Alapadatok
Év, oldalszám:2001, 9 oldal
Nyelv:magyar
Letöltések száma:321
Feltöltve:2007. augusztus 30.
Méret:207 KB
Intézmény:
-
Megjegyzés:
Csatolmány:-
Letöltés PDF-ben:Kérlek jelentkezz be!
Értékelések
Nincs még értékelés. Legyél Te az első!
Mit olvastak a többiek, ha ezzel végeztek?
Tartalmi kivonat
Határozatlan integrál Láthatjuk, hogy a primitívfüggvény segítségével elég könnyen meghatározható a határozott integrál. Ennek meghatározása viszont sokszor nagyon nehéz A feladat megoldásához hasznos fogalom a határozatlan integrál. A határozatlan integrál fogalma Az függvény primitívfüggvényeinek összességét nevezzük az f függvény határozatlan integráljának. Jele: Az integrálandó függvényt (itt példa 3 Az függvény, tehát (Itt a legyen a -et) integrandusnak nevezzük. függvény. Ennek egy primitív függvénye a az integrandus.) Az integrálás szabályai és az alapintegrálok Az integrálás szabályai a tankönyv 202. oldalán található tételekben szerepelnek A továbbiakban használni fogjuk a tankönyv 201. oldalán szereplő integráltáblázatot Gyakorlásképpen ellenőrizhetjük annak helyességét. példa 4 A táblázat szerint Mivel deriváltja . Valóban, hiszen a jobboldal deriváltja , sosem kell vele
ellenőrzéskor foglalkozni. Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához Bontsuk gondolatban tagokra az integrálandó függvényt (azaz az integrandust), (ezeket külön-külön integrálhatjuk), majd gondolatban emeljük ki az együtthatókat. példa 5 Mivel lesz egyenlő Megoldás: Ez az integrál három tagból áll. Az első együtthatója 4, a másodiké harmadiké ,a . Mindegyik függvény integrálját megtalálhatjuk a táblázatban, így az eredmény könnyen adódik: A közbenső lépést nem szoktuk leírni, a C konstanst pedig elég egyszer kiírni annak ellenére, hogy három integrálunk van. A táblázatban nem szereplő függvények integrálása A függvények integrálása bonyolultabb mint a deriválása. Itt csak a legfontosabb függvénytípusok integrálására található szabály. (Általában igaz, hogy nem minden függvény integrálja írható fel ,,egyszerű alakban. Például a összegként (végtelen sorként)
írható fel.) Az integrandus alakú Ilyenkor egy primitív függvény az példa 6 is csak végtelen sok tagú Az integrandus alakú Szabály: (Igazoljuk az állítást!) Mi a baj az esettel? Az integrandus alakú Szabály: Az integrandus alakú Szabály: Általában, ha egy szorzatfüggvényt integrálunk, akkor érdemes megnézni hogy az egyik összetett függvény-e. Ha a másik függvény a belső függvény deriváltja, akkor a szabály alapján integrálhatjuk. példa 7 Megoldás: Összetett függvények esetén ellenőriznünk kell, hogy szerepel e szorzóként a belső függvény deriváltja. Itt az integrandus írható deriváltja az függvény, így alakban. Az függvény Parciális integrálás Az azonosság alapján sok esetben egyszerűbb integrálra vezethetjük vissza az eredeti integrált. Ezt nevezzük parciális integrálásnak (Itt még nem kell kiírni a jobboldalon a C konstanst, hisz azt az integrál tartalmazza.) Úgy érdemes
megjegyezni a módszert, hogy az eredeti integrandusban azt a függvényt érdemes általában vesszős betűvel jelölni, aminek nem bonyolult a primitívfüggvénye. (Ez általában a , , vagy függvények egyike.) A másik integrálban a másik függvényen van a vessző. példa 8 fügvény Az -et együtthatónak tekintve kiemelhetjük az integrálásból. Mivel az primitivfüggvénye egyszerű, az függvénynek, pedig a deriváltja egyszerű, ezért és és jelölésekkel használjuk a bekeretezett azonosságot. Ekkor , tehát: Ez még nem végeredmény, de az itt szereplő integrálást már könnyen elvégezhetjük. Néhány jellemző eset, amikor parciális integrálás alkalmazhatunk Ezekben az esetekben az egymást követő integrálokban az egyre kisebb kitevővel fog szerepelni. Ezekben az esetekben teljesen mindegy, melyiket jelöljük gondolatban -vel. Kétszer alkalmazva a p arciális integrálást megapjuk az eredményt. Racionális törtfüggvények
integrálása Általában az nevezzük. alakban írható függvényeket polinomoknak Egy n-edfokú polinomnak maximum n valós gyöke lehet. Mi a továbbiakban csak ezzel a nagyon szerencsés esettel foglalkozunk. (Általánosítva megtalálható a tankönyvben.) A polinom ekkor úgynevezett gyöktényezős alakban is felírható Ennek általános alakja: ahol a legnagyobb kitevőjű tag együtthatója, pedig a polinom gyökei. Az n gyök nem feltétlenül különböző. Ilyenkor azt mondjuk, hogy vannak többszörös gyökei Ha különböző gyök van, a gyöktényezős alak felírható alakban is. Például az polinom átalakítható kiemeléssel A zárójelben levő másodfokú polinom gyökeit meghatározhatjuk: gyöktényezős alakba írva: gyöktényezős alakba: alakra. és ; így ez . Tehát az eredeti polinomot átírhatjuk különböző gyöke.) Az utolsó alakot (Ennek a negyedfokú egyenletnek 4 gyöke van, csak azért írtuk fel, hogy lássuk ez valóban
