Matematika | Analízis » Gráff József - Laplace transzformáció

BME GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR GÉPÉSZETI INFORMATIKA TANSZÉK GRÄFF JÓZSEF Laplace transzformáció KÉZIRAT BUDAPEST, 2006 Bevezetés 1 1 Bevezetés Ez az összeállítás a BME Gépészmérnöki karán a Rendszertechnika (BMEGERI2054, BMEGERI30XX) című tárgyat felvett hallgatók számára készült, és a témakörnek csak azon területeivel foglalkozik, amelyek a Rendszertechnika tárgy keretein belül felhasználásra kerülnek. Célja, hogy a más tárgyakból szerzett ismereteket összefoglalja. A rendszeranalízis egyik alapfeladata az átmeneti folyamatok vizsgálata, amely alapvetően differenciálegyenletek, illetve egyenletrendszerek megoldásain nyugszik. E feladat egyszerűsítésének egyik lehetősége (mivel korábban nem álltak rendelkezésre számítógépek!), ha a kiindulást képező matematikai modellt célszerű transzformációnak vetjük alá és a feladatmegoldást a transzformált tartományban végezzük el, majd visszatérünk az eredeti –

esetünkben idő – tartományba Ábrázolva: Megoldás Matematikai modell (leírás) Probléma IDŐ tartomány (független változó az idő) Transzformáció Vissza transzformálás (inverz transzformáció) matematikai műveletek Transzformált modell Transzformált tartomány (új független változó) Transzformált megoldás A rendszertechnikában alkalmazott legfontosabb transzformációk: − − Fourier transzformáció Laplace transzformáció 2 A FOURIER 1-transzformáció Adott valamely f(t) időfüggvény, amelyről feltételezzük, hogy abszolút integrálható, azaz eleget tesz az alábbi konvergencia feltételnek: +∞ ∫ f (t ) dt < K , ahol K elegendően nagy szám (1) −∞ tehát integrálja korlátos. Ez esetben az f(t) időfüggvény definíció szerinti FOURIER transzformációja: F (ω) = +∞ ∫ f (t )⋅ e − jωt dt , (2) −∞ illetve a transzformáció általánosan alkalmazott jelöléseivel: (3) F (ω) = F{ f (t )}

Minthogy a (2) transzformációs összefüggés a Fourier-integrálból származik, ez esetben a transzformált tartományban a független változó az ω körfrekvencia, F(ω) pedig komplex függvény. Ha adott valamely F(ω) transzformált függvény, a hozzá tartozó f(t) időfüggvény az alábbi inverz transzformációs összefüggéssel határozható meg: f (t ) = +∞ 1 F (ω)e jωt dω = F −1 {F (ω)} ∫ 2π −∞ (4) A rendszertechnikai gyakorlatban előforduló fontos vizsgáló jelfüggvényekre ( 1(t), t·1(t), eαt stb.) nem teljesül az (1) alatti feltétel, ezért általában a Laplace-transzformációt alkalmazzuk 1 Francia matematikus 1768-1830. (Fourier - sor, - analízis) Bevezetés 2 3 A LAPLACE-transzformáció LAPLACE (francia matematikus, 1749-1827) javaslata alapján a függvények konvergenciára kényszeríthetők, ha azokat a t ∞ esetén erősen nullához tartó e −σt függvénnyel szorozzuk, és vizsgálatunkat csupán t ≥ 0

időtartományra terjesztjük ki, vagy feltételezzük, hogy idő függvényünk: f (t ) = 0 , a t< 0 tartományban. Ha az f (t )e −σt , ahol σ > 0 szorzatfüggvényre alkalmazzuk a (2) szerinti egyoldalas F transzformációt a Laplace-transzformáció definíciós összefüggéséhez jutunk: F (s ) = lim ∞ ε 0 ∫ f (t ) ⋅ e − σt ⋅ e − jωt dt = lim ε0 −ε az s=σ+jω új komplex változóval: ∞ F (s ) = lim ∫ ε0 f (t )e − st dt = ∞ ∫ f (t )e ∞ ∫ f (t )e − (σ + jω)t dt (5) −ε − st dt = £{ f (t )}. (6) −0 −ε Amennyiben f(t) a 0-ban folytonos, vagy t<0 esetén 0: ∞ F (s ) = ∫ f (t )e − st dt = £{ f (t )} (7) 0 Ha valamely F(s) transzformált függvény adott, a hozzá tartozó időfüggvény a következő inverz transzformációs összefüggéssel határozható meg:  1 σ + j∞  F (s )e st ds = £ -1{F (s )} , t ≥ 0 (8) f (t ) =  2πj ∫ σ − j∞  0 ,t < 0  ahol £ -1

az inverz Laplace-transzformáció. 3.1 Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja 3.11 Az egységugrás Laplace transzformáltja 1 f(t)=1(t) F(s)=? t ∞ F (s ) = £{1(t )} = ∫1(t ) ⋅ e 0 miután feltételünk volt, hogy Re{s}=σ > 0. ∞ − st  e − st   1 1 dt =   = 0 −−  =  s s  − s  0 (9) 3.12 Az egységnyi sebességugrás Laplace transzformáltja 1 f(t)=1(t)⋅t 1 t F(s)=? ∞ F (s ) = ∫ t ⋅ e − st dt 0 A LAPLACE-transzformáció 3 Az alábbi parciális integrálási szabályt alkalmazva: ∫ u ⋅ v′dt = u ⋅ v − ∫ u ′ ⋅ vdt  (u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′    u ⋅ v = ∫ u ′ ⋅ vdt + ∫ u ⋅ v ′dt   u ⋅ v − ∫ u ′ ⋅ vdt = ∫ u ⋅ v ′dt  Behelyettesítve: ∞ F (s ) = ∫ t ⋅ e − st 0 / ∫       ,ahol u (t ) = t v ′(t ) = e − st e − st u ′(t ) = 1 v(t ) = − s ∞ ∞ ∞  e

− st  e − st 1 − st 1 1 1 dt = 0 − (− 0) + ∫ e dt = ⋅ = 2 dt = t ⋅  − ∫1⋅ s0 s s s  − s  0 0 − s (10) 3.13 Az exponenciális függvény Laplace transzformáltja Az f (t ) = e −t T időfüggvény Laplace transzformáltja:  −(s + 1T )t  ( ) e  = 1 = T , = F (s ) = ∫ e T ⋅ e − st dt = ∫ − s + 1  1 + sT s+ 1 0 0 T 0 T  tehát az exponenciális függvénynek is algebrai függvény felel meg! ∞ −t ∞ ∞ − s+ 1 t T dt e ( ) (11) Hasonlóképpen járunk el bonyolultabb függvények esetén is, ami gyakran jelentős munkát igényelhet. Ezért igen nagyszámú függvény Laplace-transzformáltját előállították, és külön kézikönyvekben közrebocsátották. A rendszertechnikai vizsgálatok során szinte kivétel nélkül megoldhatók a feladatok e kézikönyvek alkalmazásával. Elmélet: FODOR GYÖRGY: A Laplace-transzformáció műszaki alkalmazása. Műszaki Könyvkiadó, Bp.

