Matematika | Analízis » Székelyhidi László - Bevezetés a differenciálegyenletek és a variációszámítás elméletébe

BEVEZETÉS A DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ÉS A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ELMÉLETÉBE Székelyhidi László 1 2 TARTALOM Tartalom 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 1.1 Alapvető fogalmak és elnevezések 1.2 Segédeszközök a funkcionálanalı́zisből 1.3 Közelı́tő megoldások Peano tétele 1.4 Egzisztencia és unicitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 6 9 2 LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 15 2.1 Lineáris differenciálegyenletek integráljai 15 2.2 Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek 18 3 MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 20 3.1 Az átviteli elv 20 3.2 Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek 21 3.3 Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek 23 4 ELEMI ÚTON MEGOLDHATÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4.1

Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 4.2 Homogén fokszámú differenciálegyenletek 4.3 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek 4.4 Egzakt differenciálegyenletek 4.5 Bernoulli–féle differenciálegyenletek 4.6 Riccati–féle differenciálegyenletek 25 25 26 27 28 32 32 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS 5.1 A variációszámı́tás alapfeladatai 5.2 Normált terek 5.3 Példák normált terekre 5.4 Normált terek funkcionáljai 5.5 Példák lineáris funkcionálokra 5.6 Funkcionál variációja 5.7 Példák differenciálható funkcionálokra 5.8 Bilineáris és kvadratikus funkcionálok 5.9 Példák bilineáris és kvadratikus funkcionálokra 5.10 Funkcionál második variációja 5.11 Példák kétszer

differenciálható funkcionálokra 5.12 Funkcionálok extrémuma 5.13 Az Euler–Lagrange–féle differenciálegyenletek 5.14 Egy elegendő feltétel az extrémumra 34 34 35 36 38 40 42 44 46 48 49 50 51 52 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 1.1 Alapvető fogalmak és elnevezések Az x0 = f (t, x) (1) egyenletet közönséges elsőrendű vektor-differenciálegyenletnek (röviden: elsőrendű differenciálegyenletnek) nevezzük az Ω halmazon, ha Ω az R × Rn tér nem üres, nyı́lt részhalmaza, f : Ω Rn pedig egy adott függvény. Az x(t0 ) = x0 (2) egyenletet az (1)-re vonatkozó kezdeti feltételnek nevezzük,

ha (t0 , x0 ) az Ω egy eleme. Az (1), (2) egyenletrendszert az (1)-re vonatkozó Cauchy–feladatnak nevezzük. A ϕ-t az (1) megoldásának nevezzük I-n, ha I egy (nem csak egyetlen pontból álló) intervallum R-ben, ϕ : I Rn differenciálható függvény, melyre minden I-beli t esetén (t, ϕ(t)) az Ω-hoz tartozik, és ϕ0 (t) = f (t, ϕ(t)) . A továbbiakban a nem csak egyetlen pontból álló intervallumokat R-ben valós valódi intervallumoknak nevezzük. Megjegyezzük, hogy a ϕ függvény I valamely végpontjában való differenciálhatóságát úgy értjük, hogy ϕ-nek az illető pontban a megfelelő egyoldali deriváltja létezik. Akkor mondjuk, hogy az (1) egyenlet ϕ megoldása kielégı́ti a (2) kezdeti feltételt, ha a t0 pont az I-hez tartozik, és ϕ(t0 ) = x0 . Ebben az esetben azt mondjuk, hogy ϕ megoldása I-n az (1), (2) Cauchy–feladatnak. Akkor mondjuk, hogy ϕ az (1), (2) Cauchy–feladat teljes megoldása,

ha ϕ az (1), (2) Cauchy–feladat megoldása, és nincs az (1), (2) Cauchy–feladatnak olyan megoldása, mely a ϕ-nek valódi kiterjesztése. Ha (1)-ben Ω = I × Rn , ahol I egy valós valódi intervallum, továbbá az f : Ω Rn folytonos, és második változójában lineáris függvény, akkor (1)-et közönséges elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek (röviden lineáris differenciálegyenletnek) nevezzük I-n. A lineáris differenciálegyenlet általános alakja tehát x0 = A(t)x + b(t), (3) ahol A : I L(Rn ), b : I Rn folytonos függvények. Itt L(Rn ) az Rn tér lineáris operátorainak terét jelöli, ami a szokásos bázis rögzı́tése mellett azonosı́tható az összes n × n tı́pusú valós elemű mátrixok terével. 4 1.2 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Segédeszközök a funkcionálanalı́zisből Emlékeztetünk rá, hogy ha (X, d) metrikus tér, akkor az A : X X

leképezést kontrakciónak nevezzük, ha van olyan q a ]0, 1[ intervallumban, hogy d(A(x), A(y)) ≤ qd(x, y) teljesül minden X-beli x, y esetén. Akkor mondjuk, hogy az X-beli x pont az A : X X leképezés fixpontja, ha A(x) = x teljesül. 1.21 Tétel (Banach–féle fixpont–tétel) Teljes metrikus bármely kontrakciójának pontosan egy fixpontja létezik Bizonyı́tás. Legyen (X, d) teljes metrikus tér, A : X X pedig egy kontrakció, azaz, d(A(x), A(y)) ≤ qd(x, y) teljesül minden X-beli x, y esetén, valamely ]0, 1[-beli q számmal. Legyen x0 az X tetszőleges pontja, és xn+1 = A(xn ), bármely n természetes szám esetén. Megmutatjuk, hogy (xn )n∈N Cauchy– sorozat. Valóban, ha m ≥ n természetes számok, akkor d(xn , xm ) = d(An (x0 ), Am (x0 )) ≤ q n d(x0 , xm−n ) ≤ ¡ ¢ ≤ q n d(x0 , x1 ) + d(x1 , x2 ) + · · · + d(xm−n−1 , xm−n ) ≤ ¡ ¢ ≤ q n d(x0 , x1 ) 1 + q + q 2 + · · · + q m−n−1 ≤ ≤ qn d(x0

, x1 ), 1−q amiből q n 0 miatt az állı́tás következik. A tér teljessége miatt az (xn )n∈N sorozat konvergál egy X-beli x elemhez. Mivel nyilván minden kontrakció folytonos, ı́gy az (A(xn ))n∈N sorozat is konvergál A(x)-hez. Viszont A(xn ) = xn+1 miatt ez utóbbi sorozat az (xn )n∈N sorozat részsorozata, ı́gy határértéke ugyancsak x, amiből A(x) = x adódik, tehát x az A kontrakció fixpontja. Az egyértelműség abból adódik, hogy ha y is fixpontja A-nak, akkor d(x, y) = d(A(x), A(y)) ≤ qd(x, y), ami q < 1 miatt csak d(x, y) = 0, azaz x = y esetén lehetséges. Legyen adott az [a, b] valós intervallum, s ezen az fm : [a, b] Rn (m = 0, 1, . ) függvénysorozat Akkor mondjuk, hogy ez a függvénysorozat egyenletesen korlátos, ha van olyan K valós szám, hogy ||fm (t)|| ≤ K 1.2 Segédeszközök a funkcionálanalı́zisből 5 teljesül minden [a, b]-beli t, és m = 0, 1, . esetén Akkor

mondjuk, hogy ez a sorozat egyenlő mértékben folytonos, ha minden ε > 0 esetén van olyan δ > 0, hogy ha t, s az [a, b] intervallum olyan pontjai, hogy |t − s| < δ, akkor ||fm (t) − fm (s)|| < ε teljesül m = 0, 1, . esetén 1.22 Tétel (Arzelà–Ascoli) Zárt intervallumon értelmezett, Rn -beli értékű függvények egyenletesen korlátos és egyenlő mértékben folytonos sorozatából kiválasztható egyenletesen konvergens részsorozat. Bizonyı́tás. Legyen adott az fm : [a, b] Rn (m = 0, 1, ) függvénysorozat, mely egyenletesen korlátos, és egyenlő mértékben folytonos. Jelölje (tk )k∈N az [a, b] intervallum racionális pontjainak sorozatát. Tekintsük az (fm (t1 ))m∈N sorozatot. Ez korlátos, ı́gy van konvergens részsorozata: (fmi (t1 ))i∈N . (1) Számozzuk újra a megfelelő függvényeket: fi = fmi (i = 0, 1, . ) Itt (1) mi ≥ i. Tehát az (fm )m∈N függvénysorozatnak a t1

pontban felvett értékei konvergens sorozatot alkotnak. Tekintsük most ennek a függvénysorozatnak a t2 pontban felvett értékeinek sorozatát. Ez korlátos, tehát van konvergens részsorozata Az előbbi meggondolást megismételve, kapunk egy újabb, (2) (fm )m∈N függvénysorozatot, mely az eredeti sorozatnak részsorozata, s melynél a t1 és t2 pontban felvett értékek sorozatai konvergensek. Ezt az eljárást foly(k) tatva, a k-adik lépésben kapjuk az (fm )m∈N függvénysorozatot, mely az eredeti sorozatnak részsorozata, s melynél léteznek a (k) lim fm (ti ) m∞ határértékek i = 1, 2, . , k − 1 esetén (m) Tekintsük most az (fm )m∈N függvénysorozatot. Ez a konstrukció következtében az eredeti függvénysorozatnak részsorozata Ez a függvénysorozat a tk (k ∈ N) pontok mindegyikében konvergens. Megmutatjuk, hogy egyenletesen (m) konvergens az [a, b] intervallumon. Legyen gm = fm , és ε > 0

tetszőleges Az egyenlő mértékű folytonosság alapján van olyan δ > 0, hogy ha t, s az [a, b] olyan pontjai, hogy |t − s| < δ, akkor ||gm (t) − gm (s)|| < 3ε teljesül m = 0, 1, . esetén. Válasszunk olyan p természetes számot, hogy az a, b, t1 , t2 , , tp pontok közül vett szomszédos pontpárok távolságai kisebbek legyenek, mint δ. Végül válasszuk meg N -t úgy, hogy fennálljon ||gm+k (ti ) − gm (ti )|| < ε , 3 ha m ≥ N , k ≥ 0, i = 1, 2, . , p Legyen most t az [a, b] tetszőleges pontja. A p szám választása folytán van olyan tr pont, hogy r ≤ p, és |t − tr | < δ. Ezért ||gm (t) − gm+k (t)|| ≤ ||gm (t) − gm (tr )|| + ||gm (tr ) − gm+k (tr )||+ 6 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK +||gm+k (tr ) − gm+k (t)|| < ε ε ε + + = ε, 3 3 3 s ebből a Cauchy–féle konvergencia-kritérium alapján következik a (gm )m∈N függvénysorozat - mely az eredeti

függvénysorozat részsorozata - egyenletes konvergenciája az [a, b] intervallumon. 1.3 Közelı́tő megoldások. Peano tétele Akkor mondjuk, hogy ϕ az (1), (2) Cauchy–feladat ε-megoldása J-n, ha J egy intervallum R-ben, ε > 0 szám, ϕ : J Rn folytonos függvény, melyre minden J-beli t esetén (t, ϕ(t)) az Ω-hoz tartozik, t0 a J-ben van, ϕ(t0 ) = x0 , továbbá ϕ a J véges sok pontja kivételével differenciálható, s ha egy J-beli t pontban ϕ differenciálható, akkor ||ϕ0 (t) − f (t, ϕ(t))|| < ε. 1.31 Segédtétel Legyenek ϕ : [a, b] : Rn , ψ : [a, b] R folytonos függvények, melyeknek az [a, b] intervallum minden pontjában létezik a jobboldali deriváltjuk. Ha minden [a, b]-beli t esetén teljesül 0 ||ϕ0+ (t)|| ≤ ψ+ (t), akkor fennáll ||ϕ(b) − ϕ(a)|| ≤ ψ(b) − ψ(a). Bizonyı́tás. Legyen ε > 0, és jelölje I mindazon [a, b]-beli y pontok halmazát, melyekre a ≤ x ≤ y esetén

fennáll ||ϕ(x) − ϕ(a)|| ≤ ψ(x) − ψ(a) + ε(x − a). Nyilván I zárt intervallum, mely tartalmazza a-t. Legyen c = sup I Tegyük 0 0 (c)u teljesül valamely (c), ezért ϕ0+ (c) = ψ+ fel, hogy c < b. Mivel ||ϕ0+ (c)|| ≤ ψ+ n R -beli u esetén, melynél ||u|| ≤ 1. Másrészt, a ϕ − ψ · u függvény jobboldali deriváltja c-ben 0, ı́gy létezik olyan y, melyre c < y ≤ b, és ha c ≤ x ≤ y, akkor ¡ ¢ ||ϕ(x) − ϕ(c) − ψ(x) − ψ(c) u|| ≤ ε(x − c) teljesül, amiből ||ϕ(x) − ϕ(c)|| ≤ ψ(x) − ψ(c) + ε(x − c) következik, ellentétben c definı́ciójával. Így c = b, s a lemmát bebizonyı́tottuk 1.3 Közelı́tő megoldások Peano tétele 7 1.32 Segédtétel Legyen I valós intervallum, H az Rn tér egy nyı́lt részhalmaza, f : I × H Rn folytonos függvény, um : I H (m = 0, 1, ) folytonos függvény. Ha az (um )m∈N függvénysorozat az I intervallum minden kompakt

részhalmazán egyenletesen konvergens, akkor a t 7 f (t, um (t)) (m = 0, 1, . ) függvények sorozata is egyenletesen konvergens az I minden kompakt részhalmazán. Bizonyı́tás. Legyen K az I kompakt részhalmaza, és u az (um )m∈N függvénysorozat határfüggvénye K-n Ekkor u folytonos, és u(K) a H kompakt részhalmaza. Ha ε > 0, és x az u(K) egy pontja, akkor létezik olyan δ(x) > 0 szám, hogy ha y a H halmaz eleme, és ||y − x|| < δ(x), akkor ||f (t, x) − f (t, y)|| < ε 2 teljesül minden K-beli t mellett. Ha x végigfut u(K)-n, akkor az 21 δ(x) sugarú, x körüli nyı́lt gömbök lefedik u(K)-t, s ı́gy ezek közül véges sok is lefedi. A megfelelő δ(xi ) számok legkisebbike legyen δ. Az egyenletes konvergencia miatt létezik olyan m0 természetes szám, hogy m ≥ m0 esetén ||um (t) − u(t)|| < 21 δ teljesül a K halmaz minden t pontjában. Másrészt, rögzı́tett K-beli t-hez van olyan xi

, hogy ||u(t) − xi || ≤ 21 δ(xi ) ≤ 21 δ, ı́gy bármely K-beli t esetén ||um (t) − xi || < δ teljesül valamely xi -re, ha m ≥ m0 . Ezért a K minden t pontjában ||f (t, um (t)) − f (t, u(t))|| ≤ ||f (t, um (t)) − f (t, xi )||+ +||f (t, u(t)) − f (t, xi )|| < ε ε + = ε, 2 2 amivel az állı́tást igazoltuk. 1.31 Tétel (Peano) Ha (1)-ben f folytonos, akkor az (1), (2) Cauchy–feladatnak létezik megoldása Bizonyı́tás. Először a következő állı́tást igazoljuk: ha (t0 , x0 ) az Ω tetszőleges eleme, f : Ω Rn folytonos, és ε > 0, továbbá J a t0 körüli kompakt intervallum, S pedig az x0 körüli, r > 0 sugarú zárt gömb, melyekre J × S az Ω részhalmaza, valamint M ≥ 1 az f egy korlátja a J ×S kompakt halmazon, akkor bármely J-beli, legfeljebb Mr+ε hosszúságú, t0 baloldali (jobboldali) végponttal rendelkező kompakt intervallumon létezik az (1), (2) Cauchy–feladatnak

olyan ε-megoldása, melynek értékkészlete S-beli. Mivel f egyenletesen folytonos J × S-en, ezért van olyan δ > 0, hogy δ < r, és ha t1 , t2 a J-nek, x1 , x2 pedig az S-nek elemei, valamint |t1 − t2 | < δ, ||x1 − x2 || < δ, akkor ||f (t1 , x1 ) − f (t2 , x2 )|| < ε. 8 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Legyen K a J-nek legfeljebb Mr+ε hosszúságú, t0 baloldali végpontú kompakt részintervalluma. Osszuk fel K-t a t0 < t1 < · · · < tN osztópontokkal h-nál r δ ,M ). Legyen t0 ≤ t ≤ t1 esetén rövidebb részintervallumokra, ahol h = min( M ϕε (t) = x0 + f (t0 , x0 )(t − t0 ), továbbá tk ≤ t ≤ tk+1 esetén ϕε (t) = ϕε (tk ) + f (tk , ϕε (tk ))(t − tk ) (k = 1, 2, . , N − 1) Ezen definı́ció jogosultságához megmutatjuk, hogy ϕε (tk ) az S-hez tartozik, ha k = 1, 2, . , N − 1 Valóban, k = 1-re ||ϕε (t1 ) − x0 || = ||f (t0 , x0 )||, |t1 − t0 | < M h ≤ r, s

