Fizika | Fénytan, Optika » Koherens optikai jelfeldolgozás

Mérési leírás a „Koherens optikai jelfeldolgozás alapjai” című hallgatói méréshez A koherens optikai jelfeldolgozásban térben és időben koherens fényt (lézert) használunk az optikai nyalábba bevitt és továbbított információ feldolgozására: szűrésére, szétosztására vagy átalakítására. A koherens optikai jelfeldolgozó rendszerek alapja az optikai diffrakció, és a lencse térbeli Fourier transzformáló hatása. A mérés célja e jelenségek megismerése és egy egyszerű térbeli szűrési folyamat megvalósítása. 1. Elméleti alapok A koherens optikai képfeldolgozó-rendszer egyik alapelrendezése a térbeli spektrum szűrésén alapul. A térbeli spektrum létrehozását nagy fókusztávolságú és apertúrájú, kis aberrációjú lencsével, míg a spektrum szűrését speciális téreloszlású amplitúdó vagy fázis-maszkkal végezzük. Az eljárás a diffrakciós jelenségek koherens fényben jól kimérhető és befolyásolható

amplitúdó és fázis-viszonyain alapul. Az optikai diffrakció fizikai megközelítésének alapja a Huygens-Fresnel elv, mely szerint az elektromágneses hullámok úgy terjednek, hogy az egymást követő hullámfrontok az előző hullámfront minden egyes pontjából kiinduló gömbhullámok eredőjeként jönnek létre. Ennek megfelelően ha egy síkhullám (vagy a térben adott sík egy részén egyenletes téreloszlást produkáló hullám) útjába egy korlátozó apertúrát helyezünk, a diffrakciós képet egy, az apertúra utáni síkban úgy kapjuk meg, hogy az apertúra minden egyes pontjából, az ott érvényes, az eredeti hullámfront eloszlásából kapott amplitúdóval egy-egy gömbhullámot indítunk, és azokat a vizsgált sík minden pontjában fázishelyesen (komplex amplitúdókat) összeadjuk. Ehhez ki kell számítani mindegyik gömbhullám fázisát és amplitúdóját a két pont közötti terjedés után. Távoltérben, azaz amikor a gömbhullámok

frontja síkhullámmal közelíthető, a síkbeli eloszlás kiszámításánál a hullámfrontok görbülete és az eltérő befutott terjedési út miatt jelentkező amplitúdó-különbségek elhanyagolhatók – Fraunhoffer közelítés – a részhullámok között csak a fázisban vesszük figyelembe az eltérő úthosszból adódó különbséget. Gyakorlatilag az egyes pontokban síkhullámokat adunk össze Mérésünk során egy változtatható a szélességű rés diffrakciós képét vizsgáljuk. Az egyes közelített gömbhullámok összegzéséből jutunk a következő integrálhoz, amely a réstől z távolságú síkban, az x transzverzális koordinátájú pontban adja meg a térerősség értékét: E ( x, z ) = E r ⋅ exp(− j ⋅ 2π ⋅ D / λ ) ⋅ a/2 ∫ exp(− j ⋅ (2π / λ ) ⋅ a⋅x / z)da −a / 2 ahol a a rés szélessége, D a távolság a rés közepe és az (x,z) koordinátájú pont között, Er a térerősség hosszegységre eső része, a’

az adott gömbhullám-komponens kiindulási pontjának a rés közepéhez viszonyított koordinátája. Az a’*x/z tag az egyes gömbhullámok közötti úthossz-különbség, távoltér közelítésben, ahogy az 1. ábrából látható D a x a’ Úthosszkülönbség z 1. ábra Az integrálás eredménye a jól ismert sin(x)/x függvény: E ( x, z ) = E r ⋅ a ⋅ exp(− j ⋅ 2π ⋅ D / λ ) ⋅ sin(π ⋅ ax π ⋅ ax λz ) λz E térerősség-eloszlás abszolút értékének négyzete az intenzitás-eloszlás a megfigyelési síkban, amelyet szabad szemmel látunk, illetve fotodetektorral mérni tudunk. A mérés első 2 feladata az intenzitás-eloszlás kimérése különböző diffraktáló résméretek mellett a réstől meghatározott távolságra. A sin2(x)/x2 függvényt sinc2(x) függvénynek rövidítjük Főmaximuma a réssel szemben az x=0 helyen van, mellékmaximumai és mellékminimumai pedig ott ahol a sin függvénynek maximumai illetve zérushelyei

