlóan értelmezzük az y szerinti parciális differenciálhányadost : f ( x0 , y0 + ∆y )− f ( x0 , y0 ) . f y ( x0 , y0 ): = lim ∆y ∆y0 Az értelmzés alapján belátható, hogy például az x szerinti parciális differenciálhányados a z = f (x,y0) metszetgörbe (az ábrán g1 görbe) x0 helyhez tartozó érintőjének az iránytangense, azaz f x ( x0 , y0 ) = tgα . (TK 296 o 1115 ábra) Ugyanis ha a z = f (x, y) felület egyenletébe y helyére y0-t helyettesítünk, akkor az geometriailag azt jelenti, hogy a felületet elmetszettük az y = y0 síkkal. A z = f (x, y0) egyenlet pedig ennek a metszésgörbének az egyenlete. E síkgörbe x0 helyhez tartozó érintőjének iránytangense pedig f x ( x0 , y0 ) , mint ahogyan azt az egyváltozós függvényeknél láttuk. Hasonló geometriai jelentése van az y szerinti parciális differenciálhányadosnak.

Ez nem más, mint a z = f (x0, y) metszetgörbe (az ábrán g2 görbe) y0 helyhez tartozó érintőjének iránytangense, azaz f y ( x0 , y0 ) = tgβ (TK 296 o. 1115 ábra) Mindezekből következik, hogy a parciális differenciálhányadosok a függvénynek a koordinátatengelyek irányában történő változását jellemzik. 35 Ha x0 és y0 nem rögzített értékek hanem változók, akkor az f x ill. f y függvény neve x szerinti ill. y szerinti parciális derivált Szokásos jelölésük még ∂f ∂f ill. . ∂x ∂y A fentiek alapján tehát a parciális differenciálhányados nem más mint a parciális derivált (függvény) értéke az (x0, y0) helyen. A differenciálhányados helyett mondhatunk deriváltat. Ha az f x és f y parciális deriváltak az (x0, y0) pont egy környezetében léteznek és az (x0, y0) pontban folytonosak, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az (x0, y0) helyen. Tekintettel arra, hogy a parciális derivált is kétváltozós

függvény, értelmezhető annak is a parciális deriváltja. lgy jutunk az f xx , f xy , f yx , f yy másodrendű (más szóval második) parciális deriváltakhoz. Ha az f xy és f yx ún. vegyes parciális deriváltak folytonosak, akkor egyenlők, azaz f xy = f yx . Hasonlóan képezhetők magasabbrendű parciális deriváltak is Differenciálási szabályok. A parciális deriváltakat ugyanúgy értelmeztük mint az egyváltozós függvény deriváltját, vagyis differenciálhányados határértékeként. Ennek az a nagyon fontos és hasznos következménye, hogy az egyváltozós függvény deriválásánál megismert szabályok itt is érvényesek. Amikor az egyik változó szerint deriválunk, a másik változót úgy tekintjük, mintha az állandó lenne. 36 Kétváltozós függvény szélsőértéke A szélsőértékszámítás a matematikai analízisnek egyik legfontosabb alkalmazása. DEFINICIÓ : Az f kétváltozós függvénynek az (x0,y0) helyen maximuma van, ha

(x0,y0) -nak van olyan környezete, amelyben f (x, y) ≤ f (x0, y0). (TK 303 o 11 17 ábra); minimuma van ha, f (x, y) ≥ f (x0, y0). (TK 303 o 1118 ábra) A maximumokat és a minimumokat közös néven a függvény szélsőértékeinek nevezzük. A definíció értelmében az f (x0, y0) szélsőérték a függvénynek helyi (lokális) szélsőértéke. Egy függvénynek több helyi maximuma és helyi minimuma lehet. Tegyük fel, hogy az f függvénynek az (x0,y0) helyen szélsőértéke van. Ekkor mind az f (x, y0) mind az f (x0, y) egyváltozós függvénynek az x0 ill. y0 helyen szélsőértéke van. Ebből következik,hogy e függvények első deriváltja itt zérus, azaz f x (x0, y0) = 0 és f y (x0, y0) = 0. Ezzel megkaptuk a szélsőérték létezésének szükséges feltételét. TÉTEL Az f kétváltozós függénynek az (x0, y0) helyen szélsőértéke lehet, ha (I) f ( x , y ) = 0 és f ( x , y ) = 0 x 0 0 y 0 0 Biztosan van itt szélsőérték, ha 2 f xx ( x0 ,

y0 ) f yy ( x0 , y0 ) − f xy ( x0 , y0 ) > 0 ( II ) Ha mindezeken kívül f xx ( x0 , y0 ) > 0, akkor minimum, ha f xx ( x0 , y0 ) <0, akkor maximum van. A szélsőérték pedig f (x0, y0) Megjegyezzük, hogy mindazokat a helyeket, ahol f x = 0 és f y = 0, stacionárius helyeknek nevezzük. Szélsőérték tehát stacionárius helyen lehet, de nem biztos, hogy van Mint a (TK. 303) 1117 és 1118 ábrán látható, a stacionárius helyen a z = f (x, y) felület érintősíkja párhuzamos az [ x, y ] síkkal, akár van ott szélsőérték, akár nincs. Célszerű bevezetni a másodrendű deriváltakból képzett f ( x , y ) D( x , y ) = f xx ( x , y ) xy f xy ( x , y ) f yy ( x , y ) determinánst. Ekkor a ( II ) feltétel D(x0, y0) > 0 alakban írható fel Ha az (x0, y0) stacionárius helyen D(x0, y0) < 0, akkor itt nincs szélsőérték. Ha D(x0, y0) = 0, akkor itt lehet szélsőérték, amelynek létezése azonban csak további vizsgálattal dönthető el.

ÖSSZEFOGLALÁS Az f függvényre vonatkozó szélsőértékfeladat megoldásának menete : 1. Megoldjuk az f x = 0, f y = 0 egyenletrendszert, azaz megkeressük a stacionárius helyeket; 2. Mindegyik stacionárius helyen megvizsgáljuk D(x, y) előjelét Ahol ez pozitív, ott van szélsőérték, ahol negatív, ott nincs, a nulla esettel nem foglalkozunk. 3. A szélsőértékhelyen megvizsgáljuk f xx előjelét Ahol ez pozitív, ott minimum van Ahol negatív, ott maximum van. 4. Kiszámítjuk a szélsőértékeket 37 15. A Elsőrendű differenciálegyenletek, szétválasztható, lineáris differenciálegyenletek megoldása. DEFINICIÓ : A differenciálegyenlet (d.e) olyan egyenlet, amelyben szerepel egy ismeretlen függvénynek valamelyik deriváltja. Szerpelhet benne ezen kívül maga az ismeretlen függvény is és a független változó egy vagy több ismert függvénye. dy dy Pl. : 1) y = x -1 ; 2) y = 0; 3) + y = sin 2t ; 4) x − y = 3x 2 − 5x ; 5) u + u = dt dx 0; Az

1), 2), 3), és 4) d.e-ben az ismeretlen függvény jele y, míg az 5)-ben u Az 1), 2), 4) és 5) deben x a független változó, míg az 3)-ban t Az 1) és 2) de-ben maga az ismeretlen függvény formálisan nem szerepel, hanem annak csak első ill. második deriváltja A differenciálegyenletek osztályozása : Ha a differenciálegyenletben az ismeretlen függvény egyváltozós, akkor azt közönséges differenciálegyenletnek nevezzük. Ha az ismeretlen függvény többváltozós, akkor parciális differenciálegyenletről van szó. Ha differenciálegyenletben a legmagasabb rendű derivált n-edrendű, akkor a differenciálegyenletet is n-edrendűnek mondjuk. A pl-ban a 2) és 5) másodrendű, a többi elsőrendű Az elsőrendű, ill. másodrendű de általános alakja : F(x,y,y)=0 ill. G(x,y,y,y)=0 Ez a két egyenlet implicit d.e , mert bennük a legmagasabb rendű derivált (y ill y) implicit módon fordul elő. Ezeket felírva : y = (x,y) ill. y = g(x,y,y) alakban (ha

lehetséges), explicit de -et kapunk Az ilyen d.e-re tehát az a jellemző, hogy a legmagasabb rendű deriváltra fel van oldva A differenciálegyenlet lineáris, ha benne az ismeretlen függvény és annak deriváltjai lineárisan szerepelnek. A differenciálegyenlet megoldásai : x2 + c , ahol c tetszőleges 2 állandó. Ezen függvények mindegyike az adott de megoldása Ugyanis behelyettesítve ezeket (az x2 x2 + c függvények y= + c függvényeket) a d.e-be, az egyenlőség fennáll, vagyis az y = 2 2 kielégitik az y = x d.e-et A behelyettesítéshez előbb az y függvényt deriválni kell. Kimondhatjuk, hogy az y = f (x) elsőrendű d.e-nek végtelen sok megoldása van, amelyek mindegyike a d.e-et azonosan kielégíti Ez minden elsőrendű de-re igaz Pl .: y = x elsőrendű (és lineáris) de Ebből integrálással : y = DEFINICIÓ : A differenciálegyenlet olyan megoldását, amely pontosan annyi tetszőleges állandót (szabad paramétert) tartalmaz ahányadrendű a

differenciálegyenlet, általános megoldásnak nevezzük. Az általános megoldásból kiválasztva egyet, partikuláris megoldáshoz jutunk. Ez úgy kapható, hogy az általános megoldásban szereplő állandónak meghatározott értéket adunk. A különleges megoldások közé tartoznak a szinguláris megoldások, amelyek általában nem származtathatóak az általános megoldásból a paraméterek megválasztásával. A d.e megoldásai geometriailag görbesereget jelentenek Ezeket a görbéket szokás a de integrálgörbéinek mondani. Az általános megoldás közül a görbeseregnek a P0(x0,y0) ponton áthalató eleme egy partikuláris megoldás. Ez a partikuláris megoldás tehát eleget tesz az y(x0) = y0 feltételnek, amit kezdeti feltételnek is mondunk. Bármely görbesereghez tartozik egy differenciálegyenlet, amelyet a görbesereg differenciálegyenletének nevezünk. Egy egyparaméteres görbesereghez elsőrendű, egy n-paramétereshez pedig n-edrendű d.e tartozik 38

∂ f függvények folytonosak egy T tartományon, akkor az y = f(x,y) ∂ y differenciálegyenletnek egyetlen olyan megoldása van, amely kielégíti az y(x0) = y0 feltételt, ahol (x0,y0) a T tartomány tetszőleges pontja. 1. TÉTEL : Ha az f és Szétválasztható változójú differenciálegyenelet Az ilyen d.e integrálással elvileg mindig megoldható, és így megoldható minden olyan de, amelyre erre a típusra visszavezethető. DEFINICIÓ : Az y = f(x) h(y), h(y) ≠ 0 alakú differenciálegyenletet szétválasztható változójúnak (szétválaszthatónak vagy más szóval szeparábilisnak) nevezzük. Ugyancsak szétválasztható a d.e akkor is, ha formálisan nem ilyen alakú, de ekvivalens átalakulásokkal ilyen alakúra hozható. f ( x) y = f(x) h(y), h(y) ≠ 0 egyenlet felírható : y = alakban, g(y)-nal való szorzás után g( y) dy 1 . Mivel y = , ezért a g(y)y = f (x) d.e felírható g(y)y = f (x) alakban is, ahol g(y) = dx h( y ) dy g(y) = f (x) alakban is.

dx Megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát a dx differenciával : g(y)dy = f(x)dx d.e-et kapjuk Ezzel az átalakítással a differenciálegyenletet szétválasztottuk. Bal oldalra rendeztük az y változótól, jobb oldalra az x változótól függő részt. Integráljuk a g(y)dy = f(x)dx egyenlet mindkét oldalát : ∫ g ( y )dy = ∫ f ( x )dx. Legyen g(y) ill f(x) egy primitív függvénye G(y) ill F(x), akkor az integrálás eredménye : G(y) = F(x)+c, ahol c tetszőleges állandó. Ezzel megkaptuk a g(y)y = f (x) differenciál egyenlet általános megoldását. Az egyenlet tulajdonképpen két differenciál egyenlősége. A bal oldalon a G(y), a jobb oldalon pedig az F(x) függvény differenciálja áll Megjegyzések : 1. Az integrálásnál elegendő csak az egyik oldalon kiírni az integrációs állandót, amely tetszőlegesen vehető fel. 2. A dx differenciállal való szorzás megengedett 3. Az y = f(x) h(y), h(y) ≠ 0 d.e-ben szereplő h(y) függvény y1,y2 stb

zérushelyei mint állandó függvények is megoldások. Ezek általában nincsennek benne az általános megoldásban 4. A de rendezésénél, szétválasztásánál az egyes lépések sorrendje lényegtelen 5. Az általános megoldást nem szükséges y-ra feloldott explicit alakban felírni Változókban homogén differenciálegyenlet   y = f  y  alakú, vagy ekvivalens átalakításokkal ilyen alakúra hozható  x differenciálegyenletet változókban homogénnak nevezzük. DEFINICIÓ : Az E differenciálegyenlet megoldásához az y változó helyett az u változót vezetjük be. y = u összefüggéssel. Ebből y = ux Mindkét oldalt x szerint deriválva y = ux + u x   Behelyettesítve az y = f  y  egyenletbe, az ux = f(u) új d.e-et kapjuk, amely szétválasztható:  x ux = f(u) - u. 39 Szétválasztás után du = dx , és ebből integrálással nyerhető a ux = f(u) d.e általános f (u) − u x megoldása. Megjegyzések : 1. Az y =

g(x,y) differenciálegyenlet változókban homogén, ha tetszőleges t ≠ 0 esetén g(tx,ty) ≡   g(x,y). Ekkor ugyanis az egyenlet y = f  y  alakúra hozható  x 2. Az ux = f(u) - u d.e bal oldalán szereplő f(u) - u függvény u1, u2 stb. zérushelyei megoldásai a ux = f(u) - u d.e-nek Ennek következtében az y=u1x, y=u2x stb függvények   megoldásai az y = f  y  d.e-nek  x Elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet A fizikai, a kémiai, a biológiai folyamatok nagy része jól leírható, modellezhető lineáris d.e-kel DEFINICIÓ : Az elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet általános alakja : a(x)y + b(x)y = r(x), ahol az a(x), b(x) és r(x) függvények egy közös intervallumon folytonosak, és itt a(x) ≠ 0. Az a(x) és b(x) függvényeket együtthatófüggvényeknek (együtthatóknak), az r(x) függvényt pedig zavarótagnak nevezzük. Az r(x) zavarótagot szokás jobb oldalnak is nevezni a(x)y + b(x)y = r(x) lineáris