1962 Táblázatok: OBERHETTINGER,F. - BADII,L: Tables of Laplace Transzforms SPRINGER-Verlag. 1973 Berlin-Heidelberg-New-York. A LAPLACE-transzformáció 4 3.2 Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek) A Laplace transzformáció tehát az f(t) valós változójú függvényhez a transzformációs összefüggés szerint az s komplex változójú függvényt rendeli. Kérdés: az f(t) függvényen végzett alapvető műveletek miként érvényesülnek a transzformált tartományban? 3.21 LINEARITÁSI szabály − − Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s) akkor £{K·f(t)}=K·£{f(t)}=K·F(s). Adott f1(t), f2(t), amelyeknek Laplace transzformáltjai F1(s), F2(s) akkor £{f1(t)+f2(t)}= £{f1(t)}+ £ {f2(t)}=F1(s)+F2(s). Mindkét törvényszerűség azzal igazolható, hogy a Laplace transzformáció tulajdonképpen határozott integrál. 3.22 ELTOLÁSI szabály Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s), ekkor f(t-τ) esetén a L

aplace-transzformáció eredménye: f(t) τ Legyen t-τ=z, ekkor t=z+τ, amiből dt=dz következik. £{ f (t − τ)} = ∞ ∫ f (t − τ)e − st dt = 0 ∞ ∫ f (z )e f(t-τ) t −( z + τ )s dz = 0 ∞ ∫ f (z )e − zs − τs e dz = 0 (12) ∞ = e −τs ∫ f ( z )e − zs dz = e −τs ⋅ F (s ) 0 3.23 HASONLÓSÁGI szabály Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s), ekkor f(a·t) esetén a L aplace-transzformáció eredménye: z 1 Legyen at=z, ekkor t = , és dt = dz . a a £{ f (a ⋅ t )} = ∞ ∫ f (a ⋅ t )e − st dt = 0 ∞ ∫ f (z ) ⋅ e − s az 0 1 1 dz = a a ∞ ∫ f (z ) ⋅ e 0 − as z dz = 1 s F  a a (13) 3.24 DIFFERENCIÁLÁS időtartományban Adott f(t), amelynek lace-transzformáltja: £{ f ′(t )} = ∞ ∫ f ′(t )⋅ e −0 − st d f (t ) = f ′(t ) , dt deriváltja [ dt = f (t ) ] ∞ ⋅ e − st − 0 ∞ − ∫ f (t )⋅ (− s )⋅ e és − st

£{f(t)}=F(s). Ennek dt = 0 − f (− 0 ) + s ⋅ F (s ) Lap- (14) −0 Első lépésként, a már bemutatott, parciális integrálást alkalmaztuk a következő helyettesítéssel: v ′ = f ′(t ), és u = e − st , ⇒ v = f (t ), u ′ = − s ⋅ e − st . Mivel létezik f(t) Laplace-transzA LAPLACE-transzformáció 5 formáltja, ezért f (∞ ) ⋅ e −s∞ = 0 . Az integrálból -s kiemelhető, ami marad az pedig f(t) Laplace-transzformáltja   d n Általánosan: £  n f (t ) = s n F (s ) − s n −1 f (− 0 ) − s n − 2 f ′(− 0 ). − f (n −1) (− 0)  dt  Általában a kezdeti feltételeket 0-nak választjuk, így csak snF(s) marad. Néhány esetben azonban probléma adódhat. Mi lesz a deriváltja például az 1(t) függvénynek? Megoldás: 1(t )′ = δ(t ) , azaz a Dirac delta függvény. A következő ábra szemlélteti a függvény egy lehetséges származtatását: +∞ ahol a függvény alatti terület

egységnyi, és τ0. Így adódik, hogy ∫ δ(t )dt = 1, ezért ∫ δ(t )dt = 1(t ). −∞ ∞ ∞ 1 Az előzőekben leírtak alapján: £{δ(t )} = ∫ δ(t ) ⋅ e − st dt = ∫ 1(t )′ ⋅ e − st dt = s ⋅ £{1(t )}− δ(− 0 ) = s = 1 s 0 0 3.25 INTEGRÁLÁS időtartományban Adott f(t), amelynek létezik a primitív függvénye, és £ {f(t)}=F(s). Mi lesz az időtartománybeli integrál Laplace-transzformáltja? ∞ t ∞  t  ∞ t  t 1 − st  1 1 − st (15) £ ∫ f (τ )dτ = ∫ ∫ f (τ )dτe dt = − ∫ f (τ )dτ e  + ∫ f (t )e − st dt = −0 + 0 + F (s ) s s 0  0 0  0 s 0  0 A feladatot parciális integrálással oldottuk meg, a következő helyettesítéseket alkalmazva: u = ∫ f (τ )dτ , v ′ = e − st . A kapott eredmény általánosítható, akkor 0 1 sn F (s ) lesz az eredmény. Fontos következtetés: mivel a differenciálásnak illetve integrálásnak s-el való szorzás illetve

osztás felel meg, a differenciál egyenletek helyébe a transzformált tartományban algebrai egyenletek lépnek. Így a feladatok megoldása lényegesen egyszerűsödik A LAPLACE-transzformáció 6 Néhány függvény Laplace-transzformáltja Sorszám 1 2 3 Időfüggvény F(t) t > 0 δ(t) δ(t-τ) Laplace-transzformált F(s) 1 1(t) 1 s 1(t-τ) 1 − sτ e s t 1 s2 7 e − a⋅t 1 a+s 8 1 −t T e T 1 1 + Ts 9 1− e 4 5 6 1 10 T 2 −t te 1 s (1 + Ts ) T −t e −sτ 1 T (1 + Ts )2 11 −t  1  −t T1 T2  − e e   T1 − T2   1 (1 + T1s )(1 + T2 s ) 12 tn n! n +1 − 15 18 A LAPLACE-transzformáció α 2 s + α2 s cos αt 14 17 s sinαt 13 16 1 1 T s2 + α2 1 1 t sh   T T  (T − t )e 3 −t T t  −t  T  e T + − 1 T   T + t −t T e 1− t 1− T 2s2 s (1 + Ts )2 1 s 2 (1 + Ts ) 1 s (1 + Ts )2 7 4 Alkalmazási példa 1. Oldjuk meg a T dv dt + v

= K ⋅ u inhomogén elsőrendű differenciál egyenletet, a, ha u(t)=δ(t) és v(-0)=0 a kezdeti feltétel. Vessük Laplace-transzformáció alá a differenciál egyenletet, és rendezzük: £ T dv + v = £{K ⋅ u} dt { } }+ £{v} = K £{u} T £{dv dt Ts£{v}+ £{v} = K £{u} £{v} = 1+KTs £{u} Mivel u(t)=δ(t) (Dirac delta), ezért Laplace-transzformáltja 1. (táblázat 2 sor) v(t ) = £ −1{V (s )} = £ −1 {1+KTs }= K ⋅ £ −1{1+1Ts }= KT e− t T Az időfüggvény meghatározásához a táblázat 8. sorát használhatjuk fel v (t ) K T 0 T t b, u(t)=1(t) ugrásfüggvény. Ennek transzformáltja: 1/s Behelyettesítve, és felhasználva a táblázat 9 sorát: t  −  1 1 -1 -1  K -1  1  T v(t ) = £ {V (s )} = £  ⋅  = K ⋅£  ⋅  = K 1− e    1 + Ts s  1 + Ts s    v(t) T K 0 t Látható, hogy az u függvényében egészen más eredményt kaptunk. Ez a példa lehetőséget biztosít arra, hogy

alapvető rendszertechnikai ismereteket bemutassunk Tegyük fel például, hogy az egyenlet egy autómotor erősen leegyszerűsített leíróegyenlete, amely a gázadás (u(t)) és a fordulatszám (v(t)) kapcsolatát modellezi. Az a, esetben csak egy „gázfröccsöt” adtunk, ennek következményeként a fordulatszám hirtelen felugrott, majd visszaállt az alapjárati értékre Rendszertechnikai szóhasználattal: a rendszert leíró egyenlet a d ifferenciálegyenlet, u(t) a bemenő jel, v(t) pedig a rendszer válasza (lsd. ábra) Esetünkben a bemenőjel δ(t), ekkor a válaszfüggvényt súlyfüggvénynek nevezzük, és w(t) a jelölése. Mint a konvolúciónál majd láthatjuk, ennek ismeretében tetszőleges bemenőjelre meghatározhatjuk a kimenőjelet. A b, esetben a bemenőjel az 1(t) volt (hirtelen gázadás). Ekkor v(t) neve átmeneti függvény, és jelölése: v a (t). Ennek ismerete is lehetőséget biztosít a kimenő jel meghatározására, hiszen ∫ δ(t ) = 1(t ) .

A rendszervizsgálatok tipikus bemenő jelei közé tartozik a δ(t) és az 1(t) Alkalmazási példa 8 5 Konvolúciós szorzás időtartományban Az u(t) bemenő jelet bontsuk fel dτ szélességű egymást követő impulzusok sorozatára. Ekkor u(τ)δ(t-τ) bemenőjel hatására (mivel u(τ) t-re konstans!) u(τ)w(t-τ) kimenőjel keletkezik, ahol w(t-τ) a súlyfüggvény. Ezen súlyfüggvények szuperpozíciója viszont az u(t)-re adandó v(t) válaszfüggvényt adja: t v(t ) = ∫ w(t − τ ) ⋅ u (τ)dτ. (16) 0 Más jelöléssel v(t)=w(t)*u(t), amelyet konvolúciós szorzásnak nevezünk. Általánosan igaz a következő összefüggés: t t 0 0 f (t ) ∗ g (t ) = ∫ f (τ ) ⋅ g (t − τ )dτ = ∫ f (t − τ ) ⋅ g (τ )dτ. (17) A rendszertechnikában a konvolúciónak kiemelkedő szerepe van mivel bizonyítható, hogy ha f(t) Laplace-transzformáltja F(s), g(t)-é pedig G(s), akkor: £ −1{F (s ) ⋅ G (s )} = f (t ) ∗ g (t ), (18) azaz két

függvény Laplace tartománybeli szorzata az időtartományban konvolúciós szorzásnak felel meg. A bizonyítás röviden, felhasználva, hogy többes integráloknál bizonyos kikötések mellett az integrálok felcserélhetők, valamint a nemrég bemutatott eltolási szabályt alkalmazva: ∞t ∫∫ 00 t∞ t ∞ 0 0 f (τ)g (t − τ)dτ ⋅ e − st dt = ∫ ∫ f (τ)g (t − τ)e − st dtdτ = ∫ f (τ )∫ g (t − τ )e − st dtdτ = 00 t t 0 0 = ∫ f (τ)e − sτG (s )dτ = G (s )∫ f (τ)e − sτ dτ, ha t ∞, akkor = G (s )F (s ). 6 Alkalmazási példák 2. Határozza meg az alábbi transzformált függvényhez tartozó időfüggvényt: 2 F (s ) = (s + 1)(s + 2)(s + 4) A kiosztott transzformációs táblázatban ilyen alakú függvényt nem találunk. Viszont tudjuk, hogy minden racionális törtfüggvény ún. résztörtekre bontható az alábbiak szerint: c c c 2 F (s ) = = 1 + 2 + 3 (s + 1)(s + 2)(s + 4) s + 1 s + 2 s + 4 Ez esetben (mivel a

nevező egyszeres valós gyökökkel rendelkezik) a számláló együtthatók a következőképpen határozhatók meg: ci = lim (s − α i ) ⋅ F (s ) , s αi ahol az αi-k a nevező gyökei. Esetünkben a gyökök: -1, -2, -4 c1 = (s + 1) ⋅ F (s ) s = −1 = 2 (s + 2)(s + 4) s = −1 = 2 3 c2 = (s + 2 ) ⋅ F (s ) s = −2 = 2 = −1 (s + 1)(s + 4) s = −2 c3 = (s + 4 ) ⋅ F (s ) s = −4 = 2 1 = (s + 1)(s + 2) s = −4 3 Konvolúciós szorzás időtartományban 9 A linearitási szabály értelmében az inverz transzformációt tagonként végezhetjük el. Ehhez átalakítva az egyes tagokat: 2 1 1 1 1 1 F (s ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ 1 3 1 + s 2 1 + 2 s 12 1 + 14 s Felhasználva a transzformációs táblázatot (7. sor): 2 1 f (t ) = ⋅ e −t − e −2t + ⋅ e −4t 3 3 3. Határozza meg az alábbi transzformált függvényhez tartozó időfüggvényt: Ap F (s ) = s(1 + T1s )(1 + T2 s )(1 + T3 s ) A transzformációs táblázatban ez az összefüggés nem

szerepel, de felbontható olyan tényezők szorzatára, amelyek külön-külön már szerepelnek: Ap 1 ⋅ F (s ) = F1 (s ) ⋅ F2 (s ) = (1 + T1s )(1 + T2 s ) s(1 + T3 s ) E szorzatnak időtartományban konvolúciós szorzat felel meg, tehát: t f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫ f1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ)dτ, ahol 0 t  −t − A  p f1 (t ) = £ −1{F1 (s )} = e T1 − e T2 T1 − T2   f 2 (t ) = £ −1 {F2 (s )} = 1 − e − t T3      . t −τ  τ  −τ − −     T1 T2   f (t ) = ∫ e −e ⋅ 1 − e T3 dτ   T − T2     0 1     Összeszorzás és kiemelés után: T −T T −T t  τ τ − −τ 3 1 −τ 3 2 − Ap t − T  T T T T2T3 T 1 3 −e f (t ) = e 1 − e 2 − e 3 ⋅e ∫ T1 − T2 0   t Ap    dτ =   t T −T T −T t  τ τ  − −τ 3 1 − τ 3 2  − − Ap    T T T T = − T1e T1 + T2 e T2 − e T3

⋅  − 1 3 e T1T3 + 2 3 e T2T3  = T3 − T2 T1 − T2   T3 − T1     0 t t t −  − − A p  T32 (T2 − T1 ) T12 T22 T3  T1 T2 (T1 − T2 ) + e e e = − +  (T3 − T1 )(T3 − T2 ) T1 − T2  T3 − T1 T3 − T2   Ha pl. Ap=2, T1=10sec, T2=20sec, T3=30sec, akkor az időfüggvénybe való behelyettesítés után a következő eredményt kapjuk: t t t 2  100 −10 400 − 20 900 ⋅ 10 − 30  f (t ) = e e e − 10 + − + 20 10 20 ⋅ 10 − 10     t t  1 −t − 9 − 30  10 20   + 4e − e f (t ) = 2 1 − e 2  2    Alkalmazási példák 10 4. Ha egy tömegpontra, amely csillapítatlan rezgőmozgást végez periodikus erőhatást gyakorolnak, a pont kényszerrezgést végez. Legyen a periodikus gerjesztő erő F=F0sinωgt, ekkor a mozgást leíró differenciálegyenlet: F y + ω2 y = 0 sin ω g t m Legyenek a kezdeti feltételek: y (0 ) = 0, y (0

) = v0 , azaz a tömegpont középen van. Határozzuk meg a kitérést, mint az idő függvényét. Jelenlegi ismereteink szerint ezt a feladatot megoldhatjuk időtartományban is, operátoros tartományban is. Hasonlítsuk össze a két megoldási módszert a, A kapott differenciálegyenlet egy állandó együtthatós, inhomogén másodrendű lineáris egyenlet. Általános megoldását a homogén rész általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összegeként kaphatjuk meg. A megfelelő homogén y + ω2 y = 0 egyenlet megoldását keressük yh=Asinωt+Bcosωt alakban *. A kezdeti feltételeket ugyan később kell csak figyelembe venni, de célszerűségi okokból ettől most eltérünk. Kihasználjuk, hogy y(0)=0, ezért a m egoldásban cos-os tag biztosan nem lesz, azaz B=0. Ellenőrizzük most, hogy yh valóban megoldása a homogén egyenletnek: y h = Aω cos ωt , yh = − Aω2 sin ωt. Behelyettesítve: − Aω 2 sin ωt +

ω 2 A sin ωt = 0. Látható tehát, hogy yh valóban a homogén egyenlet megoldása. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását keressük y = y h + a sin ω g t + b cos ω g t = A sin ωt + a sin ω g t + b cos ω g t ( ) próbafüggvény felhasználásával. Az y(0)=0 kezdeti feltétel miatt most is megállapítható, hogy b=0 Helyettesítsük be a próbafüggvényt a differenciálegyenletbe, és rendezzük: y = − Aω2 sin ωt − aω2g sin ω g t − Aω 2 sin ωt − aω 2g sin ω g t + ω 2 A sin ωt + ω 2 a sin ω g t = ( a (ω ) Fm sin ω t ) = Fm a sin ω g t ω 2 − ω 2g = a= 2 − ω 2g ( F0 2 m ω − ω 2g 0 F0 sin ω g t m g 0 ) A homogén rész megoldása két egymástól lineárisan független partikuláris megoldás összegeként kapható. A differenciál egyenlet partikuláris megoldását y=eλt alakban keressük, mert ez az egyetlen függvény, amely arányos a deriváltjaival Behelyettesítve a differenciál egyenletbe: λ2

e λt + ω2 e λt = 0⇒λ2 + ω2 = 0 λ1, 2 = ± jω * y1 = e jωt , y 2 = e − jωt Ez két lineárisan független megoldás, hiszen c1y1+c2y2=0 csak akkor áll fenn, ha c1=c2=0. A homo- gén rész általános megoldása tehát: y h = c1e jωt + c2 e − jωt Alkalmazva az EULER-féle formulát: y h = A sin ωt + B cos ωt , ahol A = c1 + c2 , és B = c1 − c2 . Alkalmazási példák 11 Ahogy az várható is volt, a megoldás egy része (a homogén egyenlet megoldása) kiesett így az egyik paramétert meg lehetett határozni. Az egyik (y(0)=0) kezdeti feltételt már felhasználtuk, vegyük most a másikat A meghatározásához: F0 ω g y = Aω cos ωt + cos ω g t m ω2 − ω2g ( y (0 ) = Aω + A= ( ) F0 ω g m ω2 − ω2g )=v 0 F0 ω g v0 . − ω mω ω2 − ω2g ( ) Behelyettesítés után nyerjük a differenciálegyenlet megoldását: F0 ω g v F0 y = 0 sin ωt − sin ω t + sin ω g t. ω mω ω2 − ω2g m ω2 − ω2g ( ) ( ) b, Oldjuk meg

ugyanezt a f eladatot Laplace-transzformációval. A differenciálegyenlet Laplace-transzformáltja * : ωg F s 2Y (s ) − v0 + ω2Y (s ) = 0 ⋅ 2 m s + ω2g Ezt Y(s)-re rendezve: Y (s ) = ωg F0 v 1 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2 0 2. 2 2 m s + ωg s + ω s +ω A Laplace-transzformáció tulajdonságait figyelembe véve az inverz transzformációt tagonként végezhetjük el a táblázat segítségével. Az első tag visszatranszformálását részlettörtekre bontással is elvégezhetjük – ekkor elegendő a kiosztott segédlet – vagy felhasználhatjuk a következő kiegészítő összefüggést: 1 1 (a sin bt − b sin at ) F (s ) = 2 ⇒ f (t ) = 2 2 2 2 s +a s +b ab a − b 2 amellyel az első tag inverz transzformáltja:   F0ω g F0ω g F0 1 = ω − t £ −1  sin sin ωt , ⋅ 2  g s + ω2g s 2 + ω2  m ω2 − ω2g m ω2 − ω2g ω  m a második tag inverz transzformáltja a táblázat segítségével  v  v £ −1  2 0 2  = 0 sin ωt , s

+ ω  ω a differenciálegyenlet megoldása tehát: F0ω g F0 v0 y (t ) = sin ω t − sin ω t + sin ωt. g ω m ω2 − ω2g mω ω2 − ω2g ( )( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Látható, hogy ezzel a módszerrel is ugyan azt az eredményt kaptuk. * A kezdeti feltételeket itt kell figyelembe venni! Alkalmazási példák 12 7 Átviteli függvény Folytonos, lineáris, koncentrált paraméterű rendszerek esetén a rendszert leíró differenciálegyenlet állandó együtthatós, lineáris, közönséges inhomogén differenciálegyenlet lesz, melynek általános alakja: du d nv dv d mu + b0u (t ) , (19) an n +  + a1 + a0v(t ) = bm m +  + b1 dt dt dt dt ahol u(t) a rendszert érő hatást leíró-, v(t) pedig a rendszer válaszát leíró függvény. Tegyük fel, hogy v(0) = 0, v(0) = 0, v (n −1) (0 ) = 0, valamint u (0 ) = 0, u (0 ) = 0,u (m −1) (0 ) = 0. Ezen feltételek mellett állítsuk elő a differenciálegyenlet Laplace

transzformáltját *: (20) an ⋅ s n ⋅ V (s ) +  + a1 ⋅ s ⋅ V (s ) + a0 ⋅ V (s ) = bm ⋅ s m ⋅ U (s ) +  + b1 ⋅ s ⋅ U (s ) + b0 ⋅ U (s ) Kiemelve V(s)-t és U(s)-t: V (s ) ⋅ an ⋅ s n +  + a1 ⋅ s + a0 = U (s ) ⋅ bm ⋅ s m +  + b1 ⋅ s + b0 . Az átviteli függvény definíció szerint a kimenet Laplace transzformáltja osztva a bemenet Laplace transzformáltjával, tehát: V (s ) bm ⋅ s m +  + b1 ⋅ s + b0 Y (s ) = = . (21) U (s ) an ⋅ s n +  + a1 ⋅ s + a0 Ha egy rendszernek ismerjük az átviteli függvényét, akkor könnyen meghatározhatjuk a különböző bementekhez tartozó válaszokat, hiszen: ( ) ( ) V (s ) = Y (s ) ⋅ U (s ) (22) Problémát csak az inverz transzformáció okozhat, ami nem minden esetben végezhető el. A rendszer vizsgálatok során több un. tipikus vizsgálójelet alkalmaznak Ezek közül most kettőnek, az egység impulzusnak (u(t)=δ(t)) és az egységugrásnak (u(t)=1(t)) a használatát

vizsgáljuk meg. 7.1 Válasz egységimpulzus bemenet esetén Ebben az esetben a választ súlyfüggvénynek hívjuk és a jele w(t). Az egységimpulzus Laplace transzformáltja 1, így a válasz: (23) W (s ) = Y (s ) Elmondhatjuk tehát, hogy az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace transzformáltja. 7.2 Válasz egységugrás bemenet esetén Ebben az esetben a választ átmeneti függvénynek hívjuk és a jele v a (t). Az egységugrás Lap1 lace transzformáltja , így a válasz: s 1 (24) Va (s ) = ⋅ Y ( s ) s Felhasználva az előző (súlyfüggvényre vonatkozó) megállapításunkat: 1 (25) Va (s ) = ⋅ W ( s ) s Ha f(t) Laplace transzformáltja F(s), akkor df Laplace transzformáltja s·F(s)-f(-0). A feltételekre azért van szükség, dt hogy az f(-0) értéke zérus legyen. * Átviteli függvény 13 Tudjuk azonban azt is, hogy ha az operátoros tartományban s-el osztunk, akkor az az időtartománybeli integrálásnak felel meg, így: t va (t ) = ∫

w(τ) ⋅ dτ , (26) 0 azaz az átmeneti függvényt a súlyfüggvény integrálásával kapjuk. Természetesen igaz ennek fordítottja is: dv (27) w(t ) = a . dt Hasonló kapcsolat határozható meg a – ritkábban használt – egységnyi sebességugrás (t·1(t)), t2 és az egységnyi gyorsulásugrás ( ·1(t)) esetén is: 2 d 3vt 2 2 d 2v dv (28) = 2t = a = w(t ) 3 dt dt dt 8 Példák átviteli függvény alkalmazására 1. Legyen a rendszert leíró differenciálegyenlet: T ⋅ v + v(t ) = K ⋅ u (t ), és v(0 ) = 0 rendszer válaszát u (t ) = δ(t ); 1(t ); t ⋅1(t ); sin αt és 1(t − τ) esetén. Határozzuk meg a Első lépésként állítsuk elő a rendszer átviteli függvényét: T ⋅ s ⋅ V (s ) + V (s ) = K ⋅ U (s ) V (s ) K Y (s ) = = U (s ) 1 + T ⋅ s Ebből már könnyen felírható a válasz transzformált alakja: K V (s ) = ⋅ U (s ) 1+ T ⋅ s a, u (t ) = δ(t ) ⇒ U (s ) = 1 1 V (s ) = K 1+ T ⋅ s A táblázat alapján: t 1  1 −T £ 

 = e , ezért 1 + T ⋅ s  T −1  t t 1 − K − v(t ) = K ⋅ e T = e T = w(t ) T T K T w 0 Példák átviteli függvény alkalmazására T t 14 b, u (t ) = 1(t ) ⇒ U (s ) = 1 s V (s ) = K 1 s ⋅ (1 + T ⋅ s ) A táblázat alapján: t −   1 £ −1   = 1 − e T , ezért  s ⋅ (1 + T ⋅ s ) t  −   T v(t ) = K ⋅ 1 − e  = va (t )     K Va 0 T t Ellenőrzésre felhasználhatjuk a súlyfüggvény és az átmeneti függvény közötti kapcsolatot: ′ t t ′    1 −t  K −t −  −  dva       T T = K − K ⋅e w(t ) = = 0 − K ⋅− ⋅e T  = e T = K ⋅ 1− e   T  T    dt          Mint láthatjuk, a deriválás eredményeként tényleg a súlyfüggvényt kaptuk. c, u (t ) = t ⋅1(t ) ⇒ U (s ) = 1 s2 V (s ) = K 1 s ⋅ (1 + T ⋅ s ) 2 A táblázat alapján:  −t t  

 e T + − 1 , ezért £  2 T =   T   s ⋅ (1 + T ⋅ s )   t   −  T v(t ) = K ⋅ T ⋅ e + t − T ⋅1 = vt (t )     Ellenőrzésre felhasználhatjuk azt a tényt, hogy az eredményünk deriválásával az átmeneti függvényt kell kapnunk: ′ t t t      − −  dvt    1  −T    T T =  K ⋅ T ⋅ e + t − T  = K ⋅ T ⋅  −  ⋅ e + K − 0 = K ⋅ 1 − e  = va (t )    dt    T      Mint láthatjuk, a deriválás eredményeként tényleg az átmeneti függvényt kaptuk. −1  Példák átviteli függvény alkalmazására 1 15 Vt T 0 d, u (t ) = sin αt ⇒ U (s ) = t α 2 s + α2 K 1 α ⋅ 2 1  s + α2 T  s +   T Mivel a táblázat most nem segít, ezért nekünk kell meghatározni az inverz függvényt. A V(s) azonban két olyan függvény szorzataként van felírva, amelyek benne vannak

