Gazdasági Ismeretek | Közgazdaságtan » Duopólium-modellek

Duopólium-modellek 1. - Alapvető feltevések Két vállalat azonos terméket értékesít (a termék homogén). A piacon belépési korlát érvényesül. A vállalatok képesek befolyásolni a piaci árat. A vállalatok profitmaximalizálók. 2. A modell kiinduló egyenletei inverz piaci keresleti függvény; a két vállalat termelése együttesen kielégíti a piaci keresletet adott p p ( y1 + y 2 ) = p (Y ) = D −1 (Y ) y1 + y 2 = Y , ár mellett. π 1 ( y1 ) = R1 ( y1 , y 2 e ) − c1 ( y1 ) = p( y1 + y 2 e ) ⋅ y1 − c1 ( y1 ) és π 2 ( y 2 ) = R2 ( y1 e , y 2 ) − c 2 ( y 2 ) = p( y1 e + y 2 ) ⋅ y 2 − c 2 ( y 2 ), a vállalatok profitfüggvényei, ahol R i (y 1 ,y 2 e) az i. vállalat összbevételi függvénye; y i az i vállalat termelése (értékesítése); y i e az i. vállalatnak a j vállalat által várt kibocsátása; c i (y i ) az i vállalat összköltség függvénye. Tehát: az egyes vállalatok profitja – a bevétel és az összköltség

különbsége – a másik vállalat kibocsátási szintjétől is függ. Azaz: y1 = y1 ( y 2 e ) és y 2 = y 2 ( y1e ) Továbbá: ( y1e ) * = y1 és ( y 2 e ) = y 2 , tehát az egyensúlyban az egyik vállalat tényleges kibocsátása megegyezik a másik vállalatnak erre a kibocsátásra vonatkozó feltevésével. 3. A vállalatok célfüggvénye e { } e max π 1 ( y1 , y 2 ) = max R1 ( y1 , y 2 ) − c1 ( y1 ) y1 y1 e { e y2 y2 azaz max{p( y1 + y 2 e ) ⋅ y1 − c1 ( y1 )} és max{p( y1e + y 2 ) ⋅ y 2 − c 2 ( y 2 )} y1 y2 Az egyes vállalatok számára a profitmaximum elsődleges feltétele: e MR1 ( y1, y 2 ) = MC1 ( y1 ) és e e MR2 ( y1 , y 2 ) = MC 2 ( y 2 ), ∂p ( y1 + y 2 ) e ⋅ y1 + p ( y1 + y 2 ) = MC1 ( y1 ) és ∂y1 } és max π 2 ( y1 , y 2 ) = max R2 ( y1 , y 2 ) − c 2 ( y 2 ) ; e azaz ∂p ( y1 + y 2 ) e ⋅ y 2 + p ( y1 + y 2 ) = MC 2 ( y 2 ). ∂y 2 1 * * Mivel egyensúlyban y1e = y1* és y 2 e = y 2 , tehát a vállalatok

várakozása beteljesül, ezért az előbbi feltételek egyszerűbben felírhatók: ∂p (Y ) ⋅ y1 + p (Y ) = MC1 ( y1 ) és ∂y1 ∂p (Y ) ⋅ y 2 + p (Y ) = MC 2 ( y 2 ). ∂y 2 Ezekből a feltételekből y 1 és y 2 kifejezhetők. Az így kapott összefüggéseket, tehát az e y1 = r1 ( y 2 ) és e y 2 = r2 ( y1 ) függvényeket az első, illetve a második vállalat reakció-függvényének nevezzük. 2 4. Feltevések a vállalatok viselkedéséről A vállalatok a kibocsátás mennyiségéről döntenek és 4.1Stackelberg-duopólium: az egyik vállalat vezető (vezérlő), a másik követő (aszimmetrikus információk). A követő vállalat döntése: számára a vezető vállalat döntése (y 1 ) adottság. Tehát nincs várakozása a vezető döntésére. Ezért határbevétel-függvénye: MR2 ( y1 , y 2 ) = ∂p ( y1 + y 2 ) dp (Y ) ⋅ y 2 + p (Y ) = ⋅ y 2 + p (Y ). ∂y 2 dy 2 A vezető vállalat döntése: mivel a vezető vállalat tudja, hogy a másik