vannak: π ⋅ ax π λ ⋅ z , ahol k egész szám. Láthatóan minél kisebb a résméret λz = k ⋅ 2 , azaz x = k ⋅ 2a annál nagyobb távolságra vannak egymástól a minimumok és maximumok. A lencse Fourier transzformáló hatása A térbeli Fourier transzformáció az optikai nyalábok terjedésének számítására egy igen szemléletes és jól általánosítható matematikai eszköz. Fizikai megfelelője az optikai nyaláb síkhullám-komponensekre bontása, a Huygens-Fresnel elvhez hasonlóan, ahol gömbhullámokból rakjuk össze a hullámfrontot. A felbontás során általában az optikai tengelyre merőleges síkban érvényes, a térkoordinátáktól függő komplex amplitúdó eloszlást alakítjuk át terjedési iránytól függő komplex síkhullám-amplitúdókra. Ezek értelemszerűen az adott síkhullám terjedési irányára merőleges síkban állandók. Az átalakítás matematikai művelete a Fourier transzformáció: E (ν x ,ν y ) = ∞ ∞

∫ ∫ E ( x, y ) ⋅ e − j ⋅2π ⋅(ν x ⋅ x +ν y ⋅ y ) dxdy − ∞− ∞ Itt x és y a térkoordináták a vizsgált síkban, E(x,y) a komplex-amplitúdó eloszlás, míg a νx és νy a térfrekvenciák, amelyek az adott síkhullám-komponens haladási irányával vannak egyértelmű összefüggésben: ν x = cos(α x ) λ , ν y = cos(α y ) λ ahol αx és αy a síkhullám-komponens x ill. y tengelyekkel bezárt szöge és λ a hullámhossza A terjedés leírásában általában egy adott síkban érvénye komplex-amplitúdó-eloszlás ismeretében szeretnénk megtudni egy más síkban érvényes amplitúdó-eloszlást, úgy, hogy a két sík között a szabad téren kívül általában más optikai elemek is találhatók. Az elv az, hogy felbontjuk az ismert amplitúdó-eloszlást síkhullám-komponensekre (matematikailag Fouriertranszformálunk a megfelelő térfrekvenciák szerint), a síkhullám-komponenseket egyenként végigvisszük a rendszeren a

síkig, amelyben az amplitúdó-eloszlást keressük (az optikai elemek hatását egy síkhullámra általában egyszerűen fel tudjuk írni matematikailag) és ott összeadjuk őket, hogy megkapjuk a komplex amplitúdó-eloszlást (inverz Fourier transzformálunk). Ez a módszer általában alkalmazható bármilyen terjedésre és bármilyen 3 rendszerre, bár a számítás gyakran gépidő-igényes és ritkán oldható meg a feladat analitikusan. A lencse olyan optikai elem, amely a ráeső síkhullámot egy pontba fókuszálja, a fókuszsíkban és egyértelmű összefüggés van a fókuszpont fókuszsíkbeli transzverzális koordinátái és a síkhullám terjedési iránya között. Ha egy tetszőleges eloszlású optikai nyalábot ejtünk rá a lencsére, a lencse hátsó fókuszsíkjában (a beesés irányában a lencse után következő fókuszsíkban) minden egyes pontban érvényes amplitúdó a lencse előtti nyaláb egy-egy síkhullám-komponenséből származik,

tehát gyakorlatilag a fókuszsíkban érvényes x és y koordinátáktól függő amplitúdó-eloszlás egyértelmű függvénye a lencse előtt érvényes síkhullám felbontásnak, azaz az amplitúdók terjedési iránytól függő eloszlásának. Ez csak az amplitudók abszolút értékére igaz, és nem a komplex-amplitúdókra, azaz a fókuszíkban érvényes amplitúdó-eloszlás a nyaláb lencse előtti tetszőleges síkban felvett komplexamplitúdó eloszlása Fourier transzformáltjának abszolút értékével arányos. Az egyes fókuszpontokban érvényes fázisok függenek a síkhullám-komponensek által ténylegesen megtett úttól, így a térkoordináták szerinti fáziseloszlás a lencse előtti fókuszsíkban érvényes terjedési irány szerinti fáziseloszlással, a Fourier transzformált fáziseloszlásával egyezik meg (az első fókuszsíktól a hátsó fókuszsíkig minden síkhullám azonos optikai utat jár be, tehát azonos mértékben tolódik el a fázisa,

lévén ezek konjugált síkok, egyik a másiknak a képe). Gyakorlatilag ez azt jelenti, hogyha egy lencse hátsó fókuszsíkjában vagyunk kíváncsiak a tér amplitúdó abszolút értékének eloszlására, elég a lencse előtti tetszőleges síkban (úgy, hogy a lencse és a sík között ne legyen más optikai elem) az amplitúdó eloszlást Fouriertranszformálni és abszolút értékét venni, nem kell az egyes síkhullám-komponenseket propagálni és a vizsgált síkban inverz Fourier transzformálni, mint az általános esetben. A komplex amplitúdó-eloszláshoz pedig az első fókuszsíkban érvényes komplex-amplitúdó eloszlás Fourier transzformálját kell kiszámítani. Egyszerű geometriai számításból kiszámítható, hogy a νx frekvenciájú komponenst a lencse a hátsó fókuszsík alábbi x koordinátájú helyére fókuszálja: x= f ⋅ 1 − λ2ν x2 λν x ahol λ a hullámhossz, f pedig a lencse fókusztávolsága (az egyszerűség kedvéért egy

dimenzióban írjuk fel). A lencse előtt érvényes |F(νx)| Fourier transzformált abszolút értékét egy egyszerű detektorral a fókuszsíkban érvényes |f’(x)|2 intenzitás-eloszlás kimérésével kaphatjuk meg, a fenti x-νx összefüggéssel átszámolva. 4 A gyakorlatban a legtöbbször az intenzitás-eloszlás az, amit mérni és látni tudunk, azaz a komplex amplitúdó-eloszlás abszolút értékének négyzete. Ez az érzékelt kép A lencse fókuszsíkjában ezért mindig a lencse előtt egy tetszőlege tárgysíkban érvényes eloszlás Fourier transzformáltja abszolút értékének négyzetét fogjuk egy sima detektorral detektálni, függetlenül a tárgysík lencse előtti helyzetétől. A térbeli szűrés elve a lencse fentiekben leírt „Fourier transzformáló” tulajdonságán alapszik. Azzal, hogy a lencse előtt érvényes síkhullám-összetevőket egy pontba húzza össze a fókuszsíkba, lehetővé teszi, hogy egyszerűen kivegyünk egyes

komponenseket, vagy mesterségesen eltoljuk a fázisukat és az eredménysíkban, az újra összeadással (inverz Fourier transzformációval) egy előre eltervezett, új komplex-amplitúdó eloszlást kapjunk. A leggyakoribb alkalmazás általában a legkisebb információtartalmú, de általában legfényesebb nulla térfrekvenciakomponens (az optikai tengellyel párhuzamosan haladó síkhullámkomponens) fázisban eltolása a többihez képest, vagy kitakarása, hogy a magasabbrendű frekvenciakomponensek meghagyásával a képben a tárgy elsőrendű deriváltját állítsuk elő. Másik legfontosabb alkalmazás a zavarokat, képzavaró csíkosságot hordozó frekvenciakomponensek (általában azonosíthatóak) eliminálása. Az eredményképet általában egy új lencsével állítjuk elő, amelynek első fókuszsíkja egybeesik az első lencse hátsó fókuszsíkjával – konfokális elrendezés. A képet a második lencse hátsó fókuszsíkjában kapjuk meg, fordított

állásban, mivel a lencse a két fókuszsík között Fourier transzformációt hajt végre (és nem inverz Fourier transzformációt, ahogy az egyenes állású képhez szükséges lenne). A kép és a tárgy méretének arányát a két lencse fókusztávolságainak aránya határozza meg. A mérési elrendezés és a mérés menete A mérés első részében egy változtatható méretű, téglalap alakú rés szabadtéri diffrakciós képének és Fourier transzformáltjának kimérését végezzük el. A mérési elrendezés a 2. ábrán látható A He-Ne lézer nyalábját egy nyalábtágítóval kitágítjuk, hogy a résmérethez viszonyítva jóval nagyobb legyen a nyalábátmérő, azaz a rés belépő oldalán egyenletes legyen a kivilágítás. A rés minden pontjából így azonos amplitúdójú gömbhullám indul, amelynek összeadódásából alakul ki a térerősség- és intenzitás-eloszlás adott síkban a rés mögött. 5 Nyalábtágító Detektor mozgatható

állványon Lézer Rés Fourier transzformáló lencse Fókuszsík 2. ábra Mérési elrendezés a rés diffrakciós képének kiméréséhez Ha lencsét teszünk be a rés után a nyaláb útjába a hátsó fókuszsíkban a fentiek alapján a rés után és a lencse előtt érvényes amplitúdó-eloszlás Fourier transzformáltjának abszolút értékének négyzetével arányos intenzitás-eloszlást mérhetünk. A mérés során egy dimenziós intenzitás-eloszlást vizsgálunk, amennyiben csak a rés rövidebb élével párhuzamos irányban (legyen ez az x irány) mérjük az intenzitás-eloszlását, azt feltételezve, hogy a detektor mérete sokkal kisebb, mint az erre merőleges (y irányú) térbeli változások nagyságrendje. Ezt azért feltételezhetjük, mert a rés y irányban sokkal hosszabb, mint x irányban, és ráadásul nem világítottuk ki a teljes y irányú apertúrát. A mérés során az x irányú térbeli felbontásunkat a detektor érzékeny

felületének vonatkozó mérete határozza meg, azaz nem tudjuk az intenzitás koordinátafüggését kisebb lépésközzel kimérni. A mért intenzitásfüggvény a tényleges intenzitásfüggvény és a detektor x irányú érzékenység-függvényének konvolúciója lesz. A szemünk felbontása nagyobb, tehát ott ahol szemmel sötét foltot tátunk nem biztos, hogy a detektor nem érzékel fényt, ezért nulla érték helyett csak egy lokális minimumot kapunk. A minimumok és maximumok periódusa viszont teljes mértékben meg kell feleljen a szemmel látottnak és a résméret alapján számoltnak Elvégzendő feladatok: a. Miben különbözik egymástól a rés szabad téri diffrakciós képe és a lencse által létrehozott Fourier transzformált? A különböző elv mentén, más számítási módszerrel (Diffrakció-Huygens-Fresnel elv illetve Fourier transzformált) kapott intenzitáseloszlás jellege igen hasonló. b. Mérjük meg az intenzitás-eloszlást két