gyöktényezős alak. Látjuk hogy itt a 0 kétszeres gyök. A és a egyszeres gyökök. Racionális törtfüggvényeknek nevezzük a két polinom hányadosaként előállítható függvényeket. Például a törtek egy racionális törtfüggvény két alakja, melynek a nevezője egy harmadfokú függvény. nevező gyökei és . A harmadik hatványon van, az háromszoros az egyszeres gyök, mert az tényező tényező első hatványon. Az integrálás elvégzéséhez a függvényt először parciális törtekre kell bontanunk. Parciális törtekre bontás A továbbiakban azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a racionális törtfüggvény nevezője gyöktényezőkre bontható, és a számláló fokszáma kisebb mint a nevezőé. Bebizonyítható, hogy a tört ilyenkor mindíg átírható alakra, ahol az valós számokat jelöl, melyeket nekünk kell meghatároznunk. Az egyes tagokat nevezzük parciális törteknek. Ez a k éplet elsőre elég félelmetesnek tűnhet
Gyakorlatban, mint nemsokára látjuk ez álatalában egyszerűbb. Az valós számok meghatározását konkrét példán nézzük meg. A átlakítható alakra. A fenti állítás szerint ez felírható alakban. Példákban az egyszerűség kedvéért nem az Végezzük el a közös nevezőre jelöléseket szoktuk használni. hozást. Ekkor a nevezőben kifejezést kapjuk. Ennek egyeznie kell az eredeti tört nevezőjével Ez bizonyíthatóan csak akkor teljesül, ha az azonos kitevőjű tagok együtthatói megegyeznek a két polinomban. Tehát a következő egyenletrendszert kapjuk: Ebből A, B és C értéke meghatározható: Tehát az eredeti tört az alakba írható át. A parciális törtek integrálása Ezután már nincs nehéz dolgunk. A racionális törtfüggvényt parciális törtek összegére bontottuk, ezek nevezője vagy konkrét példát mutatunk. vagy alakú . Mindegyik esetre ectionVegyes feladatok integrálszámításra Határozott
integrál előjele A határozott integrál szemléletes jelentése - mint láttuk - a függvénygrafikon alatti (előjeles) terület (4. ábra) Ábra: A függvény területe itt a grafikon feletti, illetve grafikon alatti területrész előjeles összege példa 9 Számoljuk ki az magyarázzuk meg a kapott értéket! értéket! A sinus függvény grafikonjának segítségével Megoldás: Ugyanakkora terület esik az x tengely alá, mint fölé, így előjeles területösszegük nulla. példa 10 Állapítsuk meg a grafikonjukról, milyen előjelűek lesznek a következő integrálok! Próbáljuk megbecsülni az értéküket a grafikon alapján, majd számoljuk ki! A számértékek meghatározása 4 értékes jegy pontossággal: Illetve:
ellenőrzéskor foglalkozni. Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához Bontsuk gondolatban tagokra az integrálandó függvényt (azaz az integrandust), (ezeket külön-külön integrálhatjuk), majd gondolatban emeljük ki az együtthatókat. példa 5 Mivel lesz egyenlő Megoldás: Ez az integrál három tagból áll. Az első együtthatója 4, a másodiké harmadiké ,a . Mindegyik függvény integrálját megtalálhatjuk a táblázatban, így az eredmény könnyen adódik: A közbenső lépést nem szoktuk leírni, a C konstanst pedig elég egyszer kiírni annak ellenére, hogy három integrálunk van. A táblázatban nem szereplő függvények integrálása A függvények integrálása bonyolultabb mint a deriválása. Itt csak a legfontosabb függvénytípusok integrálására található szabály. (Általában igaz, hogy nem minden függvény integrálja írható fel ,,egyszerű alakban. Például a összegként (végtelen sorként)
írható fel.) Az integrandus alakú Ilyenkor egy primitív függvény az példa 6 is csak végtelen sok tagú Az integrandus alakú Szabály: (Igazoljuk az állítást!) Mi a baj az esettel? Az integrandus alakú Szabály: Az integrandus alakú Szabály: Általában, ha egy szorzatfüggvényt integrálunk, akkor érdemes megnézni hogy az egyik összetett függvény-e. Ha a másik függvény a belső függvény deriváltja, akkor a szabály alapján integrálhatjuk. példa 7 Megoldás: Összetett függvények esetén ellenőriznünk kell, hogy szerepel e szorzóként a belső függvény deriváltja. Itt az integrandus írható deriváltja az függvény, így alakban. Az függvény Parciális integrálás Az azonosság alapján sok esetben egyszerűbb integrálra vezethetjük vissza az eredeti integrált. Ezt nevezzük parciális integrálásnak (Itt még nem kell kiírni a jobboldalon a C konstanst, hisz azt az integrál tartalmazza.) Úgy érdemes