differenciálegyenlet homogén, ha r(x) ≡ 0, inhomogén, ha r(x) ≡ 0. Mivel a(x) ≠ 0, ezért a a(x)y + b(x)y = r(x) egyenlet mindkét oldalát oszthatjuk a(x)-szel. Az osztást elvégezve, a normálalakot kapjuk : y + p(x)y = q(x), ahol p(x) = b( x) és q(x) = r ( x) . a ( x) a ( x) A homogén egyenlet megoldása Először az y + p(x)y = 0 homogén egyenletet oldjuk meg. Ez mindig szétválasztható Felhasználva y = dy -et a d.e szétválasztott alakja : dy = − p( x)dx Integrálva mindkét oldalt, és az y dx integrációs állandót ln C alakban véve fel, azt kapjuk, hogy ln y = − ∫ p( x)dx + ln C. Jelölje az ∫ p( x)dx függvényt P(x). Tehát P(x) = p(x) Ekkor a ln y = − ∫ p( x)dx + ln C. megoldás y = C e− P( x) alakban írható fel Ezzel megkaptuk a y + p(x)y = 0 homogén d.e általános megoldását Inhomogén egyenlet megoldása Most az y + p(x)y = q(x) inhomogén d.e-et oldjuk meg két lépésben 1. lépés Megoldjuk először a y + p(x)y = q(x) de-hez

tartozó homogén de-et, amelyet úgy kapunk, hogy a q(x) zavarótag helyére az azonosan nulla függvényt írjuk. Ez a homogén de tehát : y + p(x)y = 0. y helyett Y -t írva a homogén d.e : Y + p(x)Y = 0 Ez az egyenlet általános megoldása : y = C e− P ( x ) 2. lépés y + p(x)y = q(x) inhomogén de megoldását y = C(x)e-P(x) alakban keressük, ahol C(x) egyenlőre ismeretlen függvény. 40 Formailag tehát az inhomogén d.e megoldását ugyanolyan alakban keressük, amilyen alakú a homogén d.e megoldása A különbség annyi, hogy C-t most nem állandónak, hanem x függvényének tekintjük. Ezt a módszert az állandó variálásnak (konstans variációnak) nevezzük A C(x) függvény meghatározásanak lényege, hogy a y = C(x)e-P(x) feltételezett megoldása kielégítse a y + p(x)y = q(x) inhomogén egyenletet. Helyettesítsük be a y = C(x)e-P(x) de jobb oldalán szereplő függvényt a y + p(x)y = q(x) egyenletbe. Ehhez előbb deriválni kell A derivált : y

= C (x) e-P(x) - C(x) e-P(x) P (x) = C (x) e-P(x) - C(x)p(x)e-P(x) . Itt kihasználtuk, hogy P(x) = p(x). Helyettesítsük be : C (x)e-P(x) - C(x)p(x)e-P(x) + p(x)C(x)e-P(x) = q(x). Látható, hogy a C(x)-et tartalmazó rész kiesik, így C(x) meghatározására a C (x) = eP(x)q(x) segéddifferenciálegyenletet kapjuk, ahonnan C(x) = ∫ e P( x)q( x)dx + K . Helyettesítsük ezt vissza a y = C(x)e-P(x) egyenletbe. Rendezés után : y = Ke-P(x) + e-P(x) ∫ e P( x)q( x)dx ezzel megkaptuk a y + p(x)y = q(x) inhomogén d.e általános megoldását TÉTEL : A lineáris, inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a megfelelő homogén d.e általános megoldásának és az inhomogén differenciálegyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldásának összegével, azaz yi,ált. = yh,ált + yi,part Ez az eredmény úgy is értelmezhető, hogy akármilyen módon jutunk az inhomogén d.e egy partikuláris megoldásához, az felhasználható az általános megoldáshoz.

Összefoglalva : A lineáris, inhomogén d.e megoldásának menete két lépésből áll : 1. lépés A megfelelő homogén de megoldása 2. lépés A konstans variáció módszerének alkalmazása, vagy egy partikuláris megoldás keresése. Megjegyzések : 1. A de megoldásánál nem szükséges az a(x) együtthatófüggvénnyel osztani, azaz nem szükséges az egyenletet normálalakra hozni. Sőt, a gyakorlatban ezt ritkán tesszük 2. Az r(x) zavarótag természetesen állhat a de bal oldalán is 41 16.A Másodrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek A másodrendű differenciálegyenlet általános (implicit) alakja: F(x,y,y,y) = 0 Ha az y kifejezhető, akkor az y = f(x,y,y) explicit alakhoz jutunk. Másodrendű differenciálegyenlet esetén az általános megoldás két paramétertől (konstanstól) függ. Egy praktikus megoldást az y(x0) = y0, y(x0) = y0 kezdeti feltétellel adhatunk meg, tehát egy x0 pontban megadjuk az ismert függvény, és az

első deriváltjának értékét. Ez két egyenletet ad a két konstans meghatározására. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek Az y = f(x,y,y) differenciálegyenletet hiányosnak nevezzük, ha benne az x, y, y változók közül legalább az egyik nem szerepel. Két esetet különböztetünk meg: 1. eset: A differenciálegyenletből hiányzik y, vagyis az egyenlet alakja: y = f(x,y) Ekkor az y = p(x) helyettesítéssel a differenciálegyenlet elsőrendűre vezethető vissza. Ugyanis y = p, így a helyettesítés elvégzése után y = f(x,y) alakja: p = f(x,p), amely elsőrendű. Ezt megoldva kapjuk a p(x) függvényt, amely egy integrációs állandót is tartalmaz. Mivel p(x) = y, ezért a y = f(x,y) differenciálegyenlet általános megoldása p(x) integrálásával nyerhető. 2. eset: Az y = f(x,y,y) differenciálegyenletből hiányzik x, vagyis az egyenlet alakja: y = f(y,y) Most az y = p(y) helyetesítést alkalmazzuk. Ekkor dp dy dp dp y = = y = p , dy dx dy dy dp = f

( y , p) , dy amely elsőrendű. Ezt a differenciálegyenletet megoldva kapjuk a p(y) függvényt Felhasználva az y = p(y) összefüggést, egy újabb elsőrendű differenciálegyenletet kapunk. Ennek megoldása lesz a y = f(y,y) differenciálegyenlet általános megoldása. így a y = f(y,y) egyenlet alakja: p A másodrendű, lineáris differenciálegyenlet A másodrendű, lineáris differenciálegyenlet általános alakja: a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = r(x), ahol az a2(x), a1(x), a0(x) és r(x) függvények egy közös intervallumon folytonosak, ás itt a2(x) ≠ 0. Az a2(x), a1(x) és a0(x) függvényeket együtthatófüggvényeknek, az r(x) függvényt pedig zavarótagnak nevezzük. Az a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = r(x) lineáris differenciálegyenlet homogén, ha r(x) ≡ 0; különben inhomogén. Az a2(x) függvénnyel osztva az a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = r(x) differenciálegyenlet mindkét oldalát, kapjuk annak normálalakját. 42 Ha az a2(x), a1(x) és a0(x) együtthatófüggvények

mindegyike állandó, akkor az a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = r(x) differenciálegyenlet állandó együtthatós. Ellenkező esetben változó együtthatós. A következőkben a változó együtthatós differenciálegyenletekre mondunk ki tételeket és elvi megoldási módszereket, de ezeket állandó együtthatós differenciálegyenletre alkalmazzuk. Ennek azaz oka, hogy a változó együtthatójú homogén egyenlet (aminek megoldása az inhomogén egyenlet megoldásához is szükséges) általában nem oldható meg. A homogén egyenletre vonatkozó tételek Tekintsük az a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = 0 homogén differenciálegyenletet. Az alábbiakban néhány olyan tételt mondunk ki, amelyek e differenciálegyenlet tényleges megoldásánál igen jól hasznosíthatók. Tétel: Ha az y függvény megoldása e differenciálegyenletnek akkor Cy is megoldása annak, ahol C tetszőleges (valós) szám. Tétel: Ha az y1 és y2 függvények megoldásai e differenciálegyenletnek, akkor az y1+y2

függvény is megoldása annak. E két tételből következik, hogy ha az y1 és y2 függvények megoldásai a differenciálegyenletnek, akkor e két függvény C1y1 + C2y2 lineáris kombinációja is megoldása annak. Def: Egy közös intervallumon értelmezett f1 és f2 függvények ezen az intervallumon lineárisan függetlenek, ha aC1f1 + C2f2 ≡ 0 azonosság ezen az intervallumon csak úgy áll fenn, ha C1 = C2 = 0. Ellenkező esetben a függvények (egymástól) lineárisan függők. Az f1, f2 függvények lineáris függetlensége azt jelenti, hogy egyik függvény nem állandószorosa a másiknak. Ennek fordítottja is igaz Ha az egyik függvény nem állandószorosa a másiknak, akkor azok lineárisan függetlenek. Ha viszont az egyik függvény állandószorosa a másiknak, akkor azok lineárisan függők. Def: Az f1, f2 függvényekből felírt f1 f 2 W= ≠0 f1 f 2 determinánst Wronski-féle determinánsnak nevezzük. Tétel: Ha az f1, f2 függvények Wronski-féle

determinánsa valamely intervallumon sehol sem nulla, akkor ezek a függvények ezen az intervallumon lineárisan függetlenek. Def: Ha az y1 és y2 függvények a a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = r(x) differenciálegyenlet lineárisan független partikuláris megoldásai, akkor y1 és y2 ezen differenciálegyenletnek egy alap rendszere. Az a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = r(x) differenciálegyenletnek mindig van alaprendszere. Tétel: Ha y1 és y2 az előző differenciálegyenlet egy alaprendszere, akkor a differenciálegyenlet általános megoldása y = C1y1 + C2y2, ahol C1 és C2 tetszőleges (valós) állandók. A a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = 0 változó együtthatós differenciálegyenlet általában nem oldható meg. A fenti tételek ennek ellenére lényegesek, mert egyrészt általános érvényűek, másrészt azok alkalmazása bizonyos esetekben elvezet a megoldáshoz. 43 Az állandó együtthatós, homogén egyenlet megoldása Az állandó együtthatós, homogén differenciálegyenlet

általános alakja: a2y + a1y + a0y = 0, a2 ≠ 0, ahol az a2, a1, a0 együtthatók állandók. Az ilyen típusú differenciálegyenletek midig megoldhatók, szemben a változó együtthatós differenciálegyenletekkel, amelyek általában nem oldhatók meg. Érdemes továbbá kihangsúlyozni, hogy az előbb felsorolt tételek itt is érvényesek, sőt gyakorlati alkalmazásukat ennek a differenciálegyenletnek a megoldásánál hasznosítjuk igazán. Ennek a differenciálegyenletnek a megoldását integrálás nélkül, algebrai úton kapjuk meg. Keressük az a2y + a1y + a0y = 0 differenciálegyenlet megoldását y = erx alakban, ahol r egyelőre ismeretlen szám. Ennek meghatározása érdekében az y = erx függvényt és az y = rerx és y = r2erx deriváltakat helyettesítsük be az adott differenciálegyenletbe. Ekkor az a2r2erx + a1rerx + a0erx ≡ 0 azonosságot kapjuk. A bal oldalon erx kiemelhető: erx(a2r2 + a1r + a0) ≡ 0. Mivel erx sohasem lesz nulla, ezért

egyszerűsíthetünk vele: a2r 2 + a1r + a0 = 0. másodfokú egyenletet kapjuk, amelyet az adott differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének nevezünk. A differenciálegyenlet megoldását tehát a karakterisztikus egyenlet megoldására vezettük vissza. Az ismeretlen r értéket, ennek az egyenletnek a megoldásával nyerjük Mivel az egyenletnek két gyöke van, ezek felhasználásával két olyan erx alakú függvényt is kapunk, amelyek az adott differenciálegyenletet kielégítik, vagyis megoldásai annak. Fogalmazhatunk úgy is, hogy a két gyök ismeretében előállítható a differenciálegyenlet alaprendszere. Az alábbi három eset lehetséges: 1. Két különböző valós gyök (egyszeres gyökök) esete: Legyen a karakterisztikus egyenlet két különböző valós gyöke r1 és r2 . Ekkor a differenciálegyenlet általános megoldása: y = C1e r1x + C2 e r2 x 2. Két egyenlő gyök esete (r1 = r2 = r): y = C1erx + C2xerx 3. Komplex gyökök esete: Ha a

karakterisztikus egyenlet két gyöke komplex szám, akkor azok egymásnak konjugáltjai: r1 = a + bi és r2 = a - bi. Ay általános megoldás: y = C1eaxcos bx + C2eaxsin bx. Az inhomogén egyenlet megoldása Tekintsük az a2(x)y+a1(x)y+a0(x)y = r(x), a2(x) ≠ 0, inhomogén differenciálegyenletet. A megoldást két lépésben határozhatjuk meg 1. lépés: Megoldjuk az inhomogén differenciálegyenlethez tartozó homogén differenciálegyenletet: a2(x)Y+a1(x)Y+a0(x)Y = 0. Célszerűségi okokból y helyett itt Y-t írtunk. Tételezzük fel, hogy ennek az általános megoldása ismert: Y = C1y1 + C2y2. 2. lépés: Az inhomogén differenciálegyenlet megoldását Y = C1(x)Y1 + C2(x)Y2 44 alakban keressük, ahol C1(x) és C2(x) egyelőre ismeretlen függvények. Ezt a módszert, akárcsak az elsőrendű esetben, az állandók variálásának nevezzük. Igazolható, hogy a C1(x) és C2(x) függvények meghatározásához a r( x) Cy1 + Cy2 = 0, C1 y1 + C2 y2 = a2 ( x ) lineáris

egyenletrendszer megoldásán keresztül vezet az út. Itt az ismeretlenek C1 és C2 deriváltak. E két derivált kiszámítása után, azok integrálásával kapjuk a C1(x) és C2(x) függvényeket. Ezeket behelyettesítve Y = C1(x)Y1 + C2(x)Y2 -be, kapjuk az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldását. Itt is érvényes az a tétel, hogy az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a megfelelő homogén differenciálegyenlet általános megoldásának és az inhomogén differenciálegyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldásának összegével, azaz: yi, ált. = yh, ált + yi, part. Az állandó együtthatós, inhomogén egyenlet megoldása Az előbbiekben ismertetett állandók variálásának módszere természetesen állandó együtthatós egyenletnél is alkalmazható, bár nehézkes (integrálok számítása) és hosszadalmas Amennyiben az r(x) zavarótag polinom (pl.: x2-5); exponenciális függvény (pl: 3e5x); sin bx, cos bx alakú

trigonometrikus függvény vagy ilyen típusú függvények összege, szorzata, akkor egyszerűbb módszerrel is található partikuláris megoldás. Ennek az ún próbafüggvény módszernek (kísérletező feltevésnek) az a lényege, hogy ezt a partikuláris megoldást olyan alakban keressük, amilyen alakú (típusú) a zavarótag. Ezt a próbafüggvényt a típuson belül a lehető legáltalánosabb alakban vesszük fel egyelőre ismeretlen együtthatókkal, amelyeket úgy határozunk meg, hogy a próbafüggvényt behelyettesítjük az inhomogén differenciálegyenletbe, és az így keletkező azonosság két oldalán szereplő "megfelelő" együtthatókat egyenlővé tesszük egymással. 45 17.A n-dimenziós vektorok; műveletek, lineáris függetlenség, bázis A vektor fogalma: véges sok rögzitett sorrendü számot (tehát egy rendezett szám n-est) vektornak nevezünk. Ha a számokat egymás mellé irjuk akkor sorvektorról, ha egymás alá irjuk akkor

oszlopvektorról beszélünk. (a1,a2,a3,an) sorvektorA vektort alkotó egyes számokat a vektor koordinátáinak nevezzük, mégpedig az i-edik helyen szereplőt (ai -t) az i-edik koordinátának.Az n számu koordinátából álló vektorokat röviden n elemü vektornak hivjuk , és kövér kisbetüvel jelöljük. Ha a vektor jelét és koordinátáit együtt irjuk fel ,akkor az a=(a1,a2,an)alakot használjuk Az n elemü vektor helyett gyakran mondjuk, hogy a vektor n dimenziós.Általában ha vektorról beszélünk, lényegtelen, hogy sor vagy oszlopvektorról van-e szó. Ha azonban szükséges a megkülönböztetés, akkor az oszlopvektort csillaggal megjelöljük, vagy ha indexelni kell, az indexet felülre irjuk.A (v1,v2,v3,vn) rendezett szám n-esek (végtelen) halmazát n dimenziós vektortérnek nevezzük. Speciális vektorok: - nullvektor :azt a vektort amelynek minden koordinátája 0, nullvektornak nevezzük, és 0-val jelöljük, azaz 0=(0,.0)-egységvektor : az e1= (1,0,0),

e2=(0,1,0) ej=(0,.,1,,0), en=(0,0,0,1), alaku vektorokat, amelyeknek az indexük által jelzett koordinátája 1, az összes többi koordinátája pedig 0, egységvektornak nevezzük. Müveletek vektorokkal: legyen n valamilyen természetes szám, és tekintsük az összes n elemü vektorok halmazát . Ezen a vektorhalmazon az alábbi müveleteket értelmezzük a) szorzás skalárral: ha α egy tetszőleges valós szám ,akkor az a vektor -szorosát a következőképpen definiáljuk: a= α ( a1,a2,a3,.an) =( α a1, α a2, α an ), azaz a vektor minden koordinátáját megszorozzuk az adott számmal. b) vektorok összege: ha a és b n-elemü vektorok, akkor az összegük:a+b= (a1,a2,.an)+ (b1,b2,bn)= (a1+b1,a2+b2 ,an+bn), azaz az öszegvektor koordinátái a megfelelő koordináták összegei. c) vektorok különbsége: az a és b vektorok különbségén az a-b= (a1-b1,a2-b2,.an-bn) vektort értjük ( A két vektor összeadására , valamint a b vektor (-1)-gyel való szorzatára

vonatkozó előbbi müveletekből ez egyenesen következik). Az előbbi müveletekre vonatkozóan könnyen beláthatók az alábbi müveleti tulajdonságok:-az összeadás kommutativ: a+b=b+a, asszociativ: a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c, -a skalárral való szorzás kommutativ: α β a= β α a, asszociativ: ( α β ) γ a= α ( β γ )a,- az összeadás a skalárral való szorzásra nézve disztributiv: α (a+b)= α a+ α b ( α + β )= α a+ β a,-teljesül háromszög egyenlőtlenség |a+b| ≤ |a|+|b| . d) vektorok skaláris szorzata: két azonos elemszámú a és b vektor skaláris szorzatát ab-vel jelöljük és igy definiáljuk ab=a1b1+a2b2+.+anbn azaz a megfelelő koordinátákat összeszorozzuk és a szorzatokat összegezzük. Vektorok lineáris kombinációja:legyenek α 1 α 2. α n tetszőleges számok Az a1,a2,a3,an vektoroknak ezekkel a számokkal képzett lineáris kombinációján az alábbi vektort értjük: α 1 a1+ α 2 a2+.+ α n an N dimenziós vektorok lineáris

kombinációja szintén n dimenziós vektor Az a1,a2,a3,.an vektorok lineáris kombinációinak halmazát e vektorok által generált vektortérnek nevezzük. Vektorok lineáris függetlensége: az olyan a1,a2,a3,.an vektorokat amelyeknek a lineáris kombinációja akkor és csak akkor nulla ha mindegyik α i nulla, linearisan független vektoroknak hivjuk. Ha az a1,a2,a3,an vektorok nem ilyenek, akkor lineárisan összefüggők -ha a v1,v2,v3,.vk vektorok között van nullvektor ,akkor a vektorrendszer lineárisan összefüggő.Ugyanis a 0 vektor előállitásában ez a nullvektor α i #0-val is részt vehet - ha a v1,v2,v3,.vk vektorok között van két egyenlő, akkor a rendszer lineárisan összefüggő -lineárisan összefüggő vektorokhoz egy további vektort hozzávéve ezzel együtt lineárisan összefüggők maradnak. -lineárisan független vektorok közül tetszőleges vektort elhagyva a rendszer független marad. 46 Bázis: a lineárisan független b1,b2,b3,.bn

vektorokat a vektortér bázisának nevezzük, ha lineárisan függetlenek és a tér minden vektora előállitható e vektorok lineáris kombinációjaként .A bázis fontos szerepet játszik a tér vektorainak előállitásában. -Tetszőleges v vektor a térből egyértelműen áll elő a bázis vektorainak lineáris kombinációjaként Báziscsere:Legyen b1,b2,bk,.bn egy bázis és c = c1,c2,ck,cn egy tetszőleges vektorHa ck #0 akkor a bk vektor a c vektorra kicserélhető, azaz b1,b2,bk-1,.,c bk 1 ,,bn egy új bázis lesz Ha b1,b2,bn bázisban a v vektor koordinátái (v1,v2,.vn) akkor a b1,b2,,c,bn bázisban a v vektor koordinátái: v v v v ( v1 − k c1 , v2 − k c2 ,., k ,, vn − k cn ) lesznek ck ck ck ck 47 18.A Mátrixok Műveletek Elemi transzformációk A determináns Négyzetes mátrix inverze. Mátrixok Mátrixnak nevezünk egy téglalap alapban elrendezett számtáblázatot . A táblázatot alkotó számokat a mátrix elemeinek nevezzük. Magát a táblázatot

kerek vagy szögletes zárójelek közé helyezzük A mátrixokat nagy betűkkel jelöljük. Ha a mátrixnak m sora és n oszlopa van, akkor a mátrixot “m-szer n-es” mátrixnak nevezzük.  a11 a12 . a1n    A =  a 21 a 22 . a 2 n     a m1 a m2 . a mn  Ha az A mátrix oszlopit a soraival felcseréljük, akkor az A mátrix transzponáljait apjuk és azt AT tal jelöljük. Nullmátrix nevezzük azt a mátrixot, amelynek minden eleme 0 Négyzetes mátrixnak nevezzük azt a mátrixot, amelynél a sorok és az oszlopok száma egymással megegyezik azaz a mátrix n x n-es típusú. Négyzetes mátrixoknál az aii (i=1, n) elemeket diagonális elemeknek nevezzük. A mátrix diagonális elemei alkotják a főátlót Azt a négyzetes mátrixot, amelynek diagonális elemei 1-gyel egyenlők, az összes többi elem pedig 0. Egységmátrixnak nevezzük és Ε-vel jelöljük Mátrix műveletek: Két mátrixot akkor nevezünk egyenlőnek, ha azonos típusú és

elemről elemre megegyeznek. Egy A mátrixot egy λ skalárral úgy szorzunk, hogy a mátrix minden egyes elemét megszorozzuk a λ skalárral:  λa11 λa12 . λa1n    λA =  λa 21 λa 22 . λa 2 n     λa m1 λa m2 . λa mn  Mátrixok összeadását csak azonos típusú mátrixok között definiálhatjuk a következőképpen:  a11 + b11 ⋅ a12 + b12 ⋅. a1n + b1n    A+ B= M     a m1 + bm1 ⋅ a m2 + bm2 ⋅. a mn + bmn  azaz a megfelelő elemeket összegezve kapjuk az összegmátrix elemeit. Igaz, hogy (A+B)T=AT+BT Mátrixok különbségét is csak azonos típusú mátrixok között definiálhatjuk:  a11 − b11 ⋅ a12 − b12 ⋅. a1n − b1n    M A− B=     a m1 − bm1 ⋅ a m2 − bm2 ⋅. a mn − bmn  Érvényesek a következő tulajdonságok: kommutatív: A+B=B+A 48 α ⋅ A = A⋅α asszociatív: A+(B+C)=(A+B)+C (αB ) A = α ( BA) disztributív: λ ⋅ ( A + B ) = λA + λB

A ( µ + λ ) = ( µ + λ ) A = µ A + λA Mátrixok szorzása: Legyenek adva az  a11 . a1n    A= M     a m1 . a mn  m x n-es és  b11 . b1 p    n x p-s típusú B= M   b . b   n1 np  mátrixok. Az A és B mátrixok A ⋅ B -vel jelölt szorzatán értjük azt a C-vel jelölt m ⋅ p típusú n Cij = ∑ aik ⋅ bkj mátrixot, amelynek Cij elmére a k =1 igaz. A szorzatmátrix Cij elemét megkapjuk, ha az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix je-edik oszlopának mint vektoroknak képezzük a skaláris szorzatán. A mátrixokra definiált szorzás nem kommutatív, hiszen felcserélt sorrendben a műveletek általában el sem végezhetők. Igaz azonban, hogy ha A négyzetes mátrix, akkor EA=AE, ahol E egy egységmátrix, amelynek típusa megegyezik az A típusával. Igaz továbbá, hogy ( A ⋅ B) T = B T A T Elemi transzformációk: Ide a mátrix soraira, oszlopaira vonatkozó olyan műveleteket soroljuk, amelyek a

mátrix belső tulajdonságait nem változtatják meg noha egy mátrixból teljesen új mátrixot hoznak létre. Ezek a következők: − a mátrix i-edik és j-edik sorának (oszlopának) a felcserélése − a mátrix i-edik sorának (oszlopának) szorzása egy k számmal − a mátrix j-edik sora (oszlopa) k-szorosának hozzáadása az i-edik sorhoz (oszlophoz) Az A mátrixot a B mátrixszal ekvivalensnek nevezzük, ha elemei transzformációk sorozatával egyik a másokból létrehozható. Mátrixok determinánsa: A kvadratikus mátrixokkal kapcsolatban fontos szerepet tölt be egy a mátrixhoz rendelt valós szám. Ezt a valós számot a négyzetmátrix determinánsának nevezzük. Ennek definíciója: a11 a12 . a1n D= M = ∑ ( −1) k a1k1 a 2 k2 . a nkn a n1 a n 2 . a nn 49 ahol a k1, k2, ., kn az 1, 2, , n indexeknek valamilyen ismétlés nélküli permutációja, k pedig a permutációban lévő inverziók száma. Az összegzést az 1, 2, , n elemek valamennyi

permutációjára ki kell terjeszteni. Ha speciálisan az A mátrix 2x2-es, akkor a a D = 11 12 = a11 a 22 − a12 a 21 a 21 a 22 Egy 3x3-as mátrix determinánsa: a11 a12 a13 a a a a a a D = a 21 a 22 a 23 = a11 ⋅ 22 23 − a 21 ⋅ 12 13 + a 31 ⋅ 12 13 a 32 a 33 a 32 a 33 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ez az összefüggés azt fejezi ki, ahogy egy determináns “kifejthető” valamely oszlopa vagy sora szerint. Laplace-tétele megadja ezt a kifejtést n x n-es mátrix determinánsára is: n A = ∑ aik Aik i = i, 2, ., n k =1 ahol Aik az aik elemhez tartozó áldetermináns. Ez előbbi kifejtést sor szerinti kifejtésnek nevezzük és hasonlóan adható meg az oszlop szerinti kifejtés is. Egy determináns kiszámítása számításigényes feladat. A determinánsok tulajdonságait felhasználva ezt a számítást lecsökkenthetjük. Ezek a tulajdonságok a következők: − a determinást bármelyiksora vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt az értéket kapjuk. − ha a

négyzetes mátrixot a főátlójára tükrözzük, akkor a determináns értéke nem változik meg. − ha a mátrix főátlója felett csupa 0 elem áll, akkor determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzatával egyenlő − ha valamelyik sor vagy oszlop zérus vektor, akkor a determináns értéke 0. − ha valamely sor vagy oszlop minden elemét ugyanazzal a számmal szorozzuk, akkor a determináns értéke is ugyanannyiszorosára változik. − ha a determináns 2 sorát felcseréljük, akkor determináns értéke előjelet vált. − ha a determinás 2 sora egyenlő, akkor a determinás értke 0. − ha a mátrixban ez egyik sor vagy oszlop egy másik sor vagy oszlop k szorosa, akkor a determináns értéke 0. − ha a determináns egyik sorához vagy oszlopához hozzáadjuk egy másik sorát vagy oszlopát vagy annak többszörösét, akkor a determináns értéke nem változik meg. Mindezek felhasználhatók a determináns értékének egyszerűen

meghatározásának. Négyzetes mátrix inverze: Az A mátrix inverzén olyan A-1 -gyel jelölt márixot értünk, amelyre A ⋅ A −1 = E A −1 A = E ahol E az egységmátrixot jelöli. 50 Nem minden mátrixnak van inverze. Igazolható, hogy A-1 inverzmátrix akkor és csak akkor létezik, ha az A mátrix determinánsa nem 0, azaz az A mátrix reguláis. Belátható, hogy  A11 A21 . An1    1 1  A12 A22 . An 2  −1 A = adjA =  M det A det A     A1n A2 n . Ann  51 19.A Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága, a Cramer-szabály, a Gauss-féle módszer Az a11x1+a12x2+.+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+.+a2nxn = b2 am1x1+am2x2+.+amnxn = bm alakzatot, ahol x1,x2, . xn ismeretlenek, lineáris egyenletrendszernek nevezzük Az aij és a bi számok (i=1.m, j=1 n) konkrét esetben adottak A mátrix és a vektor fogalma segítségével az előbbi egyenletrendszer mátrix-os alakban is felírható: Ax=b  a11 a12 . a1n   x1   b1 

      ahol A =  a 21 a 22 . a 2 n  x= M  b= M         a m1 a m2 . a mn   xn   bm  Egy lineáris egyenletrendszer megoldásán értjük az x1, x2 . xn ismeretlenek azon értékét, amely mellett teljesülnek a rendszerben lévő egyenlőségek. A lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük ha b = 0 , különben inhomogén. Az első lépés egy lineáris egyenletrendszerrel kapcsolatosan annak megvizsgálása, hogy az egyenletrendszer megoldható-e, vagy sem. Ehhez tekintenünk kell az A mátrixot, valamint az A mátrixból és a b vektorból álló úgynevezett kibővített mátrixot, azaz [A,b]-t. Amennyiben rangA = rang[A, b ] akkor a lineáris egyenletrendszer megoldható, ellenkező esetben ellentmondásos. (Egy mátrix rangján a benne lévő sorvektorok - vagy oszlopvektorok - között lévő lineárisan független vektorok maximális számát értjük.) Egy lineáris egyenletrendszernek vagy nincs

megoldása, vagy egyértelmű megoldása van, vagy pedig végtelen sok megoldása. Valamely lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van egyértelmű megoldása, ha az egyenletrendszer mátrixa négyzetes és nem 0 determinánsú. Minden más esetben a megoldható lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a megoldható lineáris egyenletrendszerünk olyan alakú, hogy a mátrixa négyzetes és nem 0 determinánsú. Két megoldási módszert vizsgálunk egy ilyen lineáris egyenletrendszerrel kapcsolatban. Cramer-szabály Legyen a lineáris egyenletrendszerünk Ax = b , ahol A nxn-es típusú és detA≠0 determinánsú. Egy ilyen egyenletrendszer mindig egyértelmű megoldással bír. Ez a megoldás a Cramer-szabály értelmében: Dn E1 D2 , , . , xn = x1 = x2 = det A det A det A ahol D1, D2, ., Dn olyan módosított determinánsok, amelyeknek 1, 2, , n oszlopa megegyezik a b vektorral. A lineáris

egyenletrendszerek egy másik megoldási módszere a Gauss-eleminációs módszer. Akkor alkalmazhatjuk, amikor az egyenletrendszer mátrixa kvadratikus és determinánsa nem 0. A módszer lényege a következő: 52 Az első egyenlet megfelelő konstans-szorosát levonva a többi egyenletből elérjük, hogy az "első" ismeretlen csak az első egyenletben szerepeljen. (A különböző egyenletek esetében természetesen általában különböző konstansokat kell használnunk.) Ezt követően a második egyenletet szorozva meg alkalmas konstansokkal és levonva ezt a harmadik . stb) egyenletből elérjük azt, hogy a "második" ismeretlen ne szerepeljen a harmadik, negyedik . stb egyenletben Az előbbi eljárást tovább folytatva végül olyan egyenletrendszerhez jutunk, amelyben az i-edik ismeretlen legfeljebb csak az i-edik egyenletig szerepel. Ezt követően az utolsó egyenletből meghatározzuk az utolsó ismeretlen értékét. A kapott számot

behelyettesítjük az utolsó előtti egyenletbe, s abból meghatározzuk az utolsó előtti ismeretlen értékét. Az eljárást hasonlóan folytatva meghatározhatjuk az egyenletrendszer megoldását. 53 1.B Események, eseménytér, műveletek eseményekkel A valószínűségszámítás matematikai fogalma. A klasszikus valószínűségi mező A valószínűségszámítás a véletlen tömegjelenségek vizsgálatával foglalkozik. Egy ilyan véletlen jelenség megfigyelését kísérletnek fogjuk nevezni. Legyen adott egy véletlen jelenség és végezzünk el a vele kapcsolatos kísérletet, amelynek egyes megkülönböztethető lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek, az elemi események halmazát pedig eseménytérnek nevezzük. Az eseménytér bizonyos részhalmazait fogjuk véletlen eseményeknek (röviden eseményeknek) nevezni. Szokás ez utóbbiakat összetett eseményeknek is nevezni. A továbbiakban eltekintünk az események konkrét tartalmától, azokat

absztrakt dolgoknak tekintjük és A,B,C . betűkkel jelöljük Tekintsünk most egy véletlen jelenséget és az azzal kapcsolatos összes lehetséges esemény halmazát. Ebbe tartozzon bele két kitüntetett elem is: a lehetetlen és a biztos eseményeknek nevezett események. Lehetetlennek nevezzük azt az eseményt, amelyik egyetlen kísérlet elvégzésekor sem következhet be. Biztos eseménynek fogjuk azt az eseményt nevezni, amelyik minden kísérlet elvégzésekor bekövetkezik. A lehetetlen eseményt ∅, a biztos eseményt I jelöli Az A és B eseményt egymással egyenlőnek nevezzük, ha a kísérlet elvégzésekor mindig, vagy egyszerre bekövetkeznek, vagy egyszerre nem következnek be. Jele A = B Egy tetszőleges A eseménnyel kapcsolatosan értelmezhetünk egy A -sal jelölt eseményt is, amelyet az A esemény ellentett eseményének nevezzük, s amely akkor következik be, ha A nem következik be. Igaz, hogy A = A Bármely A és B elemmel együtt értelmezhetjük

azok A+B-vel jelölt összegét a következőképpen: A és B események összegén azt az A+B-vel jelölt eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, amikor az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik. Események összeadásával kapcsolatosan igazak a következő összefüggések: A+ A= A A+ B= B+ A A + (C + B) = ( A + C ) + B A+ A= I A+∅= A A+ I = I Bármely A és B elemmel együtt értelmezhetjük azok A ⋅ B -vel jelölt szorzatát is. Az A és B események szorzatán azt az A ⋅ B -vel jelölt eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, amikor az A és B események mindegyike bekövetkezik. Események szorzására a következő összefüggések érvényesek: A⋅ A = A A⋅ B = B⋅ A A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C A⋅ A = ∅ A⋅∅ = ∅ A⋅ J = A 54 Az összeadás és a szorzás műveletének közös tulajdonsága a disztributivitás: ( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C A ⋅ B + C = ( A + C) ⋅ (B + C) Egy

kísérlettel kapcsolatos eseményeknek azon halmazát, amely ∅ -t, I-t tartalmazza, továbbá bármely A elemmel együtt A -t, az A és B elemmel együtt A+B-t és A ⋅ B -t is tartalmazza és az előbbi összefüggések is teljesülnek, eseményalgebrának nevezzük. Egy eseményalgebrát végesnek nevezünk akkor, ha a kísérlethez tartozó események halmaza véges. A valószínűségi matematika fogalma A valószínűségszámításnak Kolmogorovtól származó elmélete abból indul ki, hogy egy kísérlet összes lehetséges (vagy legalábbis minden figyelembe vett) eredményéhez, vagyis az eseményalgebra minden A eleméhez egy számérték van hozzárendelve: a szóban forgó esemény valószínűsége, amely a következő tulajdonságoknak tesz eleget: 0 ≤ P ( A) ≤ 1 P(I)=1 ha A ⋅ B = ∅ minden A eseményre (P(∅)=0) akkor P(A+B)=P(A)+P(B) Egy olyan eseményalgebrát, amelynek minden A eleméhez hozzá van rendelve egy, az előbbi tulajdonságokkal rendelkező

szám, valószínűségi algebrának nevezzük. Klasszikus valószínűségi algebra Tekintsünk egy véges valószínűségi algebrát. Igaz, hogy ebben bármely esemény egyértelmű módon (sorrendtől eltekintve) állítható elő elemi események összegeként. Igaz továbbá az is, hogy az elemi események páronként kizárják egymást (azaz bármely két elemi esemény szorzata lehetetlen esemény). A valószínűség matematikai definíciójában szereplő harmadik feltétel általánosítható véges sok, páronként kizáró eseményekre is. Ha mindezeket felhasználjuk, akkor egy tetőszleges (összetett) eseményt elő tudunk egyértelmű módon állítani elemi események összegeként, és a valószínűségét pedig meg tudjuk határozni az őt alkotó elemi események valószínűségeinek összegeként. A klasszikus valószínűségi algebrában feltesszük, hogy az elemi események egyenlő valószínűséggel bírnak. Ha tehát a véges valószínűségi

algebrában szereplő elemi eseményeket az A1, A2 . An jelölik, akkor 1 az A=P(I)=P(A1+ . +An=P(A1)+ + P(An) összefüggés és a feltevés alapján P ( Ai ) = minden n i=1,2 . n-re Így ha B egy tetszőleges esemény és B = Ai1 + Ai2 + .+ Aik akkor P ( B ) = P ( Ai1 + .+ Aik ) = P ( Ai1 ) + + P ( Aik ) = k = n kedvező események száma összes elemi esemény száma 55 Ezt a képletet nevezzük a klasszikus valószínűség kiszámítási képletének. A k és n értékeket általában kombinatórikus úton határozhatjuk meg. 56 2.B A feltételes valószínűség , a szorzási tétel , a teljes valószínűség tétele, Bayes tétel . "A" esemény valószínűségét "B" esemény bekövetkezésének feltétele mellett keressük. Ekkor az "A" esemény "B" feltételre vonatkozó feltételes valószínűségén a P ( AB ) , P(B) > 0 számot értjük. P( A / B) = P(B) Ez a szám azt mutatja meg , hogy "A" esemény a

"B" bekövetkezéseinek hányad részében következik be. A feltételes valószínűséget természetesen lehet tapasztalati úton is definiálni mégpedig úgy , mint azon számértéket , amely közül az "A" -nak "B"-re vonatkozó feltételes relatívgyakorisága ingadozik. P ( AB ) A feltételes valószínűség P ( A / B ) = definícióját P ( A ⋅ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B ) P(B) alakban is felírhatjuk. Ezt az alakot szorzási tételnek nevezzük , amelynek alapján két esemény szorzatának valószínűségét számíthatjuk ki a feltételes valószínűség és a feltétel valószínűségének ismeretében. A szorzási tétel tetszőleges A1 , A2 ,, An eseményekre is kiterjeszthető a teljes indukció alkalmazásával.: P ( A1 ⋅ A2 ⋅. An ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 / A1 ⋅ A2 )⋅⋅ P ( An / A1⋅⋅ An −1 ) Teljes valószínűség tétele : Legyen B1 , B2 ,., Bn egy teljes eseményrendszer (azaz legyenek olyan

páronként kizáró események , amelyeknek összege a biztos esemény ) . Legyen "A" egy tetszőleges esemény A teljes valószínűség tétele alapján az "A" esemény valószínűségét megkaphatjuk úgy , hogy képezzük az illető esemény feltételes valószínűségeit , események egy teljes rendszerének eseményeire vonatkozólag , ezeket az illető feltétel valószínűségével megszorozzuk és képezzük ezeknek a szorzatoknak az összegét . P ( A) = P ( A / B1 ) ⋅ P ( B1 ) + P ( A / B2 ) ⋅ P ( B2 ) +.+ P ( A / Bn ) ⋅ P ( Bn ) Ahhoz tehát , hogy egy tetszőleges "A" esemény valószínűségét meghatározhassuk , ismernünk kell egy teljes eseményrendszerhez tartozó események valószínűségeit , valamint az "A" események ezekre vonatkozó feltételes valószínűségeit. Bayes tétele : A B1 , B2 ,., Bn teljes eseményrendszerrel kapcsolatban gyakran nem az "A" esemény valószínűségét kell

meghatározni , hanem azt , hogy az "A" esemény bekövetkezésében az eseményrendszer egyes " Bi " eseményei milyen szerepet játszanak. A kérdés a következőképpen is megfogalmazható : ha "A" bekövetkezett , mi annak a valószínűsége , hogy ez pontosan az eseményrendszer " Bi " eseményének bekövetkezésével együtt valósul meg . P ( A / Bi ) ⋅ P ( Bi ) A P ( Bi / A) = P ( A / B1 ) ⋅ P ( B1 ) +. + P ( A / Bn ) ⋅ P ( Bn ) formulát Bayes tételnek nevezzük. A feltételes valószínűséggel kapcsolatban definiálhatjuk események függetlenségét is. A "A" és "B" események függetlennek nevezzük , ha P ( A / B ) = P ( A) teljesül . ( Független eseményekre igaz , hogy P ( A ⋅ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) ) 57 3.B A diszkért valószínűségi változó A várható érték, a szórás Valószínűségi változók együttes és peremeloszlásai. A korrelációs együttható DEFINICIÓ : Az

olyan mennyiséget, amelynek értéke nem állandó, de meghatározható, hogy egy konkrét értéke mekkora valószínűségű vagy mekkora valószínűséggel esik egy intervallumba, valószínűségi változónak nevezzük és X -el jelöljük. A valószínűségi változó jelölésére a ξ görög betűt is használjuk. A valószínűségi változó értékei gyakran egy Q eseménytérhez rendelt valós számok. lgy tehát az eseménytéren egy X (Q) valós függvényt adunk meg. DEFINICIÓ : Egy X valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha csak megszámlálható számú értéket vehet fel. (Pl diszkrét valószínűségi változó a kockadobásnál kapott pontszámokkal meghatározott változó). Legyen az X valószínűségi változó értékkészletének halmaza {x1,x2,.,xn}, akkor ezt röviden X (Q) -val jelöljük, azaz X (Q) = {x1,x2,.,xn} Ha X (Q) = {x1,x2,.,xn} , akkor az xi (i=1,2,,n) pontokban képzett pi = P ( X = xi) valószínűségekkel egy

valószínűségi mezőt kapunk. DEFINICIÓ : Az X (Q) halmazon (1) v (xi) = pi = P ( X = xi) (i=1,2,.,n) képlettel adott v függvényt , az X változó eloszlásának vagy diszkrét eloszlásfüggvényének nevezzük s általában táblázatosan adjuk meg : xi v(xi) x1 v(x1) x2 v(x2) . . Az (1) képlet azt fejezi ki, hogy az X valószínűségi változó az xi értéket valószínűséggel veszi fel. xn v(xn) pi = v(xi) Az értlemezésből következik, hogy az X változó eloszlása kielégíti a következő feltételeket : a) v(xi) ≥ 0, és n b) ∑ v ( xi ) = 1 i =1 A valószínűségi változót jól tudjuk jellemezni azzal a valós számmal, amely körül a változó tapasztalati értékei ingadoznak. Ezt a valós számot várható értéknek nevezzük DEFINICIÓ : Az X diszkrét valószínűségi változó M ( X ) -szel jelölt várható értékének, ha eloszlása az ( 1 ) összefüggéssel adott, az n M ( X ) = x1v(x1) + x2v(x2) + . + xnv(xn) = ∑ xi v ( x ) (2) i i

=1 képlettel meghatározott számot nevezzük. Más megfogalmazásban, az M ( X ) az X valószínűségi változó lehetséges értékeinek a súlyozott átlaga. A ( 2 ) képletet az X diszkrét valószínűségi változó várható értékének kiszámítására, ha az xi értékeket pi valószínűséggel veszi fel, az 58 n M ( X ) = ∑ pi xi i =1 ( 2* ) alakban használjuk. A diszkrét valószínűségi eloszlásokat vonaldiagrammal vagy hisztogrammal szemléltethetjük. A vonaldiagramot úgy készítjük, hogy a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer xtengelyén kijelölt pontokhoz az X értékkészletének megfelelő számokat írjuk egy adott távolságegységgel, és a pontokra olyan - x--tengelyre merőleges- egyeneseket illesztünk, amelynek hossza arányos a szóban forgó pontokhoz tartozó valószínűségekkel. Ha a valószínűségi eloszlást minden xi -nél azonos szélességű, egymáshoz illeszkedő téglalapokkal ábrázoljuk, és e téglalapok

területösszege pontosan 1, akkor hisztogramot kapunk. A téglalapok szélességét úgy kell megválasztani, hogy összeadva az egyes téglalapok alapjának v(xi) -vel képzett szorzatát eredményül 1 kapjunk. Egy valószínűségi változó várható értékének kiszámítása mellett azt is megvizsgáljuk, hogy a változó értékei mennyit térnek el a várható értéktől, ill. mennyire "szórnak" a várható érték körül Legyen adott egy X diszkrét valószínűségi változó és eloszlása : xi v(xi) x1 v(x1) x2 v(x2) . . xn v(xn) DEFINICIÓ : Az X valószínűségi változó szórásnégyzetének (varianciájának) a n D 2 ( X ) = ∑ ( x i − m) 2 v ( x i ) = M (( X − m) 2 ) (1) i =1 várható értéket nevezzük, ahol m az X várható értéke (m= M (X)). A szórásnégyzetet jellemzi tehát az X -re vonatkozó egyes mérési adatok eltérését átlaguktól. DEFINICIÓ : A D2 ( X ) szórásnégyzet pozitív négyzetgyökét az szórásának

(standard eltérésnek) nevezzük, azaz X valószínűségi változó (2) D( X ) = M (( X − m) 2 ) A szórás tehát a valószínűségi változó várható értéke körüli ingadozásainak átlagos nagyságát jellemzi. Az X* -ot normált vagy standard valószínűségi változónak nevezzük, mert várható értéke 0 és szórásnégyzete 1, azaz M (X*) = 0, D2 (X)=1. Egy pozitív X valószínűségi változó szórásának és várható értékének D( X ) (M(X) ≠ 0) , M(X) hányadosát X relatív szórásának nevezzük. Két valószínűségi változó kapcsolatának vizsgálata : Legyen X és Y a Q eseménytér két valószínűségi változója : X (Q) = {x1,x2,.,xn}, Y(Q) = {y1,y2,,ym} Képezzük a X (Q) × Y (Q) = { (x1,y1),(x1,y2),.,(xn,xm)} Descartes-szorzatukat és minden (xi,yj) rendezett párhoz rendeljük hozzá a P (X = xi, Y = yj ) valószínűséget, melyet w(xi,yj) -vel jelölünk. DEFINICIÓ : Az X (Q) × Y (Q) halmazon értelmezett w(xi,yj) = P ( X = xi ,

Y = yj ), (i = 1,2,.,n; j = 1,2,,m) (1) 59 függvényt az X és Y együttes eloszlásának vagy együttes diszkrét valószínűségi függvényének nevezzük. Az X és Y együttes eloszlását táblázattal adjuk meg. A táblázatban a v (xi) jelöli az i-edik sor elemeinek, u (yj) pedig a j-edik oszlop elemeinek az összegét : m n v ( x i ) = ∑ w( x i , y j ); u( y j ) = ∑ w( x i , y j ); j =1 (2) i =1 amelyeket marginális (határ-) eloszlásoknak vagy peremeloszlásoknak nevezzük az X ill. Y változókra vonatkozólag. Nyilvánvaló, hogy a w együttes eloszlás eleget tesz a w(xi,yj) ≥ 0 és n m i =1 j =1 ∑ ∑ w( x , y i j ) =1 feltételnek. A valószínűségi változók közötti kapcsolatot sztochasztikus kapcsolatnak nevezzük. Az X és Y valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat szorosságának mérésére bevezetjük a kovarancia és kollerációs együttható fogalmát. DEFINICIÓ : Legyen X és Y valószínűségi

változók együttes eloszlása w, a várható értékeket jelölje mx és my, akkor az X és Y változók Cov (X,Y) -nal jelölt kovarianciáján a Cov (X, Y) = ∑ (xi-mx) (yj-my)w(xi,yj)=M[(X-mx)(Y-my)]=M(XY)-mxmy (4) i,j számot értjük. DEFINICIÓ : Ha az X és Y valószínűségi változók szórása és kovarianciája létezik, akkor az R ( X, Y)-nal jelölt korrelációján az Cov ( X , Y ) M ( XY ) − m x m y (6) = R( X , Y ) = D( X ) D( Y ) D( X ) D( Y ) képlettel meghatározott számot értjük. A korrelációt a valószínűségi változók közötti kapcsolat erősségének mérésére használjuk. Az R (X, Y) korreláció dimenziómentes és az alábbi tulajdonságokkal jellemzik : a) R(X,Y) = R (X,Y); b) -1 ≤ R (X,Y) ≤ 1; c) R(X, X) = 1; R (X, -X) = -1; d) R(aX + b, cY + d ) = R (X, Y), ha a,c ≠ 0. A kétváltozós együttes eloszlásokhoz tartozó változónkénti azonos peremeloszlások esetén is különbözhetnek a kovarianciák is és a korrelációk

is. Ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor R (X, Y) = 0.Ez az állítás fordítva nem áll fenn, vagyis R (X, Y) = 0-ból nem következik, hogy X és Y függetlenek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a valószínűségi változók korrelálatlanok. Ha R ( X, Y) = ± 1, akkor a valószínűségi változók között lineáris függvénykapcsolat van, azaz Y = aX + b, ahol a és b konstansok; ha viszont -1 < R ( X,Y ) < 1, akkor az R ( X, Y ) értékéből nem lehet a valószínűségi változók közötti függvénykapcsolat milyenségére következtetni, pusztán a kapcsolat lineáris jellegének erősségét 60 lehet becsülni. Ha R ( X, Y) közel van 1-hez, akkor azt mondjuk, hogy X és Y erősen korreláltak. 61 4.B Nevezetes diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás Poisson eloszlás Hipergeometrikus eloszlás. A diszkrét valószínűségi változók értékeiket egy véges vagy egy megszámlálhatóan végtelen számhalmazról vehetik fel.

A kísérletek során azonban gyakran csak azt vizsgáljuk, hogy a kísérlet eredményes volt-e, vagy sem. Tehát olyan eseményeket vizsgálunk, amelyeknek két kimenete van, vagyis “A” bekövetkezett-e, vagy sem. Ilyen kérdésekre ad választ a binomiális eloszlás: ‘Mi a valószínűsége annak, hogy egy kísérletben az “A” esemény k-szor következik be ?(Bernoulli v. Binomiális eloszlás). 1. Binomiális eloszlás: Tekintsünk egy független kísérletekből álló kísérletsorozatot, ahol az A esemény bekövetkezésének valószínűsége: P(A)=P, az ellentett esemény A bekövetkezésének valószínűsége: P( A)=1-P(A)=1-p=q. Ismételjük meg a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és az X diszkrét valószínűségi változó értéke legyen az A esemény bekövetkezéseinek számával egyenlő. Annak valószínűsége, hogy n (n=1,2,) független kísérletsorozatban az A esemény pontosan kszor következik be, azaz az A esemény bekövetkezéseinek

számát adó X valószínűségi változó Xk  n értéke éppen k (tehát Xk = k) a (1.) pk = P (X=k) =   pk qn-k , (k=0, 1, 2,, n)  k  n n! képlettel adható meg, ahol q=1-p és   = binomiális együttható.  k  k !( n − k )! Ezt az eloszlást n-edrendű, p paraméterű binomiális eloszlásnak nevezzük és a következő táblázattal adjuk meg: k 0 1 2 . n  n n-1  n n-2 2 . pn   qp   qp 1   2 Az 1.tétel bizonyítását az A és B elemekből álló olyan n elemhosszúságú sorozatok alapján végezhetjük, ahol A elem pontosan k-szor, B elem pedig (n-k)-szor fordul elő. Az ilyen sorozatok  n száma   . Mivela kísérletek függetlenek, minden elem n-es, valószínűsége: pkqn-k, ahol q=1-p ,  k Pn(K) qn  n így az A előfordulásának valószínűsége: P(A)=   pkqn-k (k=0, 1, 2, ., n)  k Ha X diszkrét valószínűségi változó, amelynek értékei természetes

számok, azaz X={0, 1, 2, .n} és  n annak valószínűsége, hogy X éppen a k értéket veszi fel: Pi =   pkqn-k; (k=0,1,2,.,n), akkor X  k valószínűségi változó binomiális. A binomiális eloszlást jelölhetjük:  n b(k,n,p) =   pkqn-k, amelyeknek k<x -re vonatkozó összegzésével kapjuk az eloszlásfüggvényt:  k Fn(x) = ∑ k <x  n k n-k  pq .  k A Pn(k) valószínűségek kiszámítását a Pn(k+1) = n−k p * *Pn(k) rekurziós képlettel is k + 1 1− p végezhetjük. A binomiális eloszlású X valószínűségi változó várható értéke: m = M(X) = n* p. 62 Szórásnégyzete: D2(X) = n* p q. Szórása: D(X) = n * p q . Példa: egy szabályos pénzérmét feldobunk hatszor és a fejdobások számát figyeljük. Állítsuk elő a valószínűségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét és grafikonjait ! n=6 1 p=q= 2 k = 0,1,2,3,4,5,6  6 0,5 6−1 6− k * * P6(k) = * P6(k) alapján

A = P6(k) =   * (0,5)k (0,5)6-k, illetve Pn(k+1) = k + 1 1 − 0,5 k +1  k az eloszlás táblázat: k 0 1 2 3 4 5 6 k 0 1 2 3 4 5 6 1 64 P6(k) 0 7 64 22 64 42 64 57 1 1 P6(k) 64 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 0 1 2 3 4 5 20 64 64/64 63/64 15 64 57/64 42/64 6 64 22/64 6/64 1 64 1/64 1 2 3 4 5 6 6 Poisson eloszlás: Azt vizsgáljuk, hogy egy sajtóhibákat tartalmazó könyv véletlenszerűen kinyitott oldalán van-e sjtóhiba. Legyen X egy diszkrét valószínűségi változó, melynek értékei: 0, 1, 2, ., k, , n Ha X a k értéket P(X = K) = p(k; λ ) = λ k e− λ , ahol (λ > 0), (k = 0, 1, 2, .) valószínűséggel veszi fel, akkor X k! eloszlását λ paraméterű Poisson-eloszlásnak nevezzük. A Poisson-eloszlású valószínűségi változókhoz tartozó eloszlásfüggvényt a p(k, λ) = minden k<x - re kiterjesztve: Fn(x) = λk e− λ valószínűségek összegzésével kapjuk k! λk e− λ . A Poisson-eloszlású

X valószínűségi változó: ∑ k < x k!  várható értéke: m = M(X) = λ .  szórásnégyzete: D2(X) = λ .  szórása: D(X) = λ . Az egyes valószínűségek kiszámítása a következő rekurziós formulával történik: pn(k+1, λ) = λ k +1 pn(k; λ). 63 A Poisson-eloszlás származtatható a binomiális eloszlásból is, annak n szerinti határértékeként, ha λ , azaz λ = p*n, ekkor : n n−k k  n λ  1 − λ  λk e− λ k lim(n∞) b (k, n, p) = lim(n∞)   n  n  = k! .  k Példa: egy 500 oldalas könyvben véletlen eloszlásban 300 sajtóhiba van. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy oldalon 2 sajtóhiba van; 2 vagy több sajtóhiba van (legalább 2). Ha azt feltesszük, hogy λ állandó és p = 1 paraméterű binomiális 500 eloszlást kapunk. Mivel p elég kicsi, és n elég nagy, a binomiális eloszlást Poisson-eloszlással 1 3 = =0,6 paraméterek mellett. Annak a valószínűsége, hogy

pont két közelítjük λ=n*p= 300 500 5 sajtóhiba van : az ellentett esemény valószínűségei közötti összefüggés alapján számítjuk ki. Kettőnél kevesebb hiba úgy következhet be, hogy az X a 0 vagy 1 értéket veszi fel. Mivel ezek az események kizárják egymást, úgy összegük valószínűsége p0 + p1. A vizsgált esemény  0,60 e−0,6 0,6e−0,6  valószínűsége P(X≥2) = 1-p0+p1 = 1-  +  = 1-(0,549+0,329)=0,122. 1!   0! vizsgáljuk, hogy oldalanként hány sajtóhiba van, akkor n=300 és p= Hipergeometrikus eloszlás: Mi a valószínűsége annak, hogy N számú alkatrészből visszatevés nélkül kiválasztott n db-ból álló mintában a selejtesek száma k db, ha az N számú alkatrész között M db selejtes van. Azt az X valószínűségi változót, amely az Xk = k (k=0,1,2,3n) értéket  M  N − M    k n − k  Pk= P(X=k)= k=(0,1,2,.n)  N   k  valószínűséggel veszi fel,

hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változónak nevezzük, ahol N,M,n nem negatív egészek és M<N , 0 < n ≤ min(M, N - M). M ; N  várható értéke: m = M(X) = n  szórásnégyzete: n −1  D2(X) = np (1 - p)  1 − ;  N − 1  szórása: D(X) =   np(1 − p) 1 − n −1 . N − 1 64 5.B Folytonos valószínűségi változó Az eloszlásfüggvény, a sűrűségfüggvény A várható érték, a szórás. A diszkrét valószinűségi változók, értékeiket egy véges vagy egy megszámlálhatóan végtelen számhalmazból vehetik fel. Számos olyan véletlen jelenség is van, amelynél a változó által felvehető értékek egy zárt [ a, b ] intervallumba esnek. Pl : egy villanyégő 0 és 1000 óra között (a [ 0; 1000 ] intervallumban) bármelyik pillanatban meghibásodhat (kiéghet). A valószínűségszámításban az ilyen problémák tárgyalására bevezették az ún. folytonos

valószínűségi változó fogalmát. Ez azt jelenti, hogy definiálunk egy olyan X valószínűségi változót, amely "folytonosan" vehet fel értékeket az R valós számhalmaz valamely részhalmazából. A folytonos valószínűségi változó definícióját legegyszerűbben az ún. eloszlásfüggvény segítségével adhatjuk meg Eloszlásfüggvény Tegyük fel, hogy az X változó minden adott x értékénél ki tudjuk számítani a P (X < x) valószínűséget. Így minden olyan x valós számhoz, amelyre a valószínűséget meg tudjuk adni, hozzárendelünk egy valós számot, azaz az X valószínűségi változóhoz hozzárendelünk egy függvényt. Jelöljük ezt a függvényt F (x) -szel, azaz F (x) = P ( X < x ) (1) Az értelmezés szerint tehát az F függvény értéke az x pontban annak a valószínűsége, hogy az X változó értékei kisebbek mint x . Az F ( x ) függvényt az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Az

eloszlásfüggvény értelmezéséből következik, hogy F ( x ) -re teljesülnek az alábbi tulajdonságok : 1. F ( x ) ≥ 0; 2. monoton növekedő 3. lim F ( x ) = 0 és lim F ( x ) = 1; x−∞ x+∞ 4. F ( x ) függvény balról folytonos Ha egy függvény eleget tesz az 1.-4 pontokban foglaltaknak, akkor valamely folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényének tekinthető. Figyelembe véve az előzőeket definiálhatjuk a folytonos valószínűségi változót. DEFINICIÓ : Egy folytonos. X valószínűségi változót folytonosnak nevezünk, ha eloszlásfüggvénye Pl. : Tegyük fel, hogy egy villanyégő meghibásodási időpontja 0 és 1000 óra között van (vagyis legfeljebb 1000 óráig jó). Határozzuk meg a jelenség eloszlásfüggvényét. Megoldás : Ha a [ 0, 1000 ] időintervallumot egy szakasznak tekintjük, akkor egy geometriai valószínűségi feladatra vezettük vissza a problémát, mert annak valószínűsége, hogy a [ 0; x ] szakaszon ég

ki az égő, arányos a szakasz hosszával. Jelentse az X valószínűségi változó a meghibásodás időpontját, azaz X a [ 0; 1000 ] intervallumból veheti fel értékeit. Nyilvánvaló, hogy P ( X < 0 ) = 0, mert X < 0 lehetetlen esemény ( a meghibásodás időpontja negatív nem lehet). Az is világos, hogy P ( X < 1000 ) = 1, mert kimondtuk, hogy az égő 1000 órán túl biztosan nem üzemelhet. Ha viszont 0 < x ≤ 1000, akkor P(X<x)= x , 1000 mert feltettük, hogy a meghibásodás valószínűsége arányos a szakasz hosszával. Tehát 65  0, ha  x F(x)=P(X<x)=  , ha  1000 ha  1, x≤0 0〈 x ≤ 1000 x 〉1000 Az eloszlásfüggvény ismeretében ki tudjuk számítani annak valószínűségét is, hogy az X valószínűségi változó értékei egy adott [ a ; b ] intervallumba essenek. Érvényes a következő tétel : TÉTEL : Ha F az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor P ( a ≤ x < b ) = F ( b) - F ( a ).

( 2 ) Pl. : A tétel felhasználásával számítsuk ki a villanyégőre vonatkozólag annak valószínűségét, hogy a meghibásodás a 30. és a 100 óra között következik be Megoldás : P ( 30 ≤ x < 100 ) = F (100) - F (30) = 100 − 30 = 70 = 0, 07. 1000 100 1000 66 A sűrűségfüggvény DEFINICIÓ : Ha az X valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénye folytonos, és végesszámú pont kivételével létezik az F ( x ), akkor a deriváltfüggvényt az X sűrűségfüggvényének nevezzük és f ( x) -el jelöljük, azaz F ( x ) = f ( x ). TÉTEL : Az f sűrűségfüggvény az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik : ∞ ≥ 0, 1. f ( x) 2. ∫ b f ( x )dx = 1, −∞ 3. ∫ f (x)dx = P(a ≤ x〈b) a Bizonyítás 1. Mivel F ( x ) monoton növekedő, ezért nem lehet a deriváltja negatív ∞ 2. ∫ −∞ R f ( x )dx = lim R∞ ∫ f (x)dx = lim [ F (R) − F (− R)] = 1 − 0 = 1 . R∞ −R b 3. ∫ f (x)dx = F (b) − F (a) =

P(a ≤ x〈b) a Megjegyzés : Ha egy folytonos függvény rendelkezik az 1.-2 tulajdonságokkal, akkor egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető. A folytonos valószínűségeloszlásokat gyakran nem az eloszlásfüggvénnyel, hanem a sűrűségfüggvénnyel adjuk meg, és az eloszlásfüggvényt a sűrűségfüggvényből számítjuk ki az ∞ F ( x) = ∫ f (t)dt integrállal (4) −∞ Várható érték, szórásnégyzet és szórás DEFINICIÓ : Ha az X folytonos eloszlású valószínűségi változónak f ( x ) a sűrűségfüggvénye, akkor a várható értéke : ∞ M(X ) = ∫ xf (x)dx (5) −∞ ∞ feltéve, hogy az ∫ x f (x)dx integrál konvergens. −∞ DEFINICIÓ : Ha az X folytonos eloszlású valószínűségi változónak f ( x ) a sűrűségfüggvénye, akkor szórásnégyzetét és szórását a ∞ D 2 ( X ) = M (( X − m) 2 ) = ∫ (x − m) 2 f ( x )dx (6) −∞ ∞ D( X ) = ∫ (x − m) 2 f (

x )dx (7) −∞ képlettel definiáljuk, feltéve hogy a jobb oldali integrál létezik. A diszkrét esethez hasonlóan az m = M ( X ) és M ( X2 ) létezése szükséges és elegendő feltétel a D2 ( X ) létezéséhez, és így a szórásnégyzetet és a szórást a következő képletekkel számíthatjuk : (8) D 2 ( X ) = M ( X 2 ) − m 2 = x 2 f ( x )dx − m 2 ∫ R 67 D( x ) = M ( X 2 ) − m2 = ∫x 2 f ( x )dx − m 2 . (9) R Példák : Valószínűségszámítás és Matematikai Statisztika könyv 65-75 oldal. 68 6.B Nevezetes folytonos eloszlások : egyenletes eloszlás, exponenciális eloszlás, normális eloszlás. A folytonos eloszlások várható értékét µ-vel, szórásnégyzetét σ2 -tel, szórását pedig σ -vel jelöljük. Egyenletes eloszlás DEFINICIÓ : Az X valószínűségi változót egyenletes eloszlásunak nevezzük az ]a,b] (balról nyílt, jobbról zárt) intervallumon, ha sűrűségfüggvénye :  1 , a < x≤b , ha 

b:− a (1) f (x ) =   0 egyé bké n  A sűrűségfüggvény definíciójából következik, hogy az egyenletes eloszlású X változó eloszlásfüggvénye :  x− a ,  b− a F (x) = P ( X < x ) = ∫ f (x )dx =  0, −∞  1,  és a várható érték, szórás, szórásnégyzet definíciói alapján : a+b várható értéke : µ = M ( X ) = ; 2 x szórása : σ = D ( X ) = b−a ha a < x≤b; ha ha x ≤ a; x>b. (2) ; 12 szórásnégyzete : σ2 = D2 ( X ) = (b − a ) 2 . 12 Exponenciális eloszlás DEFINICIÓ : Az X valószínűségi változót λ paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye : λe− λx , ha x> 0; f (x ) =   0, ha x≤ 0 ahol λ tetszőleges pozitív szám. Az ( 1 ) sűrűségfüggvényű X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye : 1− e− λx , F(X)=P (X <x)=   0, és a megfelelő definíciók alapján : 1 várható értéke : µ = M ( X

) = ; (1) ha x> 0; (2) ha x≤ 0. λ 69 szórása : σ = VarX = D ( X ) = 1 λ ; szórásnégyzete : σ2 = Var X = D2 ( X ) = 1 λ2 . Normális eloszlás A leggyakrabban előforduló folytonos eloszlás a normális vagy Gauss-eloszlás, amely sok jelenség leírásában szerepet játszik. DEFINICIÓ : Egy X folytonos valószínűségi változót m és σ paraméterű normális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye : f (x ) = 1 σ 2p e − ( x − m2) 2 2σ , (−∞ < x < +∞ ) (1) ahol m tetszőleges valós szám, σ pedig tetszőleges pozitív szám lehet. Az ( 1 ) sűrűségfüggvény -∞-től x-ig vett határozott integrálja adja az X változó m, σ paraméterű normális eloszlásfüggvényét : F(x)=P (X <x)= x 1 σ 2p ∫e − ( t − m) 2σ 2 2 dt . (2) −∞ Az X normális eloszlású változó várható értéke : µ = M ( X ) = m; szórása : D ( X ) = σ szórásnégyzete : D2 ( X ) = σ2 . A normális

eloszlást követő valószínűségi változók az m és σ paraméterben térnek el egymástól. Az m várható értékű, σ szórású normális eloszlás szokásos jelölése : N (m, σ ). DEFINICIÓ : Az m = 0, σ =1 paraméterű normális eloszlást, melyet N(0,1) -gyel jelölünk, standard normális eloszlásnak nevezzük, ekkor az X sűrűségfüggvénye : ϕ (x ) = eloszlásfüggvénye : φ (x ) = 1 2p 1 2 e x − x2 ∫e − ( x ∈ R ); t (3) 2 2 (4) dt . 2p −∞ A ( 4 ) jobb oldalán álló integrál nem fejezhető ki elemi függvények segítségével, azonban a Φ (x) értéke a gyakorlati alkalmazások által megkívánt pontossággal táblázatokból kiszámítható. A ( 3 ) és ( 4 ) függvények segítségével kifejezhetők az ( 1 ) és ( 2 ) függvények : 1  x − m (5) f (x ) = ϕ  ; σ  σ   x − m F (x ) = φ  .  σ  Mivel a normális eloszlás sűrűségfüggvénye szimmetrikus a várható értékre, ezért

(6) 70 φ(-x)= φ(-x); Φ(-x) = 1- Φ(-x) (7) továbbá a ( 7 ) - ből a standard normális eloszlásra a következő összefüggést kapjuk : P ( -x < X ≤ x ) = Φ (x) - Φ (-x) =Φ (x) -(1-Φ (x)) = 2Φ (x) - 1 (8) A ( 7 ) és ( 8 ) összefüggések az 1.sz és a 2 sz táblázatból kiolvasható értékek alapján a Φ (x) és a φ(x) függvény értéktáblázatának bővítésére jól felhasználhatóak. A műszaki- és természettudományok számos problémájának megoldásához igen gyakran olyan valószínségi változót rendelhetünk, amelynek eloszlása normális vagy majdnem normális. A binomiális eloszlású változók esetén a valószínűségek kiszámitása nagy n értéknél jól megközelithető az np várható értékű, npq szórású normális eloszlással. A centrális határeloszlástétel azt mondja ki, hogy sok független valószínűségi változó összege normális eloszlású. 71 7.B A Csebisev egyenlőtlenség, a nagy számok törvénye

A Csebisev egyenlőtlenségre a nagy számok törvényének bizonyításához van szükség. Magát a Csebisev egyenlőtlenséget pedig a Markov egyenlőtlenség segítségével bizonyíthatjuk be. Mindezek miatt előbb a Markov egyenlőtlenséget mondjuk ki. Markov egyenlőtlenség Legyen ζ egy nem negatív valószínűségi változó. Ha ζ nem állandó és létezik az Ε(ζ ) várható érték, akkor tetszőleges λ > 0 számérték mellett 1 Ρ (ζ ≥ λΕ (ζ )) < λ Nyilvánvaló, hogy ez az állítás akkor állít valamit, ha λ > 1 . Ebből az egyenlőtlenségből már könnyen előállíthatjuk a Csebisev egyenlőtlenséget. Csebisev egyenlőtlenség Legyen ζ egy tetszőleges valószínűségi változó, amelynek Ε(ζ ) várható értéke létezik és D(ζ ) szórása véges és pozitív. Legyen továbbá λ > 1 tetszőleges szám Ekkor 1 Ρ ζ − Ε(ζ ) ≥ λD(ζ ) ≤ 2 ( ) λ A Csebisev egyenlőtlenség bebizonyítható a Markov

egyenlőtlenséggel, ha azt a (ζ − Ε(ζ )) 2 valószínűségi változóra alkalmazzuk mégpedig λ helyett λ 2 -tel: ( Ρ (ζ − Ε(ζ )) ≥ λ 2 Ε (ζ − Ε(ζ )) 2 2 ) ≤ λ1 2 ami ekvivalens a ( ) Ρ ζ − Ε(ζ ) ≥ λD(ζ ) ≤ 1 λ2 egyenlőtlenséggel. A nagy számok törvénye A valószínűség számításban nagy számok törvényeinek nevezzük a tételek olyan csoportját, amelynek a valószínűségi változók és várható értékei közötti sztochasztikus konvergenciára vonatkoznak. E tételek jelentősége kitűnik abból, hogy a valószínűség számítás legalapvetőbb kérdését, a relatív gyakoriság és valószínűség egymáshoz való viszonyát világítják meg. A nagy számok törvényének legegyszerűbb alakja Bernoullitól származik. Mielőtt azonban ezt a tételt kimondanánk megadjuk a sztochasztikus konvergencia definícióját. A ζ 1 , ζ 2 ,., ζ n valószínűségi változók sorozatáról akkor mondjuk, hogy

sztochasztikusan konvergál 0-hoz, ha minden ε > 0 értékre lim Ρ ( ζ n ≥ ε ) = 0 n∞ Ha a ζ n = ς − p változók sorozata sztochasztikusan konvergál 0-hoz, ahol p egy állandó, akkor azt mondjuk, hogy az ς n változók sztochasztikusan konvergálnak a számhoz, amelyet az változók sztochasztikus határértékének nevezünk. Ez esetben tehát lim Ρ ( ς n − p ≥ ε ) = 0 n∞ Bernoulli tétele Legyen A egy tetszőleges véletlen esemény, melynek valószínűsége p > 0 . Végezzünk n számú kísérletet, melynek mindegyikének eredménye vagy az A vagy az A esemény bekövetkezése. Jelentse k az n kísérlet közül azok számát, melyeknél az A esemény k bekövetkezett, pedig az A esemény relatív gyakorisága. E jelölések mellett annak a n 72 valószínűsége, hogy k − p < ε 1-hez konvergál, ha n ∞ , akármilyen kis pozitív szám is ε , n azaz  k lim Ρ  − p < ε  = 1 n 8  n  A tétel állítása

nyilván megfogalmazható a  k lim Ρ  − p ≥ ε  = 0 n 8  n  alakban is. A nagy számok törvényének általánosabb alakja a következő: Legyenek ζ 1 , ζ 2 ,., ζ n páronként független és egyforma eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek létezzen az Ε = Ε (ζ n ) közös várható értéke és D = D(ζ ) közös szórása. Ekkor a ζ 1 + ζ 2 +.+ζ n n sztochasztikusan konvergál Ε -hez. A nagy számok ezen ún. gyenge törvényének további általánosításai is léteznek, amelyeknél már el lehet tekinteni attól, hogy létezzen a közös várható érték és a közös szórás, sőt még a páronkénti függetlenségtől is el lehet tekinteni. Megjegyezzük, hogy létezik a nagy számok ún erős törvénye is. 73 8.B Statisztikai mintavétel A statisztikai mintavétel jellemzői : empirikus várható érték, medián, terjedelem, empirikus eloszlásfüggvény, hisztogram tapasztalati szórásnégyzet. Statisztikai

mintavétel: a matematikai statisztika a valószinüségszámitás egy önálló fejezete, amely a megfigyelések és mérések eredményeiből az un.statisztikai adatokból következtet események ismeretlen valószinüségeire vagy valószinüségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényeire és ezek paramétereire. Következtetései un valószinüségi itéletek, amelyeknek a bizonytalanságaiból fakadó hatásokat is számitásba tudjuk venni . A matematikai statisztika feladata egyrészt az előbbiekben emlitett problémák kezeléséhez olyan módszerek kidolgozása , amelyekkel a jelenségek megfigyeléséből, mérések útján előállitott tapasztalati adatokból a keresett elméleti értékekre, az eloszlásfüggvények paramétereire a lehető legtöbb információt nyerhetjük, másrészt az adatokat szolgáltató kisérletek optimális tervezése. Statisztikai sokaságnak nevezzük az elemek olyan halmazát, amelyeknek tulajdonságait a matematikai statisztika

fogalmaival és módszereivel jól jellemezhetjük. A statisztikai sokaság egészének vizsgálata gyakran kivihetetlen vagy csak igen nagy fáradtsággal és költséggel valósitható meg, ezért a vizsgálat céljára kiválasztjuk egy részét, amelyet mintának nevezünk. A mintavétel azt jelenti, hogy a statisztikai sokaságból véletlenszerűen többször kiválasztunk bizonyos bizonyos számú elemet. Alapsokaságnak nevezzük az egyedeknek azt a halmazát, amelyből a mintavétel során a mintát vesszük. A statisztikai mintavétellel támasztott alapkövetelmény, hogy az reprezentativ mintavétel legyen. Általános értelemben reprezentativ a véletlen mintavétel, ha minden lehetséges mintának egyenlő valószinűsége van a kiválasztásra. Az alapsokaságból kiválasztott X1 X2 Xn mintaelemekkel szemben fontos követelmény, hogy hűen tükrözze azt a sokaságot, amelyből való és a lehető legtöbbinformációt nyújtsa az ismeretlen eloszlásról.Ez

elérhető, ha a mintaelemek eloszlása azonos és az alapsokaságéval is megegyező, továbbá ,ha a mintaelemek összességükben független valószinüségi változók. Az első követelmény azt jelenti, hogy P(Xi<X)=F(x) feltételnek i-től függetlenül kell teljesülni. Ekkor mondhatjuk azt, hogy a véletlenszerűen kiválasztott mintaelemek reprezentálják az alapsokaságot. Gyakran az a követelmény, hogy a statisztikai mintavétel csak bizonyos jellemzők szempontjából legyen reprezentativ, ilyenkor un. rétegezett mintavételt alkalmazunk Előfordulhat, hogy az alapsokaság elemeinek elhelyezkedése véletlenszerűnek tekinthető, ilyenkor a mechanikus (szisztematikus) mintavétel is alkalmazható, pl. az elemek közül minden 30-adikat választjuk ki A matematikai tárgyalás szempontjából a ststisztikai mintavételből származó minta elemeit független, egyenlő eloszlású valószinüségi változóknak tekintjük. Statisztikai minta jellemzői: legyen az X

valószinüségi változó eloszlásfüggvénye F(x) . Tekintsük az X-re vonatkozó X1, X2,.,Xn n elemű mintát Mivel a minta elemeinek kiválasztása véletlenszerűen történik, azok is valószinűségi változók. pl az X valószinűségi változóra vonatkozó n-elemű méréssorozat n-szeri elvégzésével kapott Xi1, Xi2,.,Xin i=(1,2,,n) eredménysorozat általában nem azonos. Igy nyilvánvaló hogy az X1, X2,,Xn mintaelemek valószinűségi változók, X-szel azonos eloszlásúak és egymástól függetlenek. Az X változó mintaelemei meghatározzák a tapasztalati(empirikus) vagy mintaelosztást, amely a tapasztalati eloszlásfüggvénnyel vagy a gyakorisági eloszlással jellemezhető. A minta elemeiből kiszámitott értékek a statisztikai függvények, röviden statisztikák, amelyek közül a legfontosabbak a mintaközép vagy számtani közép, a medián, a mintaterjedelem és a tapasztalati szórás. DEFINICIÓ : az X1, X2,.,Xn n elemű minta X mintaközepének,

mintaátlagának vagy számtani n x1 + x2 +.+ xn közepének (empirikus várható értéknek) az X = = ∑ X i képlettel meghatározott n i =1 n számértéket nevezzük. Az egyes mintaelemek Xi - X eltérése i=(1,2,,n) összegezve mindig zérus Ha az F(x) eloszlásfüggvényről feltesszük, hogy folytonos, akkor 1 a valószinűsége annak , hogy a mintaelemek között két egyenlő érték nem fordul elő.Ekkor a minta elemeit nagyság szerint 74 rendezhetjük.Az * ha x1* , x2 ,., xn* rendezett mintaelemek közül a medián (középső eleme) X m+1 X m* + X m +1 ha n=2m páros szám. 2 DEFINICIÓ : a x1* , x2 ,., xn* véletlen minta Fn(x) tapasztalati(empirikus) eloszlásfüggvénye k Fn(x)= 0 ha x ≤ X 1* , ha X k < x ≤ X k+1 k=(1,2,.,k-1) , 1 ha X n* <X képlettel határozzuk meg, ahol n k k jelenti az x-nél kisebb mintaelemek számát pedig a relativ gyakoriságot. n n=2m+1 páratlan szám, Az Fn(x) tapasztalati eloszlásfüggvény monoton, nem csökkenő ,

balról folytonos lépcsős függvény a mintaelemek által megszabott ugráspontokkal.Nagy minták esetén a tapasztalati eloszlásfüggvény helyett célszerűbb az un közelitő tapasztalati eloszlásfüggvényt használni, amelynél az ugrás nagysága 1/n helyett gi =fi/n reletiv gyakoriság , ahol fi az (Xi-1; xi] intervallumba eső mintaelemek száma. Közelitő tapasztalati eloszlásfüggvény előállitása : a) az X1, X2,.,Xn mintából kikeressük a legkisebb a és a legnagyobb elemet b és az (a,b) intervallumot X0=a, X1, X2,.,Xr =b osztópontokkal r egyenlő vagy nem egyenlő részre osztjuk, un. osztályközöket képezünk. b) megállapitjuk az egyes intervallumokba eső mintaelemek számát, azaz az egyes intervallumok gyakoriságát, az f1, f2,.,fr értékeket amelyek összege f1+f2++fr =n c)kiszámitjuk az intervallumok relativ gyakoriságát gi= fi/n (i=1,2,.,r ; g1+g2++gr=1) d) Az Fn( r ) ( x ) közelitő tapasztalati eloszlásfüggvényt koordinátarendszerben

ábrázoljuk. A valószinűségi eloszlást is szemléltethetjük ha a koordinátarendszerben minden (Xi-1;Xi) intervallum fölé fi-vel arányos magasságú paralelogrammát rajzolunk. Ha a magasságot éppen ginek vesszük akkor az un relativ gyakoriság hisztogramját kapjuk Ha a koordinátarendszerben gi minden (Xi-1;Xi) részintervallum fölé (i=1,2,.,r) magasságú téglalapot szerkesztünk, xi − xi −1 akkor az un. sűrűséghisztogramot kapunkA téglalapok területösszege 1 Tapasztalati szórásnégyzet: s2 a mintaelemek mintaközéptől való eltérései négyzetének számtani ( X − X ) 2 ( X 2 − X ) 2 +.+ ( X n − X ) 2 közepe , azaz s2= 1 . E képlet helyett kis számú minta esetén n n korrigált tapasztalati szórásnégyzetet használjuk s* = 2 ∑ (x i − x) 2 i =1 n −1 . Nagy mintaelemszám esetén az n 2 s2 és s* ∑ (x i közötti eltérés elhanyagolható. A tapasztalati szórást az s= n ∑ (x i − x) 2 i =1 n a korrigált −

x) 2 i =1 képlettel számitjuk ki.Az X1, X2,,Xn mintához tartozó kn −1 1 adik tapasztalati momentum , mk= ( x1k +. + xnk ) (k=1,2,,n) képlettel végezzük n tapasztalati szórást s*= 75 9.B Statisztikai becslések, a pontbecslés módszere, konfidencia-intervallum, a várható érték becslése, a szórás becslése. A statisztikai becsléselmélet a valószínűség-eloszlások ismeretlen adatainak, paramétereinek a mintából való közelítő meghatározásával, más szóval becslésével foglalkozik. Ha valamelyik ismeretlen paramétert egyetlen számértékkel becsüljük, akkor pontbecslésről, ha pedig egy olyan intervallummal, amely nagy valószínűséggel tartalmazza az ismeretlen paramétert, akkor intervallumbecslésről beszélünk. A pontbeli becslés módszere: Ha az x valószínűségi változó eloszlásfüggvénye k számú ismeretlen paramétertől függ, azaz F(x; a1, ., ak) és az x-re vonatkozó n számú mérés eredménye a X1,X2.Xn minta,

akkor az ismeretlen ai állandók becslését a mintaelemek bi=bi(x1, . xn) függvényei, statisztikai segítségével végezzük. A bi függvényeket az ai paraméterek statisztikai becsléseinek nevezzük. Például: egy X valószínűségi változó várható értékének becslésére használhatjuk a mintaátlagot, vagy a X szórásnégyzetet, vagy a D2(X) korrigált tapasztalati szórásnégyzetet. Felmerül a kérdés, hogy a bi becslő függvényeknek milyen feltételeknek kell eleget tenniük ahhoz, hogy a becslést “jónak” tekinthessük. Alapvető követelmény, hogy a becslés torzítatlan legyen, azaz bi statisztika olyan kell, hogy legyen ha “a” jelenti a becsülendő paraméter elméleti értéket, akkor a bi várható értéke meg kell, hogy egyezzen az “a” értékével: E(bi(X1, ., Xn))=a Például a várható érték torzítatlan becslése a mintaátlag, a D2(X) szórásnégyzeté pedig a korrigált tapasztalati szórásnégyzet, azaz az S*2. Az S2-tel

kapcsolatosan lim E ( S 2 ) = D 2 ( X ) n∞ teljesül, azaz csak aszimptatikusan torzítatlan becslés. A második követelmény a hatásosság. A becslést hatásosság szempontjából akkor mondjuk “jónak”, ha a bi statisztikának minél kisebb a szórása. például a lineáris becslések közül a várható értékre vonatkozóan a mintaátlag a legkisebb szórású, azaz a leghatásosabb. Harmadik követelmény a konzisztencia, amely azt jelenti, hogy elegendő nagy n esetén a bi statisztika nagy valószínűséggel jól megközelíthető a paraméter értékét. Ha a bi torzítatlan becslése az “a” paraméternek és szórásnégyzete az n növekedésével 0-hoz tart, akkor azt mondjuk, hogy bi az “a”-nak erősen kozisztens becslése. Végül negyedik követelmény az elégségesség, ami azt jelenti, hogy a bi statisztika eloszlása a mintaelemekből nyerhető minden információt megad a kérdéses paraméterre vonatkozólag. 76 Konfidencia-intervallum:

Gyakran az eloszlásfüggvény valamely paramétere pontos értékének becslése helyett megelégszünk azzal, hogy a mintaelemek két statisztikai függvényével megadunk egy intervallumot, amely előirt valószínűséggel tartalmazza az ismeretlen paramétert. Függjön a X valószínűségi változó eloszlása az “a” álladótól: P(X<X)=F(x;a) Feladatunk az “a” paraméter meghatározása a X-re vonatkozó X1, X2, ., Xn minta alapján Tegyük fel, hogy adott 1-ε valószínűséggel találtunk olyan α1= α1(X1, X2, ., Xn) és α2=α2(X1, X2, , Xn) statisztikákat, hogy az ismeretlen állandó 1-ε valószínűséggel esik az (α1, α2) intervallumba. Ekkor azt mondjuk, hogy az (α1, α2) a paraméterre 1-ε megbízhatósággal konfidencia-intervallum. Példaként tekintsünk egy X normális eloszlású valószínűségi változót ismert σ1 szórással, de ismeretlen “a” várható értékkel. Tekintsük X-re egy n elemű mintát. Tudjuk, hogy ennek X

mintaátlaga ugyancsak “a” várható σ0 X −a értékű normális eloszlású szórással. Így a n standard normális eloszlású σ0 n valószínűségi változó lesz, amely felírható a P ( −U φ ≤ X −a σ0 ≤ U ε ) = 1 − ε reláció, ahol Uε az 1- ε=2ϕ(Uε)-1 relációból határozhatjuk meg, ahol ϕ(x) a standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Így tehát 1-ε valószínűséggel következik be, hogy −U ε ≤ X −a σ0 n ≤ Uε vagyis, hogy X − Uε σ0 n ≤ a ≤ X ≠ Uε σ0 n Ily módon az “a” várható értékére konfidencia-intervallumot kaptunk, amelynek végpontjai X − Uε σ0 n és X + U ε σ0 n statisztikák. A valószínűségi eloszlást szemléltethetjük, ha a koordinátarendszerben minden (xi-1, xi) intervallum fölé fi-vel arányos magasságú téglalapot (gyakorisági hisztogram) vagy gi-vel arányos magasságú téglalapot (relatív gyakorisági hisztogram)

rajzolhatunk. Ha a koordinátarendszerben minden (xi-1, xi) részintervallum fölé gi i = 1, 2, ., n x i − x i −1 magasságú téglalapokat szerkesztünk, akkor az ún. sürüséghisztogramot kapunk 77 10.B Statisztikai hipotézisek vizsgálata; u-próba, t (student)-próba, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat. Ipari minőségellenőrzés gyakorlatában gyakran előforduló példa a következő: valamely alkatrész gyártásának beindításakor, vagy minta alapján meghatározzuk a gyártmány valamely méretének várható értékét és szórását: legyenek ezek az a0 és σ0. A tapasztalat szerint a szórás nem szokott időben változni, ellenben a várható érték néha "elcsúszik". Ennélfogva időről-időre ellenőrizni szokás kis minta alapján, hogy a várható értékben nem történt-e változás. ξ-vel jelölve a méret nagyságát, D(ξ)=σ0 Ugyanakkor vizsgálnunk kell a minta alapján a H0: E(ξ)=a0 nullhipotézist. Egy ilyen

hipotézis vizsgálatára szolgáló eljárást statisztikai próbának fogjuk nevezni. A legtöbb esetben feltesszük, hogy a ξ eloszlása normális Ha a H0 nullhipotézis nem áll fenn, akkor a ξ szórására az a lehetőség marad, hogy eloszlása normális, szórása σ0, de várható értékére a H1: Ε(ξ) ≠ a0 áll fenn. Ezt a hipotézist "kétoldali" ellenhipotézisnek nevezzük Az ellenhipotézis (alternatív hipotézis) lehetett volna még a H1: Ε(ξ) > a0, vagy H1: Ε(ξ) < a0 "egyoldali" hipotézis is. Az előbbi problémának megfelelő valamely statisztikai problémát általánosan a következőképpen fogalmazhatjuk meg: Adott a ξ a valószínűségi változó, amelynek eloszlására vonatkozólag elméleti és gyakorlati megfontolásból tudjuk, hogy az eloszlásfüggvények bizonyos F halmazának eleme. Legyen ezen összesség valamely eloszlása a τ paraméterrel meghatározva, azaz Θ={τ} és egy eloszlásfüggvény F(x,τ),

τ∈Θ. Kérdés már most, hogy a ξ változó tényleges eloszlását meghatározó τ paraméter a Θ valamely ω0 részhalmazának eleme, vagy pedig az ω1=Θ ω0 -hoz tartozik. A nullhipotézis tehát ω0∈Θ H0: τ∈ω0 az alternatív hipotézis pedig H1: τ∈ω1=Θω0 Ezen kérdést a ξ-re vonatkozóan minta segítségével statisztikai próbával válaszolhatjuk meg. Ha ω0 egy elemű, akkor egyszerű, különben összetett hipotézisről beszülünk. A hipotézisvizsgálat célja a felállított hipotézis helyességének ellenőrzése a szóban forgó statisztikai minta alapján, és döntéshozatal a nullhipotézis elfogadásáról, vagy elvetéséről, vagyis az ellenhipotézis elfogadásáról. A hipotézisvizsgálat menete: 1. A ξ valószínűségi változóra vonatkozó n elemű mintából a kérdéses paraméterrel és H0 hipotézissel kapcsolatos alkalmat statisztika készítése. 2. Az úgynevezett elsőfajú hiba valószínűségének és az úgynevezett

elfogadási tartománynak (ω0) a megadása. Ha ε jelöli az elsőfajú hiba valószínűségét (azaz azon hibáét, amit akkor követünk el, ha elvetjük H0 hipotézist, bár az igaz), akkor az elfogadási tartományra fennáll, hogy P(h(ξ1, . ξn) ∈ ω0) ≥ ε ahol h(ξ1, ξn) a mintaelemekből készített statisztikát jelöli 3. Meg kell adnunk az ω1 kritikus tartományt is, azaz el kell döntsük, hogy mit tekintünk alternatív hipotézisnek. 78 4. Az előbbi lépéseket követi a döntés Ha h(ξ1, ξ0, ξn)∈ω0, akkor a H0 hipotézist 1-ε szinten elfogadjuk, különben elvetjük. Az ε számot a próba szignifikancia szintjének nevezzük. Másodfajú hibát akkor követünk el, ha elfogadjuk a H0 hipotézist, bár az nem igaz. (Az elfogadás amiatt következett be, mert a h(ξ1, ξ0, . ξn) statisztika ω0-ba tartozott) Statisztikai próbák Egymintás u-próba Legyen ξ egy normális eloszlású valószínűségi változó ismert σ0 szórással és

ismeretlen várható értékkel. A H0 hipotézis a ξ várható értékére vonatkozik: H0 : ∃(ξ) = a0 Ennek alternatív hipotézise legyen a H1 : ∃(ξ) ≠ a0 Készítsük el az ξ − a0 u= n σ0 statisztikát. Ha a H0 fennáll, akkor u∈ N(0,1) Így meghatározható az Uε értéke úgy, hogy ε szignifikanciaszint mellett P(-uε < u < uε / H0) = 1- ε Ha |u|<uε, akkor a H0 hipotézist elfogadjuk, különben elvetjük. Kétmintás u-próba Legyenek ξ és ς normális eloszlású valószínűségi változók ismert σ1, σ2 szórással. Legyenek H0 : ∃(ξ) = ∃(ς) H1 : ∃(ξ) = ∃(ς) Készítsük el az ξ −ς u= n, m a minták elemszámát jelölik. σ1 n 2 + σ2 2 m statisztikát. Ha a H0 hipotézis igaz, akkor u∈N(0,1) Így adott ε>0-hoz meghatározható az előbbi u-próbában szereplő uε érték. Itt is úgy döntünk, hogy H0-at elfogadjuk, ha |u|<uε, különben elvetjük. t (student) - próba Legyen a ξ normális eloszlású,

amelynek sem a várható értékét, sem a szórását nem ismerjük. Legyenek H0 : ∃(ξ) = a0 H1 : ∃(ξ) ≠ a0 Készítsük el a ξ − a0 t n −1 = n σn * statisztikát, amely ha H0 igaz, akkor n-1 paraméterű Student eloszlású lesz. Minthogy a tn-1 eloszlása nem függ az ismeretlen σ értékétől, ennélfogva az elsőfajú hiba valószínűsége is független σ-tól, annak minden értékére azonos ε-nal. A tε értékét a P(-tε < tn-1 < tε / H0) = 1 - ε 79 feltételnek megfelelően határozzuk meg. Ha |tn-1|<ε, akkor a H0 hipotézist elfogadjuk, különben elvetjük. Kétmintás t-próba Legyenek ξ és ς normális eloszlású valószínűségi változók ismeretlen várható értékkel és ismeretlen, de egyenlő szórással. (Ez utóbbit F próbával kell ellenőriznünk!) Legyenek H0 : ∃(ξ) = ∃(ς) H1 : ∃(ξ) ≠ ∃(ς) Készítsük el a ξ −ς n ⋅ m( n + m + 2) t n + m− 2 = 2 2 n+ m ( n − 1) S n * + ( m − 1) S m

statisztikát, amely a H0 hipotézis fennállása esetén n+m-2 paraméterű Student eloszlást követ. Ez utóbbi miatt adott ε>0-hoz az egymintás t-próbának megfelelően határozzuk meg a tε számot. Ha |tn+m-2|<tε, akkor H0-at elfogadjuk, különben elvetjük. 80 11.B Korreláció és regressziószámítás : A legkisebb négyzetek módszere A tapasztalati úton kapott n számú (xk,yk) k=1,2,.,n értékpárhoz megalkotjuk a megfelelő y=ϕ(x;a1, a2, . am) m<n, x∈R empírikus képlettípust az a1, a2, am paraméterekkel Mivel az adatokat véletlenszerű mérési hibák terhelik, ezért az yk mért értékek és a ϕ függvény xk helyen vett helyettesítési értékei általában εkk=1,2,.n Az εk mérési hibákról (a tapasztalatok szerint) általában feltehető a függetlenség és az N(O,δ) normális eloszlás. A feladat tehát olyan y=ϕ(x;a1, .am) m<n, függvény meghatározása, amely minimalizálja a mérési hibák hatását, azaz az

eltérések négyzetösszegét, a n ∑ 2 ε k -et. k =1 Ez azt jelenti, hogy képeznünk kell az n F 8a1 ,., a m ) = ∑ [ y k − ϕ ( x k ; a1 a m ] 2 k =1 függvény minimumát, amely az a1, . am változók nemnegatív függvénye Ha ϕ a paraméterek szerint differenciálható, akkor a feladat visszavezethető a 0F 0F = 0,. =0 0 a1 0a m egyenletrendszer megoldására. Ebből meghatározhatjuk az m paraméter értékét és azt behelyettesíthetjük az empírikus képletünkbe. A véletlen hiábkkal rendelkező mérési adaűűűtok alapján meghatározott y=ϕ(x;a1,.am) m<n, x∈R, a1.am∈R függvényt regressziós függvénynek vagy regressziós görbének szokás nevezni 81 Tartalomjegyzék 1.A A halmaz fogalma, műveletek 2 2.A Komplex számok: algebrai, trigonometrikus, exponenciális alak 4 3.A Matematikai logika: ítéletek, műveletek, kifejezések 7 4.A

Kombinatorika : permutáció, kombináció, variáció 9 5.A Gráf fogalma, jellemzői, fák 12 6.A A vektor fogalma (geomteriai, koordinátás alak) műveletek Az egyenes és a sík egyenletei 14 7.A Számsorozatok, a határérték, műveletek, nevezetes sorozatok 16 8.A Függvény határértéke, folytonossága 18 9.A A differenciálhányados fogalma. Differenciálási szabályok Elemi függvények deriváltjai 20 10.A A differenciálhányados alkalmazásai : Taylor polinom, L’ Hospital szabály 22 11.A Függvények diszkussziója : monotonság, szélsőérték, konvexség, konkávság 24 12.A A határozott integrál, alapintegrálok, integrálási szabályok (parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel).

26 13.A A határozott integrál: definíciója; a Newton-Leibniz formula Improprius integrál Területszámítás, forgástest térfogata. 30 14.A Kétváltozós függvények, definíció, a parciális derivált a szélsőérték 34 15. A Elsőrendű differenciálegyenletek, szétválasztható, lineáris differenciálegyenletek megoldása. 38 16.A Másodrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek 42 17.A n-dimenziós vektorok; műveletek, lineáris függetlenség, bázis 46 18.A Mátrixok Műveletek Elemi transzformációk A determináns Négyzetes mátrix inverze 48 19.A Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága, a Cramer-szabály, a Gauss-féle módszer 52 1.B Események, eseménytér, műveletek eseményekkel A valószínűségszámítás

matematikai fogalma. 54 2.B A feltételes valószínűség , a szorzási tétel , a teljes valószínűség tétele, Bayes tétel . 57 3.B A diszkért valószínűségi változó A várható érték, a szórás Valószínűségi változók együttes és peremeloszlásai. A korrelációs együttható 58 4.B Nevezetes diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás Poisson eloszlás Hipergeometrikus eloszlás. 62 5.B Folytonos valószínűségi változó Az eloszlásfüggvény, a sűrűségfüggvény A várható érték, a szórás. 65 6.B Nevezetes folytonos eloszlások : egyenletes eloszlás, exponenciális eloszlás, normális eloszlás. 69 7.B A Csebisev

egyenlőtlenség, a nagy számok törvénye 72 8.B Statisztikai mintavétel A statisztikai mintavétel jellemzői : empirikus várható érték, medián, terjedelem, empirikus eloszlásfüggvény, hisztogram tapasztalati szórásnégyzet. 74 82 9.B Statisztikai becslések, a pontbecslés módszere, konfidencia-intervallum, a várható érték becslése, a szórás becslése. 76 10.B Statisztikai hipotézisek vizsgálata; u-próba, t (student)-próba, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat. 78 11.B Korreláció és regressziószámítás : A legkisebb négyzetek módszere 81 83