Matematika | Diszkrét Matematika » Eseményalgebra

II. tétel ESEMÉNYALGEBRA Alapfogalmak Általában valamely véletlentől függő kísérlet bármely lehetséges eredményét a kísérlet kimenetelének nevezzük. A kísérlethez kapcsolódó minden olyan helyzetet amelyről a kísérlet lefolyása után biztosan megmondhatjuk, hogy bekövetkezett-e vagy sem eseménynek nevezzük. (A H eseménytér egy tetszőleges részhalmazát véletlen eseménynek (eseménynek) nevezzük.) Azt az eseményt amelyet a kísérletnek egy és csakis egy kimenetele ( egyelemű) határoz meg elemi eseménynek nevezzük. Jele: E. A többi események összetett események. (pl páros szám dobása) A biztos esemény bármely kísérlet ismétlésekor teljes biztonsággal bekövetkezik. Jele: I. Lehetetlen esemény a kísérlet egyetlen ismétlésekor sem következik be. Jele:  Az A és B események összeférhető események, ha egyidőben bekövetkezhetnek. Vagyis ha a kísérletnek vannak olyan kimenetelei amelyek mind az A-t és mind a B-t

megvalósítják, ellenkező esetben a két esemény kizárja egymást. Értelmezés szerint azt mondjuk, hogy az A esemény implikálja, maga után vonja a B eseményt, ha a B mindannyiszor megvalósul ahányszor az A bekövetkezik. Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmazát eseménytérnek nevezzük. Jele: H Az olyan jelenségeket amelyeket azonos körülmények között akárhányszor megismételhetjük véletlen tömegjelenségnek nevezzük. H eseménytér egy tetszőleges részhalmazát véletlen események nevezzük. H eseménytér egy elemű részhalmazai elemi események. H halmazt mint eseményt biztos események nevezzük Műveletek eseményekkel Legyen A és B esemény ugyanazon eseménytér két eseménye. 1, A  B 2, A  B 3, A B egyik vagy másik egyszerre A megvalósul, B nem Eseményekkel kapcsolatos kifejezések megfelelői a halmazelméleti kifejezéseknél: Esemény 1. Eseménytér 2. Véletlen esemény 3. Elemi esemény Halmaz Alaphalmaz H halmaz

részhalmaza H halmaz I elemű részhalmaza 4. Biztos esemény Alaphalmaz 5. Lehetetlen esemény Üres halmaz 6. Halmaz ellentétes eseménye A halmaz komplementere 7. A maga után vonja B eseményt A részhalmaza B-nek 8. Eseményalgebra Halmazalgebra Az A  H esemény ellentétes eseményének (komplementerének) nevezzük azt az A szimbólummal jelölt eseményt, amely akkor következik be, ha A nem következik be, és A  H. Ha A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének (egyesítésének) nevezzük és az A  B szimbólummal jelöljük. Ha A és B esemény ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A és B esemény egyszerre (egyidejűleg) bekövetkezik, a két esemény szorzatának nevezzük és az A  B szimbólummal jelöljük. A H eseménytér tetszőleges A és B eseményét egymást kizáró eseményeknek nevezzük, ha

egyszerre nem következhetnek be, azaz ha A  B =  Ha az A és B esemény ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A esemény bekövetkezik, de a B nem, a két esemény különbségének nevezzük és az AB szimbólummal jelöljük. Teljes eseményrendszer Egy kísérlettel kapcsolatos A 1 , A 2 , .A n események (amelyek közül egyik sem lehetetlen esemény) teljes eseményrendszert alkotnak, ha a, egymást páronként kizáró események, b, összegük a biztos esemény. Más szóval a, A i  A j = ( i  j i,j = 1, 2, .n) b, A 1  A 2  .A n = H (Legyen A és B ugyanahhoz a kísérlethez tartozó két esemény, ha azt állítjuk, hogy mindkét eseménynek egyenlő esélyük van a megvalósulásra akkor ezeket egyenlően lehetséges vagy egyenlően valószínű eseményeknek nevezzük.) Azonosságok Tetszőleges A, B, C  H eseményekre fennállnak a következő összefüggések: 1. A  A = A A  A = A (idempotencia) 2. A  B

= B A A  B = B  A ( kommutativitás) 3. A  (B  C )= (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C (asszociativitás) 4. A  (B  C) = (A  B)(A  C) A  (B  C) = (A  B)(A  C) (disztributivitás) 5. A  A = H AA= 6. A  H = H AH=A 7. A   = A A= 2.1tétel Tetszőleges A, B,  H eseményekre fennállnak a következő összefüggések: 1. A  B = A  B A  B = A  B (De-Morgan- egyenlőségek) 2. A  (A  B) = A, A  (A  B) = A (beolvasztási szabályok)