a táblázatban. Ilyen esetben a konvolúciós szorzással próbálkozhatunk. A későbbiekben – más paraméterekkel – elő fog még fordulni ez a függvény, ezért egy általánosabb alak visszatranszformálását végezzük el: α2 1 F (s) = ; G(s) = 2 a+s s + α2 V (s ) = f (t ) = e − at ; g (t ) = sin αt Alkalmazva a konvolúciót, miszerint: t £ −1{F ( s ) ⋅ G ( s )} = ∫ f (t − τ) ⋅ g (τ)dτ 0 esetünkben az t I = ∫ e − a (t − τ ) ⋅ sin ατ dτ 0 integrált kell meghatározni. Mivel ebben a f ormában nem szerepel integrál táblázatban, ezért nekünk kell meghatároznunk Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét v = e − a (t − τ ) , és u = sin ατ helyettesítésekkel: t t  e − a (t − τ )  α t − a (t − τ ) sin αt α I = sin ατ − ∫ e cos ατ dτ = − 0 − ∫ e − a (t − τ ) cos ατ dτ a a0  0 a 0  a Ismét parciális integrálást kell alkalmazni, de most u = cos ατ : t

 α t − α − a (t − τ ) sin αt α  e − a (t − τ ) cos ατ + ∫ sin ατ dτ = −  I= e a a  a  0 a 0 a t α α2 sin αt α = − 2 cos αt + 2 e − at − 2 ∫ e − a (t − τ ) sin ατ dτ a a a a 0 Vegyük észre, hogy a megmaradt integrál éppen a kiinduló integrálunk, amit I-vel jelöltünk, ezért: sin αt α α α2 − 2 cos αt + 2 e − at − 2 I I= a a a a Példák átviteli függvény alkalmazására 16 Ebből az egyenletből I-t kifejezve kapjuk a keresett eredményt: α α a (29) sin αt − 2 cos αt + 2 I= 2 e − at . 2 2 2 α +a α +a α +a K 1 Esetünkben a = és -vel szorozni kell, így a megoldás a lehetséges kiemelések után: T T t  −  K  v(t ) = sin αt − αT cos αt + αTe T  2 2  1+ α T   v t A megoldás helyességét legegyszerűbben a differenciálegyenletbe való visszahelyettesítéssel ellenőrizhetjük. 1 e, u (t ) = 1(t − τ) ⇒ U (s ) = e − τs s 1 V (s ) = K e

− τs s ⋅ (1 + T ⋅ s ) Ha egy visszatranszformálandó függvény e − τs -el van szorozva, akkor csak azt kell visszatranszformálni, ami szorozva van, de t helyett a t-τ helyen kell venni a függvényt (eltolási szabály), így a megoldás: t −τ   − v(t ) = K ⋅ 1 − e T  = va (t − τ) .     K Va 0 Példák átviteli függvény alkalmazására τ T+τ t 17 2. Legyen a rendszert leíró differenciálegyenlet: v + 4 ⋅ v + 3 ⋅ v(t ) = u (t ), és v(0 ) = 0; v(0 ) = 0 Határozzuk meg a rendszer válaszát u (t ) = δ(t ); 1(t ); t ⋅1(t ); sin αt és 1(t − τ) esetén Első lépésként állítsuk elő a rendszer átviteli függvényét: s 2 ⋅ V ( s ) + 4 ⋅ s ⋅ V (s ) + 3 ⋅ V (s ) = U (s ) V (s ) 1 1 Y (s ) = = = 2 (1 + s )(3 + s ) U (s ) 3 + 4 ⋅ s + s A nevezőben lévő másodfokú polinomot a gyöktényezős alak segítségével szorzat formájában is felírhatjuk. Ebből már könnyen felírható a

válasz transzformált alakja: 1 V (s ) = ⋅ U (s ) (1 + s )(3 + s ) a, u (t ) = δ(t ) ⇒ U (s ) = 1 1 V (s ) = W (s ) = (1 + s )(3 + s ) A kiosztott transzformációs táblázatban ilyen alakú függvényt nem találunk. Viszont tudjuk, hogy minden racionális törtfüggvény ún. résztörtekre bontható az alábbiak szerint: 1 c c W (s) = = 1 + 2 (1 + s )(3 + s ) 1 + s 3 + s A c 1 , c 2 konstansok meghatározására használhatjuk a 6. fejezet 2 példájában bemutatott módszert, vagy közös nevezőre hozva, majd összeadva a törteket, a számláló alapján felállíthatunk egy lineáris egyenletrendszert: c c c (3 + s ) + c2 (1 + s ) (3c1 + c2 ) + s (c1 + c2 ) 1 W (s) = = 1 + 2 = 1 = (1 + s )(3 + s ) 1 + s 3 + s (1 + s )(3 + s ) (1 + s )(3 + s ) 3c1 + c2 = 1 a konstans tagra c1 + c2 = 0 az s - t tartalmazó tagokra 1 1 Az egyenletrendszer megoldása: c1 = , c2 = − , így 2 2 1 1 1 1 W ( s) = ⋅ − ⋅ 2 1+ s 2 3 + s A táblázat alapján:  1  − α⋅t , ezért

£ −1  =e α + s  1 1 w(t ) = e −t − e −3t 2 2 (30) w 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 t 0 0 Példák átviteli függvény alkalmazására 1 2 3 4 18 b, u (t ) = 1(t ) ⇒ U (s ) = 1 s 1 s (1 + s )(3 + s ) Hasonlóan járunk el, mint az előző feladatnál a részletszámításokat mellőzve: V (s ) = Va (s ) = Va (s ) = c c c 1 3c + s(4c1 + 3c2 + c3 ) + s 2 (c1 + c2 + c3 ) = 1+ 2 + 3 = 1 s (1 + s )(3 + s ) s 1 + s 3 + s s (1 + s )(3 + s ) 3c1 = 1 4c1 + 3c2 + c3 = 0 c1 + c2 + c3 = 0 1 1 1 c1 = ; c2 = − ; c3 = 3 2 6 1 1 1 1 1 1 Va (s ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ 3 s 2 1+ s 6 3 + s 1 1 1 va (t ) = ⋅1(t ) − ⋅ e −t + ⋅ e −3t 3 2 6 va 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 2 4 6 t Oldjuk meg a feladatot másként is. Kihasználhatjuk, hogy már ismerjük a rendszer súlyfüggvényét, és amit keresünk, az az átmeneti függvény Ezen két függvény között azonban ismert a kapcsolat: t t  t t  e −3t 1  1   e − τ   e

