Matematika | Analízis » Horváth Árpád - Bevezetés az integrálásba

Bevezetés az integrálásba Horváth Árpád 2002. november 20 Megjegyzés Ez a jegyzet összefoglalja az integrálszámításnak azokat a legalapvetőbb fogalmait, amely nélkül az integrálszámítási feladatok megoldása csak képletek manipulációja lenne. Valamint az alapvetőbb integrálási módszereket A rövidség kedvéért több esetben hivatkozom a műszaki főiskolák számára készült Kovács-Takács-Takács: Analízis tankönyvre (röviden „a tankönyv”). Ott találhatók az ebben a jegyzetben csak megemlített szabályok, tételek bizonyításai is. Gyakorláshoz nagyon jól használható Bárczy Barnabás: Integrálszámítás című könyve Jegyzet feldolgozásához szükséges átismételni az előzőleg tárgyalt függvényeket, és a differenciálszámítást. A jegyzet feldolgozása során a bevezető példák kihagyhatóak, vagy a későbbi feldolgozásra halaszthatóak. 1. 1.1 Bevezető példák A megtett út Hogyan tudnánk meghatározni

a test (autó, elektron) által megtett utat, ha ismerjük minden időpillanatban a sebességét? Ha állandó v sebességgel mozog t ideig, akkor egyszerűen számíthatjuk az utat: s = v ·t. Más a helyzet, ha a sebesség változik. Például egy autó mozgásakor a következő módon: t [s] 0 2 3 4 6 7 v [ ms ] 10 15 17 19 23 24 Ha ennyi adatot ismerünk, meg tudjuk-e mondani, hogy mekkora utat tett meg az autó? Pontosan nem. De jó közelítéssel megkaphatjuk az első 2s alatt megtett utat, ha a kb. 10 ms · 2s = 20m utat tesz meg, a következő 1s alatt kb 15 ms · 1s = 15m utat . A teljes megtett út 0s-tól 7s-ig (≈ jelentése közelítőleg egyenlő) s ≈ 10 · 2 + 15 · 1 + 17 · 1 + 19 · 2 + 23 · 1 = 113m Változó sebességnél tehát a t időtartamot feloszthatjuk kisebb ∆t1 , ∆t2 , ∆t3 , . , ∆tn időtartamokra, amelyeken a sebesség már nem nagyon változik, és kiszámolhatjuk az ezekhez tartozó részutak közelítő értékét: v1 ∆t1 ,

v2 ∆t2 , v3 ∆t3 , . , vn ∆tn , ahol a v1 , v2 , v3 , . , vn a megfelelő időtartamokhoz tartozó sebességek Nyilván a részutak összegével közelíthetjük a megtett utat: s ≈ v1 ∆t1 + v2 ∆t2 + v3 ∆t3 + . + vn ∆tn Röviden: n s ≈ ∑ vi ∆ti i=1 (Ejtsd: i= 1-től n-ig szumma vé íszer delta té í) Majdnem mindegy a ∆ti időtartam (időintervallum) melyik pillanatához tartozó sebesség a vi , ha elég kicsi időintervallumokat vettünk ahhoz, hogy azalatt a sebesség ne nagyon változzon. Természetesen mennél pontosabban szeretnék a megtett utat számolni, annál több és annál kisebb részekre kell bontani az egész időintervallumot. A fenti összefüggés csak akkor lesz egyenlőség, ha a részintervallumok 1 hossza az egyre több részre bontással nullához tart. (Gondoljuk végig, hogy úgy is oszthatnánk egyre több részre az időtartamot, hogy az egyik részintervallum hossza nem változik, a többit osztjuk tovább. Ez

nekünk nem jó Ki kell kötnünk, hogy ne lehessen így. Azaz közülük a legnagyobbnak a hossza is tartson nullához) Tehát a pontos útképlet: n ∑ vi ∆ti , n∞ s = lim i=1 feltéve, hogy a részintervallumok hossza nullához tart. Ezt fogjuk röviden a következő két módon jelölni: s= Zt v(t) dt = 0 Zt v dt. 0 (Ejtsd: ess egyenlő integrál nullától téig vé té dé té. A nulla jelöli a kezdőidőpontot Az integrál jele egy elnyújtott S (szumma).) Vegyük észre, hogy ha az idő függvényében ábrázoljuk a sebesség nagyságát, és függőleges vonalakkal a grafikon alatti területet kis szeletekre vágjuk, akkor a vi · ∆ti szorzatok a grafikon egy-egy szeletének a területét közelítik (1. ábra), a szorzatok összege pedig az egész grafikon alatti területet Mennél kisebb ∆ti szakaszokat veszünk annál jobb közelítését kapjuk a területnek. t 6 t 7 v(t) vi -v ∆ti 1. ábra Egy szelet területének közelítése Később

látjuk majd, ha a sebesség az idő függvényében egy képlettel adható meg, akkor általában sokkal egyszerűbb módon számolhatunk. 1.2 A munka (Kiegészítő anyag) Hasonló a helyzet a munka fogalmával. Hogyha a testre ható F̄ erővektor állandó és a test egyenesen mozdul el A pontból B pontba, akkor WAB = Fs · s, ahol s az elmozdulás nagysága és Fs az erővektor elmozdulás irányú vetülete. Egyenes vonalú elmozdulás esetén Fs állandó Ha azonban Fs változik, akkor kis szakaszokra bonthatjuk a megtett utat. Ez két szempontból lesz jó Először is ezeken a szakaszokon az Fs már nem nagyon változik, valamint ezek a szakaszok már közel egyenes szakaszok. Így egy elég kicsi ∆si elmozdulás esetén közelíthetjük a munkát az Fsi · ∆si képlettel, a teljes munkát pedig közelíthetjük ezek összegével: n WAB ≈ ∑ Fs ∆si i i=1 Ebből kapjuk egyre kisebb szakaszokat véve: n Fs ∆si , n∞ ∑ WAB = lim i i=1 WAB = Zs

Fs ds. 0 Ebben az esetben is értelmezhetjük az integrált grafikon alatti területként. Melyik függvény grafikonja alatti területről van itt szó? (Mi van a két tengelyen?) 2 y 6 y = f (x) Rb f (x) dx a a b - x 2. ábra A Riemann-integrál a grafikon alatti előjeles terület 1.3 A potenciál (Kiegészítő anyag) Emlékeztető: Elektromos mezőben egy q próbatöltést mozgatunk A pontból B-be. A potenciálkülönbség definíciója UAB = WqAB F (Ez független attól milyen úton jutok oda.) A térerősség definíciója E = (Független a q töltés nagyságától) q Könnyen levezethető a fenti összefüggésekből: hogyha az Ē térerősségvektor állandó és egyenesen mozdulok el A pontból B pontba, akkor UAB = Es · s, ahol s az elmozdulás nagysága és Es a térerősségvektor elmozdulás irányú vetülete. Ekkor Es állandó. Ha azonban Es változik, akkor a munkához hasonló módon kaphatjuk a közelítő összeget: n UAB ≈ ∑

Es ∆si i i=1 Ebből kapjuk egyre kisebb szakaszokat véve: n Es ∆si , n∞ ∑ UAB = lim i UAB = i=1 2. 2.1 Zs Es ds. 0 A Riemann-integrál A Riemann-integrál fogalma R IEMANN (1826-1866) vezette be a függvénygörbe alatti terület első precíz definícióját. Őróla nevezzük ezt Riemann-integrálnak. Általában erre használjuk a határozott integrál megnevezést Milyen adatok jellemeznek egy ilyen integrált? Az f (x) függvény és az [a, b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsóhatárának, a b-t az integrál felső határának nevezzük. (Lásd 2ábra) Hogyan kapjuk meg ezt az értéket? Osszuk fel az intervallumot n részre az Fn = {x0 , x1 , x2 , . , xn } ponthalmazzal, ahol a = x0 < x1 < · · · < xn = b Ezt az [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük Az így keletkező intervallumokat nevezzük részintervallumoknak. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a

hosszát Jele: dn (A továbbiakban az 3 ábrán érdemes követni az itt leírtakat) Mindegyik [xi−1 , xi ] részintervallumból válasszunk ki tetszőlegesen egy ξi ∈ [xi−1 , xi ] elemet. Végiggondolható, hogy a 3. ábrán szereplő három téglalap magasságai rendre f (ξ1 ), f (ξ2 ), f (ξ3 ), szélességeik: x1 − x0 , x2 − x1 , x3 −x2 . Így például az első területe: f (ξ1 )(x1 −x0 ) A téglalapok f (ξ1 )(x1 −x0 )+ f (ξ2 )(x2 −x1 )+ f (ξ3 )(x3 −x2 ) = 3 ∑ f (ξi )(xi − xi−1 ) területösszege „közel van” a keresett területhez. i=1 n A σn = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ) = ∑ f (ξi )(xi − xi−1 ) i=1 képlettel definiált összeget az integrál egy n tagú közelítő összegének nevezzük. Ezt a ∆x1 = (x1 − x0 ), ∆x2 = (x2 − x1 ), . , ∆xn = (xn − xn−1 ) jelölésekkel n σn = f (ξ1 )∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + · · · + f (ξn )∆xn = ∑ f (ξi )∆xi i=1

3 y 6 y = f (x) a = x0 ξ 1 x1 ξ2 -x ξ3 b = x3 x2 3. ábra Integrálközelítő összeg n=3 esetre alakba is átírhatjuk. A felosztásokból készíthetünk a (számsorozatok mintájára) végtelen sorozatokat: F1 , F2 , F3 , F4 , . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak Ha a felosztások finomságainak d1 , d2 , sorozata nullához tart a sorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük. Amennyiben minden normális felosztássorozat esetén a közelítő összeg ugyanahhoz az I számhoz tart, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon. Az I értéket nevezzük a függvény Riemann-integráljának. Jele: Rb Rb f (x) dx vagy röviden: a f. a A definíció szerint n lim n∞ ∑ f (ξi )∆xi = i=1 Zb f (x) dx, a a dn tart nullához feltétel mellett. Bebizonyítható, hogy minden folytonos függvény Riemann-integrálható. 2.2 Az alsó- és a

felső integrálközelítő összeg Ha a σn összegben az f (ξi ) helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk akkor a felső integrálközelítő összeghez jutunk: n sn = ∑ Mi (xi − xi−1 ) i=1 ahol Mi a függvény felső határa az [xi−1 , xi ] intervallumon. Hasonló az alsó integrálközelítő összeg definíciója is: n Sn = ∑ mi (xi − xi−1 ), i=1 ahol mi az függvény alsó határa az [xi−1 , xi ] intervallumon. (Függvény alsó és felső korlátját ill alsó és felső határát lásd a tankönyv 50. oldalán) Amennyiben létezik az Rb a f integrál, akkor sn ≤ Rb a f ≤ Sn . Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani ”. 2.3 A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula Az I (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett f függvény primitívfüggvényének nevezzük az F függvényt, ha F 0 (x) = f (x) teljesül bármely x ∈ I esetén. (Azaz

ha F deriváltja az eredeti f függvény) Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x) + C is az. (Mivel C egy konstans, annak a deriváltja pedig nulla.) Tehát egy függvénynek végtelen sok primitívfüggvénye van, de ezeket egy konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból. 4 y 6 Emlékezzünk rá, hogy a derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelentette, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe a konstans előjelétől függően felfelé vagy lefelé tolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz x Példa: Az f (x) legyen a sin x függvény. Ennek egy primitív függvénye a − cos x függvény, hiszen (− cos x)0 = sin x, de a − cos x + 5 függvény is primitívfüggvény. Általánosan a − cos x +C alakú függvények primitívfüggvényei a sin x függvénynek

Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható: Newton–Leibnitz-formula: Rb a h ib f (x) dx = F(x) a h ib Ahol az F(x) függvény az f (x) függvény primitívfüggvénye, a F(x) pedig egy új jelölés az F(b) − F(a) kifea jezésre. Példa: 3π Z2 h i 3π 3π 2 = − cos sin x dx = − cos x − (− cos π) = 0 − 1 = −1 2 π π   Érdemes felrajzolni a szinusz függvény grafikonját, megvizsgálni a π, 3π 2 intervallumba eső részét. Vajon miért lesz az integrál értéke negatív? 3. A határozatlan integrál Láthatjuk, hogy a primitívfüggvény segítségével elég könnyen meghatározható a határozott integrál. Ennek meghatározása viszont sokszor nagyon nehéz. A feladat megoldásához hasznos fogalom a határozatlan integrál 3.1 A határozatlan integrál fogalma Az f (x) függvény primitívfüggvényeinek összességét nevezzük az f függvény határozatlan integráljának. R Jele: f (x) dx Az

integrálandó függvényt (itt f (x)-et) integrandusnak nevezzük. Példa: Az f (x) legyen a sin x függvény. Ennek egy primitív függvénye a − cos x függvény, tehát Z sin x dx = − cos x +C. (Itt a sin x az integrandus.) 3.2 Az integrálás szabályai és az alapintegrálok Az integrálás szabályai a tankönyv 202. oldalán található tételekben szerepelnek A továbbiakban használni fogjuk a tankönyv 201. oldalán szereplő integráltáblázatot Gyakorlásképpen ellenőrizhetjük annak helyességét R n+1 Példa: A táblázat szerint xn dx = xn+1 +C. Valóban, hiszen a jobboldal deriváltja  xn+1 +C n+1 0 =  1 n+1 x n+1 0 = Mivel C deriváltja 0, sosem kell vele ellenőrzéskor foglalkozni. 5 1 (n + 1)xn = xn . n+1 3.3 Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához Bontsuk gondolatban tagokra az integrálandó függvényt (azaz az integrandust), (ezeket külön-külön integrálhatjuk), majd gondolatban emeljük ki az

együtthatókat. Példa: Mivel lesz egyenlő Z 4ex π 4 sin x + − dx? 3 4x Megoldás: Ez az integrál három tagból áll. Az első együtthatója 4, a másodiké 34 , a harmadiké − π4 Mindegyik függvény integrálját megtalálhatjuk a táblázatban, így az eredmény könnyen adódik: Z 4 sin x + 4ex π − dx = 4 3 4x Z sin x dx + 4 3 Z ex dx − π 4 Z 1 4ex π dx = −4 cos x + − ln x +C x 3 4 A közbenső lépést nem szoktuk leírni, a C konstanst pedig elég egyszer kiírni annak ellenére, hogy három integrálunk van. 3.4 A táblázatban nem szereplő függvények integrálása A függvények integrálása bonyolultabb mint a deriválása. Itt csak a legfontosabb függvénytípusok integrálására található szabály. (Általában igaz, hogy nem minden függvény integrálja írható fel „egyszerű” alakban Például a R sin x dx is csak végtelen sok tagú összegként (végtelen sorként) írható fel.) 3.41 Az integrandus f (ax + b)

alakú Ilyenkor egy primitív függvény az F(ax+b) a Bizonyítás. Az F(ax + b) függvény összetett függvény, deriváltja F 0 (ax + b) · a = f (ax + b) · a,  0 tehát F(ax+b) = f (ax + b) a Példa: Z 3.42 7 sin(3x − 2) dx = − 7cos(3x − 2) +C 3 Az integrandus f n (x) f 0 (x) alakú Szabály: n+1 R n f (x) f 0 (x) dx = f n+1(x) +C (n 6= −1) (Igazoljuk az állítást!) Mi a baj az n = −1 esettel? 3.43 Az integrandus Szabály: 3.44 R f 0 (x) f (x) f 0 (x) f (x) alakú dx = ln | f (x)| +C Az integrandus f (g(x))g0 (x) alakú Szabály: R f (g(x))g0 (x) dx = F(g(x)) +C Bizonyítás. A jobboldali összetett függvény deriváltja F 0 (g(x))g0 (x) = f (g(x))g0 (x) 6 Általában, ha egy szorzatfüggvényt integrálunk, akkor érdemes megnézni hogy az egyik összetett függvény-e. Ha a másik függvény a belső függvény deriváltja, akkor a szabály alapján integrálhatjuk. Példa: Z sin(ln x) dx =? x Megoldás: Összetett függvények esetén

ellenőriznünk kell, hogy szerepel e szorzóként a belső függvény deriváltja. Itt az integrandus írható sin(ln x) 1x alakban. Az ln x függvény deriváltja az 1x függvény, így Z 3.45 sin(ln x) dx = − cos(ln x) +C x Parciális integrálás Az f (x)g0 (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) azonosság alapján sok esetben egyszerűbb integrálra vezethetjük vissza az eredeti integrált. Ezt nevezzük parciális integrálásnak (Itt még nem kell kiírni a jobboldalon a C konstanst, hisz azt az integrál tartalmazza.) Úgy érdemes megjegyezni a módszert, hogy az eredeti integrandusban azt a függvényt érdemes általában vesszős betűvel jelölni, aminek nem bonyolult a primitívfüggvénye. (Ez általában a sin x, cos x, ex vagy ax függvények egyike) A másik integrálban a másik függvényen van a vessző Példa: Z 5x sin x dx =? 4 R R Az 45 -et együtthatónak tekintve kiemelhetjük az integrálásból. Mivel az x 7 sin x függvény primitívfüggvénye

egyszerű, az x 7 x függvénynek, pedig a deriváltja egyszerű, ezért f (x) = x és g0 (x) = sin x jelölésekkel használjuk a bekeretezett azonosságot. Ekkor f 0 (x) = 1 és g(x) = − cos x, tehát: Z 5x sin x 5x cos x 5 dx = − − 4 4 4 Z cos x dx Ez még nem végeredmény, de az itt szereplő integrálást már könnyen elvégezhetjük. Néhány jellemző eset, amikor parciális integrálás alkalmazhatunk f xn xn xn xn 3.5 g0 ex ax sin x cos x Ezekben az esetekben az egymást követő integrálokban az x egyre kisebb kitevővel fog szerepelni. f sin x sin x ex ax g0 ex ax cos x cos x Ezekben az esetekben teljesen mindegy, melyiket jelöljük gondolatban f , g0 -vel. Kétszer alkalmazva a parciális integrálást megkapjuk az eredményt. Racionális törtfüggvények integrálása Általában az an xn + . + a2 x2 + a1 x + a0 alakban írható függvényeket polinomoknak nevezzük Egy n-edfokú polinomnak maximum n valós gyöke lehet. Mi a továbbiakban

csak ezzel a nagyon szerencsés esettel foglalkozunk. (Általánosítva megtalálható a tankönyvben) A polinom ekkor úgynevezett gyöktényezős alakban is felírható. Ennek általános alakja: an (x − x1 )(x − x2 ) . (x − xn ), ahol an a legnagyobb kitevőjű tag együtthatója, x1 , x2 , . , xn pedig a polinom gyökei Az n gyök nem feltétlenül különböző. Ilyenkor azt mondjuk, hogy vannak többszörös gyökei Ha S különböző gyök van, a gyöktényezős alak felírható an (x − x1 )l1 (x − x2 )l2 . (x − xS )lS alakban is Például az 2x4 − 2x3 − 12x2 polinom átalakítható kiemeléssel 2x2 (x2 − x − 6) alakra. A zárójelben levő másodfokú polinom gyökeit meghatározhatjuk: −3 és 2; így ez gyöktényezős alakba írva: (x + 3)(x − 2) Tehát az eredeti polinomot átírhatjuk gyöktényezős alakba: 2x4 − 2x3 − 12x2 = 2x2 (x + 3)(x − 2) = 2(x − 0)2 (x + 3)(x − 2). 7 (Ennek a negyedfokú egyenletnek 4 gyöke van,

S = 3 különböző gyöke.) Az utolsó alakot csak azért írtuk fel, hogy lássuk ez valóban gyöktényezős alak. Látjuk hogy itt a 0 kétszeres gyök A −3 és a +2 egyszeres gyökök Racionális törtfüggvényeknek nevezzük a két polinom hányadosaként előállítható függvényeket. Például a x2 + x − 2 x4 + 14x3 + 76x2 + 162x + 135 = (x − 1)(x + 2) (x − 5)(x + 3)3 törtek egy racionális törtfüggvény két alakja, melynek a nevezője egy harmadfokú függvény. nevező gyökei 5 és −3. A −3 háromszoros az 5 egyszeres gyök, mert az x + 3 tényező harmadik hatványon van, az x − 5 tényező első hatványon. Az integrálás elvégzéséhez a függvényt először parciális törtekre kell bontanunk. 3.51 Parciális törtekre bontás A továbbiakban azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a racionális törtfüggvény nevezője gyöktényezőkre bontható, és a számláló fokszáma kisebb mint a nevezőé. Bebizonyítható, hogy a

bk xk + . + b2 x2 + b1 x + b0 an (x − x1 )l1 (x − x2 )l2 . (x − xS )lS tört ilyenkor mindig átírható A1l1 A11 A12 + +. + (x − x1 ) (x − x1 )2 (x − x1 )l1 A2l2 A21 A22 +. +.+ + + (x − x2 ) (x − x2 )2 (x − x2 )l2 ASlS AS1 AS2 + + +. 2 (x − xS ) (x − xS ) (x − xS )lS alakra, ahol az Ai j valós számokat jelöl, melyeket nekünk kell meghatároznunk. Az egyes tagokat nevezzük parciális törteknek Ez a képlet elsőre elég félelmetesnek tűnhet Gyakorlatban, mint nemsokára látjuk ez általában egyszerűbb. 3x2 − 17x + 16 3x2 − 17x + 16 átalakítható Az Ai j valós számok meghatározását konkrét példán nézzük meg. A 3 x − 8x2 + 16x x(x − 4)2 alakra. A fenti állítás szerint ez felírható A B C + + x (x − 4) (x − 4)2 alakban. Példákban az egyszerűség kedvéért nem az Ai j jelöléseket szoktuk használni Végezzük el a közös nevezőre hozást. Ekkor a nevezőben A(x − 4)2 + Bx(x − 4) + Cx = Ax2 − 8Ax + 16A +

2 Bx − 4Bx + Cx = (A + B)x2 + (−8A − 4B + C)x + 16A kifejezést kapjuk. Ennek egyeznie kell az eredeti tört nevezőjével. Ez bizonyíthatóan csak akkor teljesül, ha az azonos kitevőjű tagok együtthatói megegyeznek a két polinomban. Tehát a következő egyenletrendszert kapjuk: A+B = 3 −8A − 4B +C = −17 16A = 16 Ebből A, B és C értéke meghatározható: A = 1 B = 2 C = −1. Tehát az eredeti tört az 1 2 1 + − x (x − 4) (x − 4)2 alakba írható át. 8 3.52 A parciális törtek integrálása Ezután már nincs nehéz dolgunk. A racionális törtfüggvényt parciális törtek összegére bontottuk, ezek nevezője vagy x − xi vagy (x − xi )n alakú (n > 1). Mindegyik esetre konkrét példát mutatunk 2 dx = 2 · ln |x − 4| +C (x − 4) Z Z 3 dx = 3 (x − 4)6 Z (x − 4)−6 dx = − 3 +C 5(x − 4)5 ectionVegyes feladatok integrálszámításra 3.6 Határozott integrál előjele A határozott integrál szemléletes

jelentése – mint láttuk – a függvénygrafikon alatti (előjeles) terület (4. ábra) y 6 + x – 4. ábra A függvény területe itt a grafikon feletti, illetve grafikon alatti területrész előjeles összege Példa: Számoljuk ki az a kapott értéket! Megoldás: R 2π 0 sin x dx értéket! A sinus függvény grafikonjának segítségével magyarázzuk meg Z2π 0  2π sin x dx = − cos x 0 = 0 Ugyanakkora terület esik az x tengely alá, mint fölé, így előjeles területösszegük nulla. Példa: Állapítsuk meg a grafikonjukról, milyen előjelűek lesznek a következő integrálok! Próbáljuk megbecsülni az értéküket a grafikon alapján, majd számoljuk ki! Z10 1 1 1 dx =?, x Z− 4 −3 1 dx =? x A számértékek meghatározása 4 értékes jegy pontossággal: Z10 h i10 1 dx = ln |x| = ln 10 − ln 1 ≈ 2, 303 x 1 1 Illetve: 1 Z− 4 −3 h i− 1 1 4 dx = ln |x| ≈ −1, 386 − 1, 099 = −2, 485 x −3 9 4. A négyzetes közép

4.1 A négyzetes közép fogalma Egy f (x) periodikus függvény négyzetes közepén azt a k számot értjük, melyre teljesül: ZT 2 f (x) dx = 0 ZT k2 dx. 0 T a periódus hosszát jelöli. Következmény: Mivel a jobboldal értéke k2 T , ezért k = 4.11 s 1 T RT f 2 (x) dx 0 Néhány szükséges összefüggés Két szükséges összefüggés középiskolából: sin2 x + cos2 x = 1, cos 2x = cos2 x − sin2 x. Igazoljuk a következő két összefüggést. sin2 x = 1 − cos 2x , 2 cos2 x = 1 + cos 2x . 2 (Az egyenlet jobboldalából kiindulva megkapható a baloldal.) 4.2 A sin2 x és a cos2 x függvény négyzetes közepe A fenti két egyenlet ismeretében integráljuk az f (x) = sin2 x függvény négyzetes közepét. (A függvény periódusa π)  π  π Rπ Rπ Rπ 2 Rπ 2x dx = 12 dx − 21 cos 2x dx = 12 x 0 − sin42x 0 = π2 − 0. sin x dx = 1−cos 2 0 0 0 0 Ebből a négyzetes középre vonatkozó összefüggés alapján: v u π r u Z 1

u1 2 k=t sin x dx = π 2 0 1 k= √ 2 A váltóáram esetén a feszültség az u(t) = Û sin ωt függvény szerint változik az idő függvényében. Levezethető, hogy a teljesítmény a feszültség négyzetével arányos, így az effektív feszültség (azaz annak az egyenfeszültségnek az értéke, melynek ugyanakkora a teljesítménye, mint az u(t) váltakozó feszültségé, Ue f f ), a csúcsfeszültség (Û) Û √ négyzetes közepe. (A periódus(idő) itt 2π ω .) Igazoljuk a váltóáramra ismert Ue f f = 2 összefüggést (Vigyázzunk, most a változó t, így az integrál végére is dt-t kell írni.) Tartalomjegyzék 1. Bevezető példák 1.1 A megtett út 1.2 A munka (Kiegészítő anyag) 1.3 A potenciál (Kiegészítő anyag) 10 1 1 2 3 2. A Riemann-integrál 2.1 A Riemann-integrál fogalma 2.2 Az

alsó- és a felső integrálközelítő összeg 2.3 A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula 3 3 4 4 3. . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 8 9 9 4. A négyzetes közép 4.1 A négyzetes közép fogalma 4.11 Néhány szükséges összefüggés 4.2 A sin2 x és a cos2 x függvény négyzetes közepe 10 10 10 10 A határozatlan integrál 3.1 A határozatlan integrál fogalma 3.2 Az integrálás szabályai és az alapintegrálok 3.3 Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához 3.4 A táblázatban nem szereplő függvények integrálása 3.41 Az integrandus f (ax + b) alakú 3.42 Az integrandus f n (x) f 0 (x) alakú 0 (x) 3.43 Az integrandus ff (x) alakú . 3.44 Az integrandus f (g(x))g0 (x) alakú 3.45 Parciális

integrálás 3.5 Racionális törtfüggvények integrálása 3.51 Parciális törtekre bontás 3.52 A parciális törtek integrálása 3.6 Határozott integrál előjele 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .