Matematika | Középiskola » Matematika képlettár

Képlettár A képlettár segítséget nyújt a feladatok megoldásához, de nem tartalmazza azokat az ismereteket és összefüggéseket, amelyek a részletes érettségi vizsgakövetelményben bizonyítandó tételként szerepelnek. Hatványok a n − bn = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + . + a n−k bk−1 + + abn−2 + bn−1 ) a 2k+1 + b2k+1 = (a + b)(a 2k − a 2k−1 b + . + (−1)2k−n a 2k−n bn + − ab2k−1 + b2k ) a 2k − b2k = (a + b)(a 2k−1 − a 2k−2 b + . + (−1)n−1 a 2k−n bn−1 + + ab2k−2 − b2k−1 ) Binomiális tétel           n n n n−1 n n−k k n n n n−1 (a + b) = a + a b + . + a b + . + ab + b 0 1 k n−1 n n (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3 . (a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab2 − b3 . Binomiális együtthatók   n n · (n − 1) · (n − 2) · . · (n − k + 1) n! = = . 1 · 2 · 3 · . · k k!(n − k)! k     n n = = 1. 0 n     n n = . k n−k       n n n+1 + = . k k+1 k+1

Különböz® alapú logaritmusok loga x loga b loga b · logb a = 1 logb x = 1 Közepek a1 + a2 + a3 + . + an = Aritmetikai közép: A = n n P ai i=1 n n P gi ai g1 a1 + g2 a2 + g3 a3 + . + gn an i=1 = n Súlyozott közép: A = P g1 + g2 + g3 + . + gn gi ′ i=1 v u n uY √ n n Geometriai közép: G = a1 · a2 · . · an = t ai i=1 Harmonikus közép: H = 1 a1 + 1 a2 n + . + 1 an = n n P 1 i=1 Négyzetes közép: Q = s a12 + a22 + . + an2 = n v uP u n 2 u ai t i=1 n Háromszög K = 2s = a + b + c abc am a ab sin γ = = = sr . T = 2 2 4R p T = s(s − a)(s − b)(s − c). a 2 sin β sin γ T = 2 sin α Négyszögek Paralelogramma: T = a · m a = ab sin α Trapéz: T = ai a+c m = mk 2 2 ef 2 Deltoid: T = Húrnégyszög: T = Körcikk: π ri r 2 α π 2 ◦ ◦ i = r α= rα , T = = = r α ◦ 180 2 2 360◦ p (s − a)(s − b)(s − c)(s − d); 2s = K ⌢ ⌢ Felszín és térfogat Hasáb: A = P + 2T , V = T m Gúla: A = P +

T, V = Csonkagúla: V = Tm 3 √ m (T + T t + t) 3 3 Forgáshenger: A = 2πr (m + r ), V = πr 2 m Forgáskúp: A = πr (a + r ), V = Csonkakúp: A = π [R 2 + r 2 + (R + r )a], V = Gömb: A = 4π R 2 = π d 2 V = πr 2 m 3 π m(R 2 + r 2 + Rr ) 3 4π 3 π 3 R = d 3 6 Trigonometriai összefüggések sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β tg α ± tg β tg(α ± β) = 1 ∓ tg α · tg β ctg β · ctg α ∓ 1 ctg(α ± β) = ctg β ± ctg α α+β α−β · cos sin α + sin β = 2 sin 2 2 α+β α−β cos α + cos β = 2 cos · cos 2 2 sin(α ± β) tg α ± tg β = cos α · cos β sin(β ± α) ctg α ± ctg β = sin α · sin β α+β α−β · sin 2 2 α+β α−β cos α − cos β = −2 sin · sin 2 2 sin α − sin β = 2 cos 4 sin 2α = 2 sin α · cos α; 2 tg α tg 2α = ; 2 1− r tg α 1 − cos α α sin = ± ; 2 2 r 1 + cos α α ; cos = ± 2 2 r 1 − cos α 1 − cos α

sin α α tg = ± = = 2 1 + cos α sin α 1 + cos α r 1 + cos α 1 + cos α sin α α ctg = ± = = 2 1 − cos α sin α 1 − cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α ctg2 α − 1 ctg 2α = 2 ctg α 1 − cos 2α sin2 α = 2 1 + cos 2α cos2 α = 2 Koordináta-geometria Adott arányban osztó pont koordinátái: x= P1 (x1 ; y1 ) ny1 + my2 nx1 + mx2 , y= , m+n m+n P(x; y) P2 (x2 ; y2 ) ahol P1 P : P P2 = m : n. Vektorok skaláris szorzata: ab = |a| |b| cos ^(a; b); ab = a1 b1 + a2 b2 , ahol a(a1 ; a2 ) Parabola Kanonikus egyenlet, ha C(0, 0), F p 2  , 0 : y 2 = 2 px 1 (x − u)2 + v 2p 1 x= (y − v)2 + u 2p Paraméteres egyenletei, ahol C(u, v): y = Di erenciálási szabályok: (c · f )′ = c · f ′ ( f ± g)′ = f ′ ± g ′ ( f · g)′ = f ′ · g + f · g ′  ′ f ′ · g − f · g′ f = g g2
′ f (g) = f ′ (g) · g ′ 5 és b(b1 ; b2). Trigonometrikus függvények deriváltjai (sin x)′ = cos x (cos x)′ = − sin x 1 (tg x)′ = cos2 x

1 (ctg x)′ = − 2 sin x Határozatlan integrál Integrálási szabályok: ∫(c · f ) = c · ∫ f ∫( f ± g) = ∫ f ± ∫ g ∫( f · g ′ ) = f · g − ∫( f ′ · g) Trigonometrikus függvények primitív függvényei ∫ sin x d x = − cos x + C ∫ cos x d x = sin x + C ∫ tg x d x = − ln | cos x| + C ∫ ctg x d x = ln | sin x| + C Határozott integrál b Ha [a; b]-on f integrálható és F ′ = f , akkor ∫ f (x) dx = F(b) − F(a). a Integrálási szabályok: b a ∫ f = −∫ f a b b c b ∫ f = ∫ f +∫ f a a c b b ∫(c · f ) = c · ∫ f a b a b b ∫( f ± g) = ∫ f ± ∫ g a a a 6 Statisztika Középeltérés: a mediántól való abszolút eltérések számtani közepe. P |xi − m e | . d = |xi − m e | = n Variancia (szórásnégyzet): a mintaközéptől való eltérések négyzetes közepe P 2 P 2 (x − x̄) xi i 2 2 , s = − (x̄)2 . s = (xi − x̄)2 = n n Szórás: a variancia négyzetgyöke q √ 2 s = s =

(x 2 ) − (x̄)2 . Valószín¶ség-számítás P(E) + P(E) = 1. Teljes eseményrendszerre: m X P(E k ) = 1. k=1 P(E 1 ∪ E 2 ∪ . ∪ E m ) ≤ m X P(E k ). k=1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B). A feltételes valószínűség összefüggései (F 6= O): 0 ≤ P(E | F) ≤ 1. P(E | F) = P(E), ha az E és F események függetlenek. X P(E 1 | F ∪ E 2 | F ∪ . ∪ E m | F) = P(E k | F), ha egymást páronként kizáró események. Eloszlások Egyenletes eloszlás: 1 ξ ∈ {x1 , x2 , x3 , . , xn }; ∀k: P(ξ = xk ) = ; n n n 1X 1X 1 µ= xk ; σ 2 = xk2 − 2 n k=1 n k=1 n Geometriai eloszlás: Paraméterek: p, q ∈ ]0; 1[ ∧ ( p + q = 1). ξ ∈ {1, 2, 3, . , n, }; ∀k: P(ξ = k) = p · q k−1 ; 7 µ= 1 ; p σ2 = 1− p . p2 n X k=1 xk !2