követőként viselkedik – tehát kibocsátási döntésében alkalmazkodik a vezető vállalat előzőleg meghozott döntéséhez –, a határbevétel-függvénye: MR1 ( y1 , y 2 ) = = ∂p ( y1 + y 2 ( y1 )) ∂p (Y ) dY ⋅ y1 + p (Y ) = ⋅ ⋅ y1 + p (Y ) = ∂y1 ∂Y dy1 dy ( y )  ∂p ( y1 + y 2 ( y1 ))  ⋅ 1 + 2 1  ⋅ y1 + p (Y ), dy1  ∂y1  ahol y 2 (y 1 ) a követő vállalat reakciófüggvénye. Példa: Lineáris keresleti és költségfüggvények. Legyen p( y1 + y 2 ( y1 )) = a − b ⋅ ( y1 + y 2 ( y1 )) inverz keresleti függvény, továbbá c1 ( y1 ) = c1 ⋅ y1 és c 2 ( y 2 ) = c 2 ⋅ y 2 lineáris költségfüggvények. Ekkor az első és a második vállalat bevételi függvénye: R1 ( y1 , y 2 ) = [a − b ⋅ ( y1 + y 2 ( y1 ))] ⋅ y1 = a ⋅ y1 − b ⋅ y1 − b ⋅ y1 ⋅ y 2 ( y1 ) és 2 R2 ( y1 , y 2 ) = [a − b ⋅ ( y1 ( y 2 ) + y 2 )] ⋅ y 2 = a ⋅ y 2 − b ⋅ y 2 − b ⋅ y1 ( y 2 ) ⋅ y 2 , 2 a határbevételi

függvények pedig: MR1 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y1 − b ⋅ y 2 − b ⋅ dy 2 ⋅ y1 dy1 MR2 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y 2 − b ⋅ y1 − b ⋅ dy1 ⋅ y2 . dy 2 és A profitmaximum létezésének elsődleges feltétele a két vállalat számára tehát: 3 MR1 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y1 − b ⋅ y 2 − b ⋅ dy 2 ⋅ y1 = MC1 ( y1 ) = c1 dy1 MR2 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y 2 − b ⋅ y1 − b ⋅ dy1 ⋅ y 2 = MC 2 ( y 2 ) = c 2 . dy 2 A második, követő vállalat esetében MR2 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y 2 − b ⋅ y1 = MC 2 ( y 2 ) = c 2 , tehát y1 y2 = vállalat reakció-függvénye. és adott, tehát a − c2 1 − ⋅ y1 , 2b 2 dy1 = 0. dy 2 a Így második Ezt az első, vezető vállalat optimum-feltételébe behelyettesítve: 1  a − c2 1  MR1 ( y1 , y 2 ( y1 )) = a − 2 ⋅ b ⋅ y1 − b ⋅  − ⋅ y1  + b ⋅ ⋅ y1 = MC1 ( y1 ) = c1 . 2 2  2b  a − c2 a − c1 1 a − c 2 a

− c1 − = b ⋅ y1 , tehát y1 = − ⋅ b b 2 2 és Ha y2 = Ebből: 3(a − c 2 ) a − c1 − . 4b 2b a két vállalat a−c 1 y2 = − ⋅ y1 , 2b 2 határköltsége megegyezik, tehát és y1 = a − c . c1 = c 2 = c, akkor 2b Ezt y 2 kifejezésébe behelyettesítve: y 2 = a − c − a − c = a − c , tehát y1 = 2 ⋅ y 2 . Az 2b 4b 4b a−c a−c 3 a−c iparág teljes kibocsátása pedig: Y = + = ⋅ . A piaci egyensúlyi ár 2b 4b 4 b 3(a − c) a + 3c az iparági profit pedig , p (Y ) = a − b ⋅ ( y1 + y 2 ) = a − b ⋅ = 4b 4 3( a − c) 3(a − c) 2 a + 3c 3( a − c) . π (Y ) = p(Y ) ⋅ Y − c ⋅ Y = ⋅ −c⋅ = 4 4b 4b 16b 4 4.2 Cournot-duopólium: szimmetrikus információk) mindkét vállalat követő (Szimultán döntés – Mindkét vállalat azzal a feltevéssel él a másikról, hogy az nem változtatja meg eredeti kibocsátási szintjét akkor, ha az adott vállalat éppen y i mennyiséget visz a piacra. Mivel a másik vállalat

termelése mindkét vállalat számára – feltevése dy 2 ( y1 ) dy1 ( y 2 ) = = 0. Így mindkét vállalat dy1 dy 2 ∂p ( y1 + y 2 ) dp (Y ) MRi ( y1 , y 2 ) = ⋅ y i + p (Y ) = ⋅ y i + p (Y ); i = 1, 2. dy i ∂y i szerint – adottság, ezért függvénye: határbevételi Példa: Lineáris keresleti és költségfüggvények. Legyen p( y1 + y 2 ( y1 )) = a − b ⋅ ( y1 + y 2 ( y1 )) inverz keresleti függvény, továbbá c1 ( y1 ) = c1 ⋅ y1 és c 2 ( y 2 ) = c 2 ⋅ y 2 lineáris költségfüggvények. Ekkor az első és a második vállalat bevételi függvénye: R1 ( y1 , y 2 ) = [a − b ⋅ ( y1 + y 2 ( y1 ))] ⋅ y1 = a ⋅ y1 − b ⋅ y1 − b ⋅ y1 ⋅ y 2 ( y1 ) és 2 R2 ( y1 , y 2 ) = [a − b ⋅ ( y1 ( y 2 ) + y 2 )] ⋅ y 2 = a ⋅ y 2 − b ⋅ y 2 − b ⋅ y1 ( y 2 ) ⋅ y 2 , 2 a határbevételi függvények pedig: MR1 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y1 − b ⋅ y 2 − b ⋅ dy 2 dy1 MR2 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y 2 − b ⋅ y1 − b

⋅ dy1 . dy 2 és A profitmaximum létezésének elsődleges feltétele a két vállalat számára tehát: MR1 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y1 − b ⋅ y 2 − b ⋅ dy 2 ⋅ y1 = MC1 ( y1 ) = c1 dy1 és dy1 ⋅ y 2 = MC 2 ( y 2 ) = c 2 . dy 2 a − c1 1 dy 2 ( y1 ) dy1 ( y 2 ) − ⋅ y 2 , és = = 0, y1 = 2b 2 dy1 dy 2 MR2 ( y1 , y 2 ) = a − 2 ⋅ b ⋅ y 2 − b ⋅ y1 − b ⋅ Mivel azonban y1 = Az a − c1 1  a − c 2 1  − ⋅ − ⋅ y1 . Így 2b 2  2b 2  előbbi c1 = c 2 = c, akkor kifejezésekből y1 = y 2 = Az egyensúlyi ár: a−c 3b y1 = 2(a − c1 ) a − c 2 − ; és 3b 3b jól és Y = y1 + y 2 = 2(a − c) . 3b a − c2 1 − ⋅ y1 . 2b 2 y2 = Tehát: 2(a − c 2 ) a − c1 − . 3b 3b hogy amennyiben 2(a − c) a + 2c = , 3b 3 2(a − c) 2(a − c) 2 a + 2c 2(a − c) . π (Y ) = p(Y ) ⋅ Y − c ⋅ Y = ⋅ −c⋅ = 3 3b 3b 9b p (Y ) = a − b ⋅ az iparági profit pedig látható, y2 = 5 4.3

