Fizika | Felsőoktatás » Elektrosztatika bevezetés

1 BEVEZETÉS Elektrosztatika 1. Bevezetés Hosszú (relaxációs időnél hosszabb) időfejlődés után minden fizikai rendszer általában statikus egyensúlyi állapotba kerül, ahol minden állapotváltozás megszűnik. Elektrosztatika: nyugvó elektromos töltések által létrehozott elektromos mezők vizsgálata. Nincsenek mozgó töltések és állapotváltozások az elektromos áramsű- rűség, a mágneses mező és minden időderivált eltűnik. 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK 2. Töltött testekre ható erő és forgatónyomaték Makroszkopikus testre ható erő és forgatónyomaték származtatásához osszuk fel az általa kitöltött V térrészt kicsiny Vi darabokra. ρ(~r) töltéssűrűség esetén az ~ri középpontú Vi pontszerű térrész elektromos töltése qi = ρ(~ri ) Vi , így a rá ható erő és (origóra vonatkoztatott) forgatónyomaték ~ i = qi E(~ ~ ri ) = ρ(~ri ) Vi E(~ ~ ri ) F és   ~ i = ~ri × F ~ i = ρ(~ri )

Vi ~ri × E(~ ~ ri ) N 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK A teljes erő és forgatónyomaték ezen tagok összege, amennyiben a felosztást minden határon túl finomítjuk ˆ ~ = lim F X ~i = F i ~ = lim N ~ r) d3~r ρ(~r) E(~ V ˆ X ~i= N i  ~ r) d3~r ρ(~r) ~r × E(~ V Megjegyzés: közel homogén töltéseloszlás esetén ρ(~r) ≈ Q , így jó közeV ´ ~ ≈ QE ~ av , ahol Q = ρ(~r) d3~r a test összes töltése és lítéssel F V ~ av E 1 = |V| ˆ ~ r) d3~r E(~ V az átlagos térerősség. 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK Elektromos dipólus: két azonos nagyságú, de ellentétes előjelű ponttöltésből álló, elektromosan semleges rendszer (a ponttöltések közötti elektrosztatikus vonzást valamilyen más erőhatás kompenzálja). Pontszerű dipólus: a töltések közötti távolság elhanyagolható (a jellemző méretekhez, pl. megfigyelési távolsághoz képest) Sok molekula töltéseloszlása

aszimmetrikus (poláris molekulák, pl. H2 O, NH3 , HCl) makroszkopikus skálán pontszerű dipólusként viselkednek. 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK A dipólusra ható erő és (középpontra vonatkoztatott) forgatónyomaték az egyes töltésekre ható erők és forgatónyomatékok összege: n o ~ = qE ~ + − qE ~− = q E ~ + −E ~− F o ~d ~d n ~d q ~ = ×q E ~ + − ×(−q) E ~− = ~ + +E ~− N × E 2 2 2 ahol ~d a negatív ponttöltést a pozitívval összekötő vektor, és 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK ~d
~± = E ~ ~r ± E 2 a térerősség az egyes töltések helyén (~r a középpont helyvektora). Tekintsük a fenti kifejezések ~d szerinti Taylor-sorát ~d
~d ~ ~ ~ ~ + . E± = E ~r ± = E(~r) ± · grad E 2 2 ahonnan |~d| 0 határesetben (pontszerű dipólus) ~ = (q~d) · E(~ ~ r) + . F illetve ~ = (q~d) × E(~ ~ r) + . N a legalacsonyabb rendű nemeltűnő tagok. 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ

ÉS FORGATÓNYOMATÉK Pontszerű dipólust teljes mértékben jellemzi ~p = q~d momentuma ~ = ~p ·grad E ~ F és ~ = ~p × E(~ ~ r) N Homogén elektromos mezőben nem hat erő a dipólusra! Forgatónyomaték mindig hat a dipólusra, kivéve, ha a dipólus momentuma párhuzamos a térerősséggel. Az elektromos mező addig forgatja a dipólusokat, amíg azok momentumai nem válnak párhuzamossá a térerősség irányával. 3 A COULOMB-TÖRVÉNY 3. A Coulomb-törvény Két pontszerű töltés között ható elektromos erő az őket összekötő egyenes mentén hat, és nagysága (mely arányos a töltések nagyságával) fordítva arányos a távolságuk négyzetével Q1 Q2 ~ |F| ∝ r2 3 A COULOMB-TÖRVÉNY Észrevétel. Fordított négyzetes távolságfüggés esetleges ~ ∝ |F| 1 r2+ε sértésének jelenlegi kísérleti korlátja |ε| < 10 -15 . Coulomb-törvény ~ helyvektorú pontba helyezett q vákuumban, az R nagyságú ponttöltés elektromos

térerőssége az ~r helyvektorú pontban ~ q(~r − R) ~) q,R ( ~ E (~r) = ~ 3 ~r − R 3 A COULOMB-TÖRVÉNY Szuperpozíció elve: töltésrendszer által kifejtett erő a rendszert alkotó töltések által kifejtett erők (vektoriális) összegével egyenlő. ~ 1 ), . , (qn , R ~ n ) ponttöltések rendszerének elektrosztatikus mezejé(q1 , R nek térerőssége vákuumban ~ r) = E(~ n X i=1 ~ i) ~ (qi ,R E (~r) = n X ~ i) qi (~r − R i=1 ~ ~r − R 3 ρ(~r) térfogati töltéssűrűségű folytonos töltéseloszlás esetén osszuk fel a teret Vi infinitezimálisan kicsiny (pontszerű) térrészekre: ezek mindegyi~ i ) Vi , ahol R ~ i jelöli a Vi térrész valamely pontkének töltése qi = ρ(R jának helyvektorát. A felosztást minden határon túl finomítva kapjuk, hogy 3 A COULOMB-TÖRVÉNY ~ r) = lim E(~ n X ~ i) ~ (qi ,R E i=1 n ~ i ) Vi (~r − R ~ i) X ρ(R (~r) = lim 3 ~ ~ r − R i=1 ˆ ~ (~r − R) 3~ ~ d R = ρ(R) 3 ~ ~r − R Hasonlóan,

