Matematika | Analízis » Székelyhidi László - Válogatott fejezetek analízisből

VÁLOGATOTT FEJEZETEK AZ ANALÍZISBŐL Székelyhidi László Tartalom A HAHN–BANACH–TÉTEL 1.1 Lineáris funkcionálok 1.2 Lineáris funkcionálok majorált kiterjesztése 1.3 Elválasztási tételek 5 5 6 8 KOMPAKTSÁG 2.1 Alapfogalmak 2.2 Szorzatterek 2.3 Általánosı́tott sorozatok kompakt halmazokban 2.4 Szekvenciális kompaktság 2.5 Kompaktság metrikus terekben 2.6 Teljesen korlátos halmazok 2.7 Kompaktság topologikus vektorterekben 2.8 Lokálisan kompakt topologikus vektorterek 2.9 Kompaktság normált terekben 2.10 Kompaktság sorozatterekben 2.11 Kompaktság függvényterekben 2.12 Kompaktság konjugált terekben 2.13 Extremális pontok 11 11 12 13 15 16 17 18 21 22 23 24 26 26 A STONE–WEIERSTRASS–TÉTEL 3.1 Folytonos függvények terei 3.2 A Stone–Weierstrass–tétel valós változata 3.3 Dini tétele 3.4 A Stone–Weierstrass–tétel komplex változata 3.5 Weierstrass approximációs tételei 3.6 Bishop

tétele 29 29 29 30 31 31 32 3 A HAHN–BANACH–TÉTEL 1.1 Lineáris funkcionálok A következőkben K a valós, vagy a komplex számok testét jelenti. Ha X lineáris tér a K test felett, akkor a K test elemeit skalároknak fogjuk nevezni, s X-et a K = R esetben valós lineáris térnek, a K = C esetben pedig komplex lineáris térnek mondjuk. Világos, hogy minden komplex lineáris tér egyben valós lineáris tér is, ha a skalárokkal való szorzást a valós skalárokkal való szorzásra korlátozzuk. A ”lineáris tér” kifejezés a továbbiakban vagy valós, vagy komplex lineáris teret jelent. Az X lineáris tér x1 , x2 , . , xn elemeinek λ1 , λ2 , , λn (n pozitı́v egész) skalárokkal való lineáris kombinációja a λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn elem. Ezt a lineáris kombinációt nem triviálisnak mondjuk, ha nem minden skalár nulla. Lineáris tér egy nem üres részhalmazát lineárisan

függetlennek nevezzük, ha a részhalmazból vett bármely véges sok különböző elem nem triviális lineáris kombinációja sohasem nulla. Ellenkező esetben a részhalmazt lineárisan függőnek mondjuk. Egy lineáris tér maximális lineárisan független részhalmazát a lineáris tér egy bázisának nevezzük. 1.11 Tétel Lineáris térben bármely lineárisan független halmaz részhalmaza valamely bázisnak. Bizonyı́tás. Az állı́tás a Zorn–lemma alapján következik ¤ A tétel szerint minden nem triviális, tehát nem csak a 0-ból álló lineáris térnek van bázisa. Lineáris tér egy részhalmazát lineáris altérnek, vagy röviden altérnek nevezzük, ha nem üres, és bármely két elemének bármely lineáris kombinációját tartalmazza. Világos, hogy egy altér az egész téren értelmezett műveletek megszorı́tásaival ellátva maga is lineáris tér. Az X lineáris

tér Y alterét direkt összeadandónak nevezzük, ha van az X-nek olyan Z lineáris altere, hogy az Y és Z Abel–csoportok direkt összege X. 1.12 Tétel Egy lineáris tér minden altere direkt összeadandó Bizonyı́tás. Legyen az X lineáris térnek Y egy altere, BY az Y egy bázisa, és B az X-nek egy olyan bázisa, mely tartalmazza BY -t. Ilyen B létezik, az 111 tétel alapján. Ha Z a BBY halmaz által generált altér, akkor könnyen látható, hogy X az Y és Z direkt összege. ¤ Legyen X valós lineáris tér. A p : X R függvényt szubadditı́vnak, illetve szuperadditı́vnak nevezzük, ha az X bármely x, y elemei esetén p(x + y) ≤ p(x) + p(y), illetve p(x) + p(y) ≤ p(x + y) 5 6 A HAHN–BANACH–TÉTEL teljesül. A p-t pozitı́v homogénnek mondjuk, ha bármely X-beli x, és α skalár esetén p(αx) = αp(x) teljesül. A p pozitı́v homogén függvényt szublineárisnak, illetve szuperlineárisnak

nevezzük, ha szubadditı́v, illetve szuperadditı́v. Világos, hogy p pontosan akkor szubadditı́v, illetve szublineáris, ha −p szuperadditı́v, illetve szuperlineáris. Ha X lineáris tér, és p : X K olyan függvény, hogy minden X-beli x és α skalár esetén p(αx) = |α|p(x) teljesül, akkor p-t abszolút homogénnak, s ha p(αx) = αp(x) teljesül, akkor homogénnak nevezzük. Ha p szubadditı́v és abszolút homogén, akkor szeminormának, vagy félnormának nevezzük. Végül a p szeminorma akkor norma, ha p(x) = 0-ból x = 0 következik. Legyen X lineáris tér. Az f : X K függvényt additı́vnak nevezzük, ha bármely X-beli x, y elemek esetén f (x + y) = f (x) + f (y) teljesül. Ha f additı́v, és homogén, akkor lineárisnak nevezzük Az X lineáris térnek a skalárok halmazába való lineáris leképezéseit lineáris funkcionáloknak nevezzük. Legyen X komplex lineáris tér. Az f : X R additı́v

függvényt valós lineáris funkcionálnak nevezzük, ha az X-en, mint valós lineáris téren lineáris funkcionál. Ha f egy lineáris funkcionál X-en, akkor u valós része, és v képzetes része nyilván valós lineáris funkcionálok, továbbá bármely X-beli x esetén fennáll f (x) = u(x) − iu(ix). Az is nyilvánvaló, hogy az X-en minden u valós lineáris funkconál segı́tségével az előbbi formula alapján értelmezett f funkcionál az X lineáris funkcionálja. 1.13 Tétel Ha ϕ az X lineáris tér Y alterének lineáris funkcionálja, akkor X-nek van olyan lineáris funkcionálja, mely Y -on ϕ-vel egyenlő. Bizonyı́tás. Az 112 tétel szerint X az Y és egy Y 0 altér direkt összege A ψ(y + y 0 ) = ϕ(y) (y ∈ Y, y 0 ∈ Y 0 ) összefüggés X-nek egy olyan ψ lineáris funkcionálját értelmezi, amely Y -on ϕ-vel egyenlő. ¤ 1.2 Lineáris funkcionálok majorált kiterjesztése 1.21 Tétel

Legyen X valós lineáris tér, p szublineáris függvény X-en, Y az X altere, f pedig egy lineáris funkcionál Y -on, melyre minden Y -beli y esetén fennáll f (y) ≤ p(y). Ekkor létezik olyan F lineáris funkcionál X-en, mely Y -on megegyezik f -el, s melyre minden X-beli x esetén fennáll −p(−x) ≤ F (x) ≤ p(x). Bizonyı́tás. Ha Y az X valódi altere, akkor legyen x1 az X-nek Y -hoz nem tartozó eleme, és legyen Y1 az Y , és az x1 által generált altér, azaz Y1 = {y + αx1 : y ∈ Y, α ∈ R}. Az Y altér minden x, y eleme esetén f (x) + f (y) = f (x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x − x1 ) + p(x1 + y), A HAHN–BANACH–TÉTEL 7 s ezért (1) f (x) − p(x − x1 ) ≤ p(y + x1 ) − f (y) . Jelölje λ az (1) egyenlőség baloldalán álló számok halmazának pontos felső korlátját, ha x befutja Y -t, akkor az Y bármely x, y elemei esetén (2) f (x) − λ ≤ p(x − x1 ) , és (3) f (y) + λ ≤ p(y + x1 ) .

Legyen bármely Y -beli x, és valós α esetén (4) f1 (x + αx1 ) = f (x) + αλ . Ekkor f1 lineáris funkcionál Y1 -en, és Y -on megegyezik f -el. Feltéve, hogy α > 0, ı́rjunk a (2) egyenlőségben x helyére α−1 x-et, a (3) egyenlőségben pedig y helyére α−1 y-t. Beszorozva a kapott egyenlőtlenségeket αval, és figyelembe véve a (4) egyenlőséget, azt kapjuk, hogy minden Y1 -beli x esetén fennáll f1 (x) ≤ p(x). Tekintsük mindazon (Y 0 , f 0 ) rendezett párok halmazát, melyeknél Y 0 az X tér Y alteret tartalmazó altere, f 0 pedig az Y 0 olyan lineáris funkcionálja, mely Y -on megegyezik f -el, melyre minden Y 0 -beli y esetén fennáll f 0 (y) ≤ p(y). Ezen a halmazon féligrendezést értelmezünk úgy, hogy (Y 0 , f 0 ) ¹ (Y 00 , f 00 ), ha Y 0 az Y 00 részhalmaza, és f 00 megegyezik f 0 -vel az Y 0 -n. Világos, hogy ebben a féligrendezett halmazban minden lánc felülről korlátos, ı́gy a

Zorn–lemma alapján a halmaznak van maximális eleme (Y0 , f0 ). Ha itt Y0 6= X, akkor a tétel bizonyı́tásának kezdetén bemutatott módon konstruálhatnánk olyan (Y1 , f1 ) párt, melynél (Y0 , f0 ) ¹ (Y1 , f1 ), és Y0 6= Y1 teljesülne, ami (Y0 , f0 ) maximalitása miatt lehetetlen. Ezért Y0 = X, s az F = f0 választással a bizonyı́tást befejeztük, hiszen ekkor minden X-beli x esetén F (x) ≤ p(x) teljesül, amiből −p(−x) ≤ −F (−x) = F (x) következik. ¤ 1.22 Tétel Legyen X lineáris tér, p szeminorma X-en, Y az X altere, f pedig egy lineáris funkcionál Y -on, melyre minden Y -beli y elem esetén fennáll |f (y)| ≤ p(y). Ekkor létezik olyan F lineáris funkcionál X-en, mely Y -on megegyezik f -el, s melyre minden X-beli x esetén fennáll |F (x)| ≤ p(x). Bizonyı́tás. Ha X valós lineáris tér, akkor az állı́tás az előző tételből következik, hiszen p(−x) = p(x) az X minden x eleme,

és minden p : X R szeminorma esetén fennáll. Ha X komplex lineáris tér, akkor legyen u = Re f . Mivel u teljesı́ti az előző tétel feltételeit, ezért van olyan U valós linéaris funkcionál X-en, mely Y -on egyenlő u-val, és minedn X-beli x esetén U (x) ≤ p(x). Ha F olyan lineáris funkcionál X-en, melynek valós része U , akkor az előző tétel előtt mondottak alapján F megegyezik F -el az Y -on. Végül, minden X-beli x esetén van olyan egységnyi abszolút értékű α komplex szám, hogy αF (x) = |f (x)|. Ezért |F (x)| = F (αx) = U (αx) ≤ p(αx) = p(x). ¤ 8 A HAHN–BANACH–TÉTEL 1.23 Tétel Az X normált tér bármely x0 eleméhez van az X-en olyan F lineáris funkcionál, amelyre F (x0 ) = ||x0 ||, és bármely X-beli x esetén |F (x)| ≤ ||x|| teljesül. Bizonyı́tás. Az 122 tételt alkalmazhatjuk, a következő választással: legyen minden X-beli x esetén p(x) = ||x||, Y az x0

által generált altér, f pedig az Y altér tetszőleges αx0 elemén f (αx0 ) = α||x0 || (α skalár) módon értelmezett lineáris funkcionál. ¤ 1.3 Elválasztási tételek 1.31 Tétel (Hahn–Banach) Legyenek A és B az X topologikus vektortér nem üres, diszjunkt, konvex részhalmazai. (i) Ha A nyı́lt, akkor van olyan F folytonos lineáris funkcionál X-en, és olyan α valós szám, hogy Re F (x) < α ≤ Re F (y) teljesül minden A-beli x, és B-beli y elemre. (ii) Ha X lokálisan konvex, A kompakt, és B zárt, akkor van olyan F folytonos lineáris funkcionál X-en, és vannak olyan α, β valós számok, hogy Re F (x) < α < β < Re F (y) teljesül minden A-beli x, és B-beli y elemre. Bizonyı́tás. A szakasz elején mondottak alapján elegendő a valós lineáris terek esetével foglalkozni. Ha ugyanis erre az esetre már igazoltuk a tételt, és az Xen, mint valós lineáris téren van a feltételeknek

megfelelő, folytonos, valós lineáris funkcionál, akkor az az egyértelműen meghat’rozott komplex lineáris funkcionál Xen, melynek ez a valós része folytonos, és eleget tesz tételünk követelményeinek. Így feltehetjük, hogy X valós lineáris tér, s ekkor nyilván Re F = F teljesül az X minden lineáris funkcionáljára. Először rögzı́tsük az A-beli a0 , és B-beli b0 elemeket. Legyen x0 = b0 − a0 , és C = A − B + x0 . A C halmaz a 0 konvex környezete X-ben Legyen minden X-beli x esetén p(x) = inf{t > 0 : t−1 x ∈ C}. Könnyen igazolható, hogy a p funkcionál szublineáris, mivel A és B diszjunktak, ı́gy x0 nem tartozik C-hez, és p(x0 ) ≥ 1. Legyen f (tx) = t (t skalár) az X tér x0 által generált Y alterén. Ekkor f lineáris funkcionál az Y altéren, s ha t ≥ 0, akkor f (tx0 ) = t ≤ tp(x0 ) = p(tx0 ), ha pedig t < 0, akkor f (tx0 ) < 0 ≤ p(tx0 ). Ezért az 121 tétel alapján

van az X-en olyan F lineáris funkcionál, mely Y -on megegyezik f -el, s melyre minden X-beli x pontban F (x) ≤ p(x) teljesül. Speciálisan, F ≤ 1 a C-n, tehát F ≥ −1 a −C-n, vagyis |F | ≤ 1 a C ∩ (−C) halmazon, mely a nulla környezete. Így a 279 tétel alapján F folytonos lineáris funkcionál X-en. Ha a az A-nak, b a B-nek eleme, akkor F (a) − F (b) + 1 = F (a − b + x0 ) ≤ p(a − b + x0 ) < 1 mivel F (x0 ) = 1, a − b + x0 a C-hez tartozik, és C nyı́lt halmaz. Ezért F (a) < F (b). Ebből az is következik, hogy F (A) és F (B) diszjunkt, konvex részhalmazok a valós számok halmazában, s F (A) az F (B)-től balra helyezkedik el. Az is könnyen következik, hogy F (A) nyı́lt halmaz, tehát F (A) felülről korlátos, nyı́lt intervallum, ı́gy α-nak vehetjük F (A) jobboldali végpontját. A HAHN–BANACH–TÉTEL 9 A második állı́tás igazolásához legyen V a 0 olyan konvex környezete

X-ben, hogy (A + V ) ∩ B = ∅ teljesüljón. Ilyen V létezik, a 272 tétel miatt A fentiekben bizonyı́tott állı́tást alkalmazzuk az A + V és B halmazokra, ekkor találunk olyan F folytonos lineáris funkcionált X-en, hogy F (A+V ) és F (B) olyan diszjunkt, konvex részhalmazok a valós számok halmazában, hogy F (A + V ) az F (B) baloldalán helyezkedik el. Mivel F (A) az F (A + V ) halmaz kompakt részhalmaza, ebből az állı́tás következik. ¤ 1.32 Tétel Ha X lokálisan konvex T0 -topologikus vektortér, akkor X ∗ elválasztó. Bizonyı́tás. Az előző tételt egypontos A és B halmazokra alkalmazva a 272 tételből következik az állı́tás. ¤ 1.33 Tétel Legyen X lokálisan konvex T0 -topologikus vektortér, Y az X altere, és x0 az X egy pontja. Ha x0 nem tartozik az Y altér lezártjához, akkor van olyan F folytonos lineáris funkcionál X-en, mely Y -on eltűnik, s melyre F (x0 ) = 1. Bizonyı́tás. Az

131 tétel második állı́tása szerint van olyan F folytonos lineáris funkcionál X-en, hogy F (x0 ) nem tartozik F (Y )-hoz, tehát F (Y ) a skalárok terének valódi altere. Így F (Y ) = {0}, és F (x0 ) 6= 0 Ha F -et elosztjuk F (x0 )-al, akkor az állı́tást kapjuk. ¤ 1.34 Tétel Lokálisan konvex T0 -topologikus vektortér bármely alterének folytonos lineáris funkcionálja a tér valamely folytonos lineáris funkcionáljának az altérre való szűkı́tése. Bizonyı́tás. Nyilván feltehetjük, hogy az X lokálisan konvex T0 -topologikus vektortér Y alterének f folytonos lineáris funkcionálja nem azonosan nulla. Legyen Y0 az f nulltere, s legyen x0 az Y olyan pontja, melyre f (x0 ) = 1. Mivel f folytonos, ezért x0 nem tartozik az Y0 altér Y -beli lezártjához, s ı́gy annak X-beli lezártjához sem. Ezért az 133 tétel alapján van olyan F folytonos lineáris funkcionál X-en, amely Y0 -on eltűnik, s melyre

f (x0 ) = 1. Ha x az Y -hoz tartozik, akkor x − f (x)x0 az Y0 -nak eleme, hiszen (f (x0 ) = 1. Ezért F (x) − f (x) = F (x) − f (x)F (x0 ) = F (x − f (x)x0 ) = 0, s ı́gy F megegyezik f -el Y -on. ¤ 1.35 Tétel Legyen X lokálisan konvex T0 -topologikus vektortér, B az X konvex, körszerű, zárt részhalmaza, x0 pedig az X-nek B-hez nem tartozó pontja. Ekkor van olyan F folytonos lineáris funkcionál X-en, melyre |F (x)| ≤ 1, ha x a B-ben van, és F (x0 ) > 1. Bizonyı́tás. Az 131 tétel második állı́tását alkalmazzuk az A = {x0 }, és B halmazokra, s vegyük észre, hogy az ottani eredmények alapján kapott F folytonos lineáris funkcionál mellett F (B) konvex és körszerű halmaz, ı́gy F -et alkalmas skalárral megszorozva a keresett funkcionált kapjuk. ¤ 1.36 Tétel Legyen X olyan topologikus vektortér, melynek X ∗ konjugált tere elválasztó. Ha A és B nem üres, diszjunkt, kompakt, konvex részhalmazai

X-nek, akkor van olyan Λ funkcionál X ∗ -ban, hogy sup Re Λ(x) < inf Re Λ(x). x∈A y∈B 10 A HAHN–BANACH–TÉTEL Bizonyı́tás. Jelölje Xw az X lineáris teret a gyenge topológiával ellátva Nyilvánvaló, hogy A és B kompakt halmazok Xw -ben, továbbá zártak is, hiszen az X ∗ elválasztó tulajdonsága miatt Xw Haussdorff–tér. Mivel Xw lokálisan konvex, ezért az 1.31 tétel lokálisan konvex terekre vonatkozó változata alapján van olyan Λ lineáris funkcionál (Xw )∗ -ban, melyre teljesül a tétel állı́tása. Ugyanakkor tudjuk, hogy (Xw )∗ = X ∗ . ¤ KOMPAKTSÁG 2.1 Alapfogalmak Egy topologikus teret Haussdorff–térnek nevezünk, ha bármely két különböző eleme belefoglalható diszjunkt, nyı́lt halmazokba. Egy halmazon értelmezett függvénycsaládot elválasztónak nevezünk, ha a halmaz bármely két különböző eleméhez van a családban olyan függvény, mely

a két pontban különböző értékeket vesz fel. Világos, hogy ha egy topologikus téren a valós értékű folytonos függvények családja elválasztó, akkor a tér Haussdorff–féle. Akkor mondjuk, hogy egy topologikus tér kompakt, ha nyı́lt halmazokból álló minden lefedéséből kiválasztható véges lefedés. Egy topologikus tér valamely részhalmazát akkor nevezzük kompaktnak, ha mint altér kompakt. Topologikus tér egy részhalmazát relatı́v kompaktnak nevezzük, ha lezártja kompakt. Akkor mondjuk, hogy egy halmaz valamely részhalmazainak a rendszere centrált, ha a rendszer részhalmazai közül bármely véges számúnak a metszete nem üres. 2.11 Tétel Egy topologikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha benne centrált rendszert alkotó zárt halmazok metszete sohasem üres Bizonyı́tás. Az állı́tást a nyı́lt halmazok komplementereire való áttéréssel kapjuk. ¤ 2.12 Tétel

Topologikus tér egy részhalmaza akkor és csak akkor kompakt a tér valamely alterében, ha az egész térben kompakt. Bizonyı́tás. Világos, az altér topológiájának értelmezése alapján ¤ Az indiszkrét topologikus térben minden részhalmaz kompakt, továbbá bármely topologikus térben minden véges halmaz kompakt. A diszkrét topologikus térben pontosan a véges halmazok kompaktak. Az is nyilvánvaló, hogy véges sok kompakt halmaz egyesı́tése kompakt. 2.13 Tétel Kompakt tér minden folytonos képe és minden zárt altere kompakt Bizonyı́tás. Az első állı́tás abból adódik, hogy a képtér bármely nyı́lt lefedéséhez tartozó halmazok ősképei az eredeti tér nyı́lt lefedését képezik A második állı́tás is világos, mert egy zárt altér lefedő nyı́lt halmazainak mindegyikét egyesı́tve az altér komplementerével, az egész tér nyı́lt halmazokkal való

lefedését nyerjük. ¤ 2.14 Tétel Haussdorff–térben bármely ponthoz és a pontot nem tartalmazó kompakt altérhez van két diszjunkt nyı́lt halmaz, melyek közül az egyik a pontot, a másik az alteret tartalmazza. Bizonyı́tás. Az X Haussdorff–tér Y kompakt alterének bármely eleméhez van olyan, az elemet tartalmazó nyı́lt részhalmaza X-nek, amelynek lezártja nem tartalmazza az adott, Y -on kı́vüli x-et. Az ilyen nyı́lt halmazok közül véges számúnak 11 12 KOMPAKTSÁG az U egyesı́tési halmaza magában foglalja az Y -t. Világos, hogy e véges számú nyı́lt halmaz lezártjai komplementereinek a metszete x-et tartalmazó, az U nyı́lt halmazzal diszjunkt nyı́lt halmaz. ¤ 2.15 Tétel Haussdorff–térben minden kompakt részhalmaz zárt Bizonyı́tás. Világos, az előző tétel alapján ¤ 2.16 Tétel Kompakt Haussdorff–tér normális Bizonyı́tás. Ha A és B egy kompakt

Haussdoff–tér diszjunkt zárt halmazai, akkor A és B kompakt halmazok. Az A halmaz minden x és a B halmaz minden y eleme esetén van x-nek olyan Uy , y-nak pedig olyan Vx,y nyı́lt környezete, hogy Uy ∩ Vx,y = ∅. A (Vx,y )y∈B halmazrendszer a B-nek nyı́lt halmazokból álló lefedése. Legyen ennek Tn Sn (Vx,yi )i=1,2,.,n egy véges részlefedése, valamint legyen Wx = i=1 Uyi , Vx = i=1 Vx,yi . A (Wx )x∈X nyı́lt halmazokból álló halmazrendszer az A-nak Sm lefedése, melynek Tm legyen (Wxi )i=1,2,.,m egy véges részlefedése Ekkor a W = i=1 Wxi és V = i=1 Vxi halmazok diszjunkt, nyı́lt halmazok, s W tartalmazza A-t, V tartalmazza B-t. ¤ 2.17 Tétel Megszámlálható bázisú topologikus tér nyı́lt halmazokból álló minden lefedéséből kiválasztható megszámlálható lefedés. Bizonyı́tás. Legyen (Uγ )γ∈Γ az X megszámlálható bázisú topologikus tér nyı́lt halmazokból álló lefedése.

Az X minden x pontja benne van a lefedés valamely Uγ(x) halmazában, s a megszámlálható bázis valamely Gn(x) ⊆ Uγ(x) halmazában. A (Gn(x) )x∈X halmazrendszer az X megszámlálható lefedése. Ha minden ilyen Gn(x) -hez választunk egy Uγ(x) -et, akkor az eredeti nyı́lt lefedés egy megszámlálható részlefedését kapjuk. ¤ 2.2 Szorzatterek A Γ nem üres halmazt egy X halmazba képező f függvényt indexelt halmazrendszernek is szokás nevezni Ekkor a Γ halmaz elemeit indexeknek, magát a Γ halmazt pedig indexhalmaznak nevezzük. Tetszőleges ν index esetén f (ν) helyett fν -t is ı́rhatunk, melyet az indexelt halmazrendszer νedik tagjának nevezünk. Az indexelt halmazrendszer jelölésére az (fν )ν∈Γ jelölést fogjuk használni. Bár az indexelt halmazrendszer fogalma nyilván megegyezik a függvény fogalmával, használata elsősorban akkor indokolt, ha a függvény értékei fontosabb szerepet

játszanak, mint maga a függvény. Természetesen az indexelt halmazrendszer nem tévesztendő össze saját értékkészletével, hiszen ha például ν és µ két különböző index, melyekre fν megegyezik fµ -vel, akkor fν és fµ az indexelt halmazrendszernek különböző tagjai, bár az f függvény értékkészletének ugyanazt az elemét jelölik. Az (Xν )ν∈Γ indexelt halmazrendszer szorzathalmaza alatt mindazon f függvények halmazát értjük, amelyek a Γ halmazt az Xν halmazok egyesı́tési halmazába képezik, de úgy, hogy bármely Q Γ-beli ν esetén f (ν) az Xν halmazhoz tartozik. A szorzathalmaz jelölésére a ν∈Γ Xν szimbólumot szokás használni. Az Xν halmazt a szorzat ν-edik tényezőjének nevezzük A szorzathalmaz bármely f eleme és bármely Γ-beli ν esetén az Xν halmaz f (ν) elemét az f elem ν-edik koordinátájának vagy ν-edik komponensének szokás nevezni. A

szorzathalmazon pν (f ) = f (ν) összefüggéssel értelmezett függvényt, mely tehát a szorzathalmaznak az Xν halmazra való leképezése, a szorzathalmaz ν-edik projekciójának nevezzük. KOMPAKTSÁG 13 Ha az Xν halmazok minden Γ-beli ν esetén az X halmazzal egyenlők, akkor a szorzathalmazt az X halmaz Γ-adik hatványának nevezzük és X Γ módon jelöljük. Ez tehát a Γ halmazt az X halmazba képező összes függvények halmaza. Legyen Γ = {1, 2, . , n},Qahol n pozitı́v egész, s legyenek X1 , X2 , , Xn tetszőleges halmazok. Ekkor a γ∈Γ Xγ szorzathalmaz azokból a Γ-n értelmezett f függvényekből áll, melyekre f (1) az X1 -nek, f (2) az X2 -nek, stb., f (n) pedig az Xn nek tetszőleges eleme A szorzathalmaz tehát éppen az X1 , X2 , , Xn halmazok szokásos értelemben vett Descartes-szorzatával azonosı́tható. Legyen Γ nem üres halmaz, (Xγ )γ∈Γ pedig topologikus terek indexelt

halmazrendszere. Az Xγ (γ ∈ Γ) topologikus terek szorzathalmazát az Xγ halmazokra való projekciói által indukált topológiával (vagyis azzal, amelyet az Xγ -k nyı́lt halmazainak inverz képei generálnak) ellátva, a kapott topologikus teret az Xγ topologikus terek szorzatának nevezzük. Könnyen látható, hogy ha Bγ (γ ∈ Γ) az Xγ topológiájának egy bázisa, akkor a szorzattér topológiájának egy bázisát Q alkotják a γ∈Γ Bγ alakú halmazok, ahol Bγ a Bγ eleme, és véges sok γ kivételével Bγ = Xγ . 2.21 Tétel (Tyihonov) Kompakt topologikus terek bármely halmazának szorzattere kompakt Bizonyı́tás. Legyen az Xγ (γ ∈ Γ) kompakt terek Y szorzatában zárt részhalmazoknak egy C rendszere centrált A Zorn–lemma alapján C-t magában foglalja Y részhalmazainak egy M maximális centrált rendszere. Az M-hez tartozó halmazok véges tagszámú metszetei ugyancsak centrált rendszert

alkotnak, s ı́gy M maximális volta miatt M-hez tartoznak. Ebből az is következik, hogy ha az A ⊆ Y részhalmaznak az M-hez tartozó halmazok egyikével sem üres a metszete, akkor az M-hez tartozó halmazok A-val együtt centrált rendszert alkotnak, s ı́gy M maximális volta miatt A is M-hez tartozik. Az Y -nak Xγ -ra való pγ projekciójánál az M-hez tartozó halmazok képei egy Mγ centrált rendszert alkotnak. Az Xγ kompaktsága miatt az Mγ -hoz tartozó halmazok lezártjainak metszete tartalmaz egy xγ elemet. Ha U az xγ -t tartalmazó nyı́lt halmaz, akkor U -nak az Mγ -beli halmazok egyikével sem üres a metszete, ı́gy az U halmaz pγ -nál vett inverz képének az M-hez tartozó halmazok egyikével sem üres a metszete, ezért ez az inverz kép is M-hez tartozik. Ebből következik, hogy véges számú szóban forgó inverz kép metszete is M-hez tartozik, ı́gy az f (γ) = xγ (γ ∈ Γ) összefüggéssel

értelmezett Y beli f függvényt tartalmazó bármely nyı́lt halmaznak az M-hez tartozó halmazok egyikével sem üres a metszete, vagyis az M-hez tartozó halmazok bármelyikének a lezártja tartalmazza f -et. Eszerint a C-hez tartozó halmazok metszete nem üres, tehát Y kompakt tér. ¤ 2.3 Általánosı́tott sorozatok kompakt halmazokban Legyen Γ féligrendezett halmaz Azt a tényt, hogy a Γ halmaz γ eleme relációban áll a Γ halmaz ν elemével úgy fogjuk kifejezni, hogy ”γ kisebb, vagy egyenlő, mint ν”, illetve úgy, hogy ”ν nagyobb, vagy egyenlő, mint γ”. A Γ féligrendezett halmazt irányı́tott halmaznak nevezzük, ha a Γ bármely µ, ν elemeihez létezik olyan Γ-beli γ elem, hogy µ is, és ν is kisebb, vagy egyenlő, mint γ. Ilyenkor azt szokás mondani, hogy a Γ halmaz felfelé irányı́tott. Értelemszerűen definiálhatjuk a lefelé irányı́tott halmaz fogalmát is, de könnyű látni,

hogy a két fogalom között természetes, ”izomorf” kapcsolat van, ı́gy a ”felfelé irányı́tott”, illetve ”lefelé irányı́tott” terminológia használatának nincs jelentősége. 14 KOMPAKTSÁG Legyen Γ irányı́tott halmaz. A Γ-nak egy halmazba való f leképezését általánosı́tott sorozatnak nevezzük Ilyenkor az f (γ) elemet az általánosı́tott sorozat γ-adik tagjának nevezzük, s fγ -val jelöljük. Tehát az általánosı́tott sorozat egy irányı́tott indexhalmazon értelmezett indexelt halmazrendszer. Ennek megfelelően az általánosı́tott sorozatot is (fγ )γ∈Γ módon jelöljhetük. Ha az általánosı́tott sorozatnak, mint leképezésnek az értékkészlete egy rögzı́tett halmaz hatványhalmazának valamely részhalmaza, és ezt a tény ki akarjuk hangsúlyozni, akkor az általánosı́tott sorozatot általánosı́tott halmazsorozatnak nevezzük. A (gγ )γ∈Γ2

általánosı́tott sorozatot az (fγ )γ∈Γ1 általánosı́tott sorozat általánosı́tott részsorozatának nevezzük, ha van olyan Γ2 -t Γ1 -be képező ϕ leképezés, melynél minden Γ2 -beli γ esetén gγ = fϕ(γ) teljesül, és bármely Γ1 -beli γ1 -hez van olyan Γ2 -beli γ2 , hogy ha γ ≥ γ2 , akkor ϕ(γ) ≥ γ1 . Ha Γ a természetes számok halmaza, melyet természetes módon, a szokásos ≤ rendezéssel irányı́tunk, akkor az általánosı́tott sorozatok éppen a szokásos értelemben vett sorozatok, a részsorozatok pedig általánosı́tott részsorozatok. Egy speciális általánosı́tott részsorozatra a következő módon kaphatunk példát. Legyen (fγ )γ∈Γ egy általánosı́tott sorozat, és legyen γ0 a Γ tetszőleges eleme. Legyen Γ0 a Γ mindazon elemeinek halmaza, melyek γ0 -nál nagyobbak, vagy egyenlőek. Világos, hogy Γ0 irányı́tott halmaz a Γ-tól örökölt

rendezéssel Ha ϕ a Γ0 halmaznak Γ-ba való identikus beágyazása, akkor a ϕ-nek megfelelő általánosı́tott részsorozat a (fγ )γ∈Γ általánosı́tott sorozat azon tagjaiból áll, melyeknek indexe nagyobb, vagy egyenlő, mint γ0 . Ezt az általánosı́tott részsorozatot (fγ )γ∈Γ,γ≥γ0 módon jelölhetjük. Persze, ez azonos az (fγ )γ∈Γ0 általánosı́tott részsorozattal Legyen (xγ )γ∈Γ általánosı́tott sorozat az X topologikus térben. Az X tér x pontját az (xγ )γ∈Γ általánosı́tott sorozat egy határértékének nevezzük, ha az x bármely U környezete esetén van olyan Γ-beli γ0 , hogy ha γ ≥ γ0 , akkor xγ az U környezethez tartozik. Ekkor azt mondjuk, hogy az (xγ )γ∈Γ általánosı́tott sorozat konvergens, és az x ponthoz konvergál. Könnyen látható, hogy ha X Haussdorff–tér, akkor benne bármely általánosı́tott sorozatnak legfeljebb egy határértéke

létezik, melyet ekkor a szokásos módon, limγ xγ -val jelölünk. 2.31 Tétel Topologikus tér általánosı́tott sorozatának határértéke határértéke minden általánosı́tott részsorozatának is Bizonyı́tás. Legyen x az (xγ )γ∈Γ általánosı́tott sorozat egy határértéke, (yν )ν∈Γ1 pedig egy általánosı́tott részsorozata, ahol yν = xϕ(ν) , ha ν a Γ1 tetszőleges eleme. Ha U az x egy környezete, akkor legyen γ0 a Γ egy olyan eleme, hogy ha γ ≥ γ0 , akkor xγ az U -hoz tartozik, s legyen ν0 a Γ1 olyan eleme, hogy ϕ(ν) ≥ γ0 , ha ν ≥ ν0 . Ha tehát ν ≥ ν0 , akkor ϕ(ν) ≥ γ0 , ı́gy xϕ(ν) , azaz yν az U -hoz tartozik ¤ 2.32 Tétel Topologikus tér egy részhalmazának lezártja mindazon pontokból áll, melyek valamely, a részhalmaz elemeiből képzett általánosı́tott sorozat határértékei. Bizonyı́tás. Legyen x valamely, az A pontjaiból álló

általánosı́tott sorozat határértéke, s tegyük fel, hogy x nem tartozik A lezártjához. Az A lezártjának komplementere x-nek környezete, mely nem metszi A lezártját, ı́gy A-t sem, s ez ellentmond annak, hogy x az A pontjaiból álló valamely általánosı́tott sorozat határértéke. Megfordı́tva, legyen x az A lezártjának tetszőleges eleme. Ha x az A halmaznak eleme, akkor tetszőleges általánosı́tott sorozat, melynek minden tagja x, konvergál KOMPAKTSÁG 15 x-hez. Ha x nem tartozik A-hoz, akkor x bármely U környezete esetén van az A halmaznak az U -ban x-től különböző xU eleme Az x pont összes környezeteinek U(x) halmaza a tartalmazásra nézve (lefelé) irányı́tott halmaz, melyen az (xU )U ∈U (x) egy általánosı́tott sorozat, s nyilván konvergál x-hez. ¤ A következő tételben szükség lesz a következő, gyakran hasznosı́tható észrevételre. Ha U(x) jelöli az X

topologikus tér x pontjának környezetrendszerét, akkor az előbbi tétel bizonyı́tásában alkalmazott módon U (x) lefelé irányı́tott halmaznak tekinthető. Ha Γ egy irányı́tott halmaz, akkor az U(x) × Γ halmazon tekintsük a következő féligrendezést: (U1 , γ1 ) relációban áll (U2 , γ2 )-vel, ha U2 részhalmaza U1 -nek, és γ1 kisebb, vagy egyenlő, mint γ2 . Könnyű látni, hogy ez valóban féligrendezés, mellyel ellátva U(x) × Γ irányı́tott halmaz. 2.33 Tétel Egy topologikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha benne bármely általánosı́tott sorozatnak van konvergens általánosı́tott részsorozata Bizonyı́tás. Legyen először X kompakt, (xγ )γ∈Γ pedig egy általánosı́tott sorozat X-ben. Bármely Γ-beli γ esetén legyen Aγ mindazon xν elemek halmazának a lezártja, melyeknél ν ≥ γ. Könnyen látható, hogy az Aγ (γ ∈ Γ) zárt halmazok centrált rendszert

alkotnak, s ı́gy metszetük tartalmaz egy x elemet Legyen U az x tetszőleges környezete, γ pedig a Γ egy eleme. Az x minden Aγ (γ ∈ Γ) halmazban benne van, tehát minden Γ-beli γ esetén hozzátartozik mindazon xν elemekből álló halmaz lezártjához, melyeknél ν ≥ γ. Ezért az iménti U környezete minden γ esetén tartalmaz az ilyen halmazokból elemet: legyen ν = ϕ(U, γ) a Γ egy olyan eleme, hogy ν ≥ γ és y(U,γ) = xϕ(U,γ) az U -ban van. A U (x) × Γ halmazt a fentiekben emlı́tett módon irányı́tva ezen az irányı́tott halmazon (y(U,γ) )U ∈U (x),γ∈Γ egy általánosı́tott sorozat, mely az (xγ )γ∈Γ általánosı́tott sorozatnak általánosı́tott részsorozata, s konvergál x-hez. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy X-ben bármely általánosı́tott sorozatnak van konvergens általánosı́tott részsorozata, s legyen A az X zárt részhalmazainak tetszőleges centrált rendszere. Jelölje

B az A elemeiből képzett összes véges metszetek halmazát. Ekkor B is centrált rendszer, s mivel A ⊆ B, elegendő azt igazolni, hogy az összes B-beli halmazok metszete nem üres. Két B-beli halmaz metszete is B-beli, ı́gy B a tartalmazásra nézve lefelé irányı́tott halmaz. Legyen minden B-beli B esetén xB a B tetszőleges eleme; ekkor (xB )B∈B általánosı́tott sorozat X-ben, melynek a feltevés szerint van konvergens általánosı́tott részsorozata. Feltehetjük, hogy (xB )B∈B már maga ez a konvergens általánosı́tott részsorozat, melynek legyen egy határértéke x. Ha B0 a B tetszőleges eleme, akkor (xB )B∈B,B⊆B0 az (xB )B∈B egy általánosı́tott részsorozata a B0 zárt halmazban, mely ugyancsak x-hez konvergál, ı́gy x a B0 halmaz eleme. Tehát x0 az összes B-beli halmazhoz hozzátartozik, s ı́gy X kompakt. ¤ 2.4 Szekvenciális kompaktság Topologikus tér egy részhalmazát szekvenciálisan

kompaktnak nevezzük, ha a részhalmaz pontjaiból álló bármely sorozatnak van olyan konvergens részsorozata, melynek határértéke is a részhalmazhoz tartozik. Egy részhalmazt relatı́v szekvenciálisan kompaktnak mondunk, ha lezártja szekvenciálisan kompakt. 2.41 Tétel Topologikus tér akkor és csak akkor szekvenciálisan kompakt, ha minden végtelen részhalmazának van torlódási pontja. 16 KOMPAKTSÁG Bizonyı́tás. Legyen Y az X szekvenciálisan kompakt topologikus tér végtelen részhalmaza és legyen adott egy, az Y csupa különböző elemeiből álló sorozat. A szekvenciális kompaktság miatt ennek van konvergens részsorozata, melynek határértéke nyilván Y -nak torlódási pontja. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy az X topologikus tér minden végtelen részhalmazának van torlódási pontja, s legyen adott X-ben az (xn )n∈N sorozat. Ha az (xn )n∈N sorozat értékkészlete véges, akkor

nyilván van konvergens részsorozata, ha pedig végtelen, akkor az értékkészletnek van torlódási pontja, melyhez nyilván konvergál valamely részsorozat. ¤ 2.42 Tétel Topologikus tér akkor és csak akkor szekvenciálisan kompakt, ha a következő feltételek valamelyike teljesül: (i) A tér bármely megszámlálható nyı́lt lefedése tartalmaz véges lefedést. (ii) A tér bármely zárt halmazokból álló megszámlálható centrált rendszerének metszete nem üres. Bizonyı́tás. A nyı́lt halmazokról komplementereikre való áttéréssel látható, hogy az adott két feltétel egyenértékű. Tegyük fel, hogy az X tér teljesı́ti a második feltételt és legyen Y az X egy végtelen részhalmaza, (yn )n∈N pedig egy, az Y csupa különböző elemeiből álló sorozat. Ha Y -nak nincs torlódási pontja, akkor az Yn = {yn , yn+1 , } (n ∈ N) halmazok egyikének sincs, ı́gy ezek zárt

halmazok, melyek nyilván centrált rendszert alkotnak, s metszetük üres, ami ellentmondás. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy X szekvenciálisan kompakt, s legyen (FnT)n∈N az n X zárt részhalmazainak megszámlálható centrált rendszere. Legyen Φn = T k=0 Fk ∞ (n ∈ N). Ekkor (Φn )n∈N is centrált rendszer, s elegendő azt igazolni, hogy n=0 Φn nem üres. Ha létezik olyan n0 természetes szám, hogy n ≥ n0 esetén Φn = Φn0 , akkor ez nyilvánvaló. Ha a Φn halmazok között végtelen sok különböző van, akkor feltehetjük, hogy mind különböző, s ekkor legyen xn a Φn olyan eleme, mely nincs benne Φn−1 -ben (n = 1, 2, . ) Az (xn )n∈N sorozatnak van konvergens részsorozata, melynek x hartárértéke minden Φn (n ∈ N) halmazhoz hozzátartozik, s ı́gy X teljesı́ti a második feltételt. ¤ 2.43 Tétel Megszámlálható bázisú topologikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha szekvenciálisan

kompakt Bizonyı́tás. Az állı́tás az előző tételből és a 217 tételből következik ¤ 2.5 Kompaktság metrikus terekben Metrikus tér egy részhalmazát korlátosnak nevezzük, ha belefoglalható valamely nyı́lt gömbbe. Ez nyilván egyenértékű azzal, hogy a részhalmaz belefoglalható valamely zárt gömbbe. Világos, hogy véges sok korlátos halmaz egyesı́tése korlátos. 2.51 Tétel Metrikus tér relatı́v kompakt részhalmaza korlátos Bizonyı́tás. Nyilván feltehetjük, hogy a részhalmaz zárt, ı́gy kompakt A részhalmaz összes pontjaival, mint középpontokkal rendelkező 1 sugarú nyı́lt gömbök közül kiválasztható véges sok, melyek egyesı́tése tartalmazza a részhalmazt, s ebből az állı́tás következik. ¤ KOMPAKTSÁG 17 2.6 Teljesen korlátos halmazok Legyen ε > 0 tetszőleges szám Az X metrikus tér A részhalmazának a H részhalmaz ε-hálója, ha a

H-beli középpontú, ε sugarú nyı́lt gömbök halmaza A-nak lefedése. Az X metrikus tér A részhalmazát teljesen korlátosnak nevezzük, ha bármely ε > 0 szám esetén létezik véges ε-hálója. Nyilván metrikus térben minden véges halmaz teljesen korlátos, minden teljesen korlátos halmaz korlátos, és minden teljesen korlátos halmaz lezártja teljesen korlátos. Könnyű látni, hogy a valós, illetve a komplex számok euklideszi távolsággal ellátott metrikus terében pontosan a korlátos halmazok teljesen korlátosak. 2.61 Tétel Teljesen korlátos metrikus tér szeparábilis Bizonyı́tás. Világos, hiszen véges számlálható, sűrű részhalmaz. 1 n -hálók egyesı́tése n = 1, 2, . -re meg¤ 2.62 Tétel Szekvenciálisan kompakt metrikus tér teljesen korlátos Bizonyı́tás. Ha az X szekvenciálisan kompakt metrikus tér nem teljesen korlátos, akkor valamely ε esetén nincs X-nek

véges ε-hálója, ı́gy ha x1 az X tetszőleges eleme, akkor van olyan x2 az X-ben, hogy d(x1 , x2 ) ≥ ε. Ám {x1 , x2 } sem ε-háló az X számára, ı́gy van olyan x3 az X-ben, hogy d(x1 , x3 ) ≥ ε és d(x2 , x3 ) ≥ ε. Ezt az eljárást folytatva X-beli elemeknek olyan (xn )n∈N sorozatát kapjuk, melyből nyilván nem választható ki konvergens részsorozat, hiszen bármely két különböző tagjának távolsága legalább ε. ¤ 2.63 Tétel Metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha szekvenciálisan kompakt. Bizonyı́tás. Kompakt tér mindig szekvenciálisan kompakt Ha egy metrikus tér szekvenciálisan kompakt, akkor teljesen korlátos, s ı́gy szeparábilis. Minden szeparábilis metrikus tér megszámlálható bázisú, ı́gy a 2.17 tétel alapján az állı́tás következik. ¤ 2.64 Tétel Metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha teljes, és teljesen korlátos. Bizonyı́tás. Kompakt

metrikus tér teljesen korlátos, s ha adott benne egy Cauchy–sorozat, akkor annak a tér szekvenciális kompaktsága miatt van konvergens részsorozata, ı́gy maga is konvergens. Most tételezzük fel, hogy az X metrikus tér teljesen korlátos, és teljes. Az állı́tással ellentétben tegyük fel, hogy az X valamely (Uγ )γ∈Γ nyı́lt lefedéséből nem választható ki véges lefedés. Mivel X teljesen korlátos, ı́gy véges sok X-beli középpontú, 21 sugarú nyı́lt gömb lefedi X-et, ezért van olyan X-beli x1 pont, hogy a G(x1 , 21 ) gömböt a fenti lefedő rendszer egyetlen véges részrendszere sem fedi le. Ugyancsak véges sok X-beli középpontú, 1 22 sugarú nyı́lt gömb is lefedi X-et. Ezek közül azok, melyeknek van közös pontja a G(x1 , 21 ) halmazzal, lefedik ezt a halmazt, ı́gy van közöttük olyan G(x2 , 212 ) nyı́lt gömb, melyet az (Uν )ν∈Γ lefedő rendszer egyetlen véges

részrendszere sem fed le. Ezt az eljárást folytatva kapjuk az X-beli xn (n ∈ N) pontok sorozatát 1 ) nyı́lt gömbnek van közös pontja a G(xn , 21n ) gömbbel, úgy, hogy a G(xn+1 , 2n+1 1 s a G(xn+1 , 2n+1 ) gömb nem fedhető le az (Uν )ν∈Γ lefedő rendszer egyetlen véges 1 ) metszete nem üres, részrendszerével sem (n ∈ N). Mivel G(xn , 21n ) és G(xn+1 , 2n+1 18 KOMPAKTSÁG ı́gy 1 1 1 + n+1 < n−1 , 2n 2 2 (n pozitı́v egész) amiből n > m > 2 esetén d(xn , xn+1 ) ≤ d(xm , xn ) ≤ d(xm , xm+1 ) + d(xm+1 , xm+2 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) < 1 1 1 + · · · + n−2 < m−2 , m 2 2 2 tehát (xn )n∈N Cauchy–sorozat, mely az X teljessége miatt konvergál egy x elemhez. Ekkor x hozzátartozik valamely Γ-beli γ esetén az Uγ -hoz, s az Uγ nyı́ltsága miatt van olyan r > 0, hogy G(x, r) az Uγ részhalmaza. Legyen n olyan természetes szám, melyre d(xn , x) < 21 r és 21n < 2r , ekkor

a háromszög-egyenlőtlenség alapján < 1 2m−1 + 1 ) ⊆ G(x, r) ⊆ Uγ , 2n ami ellentmondás, hiszen a G(xn , 21n ) gömböt az (Uγ )γ∈Γ lefedő rendszer egyetlen véges részrendszere sem fedi le. ¤ G(xn , 2.65 Tétel Metrikus tér egy részhalmaza akkor és csak akkor relatı́v kompakt, ha relatı́v szekvenciálisan kompakt. Bizonyı́tás. Világos, a 263 tétel alapján ¤ 2.66 Tétel (Haussdorff I) Metrikus tér egy részhalmazának kompaktságához szükséges, hogy a részhalmaz zárt és teljesen korlátos legyen Ha a tér teljes, akkor ez elegendő is. Bizonyı́tás. Világos, a 264 tétel alapján ¤ 2.67 Tétel (Haussdorff II) Metrikus tér egy részhalmazának relatı́v kompaktságához szükséges, hogy a részhalmaz teljesen korlátos legyen Ha a tér teljes, akkor ez elegendő is. Bizonyı́tás. Világos, az előző tétel alapján ¤ 2.7 Kompaktság topologikus vektorterekben A

továbbiakban K a valós, vagy a komplex számok halmazát jelenti. Az X halmazt, mely valós, vagy komplex lineáris tér és topologikus tér egyidejűleg úgy, hogy az összeadásra nézve kommutatı́v topologikus csoport, melynél a skalárral való (λ, x) 7 λx szorzás a K topologikus térnek az X topologikus térrel képzett K × X szorzatterén folytonos, lineáris topologikus térnek, vagy topologikus vektortérnek nevezzük. Ha H egy topologikus vektortér részhalmaza, λ pedig egy skalár, akkor λH az összes λh alakú elemek halmazát jelenti, ahol h a H tetszőleges eleme. Mint könnyen látható, topologikus vektortérben az eltolásoperátorok mellett bármely λ 6= 0 skalár esetén a λ-val való x 7 λx (x ∈ X) szorzás operátora is homeomorfizmusa X-nek. Topologikus vektortér egy H részhalmazát korlátosnak nevezzük, ha a zéruselem bármely U környezete esetén van olyan α > 0 szám, hogy λ

> α esetén H a λU részhalmaza. Könnyű látni, hogy minden véges halmaz korlátos, és véges sok korlátos halmaz egyesı́tése korlátos. Topologikus vektortér egy részhalmazát körszerűnek nevezzük, ha bármely elemének bármely 1-nél nem nagyobb abszolút értékű skalárral való szorzatát is tartalmazza. KOMPAKTSÁG 19 2.71 Tétel Topologikus vektortérben minden pontnak van körszerű, nyı́lt halmazokból álló környezetbázisa Bizonyı́tás. Legyen U a zéruselem környezete Mivel a skalárokkal való szorzás folytonos, ı́gy van olyan δ > 0, és van olyan V nyı́lt környezete a zérusnak, hogy |λ| < δ esetén λV az U -nak részhalmaza. Az összes ilyen λV halmazok egyesı́tése a zérusnak körszerű, nyı́lt környezete, mely U -nak részhalmaza. ¤ 2.72 Tétel Topologikus vektortér K kompakt, és C zárt, diszjunkt részhalmazaihoz van a nullának olyan V

környezete, hogy (K + V ) ∩ (C + V ) = ∅. Bizonyı́tás. Az X topologikus vektortérben az összeadás folytonos, ı́gy a nulla bármely W környezetéhez van a nullának olyan U körszerű környezete, melyre teljesül U + U ⊆ W . Ha ezt W helyett U -ra alkalmazzuk, akkor a nullának olyan újabb, körszerű U környezetét kapjuk, melyre U + U + U + U ⊆ W teljesül, s ezt az eljárást nyilván folytathatjuk. A tétel bizonyı́tásához feltehetjük, hogy K nem üres. Ha x a K egy tetszőleges pontja, akkor az előbbiek szerint van a nullának olyan Vx körszerű környezete, hogy x + Vx + Vx + Vx nem metszi C-t, ı́gy a körszerű tulajdonság miatt (x + Vx + Vx ) ∩ (C + Vx ) = ∅. A K halmaz kompaktsága miatt vannak olyan x1 , x2 , . , xn elemei, hogy K ⊆ (x1 + Vx1 ) ∪ (x2 + Vx2 ∪ · · · ∪ (xn + Vxn . Legyen V = Vx1 ∩ Vx2 ∩ · · · ∩ Vxn . Ekkor n n [ [ K +V ⊆ (xi + Vxi + V ) ⊆ (xi + Vxi + Vxi ), i=1 i=1

s az egyesı́tésben szereplő halmazok egyike sem metszi C + V -t. ¤ A tétel szerint topologikus vektortérben két egymást nem metsző, zárt, illetve kompakt halmazhoz vannak őket tartalmazó, diszjunkt, nyı́lt halmazok. Ha tehát egy topologikus vektortérben minden egypontos halmaz zárt, akkor a tér Haussdorff–féle. Ennél több is igaz 2.73 Tétel Minden T0 -topologikus vektortér Haussdorff–tér Bizonyı́tás. Legyenek x és y a topologikus vektortér különböző pontjai, s legyen U a nulla olyan környezete, melyre x + U nem tartalmazza y-t. Válasszunk a nullának olyan V körszerű nyı́lt környezetét, melyre V + V ⊆ U . Ekkor x + V és y + V diszjunkt, x-et, illetve y-t tartalmazó nyı́lt halmazok. ¤ 2.74 Tétel Legyen B egy topologikus vektortér zéruselemének környezetbázisa Ekkor a topologikus vektortér tetszőleges H részhalmazának lezártja (H + U ). U ∈B Bizonyı́tás. Ha y az H

lezártjához tartozik, akkor a B tetszőleges U eleme esetén y − U az y környezete, ı́gy tartalmazza H-nak egy x elemét. Ezért y beletartozik x + U -ba, ami H + U részhalmaza Megfordı́tva, ha y a fenti metszet egy eleme, akkor y − U bármely B-beli U esetén belemetsz H-ba, ı́gy y a H lezártjához tartozik. ¤ 20 KOMPAKTSÁG 2.75 Tétel Az X topologikus vektortérben a zérus bármely U környezete esetén ∞ [ X= nU n=1 teljesül. Bizonyı́tás. Legyen x az X tetszőleges pontja Mivel a λ 7 λx leképezés a skalárok terének X-be való folytonos leképezése, ı́gy mindazon λ skalárok halmaza, melyekre λx az U -ba esik a 0 skalárnak környezete, ezért van olyan n0 természetes szám, hogy n ≥ n0 esetén tartalmazza n1 -t, azaz x az nU halmazhoz tartozik. ¤ 2.76 Tétel Az X topologikus vektortérben a zéruselem bármely U korlátos környezete, és bármely (rn )n∈N pozitı́v tagú nullsorozat

esetén (rn U )n∈N a zéruselem környezetbázisa. Bizonyı́tás. Ha V a zérus tetszőleges környezete, akkor van olyan α > 0 szám, hogy λ > α esetén U ⊆ λV . Legyen n olyan, hogy αrn < 1, ekkor U ⊆ r1n V , ı́gy rn U ⊆ V . ¤ 2.77 Tétel Topologikus vektortérben minden kompakt halmaz korlátos Bizonyı́tás. Legyen K kompakt halmaz, U a zéruselem környezete, V pedig a zéruselem olyan S∞ körszerű környezete, mely része U -nak. Ekkor az előző tétel alapján K ⊆ n=1 nV . Mivel K kompakt, van olyan N természetes szám, hogy SN K ⊆ n=1 nV = N V , hiszen V körszerű. Ebből következik, hogy λ > N esetén K ⊆ λV ⊆ λU . ¤ 2.78 Tétel Topologikus vektorterek közti lineáris leképezés folytonos, ha valamely pontban folytonos. Bizonyı́tás. Legyen f lineáris leképezése az X topologikus vektortérnek az Y topologikus vektortérbe, mely folytonos az X tér x0 pontjában. Legyen x az X

tetszőleges eleme, f (x) + W pedig az f (x) tetszőleges környezete Y -ban, ahol W a zérus környezete Y -ban. Ekkor f (x0 ) + W az f (x0 ) környezete Y -ban, ı́gy van a zérusnak olyan U környezete X-ben, hogy ha u az U -ba esik, akkor f (x0 + u) az f (x0 ) + W halmaz eleme. Legyen y az x + U halmaz tetszőleges eleme, ekkor y − x az U -hoz tartozik, ı́gy f (x0 + y − x) az f (x0 ) + W halmazba esik, azaz, f (y − x) a W -ben van, tehát f (y) az x + W -ben. ¤ 2.79 Tétel Topologikus vektortéren adott, nem azonosan nulla lineáris funkcionál akkor és csak akkor folytonos, ha a következő feltételek valamelyike teljesül: (i) a funkcionál magja zárt altér; (ii) a funkcionál magja nem sűrű altér; (iii) a funkcionál korlátos a zérus valamely környezetén. Bizonyı́tás. Ha f folytonos lineáris funkcionál, akkor magja, mely a {0} egypontos halmaz ősképe, zárt altér Mivel f nem azonosan nulla, ı́gy a második

feltételből következik a harmadik. Ha az f funkcionál N magja nem sűrű, akkor komplementerének van belső pontja Ekkor van a zérusnak olyan U körszerű környezete, s a térnek olyan x pontja, hogy N nem metszi az x + U halmazt. Az f (U ) nyilván körszerű, ı́gy ha f (U ) nem korlátos, akkor egyenlő a skalárok halmazával, tehát van olyan y elem az U -ban, hogy f (y) = −f (x), s ı́gy x + y az N -hez tartozik, ami ellentmondás. KOMPAKTSÁG 21 Végül, ha teljesül a harmadik feltétel, akkor a zérus valamely U környezete és valamely pozitı́v M esetén |f (x)| < M teljesül minden U -beli x mellett. Ha ε > 0 r U halmaz minden x elemére |f (x)| < r teljesül, s ı́gy f tetszőleges, akkor a V = M folytonos a 0-ban. Az előző tétel szerint f mindenütt folytonos ¤ 2.8 Lokálisan kompakt topologikus vektorterek Egy topologikus teret lokálisan kompaktnak nevezünk, ha minden pontnak van kompakt

halmazokból álló környezetbázisa. Ezek szerint egy topologikus vektortér pontosan akkor lokálisan kompakt, ha a zéruselemnek van kompakt halmazokból álló környezetbázisa, amihez Haussdorff–térben nyilván szükséges és elegendő, hogy a zéruselemnek legyen kompakt környezete. 2.81 Tétel Haussdorff–féle topologikus vektortér lokálisan kompakt altere zárt. Bizonyı́tás. Legyen Y az X topologikus vektortér egy lokálisan kompakt altere, és U a zérus olyan környezete X-ben, hogy U ∩ Y része a K kompakt halmaznak Legyen V a zérus olyan környezete X-ben, melynek V lezártjára V + V ⊆ U Megmutatjuk, hogy az X tetszőleges x eleme esetén a Q = Y ∩ (x + V ) halmaz kompakt. Legyen y0 a Q halmaz tetszőleges pontja, ekkor a Q bármely y eleme esetén y − y0 = (y − x) + (x − y0 ) a V + V halmazhoz, s ı́gy az U -hoz tartozik, s persze Y -hoz is. Tehát y − y0 eleme a K kompakt halmaznak, azaz Q

részhalmaza az y0 + K-nak. Ugyanakkor Q az Y -ban zárt halmaz, ı́gy maga is kompakt Legyen x az Y lezártjának tetszőleges eleme. Jelölje B az X tér mindazon W nyı́lt halmazainak osztályát, melyek tartalmazzák a 0-t és részhalmazai V -nek. Tetszőleges B-beli W esetén legyen EW = Y ∩ (x + W ), ahol W a W lezártja. Mivel W ⊆ V , ezért EW kompakt, s mivel x beletartozik Y lezártjába, ı́gy nem üres. Az (EW )W ∈B halmazrendszer kompakt halmazok centrált rendszere, s ı́gy metszete tartalmaz legalább egy z pontot, mely Y -nak eleme. Másrészt, bármely B-beli W esetén z az x+W halmazhoz tartozik, ı́gy a Haussdorff–tulajdonság miatt megegyezik x-szel. Ezért x az Y -hoz tartozik, vagyis Y zárt ¤ 2.82 Tétel Haussdorff–féle topologikus vektortér n-dimenziós altere zárt, s minden Kn -re való izomorfizmusa homeomorfizmus. Bizonyı́tás. Az előző tétel értelmében a második állı́tásból

következik az első, hiszen K lokálisan kompakt, ı́gy a 2.21 Tyihonov–tétel szerint K n is Így elég a második állı́tást igazolni, amit jelöljünk Pn -el. Az n = 1 esetben legyen f a Knak Y -ra való izomorfizmusa, és legyen u = f (1) Ekkor bármely λ skalár esetén f (λ) = λu, tehát f folytonos. Másrészt, az f inverze ugyancsak lineáris, s magja {0}, ı́gy az f inverze a 2.79 tétel szerint folytonos, tehát f homeomorfizmus Legyen most n > 1 és tegyük fel, hogy Pn−1 -et már igazoltuk. Legyen f a Kn -nek Y -ra való izomorfizmusa, ek pedig Kn -nek az az eleme, melynek k-adik koordinátája 1, a többi 0 (k = 1, 2 . , n) Ha uk = f (ek ) (k = 1, 2, , n), akkor f (λ1 , λ2 , . , λn ) = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λn , (λ1 , λ2 , . , λn ∈ Cn ), s a műveletek Y -beli folytonossága miatt f folytonos Mivel f izomorfizmus, ezért {u1 , u2 , . , un } az Y lineáris térnek bázisa Ezért léteznek olyan

fk (k = 1, 2, . , n) lineáris funkcionálok Y -on, hogy az Y minden x eleme 22 KOMPAKTSÁG egyértelműen előállı́tható x = f1 (x)u1 + f2 (x)u2 + · · · + fn (x)un alakban. Az fk (k = 1, 2, , n) funkcionál magja az Y -nak n − 1-dimenziós altere, mely a Pn−1 állı́tás miatt zárt az Y -ban, ı́gy fk folytonos a 2.79 tétel szerint (k = 1, 2, . , n) Végül f −1 (x) = (f1 (x), f2 (x), . , fn (x)) teljesül minden Y -beli x esetén, s ı́gy f −1 folytonos, ami a Pn érvényességét jelenti. ¤ 2.83 Tétel Lokálisan kompakt Haussdorff–féle topologikus vektortér véges dimenziós. Bizonyı́tás. Legyen U a zérus olyan nyı́lt környezete X-ben, melynek lezártja kompakt. A 277 tétel szerint U korlátos, s a 276 tétel szerint a (2−n U )n∈N halmazrendszer a zérus környezetbázisa X-ben Az U lezártja kompakt, ı́gy vannak olyan x1 , x2 , . , xm elemek X-ben, melyekre az xk + 21 U (k = 1, 2, ,

m) halmazok egyesı́tése tartalmazza az U lezártját Jelölje Y az x1 , x2 , , xm elemek által generált alteret, ekkor Y dimenziója legfeljebb m, ı́gy Y zárt X-ben. Minthogy U ⊆ Y + 21 U és λY = Y teljesül minden λ 6= 0 skalár esetén, ezért 1 1 U ⊆ Y + U, 2 4 amiből 1 1 1 U ⊆ Y + U ⊆ Y + Y + U + Y + U. 2 4 4 Folytatva ezt az eljárást azt kapjuk, hogy ∞ U⊆ (Y + 2−n U ). n=1 −n Mivel a (2 U )n∈N halmazrendszer a zérus környezetbázisa X-ben, ezért a 2.74 tétel alapján U részhalmaza az Y lezártjának, ı́gy Y -nak. Emiatt Y -nak ugyancsak részhalmaza kU is minden k pozitı́v egész esetén, de ekkor a 2.75 tétel szerint Y az egész X-et tartalmazza, s ı́gy X véges dimenziós. ¤ 2.9 Kompaktság normált terekben A 282 tételből adódik a következő tétel. 2.91 Tétel Normált tér bármely véges dimenziós altere zárt A 2.82 tétel, valamint Kn lokális kompaktsága alapján

kapjuk a következő tételt. 2.92 Tétel (Heine–Borel) Véges dimenziós normált tér egy részhalmaza akkor és csak akkor kompakt, ha korlátos és zárt 2.93 Tétel (Cauchy–féle konvergenciakritérium) Véges dimenziós normált tér teljes. Bizonyı́tás. Mivel egy Cauchy–sorozat értékkészlete nyilván korlátos, ı́gy a 2.64 tétel alkalmazható: véges dimenziós normált tér minden Cauchy–sorozatának van konvergens részsorozata, ı́gy maga is konvergens. ¤ KOMPAKTSÁG 23 2.94 Tétel Normált tér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha zárt egységgömbje kompakt Bizonyı́tás. Véges dimenziós normált tér zárt egységgömbje a Heine–Borel– tétel alapján kompakt. Megfordı́tva, ha egy normált tér zárt egységgömbje kompakt, akkor a tér lokálisan kompakt, ı́gy a 283 tétel alapján véges dimenziós ¤ 2.10 Kompaktság sorozatterekben Az X normált tér elemeinek

(en )n∈N sorozatát a tér Schauder–bázisának nevezzük, ha az X bármely x eleme egyértelműen előállı́tható ∞ X x= cn en n=0 alakban, ahol (cn )n∈N skalárok egy sorozata. Schauder–bázissal rendelkező Banach– terekben egy halmaz relatı́v kompaktsága a következő tétel alapján jellemezhető. 2.101 Tétel Legyen X Banach–tér az (en )n∈N Schauder-bázissal Az X tér K részhalmaza akkor és csak akkor relatı́v kompakt, ha korlátos, és bármely P∞ ε > 0 számhoz van olyan N szám, hogy ha n > N természetes szám, és x = k=0 ck ek a K tetszőleges eleme, akkor ∞ X || ck ek || < ε. k=n+1 Bizonyı́tás. Legyen bármely X-beli x és N-beli n esetén Sn x = n X ck ek , k=0 és Rn x = ∞ X ck ek . k=n+1 Ismeretes, hogy az Sn és Rn operátorok az X tér korlátos lineáris operátorai, sőt az (Sn )n∈N operátorsorozat egyenletesen korlátos, azaz ||Sn || ≤ C teljesül

valamely C konstanssal minden n természetes szám esetén. ε Legyen először K relatı́v kompakt, ε > 0 pedig tetszőleges, ekkor az ε0 = 2+C 0 számhoz van K-nak {x1 , x2 , . , xm } ε -hálója Nyilván K korlátos, és minden x elemére ||Rn x|| = ||x − Sn x|| ≤ ||x − xi || + ||xi − Sn x|| ≤ ≤ ||x − xi || + ||Sn xi − Sn x|| + ||Rn xi || ≤ (1 + ||Sn ||)||x − xi || + ||Rn xi || ≤ ≤ (1 + C)||x − xi || + ||Rn xi || . 0 Itt xi az ε -hálónak olyan eleme, amelyre ||x − xi || < ε0 teljesül. Mivel lim ||Rn xi || = 0 n∞ ha i = 1, 2, . , m, ı́gy létezik olyan N szám, hogy minden n > N természetes szám esetén ||Rn xi || < ε0 bármely i = 1, 2, . , m mellett fennáll, s az ilyen n-ekre ||Rn x|| < (2 + C)ε0 24 KOMPAKTSÁG teljesül, ha x a K tetszőleges eleme, és n > N természetes szám. Ezzel a tétel feltételeinek szükségességét igazoltuk. Az elegendőség

bizonyı́tásához tegyük fel, hogy a tétel feltételei teljesülnek, s legyen ε > 0 tetszőleges. Megmutatjuk, hogy K-nak van véges ε-hálója Válasszunk most egy n természetes számot úgy, hogy a K minden x elemére ||Rn x|| < 21 ε teljesüljön. Nyilván a Kn = Sn (K) halmaz korlátos részhalmaza az e0 , e1 , . , en elemek által generált véges dimenziós térnek, ı́gy relatı́v kompakt Van tehát véges 21 ε-hálója, mely az x = Sn x + Rn x egyenlőség miatt ε-háló a K halmaz számára. ¤ 2.11 Kompaktság függvényterekben Legyen X egy kompakt Haussdorff–tér és jelölje C(X) az összes X-en értelmezett, komplex értékű folytonos függvények halmazát. A C(X) tér a pontonkénti összeadással és skalárral való szorzással ellátva lineáris tér, melyen az ||f || = sup |f (x)| x∈X összefüggés mint könnyen látható normát értelmez. Ismeretes, hogy ezzel a

normával ellátva C(X) Banach–tér. Legyen F a C(X) egy részhalmaza. Akkor mondjuk, hogy az F pontonként korlátos, ha létezik olyan M : X R függvény, hogy |f (x)| ≤ M (x) minden X-beli x és minden F -beli f esetén teljesül. Legyen F a C(X) egy részhalmaza. Akkor mondjuk, hogy az F -beli függvények egyformán folytonosak, ha bármely ε > 0 számhoz és bármely X-beli x elemhez van az x-nek olyan U környezete, hogy az U tetszőleges y eleme és tetszőleges F -beli f esetén |f (y) − f (x)| < ε teljesül. A C(X) tér kompakt részhalmazainak jellemzésére szolgál a következő tétel. 2.111 Tétel (Arzelà–Ascoli) Legyen X kompakt Haussdorff–tér A C(X) egy részhalmaza akkor és csak akkor relatı́v kompakt, ha pontonként korlátos, és elemei egyformán folytonosak. Bizonyı́tás. Legyen K a C(X) tér egy részhalmaza Ha K relatı́v kompakt, akkor legyen {f1 , f2 , . , fn } a K halmaz egy véges

1-hálója: bármely K-beli f esetén van olyan j egész szám, hogy 1 ≤ j ≤ n, és ||f − fj || < 1, tehát |f (x)| ≤ |f (x) − fj (x)| + |fj (x)| ≤ 1 + m teljesül minden X-beli x-re, ahol m = max1≤i≤n ||fi ||. Ez mutatja, hogy K pontonként korlátos Legyen most ε > 0 tetszőleges szám, és x az X egy eleme; ekkor van az x-nek olyan U környezete, hogy minden U -beli y esetén 1 |fi (y) − fi (x)| < ε 3 teljesül i = 1, 2, . , n mellett Ha a tetszőleges K-beli f esetén olyan fj függvényt használunk, melyre ||f − fj || < 31 ε, akkor az U -beli y elemekre |f (y) − f (x)| ≤ KOMPAKTSÁG 25 ≤ |f (y) − fj (y)| + |fj (y) − fj (x)| + |fj (x) − f (x)| ≤ ≤ 2||f − fj || + |fj (y) − fj (x)| < ε teljesül, s ezzel a tétel feltételeinek szükségességét bebizonyı́tottuk. Megfordı́tva, legyen ε > 0 tetszőleges szám, s legyen Ux a feltételben szereplő, x ponthoz tartozó

környezet. Az (Ux )x∈X nyı́lt halmazok lefedik X-et, ı́gy Sna kompaktság miatt léteznek olyan x1 , x2 , . , xn pontok X-ben, hogy X = i=1 Uxi , és |f (y) − f (xi )| < ε, ha f a K halmaz tetszőleges eleme, y az Uxi tetszőleges eleme, és i = 1, 2, . , n A K halmaz pontonkénti korlátossága alapján |f (y)| ≤ |f (y) − f (xi )| + |f (xi )| < ε + M (xi ) ≤ ε + max M (xi ), 1≤i≤n azaz ||f (x)| ≤ M1 , ha f a K-hoz tartozik, x pedig az X-hez. Itt M1 = ε + max M (xi ). 1≤i≤n Bármely K-beli f esetén legyen ¡ ¢ p(f ) = f (x1 ), f (x2 ), . , f (xn ) , ekkor a P = {p(f ) : f ∈ K} a K2 korlátos részhalmaza, mely teljesen korlátos a 2.67 és a 292 tételek alapján Van tehát véges 31 ε-háló P számára, ı́gy léteznek olyan f1 , f2 , . , fm függvények K-ban úgy, hogy bármely K-beli f esetén a p(f ) valamely p(fj ) elem 31 ε sugarú nyı́lt gömbjéhez tartozik, vagyis 1 |f (xi ) − fj (xi )|

≤ ||p(f ) − p(fj )|| < ε 3 teljesül, ha i = 1, 2, . , n Minden X-beli x valamely Uxi -hez tartozik (i = 1, 2, . , n), s erre az i-re fennáll 1 |f (x) − f (xi )| < ε, 3 valamint 1 |fj (x) − fj (xi )| < ε, 3 ı́gy |f (x) − fj (x)| ≤ ≤ |f (x) − f (xi )| + |f (xi ) − fj (xi )| + fj (xi ) − fj (x)| < ε, azaz ||f − fj || < ε. Ez azt jelenti, hogy a K halmaz f1 , f2 , . , fm elemei a K halmaz véges ε-hálóját képezik. Mivel ε > 0 tetszőleges volt, ı́gy K teljesen korlátos, s a 267 tétel alapján relatı́v kompakt. ¤ 26 KOMPAKTSÁG 2.12 Kompaktság konjugált terekben Legyen X komplex normált tér, s jelölje X ∗ az X összes korlátos lineáris funkcionáljainak halmazát. Mint ismeretes, az f korlátos lineáris funkcionál normája a funkcionál abszolút értékének szuprémuma az X tér zárt egységgömbjén. Ezzel a normával, valamint a pontonkénti összeadással, és

skalárral való szorzással az X ∗ tér Banach–tér, melyet az X konjugált terének nevezünk. Ennek zárt egységgömbje a legfeljebb 1 normájú korlátos lineáris funkcionálok halmaza. Alapvető észrevétel, hogy az X ∗ tér a CX topologikus szorzattér alterének is tekinthető, s az ilyen módon származó altér-topológiát az X ∗ tér gyenge*topológiájának nevezzük. Könnyű belátni, hogy X ∗ a pontonkénti összeadással, és skalárral való szorzással, valamint a gyenge*-topológiával ellátva Haussdorff–féle topologikus vektortér. Azt is könnyű belátni, hogy ebben a topológiában az (fγ )γ∈Γ általánosı́tott sorozat akkor és csak akkor konvergál az f funkcionálhoz, ha bármely X-beli x esetén az (fγ (x))γ∈Γ általánosı́tott sorozat az f (x)-hez konvergál. Így azt mondhatjuk, hogy a gyenge*-topológia a pontonkénti konvergencia topológiája. A

gyenge*-topológia kompakt halmazainak leı́rásáról szól a következő tétel. 2.121 Tétel (Banach–Alaoglu) Komplex normált tér konjugált terének zárt egységgömbje a gyenge*-topológiában kompakt. Bizonyı́tás. Legyen minden rögzı́tett X-beli x esetén Cx a komplex sı́k origó középpontú, ||x|| sugarú zárt körlemeze, mely kompakt halmaz. Világos, hogy az Q X ∗ tér S zárt egységgömbje a x∈X Cx szorzattér részhalmaza. Megmutatjuk, hogy S a gyenge*-topológiában zárt halmaz. Legyen (fγ )γ∈Γ az S elemeiből álló általánosı́tott sorozat, mely konvergál az f függvényhez. Ha x, y az X elemei, λ, µ pedig komplex számok, akkor az (fγ (λx + µy))γ∈Γ általánosı́tott sorozat az f (λx + µy) számhoz konvergál, a (λfγ (x) + µfγ (y))γ∈Γ általánosı́tott sorozat pedig a λf (x) + µf (y) számhoz. Mivel fγ (γ ∈ Γ) lineáris, ezek egyenlőek, ı́gy f is

lineáris funkcionál. Hasonlóan, mivel |fγ (x)| ≤ ||x|| teljesül minden Γ-beli γ és X-beli x esetén, ı́gy |f (x)| ≤ ||x|| ugyancsak teljesül minden X-beli x mellett, s ez azt jelenti, hogy f korlátos, és S-hez tartozik. Ezzel bebizonyı́tottuk, hogy S a gyenge*-topológiában zárt, s mivel kompakt tér zárt altere a 2.13 tétel szerint kompakt, ı́gy a tételt igazoltuk. ¤ 2.13 Extremális pontok Egy (valós, vagy komplex) lineáris tér x és y pontjai által meghatározott zárt szakasz a {tx+(1−t)y : 0 ≤ t ≤ 1} halmaz, a megfelelő nyı́lt szakasz pedig a {tx + (1 − t)y : 0 < t < 1} halmaz. Az x és y pontot a szakasz végpontjainak nevezzük. A tér egy részhalmazát konvexnek nevezzük, ha bármely két pontja esetén az azok által meghatározott zárt szakaszt is tartalmazza. Világos, hogy konvex halmazok metszete konvex. A tér egy részhalmazának konvex burka a részhalmazt tartalmazó összes

konvex halmazok metszete, zárt, konvex burka pedig ennek lezártja. Legyen X lineáris tér, H az X egy részhalmaza, S pedig a H egy nem üres részhalmaza. Akkor mondjuk, hogy S a K halmaznak extremális részhalmaza, ha az S egyetlen pontja sem tartozik olyan nyı́lt szakaszhoz, melynek végpontjai Hnak S-hez nem tartozó pontjai. Másszóval, ha x, y a H elemei, 0 < t < 1, és tx + (1 − t)y az S-hez tartozik, akkor x és y is az S-hez tartozik. A H halmaz x0 pontját a H halmaz extremális pontjának nevezzük, ha az x0 pontból álló egypontos halmaz extremális halmaza H-nak. KOMPAKTSÁG 27 Az X topologikus vektortéren értelmezett folytonos lineáris funkcionálok lineáris terét X ∗ jelöli, melyet az X konjugált terének nevezünk. Azt a leggyengébb topológiát X-en, melyre nézve az összes X ∗ -beli funkcionálok folytonosak, az X tér gyenge topológiájának nevezzük. Ha X ∗ elválasztó család,

akkor az X tér a gyenge topológiával ellátva Haussdorff–féle. Az X topologikus vektorteret lokálisan konvexnek nevezzük, ha a nullának van konvex halmazokból álló környezetbázisa. Lokálisan konvex topologikus vektortér konjugált tere elválasztó, ı́gy minden lokálisan konvex topologikus vektortér Haussdorff–féle. Nem nehéz belátni, hogy ha egy topologikus vektortér konjugált tere elválasztó, akkor a tér a gyenge topológiával lokálisan konvex topologikus vektortér, melynek konjugáltja megegyezik az eredeti tér konjugáltjával. 2.131 Tétel (Krein–Milman) Ha egy topologikus vektortér konjugáltja elválasztó, akkor a térben bármely kompakt, konvex halmaz megegyezik extremális pontjainak zárt, konvex burkával. Bizonyı́tás. Jelölje P az X topologikus vektortér K kompakt, konvex halmaza összes kompakt extremális részhalmazainak osztályát Mivel K a P-hez tartozik, ı́gy P nem

üres A következőkben fel fogjuk használni a P halmazosztály következő tulajdonságait: (i) Ha a P valamely nem üres részcsaládjának metszete nem üres, akkor ez a metszet is P-hez tartozik. (ii) Ha S a P-hez tartozik, Λ egy folytonos lineáris funkcionál X-en, és µ a Re Λ maximuma S-en, akkor az SΛ = {x ∈ S : Re Λ(x) = µ} halmaz P-hez tartozik. Az (i) tulajdonság nyilvánvaló. Az (ii) bizonyı́tásához legyenek x, y a K elemei, 0 < t < 1, és tegyük fel, hogy z = tx + (1 − t)y az SΛ halmazhoz tartozik. Minthogy z az S-nek is eleme, és S a P-hez tartozik, ı́gy x és y S-hez tartoznak, tehát Re Λ(x) ≤ µ, és Re Λ(y) ≤ µ. Mivel Re Λ(z) = µ, és a Λ funkcionál lineáris, ı́gy Re Λ(x) = Re Λ(y) = µ, s x és y az SΛ -hoz tartozik. Rögzı́tsünk most egy S halmazt P-ben, s jelölje P 0 az S összes P-beli részhalmazainak osztályát. Mivel S a P 0 -höz tartozik, ı́gy P 0 nem üres A Zorn–

lemma alapján P 0 -ben van Ω maximális lineárisan rendezett r’eszhalmaz, mely kompakt halmazokból álló centrált rendszer, ı́gy M metszete nem üres, ezért az (i) alapján M is P-hez tartozik. Az Ω maximalitásából következik, hogy M egyetlen valódi részhalmaza se tartozhat P-hez, ezért az (ii) tulajdonság miatt minden folytonos lineáris funkcionál állandó M -en. Mivel X ∗ elválasztó, ezért M egyetlen pontból áll, amely nyilván extremális pontja a K halmaznak. Ezzel megmutattuk, hogy a K halmaz minden kompakt extremális részhalmazában van a K-nak extremális pontja. Az eddig bizonyı́tottakból következik, hogy ha H a K halmaz extremális pontjainak konvex burka, akkor bármely P-beli S halmaz esetén H ∩ S nem üres. Mivel K kompakt és konvex, ı́gy a H halmaz H lezártja része K-nak, ezért H kompakt. Tegyük fel, hogy a K halmaz valamely x0 pontja nem tartozik H-hoz Az 1.36 tétel szerint van

olyan Λ folytonos lineáris funkcionál, hogy Re Λ(x) < Re Λ(x0 ) teljesül minden H-beli x esetén. Világos, hogy H nem metszi az (ii) 28 KOMPAKTSÁG tulajdonságban értelmezett KΛ halmazt, viszont az (ii) miatt KΛ a P-hez tartozik, ami ellentmondás. ¤ A STONE–WEIERSTRASS–TÉTEL 3.1 Folytonos függvények terei Legyen X kompakt Haussdorff–tér és jelölje C(X) az összes X-en értelmezett komplex értékű folytonos függvények halmazát. A C(X) halmaz a függvények pontonkénti összeadásával és a pontonkénti skalárral való szorzással komplex lineáris tér. A függvények pontonkénti szorzásával ellátva a C(X) tér kommutatı́v egységelemes komplex algebra. A konjugálás műveletével a C(X) tér kommutatı́v egységelemes ∗-algebra. Nyilván a C(X)-hez tartozó függvények korlátosak. Az ||f || = sup |f (x)| x∈X összefüggés - mint könnyen látható - a C(X) téren

normát értelmez. Ezzel a normával ellátva C(X) - mint könnyen látható - Banach–tér, s a szorzással, és konjugálással együtt kommutatı́v egységelemes C ∗ -algebra. A C(X) térben zárt alteret alkotnak a valós értékű függvények, melyek terét CR (X) jelöli. A C(X) tér egy részhalmazát elválasztónak nevezzük, ha a tér bármely két különböző pontjához van a részhalmazban olyan függvény, mely a két pontban különböző értékeket vesz fel. 3.2 A Stone–Weierstrass–tétel valós változata 3.21 Tétel (Stone–Weierstrass) Ha az X kompakt Haussdorff–tér feletti valós értékű folytonos függvények CR (X) terében A olyan zárt elválasztó altér, amely a konstans 1 függvényt, valamint az A-hoz tartozó függvények abszolút értékét is tartalmazza, akkor A = CR (X). Bizonyı́tás. Ha f és g az A-hoz tartozó függvények, akkor az X halmaz x pontjaiban

(f ∨ g)(x) = max(f (x), g(x)) és (f ∧ g)(x) = min(f (x), g(x)) összefüggésekkel értelmezett f ∨ g, illetve f ∧ g függvény is A-hoz tartozik, mert f ∨ g = 2−1 (f + g + |f − g|) és f ∧ g = 2−1 (f + g − |f − g|). Ezért, ha f1 , f2 , , fn az A-hoz tartozó függvények (n ≥ 2 egész szám), akkor f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fn = (f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fn−1 ) ∨ fn és f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn = (f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn−1 ) ∧ fn az A-hoz tartoznak. Az X bármely y 6= x elemeihez és bármely α 6= β valós számokhoz van olyan A-beli f , hogy f (x) = α és f (y) = β, mert ha az A-beli g-re g(x) 6= g(y) teljesül, akkor van olyan γ és δ valós szám, hogy a velük képzett f = γg + δ függvényre fennáll f (x) = α és f (y) = β. Legyen h tetszőleges függvény a CR (X)-ből, és bármely X-beli x, y elemeknél legyen fx,y olyan A-beli függvény, amelyre fx,y (x) = h(x), és fx,y

(y) = h(y) teljesül. 29 30 A STONE–WEIERSTRASS–TÉTEL Ha ² > 0 valós szám, akkor az fx,y (z) < h(z) + ² egyenlőtlenséget kielégı́tő Xbeli z elemek egy Ux,y nyı́lt halmazt alkotnak. Bármely X-beli x esetén az Ux,y (y ∈ X) halmazok egyesı́tési halmaza az X kompakt tér, hiszen y beletartozik Ux,y ba, ezért vannak olyan X-beli y1 , y2 , . , yn (n pozitı́v egész szám) elemek, hogy Ux,y1 ∪ Ux,y2 ∪ · · · ∪ Ux,yn = X. Az fx = fx,y1 ∧ fx,y2 ∧ · · · ∧ fx,yn függvényre nyilván érvényes fx (z) < h(z)+², ha z az X-hez tartozik, továbbá fx (x) = h(x). Az fx (z) > h(z) − ² egyenlőtlenséget kielégı́tő X-beli z elemek egy Ux nyı́lt halmazt alkotnak. Az Ux halmazok lefedik X-et, mert x nyilván Ux -hez tartozik, ezért vannak olyan Xbeli x1 , x2 , . , xk (k pozitı́v egész szám) elemek, hogy Ux1 ∪Ux2 ∪· · ·∪Uxk = X Az f = fx1 ∨fx2 ∨· · ·∨fxk függvényre nyilván

érvényes f (z) < h(z)+² és f (z) > h(z)−², ha z az X eleme. Így az A zártsága miatt h az A-hoz tartozik, tehát A = C(X) ¤ A CR (X) tér egy lineáris alterét vektorhálónak nevezzük, ha bármely f, g elemeivel együtt az X halmaz x elemében (f ∨ g)(x) = max(f (x), g(x)) és (f ∧ g)(x) = min(f (x), g(x)) összefüggésekkel értelmezett f ∨ g, illetve f ∧ g függvényeket is tartalmazza. Mivel bármely CR (X)-beli f esetén |f | = f ∨ 0 + (−f ) ∨ 0, ezért az előbbi tétel a következőképpen is fogalmazható. 3.22 Tétel (Stone–Weierstrass) Ha az X kompakt Haussdorff–tér feletti valós értékű folytonos függvények CR (X) terében A olyan elválasztó vektorháló, amely a konstans 1 függvényt tartalmazza, akkor A sűrű C(X)-ben. 3.3 Dini tétele 3.31 Tétel (Dini) Ha az X kompakt tér feletti valós értékű, folytonos függvények CR (X) terében az (fn )n∈N és g

függvények olyanok, hogy minden Xbeli x helyen az (fn (x))n∈N számsorozat monoton csökkenő, és g(x)-hez konvergál, akkor az (fn )n∈N függvénysorozat CR (X)-ben g-hez konvergál. Bizonyı́tás. Bármely ² > 0 valós szám és X-beli x elem esetén van olyan nx természetes szám, hogy fnx (x)−g(x) < ². Az fnx és g folytonossága miatt az X-nek van olyan, az x-et tartalmazó Ux nyı́lt részhalmaza, hogy minden Ux -beli y helyen fnx (y) − fnx (x) < ², és g(x) − g(y) < ² érvényes. Minthogy X kompakt tér, vannak olyan X-beli x1 , x2 , . , xl (l pozitı́v egész szám) elemek, hogy az Ux1 , Ux2 , , Uxl halmazok lefedik X-et. Bármely n ≥ max(nx1 , nx2 , , nxl ) indexnél minden Xbeli x helyen, ha x az Uxk -hoz tartozik, akkor fn (x) − g(x) ≤ fnxk (x) − g(x) = = (fnxk (x) − fnxk (xk )) + (fnxk (xk ) − g(xk )) + (g(xk ) − g(x)) < 3² érvényes, tehát az (fn )n∈N függvénysorozat CR

(X)-ben g-hez konvergál. ¤ 3.32 Tétel Van valós együtthatós polinomoknak olyan sorozata, amely a [−1, 1] zárt egységintervallumon az e halmaz feletti folytonos valós értékű függvények normált terében az x 7 |x| függvényhez konvergál. Bizonyı́tás. Legyen f0 a konstans 1 polinom A valós x esetén minden 2 pozitı́v egész n-re fn (x) = 2−1 (fn−1 (x) + (1 − x2 )) összefüggéssel értelmezett valós együtthatós fn polinomok |x| ≤ 1 esetén nyilván nem negatı́v értékűek, és fn (x) ≥ fn+1 (x), ugyanis ha fn−1 (x) ≥ fn (x), akkor fn (x) − fn+1 (x) = =2 −1 2 (fn−1 (x) − fn2 (x)) = 2−1 (fn−1 (x) + fn (x))(fn−1 (x) − fn (x)) ≥ 0 A STONE–WEIERSTRASS–TÉTEL 31 és f0 (x) ≥ f1 (x). Ezért |x| ≤ 1 esetén az (fn (x))n∈N sorozat konvergál egy g(x) ≤ 1 számhoz, amelyre az fn -eket értelmező összefüggésből határátmenettel g(x) = 2−1 (g 2 (x) + (1 −

x2 )) teljesül, vagyis g(x) = 1 − |x|. A g függvény folytonos, ı́gy a 3.31 tétel alapján az |x| ≤ 1 tulajdonságú x valós számok halmazán az e halmaz feletti valós értékű folytonos függvények normált terében az (1 − fn )n∈N polinomsorozat az |λ| függvényhez konvergál. ¤ A következő tételt egyszerű lineáris transzformációval kapjuk az előzőből. 3.33 Tétel Korlátos zárt intervallumon az x 7 |x| függvény valós együtthatós polinomok egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye 3.4 A Stone–Weierstrass–tétel komplex változata 3.41 Tétel (Stone–Weierstrass) Ha az X kompakt Haussdorff–tér feletti komplex értékű folytonos függvények C(X) normált algebrájában A olyan zárt, elválasztó részalgebra, amely a konstans 1 függvényt, valamint az A-hoz tartozó függvények konjugáltját is tartalmazza, akkor A = C(X). Bizonyı́tás. Legyen az A-beli

valós értékű függvények halmaza Ar A 332 tétel alapján Ar tartalmazza az Ar -hez tartozó függvények abszolút értékét is. Ha f az A egy eleme, akkor vannak olyan valós értékű u, v függvények C(X)-ben, hogy f = u + iv, és itt szükségképpen u és v az A-hoz tartozik, mert az f függvény f konjugáltjával u = 2−1 (f + f ) és v = −i2−1 (f − f ) teljesül. Ezért Ar elválasztó család. Így a 321 dtétel alapján Ar tartalmaz minden C(X)-beli valós értékű függvényt. Tehát A = C(X) ¤ 3.5 Weierstrass approximációs tételei 3.51 Tétel (Weierstrass I) Korlátos zárt intervallumon minden folytonos, valós értékű függvény valós együtthatós polinomok egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye. Bizonyı́tás. Az állı́tás a 321 és a 333 tételek következménye ¤ Az x 7 cos nx és x 7 sin nx (n = 0, 1, . ) fúggvények valós együtthatós

lineáris kombinációit (valós) trigonometrikus polinomoknak nevezzük. Könnyen látható, hogy a trigonometrikus polinomok a CR [0, 2π] tér részalgebráját alkotják. 3.52 Tétel (Weierstrass II) Minden 2π szerint periodikus, folytonos, valós értékű függvény valós trigonometrikus polinomok egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye. Bizonyı́tás. Legyen bármely f : R C folytonos, 2π szerint periodikus függvény esetén ϕ(eit ) = f (t), ha t tetszőleges valós szám. Mivel f 2π szerint periodikus, ez a definı́ció korrekt módon értelmezi a ϕ : T C folytonos függvényt Könnyű látni, hogy az f 7 ϕ leképezés az R-t C-be képező, folytonos, 2π szerint periodikus függvények C ∗ -algebrájának a C(T)-re való *-izomorf, izometrikus leképezése. Világos, hogy a T halmaz eit pontjában en (eit ) = eint módon értelmezett (en )n∈N függvénysorozat lineáris burkának A

lezártja teljesı́ti a Stone– Weierstrass–tétel komplex változatának feltételeit, ı́gy A = C(T). Ezért az A-beli, valós értékű függvények között fellép minden T-n értelmezett, valós értékű függvény. Mivel az (en )n∈N sorozat elemei véges lineáris kombinációinak valós és képzetes részei valós trigonometrikus polinomok, ezzel az állı́tást bebizonyı́tottuk. ¤ 32 A STONE–WEIERSTRASS–TÉTEL 3.6 Bishop tétele Legyen X kompakt Haussdorff–tér, A pedig a C(X) tér egy részalgebrája. Az X tér egy E részhalmazát az A algebrára nézve antiszimmetrikus, ha bármely A-beli függvény, mely az E halmazon valós értékeket vesz fel, állandó ezen a halmazon. Másszóval, az A-beli függvények E-re való leszűkı́téseinek AE algebrája nem tartalmaz olyan valós értékű függvényt, amely nem állandó. Például, ha X a komplex sı́k egy kompakt

részhalmaza, melynek van belső pontja, és A mindazon X-en folytonos komplex értékű függvények halmaza, melyek X belsejében holomorfak, akkor X belsejének minden komponense antiszimmetrikus az A algebrára nézve. 3.61 Tétel (Bishop) Legyen X kompakt Haussdorff–tér, A pedig a C(X) egy zárt részalgebrája, amely tartalmazza a konstans függvényeket. Ha g olyan függvény C(X)-ben, mely bármely A-ra nézve antiszimmetrikus halmazon megegyezik valamely A-beli függvénnyel, akkor g az A-hoz tartozik. Bizonyı́tás. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a C(X) tér konjugált tere azonosı́tható az X-en értelmezett összes reguláris, komplex Borel-mértékek terével. Ebben a térben a µ mérték normáját a ||µ|| = |µ|(X) egyenlőség definiálja. A µ mérték tartója az a legszűkebb F kompakt halmaz, melyre |µ|(F ) = ||µ|| teljesül, s melynek létezése könnyen igazolható. Az A algebra A⊥

annihilátora az összes olyan µ reguláris, komplex Borel– R mértékek halmaza, melyekre f dµ = 0 teljesül minden A-beli f esetén. Legyen K = {µ ∈ A⊥ : ||µ|| ≤ 1}. A K halmaz konvex, körszerű, és a 2.121 Banach–Alaoglu–tétel alapján gyenge*kompakt. Ha K = {0}, akkor A⊥ = {0}, ı́gy A = C(X) Tegyük fel, hogy K 6= {0}, és legyen µ a K egy extremális pontja. Világos, hogy ||µ|| = 1. Legyen E a µ mérték tartója, f pedig az A olyan eleme, melyre 0 < f < 1 teljesül az E halmazon. Értelmezzük a σ és τ mértékeket a dσ = f dµ, illetve dτ = (1 − f )dµ egyenlőségekkel. Mivel A algebra, ı́gy σ és τ az A annihilátorához tartozik, s mivel 0 < f < 1 az E halmazon, ı́gy ||σ|| > 0, és ||τ || > 0. Továbbá, Z Z ||σ|| + ||τ || = f d||µ|| + (1 − f )d||µ|| = ||µ||(E) = 1. E E Ez azt jelenti, hogy µ a σ1 = σ/||σ|| és τ1 = τ /||τ || mértékek konvex kombinációja,

melyek mindegyike K-hoz tartozik. Mivel µ a K-nak extremális pontja K-nak, ı́gy µ megegyezik σ1 és τ1 valamelyikével; mondjuk µ = σ1 . Másszóval, f dµ = ||σdµ, amiből az f folytonossága alapján f (x) = ||σ|| következik az E halmaz minden x pontjában. Mivel A tartalmazza a konstans függvényeket, ebből következik, hogy minden olyan A-beli fúggvény, mely az E-n valós értékeket vesz fel, az E-n állandó. Megmutattuk tehát, hogy ha a µ mérték extremális pontja a K halmaznak, akkor tartója antiszimmetrikus az A algebrára nézve. Ebből következik, hogy tetszőleges g függvény esetén, mely teljesı́ti a tétel feltételeit, ugyancsak teljesül R gdµ = 0, a K halmaz minden µ extremális pontjára, s ı́gy a K extremális ponR tjainak konvex burkából vett minden µ mértékre is. MivelR a µ 7 gdµ függvény gyenge*-folytonos a K-n, a Krein–Milman–tétel alapján gdµ = 0 a K minden µ eleme

esetén, s ı́gy az A⊥ minden µ eleme esetén. Ebből a Hahn–Banach–tétel alapján következik az állı́tás. ¤ A Bishop–tételből könnyen következik a Stone–Weierstrass–tétel. Valóban, ha A a C(X) egy elválasztó, zárt részalgebrája, mely tartalmazza a konstans A STONE–WEIERSTRASS–TÉTEL 33 függvényeket, s a konjugálásra nézve zárt, akkor minden hozzá tartozó függvénynek a valós, és képzetes részét is tartalmazza, ı́gy az A-beli valós értékű függvények elválasztó családot képeznek. Ezért minden olyan halmaz, mely A-ra nézve antiszimmetrikus, egyetlen pontból áll, tehát a Bishop–tétel feltételei minden C(X)-beli g függvényre teljesülnek