Matematika | Analízis » Vajda István - Numerikus sorozatok

Alapadatok

Év, oldalszám:2006, 82 oldal

Nyelv:magyar

Letöltések száma:194

Feltöltve:2007. november 24.

Méret:281 KB

Intézmény:
-

Megjegyzés:

Csatolmány:-

Letöltés PDF-ben:Kérlek jelentkezz be!



Értékelések

Nincs még értékelés. Legyél Te az első!

Tartalmi kivonat

Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Analízis előadások Vajda István 2006. augusztus 13 Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A numerikus sorozatok értelmezése Definíció: A Z+ R függvényeket numerikus sorozatnak nevezzük. (Tehát a numerikus sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékei pedig valós számok.) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A numerikus sorozatok értelmezése Definíció: A Z+ R függvényeket numerikus sorozatnak nevezzük. (Tehát a numerikus sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékei pedig valós számok.) 1 2 3 . n . a1 a2 a3 . an . Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk,

függvények Numerikus sorozatok A numerikus sorozatok értelmezése Definíció: A Z+ R függvényeket numerikus sorozatnak nevezzük. (Tehát a numerikus sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékei pedig valós számok.) 1 2 3 . n . a1 a2 a3 . an . Jelölések: • A sorozatok esetében a szokásos függvényjelölés helyett gyakran alkalmazzák az (an ) jelölést. • A sorozatok n-edik elemét (zárójel nélkül) an -nel jelöljük. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A numerikus sorozatok megadása • Képlettel Példa: an = n2 + 1,  n2 + 1 Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A numerikus sorozatok megadása • Képlettel Példa: an = n2 + 1, • Rekurzióval  n2 + 1 Példa: a1 = 2, an+1 = √ an + 1 (n ∈ Z+ ) Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok

Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A numerikus sorozatok megadása • Képlettel Példa: an = n2 + 1,  n2 + 1 • Rekurzióval Példa: a1 = 2, an+1 = • Utasítással Példa: Legyen an a √ √ an + 1 (n ∈ Z+ ) 2 szám n-edik tizedesjegye. Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Definíció: Az (an ) sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs nagyobb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≤ K Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Definíció: Az (an ) sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs nagyobb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≤ K Definíció: Az (an ) sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k ∈ R szám amelynél a

sorozatnak nincs kisebb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≥ k Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Definíció: Az (an ) sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs nagyobb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≤ K Definíció: Az (an ) sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs kisebb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≥ k Definíció: Az (an ) sorozat korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Példák: • Az an = 2n + 1 sorozat alulról korlátos Alsó korlátja pl. a 0, legnagyobb alsó korlátja (alsó határa) 3 Ez a sorozat felülről nem korlátos. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok

Korlátosság Példák: • Az an = 2n + 1 sorozat alulról korlátos Alsó korlátja pl. a 0, legnagyobb alsó korlátja (alsó határa) 3 Ez a sorozat felülről nem korlátos. 1 • Az an = sorozat alulról is és felülről is korlátos, tehát n korlátos is. Legnagyobb alsó korlátja (alsó határa) a 0, legkisebb felső korlátja (felső határa) 1. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat

monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 . Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 .

Példák: • Az an = 2n + 1 és a bn = n2 sorozatok szigorúan monoton növekedők. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 . Példák: • Az an = 2n + 1 és a bn = n2 sorozatok szigorúan monoton növekedők. 1 • Az an = sorozat szigorúan monoton csökkenő. n Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő,

ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 . Példák: • Az an = 2n + 1 és a bn = n2 sorozatok szigorúan monoton növekedők. 1 • Az an = sorozat szigorúan monoton csökkenő.  n n+1 • Az an = sorozat (1, 1, 2, 2, 3, 3, . ) monoton 2 növekedő, de nem szigorúan monoton növekedő. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy ∀ε > 0 valós számhoz megadható olyan nε ∈ Z+ szám, hogy n > nε esetén |an − A| < ε. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy ∀ε > 0 valós számhoz megadható olyan nε ∈ Z+ szám, hogy n > nε esetén |an − A| < ε. Megjegyzés: A fenti definíció úgy is

fogalmazható, hogy az elemei tetszőlegesen kis pozitív számnál jobban megközelítik A-t, ha a sorozat elejéről elegendően sok (nε ) elemet elhagyunk. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy ∀ε > 0 valós számhoz megadható olyan nε ∈ Z+ szám, hogy n > nε esetén |an − A| < ε. Megjegyzés: A fenti definíció úgy is fogalmazható, hogy az elemei tetszőlegesen kis pozitív számnál jobban megközelítik A-t, ha a sorozat elejéről elegendően sok (nε ) elemet elhagyunk. A fenti definícióval ekvivalens a következő: Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy A-nak bármely környezetébe a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme beletartozik. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk,

függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Megjegyzés: A fenti két definícióban szereplő A számot az (an ) sorozat határértékének nevezzük. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Megjegyzés: A fenti két definícióban szereplő A számot az (an ) sorozat határértékének nevezzük. Jelölések: • lim an = A, illetve n∞ • an A, ha n ∞ Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Megjegyzés: A fenti két definícióban szereplő A számot az (an ) sorozat határértékének nevezzük. Jelölések: • lim an = A, illetve n∞ • an A, ha n ∞ Példák:   1 • Az sorozat konvergens, ugyanis n   1 megfelel a ha A = 0, akkor ∀ε > 0 valós számhoz nε = ε definíció feltételeinek: 1 = 0. Tehát lim n∞ n

Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Az alkalmas nε számhoz a gondolatmenet megfordításával juthatunk: Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok

konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Az alkalmas nε számhoz a gondolatmenet megfordításával juthatunk: n n 1 1 1 1 + 2ε <ε⇔ − − <ε⇔ <ε⇔ <n 2n − 1 2 2n − 1 2 2 (2n − 1) 4ε Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Az alkalmas nε számhoz a gondolatmenet megfordításával juthatunk: n n 1 1 1 1 + 2ε <ε⇔ − − <ε⇔ <ε⇔ <n 2n − 1 2 2n − 1 2 2 (2n − 1) 4ε   1 + 2ε Tehát nε = , 4ε lim n∞ n 1 = . 2n − 1 2 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus

sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Igaz, pl. A = 0 és ε = 1 10 esetén találnánk megfelelő nε -t. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Igaz, pl. A = 0 és ε = 1 10 esetén találnánk megfelelő nε -t. 1 (vagy még kisebb), akkor már nem Ha azonban pl. ε = 100 létezik a definíciónak megfelelő nε , bármi legyen is az A ∈ R szám. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Igaz, pl. A = 0 és ε = 1

10 esetén találnánk megfelelő nε -t. 1 (vagy még kisebb), akkor már nem Ha azonban pl. ε = 100 létezik a definíciónak megfelelő nε , bármi legyen is az A ∈ R szám. A sorozat két szomszédos elemének különbsége ugyanis mindig 2 nagyobb 100 -nál, ezért két szomszédos elem közül az egyik soha nincs benne az A szám ε-sugarú környezetében, ha 1 . ε ≤ 100 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A határérték egyértelműsége Tétel: Konvergens sorozat határértéke egyértelmű. Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A határérték egyértelműsége Tétel: Konvergens sorozat határértéke egyértelmű. Bizonyítás: (Indirekt!) Tegyük fel, hogy A ∈ R és B ∈ R mindegyike határértéke a sorozatnak. Ha ε-t kisebbnek választjuk mint |A−B| 2 , akkor A és B ε-sugarú környezeteinek nincs közös eleme.

Mivel A ε-sugarú környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van, B ε-sugarú környezetében is csak véges sok elem lehet. Ugyanakkor B ε-sugarú környezetén kívül is csak véges sok eleme lehet a sorozatnak, tehát a sorozatnak összességében is csak véges sok eleme lehet, ami ellentmondás. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A konvergencia szükséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens, akkor korlátos is. Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens, akkor korlátos is. Bizonyítás: Jelölje a sorozat határértékét A és válasszunk egy ε > 0 számot. A H1 halmaz elemei legyenek azok a számok, amelyek az (an ) sorozatban előfordulnak és A ε-sugarú környezetében vannak. H1 korlátos, mert ∀ak ∈ H1 esetén A − ε

< ak < A + ε. Legyenek a H2 elemei azok a számok, amelyek az (an ) sorozatban előfordulnak, de nem elemei H1 -nek. H2 korlátos, mert csak véges sok eleme van. H1 ∪ H2 korlátos, mert két korlátos halmaz egyesítése, tehát (an ) is korlátos. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel: Konvergens

sorozat minden részsorozata is konvergens és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel: Konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Bizonyítás: Ha az eredeti sorozat határértéke A, akkor A bármely környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van. Ez nyilván igaz bármelyik részsorozatára is. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk

úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel: Konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Bizonyítás: Ha az eredeti sorozat határértéke A, akkor A bármely környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van. Ez nyilván igaz bármelyik részsorozatára is. Megjegyzés: Ha az (an ) sorozat egy részsorozata konvergens, akkor az (an ) sorozat sorozat lehet konvergens is és lehet divergens is. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Tétel: Ha az (an ) sorozat minden részsorozata konvergens, akkor (an ) is konvergens Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Tétel: Ha az (an )

sorozat minden részsorozata konvergens, akkor (an ) is konvergens Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens, akkor véges sok elemet hozzávéve olyan sorozatot kapunk, amely ugyancsak konvergens és határértéke megegyezik (an ) határértékével. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Definíció: Az α ∈

R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezetében van a sorozatnak legalább egy eleme. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezetében van a sorozatnak legalább egy eleme. Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha van (an )-nek α-hoz tartó részsorozata. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények

Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos, akkor van legalább egy torlódási pontja. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos, akkor van legalább egy torlódási pontja. Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos és csak egy torlódási pontja van, akkor konvergens. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha

az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos, akkor van legalább egy torlódási pontja. Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos és csak egy torlódási pontja van, akkor konvergens. Bizonyítás: (Indirekt!) Tegyük fel, hogy a sorozat nem konvergens. Ekkor az α torlódási pontnak van olyan környezete, amelyen kívül a sorozatnak végtelen sok eleme van. A kimaradó elemek (an ) egy korlátos részsorozatát alkotják, amelynek van α-tól különböző torlódási pontja, ami ellentmondás. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények

Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Bizonyítás: Legyen pl. a sorozat monoton növekedő és korlátos, felső határát jelöljük L-lel. Tudjuk, hogy van a sorozatnak legalább egy torlódási pontja. Ha α > L, akkor α nem lehet torlódási pont. (Mert létezik olyan környezete, amelynek minden eleme nagyobb, mint L, tehát a sorozat egyetlen elemét sem tartalmazza.) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Bizonyítás: Legyen pl. a sorozat monoton növekedő és korlátos, felső határát

jelöljük L-lel. Tudjuk, hogy van a sorozatnak legalább egy torlódási pontja. Ha α > L, akkor α nem lehet torlódási pont. Ha β < L, akkor β nem lehet torlódási pont. (Mert van a sorozatnak olyan ak eleme, amely nagyobb β-nál (hiszen β nem felső korlát), de ekkor van β-nak olyan környezete, amely csak véges sok (legfeljebb k − 1) elemét tartalmazza a sorozatnak.) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Bizonyítás: Legyen pl. a sorozat monoton növekedő és korlátos, felső határát jelöljük L-lel. Tudjuk, hogy van a sorozatnak legalább egy torlódási pontja. Ha α > L, akkor α nem lehet torlódási pont. Ha β < L, akkor β nem lehet torlódási pont. Tehát (an

) egyetlen torlódási pontja L, ahonnan lim an = L. n∞ Monoton csökkenő és korlátos sorozat esetén hasonló a bizonyítás. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges és elégséges feltétele Tétel: Cauchy-féle konvergenciakritérium: Az (an ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre teljesül, hogy n, m > nε esetén |an − am | < ε. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges és elégséges feltétele Tétel: Cauchy-féle konvergenciakritérium: Az (an ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre teljesül, hogy n, m > nε esetén |an − am | < ε. Bizonyítás: ⇒ Ha (an ) konvergens, akkor ∀ε > 0-hoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre |ak − A| < 2ε , ha k > nε .

(A jelöli a sorozat határértékét) |an − am | ≤ |an − A| + |A − am | = = |an − A| + |am − A| < ε ε + =ε 2 2 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges és elégséges feltétele Tétel: Cauchy-féle konvergenciakritérium: Az (an ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre teljesül, hogy n, m > nε esetén |an − am | < ε. Bizonyításvázlat: ⇐ A feltétel alapján belátható, hogy a sorozat korlátos. Az (an ) sorozatnak van konvergens részsorozata. A konvergens részsorozat határértéke határértéke (an )-nek is. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példák: • Ha ∀n ∈ Z+ esetén an = a, ahol a ∈ R, azaz (an ) konstans sorozat, akkor konvergens és lim an = a. n∞ Halmazok Valós számok

Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példák: • Ha ∀n ∈ Z+ esetén an = a, ahol a ∈ R, azaz (an ) konstans sorozat, akkor konvergens és lim an = a. n∞ 1 1 • Az an = sorozat konvergens és lim = 0. n∞ n n Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példák: • Ha ∀n ∈ Z+ esetén an = a, ahol a ∈ R, azaz (an ) konstans sorozat, akkor konvergens és lim an = a. n∞ 1 1 • Az an = sorozat konvergens és lim = 0. n∞ n n 1 1 • Az an = (−1)n sorozat konvergens és lim (−1)n = 0. n∞ n n Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példa: Az an = q n sorozat konvergens és határértéke 0, ha |q| < 1, konvergens és határértéke 1, ha q = 1, minden más esetben divergens. Halmazok Valós számok

Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példa: Az an = q n sorozat konvergens és határértéke 0, ha |q| < 1, konvergens és határértéke 1, ha q = 1, minden más esetben divergens. Bizonyítás: A q = 1 eset nyilvánvaló. Ha |q| < 1, akkor |q n − 0| = |q|n < ε ⇔ 1 q n 1 > . ε Ez az Archimedesi-axióma szerint teljesül elég nagy n esetén, mert 1 q n = (1 + a)n ≥ 1 + na, ahol a > 0. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példa: Az an = q n sorozat konvergens és határértéke 0, ha |q| < 1, konvergens és határértéke 1, ha q = 1, minden más esetben divergens. Ha q = −1, akkor (q n ) divergens, hiszen két torlódási pontja van. Ha |q| > 1, akkor |an | = |q|n = (1 + b)n ≥ 1 + nb (ahol b > 0) nem korlátos, ekkor azonban an sem korlátos, tehát nem konvergens. Halmazok

Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és határértéke A, akkor ∀c ∈ R esetén a (can ) sorozat is konvergens és határértéke cA. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és határértéke A, akkor ∀c ∈ R esetén a (can ) sorozat is konvergens és határértéke cA. Bizonyítás: A határérték definíciója szerint, ∀ε > 0-hoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre ε n > nε esetén |an − A| < . c Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és határértéke A, akkor ∀c ∈ R esetén a (can ) sorozat is konvergens és határértéke cA. Bizonyítás: A határérték definíciója

szerint, ∀ε > 0-hoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre ε n > nε esetén |an − A| < . c De ekkor n > nε esetén |can − cA| = c |an − A| < c · ami az állítást igazolja. ε = ε, c Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an + bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A + B. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an + bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A + B. Bizonyítás: A határérték definíciója szerint, ∀ε > 0-hoz ∃n1 ∈ Z+ , amelyre n > n1 esetén |an − A| < 2ε és ∃n2 ∈ Z+ , amelyre n > n2 esetén |bn − B| < 2ε . Legyen

nε = max (n1 , n2 ) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an + bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A + B. Bizonyítás: A határérték definíciója szerint, ∀ε > 0-hoz ∃n1 ∈ Z+ , amelyre n > n1 esetén |an − A| < 2ε és ∃n2 ∈ Z+ , amelyre n > n2 esetén |bn − B| < 2ε . Legyen nε = max (n1 , n2 ) Ekkor n > nε esetén |an + bn − (A + B)| ≤ |an − A| + |bn − B| < ami az állítást igazolja. ε ε + = ε, 2 2 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an − bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A − B. Halmazok Valós

számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an − bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A − B. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an bn ) sorozat is konvergens és határértéke n∞ AB. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an − bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A − B. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an bn ) sorozat is konvergens és határértéke n∞ AB. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞   an lim bn = B 6= 0, akkor

az sorozat is konvergens és n∞ bn A határértéke . B Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim lim n∞ 2− 3+ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 = Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim lim n∞ 2− 3+ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 = 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim lim n∞

2− 3+ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 = 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim lim n∞ lim 2− 3+ n∞ 3 n 1 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim lim n∞ lim 2− 3+ n∞ 3 n 1 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = lim n∞ 0−0+0 =0 1−0+0 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1

= n∞ 3n2 + 4n − 6 lim n∞ 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim 6n3 − 2n + 3 = n∞ −4n2 + 2n + 9 lim lim lim 2− 3+ n∞ 3 n 1 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = lim n∞ 0−0+0 =0 1−0+0 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim n∞ 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim 6n3 − 2n + 3 = n∞ −4n2 + 2n + 9 lim lim lim 2− 3+ 3 n n∞ lim 1 n∞ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 2 n + n2 6n − −4 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = 3 n2 + n92 + lim n∞ = −∞ 0−0+0 =0 1−0+0