egy η(~r) sűrűségű, a Σ felületen lokalizált folytonos töltéseloszlás térerőssége ˆ ~ r) = E(~ Σ ~ (~r − R) ~ η(R) d~s 3 ~ ~r − R Integrálok linearitása + szuperpozíció-elv + fordított négyzetes távolságfüggés következményeként 3 A COULOMB-TÖRVÉNY 1. Az elektrosztatikus mező konzervatív: egy q nagyságú ponttöltésnek a γ görbe mentén történő mozgatása során végzett ˆ ~ r)·d~r q E(~ W [γ] = γ munka csak a görbe végpontjaitól függ ´ γ ~ r)·d~r = 0 bármely E(~ zárt görbére, amiből (Stokes-tétel felhasználásával, γ-t egy pontra ~ = 0: az elektrosztatikus mező örvénymentes! zsugorítva) rot E 2. Ha egy V térrészben található összes töltés Q, akkor ˆ ~ r)·d~s = 4πQ E(~ ∂V Gauss-törvény 4 ELEKTROSZTATIKUS POTENCIÁL 4. Az elektrosztatikus potenciál ~ = ~0 következtében létezik olyan Φ(~r) skalármező (elektrosztatikus rot E potenciál), hogy ~ r) = −grad Φ(~r) E(~ Fizikai

interpretáció: ˆ Φ(~r2 ) − Φ(~r1 ) = ˆ ~ r)·d~r E(~ grad Φ(~r)·d~r = − γ γ bármely ~r1 -et ~r2 -vel összekötő γ görbére, ahol a jobb oldalon az egységnyi ponttöltés γ mentén történő mozgatásához szükséges munka áll. 4 ELEKTROSZTATIKUS POTENCIÁL Csak a potenciál-különbségeknek van fizikai értelme, a potenciál maga csak egy additív konstans erejéig meghatározott (mértékinvariancia): mivel grad A = ~0, ezért Φ0 (~r) = Φ(~r) + A ugyanazt az elektrosztatikus mezőt írja le mint Φ(~r) potenciál szokásos normálása Φ(∞) = 0 (ha lehetséges). Potenciálfogalom haszna: elektrosztatikus mező jellemzése egyetlen skalármezővel egy vektormező három (nem független!) komponense helyett (egyszerűsödés ára, hogy az egyenletek nem első, hanem másodrendűek). 4 ELEKTROSZTATIKUS POTENCIÁL ~ − ~r R = grad ~ ~ 3 |~r − R| ~r − R 1   ~ helyvektorú pontba helyezett q nagyságú ponttöltés elektromiatt az R

sztatikus potenciálja q ~ Φ(q,R) (~r) = ~ |~r − R| Szuperpozíció elve: töltésrendszer potenciálja a rendszert alkotó töltések ismert ρ(~r) térfogati és η(~r) felületi töltéssű- potenciáljainak összege rűségű folytonos töltéseloszlás potenciálja ˆ Φ(~r) = ~ ρ(R) ~ + d3 R ~ |~r − R| ˆ ~ η(R) |d~s| ~ |~r − R| 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE 5. Pontszerű dipólus elektrosztatikus tere ~ ± helyvektorú pontokban elhelyezett ±q ponttöltések Tekintsük egy, az R által alkotott elektromos dipólust. ~ + −R ~ − jelölje a két töltést összekötő vektort, míg R ~ = (R ~ + +R ~ − )/2 ~a = R a dipólus töltésközéppontjának helyvektorát; nyílván 1 ~ ~ R± = R ± ~a 2 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE A potenciál az ~r pontban, elemi átalakítások után
~ ~ q |~r − R− | − |~r − R+ | q q Φ(~r) = − = ~ + | |~r − R ~ −| ~ + ||~r − R ~ −| |~r − R |~r − R

~ ~ ~ ~ q

|~r − R− | − |~r − R+ | |~r − R− | + |~r − R+ | =
~ ~ ~ ~ |~r − R− | + |~r − R+ | |~r − R+ ||~r − R− |
2 2 ~ ~ |~r − R− | − |~r − R+ | q =
~ ~ ~ ~ |~r − R+ ||~r − R− | |~r − R− | + |~r − R+ | felhasználva a tetszőleges Innen, ~ )·(~v − w ~ ) azonosságot |~v|2 − |~ w|2 = (~v + w vektorokra érvényes ~−−R ~ + ) · (R ~+−R ~ −) q(2~r − R Φ(~r) =
~ ~ ~ ~ |~r − R+ ||~r − R− | |~r − R− | + |~r − R+ | ~ · ~a 2q(~r − R) =
~ ~ ~ ~ |~r − R+ ||~r − R− | |~r − R− | + |~r − R+ | 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE ~ esetén Pontszerű dipólus (|~a|  |~r − R|) ~ + | ≈ |~r − R ~ − | ≈ |~r − R| ~ |~r − R ezért legalacsonyabb rendben ( ~p = q~a a dipólmomentum-vektor) ~ ~p · (~r − R) Φ(~r) = ~ 3 ~r − R Innen az elektromos térerősség
3 ~n ·~p ~n − ~p ~ E(~r) = −grad Φ(~r) = ~ 3 ~r − R ahol ~ ~r − R ~n = ~ ~r − R a dipólustól a megfigyelési

pont irányába mutató egységvektor. 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE Hengerszimmetrikus elektrosztatikus mező, melynek tengelye párhuzamos a ~p dipólmomentummal. A potenciál a távolság négyzetével, míg a térerősség a távolság köbével fordítva arányosan csökken bármely adott irány mentén: nagy |~r| esetén 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE (a dipólustól messze) |~p| ~ |E(~r) | ∝ |~r|3 ~ esetén, vagyis a dipólus helyén, Észrevétel. A potenciál szinguláris ~r = R így a fenti eredmények csak a dipólustól elég nagy távolságra érvényesek. A dipólus közvetlen közelében érvényes viselkedés leírható egy szinguláris, ún. kontakt taggal, melynek következtében a térerősség módosított alakja
3 ~n ·~p ~n − ~p 4π ~ p ~ δ(~r − R)~ E(~r) = − 3 3 ~ ~r − R Itt δ(~r) a Dirac-féle delta-függvényt jelöli. 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE Pontszerű dipólusok közötti

erőhatás származtatásához tekintsünk két, ~p1 és ~p2 momentumú dipólust egymástól r távolságra. Válasszunk olyan Descartes-koordinátákat, melyek origójában található az első, z-tengellyel párhuzamos momentumú dipólus, azaz ~p1 = p1~ez , és amelyek xz-síkja tartalmazza a második, (x, y, z) pontban található dipólust, azaz ~p2 = p2 sin θ ~ex +p2 cos θ ~ez (itt θ a két momentum irányai által bezárt szög, p és r = x2 + y 2 + z 2 a távolságuk). Az első dipólus által a másodikra kifejtett erő ~ = ~p2 · grad E ~ = p2 F ~ ~ ∂E ∂E sin θ + cos θ ∂x ∂z ! 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE ahol ~ = E
3 ~n ·~p1 ~n − ~p1 (x2 + y2 + 3/2 z2) 2 = p1 2 2 3xz~ex + 3yz~ey + (2z − x − y )~ez r5
az első dipólus elektrosztatikus mezeje a második dipólus helyén (~n az első dipólusból a második irányába mutató egységvektor). Mivel ~ 15xyz r2 − 5z 2 1 ∂E r2 − 5x2 ~ex − ~ey + 3x ~ez = 3z p1 ∂x

r7 r7 r7 és ~ 1 ∂E r2 − 5z 2 r2 − 5z 2 3r2 − 5z 2 ~ex + 3y ~ey + 3z ~ez = 3x 7 7 7 p1 ∂z r r r ezért az erő a távolság negyedik hatványával csökken, és arányos a két p1 p2 ~ momentum nagyságának szorzatával): F ∝ 4 . r 6 A MULTIPÓLUS-KIFEJTÉS 6. A multipólus-kifejtés Tekintsünk egy véges V térrészben lokalizált folytonos térbeli töltéseloszlást ρ(~r) térfogati töltéssűrűséggel. A potenciál ˆ Φ(~r) = V ~ ρ(R) ~ d3 R ~ |~r − R| Távol V-től, amikor a vizsgálati ~r pont bármely V-beli ponttól mért távolsága sokkal nagyobb, mint a V-beli pontok kölcsönös távolságának maximuma, használható a ~ ~ 2 − ~r2 R ~ 2} ~r · R 1 {3(~r · R) = + + + ··· 3 5 ~ |~r| |~r| 2|~r| |~r − R| 1 6 A MULTIPÓLUS-KIFEJTÉS sorfejtés, amelyet behelyettesítve a potenciál fenti kifejezésébe kapjuk a ⇒ ~p · ~r ~r · Q · ~r q Φ(~r) = + + + ··· |~r| |~r|3 2|~r|5 multipólus-kifejtést, ahol ˆ ~ d3 R ~ ρ(R) q= V az

össztöltés, és ˆ ~ R ~ d3 R ~ ρ(R) ~p = V 6 A MULTIPÓLUS-KIFEJTÉS a dipólusmomentum-vektora a töltéseloszlásnak, míg ⇒ ˆ ~ ~ ◦R ~ −R ~ 2 ) d3 R ~ ρ(R)(3 R Q= V a kvadrupólusmomentum-tenzor. Észrevétel. Az origót ~a-val eltolva a dipólusmomentum ~p-ről ~p + q~a-ra változik, vagyis csak akkor van invariáns jelentése, ha a q töltés zérus; általában a multipólus-kifejtésnek csak a legalacsonyabb rendű nem eltűnő tagja rendelkezik abszolút jelentéssel. Magasabb rendű (oktopólus, stb.) tagok általában elhanyagolhatók 7 A POISSON-EGYENLET 7. A Poisson-egyenlet ~ 4πρ(~r) = div E ~ r) = −grad Φ(~r) E(~    ⇒ 4πρ = −div(grad Φ)   más szóval ∆Φ(~r) = −4πρ(~r) Poisson-egyenlet Másodrendű parciális differenciál-egyenlet a potenciálra. Poisson-egyenlet lineáris ⇒ bármely két megoldás különbsége egy harmonikus függvény, azaz kielégíti a ∆Φ = 0 Laplace-egyenletet. 7 A

POISSON-EGYENLET Infinitezimális ponttöltések ˆ Φ(~r) = ~ ρ(R) ~ d3 R ~ |~r − R| szuperpozíciója a Poisson-egyenlet egy partikuláris megoldása. Megfelelő harmonikus függvények hozzáadásával lehet kielégíteni a határfeltételeket: valamilyen (nem feltétlenül összefüggő) felület mentén ismert a potenciál • értéke (Dirichlet-féle); • normális irányú deriváltja (Neumann-féle). Kevert (vegyes) határfeltétel: részben Dirichlet, részben Neumann. 7 A POISSON-EGYENLET Poisson-egyenletnek mindig létezik (normálás erejéig) egyértelmű megoldása a fenti határfeltételek bármelyike mellet. Neumann-féle határfeltételek jelentősége: felületi töltéseloszlások. Tekintsünk egy η(~r) sűrűségű folytonos töltéseloszlást az S felület mentén, és jelölje ~n(~r) a felület normális vektorát az ~r helyvektorú pontban. A felületi töltések miatt a térerősség nem folytonosan változik a felületen való áthaladás során

(ugrást szenved), vagyis a felület egy adott pontjában vett határértéke függ attól, hogy a felület melyik oldaláról közelítjük meg a vizsgált pontot. 7 A POISSON-EGYENLET Tekintsünk egy V hengeres testet, amelyet az S felület ketté vág: ekkor a Gauss-törvény miatt ˛ ~ r)·d~s = 4πQ E(~ ∂V ahol Q jelöli a V belsejében található összes töltést. 7 A POISSON-EGYENLET A V hengeres testet összenyomva a felületre, a benne foglalt töltés ~ = η ~n · ∆s ~ Q η ∆s ~ jelöli a V és az S felület metszetének (infinitezimális) felületelemahol ∆s vektorát. Tekintve, hogy a palást felszíne nullához tart a zsugorítás során, ezért a palástra vett integrál is eltűnik, így csak az alap- és fedőlapra vonatkozó integrálok maradnak, melyek összegéből ˛ ∂V   ~ r)·d~s E ~ + (~r) − E ~ − (~r) · ∆s ~ E(~ 7 A POISSON-EGYENLET ~ ± (~r) jelöli a térerősség értékét a felület két oldalán. A két

eredahol E ményt összehasonlítva kapjuk, hogy   ~+ −E ~ − · ~n = 4πη E ~ = ~0 következtében Hasonló megfontolásból, rot E   ~+ −E ~ − × ~n = ~0 E 7 A POISSON-EGYENLET A térerősség nem folytonos az S felület mentén: tangenciális (felülettel párhuzamos) komponense ugyan folytonosan változik, de normális (felületre merőleges) komponense a felületi töltéssűrűséggel arányos ugrást szenved. ~+ −E ~ − = 4πη~n E Észrevétel. Felületi töltéseloszlás egy makroszkopikus idealizáció: valójában a töltés szét van kenve egy vékony, néhány atomnyi vastagságú rétegben, és a térerősség ezen belül gyorsan, de folytonosan változik, viszont makroszkopikus skálán ez az átmeneti zóna egy felületként kezelhető, és a térerősség gyors változása diszkontinuitásként írható le. 7 A POISSON-EGYENLET ∂Φ ~ · ~n = ~n(~r) · grad Φ(~r) = −E ∂~n miatt a potenciál folytonos az S felület mentén, de

normális irányú deriváltja a felületi töltéssűrűséggel arányos ugrást szenved ott Neumann- féle határfeltétel a potenciálra, ha térerősség normális komponense (a potenciál normális irányú deriváltja) és a potenciál értéke ismert a felület egyik oldalán, és ismert a felületi töltéssűrűség. Dirichlet-féle határfeltételek jelentősége: vezető tartományok (elektródák) létezése. 8 VEZETŐK AZ ELEKTROSZTATIKÁBAN 8. Vezetők az elektrosztatikában Vezető közeg: makroszkopikus mennyiségű könnyen elmozdítható mikroszkopikus töltéshordozó jelenléte. Elektromos mező egy vezető tartomány belsejében elmozdítaná a töltéshordozókat (konduktív áram lépne fel) ⇒ Elektrosztatikus mező eltűnik egy vezető belsejében! elektróda (összefüggő vezető tartomány) belsejében a potenciál konstans, az elektródák ekvipotenciális tartományok. Ok: elektróda felületén oly módon helyezkednek el a mikroszkopikus

töltéshordozók (indukált felületi töltéssűrűség), hogy elektromos mezejük 8 VEZETŐK AZ ELEKTROSZTATIKÁBAN pontosan kioltsa (leárnyékolja) a külső elektrosztatikus mezőt az elektróda belsejében (de nem azon kívül!). Térerősség eltűnik egy elektróda belsejében, és tangenciális komponense folytonosan változik, ezért az elektródák külső felületén: 1. a potenciál konstans; 2. a térerősség normális irányú; 3. a felületi térerősség (a potenciál normális irányú ∂Φ deriváltja) ∂~n arányos a felületi töltéssűrűséggel. Gyakran ismert a potenciál értéke és az össztöltés az egyes elektródákon, és meghatározandó a pontos felületi töltéseloszlás (Dirichlet-feladat). 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK 9. Egyszerű elektrosztatikus problémák 9.1 Síkkondenzátor +q és −q töltésű, egymással párhuzamos, sík elektródák d távolságra egymástól (alkalmazás: elektrosztatikus töltés

tárolása). Ha az elektródák F felszíne sokkal nagyobb mint d2 , akkor a rendszer 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK közelíthető két, egyenletes +η és −η töltéssűrűségű, végtelen kiterjedésű párhuzamos sík lappal (itt η = Fq ). Válasszunk Descartes-koordinátákat úgy, hogy a z-tengely legyen merőleges az elektródákra, és az origó a két elektróda közt félúton legyen a potenciál csak a z-koordinátától függhet, de független az x és y koordinátáktól: Φ(~r) = Φ(z). A két elektróda közti − d2 ≤z≤ d 2 d2 Φ térrészben a 2 = 0 Poisson-egyenlet dz megoldása Φ(z) = Az+B, ezért ∂Φ ~ E(x, y, z) = − ~ez = −A~ez ∂z 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Homogén elektrosztatikus mező az elektródák közt! Véges méretű kondenzátor esetén, a szélektől elég távol igen jó közelítéssel homogénnek tekinthető az elektródák közti elektromos mező. Az elektródák közti térrészen kívül

nincs elektromos mező (elektródák töltései leárnyékolják egymást) potenciál normális irányú deriváltja az elektródák felületén arányos a felületi töltéssűrűséggel. 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK ∂Φ = A = 4πη ∂z Potenciál értéke az elektródák felületén: Φ± = A ± d2
+ B, innen a potenciálkülönbség Φ+ − Φ− = 4πηd = 4πqd F Kapacitás: potenciálkülönbség és töltés hányadosa (töltéstároló képesség mértéke) C= q F = Φ+ − Φ− 4πd Arányos az elektródák felszínével, és fordítva arányos a távolságukkal. 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK 9.2 Gömbkondenzátor Két koncentrikus, R− < R+ sugarú gömbfelület, rajtuk egyenletesen elosztott ±q töltéssel. A felületi töltéssűrűségek ±q η± = 2 4πR± Gömbszimmetria következtében a potenciál csak a középponttól mért távolságtól függhet, vagyis gömbkoordinátákkal kifejezve Φ(r, φ, ϑ) = Φ(r).

Poisson-egyenlet az elektródák közti részben (R− ≤ r ≤ R+ ) d2 Φ 2 dΦ + =0 ∆Φ = 2 dr r dr 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK amelynek megoldása Φ(r) = A + B r és ~r ~ E(~r) = B 3 |~r| Határfeltétel az elektródák felszínén: ~ ± ) · ~n = ±B 4πη± = E(R 2 R± amiből adódik, hogy B = q. A kapacitás q R+ R− C= = Φ(R− ) − Φ(R+ ) R+ − R− 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK 9.3 Ponttöltés tere vezető féltér jelenlétében Vezető közeggel töltött (’földelt’) féltértől d távolságra q nagyságú ponttöltést helyezünk el. Mi a potenciál? Válasszunk olyan Descartes-koordinátákat, melyek z-tengelye merőleges a vezető féltér határára, és áthalad a ponttöltésen vektora d~ez . a ponttöltés hely- 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Mivel a felső féltérben mindössze egyetlen ponttöltés található, ott a térfogati töltéssűrűség eltűnik, ezért a Poisson-egyenlet alakja a z

> 0 féltérben ∆Φ = 0. A Gauss-törvény következtében 1 − 4π ˛ ∂V 1 grad Φ·d~s = 4π ˆ ~ r)·d~s = E(~ ∂V    q ha V tartalmazza a ponttöltést;   0 egyébként. minden, teljes egészében a z > 0 féltérben elhelyezkedő V tartomány esetén (ha V átnyúlik a vezető féltérbe, akkor a kialakuló felületi töltéseloszlás miatt ez már nem feltétlenül igaz). 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK A vezető féltérben a potenciál eltűnik, azaz Φ(x, y, z) = 0 ha z ≤ 0, ezért a vezető felületén Φ(x, y, 0) = 0. Tekintsük két, a határfelületre szimmetrikusan elhelyezkedő, azonos nagyságú, de ellentétes előjelű ponttöltés (’tükörtöltés’) szuperpozícióját: q q − |~r − d~ez | |~r + d~ez | q q q q − = 2 2 x2 + y 2 + (z − d) x2 + y 2 + (z + d) Φm (~r) = Φ(q,d~ez ) (~r) + Φ(−q,−d~ez ) (~r) = 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Φm (~r) kielégíti a

Poisson-egyenletet, mivel mindkét tagja kielégíti azt, és a Φm (x, y, 0) = 0 határfeltételt is, mivel |~r − d~ez | = |~r + d~ez | ha z = 0. Továbbá − 1 4π ˛ ∂V  q ha V tartalmazza a ponttöltést; grad Φm · d~s = 0 egyébként. mivel a tükörtöltés a z < 0 féltérben helyezkedik el, ezért Φm (x, y, z) írja le a potenciált a z > 0 féltérben! A térerősség kifejezése (a z > 0 féltérben) q(~r − d~ez ) ~ E(x, y, z) = x2 + y2 2
3/2 + (z − d) q(~r + d~ez ) − x2 + y2 + (z + d) 2
3/2 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Az indukált felületi töltéssűrűség a z = 0 síkban a térerősség normális komponenséből származtatható η(x, y) = − 1 qd 1 Ez (x, y, 0) = − 4π 2π (x2 + y 2 + d2 )3/2 A teljes indukált töltés a határfelületen +∞ ˆ +∞ ˆ η(x, y) dxdy = −q −∞ −∞ A −q tükörtöltés szét van kenve a határfelületen. 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK 10.

Folytonos dipóleloszlások Folytonos dipóleloszlások: térfogati vagy felületi (’kettősréteg’). Felületi dipóleloszlás jellemezhető egy skalár mennyiséggel, a ν(~r) felületi ~ felületelem-vektorú infinitezimámomentumsűrűséggel: egy ~r körüli, ∆s ~ (mindig normális irányú). lis felületdarab dipólmomentuma ν(~r)∆s 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK ~ i körüli és ∆s ~ i felületelemOsszuk fel a kettősréteg Σ felületét kicsiny, R vektorú darabokra: ezek mindegyikének járuléka a potenciálhoz ~ i )∆s ~ i · (~r − R ~ i) ν(R Φi (~r) = ~i 3 ~r − R Ezen járulékokat felösszegezve, és a felosztást minden határon túl finomítva kapjuk, hogy a ν(~r) felületi momentumsűrűségű kettősréteg potenciálja Φ(~r) = lim X ν(R ~ i )(~r − R ~ i) i ~i ~r − R 3 ˆ ~ i= · ∆s Σ ~ ν(R) ~ · d~s (~r − R) 3 ~ ~r − R 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK A potenciál nem folytonos: a kettősrétegen áthaladva Φ+ (~r)

− Φ− (~r) = 4πν(~r) ugrást szenved. ~ r) momentumsűrűség-vektorral Térbeli folytonos dipóleloszlás jellemzése a P(~ lehetséges, mely az ~r pont körüli egységnyi térfogat dipólmomentumát adja meg. Ha a dipóleloszlás a V tartományban lokalizált, akkor a potenciál kifejezése ˆ ~ ~ ~ P(R) · (~r − R) 3~ Φ(~r) = d R 3 ~ ~r − R V 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK Felhasználva a ! ~ r) P(~ div ~ |~r − R| ~ ~ r) · (~r − R) ~ div P P(~ = + ~ ~ 3 |~r − R| ~r − R vektoranalitikai összefüggést és a divergencia-tételt, adódik (itt ~n(~r) jelöli a ∂V határfelület normális egységvektorát az ~r pontban) ˆ ( Φ(~r) = div ~ P ! ) ~ div P ~ − d3 R ~ ~ |~r − R| |~r − R| V ˆ ˆ ~ ~ ηp (R) ρp (R) 3~ dR+ |d~s| = ~ ~ |~r − R| |~r − R| V ∂V 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK ahol ~ ρp (~r) = −div P és ~ r) · ~n(~r) ηp (~r) = P(~ A potenciál alakja ugyanaz, mint egy ρp (~r) térfogati és egy ηp (~r), a ∂V

határfelületre lokalizált felületi sűrűségű folytonos töltéseloszlás esetén (polarizációs töltések). 11 DIELEKTRIKUMOK AZ ELEKTROSZTATIKÁBAN 11. Dielektrikumok az elektrosztatikában Dielektrikum: olyan anyagi közeg, amelyben nincsenek könnyen elmozdítható mikroszkopikus töltéshordozók (szigetelő) statikus töltéskon- figurációk lehetősége. Kapcsolat eltolási és térerősség-vektor között: vákuum ~ =E ~ D vezető ~ =E ~ = ~0 D dielektrikum ~ = D( ~ anyagi összefüggés ~ E) D Nem-triviális anyagi összegfüggések eredete: polarizációs effektusok a molekuláris töltéseloszlásokban. 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK 12. Molekuláris töltéseloszlások Makroszkopikus testek rendkívül nagy számú (≈ 1023 ) elektromosan semleges mikroszkopikus összetevőt – atomok és molekulák – tartalmaznak, (kivéve ha megfelelően nagy energiájú folyamat, pl. radioaktív sugárzás vagy hőmozgás következtében

ionizálódnak). Bár az atomok és molekulák elektromosan semlegesek, de nem-triviális a töltéseloszlásuk: a pozitív töltés a kis térfogatú atommagokban koncentrálódik, míg a negatív töltés az elektronfelhőben szétkenve lelhető fel (kvantumeffektusok és magerők által stabilizált töltésszétválasztás). 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Gauss-törvény alakja a molekuláris töltéseloszlások figyelembevételével P ~ div E = 4π ρ + i ρi
ahol ρ(~r) a molekuláris skálánál sokkal nagyobb távolságokon megfigyelhető ’szabad’, míg ρi (~r) az egyes molekulákon belüli töltéssűrűség. 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Észrevétel. ρb (~r) = X ρi (~r) i jelöli az atomok/molekulák ’kötött’ töltéssűrűségét. Elektrosztatikus potenciál ˆ Φ(~r) = Xˆ ρi (R) X ~ ~ ρ(R) 3~ 3~ d R+ d R = Φvac (~r) + Φi (~r) ~ ~ |~r − R| |~r − R| i i Az első tag a vákuumbeli potenciál, a közeg jelenlétét a

második tag tükrözi, amely az egyes atomok/molekulák járulékainak összege. Bármely makroszkopikus térfogathoz viszonyítva, az egyes atomok/molekulák pontszerűek és távoliak ⇒ az egyes atomok/molekulák járulékai jó 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK közelítéssel leírhatók a ⇒ ~ i ) (~r − R ~ i ) · Qi ·(~r − R ~ i) ~pi · (~r − R qi + + + . Φi (~r) = 3 5 ~ ~ ~ |~r − Ri | |~r − Ri | 2|~r − Ri | ~ i jelöli az i-edik atom/molemultipólus-sorfejtés felhasználásával, ahol R ´ ´ 3 kula helyvektorát, qi = ρi (~r) d ~r az elektromos töltését, ~pi = ρi (~r)~r d3~r ⇒ ´ a dipólmomentumát, és végül Qi = ρi (~r)(3~r◦~r −~r2 ) d3~r a kvadrupólusmomentum tenzorát. Atomok/molekulák elektromosan semlegesek ⇒ első tag hiányzik, csak a magasabb-rendű tagok adnak járulékot. 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Nagy számú mikroszkopikus összetevő bármely makroszkopikus térfogatban ⇒ molekuláris járulékok

összege jól közelíthető folytonos dipólus-, kvadrupólus-, stb. eloszlásokra vett integrállal X i ˆ ~ ~ ~ P(R)·(~r − R) ~ Φi (~r) = d3 R ~ 3 |~r − R| ˆ + ⇒ ~ Q(R)·(~ ~ r − R) ~ (~r − R)· ~ + . d3 R ~ 5 2|~r − R| ⇒ ⇒ P P ~ ~ ~ ahol P(R) = i ~pi (a polarizáció vektor) és Q(R) = i Qi jelöli a mo~ körüli egylekuláris dipól- és kvadrupólus-momentumok összegét egy R ségnyi térfogatban. 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Szabad töltések elektrosztatikus mezeje befolyásolja az egyes molekulák belső töltéseloszlását (dielektromos polarizáció), ami makroszkopikus dipólmomentum sűrűségre vezet ⇒ magasabb multipólus-járulékok elhanyagolhatók makroszkopikus skálán. X i ˆ ~ ~ ~ P(R)·(~r − R) ~ = d3 R Φi (~r) = ~ 3 |~r − R| ˆ − V ˆ ~ ~ div P̃ P(~r) 3~ dR+ · d~s ~ ~ |~r − R| |~r − R| innen a kötött töltések sűrűsége ρb (~r) = X i ~ ρi (~r) = −div P ∂V 12 MOLEKULÁRIS

