Matematika | Analízis » Keresztes Ildikó - Analízis

Analízis 1. Definiálja: konj, diszjunk és negáció! Konjunkció: Ha A, B két ítélet, akkor az "A és B" ítéletet a két ítélet konjunkciójának nevezzük. Jele: A ∧B A∧B akkor és csak akkor igaz, ha A is és B is igaz Diszjunkció: Ha A, valamint B két ítélet, akkor az "A vagy B" ítéletet a két ítélet diszjunkciójának nevezzük. Ez akkor és csak akkor igaz, ha vagy A, vagy B, vagy mindkettő igaz. Jele:A∨B Negáció: Ha A ítélet, akkor a "nem A" ítéletet A negációjának nevezzük, amely akkor és csak akkor igaz, ha A hamis. 2. Definiálja: implikáció és ekvivalencia! Implikáció: Ha A és B ítéletek, a "ha A, akkor B" ítéletet az A és B implikációjának nevezzük, amely akkor és csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis. Jele:A⇒B Nem kommutatív művelet, másrészt A ⇒ B = A ∨ B . Ekvivalencia: Ha A és B ítéletek, akkor az "A akkor és csak akkor igaz, ha B igaz" ítéletet A és

B ekvivalenciájának nevezzük, amely akkor és csak akkor igaz, ha A = B. Jele:A⇔B A ⇔ B= A⋅B+ A⋅B 3. Mit értünk 2 halmaz metszetén, unió, különbségén, komplementer halmaz? Összeadás: (unió) Az A és a B egyesítésén vagy unióján mindazon elemek halmazát értjük, amelyek vagy A-nak, vagy B-nek (vagy mindkettőnek) eleme Jelben: A∪ B = { x x ∈ A vagy x ∈ B} . A műveletben szereplő halmazokat (A-t és B-t) az egyesítés (unió) tagjainak nevezzük. Szorzás: (metszet) Az A és a B halmazok közös részén vagy metszetén azon elemek halmazát értjük, amelyek A-nak és B-nek is elemei. Jelben: A ∩ B = {x x ∈ A és x ∈ B} Kivonás: Két halmaz különbségén az A B = A ∩ B halmazt értjük. Komplementer-képzés Ha A ⊂ H (H alaphalmaz), akkor az A halmaz kiegészítő vagy komplementer halmazán azt a halmazt értjük, amely H-nak A-hoz nem tartozó elemeiből áll. Jelben : A = {x x ∉ A és x ∈ H } . 4. Boole algebrai

azonosságok! A ⋅ (B + C) = (A ⋅ B) + (A ⋅ C) A + (B ⋅ C) = (A + B) ⋅ (A + C) A ⋅ A = A, A + A = A 0⋅A = 0 1 ⋅ A = A (1 = H alaphalmaz) A⋅A = 0 0+ A = A A + A =1 A ⋅ B = A + B De morgan szabály A + B = A⋅B A + (A ⋅ B) = A Beolvasztási szabály A ⋅ (A + B) = A A⇒B= A+B A ⇔ B= A⋅B+ A⋅B A=A 0=H H=0 A B= A⋅B 5. Mit értünk Boole algebra alatt? Az ítéletek halmazán, illetve H részhalmazainak halmazán értelmezünk három műveletet (konjunkció, diszjunkció, negáció, illetve közös rész, egyesítés, komplementerképzés); létezik két kitüntetett elem (0 és 1, illetve 0 és H) és azok a felsorolt 14 azonosságnak tesznek eleget. Az ilyen halmazokat a műveletekkel együtt Boole-algebrának nevezzük [George Boole (1815-1864) angol matematikus.] 6. Valós számok axiómái Axióma (1) A valós számok testet alkotnak, ami azt jelenti, hogy a) definiáltunk benne két műveletet, az összeadást és a szorzást; b) mindkét művelet

kommutatív és asszociatív : a+b = b+a, a⋅b = b⋅a; (a+b)+c = a+(b+c), (ab)c = a(bc); c) a műveletek követik a disztributív törvényt: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c; d) van a halmazban zérus (0) és egység elem (1), amelyekre a+0=a, a⋅1=a, ha a∈R; e) minden a∈R esetén az a+x = 0, és az a⋅x=1 (a≠0) egyenletnek van megoldása. (Ezek a tulajdonságai már Q-nak is megvannak: a Q halmaz is testet alkot.) Axióma (2) A valós számok halmaza rendezett halmaz, azaz értelmezhetünk benne egy ún. rendezési relációt (jele : < vagy >). Az a > 0, ill a < 0 azt jelenti, hogy a pozitív, ill negatív; b > a pedig azt, hogy b - a > 0. A reláció rendelkezik a következő tulajdonságokkal: a) ha a, b∈R, akkor az a = b, a < b, a > b állítások közül egy és csak egy teljesül; b) ha a<b, akkor a+c<b+c (a, b, c∈R); c) ha a>0, b>0, akkor ab>0; ha a> 0 és b<0, akkor ab<0 (a,b∈R). Axióma (3) Minden valós számhoz