megjegyezni a módszert, hogy az eredeti integrandusban azt a függvényt érdemes általában vesszős betűvel jelölni, aminek nem bonyolult a primitívfüggvénye. (Ez általában a , , vagy függvények egyike.) A másik integrálban a másik függvényen van a vessző. példa 8 fügvény Az -et együtthatónak tekintve kiemelhetjük az integrálásból. Mivel az primitivfüggvénye egyszerű, az függvénynek, pedig a deriváltja egyszerű, ezért és és jelölésekkel használjuk a bekeretezett azonosságot. Ekkor , tehát: Ez még nem végeredmény, de az itt szereplő integrálást már könnyen elvégezhetjük. Néhány jellemző eset, amikor parciális integrálás alkalmazhatunk Ezekben az esetekben az egymást követő integrálokban az egyre kisebb kitevővel fog szerepelni. Ezekben az esetekben teljesen mindegy, melyiket jelöljük gondolatban -vel. Kétszer alkalmazva a p arciális integrálást megapjuk az eredményt. Racionális törtfüggvények
integrálása Általában az nevezzük. alakban írható függvényeket polinomoknak Egy n-edfokú polinomnak maximum n valós gyöke lehet. Mi a továbbiakban csak ezzel a nagyon szerencsés esettel foglalkozunk. (Általánosítva megtalálható a tankönyvben.) A polinom ekkor úgynevezett gyöktényezős alakban is felírható Ennek általános alakja: ahol a legnagyobb kitevőjű tag együtthatója, pedig a polinom gyökei. Az n gyök nem feltétlenül különböző. Ilyenkor azt mondjuk, hogy vannak többszörös gyökei Ha különböző gyök van, a gyöktényezős alak felírható alakban is. Például az polinom átalakítható kiemeléssel A zárójelben levő másodfokú polinom gyökeit meghatározhatjuk: gyöktényezős alakba írva: gyöktényezős alakba: alakra. és ; így ez . Tehát az eredeti polinomot átírhatjuk különböző gyöke.) Az utolsó alakot (Ennek a negyedfokú egyenletnek 4 gyöke van, csak azért írtuk fel, hogy lássuk ez valóban
gyöktényezős alak. Látjuk hogy itt a 0 kétszeres gyök. A és a egyszeres gyökök. Racionális törtfüggvényeknek nevezzük a két polinom hányadosaként előállítható függvényeket. Például a törtek egy racionális törtfüggvény két alakja, melynek a nevezője egy harmadfokú függvény. nevező gyökei és . A harmadik hatványon van, az háromszoros az egyszeres gyök, mert az tényező tényező első hatványon. Az integrálás elvégzéséhez a függvényt először parciális törtekre kell bontanunk. Parciális törtekre bontás A továbbiakban azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a racionális törtfüggvény nevezője gyöktényezőkre bontható, és a számláló fokszáma kisebb mint a nevezőé. Bebizonyítható, hogy a tört ilyenkor mindíg átírható alakra, ahol az valós számokat jelöl, melyeket nekünk kell meghatároznunk. Az egyes tagokat nevezzük parciális törteknek. Ez a k éplet elsőre elég félelmetesnek tűnhet
Gyakorlatban, mint nemsokára látjuk ez álatalában egyszerűbb. Az valós számok meghatározását konkrét példán nézzük meg. A átlakítható alakra. A fenti állítás szerint ez felírható alakban. Példákban az egyszerűség kedvéért nem az Végezzük el a közös nevezőre jelöléseket szoktuk használni. hozást. Ekkor a nevezőben kifejezést kapjuk. Ennek egyeznie kell az eredeti tört nevezőjével Ez bizonyíthatóan csak akkor teljesül, ha az azonos kitevőjű tagok együtthatói megegyeznek a két polinomban. Tehát a következő egyenletrendszert kapjuk: Ebből A, B és C értéke meghatározható: Tehát az eredeti tört az alakba írható át. A parciális törtek integrálása Ezután már nincs nehéz dolgunk. A racionális törtfüggvényt parciális törtek összegére bontottuk, ezek nevezője vagy konkrét példát mutatunk. vagy alakú . Mindegyik esetre ectionVegyes feladatok integrálszámításra Határozott
integrál előjele A határozott integrál szemléletes jelentése - mint láttuk - a függvénygrafikon alatti (előjeles) terület (4. ábra) Ábra: A függvény területe itt a grafikon feletti, illetve grafikon alatti területrész előjeles összege példa 9 Számoljuk ki az magyarázzuk meg a kapott értéket! értéket! A sinus függvény grafikonjának segítségével Megoldás: Ugyanakkora terület esik az x tengely alá, mint fölé, így előjeles területösszegük nulla. példa 10 Állapítsuk meg a grafikonjukról, milyen előjelűek lesznek a következő integrálok! Próbáljuk megbecsülni az értéküket a grafikon alapján, majd számoljuk ki! A számértékek meghatározása 4 értékes jegy pontossággal: Illetve:
