Matematika | Valószínűségszámítás » Valószínűség-számítás jegyzet

V a l  o s z  n u } s  e g s z  a m   t  a s 1 V eletlen k s erletek, esem enyalgebr ak veletlen esemenyek eseten beszelunk. A veletlen esemenyeket az jellemzi, hogy nem tudjuk el}ore megmondani, hogy bekovetkeznek-e, vagy sem. Ezek veletlen kimenetel}u kserletekkel kapcsolatosak; ezt a fogalmat tagan ertelmezzuk: bele tartoznak olyan veletlen jelensegek meg gyelesei is, melyeknel a korulmenyeket nem mi hatarozzuk meg. 1.1 Valoszn}usegr}ol Nehany pelda: (a) Min}osegellen}orzest vegeznek egy gyarban: az elkeszult n termekb}ol valamilyen modon kivalasztanak m darabot (m 6 n), es megvizsgaljak, hogy megfelelnek-e az el}orasoknak. A kserlet eredmenye (kimenetele): a hibas termekek szama. Ez a f0; 1; 2; : : : ; mg halmaz valamely eleme (b) Kitoltunk egy hagyomanyos lottoszelvenyt: megjelolunk 5 szamot a lehetseges 90-b}ol. A kserlet kimenetele: a talalatok szama. (c) Ket kulonboz}o fajta noveny

keresztezesekor az utod bizonyos tulajdonsagait (peldaul a virag sznet) a genek hatarozzak meg, melyeket a szulokt}ol orokolt. Jelolje ezeket A es a. A lehetseges genkombinaciok: AA, Aa, aa (d) Ha meg gyeljuk egy viragporszemcse mozgasat valamilyen folyadekban, akkor egy meglehet}osen kaotikus mozgast tapasztalunk (melyet Brown-mozgasnak neveznek); ennek oka az, hogy a viragporszemcset a folyadek molekulai lokdosik, melyek ugynevezett h}omozgast vegeznek. A meg gyeles eredmenye: a viragporszemcse utvonala (e) Egy ragalyos fert}ozes terjedese, a csapadekmennyiseg alakulasa, a szeizmograf mozgasa szinten veletlen jelenseg. (f) A valoszn}usegszamtas fejl}odesere hatassal volt a kulonboz}o szerencsejatekokkal kapcsolatos veletlen esemenyek valoszn}usegenek vizsgalata. Matematikai szempontbol egy veletlen kserlettel kapcsolatban minket csak a lehetseges kimenetelek erdekelnek. A valoszn}usegszamtas

a veletlen kserletek mennyisegi torvenyszer}usegeit tanulmanyozza, es a lehetseges kimenetelekkel kapcsolatban alltasokat fogalmaz meg Csak olyan kserletekkel foglalkozunk, melyeket sokszor megismetelhetunk; az egyedi esemenyekkel kapcsolatos eselyek latolgatasa nem targya a valoszn}usegszamtasnak. Minden veletlen kserlettel kapcsolatban tekinthetunk bizonyos esemenyeket, amelyekr}ol a kserlet vegrehajtasa utan el tudjuk donteni hogy bekovetkeztek-e, vagy sem. Ilyen az (a) peldaban az az esemeny, hogy k hibas termeket talalunk, ahol k 2 f0; 1; 2; : : : ; mg. De 1.2 1 lehet tekinteni azt az esemenyt is, hogy a hibas termekek szama kisebb mint egy adott szam, vagy azt, hogy a hibas termekek szama paros, stb. Ezzel a kserlettel kapcsolatos esemenyek altalanos alakja: a hibas termekek szama 2 M; ahol M  f0; 1; 2; : : : ; mg. A tovabbiakban kiderul (lasd a Stone{tetelt), hogy egy kserlettel kapcsolatos

esemenyeket mindig lehet egy halmaz bizonyos reszhalmazaival reprezentalni! Tekintsuk egy adott veletlen kserlettel kapcsolatos osszes esemenyek halmazat. Ezek kozott ket kituntetett szerepel: I , a biztos esemeny, amely a kserlet barmely vegrehajtasa soran bekovetkezik, es O, a lehetetlen esemeny, amely sohasem. Tulajdonkeppen sok olyan esemeny van, amely mindig bekovetkezik, illetve amely sohasem kovetkezik be; peldaul az (a) kserletben mindig bekovetkeznek azok az esemenyek, hogy a hibas termekek szama kisebb mint valamely K szam, ahol K > m. Viszont mi az esemenyeket csak kvantitatv szempontbol vizsgaljuk (azaz ismetelt kserletek soran a bekovetkezesek gyakorisagat), ezert az osszes biztos, illetve lehetetlen esemenyt azonosnak tekintjuk. A ltalaban az A es B esemenyeket azonosaknak tekintjuk, ha a kserlet vegrehajtasa soran vagy mind a kett}o bekovetkezik, vagy egyik sem; ekkor azt rjuk, hogy A = B . Egy

kselettel kapcsolatos esemenyek kozott logikai kapcsolatok vannak, es logikai m}uveleteket lehet bevezetni:  Minden A esemennyel kapcsolatban tekinthetjuk az A ellentett esemenyet, amely       pontosan akkor kovetkezik be, amikor az A esemeny nem kovetkezik be; jelolese: A. Az A es B esemenyek osszege az az esemeny, amely pontosan akkor kovetkezik be, amikor az A es B esemenyek kozul legalabb az egyik bekovetkezik; jelolese: A + B . Az A es B esemenyek szorzata az az esemeny, amely pontosan akkor kovetkezik be, amikor az A es B esemenyek mindegyike bekovetkezik; jelolese: A
B . Az A es B esemenyek kulonbsege az az esemeny, amely pontosan akkor kovetkezik be, amikor az A esemeny bekovetkezik, a B esemeny pedig nem; jelolese: A B . Az A es B esemenyek szimmetrikus di erenciaja az az esemeny, amely akkor kovetkezik be, amikor az A es B esemenyek kozul pontosan egy kovetkezik be; jelolese: A 4 B. Azt mondjuk, hogy az A

es B esemenyek kizarjak egymast, ha egyszerre nem kovetkezhetnek be. Azt mondjuk, hogy az A esemeny maga utan vonja a B esemenyt, ha az A esemeny bekovetkezese eseten mindig bekovetkezik a B esemeny is; jelolese: A ) B . 2 E rvenyesek a kovetkez}o osszefuggesek: kommutativitas: A + B = B + A, A
B = B
A; asszociativitas: A + (B + C ) = (A + B ) + C , A
(B
C ) = (A
B )
C ; idempotencia: A + A = A, A
A = A; disztributivitas: A
(B + C ) = (A
B ) + (A
C ), A + (B
C ) = (A + B )
(A + C ); de Morgan-fele azonossagok: A + B = A
B , A
B = A + B ; A B = A
B; A 4 B = (A B ) + (B A); A es B kizarjak egymast akkor es csak akkor, ha A
B = O; A ) B akkor es csak akkor, ha A
B = A, illetve akkor es csak akkor, ha A + B = B , illetve akkor es csak akkor, ha B ) A;  A = A, I = O, O = I , A = I A;  A + A = I , A
A = O, A + O = A, A + I = I , A
O = O, A
I = A. 1.3 De ncio E A; B 2 E A2E A+B 2E E esemenyalgebranak  

       Ha esem enyekb} ol a ll o  es eset en  es halmaz olyan, hogy tartalmazza a biztos esem enyt, , akkor {t nevezz uk. (Ekkor persze O 2 E , es A; B 2 E eseten A
B 2 E , A B 2 E es A 4 B 2 E is teljesul.) Egy kserlettel kapcsolatos esemenyek nyilvan esemenyalgebrat alkotnak. 1.4 De ncio A 2 A A; B 2 A nA 2 A A[B 2 A ( ; A) halmazalHa valamely hogy ,  es halmaz bizonyos r eszhalmalmazaib ol a ll o eset en  es , akkor az rendszer olyan, p art gebr anak nevez unk. (Ekkor persze ; 2 A, es A; B 2 A eseten A B 2 A es A n B 2 A is teljesul.) 1.5 Tetel (Stone) tetsz} oleges E Minden esem enyalgebr ahoz tal alhat o vele izomorf halmazalgebra, azaz esem enyalgebr ahoz l etezik ( ; A) halmazalgebra  es :E!A k olcs on osen egy ertelm} u lek epez es u gy, hogy (a) (I ) = (b) (A) = n (A) (c) (A + B ) = (A) [ (B ) , tetsz} oleges eset en, tetsz} oleges A; B 2 E =; eset en. A; B 2 E eseten (A
B )

= (A) (B ) es (A B ) = (A) n (B ) is teljesul, valamint A es B akkor es csak akkor egymast kizaroak, ha (A) es (B ) diszjunktak, tovabba A ) B azzal ekvivalens, hogy (A)  (B ).) (Ekkor persze (O) A2E ,  es 3 Ez alapjan az esemenyalgebrakra vonatkozo alltasok bizonytasa elvegezhet}o az ugynevezett Venn{diagrammokkal. Amikor egy kserlettel kapcsolatos esemenyalgebra vegtelen sok esemenyt tartalmaz, akkor arra is szuksegunk lesz, hogy egy A1 , A2 , : : : esemenysorozat eseten tekintsuk az A1 + A2 +


vegtelen osszeget, mely az az esemeny, amelyik pontosan akkor kovetkezik be, ha van olyan n 2 N , hogy An bekovetkezik, illetve az A1
A2



vegtelen szorzatot, mely az az esemeny, amelyik pontosan akkor kovetkezik be, ha mindegyik A1 , A2 , : : : esemeny bekovetkezik. Ezert egy veletlen kserlettel kapcsolatos esemenyeket egy olyan ( ; A) halmazalgebra segtsegevel fogjuk lerni, melyre teljesul, hogy A1 ; A2; : :

: 2 A eseten 1 1 1 [ An 2 A (ekkor persze n=1An = n[=1An 2 A is teljesul); az ilyen halmazalgebrat { n=1 algebranak nevezzuk. Az halmazt esemenyternek, elemeit elemi esemenyeknek nevezzuk, az A elemeit pedig esemenyeknek nevezzuk. A kserlet maga ugy rhato le, hogy az egy pontjat valasztjuk ki veletlenszer}uen; ha az ! 2 pont kerult kivalasztasra, akkor pontosan azok az A 2 A esemenyek kovetkeztek be, melyekre ! 2 A teljesul; ha pedig ! 62 A, akkor A nem kovetkezett be. 1.6 Ha egy kserletnek veges vagy megszamlalhatoan vegtelen sok kulonboz}o kimenetele van, akkor jelolje ezek halmazat ; tehat = f!1; !2; : : : ; !N g, vagy = f!1; !2; : : : g alaku. Mivel az elemi esemenyeket is esemenyeknek tekintjuk, gy a nekik megfelel}o egyelem}u f!k g halmazok benne vannak A{ban, ezert ekkor A = 2 , azaz A az osszes reszhalmazokbol allo halmazrendszer (mely nyilvan {algebrat alkot). 1.7 1.8 Peldak: (a) Egy penzdarab feldobasa eseten