található olyan természetes szám, amely nála nagyobb. Axióma (4) Ha az A⊂R számhalmaz felülről (alulról) korlátos, akkor a felső korlátok (alsó korlátok) halmazának van legkisebb (legnagyobb) eleme. Ezt az elemet az A halmaz felső (alsó) határának vagy latinul supremumának (infimumának) nevezzük. Jele: sup A; (inf A) 7. Halmaz alulról / felülről korlátos, ill korlátos? Az A⊂R halmaz (vagyis számhalmaz) felülről korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden a∈A esetén a≤k. A k-t az A halmaz felső korlátjának nevezzük Az A számhalmaz alulról korlátos, ha létezik olyan h valós szám, hogy minden a∈A esetén a≥h. A h-t az A halmaz alsó korlátjának nevezzük. Ha egy halmaz alulról is, felülről is korlátos, röviden korlátosnak mondjuk. Egy felülről korlátos halmaz felső korlátjainak a halmaza végtelen halmaz. Ugyanez áll az alsó korlátok halmazára is: valamely A halmaz alsó korlátjainak a halmaza vagy üres

(A nem korlátos alulról), vagy végtelen halmaz. 8. Függvény, ÉT ÉK, monoton Ha a valós számok valamely nem üres X részhalmazának elemeihez (minden x∈X valós számhoz) egy valós számot rendelünk - jelölje ezt f(x) - akkor mondjuk, hogy az X számhalmazon egy f függvényt adtunk meg. A az f függvény értelmezési tartománya. B a képhalmaz Az a∈A-hoz rendelt B-beli elem jele f (a), és (az a helyen vett) függvényértéknek nevezzük. Az f ( A) = {b b = f ( a ), a ∈ A} halmaz az f értékkészlete ( f ( A) ⊂ B) . Valamely f függvény értelmezési tartományát gyakran Df-fel, és ekkor értékkészletét f (Df)-fel jelöljük. Azt mondjuk, hogy az f függvény a X⊂Df halmazon (szigorúan) monoton növekedő, ha x1, x2∈X, x1<x2 esetén f (x1) <f (x2); (szigorúan) monoton fogyó vagy csökkenő, ha x1, x2∈X, x1<x2 esetén f(x1)>f(x2). Ha a függvényértékek között az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett monoton

növekedésről, illetve csökkenésről beszélünk. 9. Függvény korlátos, monoton Az f függvényt az X⊂Df halmazon felülről korlátosnak, alulról korlátosnak, illetve korlátosnak mondjuk, ha az f(X) halmaz (a függvényértékek halmaza) felülről korlátos, alulról korlátos, illetve korlátos. Korlátosság esetén az f(X) halmaz felső (alsó) határát az f függvény X halmazra vonatkozó felső (alsó) határának nevezzük. Azt mondjuk, hogy az f függvény a X⊂Df halmazon (szigorúan) monoton növekedő, ha x1, x2∈X, x1<x2 esetén f (x1) <f (x2); (szigorúan) monoton fogyó vagy csökkenő, ha x1, x2∈X, x1<x2 esetén f(x1)>f(x2). Ha a függvényértékek között az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett monoton növekedésről, illetve csökkenésről beszélünk. 10. függvény páros, páratlan Az f függvényt páros függvénynek mondjuk, ha x∈Df esetén -x∈Df és f (-x) = f (x); f páratlan függvény, ha

x∈Df esetén -x∈Df és f(-x)=-f(x). 11. Lokális, abszolút szélsőérték 1változós fv esetén! Szélsőérték abszolút Legyen f tetszőleges függvény, és H része f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy a∈H az f nek H-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden x∈H (x≠a) esetén f(x)<f(a) (f(x)>f(a)). Ha az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett abszolút maximumhelyről (minimumhelyről) beszélünk. A maximumhely és minimumhely közös neve szélsőértékhely Ha mást nem mondunk, H alatt az értelmezési tartományt értjük. Szélsőérték lokális Az a∈Df az f függvénynek lokális maximumhelye (minimumhelye), ha a-nak van olyan K környezete, hogy f-nek az "a" a K∩Df halmazra nézve abszolút maximumhelye (minimumhelye). 12. Függvénytranszformációk Legyen az f függvény grafikonja egy Descartes féle koordinátarendszerben ismert. a) Az f + c, vagyis az x f ( x) + c, x ∈

D f függvény görbéje az f görbének y tengely irányú eltolásával nyerhető, az eltolás nagysága |c| egység, iránya c előjelének megfelelő. b) A c⋅f, vagyis az x cf ( x ), x ∈ D f , c > 0 függvény grafikonja az f grafikonjának y tengely irányú c-szeres nyújtásával kapható (az x tengely helyben marad). c) A - f, vagyis az x − f ( x ), x ∈ D f függvény grafikonja az f grafikonjának az x tengelyre vonatkozó tükörképe. d) Az x f ( x + a ), ( x + a ) ∈ D f függvény ábrája az f függvény ábrájának x tengely irányú eltolásával adódik. Az eltolás mértéke |a| egység, a > 0 esetén csökkenő x értékek irányában ("balra"), a < 0 esetén az eltolás iránya ezzel ellentétes. e) Az x f ( a ⋅ x ), a ⋅ x ∈ D f függvény az f grafikonjának x tengely irányú a-szoros zsugorításával (a > 1), illetve 1/a-szoros nyújtásával (0 < a < 1) kapjuk (az y tengely helyben marad). f) Az x f ( − x), - x

∈ D f függvény grafikonja az f grafikonjának az y tengelyre vonatkozó tükörképe. 13. Összetett, inverz függvény Az f és g függvény összetételén azt a h függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya minden olyan x∈Dg hely, ahol g(x)∈Df és h(x) = f (g(x)). Az f-et külső, a g-t belső függvénynek nevezzük. Legyen f olyan függvény, amely az értelmezési tartomány és értékkészlet elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít. Ekkor f inverz függvényének azt az f −1 függvényt nevezzük, amelynek értelmezési tartománya f(Df) és f −1 ( f ( x)) = x, x ∈ D f . 14. Sorozat Korlátos, monoton Sorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza vagy a természetes számok halmaza. Számsorozatnak nevezzük a sorozatot, ha a függvényértékek valós számok. Ha "a" sorozat, akkor a(n)-et, vagyis a-nak az n helyen fölvett helyettesítési

értékét a sorozat n-edik tagjának nevezzük és an-nel jelöljük, n-et pedig e tag indexének mondjuk. Magát a sorozatot többnyire (an)-nel jelöljük Az (an) számsorozatot (szigorúan) monoton növekedőnek (illetve csökkenőnek) mondjuk, ha minden n indexre a n < a n +1 ( ill. a n > a n +1 ) Ha egyenlőség is fennállhat, akkor tágabb értelemben vett monotonitásról beszélünk. Az (an) számsorozat korlátos (felülről, alulról), ha tagjainak halmaza korlátos számhalmaz (felülről, alulról. 15. Sorozat hatáértéke A valós szám Azt mondjuk, hogy valamely (an) számsorozat határértéke az A valós szám, ha fennáll a következő : minden egyes ε>0 számhoz létezik olyan n0∈N+, hogy bármely n∈N+, n>n0 esetén teljesül az | a n − A| < ε egyenlőtlenség. 16. Sorozat +/- végetelneb tart Azt mondjuk, hogy egy (an) számsorozat tágabb értelemben vett határértéke plusz (mínusz) végtelen, ha minden P∈R+ számhoz létezik

olyan n∈N+ küszöbszám, hogy n>n0 esetén an>P (an<-P). 17. Sorozat konvergencia-korlátosság kapcsolataTétel,biz megfordítható-e? Ha egy sorozatnak van határértéke, akkor konvergensnek mondjuk, ha nincs, akkor divergensnek. Minden konvergens sorozat korlátos Bizonyítás: Legyen lim an = A . Vegyük az A-nak pl az 1 sugarú környezetét A sorozat tagjainak halmaza két részre bontható : B1 = {a n a n ∈]A − 1, A + 1[}, B2 = {a n a n ∉]A − 1, A + 1[}. A B2 halmaz véges vagy üres, így korlátos. A B1 halmaz a definíciója alapján korlátos Ezért korlátos a B1∪B2 halmaz, vagyis a sorozat elemeinek halmaza is. A tétel nem fordítható meg, azaz ha egy sorozat korlátos, abból még nem következik, hogy konvergens (pl.: ((1)n)) Ha a korlátosságot kiegészítjük a monotonitással, akkor már adódik a konvergencia) 18. Sorozat konvergencia-korlátosság-monotonitás kapcsolata 19. Biz: ha a sorozat monoton és korlátos akkor konvergens Minden

tágabb értelemben monoton korlátos sorozat konvergens. Bizonyítás: Legyen (an) monoton növekedő sorozat, és jelöljük A-val a sorozat tagjai halmazának felső határát. A felső határ értelmezéséből következik, hogy tetszőleges ε>0 esetén az A-ε már nem lehet felső korlát, így a sorozatnak van olyan an0 tagja, amelyre A-ε<an0. A sorozat monoton növekedő, tehát ha n>n0, akkor A − ε < a n 0 ≤ a n ≤ A, s ebből következik, hogy |an-A|<ε, n>n0, vagyis a sorozat konvergens, és lim an= A. Korlátos sorozatok esetén a konvergencia elégséges feltétele a monotonitás. A feltétel azonban nem szükséges, van olyan konvergens sorozat, amely nem monoton 20. Rendőr elv +biz Legyen (an), (bn) és (cn) olyan számsorozat, amelyre an≤cn≤bn, és és tegyük fel, hogy az (an) és (bn) sorozat konvergens és ugyanaz a határértékük: lim an=lim bn=A. Ekkor a (cn) sorozat is konvergens és lim cn=A. Bizonyítás: A tetszőlegesen

választott ε>0 számhoz található olyan n1∈N+ illetve n2∈N+ küszöbindex, hogy | a n − A| < ε , ha n > n1 , és | bn − A| < ε , ha n > n2 . Legyen n0 a nagyobbik az n1 és n2 közül. Ekkor bármely n>n0 pozitív egész számra fennáll mind a két egyenlőtlenség, vagyis an is, bn is benne van az A szám ε sugarú környezetében. Mivel an≤cn≤bn azért n>n0 esetén cn is benne van az A szám ε sugarú környezetében, vagyis |cn-A|<ε. Ez pedig azt jelenti, hogy lim cn=A 21. (qn) sorozat konvergenciája? Legyen q∈R, akkor + ∞, ha q > 1 1, ha q = 1  0, ha - 1 < q < 1 lim q n =  tágabb érte lemben nincs  határértéke, ha q ≤ -1. 22. Biz: (1+1/n)n sorozat konvergens!  1 n Az  1 +   - sorozat konvergens (szigorúan monoton növekedő és korlátos)  n  (határértékét e-vel jelöljük). Bizonyítás: A bizonyításhoz felhasználunk egy

egyenlőtlenséget. Az alábbi azonosságból indulunk ki : bármely a és b valós szám és n∈N+ esetén a n +1 − b n +1 = ( a − b)( a n + a n −1 + a n − 2b2 +.+ b n ) Legyen most a>0, b>0 és a>b Ha a szorzat második tényezőjében b-t mindenütt a-val helyettesítjük, akkor a szorzat értéke növekedik, így fennáll az a n +1 − b n +1 < ( a − b )( n + 1)a n egyenlőtlenség. Először igazoljuk , hogy a sorozat monoton növekedő. Legyen: a = 1 + 1 n és b = 1 + 1 , n ∈N+. n +1 Fennáll az, hogy a>0, b>0 és a>b, tehát alkalmazzuk az egyenlőtlenséget:  1 1 +   n n +1 1   − 1 +   n + 1 n +1 n 1  1 < ( n + 1)1 +  .  n n( n + 1) n  1 Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk az 1 +  - pozitív számmal :  n 1   1 +  1  n + 1 1+ − n n  1 1 +   n n +1 1 < . n Mindkét oldalból kivonunk 1 n -et,

átrendezzük az egyenlőtlenséget, így azt kapjuk, hogy n +1 1   1 +   n + 1 > 1, azaz n  1 1 +   n 1   1 +   n + 1 n +1  > 1 +  n 1  bármely n∈N+ esetén, tehát a sorozat monoton növekedő. n 23. Ha lim an=0 és (bn) korlátos sorozat, akkor lim (anbn) = 0 Bizonyítás: A (bn) sorozat korlátos, ezért létezik olyan K>0 szám, hogy |bn|<K (n∈N+). Adjuk meg ezután tetszőlegesen az ε>0 számot, majd osszuk el K-val. Az (an) sorozat ε ε > 0 számhoz létezik olyan n0∈N+, hogy, ha n>n0, akkor | a n | < . K K ε Ebből következik, hogy minden n>n0 esetén | a n bn | =| a n |⋅| bn | < K = ε . K határértéke 0, ezért az Ez azt jelenti, hogy az (anbn) sorozat tagjai n0-tól kezdve 0-nak ε sugarú környezetében vanak, így a sorozat határértéke 0 24. 2 konvergens sorozat + × / Ha az (an) és (bn) sorozatok konvergensek, továbbá lim an=A és lim bn =

B, akkor a) a (can) sorozat bármely c∈R esetén, az (an+bn) sorozat, az (anbn) sorozat és bn≠0, B≠0  an   sorozat is konvergens, és  bn  esetén az  b) lim (can)=cA, lim (an+bn)=A+B, lim (anbn)=A⋅B és lim an A = . bn B 25. 2 konvergens (an+bn) sorozat konvergenciája, biz A tetszőlegesen választott ε>0 számhoz található olyan n1∈N+, ill. n2∈N+ küszöbindex, hogy ε ε | a n − A| < , ha n > n1 , és | bn − B| < , ha n > n2 , mivel anA és bnB. Legyen n0 a 2 2 nagyobbik az n1 és n2 közül. Ekkor bármely n>n0 pozitív egész számra fennáll mind a két egyenlőtlenség. Összeadjuk a két egyenlőtlenséget: | a n − A|+| bn − B| < ε A két szám abszolút értékére vonatkozó | x + y| ≤| x|+| y| tulajdonság alapján |( a n + bn ) − ( A + B)| =|( a n − A) + ( bn − B)| ≤| a n − A|+| bn − B| < ε , ha n > n0 . Ez pedig azt jelenti, hogy lim (an+bn)=A+B. 26. Két konvergens sorozat

(an × bn) kovergenciája, biz Képezzük az (anbn-AB) sorozatot. Egyszerű számolással kapjuk a következő összefüggést: anbn-AB=anbn-Abn+Abn-AB=bn(an-A)+A(bn-B). (32) Kiszámítjuk az (anbn-AB) sorozat határértékét. Mivel lim an=A és lim bn=B, azért lim (an-A)=0 és lim (bn-B)=0 A (32) egyenlőség jobb oldalának első tagja egy korlátos és egy 0-hoz tartó sorozat szorzata, a második tagja egy állandó és egy 0-hoz tartó sorozat szorzata. Alkalmazhatjuk a 35 tételt (Ha lim an=0 és (bn) korlátos sorozat, akkor lim (anbn) = 0.): lim (bn(an-A))=0, lim (A(bn-B))=0 A II. szerint a két sorozat összegének a határértéke is 0, így lim (anbn-AB) = 0 Ebből pedig következik, hogy lim (anbn)=AB. Tételünk azt fejezi ki, hogy konvergens sorozatok esetében bizonyos műveletek és a határérték képzésének a sorrendje felcserélhető, így pl. két sorozat összegének a határértékét úgy is ki lehet számítani, hogy a két sorozat határértét összeadjuk

27. végtelen sor? Összege mikor A valós szám? ∞ Végtelen (numerikus) sor a ai ∑ i vagy az a1+a2+a3+.+an+ szimbólummal jelölt fogalom, =1 ahol az an-ek valós számok, an a sor n-edik tagja, sn = n a i = a +.+ a n ∑ i 1 =1 ( n ∈ N + ) a sor n- edik részletösszege. A számsorozatra megismert tulajdonságok (monotonitás, korlátosság, konvergencia) megfogalmazhatók a végtelen sorra is. Megadjuk a konvergencia definícióját Azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens és összege az A valós szám, ha az (sn) ∑ ∞ sorozat konvergens és határértéke A. Jelölés: a n = A. ∑ n =1 28. végtelen mértani sor? Mikor konvergens?Biz ∞ Legyen "a" valós szám és q∈]-1,1[. Ekkor aq n ∑ n −1 = =1 a 1− q . Bizonyítás: Felírjuk a végtelen sor n-edik részletösszegét, és alkalmazzuk a mértani sorozat összegképletét : qn − 1 qn a sn = a + aq + aq +.+ aq = a . =a + q −1 q −1 1− q Ha q∈]-l,1[, akkor lim

qn=0 (3.8 tétel A ( q n ) sorozat konvergenciájára vonatkozó tétel a alapján). Így lim sn = . Mivel az (sn) sorozat határértékét nevezzük a végtelen sor 1− q ∞ a összegének, azért ∑ aq n −1 = . 1− q n =1 2 n −1 Ha q∈]-∞,-1]∪[l,+∞[, akkor a végtelen sor divergens. 29. Fv határérétke az x=a helyen A valós szám? Legyen az f függvény a valamely környezetében (esetleg a-t kivéve) értelmezve. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a helyen a határértéke az A∈R szám, ha minden olyan (xn) számsorozat esetén, amelyre lim xn=a (xn∈Df{a}), igaz, hogy lim f (xn)=A. 30. Fv x=a pontbeli jobb/baloldali határértéke? A határérték jele : lim f ( x), lim f ( x) vagy lim f ( x). x a a x= a Ha minden olyan (xn) számsorozat esetén, amelyre lim xn=a (xn∈Df, xn>a), igaz, hogy lim f(xn)=A, akkor azt mondjuk, hogy f-nek létezik a jobb oldali határértéke, és ez A-val egyenlő (ekkor az {x≤a|x∈Df} halmaz lehet üres is). A