TÖLTÉSELOSZLÁSOK P
~ div E = 4π ρ + i ρi következtében ~ ~ = 4πρ div(E+4π P) vagyis ~ =E ~ + 4π P ~ D jelöléssel ~ = 4πρ div D ha Q jelöli a V térrészben található összes töltést, akkor a Gauss-tétel felhasználásával ˆ ~ r) · d~s = 4πQ D(~ ∂V 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ 13. Dielektromos polarizáció Poláros molekulák (H2 O, NH3 , HCl): nem-zérus dipólmomentum ~pi 6= 0 (oka: strukturális aszimmetria). Apoláros molekulák (H2 , CH4 ): ~pi = 0. P ~ Polarizációs vektor: P(~r) = i ~pi (dipólmomentum-sűrűség). 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ Poláros molekulák momentumának iránya általában véletlenszerű a ~ r) polarizációs vektor – kivételes esetektől eltekintve (pl. elektrétek P(~ és ferroelektromos anyagok) – eltűnik. Dielektromos polarizáció: külső elektromos mező módosítja mind a molekulákon belüli töltéseloszlást, mind momentumaik irányának statisztikus eloszlását, ezáltal makroszkopikus

dipólmomentum-sűrűséget hozva létre. Észrevétel. Kvantum szinten vákuumpolarizációs effektusok (virtuális párkeltés), de ezek makroszkopikus méreteknél elhanyagolhatóak 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ Három alapvető mechanizmus: 1. Deformációs (elektron-)polarizáció: külső elektromos mező deformálja a molekulák negatív töltésű elektronfelhőjét, megváltoztatva annak töltésközéppontját a pozitív töltésű atommagokhoz viszonyítva molekulák elektromos dipólmomentuma megváltozik. 1. ábra Deformációs polarizáció 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ 2. Orientációs polarizáció: poláros molekulák belső dipólmomentumát a külső elektromos mező igyekszik befordítani a saját irányába (ennek ellenében hat a hőmozgás). 3. Ionpolarizáció: ionos kristályokban az ellentétes töltésű ionok relatív helyzete megváltozik a külső mező hatására, ezáltal megváltoztatva a dipólusmomentum-sűrűséget 13 DIELEKTROMOS

POLARIZÁCIÓ Poláros molekulák esetén a domináns mechanizmus az orientációs polarizáció: az elektron- és ionpolarizáció csak apoláros molekulák esetén releváns. Indukált momentum mindig párhuzamos a külső tér irányával (és azzal egy irányba mutat) izotrop anyagok esetén. Hőmérsékletfüggés: elektron- és ionpolarizáció gyakorlatilag független a hőmérséklettől, míg az orientációs polarizáció csökken növekvő hőmérséklettel, mert a termális fluktuációk rendezetlenné teszik a molekuláris dipólusok irányát. Piroelektromosság: hőmérséklet változás indukálta polarizáció. Piezoelektromosság: mechanikai feszültség indukálta polarizáció. 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ 14. Spontán polarizáció Nemzérus polarizációs vektor (dipólmomentum-sűrűség) külső tér hiányában is. Elektrétek: olyan hosszú poláris molekulákból álló műanyagok és viaszok, melyek momentumai befagytak egy irányba, miután azokat egy

külső mező egy magasabb hőmérsékleten rendezte (metastabil állapot). 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ Ferro-elektromos anyagok: erős molekuláris dipólus-dipólus kölcsönhatások következtében makroszkopikus méretű domének alakulnak ki párhuzamos momentumokkal. Polarizációs vektor: adott térfogat átlagos dipólmomentuma lehetőség nemzérus polarizációra külső mező hiányában is. Növekvő hőmérséklettel (hőmozgás) spontán polarizáció eltűnik a ferroelektromos Curie-hőmérsékleten (másodrendű fázisátalakulás). Momentumok iránya függ a minta történetétől, és csak speciális preparálás esetén teljesen véletlenszerű. 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ Az egyes molekuláris momentumok csak a domének határán változhatnak (ahol a többi momentum hatása nem annyira jelentős) domén- falak mozognak a külső mező hatására: irányban álló domének nőnek a többiek rovására, ezáltal a polarizáció is változik (szaturáció,

ha csak egy domén marad, az összes momentum párhuzamos). 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ Polarizációs görbe Hiszterézis: polarizáció nem csak az adott időpontbeli elektromos mezőtől függ, de annak korábbi értékeitől is (memória-effektus). 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN 15. Illesztési feltételek közegek határán Adott közeg belsejében a térjellemzők folytonosan változnak, de két különböző közeg határán egyesek ugrást szenvedhetnek: ha minden térjellemző folytonosan változna, akkor mindkét közegben ugyanazon anyagi összefüggések teljesülnének, és a két közeg nem lenne egymástól megkülönböztethető. Határfelületen töltések halmozódhatnak fel (illetve áramolhatnak annak mentén) felületi töltések és áramok kialakulása. Határfelület egy adott pontjában a térjellemzők értéke függ attól, hogy a felület melyik oldaláról (melyik közegben) közelítjük azt meg. 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK

KÖZEGEK HATÁRÁN Válasszuk ki a határfelület egy F darabját, és jelölje V határfelületet merőlegesen metsző, mindkét közegbe h távolságra benyúló, F alapú hengeres testet. Jelölje továbbá F− és F+ a hengerfelület alap és fedőlapját, és P a palástját Amennyiben Q jelöli a V belsejében található összes töltést, akkor ˆ ˆ ˆ ˆ ~ · d~s + ~ · d~s + ~ · d~s ~ · d~s = D D 4πQ = D D ∂V P F− F+ 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN A hengert a felületre lapítva (h 0 határeset), a P palástra vett integrál, mivel az a felülettel arányos, nullához tart ˆ ~ · d~s 0 D P míg ˆ ˆ ~ · d~s − D ~ − · d~s D F− F ˆ ˆ ~ · d~s D F+ ~ + · d~s D F 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN mert a d~s felületelem a ∂V külső normálisának irányába mutat. Innen 4πQ = ˆ   ~+−D ~ − · d~s D F Ahogy a henger magassága nullához tart, a belsejében elhelyezkedő töltések a

határfelületre koncentrálódnak ˆ ˆ η(~r) ~n(~r) · d~s η(~r) d~s = Q= F F ahol η(~r) a felületi töltéssűrűség, míg ~n(~r) a határfelület ~r pontbeli normális egységvektora. 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Fentiek alapján a határfelület bármely F darabjára ˆ   ~+−D ~ − − 4πη~n · d~s = 0 D F Az F felületet egy pontra összehúzva, mivel a d~s felületelem párhuzamos az ~n normális egységvektorral ~ + − ~n · D ~ − = 4πη ~n · D ~ vektor normális komponense 4πη nagyságú ugrást szenved a határAD felületen! 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Vezető-dielektrikum határfelületen, mivel a vezető belsejéből az elektro~ =P ~ = ~0), ezért D ~ = ~0, következésképpen a D ~ sztatikus tér kiszorul (E normális komponensének dielektrikumbeli értéke (a határon) az indukált felületi töltéssűrűség 4π-szerese vezető testet kettéosztva elég kicsiny, ~n normálisú és F felszínű

keresztmetszet mentén, az egyes részek ~ Q± = ±F ~n · D töltésre tesznek szert ~ az eltolási vektor ~ =E ~ + 4π P D 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Legyen L egy, a két közeg határát merőlegesen metsző, téglalap alakú kicsiny felület, melynek határa ∂L = a+b+c+d a megfelelő irányításokkal. Elektrosztatikus tér konzervatív ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ~ r)·d~r = E(~ ~ r)·d~r + E(~ ~ r)·d~r + E(~ ~ r)·d~r + E(~ ~ r)·d~r 0 = E(~ ∂L a b c d Ha L-t rázsugorítjuk a határfelületre, akkor b és d görbék hossza 0-hoz tart, míg a és c rásimul egymásra és a felületre 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN 1. a b és d menti integrálok 0-hoz tartanak; 2. ´ a ~ r) · d~r E(~ ´ ~ − (~r) · d~r és E ´ ´ ~ + (~r) · d~r , ahol γ ~ E(~r) · d~r − E γ c γ jelöli az L és a határfelület metszésvonalát. Innen ˆ   ~+ −E ~ − ·d~r = 0 E γ bármely, a határfelület belsejében futó γ

görbeszakaszra. Jelölje ~t a γ görbe érintővektorát az ~r helyvektorú pontban: nyilván ~t merőleges a határfelület ~r-beli normális egységvektorára, azaz ~t · ~n = 0. 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Infinitezimális `γ 0 hosszúságú görbeszakasz esetén ˆ     ~+ −E ~ − ·d~r = E ~ + (~r) − E ~ − (~r) ·~t `γ 0= E γ ahonnan ~ + (~r) · ~t = E ~ − (~r) · ~t E bármely, a határfelületet érintő ~t vektorra a térerősség-vektor ugrása normális irányú   ~+ −E ~ − × ~n = ~0 E A térerősség-vektor érintőirányú (tangenciális) komponense folytonosan változik különböző közegek határán! 16 A PERMITTIVITÁS (DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ) 16. A permittivitás (dielektromos állandó) ~ polarizációs vektor jól közelíthető E ~ Spontán polarizáció hiányában a P szerinti sorfejtésének néhány első tagjával ~ = κE ~ + . P κ a közeg elektromos szuszceptibilitása. ~ =E ~ + 4π P ~ = εE ~ D

ahol ε = 1+4πκ a közeg permittivitása (dielektromos álandó). ε ≥ 1, mivel κ ≥ 0 közönséges anyagokra (vákuumban ε = 1). 16 A PERMITTIVITÁS (DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ) 1. táblázat Néhány anyag permittivitása szobahőmérsékleten anyag permittivitás víz 80 etanol 24 metanol 33 polietilén 2.2 PVC 6.1 plexi-üveg 3.4 paraffin viasz 2.2 bárium-titanát >2100 16 A PERMITTIVITÁS (DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ) Dielektromos állandó izotrop anyagokra skalár, míg anizotrop anyagokra (szimmetrikus) tenzor. Általános esetben ˆ ~ r, t) = P(~ ~ t − τ )E( ~ R, ~ τ ) d3 R ~ dτ κ(~r − R, Térbeli nem-lokalitás (véges terjedési sebesség következménye) elhanyagolható, időbeli nem-lokalitás (véges relaxációs idő következménye) frekvenciafüggő permittivitás (diszperzió). ~ sorfejtésének Nem-lineáris anyagok: permittivitás függ a térerősségtől (P magasabb rendű tagjainak figyelembe vétele) nem-lineáris

optika. 17 ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA 17. Elektrosztatikus energia q nagyságú ponttöltés potenciális energiája az ~r helyvektorú pontban qΦ(~r) (= végtelenből ~r-be való mozgatáshoz szükséges munka). (q1 ,~r1 ), . , (qn ,~rn ) ponttöltésekből álló rendszer elektromos kölcsönhatásokból származó potenciális energiája (töltéseket egyenként adva hozzá a rendszerhez) U = q2 Φ(q1 ,~r1 ) (~r2 ) + q3 Φ(q1 ,~r1 ),(q2 ,~r2 ) (~r3 ) + . = n X X qi qj i=1 1≤j<i 1 X qi qj = ~ |~ri − rj | 2 |~ri − ~rj | i6=j Észrevétel. i = j ’sajátenergiás’ tagok hiányoznak az összegből 17 ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA Egy ρ(~r) térfogati sűrűségű folytonos töltéseloszlás esetén az analóg kifejezés a potenciális energiára 1 U= 2 ¨ ˆ ~ 1 ρ(~r) ρ(R) ~ = d3~r d3 R ρ(~r) Φ(~r) d3~r ~ 2 |~r − R| ahol ˆ Φ(~r) = ~ ρ(R) ~ d3 R ~ |~r − R| a ρ(~r) töltéssűrűség által keltett elektrosztatikus potenciál. Felhasználva a 

 ~ = Φdiv D ~ + grad Φ · D ~ = 4πρΦ − E ~ ·D ~ div ΦD 17 ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA összefüggést kapjuk, hogy U= 1 2 ˆ ˆ 1 ~ · d~s + 1 (Φ D) 8π 8π ˆ ~ ~ E·D 3 d ~r = 8π ρ(~r) Φ(~r) d3~r = ˆ ~ ·D ~ d3~r E tekintve, hogy a felületi integrál eltűnik. Innen adódik, hogy ~ ·D ~ E w= 8π az elektrosztatikus mező térfogati energiasűrűsége (egységnyi térfogatban tárolt elektrosztatikus energia)