Chamberlin-duopólium: mindkét vállalat vezetőként viselkedik A két vállalat szimmetrikus viselkedéséből adódik, hogy A vezető vállalat határbevétel-függvénye: MRi ( y i , y j ) = ∂p ( y i + y j ( y i )) ∂y i ⋅ y i + p (Y ) = = ∂p (Y ) dY ⋅ ⋅ y i + p (Y ) = ∂Y dy i = ∂p ( y i + y j ( y i ))  dy j ( y i )   ⋅ y i + p (Y ), i, j = 1, 2. ⋅ 1 +  ∂y i dy i   Profitmaximum: y1 ( y 2 ) = y 2 ( y1 ). MRi ( y i , y j ) = MC i ( y i ), i = 1, 2. Példa: Lineáris keresleti és költségfüggvények. Legyen p( y1 ( y 2 ) + y 2 ( y1 )) = a − b ⋅ ( y1 ( y 2 ) + y 2 ( y1 )) inverz keresleti függvény, továbbá c1 ( y1 ) = c1 ⋅ y1 és c 2 ( y 2 ) = c 2 ⋅ y 2 lineáris költségfüggvények. Mivel mindkét vállalat egyforma stratégiát követ és szimultán döntést hoznak, y1 ( y 2 ) = y 2 ( y1 ). Ezért p( y1 ( y 2 ) + y 2 ( y1 )) = a − 2 ⋅ b ⋅ ( y1 ( y 2 )), vagy p( y1 ( y 2 ) + y 2 ( y1 )) = a − 2 ⋅ b

⋅ ( y 2 ( y1 )). És így R1 ( y1 , y 2 ) = R2 ( y1 , y 2 ) = a ⋅ y1 − 2 ⋅ b ⋅ y1 2 = a ⋅ y 2 − 2 ⋅ b ⋅ y 2 2 . A profitmaximum létezésének elsődleges feltétele a két vállalat számára tehát: MR1 ( y1 , y 2 ) = a − 4 ⋅ b ⋅ y1 = MC1 ( y1 ) = c1 Az előbbi egyenletekből: y1 = a − c1 4b és és akkor az iparági kibocsátás Y = MR2 ( y1 , y 2 ) = a − 4 ⋅ b ⋅ y 2 = MC 2 ( y 2 ) = c 2 . y2 = a−c , 2b a − c2 . 4b Ha c1 = c 2 = c, ami megegyezik a monopólium profitmaximalizáló outputjával. Így a Chamberlin-duopólium esetén az egyensúlyi ár p(Y ) = a − b ⋅ a−c a+c = . 2b 2 Az iparági profit pedig π (Y ) = p(Y ) ⋅ Y − c ⋅ Y = a + c ⋅ a − c − c ⋅ a − c = (a − c) 2 2b 2b 4b 2 . 4.4Bertrand-duopólium: a vállalatok az árról döntenek (mindkét vállalat követő: szimultán döntés – szimmetrikus információ Az árnak mindkét vállalat számára azonosnak kell lennie, mert ez a piaci

ár. Az ár nem lehet sem magasabb, sem alacsonyabb a határköltségnél, tehát p ( y1 + y 2 ) = MC i ( y i ), i = 1, 2. Ebből következik, hogy a határköltségnek mindkét vállalatnál azonosnak kell lennie. Így a versenyzői egyensúlyhoz jutunk, tehát y1 = y 2 = a−c a−c ; Y= ; 2b b p (Y ) = c; π (Y ) = 0. 6 Táblázat: a vállalati és az iparági gazdasági teljesítmények összefoglalása különböző piaci formák esetén Piaci forma 1. vállalat 2. vállalat Iparági Egyensúlyi Iparági Holtteher kibocsátása kibocsátása kibocsátás ár profit veszteség 2 a−c a−c a+c (a − c) (a − c) 2 Monopólium -Chamberlinduopólium Kartell Stackelbergduopólium Cournot-duopólium Bertrand-duopólium Versenyző vállalatok 2⋅b a−c 4⋅b a−c 4⋅b 2⋅b a−c 2⋅b 2 a+c 2 4⋅b (a − c) 2 4⋅b 8⋅b (a − c) 2 8⋅b a−c 4⋅b a−c 2⋅b a−c 4⋅b a−c 4⋅b a−c 2⋅b 3 ⋅ (a − c) 4⋅b a+c 2 a + 3c 4 (a − c) 2 4⋅b 3(a −

c) 2 16 ⋅ b (a − c) 2 8⋅b (a − c) 2 32 ⋅ b a−c 3⋅b a−c 2⋅b a−c n⋅b a−c 3⋅b a−c 2⋅b a−c n⋅b 2(a − c) 3⋅b a−c b a−c b a + 2c 3 2(a − c) 2 9⋅b (a − c) 2 18 ⋅ b c 0 0 7 c 0 0