ha ezt már j = 1, 2, . , k − 1-re igazoltuk, akkor ϕε (tk )-ra az állı́tás az 131 lemmából adódik. Ugyanis a [t0 , tk ] intervallum minden t pontja esetén nyilván ||ϕε 0+ (t)|| ≤ M teljesül, ı́gy ||ϕε (tk ) − x0 || = ||ϕε (tk ) − ϕε (t0 )|| ≤ M |tk − t0 | ≤ Mr < r. M +ε Ugyanı́gy igazolhatjuk, hogy minden K-beli t esetén ϕε (t) az S-hez tartozik. Nyilván ϕε folytonos K-n, és ϕε (t0 ) = x0 . Továbbá, ha tk < t < tk+1 , akkor ϕε differenciálható t-ben, és ϕ0ε (t) = f (tk , ϕε (tk )) (k = 0, 1, . , N − 1) Ezért |t − tk | < h ≤ δ és ||ϕε (t) − ϕε (tk )|| = ||f (tk , ϕε (tk ))|| |t − tk | < M h ≤ M δ =δ M miatt ||ϕε 0 (t) − f (t, ϕε (t))|| = ||f (tk , ϕε (tk )) − f (t, ϕε (t))|| < ε, azaz a ϕε függvény a K-n ε-megoldása az (1), (2) Cauchy–feladatnak. Nyilván hasonló meggondolással igazolhatjuk a t0 jobboldali végpontú intervallumra

vonatkozó állı́tást. Így bármely J-beli, legfeljebb M2r+ε hosszúságú, t0 középpontú kompakt intervallumon létezik az (1), (2) Cauchy–feladatnak olyan ε-megoldása, melynek értékkészlete S-beli. 2r -nél rövidebb, t0 köMost azt fogjuk megmutatni, hogy bármely J-beli, M zéppontú, K kompakt intervallumon létezik az (1), (2) Cauchy–feladatnak olyan megoldása, amelynek értékkészlete S-beli. Valóban, legyen K a J intervallum kompakt részintervalluma, melynek 2r . Ekkor létezik olyan m0 , hogy m ≥ m0 esetén q < M2r hossza q < M 1 , +m ı́gy az előzőkben igazolt állı́tás miatt az (1), (2) Cauchy–feladatnak létezik K-n 1.4 Egzisztencia és unicitás 9 1 -megoldása. Legyen ϕm ilyen, ekkor minden K-beli t, és m ≥ m0 értelmezett m esetén teljesül ||ϕm 0+ (t)|| ≤ M, ezért az 1.31 lemma alapján ||ϕm (t) − ϕm (s)|| ≤ M |t − s| is fennáll minden K-beli t, s, és m ≥ m0

esetén. Ha itt s = t0 , akkor a (ϕm )m∈N függvénysorozat egyenletes korlátossága következik, mı́g tetszőleges K-beli t, s esetén az, hogy ez a függvénysorozat egyenlő mértékben folytonos, ha m ≥ m0 . Az Arzelà–Ascoli–tétel alapján ebből a függvénysorozatból kiválasztható egy, a K-n egyenletesen konvergáló (ϕmk )k∈N részsorozat. Ha ennek határfüggvényét ϕ jelöli, akkor ϕ nyilván folytonos. Másrészt, az 132 lemma alapján a t 7 f (t, ϕmk (t)) függvénysorozat a K-n egyenletesen konvergál a t 7 f (t, ϕ(t)) függvényhez. Alkalmazzuk az 131 lemmát: mivel a K minden t elemére ||ϕmk 0+ (t) − f (t, ϕmk (t))|| < ezért Z ||ϕmk (t) − x0 − t t0 f (τ, ϕmk (τ ))dτ || ≤ 1 , mk 2r |t − t0 | ≤ mk M mk következik. Ha k ∞, akkor ebből adódik Z t ϕ(t) = x0 + f (τ, ϕ(τ ))dτ, t0 2r hosszúságú hacsak t a K eleme. Tehát tetszőleges t0 középpontú,

legfeljebb M J-beli I nyı́lt intervallumon kapunk olyan ϕ : I S folytonos függvényt, melyre az I minden t pontjában fennáll Z t ϕ(t) = x0 + f (τ, ϕ(τ ))dτ. t0 Ebből látható, hogy ϕ differenciálható I-n, és megoldása az (1), (2) Cauchy–feladatnak. 1.4 Egzisztencia és unicitás Legyen Ω az R × Rn tér egy részhalmaza, f : Ω Rn pedig egy függvény. Akkor mondjuk, hogy f lokális Lipschitz–feltételt teljesı́t, ha bármely Ω-beli (t0 , x0 ) pontnak van olyan U környezete, és olyan k nem negatı́v szám, hogy ha (t, x1 ) és (t, x2 ) az Ω halmaz U -beli pontjai, akkor ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ k||x1 − x2 ||. 10 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Ha ez az egyenlőtlenség bármely Ω-beli (t, x1 ), (t, x2 ) esetén fennáll, akkor azt mondjuk, hogy f Lipschitz–feltételt teljesı́t a k Lipschitz–állandóval. Például, ha f folytonos, és második változója szerint

parciálisan differenciálható, továbbá ∂2 f a k korláttal korlátos, akkor a középérték-tétel alapján f Lipschitz–feltételt teljesı́t a k Lipschitz–állandóval. Ha f és ∂2 f folytonos, akkor f lokális Lipschitz–feltételt teljesı́t. Ha Ω0 az Ω nem üres részhalmaza, és f -nek Ω0 ra való szűkı́tése (lokális) Lipschitz–feltételt teljesı́t, akkor azt mondjuk, hogy f (lokális) Lipschitz–feltételt teljesı́t az Ω0 -on. Könnyű látni, hogy ha f lokális Lipschitz–feltételt teljesı́t, akkor Lipschitz–feltételt teljesı́t az Ω bármely olyan Ω0 részhalmazán, melynek Ω0 lezártja az Ω kompakt részhalmaza. Valóban, az Ω0 bármely (t, x) eleme esetén legyen U (t, x) a (t, x) olyan környezete, melynek Ω-ba eső részén f Lipschitz–feltételt teljesı́t a k(t, x) Lipschitz–állandóval. Ha (t, x) befutja Ω0 -t, akkor az U (t, x) környezetek lefedik Ω0 -t,

s a kompaktság miatt közülük véges sok is lefedi. A megfelelő k(t, x) számok maximuma legyen k; ekkor nyilvánvaló, hogy f Lipschitz–feltételt teljesı́t Ω0 -on a k Lipschitz– állandóval. Akkor mondjuk, hogy f Lipschitz–feltételt teljesı́t a k Lipschitz–függvénnyel, ha van olyan I valós, nyı́lt intervallum, melyre minden Ω-beli (t, x) esetén t az I-hez tartozik, k : I R folytonos függvény, továbbá az Ω minden (t, x1 ), (t, x2 ) pontja esetén fennáll ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ k(t)||x1 − x2 ||. Nyilvánvaló, hogy ha f Lipschitz–feltételt teljesı́t valamely Lipschitz–függvénnyel, akkor lokális Lipschitz–feltételt teljesı́t. 1.41 Tétel (Cauchy–Picard–Lindelöf ) Ha (1)-ben f folytonos, és lokális Lipschitz–feltételt teljesı́t, akkor az (1), (2) Cauchy–feladatnak létezik megoldása, és értelmezési tartományaik közös részén bármely két megoldás

megegyezik. Bizonyı́tás. Legyen (t0 , x0 ) az Ω tetszőleges eleme, és q > 0, a > 0 esetén Jq =]t0 − q, t0 + q[, Ba = {x : ||x − x0 || < a}, továbbá tegyük fel, hogy J q × B a az Ω részhalmaza. Legyen ||f (t, x)|| ≤ M , hacsak t a Jq -ból, x pedig a Ba -ból való, továbbá jelölje L az f Lipschitz– állandóját a J q × B a halmazon. Ha 0 < r < q, akkor jelölje Fr az összes y : [t0 − r, t0 + r] Ba folytonos függvények terét. A ρ(y, z) = sup |y(t) − z(t)| |t−t0 |≤r módon értelmezett ρ metrikával Fr teljes metrikus tér. Megmutatjuk, hogy r megválasztható úgy, hogy a következő két feltétel teljesüljön: (i) Ha ϕ az Fr eleme, akkor a J r -beli t-re Z t f (τ, ϕ(τ ))dτ Aϕ(t) = x0 + t) módon értelmezett Aϕ is Fr -beli. 1.4 Egzisztencia és unicitás 11 (ii) Létezik olyan 0 < α < 1, hogy ha ϕ, ψ az Fr elemei, akkor ρ(Aϕ, Aψ) ≤ αρ(ϕ, ψ) teljesül.

Ez a két tulajdonság együttesen azt jelenti, hogy A : Fr Fr kontrakció. Az első feltétel teljesüléséhez szükséges és elegendő, hogy a J r minden t eleme esetén ||Aϕ(t) − x0 || ≤ a teljesüljön, azaz Z t f (τ, ϕ(τ ))dτ || ≤ M |t − t0 | ≤ M r ||Aϕ(t) − x0 || = || t0 a fennállása. miatt elegendő r ≤ M A második feltétel érvényességéhez elegendő, hogy a J r minden t eleme esetén Z t ¡ ¢ ||Aϕ(t) − Aψ(t)|| = || f (τ, ϕ(τ )) − f (τ, ψ(τ )) dτ || ≤ αρ(ϕ, ψ) t0 teljesüljön, azaz Z t ||Aϕ(t) − Aψ(t)|| = || ¡ ¢ f (τ, ϕ(τ )) − f (τ, ψ(τ )) dτ || ≤ t0 Z t ≤L ||ϕ(τ ) − ψ(τ )||dτ ≤ L|t − t0 |ρ(ϕ, ψ) ≤ Lrρ(ϕ, ψ) t0 miatt elegendő r < L1 fennállása. Válasszuk úgy az r > 0 számot, hogy ez a két feltétel teljesüljön; ekkor A : Fr Fr kontrakció, ı́gy a Banach–féle fixpont-tétel alapján létezik Fr -ben olyan ϕ

függvény, hogy Aϕ = ϕ, azaz Z t ϕ(t) = x0 + f (τ, ϕ(τ ))dτ t0 teljesül, hacsak |t − t0 | ≤ r. Ebből látható, hogy ϕ az (1), (2) Cauchy–feladat megoldása Jr -en. Az egyértelműség bizonyı́tásához tegyük fel, hogy ϕ, ψ egyaránt megoldásai az (1), (2) Cauchy–feladatnak valamely I intervallumon, ahol t0 az I egy pontja. Először azt mutatjuk meg, hogy ha ϕ és ψ egybeesnek valamely I-beli t1 pontban, akkor egybeesnek a t1 valamely környezetében. Legyen x1 = ϕ(t1 ) = ψ(t1 ); ekkor tekintsük a (t0 , x0 ) pont helyett a (t1 , x1 ) pontot, s tartsuk meg korábbi jelöléseinket. A fenti A leképezés segı́tségével ϕ = Aϕ, ψ = Aψ Az r számra a az r ≤ q, r ≤ M és r < L1 feltételek mellett ı́rjuk még elő, hogy J r az Inek részhalmaza legyen, valamint |t − t1 | ≤ r esetén ||ϕ(t) − x1 || ≤ a, és 12 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ||ψ(t) − x0 || ≤ a

teljesüljön. Ez a ϕ és ψ folytonossága miatt megtehető Ekkor ϕ és ψ az Fr -hez tartozik, és ρ(ϕ, ψ) = ρ(Aϕ, Aψ) ≤ αρ(ϕ, ψ), amiből α < 1 miatt ρ(ϕ, ψ) = 0, ı́gy ϕ(t) = ψ(t) következik |t − t1 | ≤ r esetén. Tegyük most fel, hogy létezik az I-nek olyan s eleme, hogy ϕ(s) 6= ψ(s), és például s > t0 . Jelölje N mindazon [t0 , s]-beli pontok halmazát, melyekben ϕ egybeesik ψ-vel. Nyilván t0 az N -hez tartozik, továbbá N zárt halmaz Ha t1 = sup N , akkor tehát t1 < s, de ϕ(t1 ) = ψ(t1 ) miatt ϕ és ψ egybeesik a t1 valamely környezetében, ami ellentmond t1 definı́ciójának. Ezzel a tételt bebizonyı́tottuk. Akkor mondjuk, hogy az (1), (2) Cauchy–feladat megoldása lokálisan egyértelmű, ha bármely két megoldása értelmezési tartományaik közös részén megegyezik. Az előbbi tétel feltételei mellett tehát az (1), (2) Cauchy–feladat megoldása lokálisan

egyértelmű. A Banach–féle fixpont–tétel bizonyı́tása alapján a tétel feltételei mellett az (1), (2) Cauchy–feladat megoldása a Z t ϕn (t) = x0 + f (τ, ϕn−1 (τ ))dτ (n = 1, 2, . ) t0 ϕ0 (t) = x0 rekurzı́v módon értelmezett, J r -en egyenletesen konvergens függvénysorozat határértéke. Ezt az adott Cauchy–feladathoz tartozó Picard–sorozatnak nevezzük A Picard–sorozat lehetőséget nyújt a megoldás közelı́tő meghatározására. Ez a szukcesszı́v approximáció módszere. 1.42 Tétel Ha (1) lineáris az I-n, akkor az (1), (2) Cauchy–feladatnak egyértelműen létezik I-n megoldása. Bizonyı́tás. Elegendő megmutatni, hogy a Cauchy–feladathoz tartozó Picard–sorozat az I tetszőleges kompakt részintervallumán egyenletesen konvergens Mindenekelőtt jegyezzük meg, hogy f Lipschitz–feltételt teljesı́t a t 7 ||A(t)|| Lipschitz–függvénnyel, ı́gy lokális

Lipschitz–feltételt teljesı́t, ezért a Cauchy– Picard–Lindelöf–tétel alkalmazható. Legyen [r1 , r2 ] az I kompakt részintervalluma, melynél r1 ≤ t0 ≤ r2 , továbbá ||A(t)|| ≤ L, ha r1 ≤ t ≤ r2 Jelölje (ϕm )m∈N a megfelelő Picard–sorozatot. Ha C a ϕ1 − ϕ0 folytonos függvény korlátja az [r1 , r2 ] intervallumon, és r1 ≤ t ≤ r2 , akkor Z ¯ t ¯ ||ϕ2 (t) − ϕ1 (t)|| ≤ ¯ ||f (τ, ϕ1 (τ )) − f (τ, ϕ0 (τ ))||dτ ¯ ≤ t0 ≤ LC|t − t0 |. Hasonlóan, ||ϕm+1 (t) − ϕm (t)|| ≤ Lm C |t − t0 |m . m! 1.4 Egzisztencia és unicitás 13 Ebből adódik, hogy r1 ≤ t ≤ r2 esetén [L(r2 − r1 )]m . m! P P −r1 )]m sor konvergens, ezért a ϕ0 + (ϕm+1 −ϕm ) függvénysor Mivel a C [L(r2m! az [r1 , r2 ] intervallumon egyenletesen konvergens. Ennek m-edik részletösszege viszont éppen ϕm+1 , s ezzel a tételt bebizonyı́tottuk. ||ϕm+1 (t) − ϕm (t)|| ≤ C 1.43 Tétel Ha (1)-ben f

folytonos és lokális Lipschitz–feltételt teljesı́t, akkor az (1), (2) Cauchy–feladatnak egyértelműen létezik teljes megoldása, és bármely megoldás folytatható teljes megoldássá. Bizonyı́tás. Jelölje Φ az (1), (2) Cauchy–feladat összes megoldásainak halmazát, I pedig ezek értelmezési tartományainak egyesı́tését. Nyilván I valós intervallum, mely belsejében tartalmazza a t0 pontot Értelmezzük a ϕ : I Rn függvényt a következő módon: ha t az I egy pontja, akkor van olyan Φ-beli ψ, mely értelmezve van t-ben. Legyen ekkor ϕ(t) = ψ(t) Az 141 tétel alapján, ha egy másik megoldás is értelmezve van t-ben, akkor az ott egybeesik ψ-vel, ı́gy ez a definı́ció egyértelműen értelmezi ϕ-t, melyről nyilvánvaló, hogy az (1), (2) Cauchy–feladat teljes megoldása, és bármely megoldás folytatása. Az 1.42 tétel alapján a lineáris esetben a teljes megoldás az I intervallumon

van értelmezve. Akkor mondjuk, hogy az (1), (2) Cauchy–feladat valamely I-n értelmezett ϕ megoldása Ω-ban határtól határig halad, ha az Ω bármely K kompakt részhalmaza esetén van az I-nek olyan J zárt részintervalluma, hogy ha t az I-nek J-hez nem tartozó eleme, akkor a (t, ϕ(t)) pont nem tartozik K-hoz. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a megoldásgörbe az értelmezési tartomány tetszőleges kompakt részhalmazából kilép. 1.44 Tétel Ha (1)-ben f folytonos és lokális Lipschitz–feltételt teljesı́t, akkor az (1), (2) Cauchy–feladat teljes megoldása Ω-ban határtól határig halad. Bizonyı́tás. Legyen K az Ω kompakt részhalmaza, ϕ pedig az (1), (2) Cauchy– feladat teljes megoldása, melynek értelmezési tartománya I. Legyen m1 = inf I, m2 = sup I. Megmutatjuk, hogy van olyan r1 és r2 , hogy m1 < r1 < r2 < m2 , és ha m1 < t < r1 , vagy r2 < t < m2 , akkor a (t, ϕ(t)) pont nem

tartozik K-hoz. Csak az r2 létezését igazoljuk. Ha m2 = +∞, akkor az állı́tás a K kompaktsága miatt nyilvánvaló. Legyen m2 < +∞, és ρ = dist (K, Rn Ω). Mivel K kompakt és Rn Ω zárt, ezért ρ > 0. Legyen K ∗ a K-tól legfeljebb 1 ∗ 2 ρ távolságra levő pontok halmaza. Nyilván K az Ω kompakt részhalmaza ∗ Bármely K -beli (t, x) esetén legyen U (t, x) a (t, x) pont olyan Ω-beli környezete, 14 1 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK melyen f Lipschitz–feltételt teljesı́t a k(t, x) Lipschitz–állandóval. Ha (t, x) befutja K ∗ -ot, akkor az U (t, x) környezetek lefedik K ∗ -ot, ı́gy ezek közül már véges sok is lefedi. Jelölje L a megfelelő Lipschitz–állandók maximumát, M pedig az f egy korlátját K ∗ -on. Legyenek továbbá q, a > 0 olyan számok, hogy 2 q 2 + a2 < ρ4 . Feltehetjük, hogy (t0 , x0 ) a K-hoz tartozik Ekkor |t − t0 | ≤ q, ||x − x0 || ≤ a

esetén (t, x) a K ∗ -hoz tartozik, s ha az r > 0 szám kielégı́ti a , r < L1 , és r < m2 feltételeket, akkor ϕ az 1.41 tételben szerepelt r ≤ M értelmezve van a ]t0 − r, t0 + r[ intervallumon. Legyen r2 = m2 − r Tegyük fel indirekt, hogy valamely t1 > m2 − r esetén (t1 , ϕ(t1 )) a K-hoz tartozik. Ekkor az (1)-re vonatkozó, x(t1 ) = ϕ(t1 ) kezdeti feltétellel felı́rt Cauchy–feladat teljes megoldása ugyancsak ϕ, mely a fentiek szerint értelmezve van a ]t1 − r, t1 + r[ intervallumon, ı́gy m2 -nél nagyobb értékekre is, ami ellentmondás. Hasonlóan igazolhatjuk az r1 szám létezését. 15 2 2.1 LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Lineáris differenciálegyenletek integráljai A lineáris differenciálegyenletek soron következő vizsgálata során célszerű lesz komplex értékű megoldásokkal is foglalkozni. Ekkor természetesen megengedhető, hogy a (3) jobboldalán fellépő A és b

függvények is komplex értékűek legyenek, tehát A : I M (Cn ) és b : I Cn folytonos függvények. Ilyenkor a ϕ : I Cn differenciálható függvény értelemszerűen pontosan akkor megoldása (3)-nak, ha az x = ϕ-nek (3)-ba való behelyettesı́tésével az egyenlet két oldalának valós és képzetes részei egyenlők. Ekkor természetesen a (3) egyenletre vonatkozó (2) kezdeti feltételben x0 a Cn tetszőleges eleme lehet Könnyű látni, hogy a fentiekben bizonyı́tott tételek lineáris differenciálegyenletekre vonatkozóan ekkor is érvényben maradnak. Ezt a következőkben fel fogjuk használni, és K az R vagy C bármelyikét jelölheti. Legyenek tehát (3)-ban A : I M (Kn ) és b : I Kn folytonos függvények. A (3) lineáris differenciálegyenlet bármely teljes megoldását - mely az 1.42 tétel szerint a teljes I intervallumon van értelmezve - a (3) egyenlet integráljának nevezzük. A (3)

egyenletet homogénnek nevezzük, ha b = 0, ellenkező esetben inhomogénnek. Az x0 = A(t)x (4) egyenletet a (3)-hoz tartozó homogén egyenletnek nevezzük. Bármely Kn -beli x és I-beli t esetén jelölje ϕt,x a (4) egyenlet ϕt,x (t) = x kezdeti feltételnek eleget tevő integrálját. Ekkor ϕt,x az I intervallumon van értelmezve, és az (s, t, x) 7 ϕt,x (s) függvény folytonos I × I × Kn -en. Bármely I-beli s, t és Kn -beli x esetén legyen Φ(s, t, x) = ϕt,x (s). A Φ : I × I × Kn Kn függvényt a (4) egyenlet karakterisztikus függvényének nevezzük. Bármely I-beli s, t és Kn -beli x esetén legyen R(s, t)(x) = Φ(s, t, x). Az R : I × I Kn függvényt a (4) rezolvensének nevezzük. 2.11 Tétel Ha R a (4) egyenlet rezolvense, akkor bármely I-beli s, t esetén R(s, t) a Kn lineáris tér automorfizmusa, továbbá bármely I-beli s, t, u esetén fennáll R(s, t) · R(t, u) = R(s, u). Bizonyı́tás. Az R(s, t)

linearitása abból adódik, hogy rögzı́tett Kn -beli x, y és K-beli λ, µ esetén az s 7 Φ(s, t, λx + µy) és s 7 λΦ(s, t, x) + µΦ(s, t, y) 16 2 LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK függvények egyaránt megoldásai (4)-nek a (t, λx + µy) kezdeti feltétel mellett, ı́gy az egyértelműség miatt egyenlők. Rögzı́tett Kn -beli x és I-beli t, u mellett az s 7 Φ(s, u, x) és s 7 Φ(s, t, Φ(t, u, x)) függvények egyaránt megoldásai (4)-nek I-n a (t, Φ(t, u, x)) kezdeti feltétel mellett, ı́gy az egyértelműség miatt egyenlők, amiből a rezolvensre vonatkozó azonosság következik, valamint az is, hogy R(s, s) = E, az identikus leképezés. Ezért R(s, t) kölcsönösen egyértelmű, tehát Kn automorfizmusa. 2.12 Tétel A (4) összes integráljai K felett n-dimenziós lineáris teret alkotnak Bizonyı́tás. Az integrálok I terének linearitása nyilvánvaló Legyen t0 az I egy pontja;

megmutatjuk, hogy a Ψ : x 7 R(t, t0 )(x) leképezés izomorf módon képezi Kn -t I-re. A linearitás nyilvánvaló, s a d d R(t, t0 )(x) = Φ(t, t0 , x) = A(t)Φ(t, t0 , x) = A(t)R(t, t0 )(x) dt dt azonosság alapján Ψ képtere I-ben van. Ha Ψ(x) = 0, akkor bármely I-beli t esetén R(t, t0 )(x) = 0, speciálisan t = t0 -ra x = R(t0 , t0 )(x) = 0, tehát Ψ izomorfizmus. Végül, ha ϕ a (4) tetszőleges integrálja, akkor az egyértelműség miatt ϕ(t) = R(t, t0 )(ϕ(t0 )) teljesül minden I-beli t-re, tehát Ψ szurjektı́v. A következő tétel elemi számolással igazolható. 2.13 Tétel A (4), (2) Cauchy–feladat teljes megoldása ϕ(t) = R(t, t0 )(x0 ), s a (3), (2) Cauchy–feladat teljes megoldása Z t ϕ(t) = R(t, t0 )(x0 ) + R(t, s)(b(s))ds, t0 minden I-beli t-re. 2.1 Lineáris differenciálegyenletek integráljai 17 A (3) egyenlethez tartozó homogén egyenlet integráljai terének tetszőleges bázisát a (3)

alaprendszerének nevezzük. A (4) tetszőleges ϕ1 , ϕ2 , , ϕn integráljai esetén a belőlük, mint oszlopvektorokból képzett U mátrix determinánsát a ϕ1 , ϕ2 , , ϕn integrálok Wronski–determinánsának nevezzük Könnyen látható, hogy minden I-beli t0 , t esetén fennáll U (t) = U (t0 )R(t, t0 ), hiszen mindkét oldali mátrix oszlopvektorai ugyanazon kezdeti feltétel mellett teljes megoldásai (4)-nek. Így a determinánsok szorzástétele alapján det U (t) = det U (t0 ) det R(t, t0 ) következik. Mivel det R(t, t0 ) 6= 0, ı́gy a (4) integráljai pontosan akkor alkotnak alaprendszert, ha Wronski–determinánsuk valamely pontban zérustól különböző. Nyilvánvaló, hogy például rögzı́tett I-beli t0 esetén az R(t, t0 ) rezolvens oszlopvektorai alaprendszerét alkotják (4)-nek 2.14 Tétel Legyen R a (4) rezolvense Ekkor Z t det R(t, t0 ) = exp Tr A(s)ds t0 teljesül minden I-beli t esetén.

Bizonyı́tás. A determinánsok differenciálási szabálya alapján azonnal adódik, hogy a t 7 det R(t, t0 ) függvény az I-n megoldása az x0 = Tr A(t)x x(t0 ) = 1 Rt Cauchy–feladatnak, s ugyanez áll a t 7 exp t0 Tr A(s)ds függvényre is. A (3) egyenlet összes integráljainak meghatározása egy ϕ1 , ϕ2 , . , ϕn alaprendszer ismeretében a következőképpen történhet. Jelölje U a ϕ1 , ϕ2 , , ϕn függvényekből, mint oszlopvektorokból képzett mátrixot, s keressük a (3) egy ϕp integrálját ϕp (t) = U (t)c(t) alakban, ahol c : I Kn ismeretlen, differenciálható függvény. Mivel ϕ0p (t) = U 0 (t)c(t) + U (t)c0 (t) = A(t)U (t)c(t) + U (t)c0 (t), ezért ϕp pontosan akkor megoldása (3)-nak, ha U (t)c0 (t) = b(t) teljesül minden I-beli t-re, amiből Z t c(t) = t0 U (s)−1 b(s)ds 18 2 LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK adódik valamely I-beli t0 mellett. Ezután nyilvánvaló, hogy a (3) bármely

ϕ integrálja esetén ϕ − ϕp a (4) integrálja, tehát ϕ = ϕp + c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + · · · + cn ϕn teljesül alkalmas K-beli c1 , c2 , . , cn skalárokkal Ez az eljárás az úgynevezett állandók variálásának módszere. 2.2 Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek Ha (4)-ben t 7 A(t) állandó, akkor (4)-et állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Ekkor (4) a következő alakot ölti: x0 = Ax, (5) ahol A a Kn lineáris tér lineáris leképezése. Nyilvánvaló, hogy az (5) bármely teljes megoldása R-en van értelmezve. 2.21 Tétel A (5) egyenlet R rezolvensére fennáll R(t, s) = exp A(t − s) bármely R-beli s, t esetén. Bizonyı́tás. Az állı́tás nyilvánvaló, ha figyelembe vesszük, hogy rögzı́tett valós s mellett a t 7 exp A(t − s) és t 7 R(t, s) függvények oszlopvektorai ugyanannak a Cauchy–feladatnak teljes megoldásai. 2.22 Tétel

Legyen K = C A (5) differenciálegyenlet tetszőleges ϕ komplex integrálja q X eλk t Pk (t) ϕ(t) = k=1 alakú, ahol λ1 , λ2 , . , λq az A mátrix összes különböző sajátértékei rendre n1 , n2 , . , nq multiplicitással, továbbá Pk legfeljebb nk − 1-edfokú, Cn -beli együtthatós polinom. Bizonyı́tás. Az A mátrix λk sajátértékének megfelelő Xk sajátaltér a Kn tér mindazon x vektoraiból áll, melyekre (A − λk E)nk (x) = 0, továbbá Cn az X1 , X2 , . , Xq sajátalterek direkt összege Ha ϕ a (5) tetszőleges komplex integrálja, akkor legyen ϕ(0) = x1 + x2 + · · · + xq , 2.2 Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek 19 ahol xk az Xk eleme (k = 1, 2, . , q) Ezért bármely valós t esetén ϕ(t) = R(t, 0)(ϕ(0)) = exp At(ϕ(0)) = exp At q ¡X ¢ xk = k=1 = q X exp At(xk ) = k=1 q X eλk t exp[(A − λk E)t](xk ). k=1 Viszont xk az Xk eleme, ı́gy exp(A −

λk E)t(xk ) = nX k −1 j j=1 t (A − λk E)j (xk ) = Pk (t), j! ahol Pk legfeljebb nk − 1-edfokú, Cn -beli együtthatós polinom. Ezzel a tételt igazoltuk. Megjegyezzük, hogy a tételben szereplő ϕ exponenciális polinom természetesen nem lesz tetszőleges Pk polinom esetén megoldása (5)-nak. Gyakorlatilag a lehetséges Pk polinomok meghatározása a határozatlan együtthatók módszerével történhet, azaz, a λk sajátérték meghatározása után valamely, legfeljebb nk − 1edfokú, ismeretlen együtthatós Pk polinommal behelyettesı́tjük az egyenletbe a t 7 eλk t Pk (t) függvényt. Így a Pk polinom együtthatóira egy lineáris egyenletrendszert kapunk, melyből az együtthatókat a szabad tag függvényében fejezhetjük ki, s a szabad tag az (A − λk E)(x) = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. Abban az esetben, amikor A valós elemű, akkor (5) egy valós alaprendszerét hasonló,

valamivel bonyolultabb módon határozhatjuk meg. 20 3 3 MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3.1 Az átviteli elv Legyen D az R × K × K × · · · × K tér nem üres, nyı́lt részhalmaza, ahol a K összesen n példányban szerepel. Legyen továbbá f : D K egy függvény A x(n) = f (t, x, x0 , . , x(n−1) ) (6) egyenletet közönséges n-edrendű explicit differenciálegyenletnek nevezzük D-n, illetve, a továbbiakban röviden n-edrendű differenciálegyenletnek. A D-t, illetve az f -et a (6) értelmezési tartományának, illetve jobboldalának nevezzük. Akkor mondjuk, hogy a ϕ : I K függvény a (6) megoldása az I-n, ha I nem üres intervallum R-ben, a ϕ függvény n-szer differenciálható, a (t, ϕ(t), ϕ0 (t), . , ϕ(n−1) (t)) pont bármely I-beli t esetén D-hez tartozik, s fennáll ϕ(n) (t) = f (t, ϕ(t), ϕ0 (t), . , ϕ(n−1) (t)) Ha (t0 , x0 , x1 , . ,

xn−1 ) a D tetszőleges pontja, akkor a x(i) (t0 ) = xi , (i = 0, 1, . , n − 1) (7) egyenletrendszert a (7)-ra vonatkozó kezdeti feltételnek nevezzük, a (6), (7) egyenletrendszert pedig Cauchy–feladatnak, vagy kezdetiérték-feladatnak. Akkor mondjuk, hogy ϕ a (6), (7) Cauchy–feladat megoldása az I-n, ha ϕ a (6) megoldása I-n, I tartalmazza t0 -t, és ϕ(i) (t0 ) = xi teljesül i = 0, 1, . , n − 1 esetén. Akkor mondjuk, hogy a (6), (7) Cauchy–feladat lokálisan egyértelműen oldható meg, ha a t0 valamely környezetében pontosan egy megoldása létezik. A (6) n-edrendű differenciálegyenlet, illetve a (6), (7) Cauchy–feladat valamely megoldását teljes megoldásnak nevezzük, ha nincs olyan valódi kiterjesztése, amely ugyancsak megoldás. Ha a (6)-ben D = I × K × K · · · × K, ahol I nem üres intervallum R-ben, továbbá az f : D K függvény folytonos, és második, harmadik, stb., n+1-edik változójában

lineáris, akkor (6)-et n-edrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük I-n. Az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet általános alakja tehát x(n) + a1 (t)x(n−1) + · · · + an (t)x = a0 (t), (8) ahol ai : I K folytonos függvény (i = 0, 1, . , n) Legyen ϕ : I K n-szer differenciálható függvény, és minden I-beli t esetén legyen ϕ̃(t) = (ϕ(t), ϕ0 (t), . , ϕ(n−1) (t)), 3.2 Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek 21 valamint minden D-beli (t, y0 , y1 , . , yn−1 ) mellett az y = (y0 , y1 , , yn−1 ) jelöléssel f˜(t, y) = (y1 , y2 , . , yn−1 , f (t, y0 , y1 , , yn−1 )) Könnyű látni, hogy ϕ pontosan akkor megoldása I-n (6)-nek, ha ϕ̃ megoldása I-n az x0 = f˜(t, x) elsőrendű differenciálegyenletnek. Továbbá, z0 = (x0 , x1 , , xn−1 ) jelöléssel ϕ pontosan akkor megoldása I-n a (6), (7) Cauchy–feladatnak, ha ϕ̃ megoldása I-n az x0 = x(t0 ) = f˜(t, x) z0

Cauchy–feladatnak. Ez az úgynevezett átviteli elv, mely lehetővé teszi, hogy az előző fejezetben bizonyı́tott eredményeket n-edrendű differenciálegyenletekre vigyük át. A következő tételek az átviteli elv következményei 3.11 Tétel Ha (6)-ben f folytonos, akkor a (6), (7) Cauchy–feladatnak létezik megoldása. 3.12 Tétel Ha (6)-ben f, ∂2 f, , ∂n+1 f folytonos, akkor a (6), (7) Cauchy– feladatnak lokálisan egyértelműen létezik megoldása és egyértelműen létezik teljes megoldása. 3.13 Tétel Ha (6) lineáris az I-n, akkor a (6), (7) Cauchy–feladatnak I-n egyértelműen létezik megoldása. 3.2 Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek A (8) lineáris differenciálegyenlet bármely teljes megoldását a korábbiak mintájára a (8) integráljának nevezzük. A x(n) + a1 (t)x(n−1) + · · · + an (t)x = 0 (9) egyenletet a (8)-hez tartozó homogén egyenletnek nevezzük. 3.21

Tétel A (9) egyenlet összes integráljai K felett n-dimenziós lineáris teret alkotnak. Bizonyı́tás. Az állı́tás az átviteli elv alapján a 212 tétel következménye, ha figyelembe vesszük, hogy a (9) egyenlet ϕ1 , ϕ2 , . , ϕk integráljai pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a nekik megfelelő ϕ˜1 , ϕ˜2 , . , ϕ˜k integrálok lineárisan függetlenek. 22 3 MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK A (9) integráljai terének tetszőleges bázisát a (8) egy alaprendszerének nevezzük. A (9) tetszőleges ϕ1 , ϕ2 , , ϕn integráljai esetén a ¯ ¯ ¯ ϕ1 ϕ2 . ϕn ¯¯ ¯ ¯ ϕ0 ϕ0 . ϕ0 ¯ W (t) = ¯¯. 1 2 n ¯¯ ¯ (n−1) ¯ (n−1) (n−1 ¯ϕ ϕ2 . ϕn ¯ 1 determinánst a ϕ1 , ϕ2 , . , ϕn függvények Wronski–determinánsának nevezzük Ez nyilván megegyezik a ϕ˜1 , ϕ˜2 , . , ϕ˜k függvények Wronski–determinánsával a 2.1 szakasz értelmében Így a ϕ1

, ϕ2 , , ϕn integrálok pontosan akkor alkotják alaprendszerét (9)-nek, ha Wronski–determinánsuk valamely pontban nullától különböző. A 214 Liouville–tétel megfelelője is következik az átviteli elvből 3.22 Tétel A (9) egyenlet tetszőleges integráljainak W Wronski–determinánsára fennáll Z t W (t) = W (t0 ) exp (−a1 (s))ds t0 bármely I-beli t0 , t esetén. A (8) egyenlet összes integrálját ugyancsak a 2.1 szakaszban leı́rtakhoz hasonlóan, az állandók variálásának módszerével határozhatjuk meg, ha ismert a (8) egy ϕ1 , ϕ2 , . , ϕn alaprendszere A (8) egy ϕp megoldását ϕp (t) = n X ck (t)ϕk (t) k=1 alakban keressük, ahol feltételezzük, hogy az ismeretlen ck : I K (k = 1, 2, . , n) függvényekre fennállnak a n X (i) c0k (t)ϕk (t) = 0, c0k (t)ϕ(n−1) (t) = 0 (i = 1, 2, . , n − 2) k=1 n X k=1 egyenletek minden I-beli t esetén. Ez az egyenletrendszer a c01 (t), c02

(t), , c0n (t) ismeretlenekre egyértelműen megoldható, hiszen determinánsa a ϕ1 , ϕ2 , . , ϕn függvények Wronski–determinánsa. Könnyű látni, hogy ekkor ϕp integrálja (8)nak Mivel (8) bármely két integráljának különbsége integrálja (9)-nek, ı́gy a (8) tetszőleges ϕ integrálja ϕ = ϕp + c1 ϕ1 + c2 ϕ2 + · · · + cn ϕn alakú, alkalmas c1 , c2 , . , cn K-beli skalárokkal 3.3 Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek 3.3 23 Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek Ha (9)-ben a1 , a2 , . , an állandók, akkor (9)-t állandó együtthatós differenciálegyenletnek nevezzük Ennek általános alakja tehát x(n) + a1 x(n−1) + · · · + an x = 0, (10) ahol az ai -k K-beli konstansok (i = 1, 2, . , n) A P (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an polinomot a (10) karakterisztikus polinomjának nevezzük. A későbbiekben kényelmes lesz a Dx = x0

jelölés használata, melynek segı́tségével (10) P (D)x = 0 alakban is felı́rható. 3.31 Tétel A (10) egyenlet egy komplex alaprendszere ϕk,j (t) = tj eλk t , (k = 1, 2, . , q; j = 0, 1, nk − 1) alakú, ahol λ1 , λ2 , . , λq a (10) karakterisztikus polinomjának összes különböző komplex gyökei, rendre n1 , n2 , . , nq multiplicitásokkal Bizonyı́tás. Mivel a ϕk,j függvények száma n, elegendő megmutatni, hogy a (10) bármely komplex integrálja ezen függvények lineáris kombinációja. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ha P = Q·R, ahol Q, R relatı́v prı́m polinomok, akkor a P (D)x = 0 egyenlet bármely ϕ integrálja felı́rható a Q(D)x = 0 és az R(D)x = 0 egyenletek egy-egy integráljának összegeként. Valóban, a Bezout–tétel alapján ilyenkor vannak olyan S, T polinomok, hogy Q · S + R · T = 1. Legyen ϕ1 = R(D)T (D)ϕ, és ϕ2 = Q(D)S(D)ϕ, ekkor nyilván Q(D)ϕ1 = R(D)ϕ2 = 0,

továbbá ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Ebből az adódik, hogy ha λ1 , λ2 , , λq a P polinom összes különböző komplex gyökei rendre n1 , n2 , . , nq multiplicitásokkal, akkor ϕ előállı́tható a (D − λk E)nk x = 0 egyenletek ϕk integráljainak összegeként (k = 1, 2, . , q) Másrészt, nyilvánvaló, hogy a (D − λk E)nk ϕk (t) = 0 egyenlet ekvivalens a eλk t · Dnk (e−λk t ϕk (t)) = 0 egyenlettel, mely pontosan akkor áll fenn, ha a t 7 e−λk t ϕk (t) függvény legfeljebb nk − 1-edfokú polinom. Ebből a tétel állı́tása következik 24 3 MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Ha a (10) egyenlet valós együtthatós, akkor egy komplex értékű függvény pontosan akkor megoldása (10)-nek, ha valós és képzetes része is megoldás. Ebben az esetben könnyen megadható a (10) egy valós alaprendszere. Legyenek ugyanis a karakterisztikus polinom összes különböző valós gyökei λ1 ,

λ2 , . , λq , rendre n1 , n2 , . , nq multiplicitásokkal, s az összes különböző komplex gyökök µ1 ±iν1 , µ2 ±iν2 , . , µr ±iνr , rendre m1 , m2 , , mr multiplicitásokkal Nyilván minden komplex gyök komplex konjugáltja is gyök, ugyanolyan multiplicitással, tehát q r X X nj + 2 mj = n. j=1 j=1 Könnyen látható, hogy ekkor a t 7 tj eλk t , (k = 1, 2, . , q; j = 0, 1, , nk − 1), és a t 7 tj eµk t cos νk t, t 7 tj eµk t sin νk t, (k = 1, 2, . , r; j = 0, 1, , mk − 1) függvények a (10) alaprendszerét képezik. 25 4 4.1 ELEMI ÚTON MEGOLDHATÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Ebben a fejezetben intervallum alatt mindig olyan valós intervallumot értünk, mely legalább két pontot tartalmaz. A korábbi jelöléseinket némileg módosı́tjuk, amennyiben a valós t változó helyett x-et ı́runk, s a fellépő

differenciálegyenletekben az ismeretlen függvényt szimbolizáló betű általában y, u, v, . lesz Legyenek I, J valós intervallumok, f : I R, g : J R folytonos függvények, g(y) 6= 0, ha y a J tetszőleges eleme. Az y 0 = f (x)g(y) (11) differenciálegyenletet szétválasztható változójú, vagy szeparábilis differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyezzük, hogy f és g1 folytonossága miatt f -nek létezik primitı́v függvénye I-n, g1 -nek pedig J-n. 4.11 Tétel A ϕ : I R függvény akkor és csak akkor megoldása az (11) szétválasztható változójú differenciálegyenletnek, ha G ◦ ϕ − F az I-n állandó, ahol F az f függvény egy primitı́v függvénye I-n, G pedig az g1 függvény egy primitı́v függvénye J-n. Bizonyı́tás. Tegyük fel, hogy ϕ : I R az (11) megoldása I-n Ekkor az I bármely x pontjára (G ◦ ϕ)0 (x) − F 0 (x) = G0 (ϕ(x))ϕ0 (x) − f (x) = = 1 (ϕ(x))f (x)g(ϕ(x)) −

f (x) = 0, g ı́gy G ◦ ϕ − F az I-n állandó. Megfordı́tva, ha G ◦ ϕ − F az I-n állandó, akkor deriváltja az I minden x pontjában 0, ami azt jelenti, hogy ϕ : I R az (11) megoldása I-n. 4.12 Tétel A ϕ : I R függvény akkor és csak akkor megoldása az (11) szétválasztható változójú differenciálegyenletnek az y(x0 ) = y0 kezdeti feltétel mellett, ha G ◦ ϕ = F , ahol F az f függvény x0 -ban eltűnő primitı́v függvénye I-n, G pedig az g1 függvény y0 -ban eltűnő primitı́v függvénye J-n. Bizonyı́tás. Az állı́tás az előző tételből adódik amiatt, hogy az den intervallumon állandó előjelű. 1 g függvény min- A tételek szerint a (11) differenciálegyenlet megoldásai azonosak a G(y(x))− F (x) = c egyenlet megoldásaival, ahol c tetszőleges valós állandó. Így a (11) 26 4 ELEMI ÚTON MEGOLDHATÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK egyenlet megoldásait úgy

kapjuk, hogy a G(y) − F (x) = c egyenletből az y változót ”kifejezzük”. Gyakorlatilag a (11) egyenlet megoldásakor a következő dy -et ı́rva szimbolikusan formális számı́tásokat végezzük el: az y 0 helyett dx ”szétválasztjuk” a változókat dy = f (x) dx g(y) módon, majd a kapott ”egyenlet”” mindkét oldalát a ”saját változója” szerint integráljuk: Z Z 1 dy = f (x) dx g(y) módon. A határozatlan integrálások kiszámı́tása után a fenti G(y) = F (x) + c egyenletet kapjuk tetszőleges c állandóval. Az y(x0 ) = y0 kezdeti feltételnek eleget tevő megoldást úgy kapjuk, hogy ebben az egyenletben x = x0 , y = y0 helyettesı́tést végzünk el, s a kapott c állandóval számoljuk ki a megoldást. 4.2 Homogén fokszámú differenciálegyenletek Legyenek I, J valós nyı́lt intervallumok, I ne tartalmazza a 0 pontot, f : J R pedig legyen egy folytonos függvény. Az y y0 = f ( ) x

(12) differenciálegyenletet homogén fokszámú differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyezzük, hogy ennek a differenciálegyenletnek a korábban Ω-val jelölt értelmezési tartománya az R2 mindazon (x, y) pontjaiból álló halmaz, melyekre x az I-hez tartozik, xy pedig a J-hez. 4.21 Tétel A ϕ : I R függvény akkor és csak akkor megoldása az (12) homogén fokszámú differenciálegyenletnek, ha az I intervallum x pontjaiban ψ(x) = ϕ(x) x módon értelmezett ψ függvény I-n megoldása az u0 = f (u) − u x szétválasztható változójú differenciálegyenletnek. Bizonyı́tás. Az állı́tás egyszerű számolással adódik (13) 4.3 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek 27 Gyakorlatilag a (12) egyenletet úgy oldjuk meg, hogy benne ”elvégezzük” az y = ux helyettesı́tést, melyből y 0 = u + u0 x figyelembevételével a (13) szétválasztható változójú egyenlet adódik,

melyet u-ra a fenti módon megoldva, majd visszahelyettesı́tve kapjuk az y megoldást. Amennyiben az eredeti egyenlethez y(x0 ) = y0 alakú kezdeti feltétel is csatlakozik, akkor ez u-ra az u(x0 ) = 1 kezdeti feltételt jelenti. 4.3 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek A lineáris differenciálegyenletekről mondottakat az n = 1 esetben alkalmazzuk. Az ottani jelöléseket némileg megváltoztajuk. Legyen I valós intervallum, f, g : I R pedig legyenek folytonos függvények. Ekkor az y 0 + f (x)y = g(x) (14) differenciálegyenletet elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek, vagy röviden lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Ha g azonosan nulla, akkor (14)-t homogén lineáris differenciálegyenletnek nevezzük, ellenkező esetben pedig inhomogénnek. Az y 0 + f (x)y = 0 (15) homogén lineáris differenciálegyenletet a (14) egyenlethez tartozó homogén egyenletnek nevezzük. Emlékeztetünk arra, hogy a (14)

egyenlet I-n értelmezett megoldásait az egyenlet integráljainak nevezzük. A lineáris differenciálegyenletek általános elmélete alapján a (15) egyenlet összes integráljai egydimenziós lineáris teret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha ϕ0 a (15) egyenlet tetszőleges, nem azonosan nulla integrálja, akkor a (15) egyenlet minden integrálja cϕ0 alakú, valamilyen valós c állandóval. Ebben az értelemben szokás cϕ0 -t a (15) egyenlet ”általános megoldásának” nevezni Mivel a (15) egyenlet szétválasztható változójú, ı́gy a fentiekben ismertetett módszerrel oldható meg. Könnyű látni, hogy egy nem azonosan nulla megoldás ϕ0 = exp(−F ), ahol F az f egy primitı́v függvénye. Ami a (14) egyenletet illeti, világos, hogy bármely két integráljának különbsége integrálja (15)-nek, tehát ha ψp a (14) egy rögzı́tett, úgynevezett ”partikuláris megoldását” jelöli, akkor a (14)

bármely ψ megoldása ψp + cϕ0 alakú, ahol a c valós állandó ψ-től függ. Ezt úgy szokás kifejezni, hogy az inhomogén egyenlet ”általános megoldása” egyenlő a homogén egyenlet ”általános megoldásának”, és az inhomogén egyenlet egy ”partikuláris megoldásának” összegével. A (14) egyenlet egy psip partikuláris megoldását a lineáris differenciálegyenleteknél ismertetett állandók variálásának módszerével történik Esetünkben a ψp függvényt x 7 c(x)ϕ0 (x) alakban keressük, ahol ϕ0 a fenti függvény, x 7 c(x) pedig egy ismeretlen függvény, mely természetesen differenciálható I-n. A (14) egyenletbe visszahelyettesı́tve az adódik, hogy ψp pontosan akkor megoldása (14)-nek, ha c0 = ϕg0 (Vegyük itt figyelembe, hogy ϕ0 sehol sem nulla.) Következésképpen a c függvény a ϕg0 függvény egy primitı́v függvénye. Az itt mondottakat a következő

tételben foglaljuk össze 28 4 ELEMI ÚTON MEGOLDHATÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4.31 Tétel A ϕ : I R függvény akkor és csak akkor integrálja a (14) elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek, ha van olyan c valós szám, hogy ϕ = exp(−F )(c + G), ahol F az f egy primitı́v függvénye, G pedig a g exp F egy primitı́v függvénye. A fentiek alapján a (14) egyenlet megoldása a következő módon történik. Először tekintjük a megfelelő homogén egyenletet, amely (15). Ennek egy ”alapmegoldását” az y 0 = −f (x)y szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldásaként, tehát az Z Z 0 y dy = −f (x) dx y egyenletből integrálással ϕ0 (x) = ce− R f (x) dx alakban kapjuk, ahol a kitevőben egy primitı́v függvény áll, tehát az eredmény egy ”integrációs állandót” is tartalmaz, de ez c-be ”beolvasztható”. Ez azt jelenti, hogy ezen a ponton c

választható 1-nek. Ezzel megkaptuk a homogén egyenlet y ”általános megoldását” y = cϕ0 alakban. Ezután egy yp ”partikuláris megoldást” yp (x) = c(x)ϕ0 (x) alakban keresünk, s az eredeti egyenletbe való visszahelyettesı́téssel c-re egy azonnal integrálható egyenletet kapunk, s a (14) ”általános megoldása” y = cϕ0 + yp alakban ı́rható fel. Ha a (14) egyenlethez egy kezdeti feltétel is adott, akkor a végső, ”általános megoldásban” szereplő c állandót az x = x0 , y = y0 helyettesı́téssel kapjuk. 4.4 Egzakt differenciálegyenletek Legyen D ⊂ R × R egy nem üres, nyı́lt halmaz, továbbá legyenek P, Q : D R adott folytonos függvények, melyekre P 2 (x, y)+Q2 (x, y) > 0 teljesül a D minden pontjában. Megállapodunk abban, hogy a P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (16) egyenlet a D minden olyan nem üres, nyı́lt és összefüggő Ω részhalmazán, melynek (x, y) pontjaiban Q(x, y) 6=

0, a y0 = − P (x, y) Q(x, y) (17) differenciálegyenletet, és minden olyan nem üres, nyı́lt és összefüggő Ω részhalmazán, melynek (x, y) pontjaiban P (x, y) 6= 0, a x0 = − Q(x, y) P (x, y) (18) 4.4 Egzakt differenciálegyenletek 29 differenciálegyenletet jelenti. Felvetődik a kérdés, hogy ha a D valamely nem üres, nyı́lt és összefüggő Ω részhalmazán sem Q sem P nem tűnik el, akkor a (16) egyenletnek mi a jelentése? Ilyen esetben a (17) és (18) egyenletek jobboldala állandó előjelű, ı́gy minden megoldásuk szigorúan monoton függvény, továbbá nyilvánvaló, hogy a ϕ függvény valamely I intervallumon akkor és csak akkor megoldása (17)-nak, ha inverze, ϕ−1 a ϕ(I) intervallumon megoldása (18)nek. Ez azt jelenti, hogy ilyenkor (16) a (17) és (18) egyenletek bármelyikét jelentheti, hiszen bármelyiknek a megoldásaiból könnyen megkapjuk a másik megoldásait.

Megjegyezzük, hogy ezzel a megállapodással a szétválasztható változójú egyenletek f (x)dx + g(y)dy = 0, ı́rhatók, a homogén fokszámú egyenletek pedig olyan (16) alakba, amelynél P és Q azonos fokú homogén függvények. A következőkben az (16) egyenlettel kapcsolatban mindig feltételezzük, hogy a (17) egyenletet jelenti, a másik eset mindig hasonlóan tárgyalható. A (16) differenciálegyenletet egzakt differenciálegyenletnek nevezzük, ha van olyan F : D R differenciálható függvény, hogy ∂1 F = P és ∂2 F = Q teljesül. Az ilyen F függvényt a P, Q függvénypár, illetve a (P, Q) vektorfüggvény primitı́v függvényének nevezzük. 4.41 Tétel Legyen D ⊂ R × R nem üres, nyı́lt halmaz, továbbá legyen a (16) egyenlet egzakt. Ekkor a ϕ : I R függvény akkor és csak akkor megoldása (16)-nek, ha a P, Q függvénypár valamely F primitı́v függvénye esetén az x 7 F (x, ϕ(x))

függvény állandó. Bizonyı́tás. Ha ϕ : I R megoldása a (16) egzakt egyenletnek, F pedig a P, Q függvénypár egy primitı́v függvénye, akkor az összetett függvény differenciálási szabálya alapján az x 7 F (x, ϕ(x)) függvény deriváltja ∂1 F (x, ϕ(x)) + ∂2 F (x, ϕ(x))ϕ0 (x) = = P (x, ϕ(x)) + Q(x, ϕ(x))ϕ0 (x) = 0, az I intervallum minden x pontjában, ı́gy ez a függvény az I-n állandó. Az állı́tás megfordı́tása is nyilvánvaló, hiszen ha a megadott függvény az I intervallumon állandó, akkor deriváltja nulla, amelyből (16) fennállása következik ϕ-re. Legyen D ⊂ R × R nem üres, nyı́lt halmaz, P, Q : D R adott folytonosan differenciálható függvények. Tegyük fel, hogy F : D R a P, Q függvénypár primitı́v függvénye. Ekkor a D-n ∂2 P = ∂2 ∂1 F = ∂1 ∂2 F = ∂1 Q teljesül Így a ∂2 P = ∂1 Q egyenlőség fennállása D-n szükséges feltétele az

(16) egyenlet egzaktságának akkor, ha a P, Q együttható-függvények folytonosan differenciálhatók. Az elemi analı́zisből, a görbementi integrál elméletéből ismeretes, hogy a D halmazra tett különböző feltételek mellett ez elegendő is. Ha például a D nem üres, nyı́lt halmaz konvex, P, Q : D R pedig olyan folytonosan differenciálható függvények, melyekre fennáll ∂2 P = ∂1 Q egyenlőség a D minden 30 4 ELEMI ÚTON MEGOLDHATÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK pontjában, akkor a P, Q függvénypárnak létezik primitı́v függvénye, s egy ilyen F : D R primitı́v függvény a következő módon határozható meg: legyen (x0 , y0 ) a D egy rögzı́tett pontja, (x, y) pedig tetszőleges D-beli pont. Legyen g : [a, b] R × R olyan szakaszonként sima görbe, melynél g(a) = (x0 , y0 ), g(b) = (x, y), továbbá minden [a, b]-beli t pontban g(t) a D-hez tartozik. Másszóval, a g egy olyan

szakaszonként sima D-beli görbe, amely összeköti az (x0 , y0 ) és (x, y) pontokat. Például, a D konvexsége miatt g választható a két pontot összekötő szakasznak. Ekkor a (P, Q) függvény g görbementi integrálját F (x, y)-al jelölve a görbementi integrál elméletéből ismeretes, hogy az (x, y) 7 F (x, y) módon értelmezett F : D R függvény a P, Q függvénypár primitı́v függvénye. Ha g(g1 , g2 ) sima, tehát folytonosan differenciálható, akkor tehát ¸ Z b· 0 0 F (x, y) = P (g1 (t), g2 (t))g1 (t) + Q(g1 (t), g2 (t))g2 (t) dt. a Hasonló módon határozhatunk meg egy primitı́v függvényt csillagszerű, illetve egyszeresen összefüggő D halmazok esetén is. Természetesen a g görbe célszerű választása a D konkrét alakjától függ. Gyakran szokás a két pontot összekötő, valamilyen törtvonalat választani, melynek szakaszai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel,

feltéve, hogy a D alakja ezt lehetővé teszi. Ha az (16) egzakt egyenlettel kapcsolatban adott az y(x0 ) = y0 kezdeti feltétel, ahol (x0 , y0 ) a D halmaz tetszőleges pontja, továbbá F a P, Q függvénypár primitı́v függvénye, akkor a megfelelő Cauchy–feladat bármely ϕ : I R megoldása eleget tesz az F (x, ϕ(x)) = F (x0 , y0 ) feltételnek az I intervallum minden x pontjában. megoldásait formálisan az Így a Cauchy–feladat F (x, y) = F (x0 , y0 ) egyenletből az y változó ”kifejezésével” kaphatjuk meg. Ennek elvi lehetőségét az implicit függvények tétele biztosı́tja, hiszen ∂2 F = Q nullától különböző a D pontjaiban, ám a gyakorlatban ez általában nehezen végezhető el, ı́gy a Cauchy–feladat ”általános megoldásának” szokás az F (x, y) = F (x0 , y0 ) implicit egyenletet tekinteni. Az egzakt differenciálegyenlet értelmezéséből következik, hogy ha egy (16) alakú

egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az állandó előjelű, folytonosan differenciálható függvénnyel megszorozzuk, akkor előfordulhat, hogy az eredeti egyenlet egzakt volt, de a beszorzás után kapott egyenlet már nem egzakt, vagy fordı́tva, annak ellenére, hogy az eredeti és a beszorzás után kapott differenciálegyenleteknek nyilván pontosan ugyanazok a megoldásai. Így azt mondhatjuk, hogy egy (16) alakban felı́rt differenciálegyenlet egzaktsága valójában 4.4 Egzakt differenciálegyenletek 31 nem az egyenletnek, hanem a felı́rásának a tulajdonsága. Példa erre a szétválasztható valtozójú egyenletek esete, amelyek Megjegyezzük, hogy ezzel a megállapodással egy szétválasztható változójú egyenlet f (x)dx + g(y)dy = 0 alakban ı́rva nyilván egzakt, ám az ezzel ekvivalens 1 1 dx + dy = 0 g(y) f (x) egyenlet ebben a felı́rásban már nem feltétlenül egzakt. Így felvetődik a

következő probléma: az adott (16) differenciálegyenlet esetében milyen feltételek mellett létezik olyan µ : D R pozitı́v és folytonos függvény, hogy a µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 (19) egyenlet egzakt? Az ilyen µ függvényt integráló tényezőnek, vagy Euler–féle multiplikátornak nevezzük. Ha D nem üres, konvex nyı́lt halmaz és a µ,P ,Q függvények folytonosan differenciálhatók, akkor a fentiek szerint ehhez elegendő a ∂2 (µ P ) = ∂1 (µ Q) egyenlőség fennállása. Ez részletesen a következőt jelenti: ∂2 µ P + µ∂2 P = ∂1 µ Q + µ∂1 Q, vagy kissé szuggesztı́vebb alakban µy P − µx Q = µ(Qx − Py ). (20) Ez egy parciális differenciálegyenlet az ismeretlen µ függvényre. Látszólag tehát az eredeti problémát egy jóval bonyolultabbra, egy parciális differenciálegyenlet megoldására vezettük vissza. Ám az utóbbi egyenletet nem kell megoldanunk:

elegendő egyetlen µ függvényt találnunk, mely pozitı́v, folytonosan differenciálható, és kielégı́ti a (20) egyenlőséget Kereshetjük tehát µ-t valamilyen speciális alakban: csak az x változótól függő, csak az y változótól függő, vagy a két változónak csupán valamilyen speciális függvényétől (összegétől, különbségétől, szorzatától, stb.) függő függvényként Az ilyen esetekben a (20) egyenlet valójában egy közönséges, elsőrendű differenciálegyenletre vezet, melynek ismét csupán egyetlen pozitı́v megoldását kell megtalálnunk. Ha például a µ integráló tényezőről feltételezzük, hogy csupán az x változótól függ, akkor tehát ∂2 µ = 0, ı́gy µ(x, y) = µ(x), s a (20) egyenletből a következőt kapjuk: Py − Qx µ0 = . µ Q Mivel itt a baloldalon álló függvény csak x-től függ, ezért ilyen µ megoldás

létezéséhez szükséges, hogy a jobboldalra is teljesüljön ugyanez. Valójában ez P −Q a feltétel elegendő is az ilyen µ létezéséhez, ekkor ugyanis a y Q x függvény bármely primitı́v függvényének exponenciális függvénye eleget tesz a fenti egyenlőségnek. Szimbolikusan ¶ µZ Py − Qx . µ = exp Q 32 4.5 4 ELEMI ÚTON MEGOLDHATÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Bernoulli–féle differenciálegyenletek Legyen I valós intervallum, f, g : I R folytonos függvények, továbbá α nullától és 1-től különböző valós szám. Az y 0 + f (x)y = g(x)y α (21) differenciálegyenletet Bernoulli–féle differenciálegyenletnek nevezzük. Vegyük észre, hogy a kizárt α = 0 és α = 1 esetekben az egyenlet lineáris volna. A Bernoulli–féle differenciálegyenletek megoldása a következő tétel alapján lehetséges. 4.51 Tétel A ϕ : I R függvény akkor és csak akkor megoldása a (21)

Bernoulli–féle differenciálegyenletnek, ha az I intervallum x pontjaiban ψ(x) = ϕ(x)1−α módon értelmezett ψ függvény I-n megoldása az u0 + (1 − α)f (x)u = (1 − α)g(x) (22) lineáris differenciálegyenletnek. A bizonyı́tás közvetlen számolással végezhető el. A tétel szerint a Bernoulli–féle differenciálegyenleteket formálisan az u = y 1−α helyettesı́téssel vezethetjük vissza lineáris differenciálegyenletre. Természetesen az adott helyettesı́tés elvégezhetősége konkrét esetekben problémákat vethet fel az ismeretlen függvény előjelével kapcsolatban, de ezek tisztázása mindig a speciális helyzettől függ. Megjegyezzük még, hogy ha a (21) egyenlethez kezdeti feltétel is kapcsolódik, akkor a megadott helyettesı́tés révén ez a kapott lineáris egyenletre is egy kezdeti feltételt jelent, ı́gy a megfelelő Cauchy–feladatot a korábbi módon kell megoldani. 4.6

Riccati–féle differenciálegyenletek Legyen I valós intervallum, f, g, h : I R folytonos függvények. Az y 0 + f (x)y = g(x)y 2 + h(x) (23) differenciálegyenletet Riccati–féle differenciálegyegyenletnek nevezzük. Vegyük észre, hogy a g = 0 esetben az egyenlet lineáris, a h = 0 esetben pedig Bernoulli– féle, de ezeket az eseteket nem szükséges a további tárgyalásból kizárnunk. 4.61 Tétel Legyen ϕp a (23) Riccati–féle differenciálegyenlet egy megoldása A ϕ : I R függvény akkor és csak akkor megoldása a (23) differenciálegyenletnek, ha az I intervallum x pontjaiban ψ(x) = ϕ(x) − ϕp (x) 4.6 Riccati–féle differenciálegyenletek 33 módon értelmezett ψ függvény I-n megoldása az u0 + (f (x) − 2g(x)ϕp (x))u = g(x)u2 (24) Bernoulli–féle differenciálegyenletnek. A bizonyı́tás egyszerű számolással adódik. A tétel szerint a Riccati–féle differenciálegyenletek bármely

megoldását meghatározhatjuk egy Bernoulli–féle differenciálegyenlet megoldásával, ha ismerjük a Riccati–féle egyenlet egyetlen, partikuláris megoldását. Ha egy ilyen ϕp megoldás ismert, akkor az u = y − ϕp helyettesı́téssel az u ismeretlen függvényre egy Bernoulli–féle differenciálegyenlet adódik. Egy partikuláris megoldás meghatározására nincs általános módszer, a probléma megoldhatósága mindig az egyenlet konkrét alakjától függ. Általában az egyenletben fellépő adott f, g, h függvények konkrét alakjától függően próbálkozhatunk valamilyen konkrét függvényosztályhoz tartozó megoldások keresésével. Ilyenek lehetnek például a polinomok, a trigonometrikus polinomok, az exponenciális polinomok, stb. 34 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS 5.1 A variációszámı́tás alapfeladatai A variációszámı́tás klasszikus

problémái különböző extrémum-feladatok vizsgálata során alakultak ki. Ezeknek az extrémum-feladatoknak az a leglényegesebb közös tulajdonsága, hogy az extrémumot szolgáltató objektumok - a klasszikus szélsőérték-feladatok esetében megszokottól eltérően - nem valamely véges dimenziós tér pontjai, hanem általában valamilyen függvénytér elemei. Ennek megfelelően azoknak a függvényeknek, amelyeknek szélsőértékeit keressük, a változóik is függvények Az ilyen ”függvényváltozós függvények”, úgynevezett ”funkcionálok” szélsőertékszámı́tásának során nem alkalmazhatók közvetlenül a többváltozós függvények elméletében megismert, elsősorban a differenciálszámı́tás eszközeit felhasználó módszerek. Ezek pótlására új módszerek kialakı́tása szükséges, melyre a variációszámı́tás keretein belül nyı́lik

lehetőség . Az alábbiakban röviden ismertetünk néhány olyan problémát, melyek eredményes tárgyalása és megoldása a variációszámı́tás eszközeivel lehetséges. • A brachisztochron-probléma Adott két pont a térben, melyek különböző magasságban, és nem egy függőleges egyenesen helyezkednek el. Tekintsük a két pont által meghatározott függőleges sı́kban mindazokat a görbéket, melyek a két pontot összekötik, s amelyek menetén a magasabban fekvő pontból adott kezdősebességgel elindı́tott, és csupán a nehézségi erő hatásának alávetett, adott tömegű anyagi pont eljut az alacsonyabban fekvő pontba. Kérdés: létezik-e ezek között a görbék között olyan, amelyet az anyagi pont minimális idő alatt fut be, s ha igen, akkor hogyan lehet ilyet meghatározni? Ebben a problémában tehát egy olyan függvényt kell minimalizálni, melynek változói

bizonyos tulajdonságú sı́kgörbék, melyekhez a függvény azt az időtartamot rendeli hozzá, amely alatt a fenti feltételeknek eleget tevő anyagi pont az illető görbét befutja. Ezt a problémát Johann Bernoulli vetette fel 1696-ban • A minimális felszı́nű forgásfelület problémája Adott egy sı́kban egy egyenes, s ennek egyik oldalán két pont úgy, hogy a két ponton átmenő egyenes nem merőleges az adott egyenesre. A két pontot kössük össze görbékkel, majd forgassuk meg ezeket az adott egyenes körül. Kérdés: létezik-e ezek között a görbék között olyan, amelynek megforgatásakor a keletkező forgástest felszı́ne minimális, s ha igen, akkor hogyan lehet ilyet meghatározni? • A legegyszerűbb variációs probléma Legyen D ⊂ R × R egy nem üres, nyı́lt halmaz, f : D × R egy folytonos függvény, továbbá (a, A) és (b, B) a D halmaz két tetszőleges pontja, ahol a <

b. Nevezzük a ϕ : [a, b] R függvényt megengedett függvénynek, ha folytonosan differenciálható, ϕ(a) = A, ϕ(b) = B, továbbá minden [a, b]-beli t esetén 5.2 Normált terek 35 a (t, ϕ(t)) pont a D-hez tartozik. Megjegyezzük, hogy ϕ folytonos differenciálhatósága [a, b]-n azt jelenti, hogy ϕ folytonosan differenciálható ]a, b[-n, valamint ϕ és ϕ0 folytonosan kiterjeszthetők az [a, b] intervallumra. Ha ϕ megengedett függvény, akkor legyen Z F (ϕ) = b f (t, ϕ(t), ϕ0 (t))dt. a Az F függvény tehát a megengedett függvények halmazán van értelmezve. Kérdés: van-e olyan megengedett függvény, melyen az F minimális (maximális) értéket vesz fel, s ha igen, akkor hogyan lehet ilyet meghatározni? Könnyű látni, hogy az előbbiekben emlı́tett két probléma ennek az általános problémának speciális eseteként kapható meg a megengedett függvények halmazának, és az f

függvénynek alkalmas megválasztásával. Ebben a problémában az f függvényt alapfüggvénynek is szokás nevezni. 5.2 Normált terek A korábbiakhoz hasonlóan a következőkben K a valós vagy a komplex számok halmaza közül bármelyiket jelölheti. Legyen X lineáris tér a K test felett. A K elemeit skalároknak nevezzük Tegyük fel, hogy az X-en értelmezve van egy x 7 ||x|| valós értékű függvény, mely rendelkezik a következő tulajdonságokkal: minden X-beli x, y és minden λ skalár esetén (a) ||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha x = 0; (b) ||λx|| = |λ| ||x||; (c) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Ekkor az x 7 ||x|| függvényt normának, az ||x|| valós számot pedig az x elem normájának nevezzük. Az (X, ||||) rendezett pár neve: normált tér A K = R esetben valós normált térről, a K = C esetben pedig komplex normált térről is szokás beszélni. Ha ez nem okoz

félreértést, magát X-et is normált térnek fogjuk nevezni. A (c) tulajdonság az úgynevezett háromszög-egyenlőtlenség Ha X normált tér, akkor legyen bármely X-beli x, y esetén d(x, y) = ||x − y||. Könnyű látni, hogy d metrika az X halmazon, melyet a norma által indukált metrikának nevezünk. Ily módon minden normált tér egyben metrikus tér is a norma által indukált metrikával. Ha mást nem mondunk, akkor normált térben a metrikus fogalmakat mindig a norma által indukált metrikára vonatkoztatjuk. Ha egy normált tér, mint metrikus tér teljes, akkor Banach–térnek nevezzük. 36 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS Normált tér nyı́lt egységgömbjének, illetve zárt egységgömbjének nevezzük az ||x|| < 1, illetve ||x|| ≤ 1 egyenlőtlenségnek eleget tevő x elemek halmazát. Világos, hogy ha Y az X normált térnek, mint lineáris térnek altere, akkor az X-en értelmezett norma

Y -ra való szűkı́tése az Y -on norma. Ezzel a normával ellátva Y az X normált tér altere. 5.3 Példák normált terekre (a) Nyilvánvaló, hogy az abszolútérték-függvénnyel, mint normával ellátva mind R, mind pedig C normált tér, melyek közül az első valós, a második pedig komplex normált tér. (b) Bármely n pozitı́v egész szám esetén az Rn valós lineáris téren normát értelmezhetünk a következő módon. Legyen x = (x1 , x2 , , xn ) az Rn tér tetszőleges eleme, és p ||x||2 = |x1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xn |2 . Ekkor x 7 ||x||2 norma Rn -en, melyet euklideszi normának nevezünk. Ezzel a normával ellátva Rn az n-dimenziós euklideszi tér. Hasonlóan értelmezhetünk normát a Cn téren a fenti formulával, s a kapott normált tér az n-dimenziós unitér tér. (c) Az Rn , illetve Cn tereken az előbbitől eltérő módon is értelmezhetünk normát. Legyen x = (x1 , x2

, , xn ) a Kn tér tetszőleges eleme, és ||x||1 = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |. Ekkor x 7 ||x||1 norma Kn -en. Ugyancsak normát kaphatunk Kn -en a következőképpen: legyen x = (x1 , x2 , . , xn ) a Kn tér tetszőleges eleme, és ||x||∞ = max{|x1 |, |x2 |, . , |xn |} Ekkor x 7 ||x||∞ norma Kn -en. (d) A Kn tér mintájára tetszőleges X normált tér esetén az X n halmazon is értelmezhetünk normált tér struktúrát. Erre több lehetőség van Megjegyezzük, hogy X n nyilván lineáris tér a szokásos módon értelmezett műveletekkel, melyeket koordináatánként kell elvégezni. Egy lehetséges norma az X n lineáris téren a következő: legyen x = (x1 , x2 , . , xn ) az X n tetszőleges eleme, és p ||x|| = ||x1 ||2 + ||x2 ||2 + · · · + ||xn ||2 . Ez a norma a fentiekben Kn -en értelmezett euklideszi norma megfelelője, de nincs akadálya a ||x||1 , illetve ||x||∞ normákhoz hasonló normák

értelmezésének sem. Az is könnyen látható, hogy hasonló konstrukció alkalmazható tetszőleges, X1 , X2 , , Xn normált terek, mint lineáris terek szorzata esetében. Az ı́gy kapott tereket a megfelelő normált terek normált szorzatának szokás nevezni. 5.3 Példák normált terekre 37 (e) A korábbi példáinkat a következő módon általánosı́thatjuk. l2 (K) P Legyen 2 mindazon K-beli (xn )n∈N sorozatok halmaza, melyekre a 0 |xn | sor konvergens. Nem nehéz belátni, hogy l2 (K) lineáris tér K felett Az l2 (K) bármely x = (xn )n∈N eleme esetén legyen ||x||2 = ∞ ³X |xn |2 ´ 21 . 0 Ekkor x 7 ||x||2 norma az l2 (K) téren. Hasonlóan, P legyen l1 (K) mindazon K-beli (xn )n∈N sorozatok halmaza, 1 melyekre a 0 |xn | sor konvergens. Nyilvánvaló, hogy l (K) lineáris tér 1 K felett. Az l (K) bármely x = (xn )n∈N eleme esetén legyen ||x||1 = ∞ X |xn |. 0 Ekkor x 7 ||x||1 norma az l1 (K)

téren. Végül, legyen l∞ (K) az összes K-beli korlátos sorozatok halmaza. Világos, hogy l∞ (K) lineáris tér K felett. Az l∞ (K) bármely x = (xn )n∈N eleme esetén legyen ||x||∞ = sup |xn |. n ∞ Ekkor x 7 ||x||∞ norma az l (K) téren. További általánosı́tást kaphatunk a következő módon. Legyen p ≥ 1 valós p szám, P és plegyen l (K) mindazon K-beli (xn )n∈N sorozatokp halmaza, melyekre a 0 |x| sor konvergens. Nem nehéz belátni, hogy l (K) lineáris tér K felett. Az lp (K) bármely x = (xn )n∈N eleme esetén legyen ||x||p = ∞ ³X |xn |p ´ p1 . 0 Ekkor x 7 ||x||p norma az lp (K) téren. (f) A l∞ (K) tér általánosı́tása a következő. Legyen H tetszőleges, nem üres halmaz, BK (H) pedig az összes, H-n értelmezett, K-beli értékű korlátos függvények halmaza. Világos, hogy BK (H) lineáris tér K felett Tetszőleges BK (H)-beli f függvény esetén legyen ||f ||∞ = sup

|f |. H Ekkor f 7 ||f ||∞ norma a BK (H) téren. (g) Legyen H kompakt metrikus tér, és jelölje CK (H) az összes, H-n értelmezett, K-beli értékű folytonos függvények halmazát. Nyilvánvaló, hogy CK (H) lineáris tér K felett, valamint CK (H) a BK (H) normált tér altere, hiszen kompakt metrikus téren értelmezett, valós, vagy komplex értékű folytonos függvény korlátos. 38 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS (h) Az előző példa speciális esetét kapjuk a H = [a, b] esetben, ahol a < b valós számok. A CK [a, b] téren azonban más módon is szokás normát értelmezni, amely az lp (K) tér esetében alkalmazott konstrukció megfelelője. Ha ugyanis p ≥ 1 valós szám, akkor a CK [a, b] bármely f eleme esetén legyen ³Z b ´ p1 ||f ||p = |f |p . a Ekkor f 7 ||f ||p norma a CK [a, b] téren. (i) Legyen [a, b] véges valós intervallum, k természetes szám, és jelölje (k) CK [a, b] az összes, [a,

b]-n k-szor folytonosan differenciálható, K-beli értékű függvények halmazát. Megjegyezzük, hogy k = 0 esetén ez az összes, [a, b]-n folytonos, K-beli értékű függvények halmazát jelenti, k > 0 esetén pedig mindazon ]a, b[-n k-szor folytonosan differenciálható, K-beli értékű függvények halmazát, melyek összes, legfeljebb k-adrendű deriváltjaikkal (k) együtt folytonosan kiterjeszthetők [a, b]-re. Könnyű látni, hogy CK [a, b] (k) lineáris tér K felett. A CK [a, b] bármely f eleme esetén legyen ||f ||(k) = max{||f ||∞ , ||f 0 ||∞ , . , ||f (k) ||∞ } (k) Ekkor f 7 ||f ||(k) norma a CK [a, b] téren. Megjegyezzük, hogy bár (k) CK [a, b] nyilván lineáris altere a CK [a, b] térnek, de pozitı́v k esetén mint normált térnek nem altere. 5.4 Normált terek funkcionáljai Az X normált tér valamely részhalmazán értelmezett skalárértekű függvényt - tradicionális

okokból - funkcionálnak nevezzük. Akkor mondjuk, hogy az X normált téren értelmezett F funkcionál lineáris funkcionál, ha az X bármely x, y elemei és bármely λ, µ skalárok esetén fennáll F (λx + µy) = λF (x) + µF (y). Az X normált tér minden F lineáris funkcionálja és az X minden x eleme esetén nyilván fennáll F (0) = 0, és F (−x) = −F (x). 5.41 Tétel Normált tér lineáris funkcionálja akkor és csak akkor folytonos, ha valamely pontban folytonos. Bizonyı́tás. Az állı́tás egyik része nyilvánvaló Tegyük fel most, hogy az X tér F lineáris funkcionálja folytonos az X tér x0 pontjában. Legyen y0 az X tetszőleges pontja, és ε > 0 adott szám. Mivel F folytonos az x0 pontban, ezért van olyan δ > 0, hogy ha x az X olyan eleme, melyre ||x − x0 || < δ, akkor |F (x) − F (x0 )| < ε. Legyen y az X olyan eleme, melyre ||y − y0 || < δ Ekkor ||(x0 + y − y0 ) − x0 || =

||y − y0 || < δ, 5.4 Normált terek funkcionáljai 39 ı́gy |F (x0 + y − y0 ) − F (x0 )| < ε, tehát |F (y) − F (y0 )| = |F (y − y0 )| = |F (x0 + y − y0 ) − F (x0 )| < ε, ezért F folytonos az y0 pontban. Ebből adódik a következő állı́tás. 5.42 Tétel Normált tér lineáris funkcionálja akkor és csak akkor folytonos, ha a nulla pontban folytonos. Az X normált tér F lineáris funkcionálját korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan C > 0 szám, hogy az X minden x eleme esetén |F (x)| ≤ C||x|| teljesül. Vegyük észre, hogy ez pontosan azt jelenti, hogy F korlátos az X tér zárt egységgömbjén. 5.43 Tétel Normált tér lineáris funkcionálja akkor és csak akkor folytonos, ha korlátos. Bizonyı́tás. Legyen az X normált tér F lineáris funkcionálja folytonos Ekkor a ε = 1 számhoz van olyan δ > 0 szám, hogy ha ||x|| < δ, akkor |F (x)| < 1, hiszen δx elem

normája F folytonos a nullában, és F (0) = 0. Ha x 6= 0, akkor a 2||x|| 1 2 δ < δ, ı́gy δx )| < 1, |F ( 2||x|| ı́gy |F (x)| < 2 ||x||, δ tehát F korlátos. Megfordı́tva, legyen F korlátos, azaz, az X minden x eleme esetén teljesüljön |F (x)| ≤ C||x|| valamilyen C > 0 számmal. Ha ε > 0 tetszőleges szám, és az X valamely x elemére ||x|| < Cε teljesül, akkor tehát |F (x)| ≤ C||x|| < C ε = ε, C ı́gy F folytonos a nullában, s a 5.42 tétel alapján mindenütt Legyen X normált tér, F az X folytonos lineáris funkcionálja. Az előző tétel szerint ez pontosan akkor teljesül, ha F korlátos az X zárt egységgömbjén. Legyen ||F || = sup |F (x)|. ||x||≤1 40 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS Könnyű látni, hogy ||F || = inf{C| |F (x)| ≤ C||x|| minden x − re}, továbbá ||F || = sup |F (x)|. ||x||=1 Azt is könnyű ellenőrizni, hogy az F 7 ||F || függvény rendelkezik a norma

tulajdonságaival. Vegyük figyelembe, hogy egy normált tér összes folytonos lineáris funkcionáljai nyilván lineáris teret alkotnak, ı́gy érvényes a következő tétel. 5.44 Tétel Normált tér összes folytonos lineáris funkcionáljai normált teret alkotnak. Megjegyezzük, hogy egy normált tér összes folytonos lineáris funkcionáljai normált terével kapcsolatban mindig az imént értelmezett normára gondolunk. Egy normált tér összes folytonos lineáris funkcionáljainak normált terét az eredeti tér duális terének nevezzük, a fentiekben értelmezett normát pedig duális normának. 5.5 Példák lineáris funkcionálokra (a) Tekintsük az R normált teret az abszolútérték-függvényből származó normával. Ha F lineáris funkcionál az R normált téren, akkor az R bármely x eleme esetén F (x) = F (x · 1) = x · F (1) teljesül, hiszen x skalár. Nyilván F (1) az R

tetszőleges eleme lehet, ı́gy az R normált tér minden lineáris funkcionálja x 7 c · x alakú, ahol c az R tetszőleges eleme. Speciálisan, R minden lineáris funkcionálja folytonos. Az x 7 c · x lineáris funkcionál normája |c|. (b) Bármely n pozitı́v egész esetén tekintsük az Rn normált teret a ||.||1 , ||||2 , illetve ||.||∞ normák bármelyikével ellátva Az Rn tér valamely bázisát rögzı́tve, s az elemeknek ebben a bázisban való előállı́tását felhasználva nem nehéz megmutatni, hogy minden lineáris funkcionál x 7 c ¦ x alakú, ahol ¦ az Rn térben a szokásos belső szorzatot jelöli, c pedig az Rn egy eleme. Speciálisan, a fenti normák bármelyikével ellátott Rn normált téren minden lineáris funkcionál folytonos. Az x 7 c ¦ x lineáris funkcionál esetén a ||||1 norma duális normája ||.||∞ , a ||||2 norma duálisa ||||2 , a ||||∞ normáé pedig ||.||1 Hasonlóan

lehet igazolni, hogy bármely véges dimenziós normált téren minden lineáris funkcionál folytonos. (c) Tetszőleges p > 1 valós szám esetén az lp (R) téren lineáris funkcionálokat kaphatunk a következő módon. Legyen q olyan valós szám, hogy p1 + 1q = 1 5.5 Példák lineáris funkcionálokra 41 Ha y = (yn )n∈N az lq (R) tér tetszőleges eleme, akkor bármely lp (R)-beli x = (xn )n∈N elem esetén legyen Fy (x) = ∞ X xn yn . n=0 Nem nehéz belátni, hogy Fy az lp (R) tér folytonos linéaris funkcionálja. Jóval nehezebb annak bizonyı́tása, hogy az lp (R) tér minden folytonos lineáris funkcionálja megkapható ilyen módon. Az is igazolható, hogy az ||.||p norma duálisa ||||q A p = 1 esetben az l∞ (R) tér tetszőleges y = (yn )n∈N eleme, és bármely l1 (R)-beli x = (xn )n∈N elem esetén legyen Fy (x) = ∞ X xn yn . n=0 Ekkor Fy az l1 (R) tér folytonos linéaris funkcionálja. Az is

igazolható, hogy az l1 (R) tér minden folytonos lineáris funkcionálja ilyen alakú, s az ||.||1 norma duálisa az ||.||∞ norma (d) Legyen H tetszőleges halmaz, x0 a H tetszőleges eleme. A BK (H) normált tér bármely f eleme esetén legyen Fx0 = f (x0 ). Ekkor nyilván F lineáris funkcionál a BK (H) téren. Mivel |Fx0 (f )| ≤ ||f ||∞ nyilván minden BK (H)-beli f esetén fennáll, ı́gy az 5.43 tétel alapján ez a lineáris funkcionál folytonos. (e) Legyenek a < b valós számok. Tekintsük a CR [a, b] normált teret, mint BR [a, b] alterét, s ezen azt az F funkcionált, melyet CR [a, b] minden f eleme esetén az Z b F (f ) = f (x)dx a formulával értelmezünk. Nyilvánvaló, hogy F lineáris funkcionál, és a CR [a, b] tér minden f elemére fennálló |F (f )| ≤ (b − a)||f ||∞ egyenlőtlenség, valamint az 5.43 tétel alapján folytonos is Általánosabban, ha g : [a, b] R korlátos változású

függvény, és az F funkcionált a CR [a, b] minden f eleme esetén az Z b F (f ) = f (x)dg(x) a 42 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS Riemann–Stieltjes–integrál segı́tségével értelmezzük, akkor F folytonos lineáris funkcionál a CR [a, b] téren. Nevezetes eredmény, hogy a CR [a, b] tér minden folytonos lineáris funkcionálja ilyen módon állı́tható elő. (f) Legyenek a < x0 < b valós számok, k természetes szám. Tekintsük a (k) (k) CR [a, b] normált teret, s ezen azt az F funkcionált, melyet CR [a, b] minden f eleme esetén az F (f ) = f (k) (x0 )dx formulával értelmezünk. Nyilvánvaló, hogy F lineáris funkcionál, és a (k) CR [a, b] tér minden f elemére fennálló |F (f )| ≤ ||f ||(k) egyenlőtlenség, valamint az 5.43 tétel alapján folytonos is 5.6 Funkcionál variációja Legyen X normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, és F : D K egy funkcionál.

Akkor mondjuk, hogy az F funkcionál az x0 pontban differenciálható, vagy lineárisan approximálható, ha létezik olyan A : X K folytonos lineáris funkcionál, és ε : D K függvény, hogy limxx0 ε(x) = 0, és a D halmaz minden x pontjában F (x) − F (x0 ) = A(x − x0 ) + ε(x)||x − x0 || teljesül. Másszóval, F az x0 pontban pontosan akkor differenciálható, ha valamely A : X K folytonos lineáris funkcionál esetén fennáll lim xx0 F (x) − F (x0 ) − A(x − x0 ) = 0. ||x − x0 || 5.61 Tétel Legyen X normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, F : D K egy funkcionál, továbbá A1 , A2 : X K olyan lineáris funkcionálok, melyekre lim xx0 F (x) − F (x0 ) − Ai (x − x0 ) =0 ||x − x0 || (i = 1, 2) teljesül. Ekkor A1 = A2 Bizonyı́tás. A feltételből következik, hogy az A = A1 − A2 lineáris funkcionálra lim x0 A(x) =0 ||x|| 5.6 Funkcionál variációja 43

teljesül. Ha x az X nullától különböző eleme, akkor lim |λ|x = 0, λ0 tehát 0 = lim λ0 A(|λ|x) A(x) , = || |λ|x|| ||x|| s ı́gy A(x) = 0. A tétel szerint tehát ha az X normált tér D részhalmazának x0 belső pontjában az F : D K funkcionál differenciálható, akkor a differenciálhatóság definı́ciójában szereplő A folytonos lineáris funkcionál egyértelműen meg van határozva. Ezt a folytonos lineáris funkcionált az F funkcionál x0 pontbeli variációjának nevezzük, és δF (x0 ) módon jelöljük. 5.62 Tétel Legyen X normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, F : D K pedig egy funkcionál. Ha F differenciálható az x0 pontban, akkor ott folytonos. Bizonyı́tás. Az állı́tás az ¡ ¢ |F (x) − F (x0 )| ≤ ||δF (x0 )|| + |ε(x)| ||x − x0 || egyenlőtlenségből következik, mely a D halmaz minden x pontjában teljesül. 5.63 Tétel Normált

tér folytonos lineáris funkcionálja differenciálható, és variációja minden pontban önmaga. Bizonyı́tás. Az állı́tás az F (x) − F (x0 ) = F (x − x0 ) egyenlőségből következik, mely a normált tér bármely x, x0 elemei esetén fennáll. 5.64 Tétel Legyen X normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, F : D K pedig egy funkcionál. Ha F differenciálható az x0 pontban, akkor bármely X-beli h esetén ¤ 1£ F (x0 + λh) − F (x0 ) . δF (x0 )(h) = lim λ0 λ Bizonyı́tás. Az állı́tás a következő egyenlőségsorozatból következik: bármely λ 6= 0 skalár esetén ¤ ¤ 1£ 1£ F (x0 + λh) − F (x0 ) = lim δF (x0 )(λh) + |λ| ||h||ε(λh) = lim λ0 λ λ0 λ |λ| ||h||ε(λh) = δF (x0 )(h). λ0 λ = δF (x0 )(h) + lim 44 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS Az előző tételben szereplő lim λ0 ¤ 1£ F (x0 + λh) − F (x0 ) λ határértéket - amennyiben létezik

- az F funkcionál x0 pontbeli h iránymenti deriváltjának szokás nevezni. A tétel szerint tehát ha az F funkcionál egy x0 pontban differenciálható, akkor ott tetszőleges h irányban létezik az iránymenti deriváltja, és δF (x0 )(h)-val egyenlő. Megjegyezzük, hogy ez megfordı́tva nem igaz. Az iránymenti deriváltat a következő módon is interpretálhatjuk. Tegyük fel, hogy X normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, F : D K pedig egy funkcionál. Ha h az X tetszőleges eleme, akkor nyilván van olyan ε > 0 szám, hogy ha a λ skalárra |λ| < ε teljesül, akkor x0 + λh a D halmazhoz tartozik. A Φ(λ) = F (x0 + λh) módon adott Φ függvény tehát értelmezve van a 0 egy környezetében. Ha F differenciálható az x0 pontban, akkor a fentiek szerint Φ differenciálható 0-ban, és Φ0 (0) = δF (x0 )(h). A fenti megjegyzés szerint azonban F -nek az x0 -beli

differenciálhatósága még akkor sem következik, ha minden X-beli h esetén a Φ függvény differenciálható 0-ban. Az előző tétel alapján egy funkcionál adott pontbeli differenciálhatóságának vizsgálatát a következő módon végezhetjük el. Ha a funkcionál az adott pontban nem folytonos, akkor ott nem differenciálható, az 5.62 tétel szerint Ha a funkcionál az illető pontban folytonos, akkor rögzı́tett h esetén megvizsgáljuk a h iránymenti deriváltat, azaz, az előbbi Φ függvény 0 pontbeli differenciálhatóságát. Ha ez valamely h esetén nem áll fenn, akkor a funkcionál nem differenciálható az adott pontban. Ha az iránymenti derivált minden h irányban létezik, akkor annak, mint h függvényének folytonos lineáris funkcionálnak kell lennie, valamint eleget kell tennie a lineáris approximációs tulajdonságnak. Mindezek teljesülése esetén a funkcionál

differenciálható az adott pontban, s a vázolt módon a pontbeli variációját is megkapjuk. 5.7 Példák differenciálható funkcionálokra (a) Tekintsük az R normált teret az abszolútérték-függvényből származó normával. Ha D az R nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, F : D R pedig egy függvény, akkor az F funkcionál x0 -beli differenciálhatósága nyilván ekvivalens az F függvény x0 -beli, klasszikus értelemben vett differenciálhatóságával. Ha tehát F az x0 -ban differenciálható, akkor δF (x0 ) az x 7 F 0 (x0 ) · x lineáris funkcionál, s ha h az R egy eleme, akkor az F funkcionál h-beli iránymenti deriváltja F 0 (x0 ) · h. (b) Bármely n pozitı́v egész szám esetén tekintsük az Rn normált teret az euklideszi normával. Ha D az Rn nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, F : D R pedig egy függvény, akkor az F funkcionál x0 -beli 5.7 Példák

differenciálható funkcionálokra 45 differenciálhatósága nyilván ekvivalens az F n-változós függvény x0 -beli, klasszikus értelemben vett differenciálhatóságával. Ha tehát F az x0 -ban differenciálható, akkor δF (x0 ) az x 7 grad F (x0 ) ¦ x lineáris funkcionál, s ha h az R egy eleme, akkor az F funkcionál h-beli iránymenti deriváltja grad F (x0 ) ¦ h. Speciálisan, a derékszögű koordinátarendszer tengelyeivel egyirányú egységvektorok által meghatározott iránymenti deriváltak éppen a megfelelő parciális deriváltak. Így ebben az esetben a δF (x0 ) variáció azonosı́tható az F 0 (x0 ) deriválttal. Ismeretes, hogy az iránymenti deriváltak létezéséből nem következik a differenciálhatóság. (c) Legyenek a < b valós számok, ϕ : [a, b] × R R egy folytonos függvény, és tekintsük a CR [a, b] normált téren a következő funkcionált: a CR [a, b] bármely f

eleme esetén legyen Z b F (f ) = ϕ(x, f (x))dx. a Vizsgáljuk meg az F funkcionál differenciálhatóságát a CR [a, b] tér egy tetszőleges f0 pontjában. Könnyű ellenőrizni, hogy az F funkcionál minden pontban folytonos Az f0 pontbeli iránymenti derivált a következő határérték: ·Z b ¸ Z b 1 ϕ(x, f0 (x) + λf (x))dx − lim ϕ(x, f0 (x))dx = λ0 λ a a ¸ Z · 1 b ϕ(x, f0 (x) + λf (x)) − ϕ(x, f0 (x)) dx = = lim λ0 λ a ¸ Z b · 1 ϕ(x, f0 (x) + λf (x)) − ϕ(x, f0 (x)) dx, = lim λ0 a λ feltéve, hogy létezik. Ha például ∂2 ϕ létezik, és folytonos, akkor a fenti határérték létezik, és értéke Z b f (x) · ∂2 ϕ(x, f0 (x))dx. a Ezek szerint az F funkcionál f0 -beli variációja csak az Z b f 7 ∂2 ϕ(x, f0 (x)) · f (x)dx a funkcionál lehet, mely valóban folytonos, és lineáris. Hogy F az f0 -ban valóban differenciálható, azt a ¯ ¯ ¯Rb£ ¤ ¯ ¯ ¯ ¯ a ϕ(x, f0 (x) + f (x)) − ϕ(x,

f0 (x)) − ∂2 ϕ(x, f0 (x)) · f (x) dx¯ =0 lim f 0 ||f || reláció mutatja. 46 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS (1) (d) Legyenek a < b valós számok, és tekintsük a CR [a, b] normált téren a (1) következő funkcionált: a CR [a, b] bármely f eleme esetén legyen Z b F (f ) = p 1 + f 0 (x)2 dx. a (1) A fentiekhez hasonló számı́tás mutatja, hogy az F funkcionál a CR [a, b] normált tér tetszőleges f0 pontjában differenciálható, és δF (f0 ) variációja az Z b 2f 0 (x)2 p 0 f 7 f 0 (x)dx 1 + f00 (x)2 a folytonos lineáris funkcionál. (e) Legyenek a < b valós számok, n pozitı́v egész, ϕ : [a, b] × Rn+1 R pedig egy folytonos, és az utolsó n+1 változója szerint folytonosan differenciálható (n) függvény. Tekintsük a CR [a, b] normált téren a következő funkcionált: a (n) CR [a, b] bármely f eleme esetén legyen Z b F (f ) = ϕ(x, f (x), f 0 (x), . , f (n) (x))dx a (n) A

fentiekhez hasonló számı́tás mutatja, hogy az F funkcionál a CR [a, b] normált tér tetszőleges f0 pontjában differenciálható, és δF (f0 ) variációja az Z bµ (n) f 7 ∂2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x)) · f (x) + a ¶ (n) · · · + ∂n+2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x)) · f (n) (x) dx folytonos lineáris funkcionál. Az n = 1 esetben például ¶ Z bµ δF (f0 )(f ) = ∂2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x))·f (x)+∂3 ϕ(x, f0 (x), f00 (x))·f 0 (x) dx. a 5.8 Bilineáris és kvadratikus funkcionálok Legyen X normált tér, B : X × X K pedig egy függvény. A B-t bilineáris funkcionálnak nevezzük az X-en, ha az X bármely rögzı́tett y eleme esetén az x 7 B(x, y) funkcionál, és az X bármely rögzı́tett x eleme esetén az y 7 B(x, y) funkcionál lineáris. Ezt úgy szoktuk kifejezni, hogy B mindkét változójában lineáris. A B-t szimmetrikus bilineáris funkcionálnak nevezzük, ha az X minden x, y

eleme esetén B(x, y) = B(y, x). Ha például F és G az X normált tér lineáris funkcionáljai, akkor az (x, y) 7 F (x)G(y) funkcionál nyilván bilineáris, mely pontosan akkor szimmetrikus, ha F és G lineárisan függők. 5.8 Bilineáris és kvadratikus funkcionálok 47 Az X normált téren értelmezett Q : X K funkcionált kvadratikus funkcionálnak nevezzük, ha van olyan B szimmetrikus bilineáris funkcionál, hogy az X minden x eleme esetén Q(x) = B(x, x). Ekkor a Q kvadratikus funkcionált a B szimmetrikus bilineáris funkcionál polarizáltjának nevezzük. Könnyen ellenőrizhető, hogy minden B szimmetrikus bilineáris funkcionál esetén az X tetszőleges x, y elemeire fennáll a B(x, y) = ¤ 1£ B(x + y, x + y) − B(x, x) − B(y, y) 2 egyenlőség, az úgynevezett polarizációs formula, melynek következtében minden szimmetrikus bilineáris funkcionál egyértelműen meg van határozva polarizáltja

által. Világos, hogy minden B bilineáris forma, és minden X-beli x esetén B(x, 0) = B(0, x) = 0 teljesül, ı́gy minden kvadratikus funkcionál 0 értéket vesz fel a nullában. 5.81 Tétel Az X normált tér B szimmetrikus bilineáris funkcionálja akkor és csak akkor folytonos, ha létezik olyan C > 0 szám, hogy az X bármely x, y elemei esetén |B(x, y)| ≤ C||x|| ||y|| teljesül. Bizonyı́tás. Legyen először a B szimmetrikus bilineáris funkcionál folytonos Mivel B(0, 0) = 0, ezért az ε = 1 számhoz van olyan δ > 0 szám, hogy ha x, y az X olyan elemei, melyekre ||x|| < δ, és ||y|| < δ teljesül, akkor |B(x, y)| < 1. δx és Ha x, y az X tér nullától különböző elemei, akkor a 2||x|| kisebb, mint δ, ı́gy δy δx , )| < 1, |B( 2||x|| 2||y|| δy 2||y|| elemek normája tehát 4 ||x|| ||y||. δ2 Megfordı́tva, tegyük fel, hogy létezik olyan C > 0 szám, hogy az X bármely x, y elemei

esetén |B(x, y)| ≤ C||x|| ||y|| |B(x, y)| ≤ teljesül. Ekkor az X tér bármely x0 , y0 , x, y elemei esetén fennáll |B(x, y) − B(x0 , y0 )| = |B(x0 , y − y0 ) + B(x − x0 , y0 ) + B(x − x0 , y − y0 )| ≤ ≤ C(||x0 || ||y − y0 || + ||x − x0 || ||y0 || + ||x − x0 || ||y − y0 ||), amiből következik, hogy B folytonos az (x0 , y0 ) pontban. 48 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS Ebből a tételből azonnal adódik az alábbi következmény. 5.82 Tétel Az X normált téren értelmezett Q kvadratikus funkcionál akkor és csak akkor folytonos, ha létezik olyan C > 0 szám, hogy az X bármely x eleme esetén |Q(x)| ≤ C||x||2 teljesül. A polarizációs formula alapján világos, hogy normált tér szimmetrikus bilineáris funkcionálja akkor és csak akkor folytonos, ha polarizáltja folytonos. 5.9 Példák bilineáris és kvadratikus funkcionálokra (a) Az abszolútérték-függvényből származó

normával ellátott R téren a lineáris funkcionálokhoz hasonlóan a bilineáris, és a kvadratikus funkcionálok teljesen leı́rhatók. Nevezetesen, minden bilineáris funkcionál (x, y) 7 c · x · y alakú, ahol c tetszőleges valós szám. Speciálisan, minden bilineáris funkcionál szimmetrikus és folytonos. Ennek megfelelően a kvadratikus funkcionálok általános alakja x 7 c · x2 , ahol c tetszőleges valós szám. (b) Legyen n pozitı́v egész szám, A pedig egy n × n tı́pusú valós elemű mátrix. Tekintsük az Rn normált teret a korábbiakban leı́rt normák bármelyikével, és értelmezzük a B funkcionált a következő módon: ha x = (x1 , x2 , . , xn ) és y = (y1 , y2 , . , yn ) az Rn elemei, akkor legyen B(x, y) = n X n X aij xi yj . i=1 j=1 Világos, hogy B folytonos bilineáris funkcionál az Rn normált téren, mely pontosan akkor szimmetrikus, ha az A mátrix szimmetrikus. Az Rn tér

elemeinek valamely rögzı́tett bázisbeli előállı́tását felhasználva könnyű megmutatni, hogy az Rn normált téren minden bilineáris funkcionál ilyen módon kapható meg. Speciálisan, az Rn normált téren minden bilineáris funkcionál folytonos. Ezek alapján könnyen magkaphatjuk az Rn tér kvdaratikus funkcionáljainak teljes leı́rását is, és azt, hogy Rn -en minden kvadratikus funkcionál folytonos. (c) Ha a < b valós számok, α : [a, b] R korlátos változású függvény, akkor folytonos szimmetrikus bilineáris funkcionált értelmezhetünk CR [a, b]-n a következő módon: bármely CR [a, b]-beli f, g függvények esetén legyen Z b B(f, g) = f (x)g(x)dα(x). a 5.10 Funkcionál második variációja 49 A megfelelő kvadratikus funkcionált ekkor a CR [a, b]-beli f függvény esetén Z Q(f ) = b f (x)2 dα(x) a módon adott Q ı́rja le. Ha K : [a, b] × [a, b] R folytonos

függvény, akkor ugyancsak bilineáris funkcionált értelmez CR [a, b]-beli f, g függvények esetén a Z bZ b B(f, g) = K(x, y)f (x)g(y)dx dy a a formula, mely folytonos, és pontosan akkor szimmetrikus, ha K(x, y) = K(y, x) teljesül minden [a, b]-beli x, y esetén. 5.10 Funkcionál második variációja Legyen X normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, és F : D K egy funkcionál. Akkor mondjuk, hogy az F funkcionál az x0 pontban kétszer differenciálható, ha létezik egy olyan A : X K folytonos lineáris funkcionál, egy olyan Q : X K folytonos kvadratikus funkcionál, és egy olyan ε : D K függvény, hogy limxx0 ε(x) = 0, és a D halmaz minden x pontjában 1 F (x) − F (x0 ) = A(x − x0 ) + Q(x − x0 ) + ε(x)||x − x0 ||2 2 teljesül. Másszóval, F az x0 pontban pontosan akkor kétszer differenciálható, ha valamely A : X K folytonos lineáris funkcionál, és valamely Q : X K

folytonos kvadratikus funkcionál esetén fennáll lim xx0 F (x) − F (x0 ) − A(x − x0 ) − 21 Q(x − x0 ) = 0. ||x − x0 ||2 Világos, hogy ekkor F differenciálható x0 -ban, és A = δF (x0 ). Az 561 tétel mintájára könnyű megmutatni, hogy a Q kvadratikus funkcionál is egyértelműen meg van határozva, melyet az F funkcionál x0 pontbeli második variációjának nevezünk, és δ 2 F (x0 ) módon jelölünk. Az 5.64 tétel utáni megjegyzések alapján ha F kétszer differenciálható x0 -ban, akkor tetszőleges X-beli h pontban az x0 -beli első, illetve második variációja a λ 7 F (x0 + λh) függvény 0 pontbeli első, illetve második deriváltja. 50 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS 5.11 Példák kétszer differenciálható funkcionálokra (a) Tekintsük az R normált teret az abszolútérték-függvényből származó normával. Ha D az R nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, az

F : D R függvény pedig az x0 pontban kétszer differenciálható, akkor az F funkcionál x0 -ban kétszer differenciálható, és bármely valós h esetén δ 2 F (x0 )(h) = F 00 (x0 ) · h2 . Ha tehát F az x0 -ban kétszer differenciálható, akkor δ 2 F (x0 ) az x 7 F 00 (x0 ) · x2 kvadratikus funkcionál. (b) Bármely n pozitı́v egész szám esetén tekintsük az Rn normált teret az euklideszi normával. Ha D az Rn nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, az F : D R függvény pedig az x0 pontban kétszer differenciálható, akkor az F funkcionál x0 -ban kétszer differenciálható, és bármely Rn -beli h esetén δ 2 F (x0 )(h) = F 00 (x0 )h ¦ h, ahol F 00 (x0 ) az F függvény második parciális deriváltjaiból képzett n × n tı́pusú mátrix, ¦ pedig a belső szorzat Rn -ben. (c) Legyenek a < b valós számok, ϕ : [a, b] × R R egy folytonos függvény, mely második változója szerint

folytonosan differenciálható, és tekintsük a CR [a, b] normált téren a következő funkcionált: a CR [a, b] bármely f eleme esetén legyen Z b F (f ) = ϕ(x, f (x))dx. a Korábban láttuk, hogy az F funkcionál a CR [a, b] tér egy tetszőleges f0 pontjában differenciálható, és Z b δF (x0 )(f ) = ∂2 ϕ(x, f0 (x)) · f (x)dx. a Ha ϕ a második változója szerint kétszer folytonosan differenciálható, akkor a fentiek alapján az F funkcionál a CR [a, b] tér egy tetszőleges f0 pontjában kétszer differenciálható, és Z b 2 δ F (x0 )(f ) = ∂2 ϕ(x, f0 (x)) · f (x)2 dx. a (1) (d) Legyenek a < b valós számok, és tekintsük a CR [a, b] normált téren a (1) következő funkcionált: a CR [a, b] bármely f eleme esetén legyen Z F (f ) = b xf (x)2 + f 0 (x)3 dx. a (1) A fentiek alapján az F funkcionál a CR [a, b] normált tér tetszőleges f0 pontjában kétszer differenciálható, és Z

δF (f0 )(f ) = a b £ ¤ 2xf0 (x)f (x) + 3f00 (x)2 f 0 (x) dx, 5.12 Funkcionálok extrémuma valamint 51 Z b δ 2 F (f0 )(f ) = a 5.12 £ ¤ 2xf (x)2 + 6f00 (x)f 0 (x)2 dx. Funkcionálok extrémuma Legyen X valós normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy pontja, és F : D R egy funkcionál. Akkor mondjuk, hogy az F funkcionálnak az x0 pontban lokális minimuma, illetve lokális maximuma van, ha van olyan ρ > 0 szám, hogy a D halmaz minden olyan x pontjában, melyre ||x − x0 || < ρ teljesül, fennáll F (x) ≥ F (x0 ), illetve F (x) ≤ F (x0 ). Ha itt minden x 6= x0 esetén szigorú egyenlőtlenség áll, akkor szigorú lokális minimumról, illetve maximumról beszélünk. A lokális minimum és lokális maximum közös neve: lokális extrémum, vagy lokális szélsőérték. 5.121 Tétel Legyen X valós normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D egy belső pontja, és F : D K egy

funkcionál, mely x0 -ban differenciálható. Ha az F funkcionálnak az x0 pontban lokális extrémuma van, akkor δF (x0 ) = 0. Bizonyı́tás. A lokális minimum esetével foglalkozunk Legyen ρ > 0 olyan szám, hogy ha az X normált tér x elemére ||x − x0 || < ρ teljesül, akkor x a D-hez tartozik, és F (x) ≥ F (x0 ). Ha h az X egy eleme, melyre ||h|| = ρ, és |λ| < 1, akkor x0 + λh a D halmazhoz tartozik, és legyen Φ(λ) = F (x0 + λh). A feltételek szerint a Φ :] − 1, 1[ R függvénynek 0-ban lokális minimuma van, ebben a pontban differenciálható, és δF (x0 )(h) = Φ0 (0) = 0. Végül, ha h az X tetszőleges, nullától különböző eleme, akkor δF (x0 )(h) = hiszen ρh ||h|| F( ) = 0, ρ ||h|| ¯¯ ¯¯ ¯¯ ρh ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ||h|| ¯¯ = ρ. A tétel azt sugallja, hogy normált terek funkcionáljai extrémumának keresésekor a többváltozós függvények elméletéből ismert

módszerekhez hasonlókat alkalmazhatunk. A lokális extrémumhelyek az olyan, úgynevezett stacionárius helyek közül kerülnek ki, amelyekben a funkcionál első variációja eltűnik. Ne felejtsük el azonban, hogy az első variáció egy folytonos lineáris funkcionál, azaz, egy függvény, melynek eltűnése azt jelenti, hogy ez a függvény értelmezési tartományának minden pontjában nulla értéket vesz fel. Az R normált téren, mint láttuk, a folytonos lineáris funkcionálok egyetlen valós 52 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS számmal jellemezhetők, ”szabadsági fokuk” 1, ı́gy eltűnésük azáltal jellemezhető, hogy egy valós szám nullával egyenlő. Az Rn normált téren a folytonos lineáris funkcionálok egy n komponensű vektorral ı́rhatók le, ı́gy eltűnésük n valós szám egyidejű eltűnésével jellemezhető, ami úgy is felfogható, hogy a stacionárius helyeket egy n

egyenletből álló, n ismeretlent tartalmazó - általában nem lineáris - egyenletrendszer megoldásai adják. A variációszámı́tás szempontjából leginkább érdekes esetekben, amikor a funkcionálok értelmezési tartománya valamilyen, nem véges dimenziós, általában függvényekből álló normált tér, akkor - mint látni fogjuk - a stacionárius helyek differenciálegyenletrendszerek segı́tségével ı́rhatók le. 5.13 Az Euler–Lagrange–féle differenciálegyenletek Az előző szakaszban láttuk, hogy egy normált tér funkcionáljaival kapcsolatos extrémum-problémák tanulmányozása során olyan feltételekkel kerülünk szembe, melyek teljesüléséhez egy adott folytonos lineáris funkcionálnak azonosan nullának kell lennie. Az általános esetben ennél többet nem lehet mondani, de azokban a speciális esetekben, amelyek a klasszikus variációs problémák megoldásának

érdekében az egész elmélet kialakulását elősegı́tették olyan konkrét funkcionálok szerepelnek, melyek variációjának eltűnése további következményekkel jár. Ezek a következmények a legnevezetesebb esetekben bizonyos differenciálegyneletek formájában öltenek testet. Az 5.7 szakasz utolsó példájában szerepelt a következő funkcionál Legyenek a < b valós számok, n pozitı́v egész, ϕ : [a, b]×Rn+1 R pedig egy folytonos, és az utolsó n+1 változója szerint folytonosan differenciálható függvény. Tekintsük (n) (n) a CR [a, b] normált téren a következő funkcionált: a CR [a, b] bármely f eleme esetén legyen Z b F (f ) = ϕ(x, f (x), f 0 (x), . , f (n) (x))dx a (n) A korábbiak alapján láttuk, hogy az F funkcionál a CR [a, b] normált tér tetszőleges f0 pontjában differenciálható, és δF (f0 ) variációja az Z bµ (n) f 7 ∂2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x))

· f (x) + a ¶ (n) · · · + ∂n+2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x)) · f (n) (x) dx folytonos lineáris funkcionál. Ahhoz tehát, hogy az F funkcionálnak értelmezési tartománya egy f0 belső pontjában lokális extrémuma legyen szükséges, hogy (n) δF (f0 ) a nulla funkcionál legyen, vagyis a CR [a, b] tér minden f eleme esetén a fenti kifejezés nulla érteket vegyen fel. Célunk az, hogy ezt a követelményt egy olyan feltétellel helyettesı́tsük, amelyben az f már nem szerepel, tehát a feltétel csupán f0 -ra vonatkozik. Ebből a szempontból alapvető fontosságú a következő tétel. 5.13 Az Euler–Lagrange–féle differenciálegyenletek 53 5.131 Tétel (Lagrange–lemma) Legyenek a < b valós számok, n pozitı́v (n) egész, ψ : [a, b] R folytonos függvény, és tegyük fel, hogy a CR [a, b] tér minden olyan f eleme esetén, melyre f (k) (a) = f (k) (b) = 0 teljesül minden k = 0, 1, .

, n − 1 esetén, ugyancsak fennáll Z b ψ(x)f (x)dx = 0. a Ekkor ψ = 0. Bizonyı́tás. Ha ψ 6= 0, akkor van az [a, b] intervallumnak olyan x0 belső pontja, és olyan δ > 0 szám, hogy ha az x valós számra |x − x0 | < δ teljesül, akkor x az [a, b] intervallumhoz tartozik, és ψ(x) > 0. Legyen ekkor minden [a, b]-beli x esetén ( (x − x0 + δ)n+1 (x0 + δ − x)n+1 ha x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ, f (x) = 0 egyébként. (n) Az f függvény nyilván a CR [a, b] térhez tartozik, és fennáll f (k) (a) = f (k) (b) = 0 minden k = 0, 1, . , n − 1 esetén, másrészt világos, hogy Z Z b x0 +δ ψ(x)f (x)dx = a ψ(x)f (x)dx > 0, x0 −δ ami ellentmondás. 5.132 Tétel (Euler–Poisson–féle differenciálegyenlet) Legyenek a < b valós számok, n pozitı́v egész, ϕ : [a, b] × Rn+1 R pedig egy folytonosan (n) differenciálható függvény. Tekintsük a CR [a, b] normált téren a következő (n)

funkcionált: a CR [a, b] bármely f eleme esetén legyen Z F (f ) = b ϕ(x, f (x), f 0 (x), . , f (n) (x))dx a (n) Ha az F funkcionálnak a CR [a, b] tér f0 pontjában lokális extrémuma van, akkor az f0 függvényre az [a, b] intervallum minden x pontjában fennáll az (n) ∂2 ϕ(x, f0 (x), . , f0 (x)) − + . (−1)n d (n) ∂2 ϕ(x, f0 (x), . , f0 (x)) + dx dn (n) ∂n+2 ϕ(x, f0 (x), . , f0 (x)) = 0, dxn úgynevezett Euler–Poisson–féle differenciálegyenlet. 54 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS (n) Bizonyı́tás. A korábbiakban láttuk, hogy az F funkcionál a CR [a, b] normált tér tetszőleges f0 pontjában differenciálható, és δF (f0 ) variációja az Z bµ (n) f 7 ∂2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x)) · f (x) + a ··· + (n) ∂n+2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x)) ·f (n) ¶ (x) dx folytonos lineáris funkcionál. Ezért, ha F -nek az f0 pontban lokális extrémuma van, akkor az 5.121

tétel alapján Z bµ (n) ∂2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x)) · f (x) + a ··· + (n) ∂n+2 ϕ(x, f0 (x), f00 (x), . , f0 (x)) ·f (n) ¶ (x) dx = 0 (n) (n) teljesül a CR [a, b] normált tér tetszőleges f eleme esetén. Legyen f a CR [a, b] tér olyan eleme, melyre f (k) (a) = f (k) (b) = 0 teljesül minden k = 0, 1, . , n − 1 mellett. Ismételt parciális integrálással az előbbi feltételből azt kapjuk, hogy Z bµ d (n) (n) ∂2 ϕ(x, f0 (x), . , f0 (x)) + ∂2 ϕ(x, f0 (x), . , f0 (x)) − dx a ¶ dn (n) + . (−1)n n ∂n+2 ϕ(x, f0 (x), , f0 (x)) · f (x) = 0, dx s ebből az állı́tás az 5.131 Lagrange–lemma alapján következik Hasonló meggondolások alapján könnyen kapjuk a következő tételt a (1) (1) (1) CR [a, b] × CR [a, b] × · · · × CR [a, b] normált szorzattéren. 5.133 Tétel (Euler–Lagrange–féle differenciálegyenletek) Legyenek a < b valós számok, n pozitı́v

egész, ϕ : [a, b] × Rn × Rn R pedig egy kétszer (1) (1) folytonosan differenciálható függvény. Tekintsük a CR [a, b] × CR [a, b] × (1) (1) · · · × CR [a, b] normált téren a következő funkcionált: a CR [a, b] bármely f1 , f2 , . , fn elemei esetén legyen Z b F (f1 , f2 , . , fn ) = ϕ(x, f1 (x), f2 (x), . , fn (x), f10 (x), f20 (x), , fn0 (x))dx a (1) (1) (1) Ha az F funkcionálnak a CR [a, b] × CR [a, b] × · · · × CR [a, b] tér f0 = (f01 , f02 , . , f0n ) pontjában lokális extrémuma van, akkor az [a, b] intervallum minden x pontjában fennáll az 0 ∂k+1 ϕ(x, f01 (x), . , f0n (x)) − d 0 ∂n+k+1 ϕ(x, f01 (x), . , f0n (x)) = 0 dx (k = 1, 2, . , n), úgynevezett Euler–Lagrange–féle differenciálegyenletrendszer 5.14 Egy elegendő feltétel az extrémumra 5.14 55 Egy elegendő feltétel az extrémumra Legyen X normált tér, Q pedig az X egy kvadratikus funkcionálja. Akkor mondjuk,

hogy a Q funkcionál pozitı́v (negatı́v) definit, ha bármely X-beli nullától különböző x elem esetén Q(x) > 0 (Q(x) < 0)) teljesül. Akkor mondjuk, hogy a Q funkcionál szigorúan pozitı́v (negatı́v), ha létezik olyan k > 0 szám, hogy az X minden x eleme esetén Q(x) ≥ k||x||2 , (Q(x) ≤ −k||x||2 ) teljesül. A szigorú pozitivitás tehát azt jelenti, hogy a funkcionálnak a zárt egységgömb nullától különböző elemeiből álló részhalmazán pozitı́v alsó (negatı́v felső) korlátja van. Nyilvánvaló, hogy minden szigorúan pozitı́v (szigorúan negatı́v) kvadratikus funkcionál pozitı́v (negatı́v) definit, de ez fordı́tva nem igaz. Legyenek például a < b valós számok, és tekintsük a CR [a, b] normált téren a Z b Q(f ) = f (x)2 dx a módon értelmezett kvadratikus funkcionált. Világos, hogy ez pozitı́v definit, hiszen a CR [a, b] normált tér minden nem

azonosan nulla f eleme esetén Q(f ) > 0. Másrészt, tetszőleges pozitı́v egész n szám esetén van a CR [a, b] térnek olyan fn eleme, melyre ||fn || = 1, s melynél Z b 1 fn (x)2 dx < . n a Ebből adódik, hogy n ∞ esetén Q(fn ) 0, ı́gy Q nem lehet szigorúan pozitı́v. 5.141 Tétel Legyen X valós normált tér, D az X nem üres részhalmaza, x0 a D belső pontja, s legyen az F : D R funkcionál az x0 pontban kétszer differenciálható. Ha δF (x0 ) = 0, és δ 2 F (x0 ) szigorúan pozitı́v (negatı́v), akkor F -nek x0 -ban lokális minimuma (maximuma) van. Bizonyı́tás. A szigorú pozitivitás esetével foglalkozunk valamely k > 0 szám esetén Tegyük fel, hogy δ 2 F (x0 )(x) ≥ k||x||2 teljesül az X tér minden x eleme esetén, továbbá van olyan ρ > 0, hogy ha ||x − x0 || < ρ, akkor x a D-hez tartozik, és fennáll F (x) − F (x0 ) = 1 2 δ F (x0 )(x − x0 ) + ε(x)||x − x0 ||2 . 2 Mivel

ε határértéke x0 -ban ), ı́gy van olyan 0 < δ < ρ szám, melyre ||x−x0 || < δ esetén |ε(x)| < 21 k. Tehát 0 6= ||x − x0 || < δ esetén 1 F (x) − F (x0 ) + δ 2 F (x0 )(x − x0 ) + ε(x)||x − x0 ||2 ≥ 2 56 5 VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ¡1 ¢ kε(x) ||x − x0 ||2 > 0, 2 tehát x0 -ban F -nek lokális minimuma van. ≥ A tételben adott elegendő feltétel megfelel a többváltozós függvények esetében használatos, a második derivált definitségére vonatkozó ismert elegendő feltételnek. Megjegyezzük, hogy ennek a feltételnek az alkalmazhatósága nem túlságosan hatékony