= ffej; rasg. (b) n-szer dobva egy penzdarabbal: = f! = (a1 ; a2; : : : ; an) : ai = fej vagy rasg: Ekkor j j = 2n. Ha n darab egyforma penzdarabot egyid}oben dobunk fel, akkor is lehet ugyanezt az esemenyteret tekinteni, de lehet csak a megkulonboztethet}o kimenetelekre szortkozni: ezek szama n + 1. (c) Egy zsakban n kulonboz}o szn}u golyo van. Kihuzunk ezek kozul k darabot; negy lehet}oseg van aszerint, hogy visszatevessel vagy visszateves nelkul huzunk (az utobbi esetben k 6 n szukseges), es aszerint, hogy a sorrend szamt vagy nem szamt. Ez a kserlet ekvivalens azzal a kserlettel, amikor n rekeszbe helyezunk el k targyat; az el}obbi negy lehet}oseg annak felel meg, hogy egy rekeszbe tobb targy is kerulhet vagy csak egy, illetve a targyak meg vannak kulonboztetve, vagy nem. Az esemenyter elemeinek szamat a kovetkez}o tablazat tartalmazza. 4 visszateves nelkul (ismetles nelkuli) visszatevessel (ismetleses)

sorrend szamt (variacio) sorrend nem szamt (kombinacio) n!   (n n k k)!  nk a targyak kulonboz}oek n+k k 1 egy rekeszbe legfeljebb egy targy kerulhet egy rekeszbe tobb targy is kerulhet a targyak nem kulonboznek  Ha n kulonboz}o elem kozul huzunk visszateves nelkul ugy, hogy a sorrend szamt, es kihuzzuk az osszes n elemet (ami azzal ekvivalens, hogy n elemet sorbaalltunk; ezeket permutacioknak nevezzuk), akkor a lehet}osegek szama n! := 1
2




n, hiszen az els}o huzasnal meg n lehet}oseg van, a masodiknal n 1, stb., es ezek szorzata adja az eredmenyt.  Ha n kulonboz}o elem kozul k (k 6 n) elemet huzunk visszateves nelkul ugy, hogy a sorrend szamt (ezeket ismetles nelkuli variacioknak nevezzuk), akkor a lehet}osegek szama n(n 1)


(n k+1), amit az el}oz}ohoz hasonlo gondolatmenettel bizonythatunk.  Ha n kulonboz}o elem kozul k elemet huzunk visszatevessel ugy,

hogy a sorrend szamt (ezeket ismetleses variacioknak nevezzuk), akkor a lehet}osegek szama nk , hiszen minden huzasnal n lehet}oseg van.  Ha n kulonboz}o elem kozul k (k 6 n) elemet huzunk visszateves nelkul ugy, hogy a sorrend nem szamt (ezeket ismetles nelkuli kombinacioknak nevezzuk), akkor a lehet}osegek szama   n n! n(n 1)


(n k + 1) := = ; k k! (n k)! k! hiszen a megfelel}o ismetles nelkuli variaciokat ugy lehet megkapni, hogy a kihuzott k elemet az osszes lehetseges modon sorbarakjuk; ezek szama pedig mindig k!.  Ha n kulonboz}o elem kozul k elemet huzunk visszatevessel ugy, hogy a sorrend nem szamt
(ezeket ismetleses kombinacioknak nevezzuk), akkor a lehet}osegek szama n+k 1 , amit ugy lehet belatni, hogy a kserlet kimeneteleihez egyertelm}uen hozza k lehet rendelni egy olyan sorozatot, mely n 1 darab egyesb}ol es k darab nullabol all, es ugy kell ertelmezni, hogy az els}o egyesig lev}o

nullak szama (ami 0 is lehet) jelenti az els}o fajta elemb}ol huzottak szamat, az els}o es masodik egyes koze rt nullak szama jelenti a masodik fajta elemb} ol huzottak szamat, stb.; az ilyen nulla{egy sorozatok
n+k 1 szama pedig nyilvan k , hiszen azt kell megmondani, hogy az n + k 1 hely kozul melyik k helyre keruljon nulla. 5 (d) Adva van n kartya; ezeket osztjuk szet k jatekos kozot ugy, hogy sorban n1 , n2 , : : : , nk kartyat kapjanak, ahol n1 +n2 +


+nk = n, es az egy jatekoshoz kerul}o lapok sorrendje nem szamt (ezeket ismetleses permutacioknak nevezzuk). Ekkor az esemenyter elemeinek szama j j = n ! n n!
!

n ! ; 1 2 k hiszen a kartyak n! szamu permutacioit ugy lehet ezekb}ol a leosztasokbol megkapni, hogy az egy jatekoshoz kerult n1 , n2 , : : : , nk kartyat tetsz}oleges sorrendbe helyezzuk. (e) Addig dobalunk egy ermevel, mg az els}o fejet sikerul elerni. Ekkor = ff; if; iif; iiif; : : : ; i1g;

ahol i1 azt a lehetseges kimenetelt jeloli, amikor csak rast dobunk a vegtelensegig. 1.9 Ha egy egysegnyi hosszusagu palcat veletlen helyen kettetorunk, akkor a lehetseges kimenetelek halmazat reprezentalhatja az = [0; 1] intervallum; nyilvan az osszes reszhalmazokbol allo 2 halmazrendszer most is -algebra, de ez nem alkalmas, mert `tul b}o. Nyilvan elvarjuk, hogy peldaul az [ ; ]  [0; 1] intervallumok (mint a legegyszer}ubb reszhalmazok) esemenyeket reprezentaljanak (azt az esemenyt, hogy a veletlenszer}uen valasztott pont beleesik az illet}o [ ; ] intervallumba). Azt a legsz}ukebb -algebrat, mely tartalmazza az osszes [ ; ]  [0; 1] intervallumot Borel-fele -algebranak nevezzuk; ez nyilvan tartalmazza az osszes ( ; ); [ ; ); ( ; ]  [0; 1] intervallumot es ilyenek megszamlalhato unioit is, hiszen 1 ( ; ) = [0; 1] n ([0; ] [ [ ; 1]), es [ ; ) = n[=1[ ; n 1]. 2 Val osz n} us eg Ismeteljunk meg egy veletlen kserletet

n-szer egymastol fuggetlenul, azaz a kserletek eredmenyet ne befolyasoljak az el}oz}o kserletek eredmenyei. Jelolje kn(A) azon kserletek szamat, amelyeknel az A esemeny bekovetkezett; ezt az A esemeny gyakorisaganak nevezzuk. Az A esemeny relatv gyakorisaga: k (A) n (A) := n : n Nyilvan  0 6 n (A) 6 1 teljesul tetsz}oleges A esemenyre;  n(;) = 0, n( ) = 1;  ha A es B egymast kizaro esemenyek, akkor n(A [ B ) = n (A) + n(B );  ha A1 , A2 , : : : paronkent egymast kizaro esemenyek, akkor 2.1 n 1 [ j ! Aj =1 = 1 X j =1 n (Aj ); ahol a jobboldalon allo sor tagjai kozul csak veges sok kulonbozik nullatol; 6  n(A) = 1 n(A) teljesul tetsz}oleges A esemenyre;  ha A  B , akkor n(A) 6 n(B ). (De ezek a tulajdonsagok nem fuggetlenek egymastol.) A tapasztalat alapjan egy esemeny relatv gyakorisaga bizonyos stabilitast mutat: ingadozik valamilyen ertek korul egyre kisebb kilengesekkel. (Azt

persze nem allthatjuk, hogy ez a sorozat konvergens volna, es err}ol tapasztalati uton nem is tudunk meggy}oz}odni.) Ezert termeszetes az a feltetelezes, hogy minden esemenyhez hozza lehet rendelni ezt a bizonyos erteket, amit az illet}o esemeny valoszn}usegenek nevezunk, es rendelkezik a relatv gyakorisagra jellemz}o tulajdonsagokkal. 2.2 De ncio nem ures halmaz, ( ; A; P) Val osz n} us egi mez} o alatt egy A2 az h armast  ert unk, ahol bizonyos r eszhalmazaib ol  all o  -algebra,  es P egy :A! R pedig egy olyan lek epez es (halmazf uggv eny), melyre (a) 0 6 P(A) 6 1 (b) P( ) = 1 (c) A1 ; A2; : : : 2 A teljes ul tetsz} oleges A 2 A eseten, , ha p aronk ent diszjunktak, akkor P (Ezt a tulajdons agot 1 [ ! Aj j =1 = 1 X j =1 (Aj ): P  -additivitasnak nevezzuk). Konny}u belatni, hogy ha ( ; A; P) egy valoszn}usegi mez}o, akkor  P(;) = 0 (hiszen ha P(;) > 0 volna, akkor (c)-ben A1 = A2 = : : : =

; valasztassal ellentmondasra jutnank);  ha A1 ; A2; : : : ; An 2 A paronkent diszjunktak, akkor P n [ j =1 ! Aj = n X j =1 (Aj ) P (ezt a tulajdonsagot veges additivitasnak nevezzuk; ugy bizonythato, hogy (c)-t alkalmazzuk An+1 = An+2 = : : : = ; esetere, es alkalmazzuk azt, hogy P(;) = 0);  P(A) = 1 P(A) (hiszen = A [ A diszjunkt felbontas, gy 1 = P( ) = P(A [ A) = P(A) + P(A));  ha A  B , akkor P(A) 6 P(B ) (ezt a tulajdonsagot monotonitasnak nevezzuk; ugy lehet belatni, hogy A  B eseten B = A [ (B A) diszjunkt felbontas, ezert P(B ) = P(A [ (B A)) = P(A) + P(B A) > P(A)); 7  tetsz}oleges A; B 2 A eseten P(A [ B ) = P(A) + P(B ) P(A B ); P(A [ B [ C ) = P(A) + P(B ) + P(C ) P(A B ) P(A C ) P(B C ) + P(A B C ): 2.3 Az ( ; A; P) valoszn}usegi mez}ot diszkretnek nevezzuk, ha veges vagy megszamlalhatoan vegtelen, es A = 2 Ekkor tehat = f!1; !2; : : : ; !N g vagy = f!1; !2; : : : g alaku. Nyilvan tetsz}oleges A 2

A esemeny el}oall az [ A= f!ig : diszjunkt felbontas alakjaban, ezert i !i 2A (A) = P X : i !i 2A (f!i g): P Ezert eleg megadni az elemi esemenyek valoszn}usegeit, a pi := P(f!i g) (i = 1; 2; : : : ) szamokat ahhoz, hogy tetsz}oleges esemeny valoszn}useget ki tudjuk szamolni. Nyilvan szukseges az, hogy ezek a fp1; p2; : : : g szamok nemnegatvak legyenek es osszeguk 1 legyen, hiszen ! [ X 1 = P( ) = P f!j g = pj : j j A veges sok elemi esemenyt tartalmazo valoszn}usegi mez}ok kozott gyakran fordul el}o olyan, amelynel (peldaul szimmetria okok miatt) p1 = p2 = : : : = pN = N 1. Ekkor X 1 X 1 = 1 jfi : ! 2 Agj; P(A) = pi = i N N : i !i 2A vagyis : i !i 2A abol kedvez}o kimenetelek szama : (A) = az A szempontj osszes kimenetelek szama P 2.4 Peldak: (a) Ket ermet feldobva mennyi annak a valoszn}usege, hogy egy fej es egy ras legyen az eredmeny? Ekkor a ket ermet megkulonboztetve az = f ; ; if; iig

esemenyteret kapjuk, amelyben a kimenetelek egyforma valoszn}useg}uek, gy a valasz 0:5. (b) Mennyi a valoszn}usege, hogy egy n tagu tarsasagban van legalabb ket olyan szemely, akiknek ugyanakkor van a szuletesnapja? (Feltesszuk, hogy a szok}onap nem lehet.) Nyilvan n > 365 eseten ( a `skatulya-elv miatt) ez biztos esemeny, gy ekkor a valoszn}useg 1. Ha pedig n 6 365, akkor az ellentett esemennyel szamolva 8 > 0:284 ha n = 16 > > > > <0:476 ha n = 22 365
364


(365 n + 1) 365! P(A) = 1 = 1  365n (365 n)!
365n > > 0:507 ha n = 23 > > > : 0:891 ha n = 40 8 2.5 Valoszn}usegek geometriai kiszamtasi modja Legyen  R k es valasszunk egy pontot veletlenszer}uen -ban ugy, hogy `minden pont egyenl}o esellyel kerul kivalasztasra, amit ugy lehet ertelmezni, hogy annak a valoszn}usege, hogy a pont egy A  reszhalmazba esik, az illet}o A reszhalmaz mertekevel aranyos, azaz (A) ; P(A) = (

) ahol  az illet}o halmaz merteket jeloli: k = 1 eseten osszhossz, k = 2 eseten terulet, k = 3 eseten terfogat. (Meg kell jegyezni, hogy az R k osszes reszhalmazara nem lehet -additv merteket de nialni, ezert csak a Borel-halmazokra szoktak szortkozni.) A fenti keplet nyilvanvalo analogiat mutat a az A szempontjabol kedvez}o kimenetelek szama P(A) = osszes kimenetelek szama keplettel. 2.6 Peldak: (a) Egy egysegnyi hosszusagu szakaszt ket, talalomra kivalasztott ponttal harom szakaszra bontunk fel. Mennyi annak a valoszn}usege, hogy a harom szakaszbol haromszoget lehet szerkeszteni? Jelolje a ket, talalomra kivalsztott pont helyet x; y 2 [0; 1]. A ket pont talalomra valo kivalasztasat ugy ertelmezzuk, hogy annak a valoszn}usege, hogy az (x; y) pont a [0; 1]  [0; 1] negyzet valamely reszhalmazaba esik, a reszhalmaz teruletevel aranyos. A keresett valoszn}useg ezert annak a halmaznak a terulete, melynek

pontjaira fennallnak a kovetkez}o egyenl}otlensegek: 0 < x < 12 < y < 1 es y x < 21 vagy 0 < y < 12 < x < 1 es x y < 12 : Ezert a keresett valoszn}useg 0:25. (b) Bertrand-fele paradoxon. Tekintsunk egy kort, es valasszuk ki talalomra a kor valamelyik hurjat; mennyi annak a valoszn}usege, hogy ez a hur hosszabb lesz, mint a korbe rt szabalyos haromszog oldala? A `paradoxon abbol szarmazik, hogy a feladatban nincs megadva, hogy mit ertsunk azon, hogy `talalomra valasztunk egy hurt. A kovetkez}o harom felfogas mindegyike termeszetesnek t}unik, de kulonboz}o eredmenyekre vezetnek:  Valasszunk veletlenszer}uen egy pontot a kor belsejeben, es azt a hurt tekitsuk, aminek ez a pont a felez}opontja. A kapott hur akkor es csak akkor lesz hosszabb, mint a korbe rt szabalyos haromszog oldala, ha a veletlenszer}uen valasztott pont egy olyan korbe esik, mely koncentrikus az eredetivel, es fele sugaru.

Ezert a keresett valoszn}useg  (r=2)2 1 = 4: r2 9  Tekitsuk a kor egy tetsz}oleges sugarat, es azon valasszunk veletlenszer}uen egy pontot, es tekitsuk azt a hurt, amelynek ez a a felez}opontja. A hur akkor lesz hosszabb a korbe rt szabalyos haromszog oldalanal, ha a kozeppontja legfeljebb r=2 tavolsagra van a kor kozeppontjatol. Tehat a keresett valoszn}useg r=2 1 = 2: r  El}oszor valasszunk egy tetsz}oleges pontot a kor keruleten; ez lesz a hur egyik vegpontja. Ezutan valaszzunk a keruleten veletlenszer}uen egy masik pontot; ez lesz a hur masik vegpontja. Ekkor a keresett valoszn}useg nyilvan 1=3 3 Felt eteles val osz n} us eg 3.1 Tekintsuk az A es B esemenyeket Hogyan de nialjuk az A esemeny felteteles valoszn}useget a B feltetel mellett? Mas szavakkal: hogy de nialjuk az A esemeny felteteles valoszn}useget, ha tudjuk, hogy a B esemeny bekovetkezett? Elvegezve N fuggetlen kserletet,

a B esemeny kn(B ) alkalommal kovetkezik be; ezen esetekben kn(A B ) alkalommal kovetkezik be egyuttal az A esemeny is. Igy az A esemeny felteteles relatv gyakorisaga azon feltetel mellett, hogy B bekovetkezik n (A j B ) := kn (A B ) kn(A B )=n = k (B )=n kn (B ) n = n(A(B )B ) : n Mivel a n (B ) es n(A B ) relatv gyakorisagok a P(B ) illetve P(A B ) valoszn}usegek korul ingadoznak, ezert termeszetes az A esemenynek a B esemenyre vonatkozo felteteles valoszn}useget a P(A B ) P(A j B ) := P(B ) keplettel ertelmezni, hacsak P(B ) > 0. 3.2 Peldak: (a) Mennyi a valoszn}usege, hogy egy ketgyermekes csaladban mindket gyerek u, ha tudjuk, hogy  az id}osebb gyerek u;  legalabb az egyik gyerek u ? Ekkor az esemenyter = fFF; FL; LF; LLg, melynek elemei egyforman 1=4 valoszn}useg}uek. Jelolje A = fmindket gyerek ug = fFFg, B1 = faz id}osebb gyerek ug = fFF; FLg, B2 = flegalabb az egyik gyerek ug = fFF; FL; LFg.

Nyilvan A B1 = A B2 = fFFg, gy P(A j B1 ) = 1=2, P(A j B2 ) = 1=3. 10 (b) Bridzsnel osztaskor 2 aszt kapott egy jatekos. Mennyi a valoszn}usege, hogy a masik 2 asz a partnerenel van?
Az
osszes leosztasok szama 52!=(13!)4, ezek egyforma valosz39! olyan leosztas van, melynel az els}o jatekos 2 aszt n}useg}uek. Ezekb}ol 42
4811

(13!) 26! olyan leosztas van, melynel a masik 2 kap, es ezek kozott pedig 42
4811

3711

(13!) asz a partnerenel van. Tehat a keresett felteteles valoszn}useg 4

48

37

26! 37! 2
11
11 (13!) = 11!
(13!) = 37!
13! = 12
13 = 2 : 4
48
39! 39! 11! 39! 38
39 19 (13!) 2 11 (13!) (Persze lehetne olyan esemenyteret valasztani, amelynel szamt a lapok sorrendje; ekkor az j j = 52! szamu elemi esemeny megint egyenl}o valoszn}useg}u, de ekkor a kedvez}o esetek szamanal is gyelembe kell venni a lapok sorrendjet!) Ezt az eredmenyt ugy is meg lehet kapni, hogy mivel az els}o

jatekosnak mar kiosztottak 2 aszt, gy az a kerdes, hogy a masik 2 aszt a lehetseges 39 egyenl}o valoszn}useg}u helyre kiosztva mennyi annak a valoszn}usege,
hogy mind a kett}o a partner 13 lapja koze
39 13 kerul? Ekkor az osszes esetek szama 2 , a kedvez}o esetek szama pedig 2 , gy az eredmany 13
12
13 2 2 39
= 38
39 = 19 : 2 (Hasonlo modon annak a valoszn}usege, hogy a partnernel 1 asz van: 326
19 , annak a valoszn}usege pedig, hogy a partnernel nincs asz: 325
19 .) 3 2 2 2 3 3 Nyilvan teljesul a (A B ) = P(A)P(B j A) P osszefugges, melyet lehet hasznalni ket esemeny egyuttes bekovetkezesi valoszn}usegenek kiszamtasara. Teljes indukcioval bizonythato a kovetkez}o altalanostas:  tas. (Lancszabaly) 3.3 All (A1 A2


An) = P(A1 )
P(A2 j A1)
P(A3 j A1 A2)
: : :
P(An j A1 A2


An 1); P hacsak (A1 A2


An 1) > 0 P Bizonytas. alapjan . Az alltas

igaz n = 1 eseten. Ha feltesszuk, hogy igaz n = k-ra, akkor P(A1 A2


Ak Ak+1 ) P(Ak+1 j A1 A2


Ak ) = P(A1 A2


Ak ) (A1 A2


Ak Ak+1) = P(A1 A2


Ak )
P(Ak+1 j A1 A2


Ak ); P amib}ol az indukcios feltevest hasznalva kapjuk az alltast n = k + 1-re. 11  Huzzunk ki a 32 lapos magyar kartyabol harmat visszateves nelkul. Mennyi a valoszn}usege, hogy az els}o es a harmadik kihuzott lap piros, a masodik pedig nem az? Jelolje Ai (i = 1; 2; 3) azt az esemenyt, hogy az i-edik huzas eredmenye piros. Ekkor P(A1 ) = 328 = 41 , 7 7 1 24 7 P(A2 jA1 ) = 24 31 , P(A3 jA1 A2 ) = 30 , gy P(A1 A2 A3 ) = 4
31
30 = 155 . (Persze lehetne hasznalni azt az esemenyteret is, amely az els}o harom kihuzott lapbol all a sorrendet is gyelembe veve; ekkor j j = 32
31
30, es a kimenetelek egyenl}o valoszn}useg}uek. Mivel a kedvez}o esetek szama 8
24
7, gy a keresett valoszn}useg 328

2431

730 =

1557 .) Az esemenyterek diszjunkt felbontasai fontos szerepet jatszanak. Pelda: 3.4 De ncio Esem enyek egy A1 , A2 , : : : v eges vagy v egtelen sorozat at teljes esem eny- rendszernek nevezz uk, ha egym ast p aronk ent kiz arj ak,  es  osszeg uk az eg esz esem enyt er. Ez azt jelenti, hogy egy teljes esemenyrendszer esemenyei kozul a kserlet vegrehajtasakor mindig pontosan egy kovetkezik be. Egy teljes esemenyrendszerre nyilvan 1 X =1 (An ) = 1: P n 3.5 Tetel (Teljes valoszn}useg tetele) A1 , A2 , : : : pozitv valoszn}useg}u esemenyek teljes esem enyrendszert alkotnak, akkor tetsz} oleges B esem enyre (B ) = P X Ha az (B j Ak )
P(Ak ): P k Bizonytas. Nyilvan B = [k (B Ak ) diszjunkt felbontas, hiszen B = B = B ([k Ak ) = [k (B Ak ), es i 6= j eseten (B Ai ) (B Aj ) = B Ai Aj = ;, ugyanis Ai Aj = ;. Ezert P P(B ) = P(B Ak ), amib} ol a P(B Ak ) = P(B j Ak )
P(Ak ) osszefugges

felhasznalasaval kapjuk az alltast.  Pelda: Harom gep csavarokat gyart. Az els}o gepnel a selejt aranya 1 %, a masodiknal 2 %, a harmadiknal 3 %. Az els}o gep az ossztermek 50 %-at, a masodik 30 %-at, a harmadik 20 %-at alltja el}o. Mi a valoszn}usege annak, hogy az ossztermekb}ol veletlenszer}uen valasztott csavar selejtes? Jelolje B azt az esemenyt, hogy selejtet huzunk, Ai (i = 1; 2; 3) pedig azt, hogy a kihuzott csavar az i-edik gepen keszult. Ekkor nyilvan P(B jA1 ) = 0:01, P(B jA2 ) = 0:02, P(B jA3 ) = 0:03, P(A1 ) = 0:5, P(A2 ) = 0:3, P(A3 ) = 0:2, gy k (B ) = 0:01
0:5 + 0:02
0:3 + 0:03
0:2 = 0:017: P  tas. (Bayes{formula) 3.6 All Ha A es B pozit v val osz n} us eg} u esem enyek, akkor (A j B ) = P(A)P
(PB(B) j A) : P Bizonytas. De ncio szerint P(A)
P(B j A)  osszefuggest. (A j B ) = P P(AB ) P(B ) 12 . Ezutan hasznalhatjuk a P(A B ) =  3.7 Tetel (Bayes{tetel) Ha az A1 , A2 , :

: : pozit v val osz n} us eg} u esem enyek teljes ese- m enyrendszert alkotnak, akkor (Ai j B ) = PPP(A(Bi ) j
AP()B
jPA(Ai) ) : P j j j A Bayes-formulP at alkalmazva P(Ai j B ) = P(Ai)P
P(B(B) j Ai ) . Ezutan a teljes valoszn}useg tetele alapjan P(B ) = P(B j Aj )
P(Aj )  j Pelda: Mennyi a felteteles valoszn}usege az el}oz}o peldaban annak, hogy az els}o, masodik, illetve harmadik gepen gyartottak a kivalsztott csavart azon feltetel mellett, hogy az selejtesnek bizonyult? 0:01
0:5 = 5 ; P(A jB ) = 6 P(A jB ) = 6 : P(A1 jB ) = 2 3 0:017 17 17 17 Bizonytas. 4 F uggetlens eg Akkor tartunk ket esemenyt fuggetleneknek egymastol, ha az egyik bekovetkezesevel kapcsolatos informacio nem valtoztatja meg a masik esemeny bekovetkezesenek eselyer}ol alkotott velemenyunket. Mivel valamely B esemeny bekovetkezesekor az A esemeny bekovetkezesi eselyet a P(AjB ) felteteles valoszn}useg adja meg (hacsak P(B ) >

0), es hasonloan: az A esemeny bekovetkezesekor a B bekovetkezesi eselye P(B jA) (hacsak P(A) > 0), ezert pozitv valoszn}useg}u A es B esemenyeket akkor nevezunk fuggetleneknek, ha P(AjB ) = P(A) es P(B jA) = P(B ) teljes ul. Mivel P(AjB ) = P(PA(BB) ) es P(B jA) = P(PA(AB) ) , ezert midket feltetel azzal ekvivalens, hogy P(A B ) = P(A)
P(B ) teljesul. Ennek az osszefuggesnek akkor is van ertelme, ha A vagy B valoszn}usege 0. Ezert az altalanos de ncio a kovetkez}o: 4.1 4.2 De ncio Azt mondjuk, hogy az A es B esem enyek f uggetlenek, ha (A B ) = P(A)
P(B ): P Konnyen bizonythato, hogy ha A es B fuggetlenek, akkor A es B , A es B , valamint A es B is fuggetlenek. 4.3 De ncio Azt mondjuk, hogy az A1 , A2 , : : : esem enyek p aronk ent f uggetlenek, ha k oz ul uk b armely k et esem eny f uggetlen. Azt mondjuk, hogy az f1; 2; : : : ; ng -re  es az A1 , A2 , : : : 1, 2, : : : , n esem enyek

(teljesen) f uggetlenek, ha b armely sz amok tetsz} oleges i1 , i2 , : : : ik k 2 ism etl es n elk uli kom- bin aci oj ara (Ai Ai


Aik ) = P(Ai )P(Ai )


P(Aik ): P 1 2 1 2 Lehetseges, hogy peldaul harom esemeny paronkent fuggetlenek, de nem (teljesen) fuggetlenek. 13 5 Val osz n} us egi v altoz ok Egy veletlen kserlettel kapcsolatosan sokfele veletlent}ol fugg}o mennyiseget lehet tekinteni. Peldaul ha feldobunk 5 kockat, akkor tekinthetjuk a dobott szamok osszeget, vagy a legkisebb dobott szamot, vagy a legnagyobb es legkisebb dobott szam kulonbseget, stb. Ha egy negyzet alaku celtablara lovunk, akkor tekinthetjuk a kozepponttol mert tavolsagot, a legkozelebbi csucstol mert tavolsagot; ha ket lovest adunk le, akkor tekinthetjuk azok tavolsagat, stb. Mindezek a veletlent}ol fugg}o mennyisegek reprezentalhatok valamely  : ! R fuggvennyel, vagy ha egyszerre k darab veletlen

mennyiseget is tekintunk, akkor egy  : ! R k fuggvennyel; ezeket valoszn}usegi valtozoknak, illetve valoszn}usegi vektorvaltozoknak nevezzuk. A  : ! R valoszn}usegi valtozot diszkretnek nevezzuk, ha a lehetseges ertekeinek halmaza megszamlalhato (azaz veges vagy megszamlalhatoan vegtelen halmaz). Jelolje ekkor  : ! R lehetseges ertekeinek halmazat X = fx1 ; x2; : : : g Nyilvan szeretnenk beszelni az f! :  (!) = xi g, (i = 1; 2 : : : ) tpusu esemenyekr}ol (vagyis arrol, hogy a  veletlen mennyiseg eppen az xi erteket veszi fel); ehhez az kell, hogy f! :  (!) = xi g 2 A, (i = 1; 2 : : : ) teljesuljon. Termeszetesen egy diszkret valoszn}usegi mez}on ertelmezett tetsz}oleges fuggveny teljesti ezt a feltetelt, mert ekkor A = 2 . (Viszont ha A 6= 2 , akkor van olyan A  reszhalmaz, melyre A 62 A, es ekkor az A reszhalmaz A : ! R indikatorfuggvenyet tekintve, melynek a de ncioja 5.1 8 < 1 ha ! 2 A; :0 ha

! 62 A, nyilvan a A fuggveny nem teljesti a fenti feltetelt, mert f! : A(!) = 1g = A 62 A.) Az f! :  (!) = xi g, i = 1; 2 : : : esemenyek nyilvan teljes esemenyrendszert alkotnak. A p (xi ) := Pf = xi g := P(f! :  (! ) = xi g), i = 1; 2 : : : valoszn}usegeket a  eloszlasanak nevezzuk. Nyilvan A (! ) = p (xi ) > 0, i = 1; 2 : : : ; es X i p (xi ) = 1: 5.2 Peldak: (a) Ket kockat dobva a dobott szamok osszeget jelolje  . Ekkor a  lehetseges ertekeinek halmaza X = f2; 3; : : : ; 12g, es 8 <k 1 f = kg = : 1336 k ha 2 6 k 6 7; 36 ha 7 6 k 6 12: P (b) n fuggetlen kserletet vegzunk egy p valoszn}useg}u A esemennyel kapcsolatban. Jelolje  az A esemeny gyakorisagat:  = kn (A). Ekkor az esemenyter = f! : ! = (a1; a2 ; : : : ; an); ai = 0 vagy 1g; 14 ahol 8 < 1 ha A bekovetkezik az i-edik kserletben; :0 ha A nem k ovetkezik be az i-edik kserletben; ai = es Pni (f!g) = p P =1 q ai n Pni =1 ai

; ahol q = 1 p = P(A). Tovabba a  lehetseges ertekeinek halmaza X = f0; 1; : : : ; ng, es f = kg = P Pni X p : +


+an =k q =1 ai n ! a1 Pni =1 ai =   n k n k pq : k Ekkor  eloszlasat n-edrend}u p parameter}u binomialis eloszlasnak nevezzuk. Tekintsunk most egy teljes esemenyrendszert: A1 , A2 , : : : , Ar , es jelolje pi = P(Ai ) (i = 1; 2; : : : ; r). (Nyilvan p1 + p2 +


+ pr = 1) Jelolje i az Ai esemeny gyakorisagat: i = kn(Ai ) Ekkor a (1; 2; : : : ; r ) valoszn}usegi vektorvaltozo lehetseges ertekeinek halmaza azokbol a (k1; k2; : : : ; kr ) szam r-esekb}ol all, melyeknek koordinatai nemnegatv egeszek es a koordinatak osszege n, tovabba n! pk1 pk2


pkr r : Pf1 = k1 ; 2 = k2 ; : : : ; r = kr g = k1 ! k2 !


kr ! Ennek a (1; 2; : : : ; r ) valoszn}usegi vektorvaltozonak az eloszlasat polinomialis eloszlasnak nevezzuk. (c) Addig vegzunk fuggetlen kserleteket egy p

valoszn}useg}u A esemennyel kapcsolatban, amg sikerul elerni, hogy az A esemeny bekovetkezzen. Jelolje  az ehhez szukseges kserletek szamat; ez elvileg lehetne akar vegtelen is, de k = 0; 1; 2; : : : eseten Pf = k + 1g = p
q k ; gy 1 f = 1g = 1 P 1 X f < 1g = 1 P k =0 2 f = k + 1g = 1 p P 1 X k =0 q k = 0: Ekkor  eloszlasat els}orend}u p parameter}u negatv binomialis eloszlasnak nevezzuk. Ha addig vegzunk fuggetlen kserleteket,amg az A esemeny r-edik el}ofordulasat sikerul elerni, es  jeloli az ehhez szukseges kserletek szamat, akkor k = 0; 1; 2; : : : eseten   r+k 1 r k Pf = k + r g = p
q ; k es ujra f = 1g = 1 P f < 1g = 1 P 1 X k =0 f = k + rg = 1 p P 15 r 1  X r k =0 + k 1qk = 0; k hiszen alapjan  r+k k 1 = (r + k 1)(r + k 2)


r k!   ( r)( r 1)


( r k + 1) r k = ( 1) = ( 1)k k! k 1  X r k =0 1  + k 1qk = X k k =0 r k  ( q)k = (1 q) r =p

r : Ekkor  eloszlasat r-edrend}u p parameter}u negatv binomialis eloszlasnak nevezzuk. (d) Egy urnaban M piros es N M fekete golyo van (M < N ). Visszatevessel huzunk n golyot. Jelolje  a kihuzott piros golyok szamat Ekkor  lehetseges ertekeinek halmaza X = f0; 1; : : : ; ng, es f = kg = P   n k M N k  M N 1 n k ; tehat  eloszlasa n-edrend}u M=N parameter}u binomialis eloszlas. Ha visszateves nelkul huzunk ki n golyot (n 6 N ), es megint  jeloli a kihuzott piros golyok szamat, akkor  olyan k ertekeket vehet fel, melyre teljesul 0 6 k 6 n, k 6 M , es n k 6 N M , tovabba f = kg = P M k
N M n k
N n
: Ekkor  eloszlasat hipergeometrikus eloszlasnak nevezzuk. (e) Legyen egy urnaban r kulonboz}o szn}u golyo, az i{edik sznb}ol Ni (i = 1; : : : ; r). Jelolje N := N1 +


+ Nr az osszes golyok szamat. Visszatevessel huzunk n golyot Jelolje i az i{edik sznb}ol huzott golyok

szamat. Ekkor a (1; 2; : : : ; r ) valoszn}usegi vektorvaltozo lehetseges ertekeinek halmaza azokbol a (k1; k2; : : : ; kr ) szam r-esekb}ol all, melyeknek koordinatai nemnegatv egeszek es a koordinatak osszege n, tovabba      kr n! N1 k N2 k Nr Pf1 = k1 ; 2 = k2 ; : : : ; r = kr g =


; k1 !k2 !


kr ! N N N tehat a (1; 2; : : : ; r ) valoszn}usegi vektorvaltozo eloszlasa polinomialis eloszlas. Ha visszateves nelkul huzunk ki n golyot (n 6 N ), es megint i jeloli az i{edik sznb}ol huzott golyok szamat, akkor a lehetseges ertekek halmaza azokbol a (k1; k2; : : : ; kr ) szam r{esekb}ol all, melyeknek koordinatai nemnegatv egeszek, a koordinatak osszege n, es ki 6 min(n; Ni ); tovabba

N


Nkrr k
Pf1 = k1 ; 2 = k2 ; : : : ; r = kr g = : N 1 1 1 n Ekkor  eloszlasat polihipergeometrikus eloszlasnak nevezzuk. 16 2 (f) Mazsolas kalacsot sutunk. Tegyuk fel, hogy 1000 gramm

tesztaba atlagosan 50 darab mazsolat teszunk. Egy szelet kalacs sulya 25 gramm Mennyi a valoszn}usege, hogy egy veletlenszer}uen kivalasztott szeletben nincsen mazsola? Feltetelezesek:  minden mazsola egyforma valoszn}useggel kerulhet bele barmely szeletbe, es a mazsolak egymastol fuggetlenul ,,mozognak". Ha eppen 1000 gramm tesztabol kesztunk kalacsot, akkor n = 50 mazsolat veletlenszer}uen elosztunk N = 1000=25 = 40 szeletbe. Jelolje  egy kivalasztott szeletbe kerul}o mazsolak szamat. Ez n-edrend}u, 1=N parameter}u binomialis eloszlasu, ezert k = 0; 1; : : : ; n eseten  n k   1 n 1 1 P( = k ) = ; k Nk N
tehat ekkor az eredeti kerdesre a valasz: 1 401 50  0:28. Mi tortenik, ha noveljuk a teszta mennyiseget? Ha 20
n gramm tesztat es n mazsolat hasznalunk fel, akkor N = 20
n=25 szelet keszul, gy a binomialis eloszlas parametere pn := 1=N = 5=(4n). Jelolje  := 5=4 az egy szeletre atlagosan

juto mazsolak szamat. Ekkor lim n!1 hiszen   n k pn (1 pn )n k k   n k p (1 pn )n k n k = k! e k  ;    1)


( n k + 1)  k 1 = k! n      1 k 1 k = 1 n


1 n k! 1 n(n  n  n n n k k : Ha egy  valoszn}usegi valtozo lehetseges ertekei a nemnegatv egesz szamok es k = 0; 1; : : : eseten ( = k) = k! e  ; akkor azt mondjuk, hogy  eloszlasa  parameter}u Poisson{eloszlas. 5.3 Ha a  : ! R valoszn}usegi valtozo nem feltetlenul diszkret, akkor is szeretnenk beszelni az f! :  (!) 2 [a; b]g alaku esemenyekr}ol, ahol [a; b]  R ; ehhez pontosan az kell, hogy f! :  (!) < cg 2 A teljesuljon tetsz}oleges c 2 R eseten (ugyanis ekkor f! :  (!) 2 [a; b)g = f! :  (!) < bg n f! :  (!) < ag 2 A es k P f! :  (!) 2 [a; b]g = is teljesul). 1 f! :  (!) 2 [a; b + n 1)g 2 A =1 n 17 5.4 De ncio Akkor modjuk, hogy a  : ! R lekepezes egy valoszn}usegi valtozo, tetsz} oleges x 2 R eset en

f! :  (! ) < xg 2 A teljes ul. Ekkor az F : R ! [0; 1], ha F (x) := Pf < xg f uggv enyt a  eloszl asf uggv eny enek nevezz uk.  tas. 5.5 All F Legyen : R ! [0; 1] : valamely !R val osz n} us egi v altoz o eloszl asf ugg- v enye. Ekkor (a) F (b) F (c) x!lim1 F (x) = 0 x!lim+1 F (x) = 1 monoton n ovekv} o balr ol folytonos , . (a) Ha x1 ; x2 2 R es x1 6 x2 , akkor f! :  (!) < x1 g  f! :  (!) < x2 g miatt F (x1 ) = Pf < x1 g 6 Pf < x2 g = F (x2 ): (b) Azt kell megmutatni, hogy ha x0 2 R es xk ! x0 , xk 6 xk+1 6 x0 , akkor F (xk ) ! F (x0). Viszont ekkor az Bizonytas. 1 [ f! :  (!) < x0 g = f! :  (!) < x1 g [ diszjunkt felbontas alapjan f < x0 g = Pf < x1 g + P azaz F (x0 ) = F (x1 ) + amib}ol F (x0 ) = F (x1 ) + nlim !1 n 1 X k =1 (F (xk+1) (c) Az el}oz}ohoz hasonloan xk ! 1, 1 X k =1 k 1 X k =1 ! f! : xk 6  (!) < xk+1g =1 fxk 6  < xk+1g; P (F (xk+1) F (xk )); F (xk

)) = F (x1 ) + nlim (F (xn) F (x1)) = nlim F (xn ): !1 !1 xk 6 xk+1 eseten az 1 [ = f! :  (!) < x1 g [ f! : xk 6  (!) < xk+1g =1 k diszjunkt felbontasbol 1 = P( ) = klim F (xk ). !1 Ha pedig xk ! 1, xk > xk+1 , akkor az f! :  (!) < x1 g = 1 [ k f! : xk+1 6  (!) < xk g =1 18 ! diszjunkt felbontas alapjan F (x1 ) = 1 X k =1 (F (xk ) F (xk+1)) = nlim (F (x1 ) F (xn)) = F (x1) !1 lim F (xn ); n!1 gy klim F (xk ) = 0.  !1 E rdemes megjegyezni, hogy az utolso alltas bizonytasi modszerevel belathato az is, hogy Pf 6 x0 g = lim F (x), ugyanis xk ! x0 , xk > xk+1 > x0 eseten az x!x +0 0 f! :  (!) < x1g = f! :  (!) 6 x0g [ diszjunkt felbontas alapjan F (x1 ) = Pf 6 x0 g + 1 X k =1 (F (xk ) 1 [ k =1 ! f! : xk+1 6  (!) < xk g F (xk+1 )) = Pf 6 x0 g + F (x1 ) lim F (xn): n!1 Azt is be lehet latni, hogy ha egy F : R ! [0; 1] fuggveny rendelkezik az (a), (b) es (c) tulajdonsagokkal, akkor letezik

olyan valoszn}usegi valtozo, melynek eppen F az eloszlasfuggvenye. 5.6 Peldak: (a) Ha  : ! R diszkret valoszn}usegi valtozo X = fx1; x2 ; : : : g lehetseges ertekekkel es p (xi) = Pf = xig (i = 1; 2; : : : ) eloszlassal, akkor  eloszlasfuggvenye egy olyan balrol folytonos lepcs}osfuggveny, melynek az ugrashelyei eppen az x1 ; x2 ; : : : pontok, es az ugras nagysaga az xi pontban p (xi ). (b) Ha a [0; 1] intervallumon valsztunk veletlenszer}uen egy  pontot ugy, hogy egy A  [0; 1] reszhalmazba eses valoszn}usege az illet}o reszhalmaz mertekevel aranyos, akkor  eloszlasfuggvenye nyilvan 8 > > > < 0 ha x 6 0 F (x) = x ha 0 < x 6 1 > > > :1 ha x > 1: Ekkor a  valoszn}usegi valtozot egyenletes eloszlasunak nevezzuk a [0; 1] intervallumon. 5.7 De ncio ( ; A; P) f : R ! [0; 1) Tekints unk egy v altoz ot. Ha l etezik olyan val osz n} us egi mez} on egy x2R !R val osz n} us

egi f uggv eny, melyre F (x) = teljes ul minden : pontban, akkor az f Z x 1 f (t) dt f uggv enyt a 19  s} ur} us egf uggv eny enek nevezz uk. (A de ncioban Lebesgue{integral szerepel.) Ha letezik is s}ur}usegfuggveny, az nem egyertelm}u, mert peldaul egy tetsz^oleges pontban az erteket megvaltoztatva a fenti integral erteke nem valtozik. Ha a  valoszn}usegi valtozonak van s}ur}usegfuggvenye, akkor az eloszlasfuggvenye nyilvan folytonos, ezert Pf = x0 g = Pf 6 x0 g Pf < x0 g = lim F (x) F (x0 ) = 0 x!x +0 0 tetsz}oleges x0 2 R eseten. Tovabba Z 1 1 f (t) dt = 1; hiszen xlim F (x) = 1; azt is be lehet latni, hogy ha egy nemnegatv f fuggvenyre teljesul !1 R1 1 f (t) dt = 1, akkor letezik olyan valoszn}usegi valtozo, melynek eppen f a s}ur}usegfuggvenye. Ezenkvul tetsz}oleges a; b 2 R , a < b eseten fa 6  < bg = F (b) F (a) = Z P Ha az f s}ur}usegfuggveny folytonos az x0 2 di

erencialhato, es F 0(x0 ) = f (x0). a b f (t) dt: pontban, akkor ott a F eloszlasfuggveny R 5.8 Peldak: (a) Ha  egyenletes eloszlasu a [0; 1] intervallumon, akkor a s}ur}usegfuggvenye f (x) = 8 < 1 ha 0 6 x 6 1 :0 egyebk ent: (b) Ha a  valoszn}usegi valtozo s}ur}usegfuggvenye x m 1 x2R f (x) = p e  ; 2 alaku, ahol m 2 R ,  > 0, akkor azt mondjuk, hogy R normalis eloszlasu (m; 2) parameterekkel. Azt, hogy a fenti fuggvenyre teljesul 11 f (x) dx = 1 abbol kovetkezik, hogy ( Z 1 1 e 2 2 dx x2 = = = Z 1Z 1 1 1 0 0 )2 e (x +y )=2 dxdy 2 Z 1 Z 2 2 2 re 2  2 drd = 2 r2 = h re i 2 r=1 = 2: r=0 r2 = (c) Jelolje a  valoszn}usegi valtozo egy radioaktv atom elettartamat. Ez rendelkezik az ugynevezett orokifju tulajdonsaggal: ha t;
t > 0, akkor Pf > t +
t j  > tg = Pf >
tg; 20 vagyis annak ellenere, hogy tudjuk, hogy az atom mar megelt t id}ot, a meg hatralev}o

elettartam eloszlasa eppen olyan, mint a teljes elettartam eredeti eloszlasa. Be lehet latni, hogy  eloszlasfuggvenye F (x) = 8 < 0 :1 e ha x 6 0 ha x > 0 x alaku, ahol  > 0 a bomlasi allando: 1 Pft 6  < t +
t j  > tg = lim 1 (1 e 
t ) = ; lim
t!0
t
t!0
t ami azt jelenti, hogy kis
t > 0 id}otartam eseten Pft 6  < t +
t j  > tg  
t, azaz a
t id}otartam alatti lebomlas valoszn}usege
t-vel aranyos, es az aranyossagi tenyez}o  > 0. A s}ur}usegfuggvenye f (x) = 8 < 0 :e x ha x 6 0 ha x > 0: Ezt az eloszlast  parameter}u exponencialis eloszlasnak nevezzuk. Felezesi id}o alatt azt a T id}otartamot ertjuk, amennyi id}o alatt 21 valoszn}useggel bomlik el egy radioaktv atom; ekkor ugyanis a radioaktv anyagnak kozelt}oleg fele bomlik el. 12 = Pf < T g = F (T ) = 1 e T alapj an T = (ln2)=, azaz a felezesi id}o fordtottan aranyos a bomlasi allandoval. Egy

valoszn}usegi vektorvaltozo el}oall  = (1; : : : ; k ) alakban, ahol i : valoszn}usegi valtozok; az F : R k ! R , 5.9 ! R F (x1 ; : : : ; xk ) := Pf1 < x1 ; : : : ; k < xk g fuggvenyt a  eloszlasfuggvenyenek nevezzuk. Be lehet latni, hogy egy F : R 2 ! R fuggveny akkor es csak akkor eloszlasfuggvenye valamely  = (1; 2) valoszn}usegi vektorvaltozonak, ha (a) F (y1; y2) F (x1; y2) F (y1; x2 ) + F (x1; x1 ) > 0 tetsz}oleges x1 6 y1 es x2 6 y2 eseten; (b) F balrol folytonos mindket valtozojaban; (c) x lim F (x1 ; x2 ) = x lim F (x1 ; x2 ) = 0, x lim F (x1 ; x2 ) = 1. !+1 ! 1 ! 1 1 +1 x2 ! 1 2 (Ez ertelemszer}uen altalanosthato.) Ha letezik olyan f : R k ! [0; 1) fuggveny, melyre F (x1 ; : : : ; xk ) = Z x1 1 ::: Z xk 1 21 f (t1 ; : : : ; tk ) dt1 : : : dtk teljesul minden (x1 ; : : : ; xk ) 2 R k pontban, akkor az f fuggvenyt a  s}ur}usegfuggvenyenek nevezzuk. Nyilvan fai 6 i 6 bi ; i = 1;

: : : ; kg = Z P b1 a1 ::: Z bk ak f (t1 ; : : : ; tk ) dt1 : : : dtk ; s}ot tetsz}oleges B  R k Borel{halmaz eseten Z Z Pf(1 ; : : : ; k ) 2 B g =


f (t1; : : : ; tk ) dt1 : : : dtk ; B tovabba ha F folytonosan di erencialhato, akkor f (x1 ; : : : ; xk ) = @ k F (x1 ; : : : ; xk ) : @x1 : : : @xk Legyenek  es  diszkret valoszn}usegi valtozok egy ( ; A; P) valoszn}usegi mez}on. Jelolje a lehetseges ertekeik halmazat X = fx1 ; x2; : : : g illetve Y = fy1; y2; : : : g. Akkor mondjuk hogy  es  fuggetlenek, ha tetsz}oleges i es j eseten az Ai = f = xi g es Bj = f = yj g alaku esemenyek fuggetlenek, azaz Pf = xi ;  = yj g = Pf = xi gPf = yj g. A ltalaban a  es  valoszn}usegi valtozokat akkor nevezzuk fuggetleneknek, ha tetsz}oleges x; y 2 R eseten Pf < x;  < y g = Pf < xgPf < y g, azaz F; (x; y ) = F (x)F (y ), ahol F; a (;  ) valoszn}usegi vektorvaltozo eloszlasfuggvenyet jeloli. Ha

letezik (;  )-nak az f; s}ur}usegfuggvenye, akkor ebben az esetben f; (x; y) = f (x)f (y), x; y 2 R is ekvivalens a fuggetlenseggel. Hasonloan lehet ertelmezni tobb valoszn}usegi valtozo fuggetlenseget is Ha a  es  valoszn}usegi valtozok fuggetlenek, akkor azt mondjuk, hogy  +  eloszlasa a  es  eloszlasanak konvolucioja. 5.10 5.11 Peldak: (a) Ha  es  fuggetlen diszkret valoszn}usegi valtozok, es a lehetseges ertekeik egesz szamok, akkor a f +  = kg = diszjunkt felbontas alapjan 1 [ j (f = j g f = k = 1 p+ (k) = 1 X j = 1 p (j )p (k j g) j ): Peldaul ha  es  fuggetlen binomialis eloszlasuak (n1 ; p) illetve (n2; p) parameterekkel, akkor ezek konvolucioja ismet binomialis eloszlas, megpedig (n1 +n2; p) parameterekkel, ugyanis   n p (j ) = 1 pj (1 p)n j   n p (j ) = 2 pj (1 p)n j 22 1 j ; j = 0; 1; : : : ; n1 2 j ; j = 0; 1; : : : ; n2 alapjan p+ (k) =  X

  n1 i p (1 p)n i i 1 :+= i;j i j k p) + = p (1 k n1 n2 k n1 i :+= i;j i j k j 2  X  n2 j p (1 p)n j  n2 j    n1 + n2 k p (1 p)n +n k = 1 2 k : (b) Ha a  es  fuggetlen valoszn}usegi valtozoknak leteznek az f es f s}ur}usegfuggvenyeik, akkor ZZ F+ (x) = Pf +  < xg = f; (u; v ) du dv = + u v<x ZZ + f (u)f (v ) du dv = Z 1 Z 1 u v<x alapjan f+ (x) = F 0 + (x) = Z 1   x u 1 1  f (v ) dv f (u) du f (u)f (x u) du: Peldaul ha  es  fuggetlen normalis eloszlasuak (m1 ; 12) illetve (m2 ; 22) parameterekkel, akkor ezek konvolucioja ismet normalis eloszlas, megpedig (m1+m2 ; 12+22) parameterekkel, ugyanis 1 e u m ; f (u) = p 1 e u m f (u) = p  21 22 alapjan Z 1 u m x u m p 1 e  p 1 e  du f+ (x) = 22 1 21 x m m = p p1 2 2 e   : 2 1 + 2 ( 2 1) 2 2 1 ( ( 2 1) 2 2 1 ( 6 ( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2) 2 1 2) 2+ 2) 2( 1 2 V arhat o  ert ek

Tekintsunk egy  : ! R diszkret valoszn}usegi valtozot X = fx1 ; : : : ; xN g lehetseges ertekekkel es pk = p (xk ) = Pf = xk g (k = 1; : : : ; N ) eloszlassal. Ha elvegzunk n fuggetlen kserletet a  valoszn}usegi valtozoval kapcsolatban, akkor az xk erteket korulbelul npk esetben kapjuk (hiszen az Ak = f = xk g esemeny relatv gyakorisaga kn(Ak )=n  P(Ak ), ezert kn(Ak )  npk ), gy a meg gyelt ertekek atlaga korulbelul N 1 (np x +


+ np x ) = X px: 6.1 n 1 1 N N k =1 Ezert a varhato erteket a kovetkez}o modon ertelmezzuk. 23 k k 6.2 De ncio Ha  : ! R egy diszkret valoszn}usegi valtozo, melynek lehetseges  ert ekekei X = fx1 ; x2 ; : : : g  es eloszl asa pk = p (xk ) = Pf = xk g (k = 1; 2; : : : ), akkor az E  mennyis eget a := X pk xk k v arhat o  ert ek enek nevezz uk, amennyiben a gens. : !R f : R ! [0; 1) Ha  E  k pk xk sor abszol ut konver- egy abszol ut

folytonos val osz n} us egi v altoz o, melynek s} ur} us egf uggv enye , akkor az mennyis eget a P := Z 1 1 xf (x) dx v arhat o  ert ek enek nevezz uk, amennyiben az R1 1 xf (x) dx improprius integr al abszol ut konvergens. Tetsz}oleges  valoszn}usegi valtozo eseten a varhato ertek (amennyiben letezik) rhato az Z Z 1 E =  (! ) P(d! ) = x dF (x) 1 alakban is, ahol az els}o integral a  fuggvenynek az ( ; A; P) mertekteren vett integralja, a masodik pedig az F fuggveny szerinti Lebesgue{Stieltjes integral. 6.3 Peldak: (a) Ha  binomialis eloszlasu (n; p) parameterekkel, akkor Pf = kg = nk
pk (1 p)n k , k = 0; 1; : : : ; n alapjan n n X X n! (n 1)! pk 1(1 p)n k = np: k n k p (1 p) = np E = k
k!(n k)! (k 1)!(n k)! k=1 k=1 Tehat peldaul ha egy p > 0 valoszn}useg}u A esemenyre elvegzunk n fuggetlen meg gyelest, akkor a gyakorisag varhato erteke E (kn (A)) = np. (b) Ha egy egysegnyi oldalu negyzetben

valasztunk egyenletes eloszlas szerint egy pontot, es  jeloli a pontnak a legkozelebbi oldalt ol valo tavolsagat, akkor  eloszlasfuggvenye 8 > > 0 ha x 6 0 > < F (x) = Pf < xg = 1 (1 2x)2 ha 0 < x 6 12 > > > :1 ha x > 1 ezert a s}ur}usegfuggvenye 8 <4 8x ha 0 6 x 6 1 2 f (x) = :0 egyebkent; gy a varhato erteke  x=1=2 Z 1=2 8 1: 2 3 E = x(4 8x) dx = 2x x = 3 x=0 6 0 24 (c) Az A es B jatekosok a kovetkez}o jatekot jatszak. Felvaltva dobnak egy szabalyos ermet; A kezd, es az nyer, akinek el}oszor sikerul fejet dobnia. Az els}o dobasnal 2{2 forintot tesznek be, es minden dobas el}ott duplazzak a tetet, azaz ha az n-edik dobasra sikerul fejet dobni es n paratlan, akkor A nyer 2n forintot B -t}ol, ha pedig n paros, akkor B nyer 2n forintot A-tol. Mennyi az A illetve B jatekos varhato nyeremenye? Jelolje  az A jatekos nyeremenyet (mely pozitv, ha A nyer, es negatv, ha A veszt).

Ekkor  1lehetseges ertekei (11)n+1 2n (n = 1; 2; : : : ) es Pf = ( 1)n+1 2ng = 2 n. Mivel a P ( 1)n+1 2n2 n = P ( 1)n+1 sor nem konvergens, gy  varhato erteke nem n=1 n=1 1 1 letezik! (Viszont Pf > 0g = P Pf = 22k+1g = P 2 2k 1 = 2=3, gy A nagyobb k=1 k=1 valoszn}useggel nyer, tehat ilyen szempontbol A-nak el}onyosebb a jatek.) (d) Legyen  olyan valoszn}usegi valtozo, melynek s}ur}usegfuggvenye 1 : f (x) =  (1 + x2 ) x dx Ezt az eloszlast Cauchy-eloszlasnak nevezzuk. Az R 11 (1+ al x ) improprius integr nem abszolut konvergens, mert  K Z K x dx 1 1 2 = ln(1 + x ) = ln(1 + K 2 ) ! 1; ha K ! 1: 2 2 0  (1 + x ) 0 2 Ezert  -nek nem letezik varhato erteke. Viszont az f s}ur}usegfuggveny paros fuggveny, ezert tetsz}oleges [a; b]  R eseten Pf 2 [a; b]g = Pf 2 [ b; a]g; ekkor azt mondjuk, hogy  eloszlasa szimmetrikus. 6.4 A varhato ertek rendelkezik a kovetkez}o tulajdonsagokkal: 2      Linearis: ha  es

 valoszn}usegi valtozok es a; b 2 R , akkor E (a + b) = aE  + bE  Monoton: ha  6 , akkor E  6 E  jE  j 6 E j j (hiszen j j 6  6 j j alapjan a monotonitasbol E j j 6 E  6 E j j) Ha Pf = cg = 1, ahol c 2 R , akkor E  = c Ha  es  fuggetlenek, akkor E  = E 
E  (legyenek peldaul  es  diszkret valoszn}usegi valtozok pj = Pf = xj g, illetve qj = Pf = yj g (j = 1; 2; : : : ) eloszlassal, es  lehetseges ertekeit jelolje z1; z2 ; : : : ; ekkor a fuggetlenseget hasznalva 0 f = zk g = P @ 1 [ P : = i;j xi yj zk f = xi g f = yj gA = X ezert E  = X k zk X : = i;j xi yj zk pi qj = X X k i;j xi yj zk : = 25 pi qj xi yj = X i : = pi qj ; i;j xi yj zk ! pi xi X j ! qi yj = E
E p  Cauchy-Schwartz egyenl}otlenseg: E jj 6 E  2 E 2 (hiszen tetsz}oleges  2 R eseten E (j j j j)2 > 0, azaz 2 E  2 2E j j + E  2 > 0, gy a diszkrimin ansa nem pozitv: 2 2 2 4(E jj) 4E 

E  6 0)  Legyen g : R ! R . Ha  diszkret valoszn}usegi valtozo pk = Pf = xk g eloszlassal, akkor Eg ( ) = X k pk g (xk ): Ha  : ! R olyan valoszn}usegi valtozo, melynek s}ur}usegfuggvenye f : R ! [0; 1), akkor Z 1 E g ( ) = g (x)f (x) dx: 6.5 De ncio A D 2 := E ( E )2 1 mennyis eget a  sz or asn egyzet enek nevezz uk. Nyilvan = E ( 2 2 E  + (E  )2 ) = E  2 (E  )2 ; gy ha  diszkret valoszn}usegi valtozo pk = Pf = xk g eloszlassal, akkor D 2 D 2 = X pk x2k X k pk xk !2 ; k ha pedig  : ! R olyan valoszn}usegi valtozo, melynek s}ur}usegfuggvenye f : R ! [0; 1), akkor D 2 = Nyilvan Z 1 1 x2 f (x) dx Z 1 1 2 xf (x) dx : ( + c) = D 2 ; D 2 (c ) = c2 D 2  teljesul tetsz}oleges c 2 R eseten, es ha  es  fuggetlenek, akkor D 2 ( +  ) = D 2  + D 2 : 6.6 Pelda: Legyen  standard normalis eloszlasu, azaz normalis eloszlasu (0; 1) parameterekkel Ekkor Z 1 h ix=L 1 1 x

=2 E = p xe x =2 dx = p Klim e = 0; x=K 2 2 ! 1 D2 2 2 1 E 2 +1 L! Z 1 1 = p2 x2 e x =2 dx 1 h Z L ix=L 1 x =2 = p2 Klim xe + e ! 1 x=K K L!+1 2 2 26 2 dx x2 =  Z 1 1 = p2 e 1 2 dx = 1: x2 = Ha pedig  normalis eloszlasu (m; 2) parameterekkel, akkor  el}oall  =  + m alakban, ahol  standard normalis eloszlasu, hiszen  = ( m)= alapjan  eloszlasfuggvenye F (x) = Pf < xg = Pf( m)= < xg = Pf < x + mg = F (x + m); gy  s}ur}usegfuggvenye 1 f (x) = F0 (x) = F0 (x + m) = f (x + m) = p e x =2 ; 2 ezert E  = E  + m = m es D 2  = 2 D  = 2. 2 6.7 De ncio A cov(; ) = E (( mennyis eget a  es  E E )) val osz n} us egi v altoz ok kovarianci aj anak nevezz uk. A corr(; ) = pcov(2 ; 2) D mennyis eget a Ha )(  es  corr(; ) = 0 D  val osz n} us egi v altoz ok korrel aci os egy utthat oj anak nevezz uk. , akkor azt mondjuk, hogy   es  korrel

alatlanok. Nyilvan cov(; ) = E  (E  )(E ), ezert ha  es  fuggetlenek, akkor korrelalatlanok; ez fordtva nem igaz: leteznek olyan  es  valoszn}usegi valtozok, melyek korrelalatlanok, de nem fuggetlenek.  tas. 6.8 All Tetsz} oleges  es  val osz n} us egi v altoz ok eset en jcorr(; )j 6 1; jcorr(; )j = 1 a + bg = 1  es akkor  es csak akkor, ha valamely teljes ul; itt a 6= 0  es b val os sz amokkal f = P a > 0 illetve a < 0 aszerint, hogy corr(;  ) = 1 illetve corr(;  ) = A Cauchy-Schwartz egyenl}otlenseg alapjan p jcov(; )j = jE (( E  )( E ))j 6 E ( E  )2 E ( gy corr(; )j 6 1. Legyen tovabba  E  E ~ = p 2 ; ~ = p 2 : 1 . Bizonytas. D  D E )2 ;  Nyilvan E  = E  = 0 es D  = D  = 1 (ezert ezeket  , illetve  standardizaltjanak nevezzuk). Tovabba ha corr(; ) = 1, akkor E ~~ = 1, gy 2E ~~ = E ~2 E ~2 , amib}ol E (~ ~)2 = 0, ezert Pf~ = ~g = 1, azaz

( P ~ = E  + s D 2 D 2 27 ) ( ~) = 1: Hasonloan, ha corr(; ) = 1, akkor E ~~ = 1,gy 2E ~~ = E ~2 E ~2 , amib}ol E (~+~)2 = 0, ezert Pf~ = ~g = 1, azaz ( P s ~ = E  D 2 D 2 ) ( ~) = 1: Konnyen ellen}orzhet}o, hogy tetsz}oleges  es  valoszn}usegi valtozok eseten D 2 ( +  ) = D 2  + 2cov(;  ) + D 2 : 7  Felt eteles v arhat o  ert ek 7.1 De ncio Legyen A egy pozitv valoszn}useg}u esemeny Ha  v altoz o Pf = xk g (k = 1; 2; : : : ) eloszl assal, akkor  -nek az A-ra diszkr et val osz n} us egi vonatkoz o felt eteles eloszl asa f = xk j Ag; k = 1; 2; : : : P felt eteles v arhat o  ert eke pedig E ( jA) := X P k xk Pf = xk j Ag xk Pf = xk j Ag sor abszolut konvergens. Egy tetsz} oleges  val osz n} us egi v altoz onak az A-ra vonatkoz o felt eteles eloszl asf uggv enye amennyiben a k F (xjA) := Pf < x j Ag; Ha l etezik olyan f (
j A) fuggveny, melyre

F (xjA) = Z x 1 x 2 R: f (u j A) du x 2 R eseten, akkor az f (
j A) fuggvenyt  -nek az A-ra vonatkozo felteteles s} ur} us egf uggv eny enek nevezz uk. Ekkor  -nek az A-ra vonatkoz o felt eteles v arhat o teljes ul tetsz} oleges  ert eke E amennyiben az R1 1 xf (x j A) dx ( jA) := Z 1 1 xf (x j A) dx improprius integr al abszol ut konvergens. Nyilvan ha  diszkret valoszn}usegi valtozo, akkor a Pf = xk j Ag, k = 1; 2; : : : szamok eloszlast alkotnak, hiszen nemnegatvak, es osszeguk 1: ! X X [ 1 1 P(f = xk g A) = P (f = xk g A) Pf = xk j Ag = P(A) P(A) k k k = P(1A) P   ! f = xk g A = P(1A) P( A) = 1: k [ 28 Tovabba ha E  letezik, akkor tetsz}oleges A pozitv valoszn}useg}u esemeny eseten letezik E ( j A) is. 7.2 Tetel (Teljes varhato ertek tetele) Ha az m enyek teljes esem enyrendszert alkotnak,  es a  A1 , A2 , : : : pozit v val osz n} us eg} u ese- val osz n} us egi v

altoz onak l etezik v arhat o  ert eke, akkor ( ) = E Bizonytas. Ekkor X k E X ( j Ak )
P(Ak ): E k Legyen  diszkret valoszn}usegi valtozo xj , j = 1; 2; : : : lehetseges ertekekkel. ( j Ak )
P(Ak ) = = XX k X j j xj xj Pf = xj j Ak g
P(Ak ) = X k (f = xj g Ak ) = P X j XX k j xj P(f = xj g Ak ) xj Pf = xj g = E : (A szummak felcserelhet}oseget az biztostja, hogy a  valoszn}usegi valtozo varhato ertekenek letezeseb}ol kovetkezik az illet}o sor abszolut konvergenciaja.) Abszolut folytonos  valoszn}usegi valtozo eseten a bizonytas hasonloan vegezhet}o el.  8 Nagy sz amok t orv enyei El}oszor ket egyenl}otlenseget bizonytunk a varhatoertekkel kapcsolatban.  tas. (Markov-egyenl}otlenseg) 8.1 All tetsz} oleges " > 0 eset en Ha a  val osz n} us egi v altoz o nemnegat v, akkor f > "g 6 E" P Peldaul legyen  diszkret

valoszn}usegi valtozo pk = Pf = xk g, k = 1; 2; : : : eloszlassal. Ekkor Bizonytas. E = X k pk xk > X : >" k xk pk xk > " X : > k xk " pk = "Pf > "g:   tas. (Csebisev-egyenl}otlenseg) 8.2 All Tetsz} oleges eset en fj P E 2 j > "g 6 D"2 29  val osz n} us egi v altoz o  es " > 0 Bizonytas. A Markov-egyenl}otlenseget alkalmazva fj E P j > "g = Pf( E )2 > "2g 6 E ( "2E  ) = D"2 : 2 2  A Bernoulli-fele nagy szamok torvenye azt fejezi ki, hogy sok kserletet vegrehajtva egy esemeny relatv gyakorisaga ,,kozel van" a valoszn}usegehez. 8.3 Tetel (Bernoulli-fele nagy szamok torvenye) Tekintsunk egy p valoszn}useg}u A esem ennyel kapcsolatosan n f uggetlen k s erletet. Ekkor tetsz} oleges " > 0 eset en   kn (A) lim P p > " = 0: n!1 n Mivel kn(A) binomialis eloszlasu, azaz

Pfkn (A) = kg = azzal ekvivalens, hogy   X k :j n k p (1 p)n k j k n p <" k ! 1;
n k pk (1 p)n k , ezert a fenti ha n ! 1. Megjegyezzuk, hogy a binomialis eloszlas p maximalis tagja k = [np] vagy k = [np] + 1, es a megfelel}o valoszn}useg Pfkn (A) = kg  1= 2np(1 p) ! 0 ha n ! 1, viszont az el}oz}oek szerint az (np n"; np + n") intervallumba es}o tagok osszege tetsz}olegesen kicsi " > 0 eseten is 1{hez konvergal. A kn(A) gyakorisag el}oall kn(A) = 1 + 2 +


+ n alakban, ahol 8 <1 ha az i-edik ks erletben A bekovetkezik, i(! ) := :0 egyebkent. Nyilvan a 1; 2; : : : ; n valoszn}usegi valtozok fuggetlenek, azonos eloszlasuak, Pf1 = 1g = p, Pf1 = 0g = 1 p, es E 1 = p, D 2 1 = p(1 p), ezert az el}oz}o alltas specialis esete a kovetkez}o tetelnek. 8.4 Tetel (Nagy szamok gyenge torvenye) Legyenek 1 ; 2; : : : p aronk ent korrel alat- lan, azonos eloszl as u val osz n} us

egi v altoz ok, melyeknek l etezik a sz or asuk. 1 + 2 +


+ n, n 2 N . Ekkor tetsz} oleges lim P  n!1 Bizonytas. Nyilvan  E  Sn D2 n  Sn n  Sn n " > 0 eseten E 1  > " = 0: n X 1 = n E k = E 1 ; k =1 n X = n12 D 2 Sn = n12 D 2 k = n1 D 2 1; k 30 =1 Jel olje Sn := ezert a Csebisev-egyenl}otlenseget alkalmazva  P Sn n E 1  2 > " 6 Dn"21 ! 0; ha n ! 1:  A bizonytas alapjan a Bernoulli-fele nagy szamok torvenyevel kapcsolatban azt kapjuk, hogy   kn (A) p(1 p) P p >" 6 ; n"2 n gy peldaul ha azt akarjuk elerni, hogy egy szabalyos ermet dobalva a fejek szamanak relatv gyakorisaga legalabb 0.95 valoszn}useggel 01-nel kevesebbel terjen el a valoszn}usegt}ol, akkor a fentiek alapjan   1 ; kn (A) 1 > 0 ;1 6 P n 2 4
0:12
n gy a kovetelmeny biztosan teljesul, ha 1 6 0:05; azaz n > 500; 4
0:12
n vagyis az ermevel legalabb

500-szor kell dobni. (Ez egy meglehet}osen durva kozeltes) Bizonytas nelkul kozoljuk a nagy szamok er}os torvenyet. 8.5 Tetel (Nagy szamok er}os torvenye) Legyenek 1 ; 2; : : : teljesen f uggetlen, azonos eloszl as u val osz n} us egi v altoz ok, melyeknek l etezik a v arhat o  ert ek uk. Jel olje


+ n n 2 N , . Ekkor  P 9 Sn := 1 + 2 + lim Sn n!1 n  = E 1 = 1: Centr alis hat areloszl as-t etelek Jelolje m; az (m; 2 ) parameter}u normalis eloszlas s}ur}usegfuggvenyet, azaz x m 1 m; (x) := p e  ; x 2 R: 2 A kovetkez}o teteleket bizonytas nelkul kozoljuk. 2 ( 2 2 2 )2 9.1 Tetel (Lokalis hatareloszlas-tetel) Tekintsunk egy p 2 (0; 1) valoszn}useg}u A esem ennyel kapcsolatosan n f uggetlen k s erletet. Legyen f n g egy olyan val os sz amsorozat, 2 =3 melyre limn!1 n n = 0. Ekkor : sup k jk npj fkn (A) = kg 1 ! 0; (k) P 6 n (1 p) np;np 31 ha n ! 1. fkn(A)=kg ! 1

egyenletesen teljesul.) (Vagyis az (np n; np + n) intervallumban Pnp;np p (k) Jelolje  a standard normalis eloszlas eloszlasfuggvenyet: Z x 1 (x) := p2 e u =2du: 1 9.2 Tetel (Moivre-Laplace-tetel) p 2 (0; 1) A (1 ) 2 Tekints unk egy kapcsolatosan n fuggetlen kserletet. sup 16a<b6+1 ( P kn (A) np p np(1 p) val osz n} us eg} u esem ennyel Ekkor ) 2 [a; b) ((b) (a)) ! 0; ha n ! 1. Ezert ha egy szabalyos ermet dobalunk, akkor a fejek szamanak relatv gyakorisagara tetsz}oleges a > 0 eseten ervenyes    a a kn (A) 1 lim P n 2 2 2pn ; 2pn = (a) ( a) = 2(a) 1: n!1 Mivel a 2(a) 1 = 0:95 es 2pa n = 0:1 osszefuggesekb}ol a  1:96 es n  96 adodik, gy   kn(A) 1 P n 2 6 0; 1  0:95 ha n  96, tehat eleg korulbelul 96-szor dobni egy szabalyos ermevel ahhoz, hogy a fejek szamanak relatv gyakorisaga legalabb 0.95 valoszn}useggel 01-nel kevesebbel terjen el a valoszn}usegt}ol A Moivre-Laplace

tetelb}ol kovetkezik, hogy specialisan ( ) kn (A) np lim P p < x = (x); x 2 R: n!1 np(1 p) Ennek a tetelnek az altalanos alakja a kovetkez}o. 9.3 Tetel (Centralis hatareloszlas-tetel) Legyenek 1 ; 2; : : : teljesen f uggetlen, azonos eloszl as u val osz n} us egi v altoz ok, melyeknek l etezik a sz or asuk. Jel olje n 2 N. Ekkor lim P n!1 ( Sn ) nE 1 p <x nD 2 1 32 = (x); x 2 R: Sn := 1 + 2 +


+ n