Matematika | Analízis » PSZF Analízis képletek

Halmazelmélet Konjunkció: (és) ⋅,∧,∩ (csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz) Diszjunkció: (vagy) +,∨,∪ (csak akkor hamis, ha mindkét állítás hamis) Implikáció: A⇒B (akkor és csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis) Ekvivalencia: A⇔B (akkor és csak akkor igaz, ha A=B) alapazonosságok: A + B = B+ A A ⋅ B = B⋅ A (A + B) + C = A + (B + C) (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C) A ⋅ (B + C) = (A ⋅ B) + (A ⋅ C) A + (B ⋅ C) = (A + B) ⋅ (A + C) A + A = A, A ⋅ A = A A + 1 = A, A ⋅ 0 = 0 A + 0 = A, A ⋅1 = A A + A = 1, A ⋅ A = 0 (1 = H alaphalmaz) A ⋅ B = A + B De morgan szabály A + B = A⋅B A + (A ⋅ B) = A Beolvasztási szabály A ⋅ (A + B) = A A - B = A⋅B A⇒ B= A+B A ⇔ B = A⋅B+ A⋅B prioritás:  2. szorzás   + zárójelek 3. összeadás 4. többiek  1. negálás átírás: ∩ ⋅ ; ∪ + ; - ; H 1 ; 0 0 A = A, 1 = 0, 0 = 1 A + B + C = A ⋅ B⋅C A ⋅ B⋅ C = A + B + C Sorozatok Ha a

számláló fokszáma nagyobb vagy egyenlő a nevező fokszámával érdemes POLINOMOSZTÁST végezni!!!! 1. Határérték meghatározása polinom/polinom típusú feladatoknál szabály: a nevező legmagasabb fokú tagjával osztom a számlálót és a nevezőt. Polinom legnagyobb kitevője a fokszám, jelölése: r(p(n)) p( n ) p( g ) 1. r(p)=r(g) a fő együtthatók hányadosa 2. r(p)>r(g) ±∞ 3. r(p)<r(g) 0 2. monotonitás vizsgálata monoton nő, ha a n+1 − a n > 0 ill. ha monoton csökken, ha a n+1 >1 an a n+1 − a n < 0 ill ha a n+1 <1 an A monotonitás tagadásához egyetlen ellenpélda elegendő, így az elméleti bizonyítást nem kötelező elvégezni! 3. korlátosság vizsgálata 4. küszöbszám meghatározása | a n − A| < ε n0 = [n] , a választott számnak mindig az egészrészét veszem ha másodfokú egyenlet jön ki, akkor a nagyobbik gyököt kell n-nek választani. q n típusú sorozatoknál határértéke:

divergens, ha q ≤ -1  n (-1) divergens, q = -1  ha - 1 < q < 1 lim q n = 0, n ha q = 1 1 1, + ∞, ha q > 1  n  a lim 1+  = ea  n Speciális sorozatok: Monotonitást tönkreteszik, a határértéket nem biztos π  ( −1)n = cos( nπ ) = sin  + nπ  2  korlátosak! Esetszétválasztást érdemes csinálni és mind a kettő lim-ét megnézni, ha ezek egyenlők akkor van határérték, ha nem akkor a sorozat divergens (2 torlódási pontja van). Mértani sorozat összegképlete Sn = a1 ⋅ qn − 1 q −1 Sorok A végtelen sor konvergens, ha a részletösszegekből képzett sorozat konvergens; ekkor a sor összege megegyezik a sorozat határértékével. A végtelen mértani sor pontosan akkor konvergens, ha |q|<1 lim sn = a1 ⋅ 1 1− q Függvények határértéke folytonosság Adott pontban a folytonosság feltétele, hogy az adott pontban a függvény helyettesítési értéke egyenlő legyen az

adott pontban a függvény határértékével. · végtelenben ugyanúgy csinálom mint a sorozatoknál · mínusz végtelenben lényegében ugyanazt · végesben új módszerek (szorzat alak) pólushelyeken kell a jobb és baloldali határértéket is vizsgálni (A pólushelyének a nevezőnek zérushelye) abszolútértékes függvényeknél esetszétválasztást kell csinálni, és az adott pontoknál a függvény megfelelő ágát használni. Az esetszétválasztás határánál jobbról és balról is meg kell vizsgálni a határértéket itt is a megfelelő ág használatával. lim 0 sin x x =1 sin 2 x = 2 sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x sin( x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y lim 0 ex − 1 =1 x áttérés trükk sin( x + 1) sin t lim = lim =1 x−1 t 0 x +1 t t = x +1 x = t −1 x −1 t0 t ln x = lim =1 x − 1 t 0 e t − 1 t = ln x lim x1 x = et x 1 t0 gyöktelenítéses trükk Taylor sor, Taylor polinom ∞ f ( i ) (a ) ( x − a )i = f ( a ) + f

′( a ) ⋅ ( x − a ) + i! f ′′( a ) f ′′′( a ) ( x − a )3. ( x − a )2 + f ( x) = ∑ i=0 3! 2! McLaurin polinom, ha a=0 McLaurin sorok: xk +. k! x x x x7 x 2 k−1 sin x = − + − +.+( −1) k+1 +. ( 2k − 1)! 1! 3! 5! 7! 2k x2 x4 x6 k x cos x = 1 − + − +.+( −1) +. 2! 4! 6! ( 2k )! k x2 x3 x4 k +1 x ln(1 + x) = x − + − +.+( −1) +. 2 3 4 k ex = 1 + x 1! + x2 2! 3 +.+ 5 Függvényvizsgálat 1. értelmezési tartomány Df 2. zérushely f(x)=0, törtfüggvénynél, ha a számláló=0 3. f ’(x), f ’(x)=0 lok sz é + monotonitás 4. f ”(x), f ”(x)=0 inflexiós pont + konvex, konkáv 5. Határértékek az értelmezési tartomány szélein 6. Táblázat (deriváltak zérushelyei + póluspontok) 7. Ábra és értékkészlet (Rf) 8. paritás páros függvény: f(x)=f(-x) (szimmetrikus az y tengelyre) páratlan függvény: -f(x)=f(-x) (szimmetrikus az origóra) ln x-nél kikötés x>0 szélsőérték f ’(a)=0, lehetséges

szélsőértékhely f ′′( a ) < 0 lokális max f ′′( a ) = 0 további vizsgálat szükséges f ′′( a ) > 0 lokális min Többváltozós függvények szélsőértéke fx ( a , b) = 0 f y ( a , b) = 0 egyenletrendszer megoldása, ha nincs megoldás nincs lok. szé ha van megoldás P1(x1,y1), P2(x2,y2) D( a , b) = f "xx ( a , b) f yy′′ ( a , b) − [ f "xy ( a , b)]2 ha D(a,b)>0 szélsőértéke van (a,b)-ben ha D(a,b)<0 nyeregpontja van (a,b)-ben ha D(a,b)=0 további vizsgálat szükséges f " ( a , b) < 0 lokális maximum f " ( a , b) > 0 lokális minimum xx yy Differenciálszámítás Érintő egyenlete az (a,f(a)) pontban ha f ’(a) létezik e( x) = f ′( a )( x − a ) + f ( a ) Differencia hányados d a ( x) = f ( x) − f ( a ) ( x ∈ D f ) {a } x −1 Differenciál hányados: f ( a ) = lim d a ( x) = lim a a f ( x) − f ( a ) x −1 f (a + h) − f (a ) f ( a ) = lim 0 h differenciálási szabályok ( cf ) =

cf ( f + g ) = f + g ( fg ) = f g + fg  1 g   = − 2 ( 0 ∉ g( Dg )), g  g  f f g − fg ( 0 ∉ g( Dg )).   = g2  g ( fgh ) = f gh + fg h + fgh a 3 − b3 = (a − b)( a 2 + ab + b 2 ) f ( x) c, c ∈ R x xn , n ∈ N + n n x, n ∈ N + x , n ∈ N + és páratlan 1 xn q , n ∈N+ x p p, q ∈ N + xα , α ∈ R sin x cos x tg x ctg x f ( x) 0 1 nx n −1 1 n n x n −1 1 n n x n −1 n − n +1 x p q p−q x q αxα −1 cos x − sin x 1 cos 2 x 1 − 2 sin x ex ex a ,a ∈R a x ln a x ln x log a x, a ∈ R+ {1} 1 x 1 x ln a Integrálszámítás Elemi függvények határozatlan integráljai 1. ∫ xα dx = xα +1 + C, α ≠ −1, α ∈ R, α +1 1 2. ∫ dx = ln x + C, x 3. ∫ sin xdx = − cos x + C, 4. ∫ cos xdx = sin x + C, 1 dx = − ctg x + C, sin 2 x 1 dx = tg x + C, 6. ∫ cos2 x 5. ∫ 7. ∫ e x dx = e x + C, 8. ∫ a x dx = ax + C, a > 0,a ≠ 1. ln a 9. ∫ lnx = x ⋅ lnx - x

Integrálási szabályok ∫ cf = c ∫ f ∫ ( f + g) = ∫ f + ∫ g 1 ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C, ax + b ∈ I , a és b állandó, a ≠ 0 f α +1 ∫ f α f = α + 1 + C, α ≠ −1 ∫ f = ln f + C f parciális integrálás ∫ fg = fg − ∫ f g alapesetek: 1) polinom*trig, polinomexp (pol - g(x), trig v. exp f ’(x)) 2) polinom*log (pol - f ’(x), log g(x)) helyettesítéssel való integrálás módszere ∫ f ( g( x)) g( x)dx = F ( g( x)) + C ∫ ( f  g )g = F  g + C határozott integrál tulajdonságai b b ∫a cf = c ∫a f b b b ∫a ( f + g ) = ∫a f + ∫a g Térfogatszámítás b V = ∫ q( x)dx. a x tengely körüli forgatással keletkezett testeknél b V = π ∫ f 2 ( x)dx. a Kamat kiszámításának módja: p= T⋅I 100 = T⋅i ahol p - kamat T - kölcsönösszeg I - kamatláb i = I/100 Kamat n(≤360) napra p= T ⋅ I ⋅n T ⋅i⋅n = 360 ⋅ 100 360 Kamatos kamat k = k ⋅ r (n= 1, 2.) ahol r = 1+i n - évek száma

k0 - elhelyezett pénzösszeg kn - n. évben az elhelyezett pénz felnövekedett értéke n n 0 Diszkontálás k0 = kn ⋅ 1 rn = kn ⋅ v n ahol n - nap v= 1 1 = 1+ i r diszkonttényező k0 jelenérték k0 = kn ⋅ (1 − d )n ahol d= i 1+ i , D = d ⋅ 100 diszkontláb Nominális és effektív kamatlábak, konform kamatláb Effektív (tényleges) évi kamatláb (pl. havi növekedés (havonkénti tőkésítés) esetén, vagy naponta) m   j I = 1 +  − 1 ⋅ 100  m  ahol i= I 100 , j= J 100 J - névleges vagy nominális kamatláb m - évente hányszor történik a tőkésítés Effektív (tényleges) évi kamatláb (folytonos fejlődés(folytonos kamatozás) mellett) I = ( e j − 1) ⋅ 100 ahol i= I 100 , j= J 100 J - névleges vagy nominális kamatláb Névleges vagy nominális kamatláb + konform kamatláb (Pl. ÉVIVEL KONFORM HAVI KAMATLÁB) J = 100 ⋅ m( m 1 + i − 1) ahol m - évente hányszor történik a

tőkésítés i= I 100 J kamatlábat m az I kamatláb m részidőszakra osztáshoz tartozó konform kamatlábának nevezzük. Félévi, negyedévi. kamat meghatározása  kn I = ( r − 1) ⋅ 100 =  n  k0  − 1 ⋅ 100  ahol n = évek száma ⋅ negyed évnél(4), fél évnél (2) stb. Félévi, negyedévi. kamatlábbal KONFORM ÉVI KAMATLÁB meghatározása I = [(1 + j )n − 1] ⋅ 100 ahol j az előbbi képletből (Félévi, negyedévi. kamat meghatározása) j= I 100 n = negyed évnél(4), fél évnél (2) stb. Infláció figyelembevétele Általában I% évi kamatláb és F% -os évi árszínvonal-emelkedés esetén tőkénk vásárlóértéke n I   n 1+   1+ i   100  =   F 1+ f  1+   100  szeresére növekedik. Járadékszámítás Gyűjtőjáradék Évi I% -os kamatláb mellett n éven át minden év elején befizetünk a összeget. Kérdés, hogy az utolsó befizetés után 1 évvel mekkora

összeg áll rendelkezésünkre. (utolsó befizetés évének végén mekkora a felnövekedett érték). Sn(1) = ar rn −1 i ahol i= I 100 r = 1+i a - annuitás (egy-egy időben befizetendő összeg) Törlesztőjáradék V összegű kölcsönt veszünk fel I % -os kamatra, amelyeket n évig évi a Ft-os annuitással törlesztünk. (1) n Vn(1) = av vn − 1 1 − vn = av v −1 1− v ahol v= 1 1 = 1+ i r diszkonttényező a - annuitás (egy-egy időben befizetendő összeg) Beruházás Hozam akkor fedezi a beruházást, ha (felkamatolásos módszerrel) n Br n ≤ ∑ H i r n − i i =1 ahol B - beruházott összeg H i - beruházás hozama az i-edik évben n - évek száma (pl.: ennyi az amortizációs idő) I , r = 1+i i= 100 Hozam akkor fedezi a beruházást, ha (hozamokat a beruházás időpontjára diszkonttáljuk) n n i =1 i =1 B ≤ ∑ H i r − i = ∑ H i vi B - beruházott összeg Hi i= beruházás hozama az i-edik évben I , r = 1+i 100 v= 1 1 = 1+

i r diszkonttényező n - évek száma (pl.: ennyi az amortizációs idő) Hozam akkor fedezi a beruházást, ha (ha a hozamok minden évben ugyanakkorák) B ≤ Hv 1 − vn 1 − vn =H i 1− v B - beruházott összeg H - beruházás hozama i= v= I , r = 1+i 100 1 1 = 1+ i r diszkonttényező n - évek száma (pl.: ennyi az amortizációs idő) Beruházásgazdaságossági mutatók Nettó jelenérték mutató Pozitív előjele azt mutatja, hogy a hozamokat diszkontálva, a bevételek fedezik-e a befektetést. n E = ∑ H i vi − B i =1 több évig tartó beruházás esetén n k i =1 i =1 E = ∑ H i vi − ∑ Bi vi −1 egyéves beruházásnál, ha a hozamok minden évben azonosak 1 − vn E=H i −B ahol E - nettó jelenérték mutató B - beruházott összeg H - beruházás hozama H i - beruházás hozama az i-edik évben I i= 100 ,r = 1+i 1 1 = 1+ i r v= diszkonttényező n - évek száma (pl.: ennyi az amortizációs idő) k - évek száma

Megtérülési ráta Akkor gazdaságos a beruházás, ha R≥1, úgy is mondhatjuk, hogy R megmutatja, hogy a beruházott összegünk hányszor térül meg. n H i vi ∑ i =1 R= k Bi vi ∑ i −1 =1 ahol H i - beruházás hozama az i-edik évben Bi - beruházás összege az i -edik évben I , r = 1+i i= 100 v= 1 1 = 1+ i r diszkonttényező n - évek száma (pl.: ennyi az amortizációs idő) k - évek száma Megtérülési idő k 1 R = Bi vi ∑ i −1 =1 n H i vi ∑ i =1 Belső megtérülési ráta n H i vi = B ∑ i =1 illetve k évig tartó beruházás esetén n k =1 =1 H i vi = ∑ Bi vi ∑ i i −1