különböző résméret esetén lencsével Hasonlítsuk össze a számított és mért görbéket, a periódusokból, a minimum és maximumhelyek koordinátái segítségével számoljuk ki a rések méretét, ismerve a lencse f=500 mm fókusztávolságát és a λ=633 nm hullámhosszúságot. Ügyeljünk arra, hogy mindkét beállított résméret elég keskeny legyen ahhoz, hogy a mellékmaximumok szemre jól szétváljanak! 6 A mérés második részében a koherens képfeldolgozó rendszer bemutatását végezzük el egy egyszerű példán. Egy lencse segítségével létrehozunk egy síkot, ahol egyszerű kitakarással lehet térfrekvencia-komponenseket kiszűrni és az eredményt megjelenítő képsíkot egy kamerához illesztjük. A lencsével létrehozzuk a tárgy Fourier transzformáltját a lencse hátsó fókuszsíkjában, egy másik lencsével vagy lencse nélkül pedig visszaállítjuk a tárgy módosított képét az eredménysíkban. A Fourier transzformált ugyan

a valóságban folytonos függvény, tehát nehéz diszkrét frekvenciakomponenseket kitakarni, a térbeli felbontást a kitakaró elem mérete határozza meg. Nyalábtágító Térszűrő Lézer 1. lencse Tárgy Fourier sík Tárgy képe 2. lencse 3. ábra Mérési elrendezés a térszűrés bemutatására Mérésünkben pl. a nulladik frekvenciakomponens kiszűrésével egy elsőrendű deriválást végzünk el. Tárgyként egy 25 μm elem-méretű négyzethálót alkalmazunk A képet egy ernyőn vagy a kamerán megjelenítve a négyzetháló kereteit kapjuk meg, ha a középső maximumot az első lencse fókuszsíkjában egy megfelelő tárggyal kitakarjuk. Az első deriváltban gyakorlatilag a sötét-világos átmenet helyén kapunk maximumot, ahol legnagyobb a teljes képben az átmenet meredeksége. Hasonlóképpen a vízszintes diffrakciós rendeket kitakarva csak függőleges irányban kapunk maximumokat (függőleges vonalakat). Ha tárgyként egy fóliára nyomtatott,

transzparens képet alkalmazunk, a megfelelő magasabb rendek kiszűrésével (egy változtatható méretű rés alkalmazásával) a nyomtatási raszter okozta függőleges csíkozás a kimeneti képből eltűntethető. A mérési elrendezés a 3. ábrán látható Mérési feladatok: a. Cserélje ki a rés után közvetlenül található lencsét egy kisebb (300 mm) fókusztávolságú, lencsével, valamint a detektor helyére helyezze be a szűrőtartót. Tárgyként állítsa be a négyzethálót, majd keresse meg egy papírból készült ernyő segítségével a tárgy képét, amelyet a lencse hoz létre. 7 b. Helyezzen egy kamerát a képsíkba, és dugja be a labor-tápegység egyik csatornájába, miután azt 12 V-ra állította. Figyelje meg a képsíkban kialakuló képet c. Helyezzen egy szűrőt (fóliára rajzolt pontok és vonalak) a szűrőtartóba, és próbálja meg kitakarni a nulladik rendet, majd csak a vízszintes, illetve a függőleges Fourier komponenseket.

Magyarázza meg a megfigyelt jelenséget, a képben bekövetkező változásokat. Próbáljon meg más maximumokat is kitakarni! d. Helyezzen be a tárgy helyére egy fóliára nyomtatott képet, valamint a Fourier síkba egy változtatható szélességű rést, majd próbálja meg a képből kiszűrni a nyomtatási raszter által létrehozott függőleges csíkozást. Megválaszolandó kérdések: 1., Miért látható lencse nélkül a rés diffrakciós képében, az egyes maximumokon egy függőleges irányú tagozódás és a tagok kismértékű vízszintes eltolódása? 2., Hogyan döntjük el, hogy melyik a nagyobb fókusztávolságú lencse a mellékelt lencsék közül? 3., Mi történik, ha a mérés második részében két lencsét használunk? Milyen hatásokra számíthatunk, hogyan befolyásolható a nagyítás és a kép tárggyal való hasonlósága? 4., Mi a hatása annak, hogy a rés (tárgy) nem az első lencse első fókuszsíkjában található, hanem annál jóval

közelebb a lencséhez? Mi figyelhető meg ebből a hatásból? 8