Matematika | Diszkrét Matematika » Lineáris algebra gyakorló feladatok

Lineáris algebra gyakorló feladatok 1, Egy üzem három terméket (T) állít elő három alkatrész (A) összeszerelésével. Az alábbi táblázat az egyes termékek összeszereléséhez szükséges alkatrészek számát és a raktáron lévő alkatrészeket mutatja. Határozza meg a raktáron lévő alkatrészekből összeszerelhető termékek számát! Adja meg a megoldandó egyenletrendszer együtthatómátrixának LU felbontását! A megoldást Gaussmódszerével végezze! A1 A2 A3 T1 2 2 18 T2 2 1 4 T3 7 3 6 Raktárkészlet 280 135 460 Megoldás: A=  VT C B B= B-( ( c* VT )/) L= 1 c/ 0T I L*U= A 2 2 2 1 18 4 2 0 0 2 -1 0 7 3 6 7 -4 -1 280 135 460 280 -145 -30 2 2 7 280 0 -1 -4 -145 0 -14 -17 -2060 *1 T 3 = 30 T 2 =25 T 1 =10 *9 U= 2 0 0 2 -1 -14 7 -4 -57 L= 0 1 14 0 0 1 *14 1 1 9 2, Határozza meg az alábbi A mátrix inverzét blokkmátrixok segítségével! 1 0 1 0 A= 2 1 4 -1 1 2 2 3 -3 1 -1 0 Megoldás: A= E F A-1=

E-1+E-1*FS-1GE-1 -E-1FS-1 G H -S-1*GE-1 S-1 S=H-G*E-1F S= 2 -1 3 0 - S= 2 -1 3 0 S-1= 2 3 -1 0 -S-1*GE-1= 1 4 1 -2 1 -3 * * 0 -1 0 1 0 1 1 2 1 -3 2 -1 = * 0 -1 0 1 3 0 1*1+30=1 -1 3 0 -1 1 -2 -1 -1 -E *FS = *1/1 1 0 * 1 -1 1 0 = 0 -1 3 1 2 -1 1 -3 = -1 0 -1 3 -2 7 1 -5 * -1 0 = -16 0 1 * 0 1 3 -1 = 0 1 E+E-1*FS-1GE-1 = 1 -2 + 0 1 1 -2 * 0 1 1 -2 1 -5 + * 0 1 0 1 17 -3 -1 Ellenőrzés: 3 1 2 1 -3 1 0 1 0 1 0 1 4 2 -1 0 1 -3 * 0 1 1 0 1 2 * = -3 1 0 -1 16 -3 * -5 1 35 -16 -6 3 -2 1 7 -3 0 0 1 0 0 1 5 -1 0 1 0 0 0 16 37 17 35 = -3 -6 -3 -6 3 -1 3 5 -1 0 -1 3 0 0 0 0 1 3, Adott az alábbi sorrendben a követlen ráfordítások mátrixa, a nettó termelés vektora és a termékegységre eső új érték vektora. Határozza meg a teljes ráfordítások mátrixát, a bruttó termelés vektorát, a termékek egységárát és a pénzegységre eső közvetlen ráfordításokat! A szükséges számolást Gauss-Jordan módszerrel végezze! B= 0 0 0

r= 10 mT= 2 2 0 0 , 20 , 5 5 4 0 40 3 Megoldás: Teljes ráfordítások mátrixa: T= (I-B)-1 Közvetlen ráf ,: T-B (I-B) 1 0 0 1 0 0 -2 1 0 0 1 0 -5 -4 1 0 0 1 1 -2 -5 1 0 0 1 2 1 0 0 13 4 1 0 T*(I-B)=I q =T * r T 0 0 0 2 0 0 5 4 0 0 1 -4 0 1 0 10 r 20 40 10 40 250 q 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 -4 1 5 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 13 4 1 (I-B)-1 0 0 1 0 0 1 pT*(I-B)= mT pT= mT*(I-B)-1 (I-B)-1 1 2 T m 13 2 5 3 51 0 1 4 17 P= 0 0 1 3 =pT 51 0 0 0 17 0 0 0 3 p*Bp-1: 51 0 0 0 17 0 0 0 3 * 0 0 0 2 0 0 5 4 0 1/51 0 0 0 0 0 * 0 1/17 0 = 34 0 0 0 0 1/3 15 12 0 1/51 0 0 0 0 0 * 0 1/17 0 = 34/51 0 0 0 0 1/3 15/51 12/17 0 4, Írja fel az alábbi egyenletrendszernek azt a bázismegoldását, amelyben az x2, x4, x5 ismeretlenekhez tartozó oszlopvektorok alkotják a bázist! Határozza meg a bázisvektorok alkotta mátrix inverzét! Adja meg azt a bázismegoldást is amelyben az x1, x4, x5 ismeretlenekhez tartozó oszlopvektorok alkotják a bázist! A megoldást pivotálással

végezze! X 1 +2x 2 +4x 3 +6x 4 +4x 5 =24 2x 1 +3x 2 +x 3 +10x 4 +4x 5 =48 -x 1 +4x 2 +2x 3 +8x 4 +15x 5 =4 Megoldás: x1 x2 e1 1 2 e2 2 3 e3 -1 4 x3 4 1 2 x4 x5 b 6 4 24 10 4 48 8 15 4 e1 e2 e3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x1 x2 1/2 e2 1/2 e3 -3 e1 1 0 0 x3 2 -5 -6 x4 3 1 -4 x5 b e1 e2 2 12 1/2 0 -2 12 -3/2 1 7 -44 -2 0 e3 0 0 1 x1 x2 -1 x4 1/2 e3 -1 e1 x3 1 17 0 -5 0 -26 e2 0 1 0 x5 b e1 e2 8 -24 5 -3 -2 12 -3/2 1 -1 4 -8 4 e3 0 0 1 x1 x2 -9 x4 5/2 x5 1 e1 x3 e2 1 -191 0 0 47 1 0 26 0 x5 b e1 e2 0 8 -59 29 0 4 29/2 -7 1 -4 8 -4 e3 8 -2 -1 -59 29/2 X2 X4 X5 8 2 6 4 1 3 10 4 0 4 8 15 0 29 8 -7 -2 -4 -1 0 0 1 0 0 1 I b x2 8 x4 4 x5 = -4 x1 0 x3 0 + -x1 9 -5/2 -1 1 0 Ami bennmarad a táblázatban ott a b helyére 0 -x3 191 t1 kerül, lásd x1,x3,és a –x1 és –x3 – nél a megfelelő -47 t2 egységmátrix, mindig annyi t, lesz ahány x bennmaradt benn. -26 * X 2 =8+9t 1 +191t 2 =0 t 1 =-8/9 0 X 3 =0+0t 1 +1t 2 =0 t 2 =0 1 X 1 =-8/9 X 4

=4+-5/2*t1+-47t2=40/18+4=112/18 X 5 =-4+-1*t1+-26t2=-4+8/9=-28/9 x1 x2 x3 x4 x5 0 8 0 4 -4 -8/9 0 0 112/18 -28/9 5, Határozza meg a legkisebb négyzetek módszerével az alábbi adatokra illeszkedő y=a+bx 1 +cx 2 síkot. Számítsa ki a megoldandó egyenletrendszer együtthatómátrixának inverzét! A számításokat pivotálással végezze! x1 x2 y 1 -1 2 3 1 3 -2 2 4 Megoldás: xT*xb=xTy y=a+bx 1 +cx 2 x 1 1 -1 1 3 1 T x 1 -2 2 1 1 1 3 2 2 1 3 -2 2 14 -2 -1 1 2 2 -2 6 XT*x y 2 3 4 3 2 2 9 2 14 -2 3 2 -2 6 9 XT*xb 3 2 2 2 14 -2 2 -2 6 9 3 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2/3 38/3 -10/3 2/3 -10/3 14/3 3 -3 3 1/3 -2/3 -2/3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 23/38 -10/38 144/38 120/38 -9/38 84/38 14/38 -2/38 -32/38 -2/38 3/38 10/38 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 384/144 a 80/144 -16/144 -32/144 -12/144 b -16/144 14/144 10/144 84/144 c -32/144 10/144 38/144 y= 384/144 + -12/144x 1 + 84/144x 2