−3τ   1  −t  1 − τ 1 − 3τ  = − + + − = − va (t ) = ∫ w(τ)dτ = ∫  e − e dτ =   e 1      − − 2 2 2 1 3 2 3 3          0   0  0 0  1 1 1 = ⋅1(t ) − ⋅ e −t + ⋅ e −3t 3 2 6 1 c, u (t ) = t ⋅1(t ) ⇒ U (s ) = 2 s 1 V (s ) = Va (s ) = s (1 + s )(3 + s ) Hasonlóan járunk el, mint az előző feladatnál, de mivel itt többszörös gyök is van (s=0), ezért az ebből adódó törtet minden – a gyök multiplicitásánal kisebb – kitevővel szerepeltetni kell. A részletszámításokat mellőzve: Példák átviteli függvény alkalmazására 19 Vt (s ) = = 1 s (1 + s )(3 + s ) 2 = c1 c2 c c + 2+ 3 + 4 = s s 1+ s 3 + s 3c2 + s (3c1 + 4c2 ) + s 2 (4c1 + c2 + 3c3 + c4 ) + s 3 (c1 + c3 + c4 ) s 2 (1 + s )(3 + s ) 3c2 = 1 3c1 + 4c2 = 0 4c1 + c2 + 3c3 + c4 = 0 c1 + c3 + c4 = 0 4 1 1 1 c1 = − ; c2 = ; c3 = ; c4 = − 9 3 2 18 4 1 1 1 1 1 1 1 Vt

(s ) = − ⋅ + ⋅ 2 + ⋅ − ⋅ 9 s 3 s 2 1 + s 18 3 + s 4 1 1 1 vt (t ) = − ⋅1(t ) + t + ⋅ e −t − ⋅ e −3t 9 3 2 18 vt 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1 Ellenőrizzük a kapott eredményt a d, u (t ) = sin αt ⇒ U (s ) = α 2 3 4 t dvt = va (t ) összefüggés felhasználásával. dt s2 + α2 1 s 2 + α (1 + s )(3 + s ) A 2.a, feladatnál kapott (30) eredmény alapján: α α 1 1 1 1 1  V (s ) = 2 ⋅ = 2 ⋅ − ⋅ = 2 (1 + s )(3 + s ) 2  2 1+ s 2 3 + s  s +α s +α   1 α 1 1 α 1 1 1 = ⋅ 2 ⋅ − ⋅ 2 ⋅ = ⋅ V1 (s ) − ⋅ V2 (s ) 2 2 2 s + α 1+ s 2 s + α 3 + s 2 2 V 1 (s) és V 2 (s) hasonló szerkezetű, és inverz transzformáltjukat általános alakban az 1.d, feladatnál már meghatároztuk, így (29) alapján – V 1 (s) esetén a=1, V 2 (s) esetén pedig a=3 – helyettesítéseket alkalmazva: α α α α 1 1  1 3  v(t ) =  e −t  −  e −3t  = sin αt − cos αt + sin αt − cos αt + 2 2 2 2 2 2

2 1+ α 1+ α 1+ α 9+α 9+α  29+α  V (s ) = = 3 − α2 2 2 (1 + α )(9 + α ) sin αt − α ⋅ 2 α α 1 1 e −t − ⋅ e −3t cos αt + ⋅ 2 2 2 9+α 2 1+ α (1 + α )(9 + α ) Példák átviteli függvény alkalmazására 4α 2 2 20 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 -0,005 0 -0,01 -0,015 2 4 1 e, u (t ) = 1(t − τ) ⇒ U (s ) = e − τs s V (s ) = 6 8 10 1 e − τs s (1 + s )(3 + s ) Ha egy visszatranszformálandó függvény e − τs -el van szorozva, akkor csak azt kell visszatranszformálni, ami szorozva van, de t helyett a t-τ helyen kell venni a függvényt (eltolási szabály), így a megoldás (2.b, alapján): 1 1 1 va (t − τ) = ⋅1(t − τ ) − ⋅ e − (t − τ ) + ⋅ e −3(t − τ ) 3 2 6 va 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 τ 2 4 6 t 3. Méréssel meghatároztuk egy rendszer átmeneti függvényét: 10 va t 0 0 2 4 6 8 10 Határozzuk meg a rendszer közelítő átmeneti

függvényét, súlyfüggvényét, átviteli függvényét, és a leíró differenciálegyenletet. Példák átviteli függvény alkalmazására 21 Első lépésként keresnünk kell olyan függvényt, amely az ábrán láthatóhoz hasonló jellegű. Leginkább megfelelőnek a 2,b és 1,e megoldások ábrája tűnik. A 2,b-vel az a baj, hogy túl meredeken indul, így válasszuk az 1,e-t 10 0 va t 0 0,4 2 2,62 4 6 8 10 Az ábrán vékony vonallal jelöltük az eredeti, mért görbét, vastaggal pedig a közelítést. Jól látható, hogy lényeges eltérés csak az elején van, később a közelítő görbe vastagabb vonala teljesen eltakarja az eredeti görbét. K Va 0 τ T+τ t Olvassuk le a paramétereket az ábráról: K=10; τ=0,4; T=2,22. Ezek felhasználásával a közelítő átmeneti függvény: t − 0, 4  t −τ    − −     va (t ) ≈ K ⋅ 1 − e T = 10 ⋅ 1 − e 2, 22          A

súlyfüggvény: t − 0, 4 dva 10 − 2, 22 = w(t ) ≈ e dt 2,22 Az átviteli függvény: t − 0, 4   1 − 2, 22  1 Y (s ) = £ 10 ⋅ e ⋅ e 0, 4 s  = 10 ⋅ 1 + 2,22 s  2,22  A rendszert leíró differenciálegyenlet: v(s ) 10 e 0, 4 s = u (s ) 1 + 2,22s −1  2,22 ⋅ s ⋅ v(s ) + v(s ) = 10 ⋅ u (s ) ⋅ e 0, 4 s dv 2,22 + v(t ) = 10 ⋅ u (t − 0,4 ) dt Példák átviteli függvény alkalmazására 22 9 Példák konvolúció alkalmazására 1. Egy rendszer súlyfüggvénye: w(t ) = 16 ⋅ e −2t Határozzuk meg u (t ) = sin 2t esetén a rendszer válaszát, valamint az átviteli függvényt Alkalmazzuk a konvolúciós tételt: t t t 0 0 0 v(t ) = ∫ w(t − τ) ⋅ u (τ)dτ = ∫ 16e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ = 16∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ A (29) összefüggés alapján a=α=2 helyettesítéssel: 2 2 − 2t   2 sin 2t − cos 2t + v(t ) = 16 e  = 4 sin 2t − 4 cos 2t + 4e − 2t 4+4 4+4 4+4

 Az átviteli függvényt a súlyfüggvényből lehet meghatározni: 1 Y (s ) = w(s ) = 16 2+s Ellenőrzésként állítsuk elő a rendszert leíró differenciálegyenletet, majd behelyettesítéssel győződjünk meg róla, hogy v(t) tényleg megoldása. v(s ) 16 = u (s ) 2 + s s ⋅ v(s ) + 2 ⋅ v(s ) = 16 ⋅ u (s ) dv + 2 ⋅ v(t ) = 16 ⋅ u (t ) dt Behelyettesítve: 8 cos 2t + 8 sin 2t − 8e −2t + 8 sin 2t − 8 cos 2t + 8e −2t = 16 sin 2t = 16u (t ) 1 1 1 2. Egy rendszer átmeneti függvénye: va (t ) = − ⋅ e −t + ⋅ e −3t Határozzuk meg u (t ) = sin t esetén 3 2 6 a rendszer válaszát, valamint az átviteli függvényt, a súlyfüggvényt és a rendszert leíró differenciálegyenletet. a, Tetszőleges bemenethez meghatározható a kimenet a konvolúciós tétel felhasználásával, ha ismerjük a súlyfüggvényt. Most az átmeneti függvény adott, amelynek deriválásával azonban a súlyfüggvény előállítható: 1 1 dva = w(t ) = ⋅ e −t −

⋅ e −3t 2 2 dt Alkalmazzuk a konvolúciós tételt: t v(t ) = ∫ w(t − τ ) ⋅ u (τ )dτ = 0 t t 1 − (t − τ ) e ⋅ sin τ − e −3(t − τ ) ⋅ sin τ dτ = ∫ 20 t 1 1 = ∫ e − (t − τ ) ⋅ sin τ dτ − ∫ e −3(t − τ ) ⋅ sin τ dτ 20 20 A (29) összefüggés alapján a=α=1 és a=3, α=1 helyettesítéssel: 11 1 1 1 1  1 3  v(t ) =  sin t − cos t + e −t  −  sin t − cos t + e −3t  = 22 2 2 2 10 10 10    1 1 1 1 1 1 1 3  1 1  =  −  sin t −  −  cos t + e −t − e −3t = sin t − cos t + e −t − e −3t 4 20 10 5 4 20  4 20   4 20  b, Az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace transzformáltja, így: 1 1 1 1 1 3 + s −1− s 1 − ⋅ = ⋅ Y ( s ) = w( s ) = ⋅ = 2 1 + s 2 3 + s 2 (1 + s )(3 + s ) (1 + s )(3 + s ) Példák konvolúció alkalmazására 23 1 −t 1 −3t ⋅e − ⋅e 2 2 d, A differenciálegyenletet az átviteli

függvényből kaphatjuk: v( s ) 1 1 Y (s) = = = u ( s ) (1 + s )(3 + s ) 3 + 4 s + s 2 c, A súlyfüggvényt már meghatároztuk: w(t ) = s 2 ⋅ v( s ) + 4 s ⋅ v( s ) + 3 ⋅ v( s ) = u ( s ) d 2v dv + 3 ⋅ v(t ) = u (t ) dt dt 2 Ellenőrzés: ha a, megoldást a differenciálegyenlet bal oldalába helyettesítjük, akkor sint-t kell kapni eredményül: 1 1 1 1 v(t ) = sin t − cos t + e −t − e −3t 10 5 4 20 dv 1 1 1 3 = cos t + sin t − e −t + e −3t dt 10 5 4 20 d 2v +4 1 1 1 −t 9 −3t + + sin cos t t e − e 10 5 4 20 dt 2  1 4 3 1 4 3  1 4 3  −t  9 10 3  −3t − e =  − + +  sin t +  + −  cos t +  + + e +  − +  10 5 10   5 10 5  4 4 4  20 20 20  10 = sin t + 0 ⋅ cos t + 0 ⋅ e −t + 0 ⋅ e −3t = sin t 10 =− 3. Egy rendszer átmeneti függvénye: va (t ) = e −2t + 2t − 1 Határozzuk meg u (t ) = sin 2t esetén a rendszer válaszát, valamint az átviteli

függvényt, a súlyfüggvényt és a rendszert leíró differenciálegyenletet. a, Tetszőleges bemenethez meghatározható a kimenet a konvolúciós tétel felhasználásával, ha ismerjük a súlyfüggvényt. Most az átmeneti függvény adott, amelynek deriválásával azonban a súlyfüggvény előállítható: dva = w(t ) = −2 ⋅ e − 2t + 2 dt Alkalmazzuk a konvolúciós tételt: t t 0 0 ( ) v(t ) = ∫ w(t − τ) ⋅ u (τ)dτ = ∫ 2 − 2 ⋅ e − 2t ⋅ sin 2τ dτ = t t t t  cos 2τ  = 2∫ sin 2τ dτ − 2 ∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ = 2 − − 2 ∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ =  2 0  0 0 0 t = − cos 2t + 1 − 2 ∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ 0 A (29) összefüggés alapján a=α=2 helyettesítéssel: 1 1 1 1 1 1  v(t ) = 1 − cos 2t − 2 sin 2t − cos 2t + e − 2t  = 1 − sin 2t − cos 2t − e − 2t 4 4 2 2 2 4  b, Az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace

transzformáltja, így: 1 2 2+s−s 4 Y ( s ) = w( s ) = −2 ⋅ = + = 2⋅ 2+s s s (2 + s ) s (2 + s ) c, A súlyfüggvényt már meghatároztuk: w(t ) = −2 ⋅ e −2t + 2 Példák konvolúció alkalmazására 24 d, A differenciálegyenletet az átviteli függvényből kaphatjuk: v( s ) 4 1 Y ( s) = = = u ( s) s(2 + s) 2s + s 2 s 2 ⋅ v( s ) + 2 s ⋅ v( s ) = 4 ⋅ u ( s ) d 2v dv + 2 = 4 ⋅ u (t ) 2 dt dt Ellenőrzés: ha a, megoldást a differenciálegyenlet bal oldalába helyettesítjük, akkor 4 ⋅ sin 2t -t kell kapni eredményül: 1 1 1 v(t ) = 1 − sin 2t − cos 2t − e − 2t 2 2 2 dv = − cos 2t + sin 2t + e − 2t dt d 2v dt 2 = 2 sin 2t + 2 cos 2t − 2e − 2t (2 + 2)sin 2t + (2 − 2)cos 2t + (− 2 + 2)e − 2t = 4 sin 2t = 4u (t ) Példák konvolúció alkalmazására 25 Tartalomjegyzék 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bevezetés . 2 A FOURIER-transzformáció . 2 A LAPLACE-transzformáció. 3 3.1 Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja. 3

3.11 Az egységugrás Laplace transzformáltja . 3 3.12 Az egységnyi sebességugrás Laplace transzformáltja . 3 3.13 Az exponenciális függvény Laplace transzformáltja . 4 3.2 Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek) . 5 3.21 LINEARITÁSI szabály . 5 3.22 ELTOLÁSI szabály. 5 3.23 HASONLÓSÁGI szabály . 5 3.24 DIFFERENCIÁLÁS időtartományban . 5 3.25 INTEGRÁLÁS időtartományban . 6 Alkalmazási példa . 8 Konvolúciós szorzás időtartományban . 9 Alkalmazási példák . 9 Átviteli függvény . 13 7.1 Válasz egységimpulzus bemenet esetén . 13 7.2 Válasz egységugrás bemenet esetén . 13 Példák átviteli függvény alkalmazására . 14 Példák konvolúció alkalmazására . 23