jobb oldali határérték jele: lim f ( x), lim f ( x) vagy lim f ( x). a +0 x a + 0 x= a + 0 Hasonlóan definiálható a lim f ( x ) = lim f ( x ) bal oldali határérték is. a −0 x a − 0 31. Fv folytonos az x=a helyen? 32 jobb/balról Az f függvényt értelmezési tartományának valamely a pontjában folytonosnak nevezzük, ha az a pontban létezik a határértéke, és ez a határérték egyenlő a helyettesítési értékkel, azaz lim f ( x) = f ( a ). Ha csak a bal oldali határérték azonos a függvényértékkel, akkor a balról, ha csak a jobb oldali határérték azonos, akkor jobbról folytonosnak nevezzük a függvényt. 33. Tágabb értelemben vett határérték Legyen az f függvény a valamely környezetében (esetleg a-t kivéve) értelmezve. Akkor mondjuk, hogy f-nek az a helyen a határértéke plusz végtelen, ha minden olyan (xn) sorozat esetén, amelyre lim xn = a (xn∈Df{a}), igaz, hogy lim f (xn) = +∞. Jele: lim f ( x) = +∞ a 34 Függvények

határértéke a végtelenben Legyen f olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya felülről nem korlátos halmaz. Ha minden olyan (xn) számsorozat esetén, amelyre lim xn=+∞ (xn∈Df), igaz, hogy lim f (xn) = A, akkor azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke a plusz végtelenben és ez A-val egyenlő. Jele : lim f ( x) = A Hasonlóan értelmezhető a függvény határértéke a mínusz +∞ végtelenben. 35. lim 0 sin x x = 1. Bizonyítás: sin( − x) sin x Mivel , azért elegendő azt az esetet vizsgálni, amikor = −x x 0< x< π 2 .  π Az ábrán látható, hogy minden x ∈  0,  esetén az OAB háromszög  2 része az OAB körcikknek, az OAB körcikk pedig része az OAC háromszögnek. sin x , az OAB körcikk területe : 2 tg x sin x x tg x háromszög területe: < < , azaz sin x < x < . Így 2 2 2 2 Az OAB háromszög területe : x , az OAC 2 sin x . cos x  π Mivel x ∈  0,  esetén sin

x>0, sin x-szel oszthatjuk az egyenlőtlenséget, és azt  2 x 1 sin x kapjuk, hogy 1 < < > cos x. . A reciprokokat véve, az adódik, hogy 1 > sin x cos x x Ezért, ha (xn) egy pozitív tagú, nullához tartó sorozat, akkor sin xn  π 1> > cos xn , xn ∈  0, . (46) xn  2 Tudjuk, hogy a cos függvény határértéke a 0 helyen megegyezik a 0 helyen fölvett függvényértékkel (4.2 tétel következménye), így lim cos x = cos 0 = 1 0 Ezért (4.6) és a (37 tétel Rendőrszabály) miatt lim sin xn xn = 1, azaz lim 0 sin x x = 1. 36. differencia, diffhányados Geometria jelentése Legyen f egy függvény, a pedig értelmezési tartományának egy pontja. Ekkor a daf : daf ( x) = f ( x) − f ( a ) ( x ∈ D f {a }) függvényt az f függvény "a" pontjához tartozó x−a differenciahányados függvényének nevezzük. Differenciálhányados Legyen a az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja.

Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az a pontban, ha a da differenciahányados függvénynek az a pontban létezik véges határértéke. A lim d a ( x) = lim a a f ( x) − f ( a ) számot az f függvény „a” ponthoz tartozó x−a differenciálhányadosának nevezzük. Ha fenti határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban nem differenciálható. Differenciahányados geometriai értelmezése Tekintsük az f függvény grafikonjának az a és x (x≠a) abszcisszájú pontjain (az (a,f(a)), (x,f(x)) pontokon) áthaladó egyenest. Ezt az egyenest a grafikon e pontokhoz tartozó szelőjének nevezzük. A szelő meredekségét az f ( x) − f ( a ) hányados adja meg. x−a Ha rögzítjük az a pontot, akkor ez a meredekség általában függ az x megválasztásától, de sok esetben azt tapasztaljuk, hogy véges határértékhez tart, ha x a-hoz konvergáló, a-tól különböző tagokból álló sorozaton fut át, azaz hogy

létezik a véges lim a f ( x) − f ( a ) = m (5.1) határérték (ábra) x−a Ezen értelmezés alapján az (a, f(a)) koordinátájú ponton áthaladó, az (5.1) által megadott m meredekségű egyenest az f grafikonja a abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének nevezzük. Ennek egyenlete y=f(a)+m(x-a), ahol m értékét az (51) adja meg 37. F fv jobbról / balról difható az a pontban? Legyen f a pontban és annak jobb (bal) oldali környezetében értelmezve. Azt mondjuk, hogy az f függvény jobbról (balról) differenciálható az a pontban, ha a da differenciahányadosfüggvénynek az a pontban létezik jobb oldali (bal oldali) véges határértéke. Az f+ ( a ) = lim a +0 f ( x) − f ( a )  f ( x) − f ( a )   f− ( a ) = lim  jobb oldali (bal oldali) határértéket az a −0  x−a x−a  f függvény a ponthoz tartozó jobb oldali (bal oldali) differenciálhányadosának nevezzük. 38. Sinus fv deriválása A sin és cos függvények

differenciálhatók, és sin=cos, cos=-sin, vagy más jelöléssel (sin x) = cos x, (cos x) = - sin x, x∈R. Bizonyítás: Legyen a∈R tetszés szerinti. Felhasználva a α −β α +β sin α − sin β = 2 sin cos (α , β ∈ R) ismert trigonometrikus összefüggést, a da 2 2 különbségihányados-függvény így írható fel: x−a x+a sin cos 2 sin x − sin a 2 2 , x ∈ D {a }. d a : d a ( x) = = f x−a x−a Tekintsünk egy tetszőleges lim xn=a (xn∈Df{a}) sorozatot, és vizsgáljuk a különbségihányados-sorozatot: xn − a xn + a   xn − a    sin xn − sin a   2 sin 2 cos 2   sin 2 xn + a  ( da ( xn )) =  ⋅ cos  = .  = 2  xn − a   xn − a    xn − a     2 x −a sin n 2 = 1 és a cos függvény az a helyen folytonos: Mivel lim xn − a 2 sin xn − sin a  x +a lim cos n = cos a .  = cos a , azért lim  2  xn − a Az a∈R számot tetszőlegesen választottuk,

ezért minden x∈R esetén a sin függvény differenciálható, és deriváltja: sin=cos. 39. Cosinus fv deriválása A cos függvény differenciálhatóságának vizsgálatakor a cos α − cos β = −2 sin α −β 2 sin α +β 2 (α , β ∈ R) trigonometrikus összefüggést használjuk fel. Tekintsünk egy tetszőleges lim xn=a (xn∈Df{a}) sorozatot, és vizsgáljuk a különbségihányados-sorozatot: xn − a xn + a   xn − a    cos xn − cos a   − 2 sin 2 sin 2   sin 2 xn + a  ⋅ sin ( da ( xn ) =   = − .  = xn − a 2  xn − a   xn − a        2 sin Mivel lim xn − a 2 = 1 és a sin függvény az a helyen folytonos, azért xn − a 2 cos xn − cos a lim = − sin a . xn − a Az a∈R számot tetszőlegesen választottuk, ezért minden x∈R esetén a cos függvény differenciálható, és deriváltja: cos = - sin. 40. ex fv deriválása Az exp függvény

differenciálható, és exp’ = exp, vagy más jelöléssel (ex) = ex, x∈R. Bizonyítás: Legyen a∈R tetszőlegesen rögzített szám. Vizsgáljuk a differenciahányadosfüggvényt Tekintsünk egy tetszőleges lim xn=a (xn∈Df{a}) sorozatot ekkor, a különbségi  e xn − ea   a e xn − a − 1 e xn − a − 1 = 1 , azért lim  . Mivel lim  = e ⋅ xn − a  xn − a  xn − a   hányados-sorozat: ( d a ( xn ) =  da(xn)=ea⋅1=ea. Az a∈R számot tetszőlegesen választottuk, ezért minden x∈R esetén az exp függvény differenciálható, és deriváltja: (ex) = ex. 41. Fv differenciálhatósága – folytonosság Ha a az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja és f az a pontban differenciálható, akkor ott folytonos is. Bizonyítás: Minden x∈Df{a} pontban igaz a következő egyenlőség: f ( x) = f ( a ) + f ( x) − f ( a ) ( x − a ). x−a Innen a függvények határértékére vonatkozó 4.1 tétel

figyelembevételével kapjuk, hogy f ( x) − f ( a ) f ( x) − f ( a ) ⋅ lim( x − a ). Mivel a feltevés szerint a lim a a x−a x−a véges határérték létezik (f (a)-val jelöljük), így lim f ( x) = f ( a ) + f ( a ) ⋅ 0 = f ( a ). Ez éppen lim f ( x) = f ( a ) + lim a a a azt jelenti, hogy f folytonos az a pontban. A differenciálhatóság tehát erősebb megkötés, mint a folytonosság. A tétellel kapcsolatban két megjegyzést teszünk: 1. Léteznek olyan függvények is, amelyek az értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak, de sehol sem differenciálhatók. 2. Ha az f az a pontban jobbról (balról) differenciálható, akkor itt jobbról (balról) folytonos is. Ha f differenciálható értelmezési tartományának valamely a belső pontjában, akkor a f ( x) − f ( a )  ( x ∈ D f {a }) d a ( x) = függvény folytonos az a pontban, és ebből x−a d a : d a ( x) =   f ( a ), (x = a ) adódik, hogy a da függvényre minden

x∈Df esetén teljesül az f ( x) − f ( a ) = da ( x)( x − a ) egyenlőség. 42. szorzat fv differenciálása+biz Legyen f és g differenciálható az a pontban. Ekkor fg is differenciálható az a pontban, és ( fg )( a ) = f ( a ) g( a ) + f ( a ) g( a ) Az fg függvény a-hoz tartozó különbségihányados-függvénye: ( fg )( x) − ( fg )( a ) f ( x) g( x) − f ( a ) g( a ) , x ∈ D fg {a } . A különbségihányados= x−a x−a függvény egyszerű átalakítás után a következő alakban írható fel: f ( x) g( x) − f ( a ) g( x) + f ( a ) g( x) − f ( a ) g( a ) f ( x) − f ( a ) g( x) − g( a ) , d a ( x) = = g( x) + f ( a ) x−a x−a x−a x ∈ D fg {a} Mivel g differenciálható az a pontban, azért folytonos is ebben a pontban, tehát d a ( x) = lim g( x) = g( a ) . Felhasználva a határértékre vonatkozó 41 tételt, azt kapjuk, hogy a ( fg )( a ) = lim a f ( x) − f ( a ) g( x) − g( a ) lim g( x) + f ( a )lim = f ( a ) g( a ) + f ( a )

g( a ) . a a x−a x−a 43. Hányados fv differenciálás +biz Legyen f és g differenciálható az a pontban. Ekkor a g(a)≠0 esetben f/g is differenciálható az  f f ( a ) g( a ) − f ( a ) g( a ) a pontban, és   ( a ) = . g2 (a )  g  f  1 f Mivel   ( a ) = f ( a ) ⋅   ( a ) , azért (c) és (d) alapján is deriválható az a pontban, g  g  g és  f  1  1 g( a ) 1 1 + f ( a )  ( a ) = f ( a ) ⋅ − f (a ) 2 =   ( a ) =  f ⋅  ( a ) = f ( a ) ⋅ g( a ) g( a ) g (a )  g  g  g f ( a ) g( a ) − f ( a ) g( a ) . g2 (a ) 44. Összetett fv diff szabálya +biz Legyen a g függvény differenciálható az a pontban, f pedig a g(a) pontban. Ekkor az fog összetett függvény is differenciálható az a pontban, és ( f  g )( a ) = f ( g( a )) ⋅ g( a ). Bizonyítás: Induljunk ki az fog függvény a ponthoz tartozó különbségihányados-függvényéből,

feltéve, hogy a-nak valamely K ⊂ D f  g környezetében g(x)≠g(a), ha x≠a. d a ( x) = f ( g( x)) − f ( g( a )) , x ∈ K {a }. Ekkor a t=g(x) es s=g(a) jelölést bevezetve, a x−a különbségihányados-függvény a következő módon írható fel: f ( g( x)) − f ( g( a )) f ( t ) − f ( s ) f ( t ) − f ( s ) t − s f ( t ) − f ( s ) g( x) − g( a ) , = = ⋅ = ⋅ x−a x−a t−s x−a t−s x−a x ∈ K {a }. Mivel g differenciálható az a pontban, azért ott folytonos is, és lim g( x) = g( a ) = s. Így d a ( x) = a f ( t ) − f ( s) g( x) − g( a ) ( f  g )( a ) = lim ⋅ lim = f ( s ) ⋅ g( a ) = f [ g( a )] ⋅ g( a ). s a t−s x−a Az összetett függvény differenciálására megismert tétel érvényes akkor is, amikor az összetett függvényt több, de természetesen véges számú függvényből képezzük. Így például három függvény esetén a differenciálási szabály : ( f ( g( z( x)))) = f ( g( z( x))) ⋅ g( z( x)) ⋅

z( x). 45. Vezesse le: ax, xα, logax fv deriváltját! ax függvény differenciálható Az expa:xax (a∈R+) függvény differenciálható, és (expa) = expa⋅lna, vagy másképpen írva (ax)=ax⋅ln a (x∈R). Bizonyítás: Az ax hatványt írjuk át e alapú hatványra. Mivel a=eln a, azért ax= (eln a)x = ex ln a (a∈R+). Az exp függvény és az összetett függvény differenciálási szabályának alkalmazásával kapjuk: (ax)’=(ex ln a)’ = ex ln a ·ln a=ax⋅ln a. xα függvény differenciálható Legyen α tetszőlegesen rögzített valós szám, ekkor az fα ( x) = xα ( x ∈ R+ ) függvény differenciálható, és fα ( x) = αxα −1 , ( x ∈ R+ ) vagy röviden ( xα ) = α ⋅ xα −1. Bizonyítás: Az xα = eα ln x ( x ∈ R+ ) egyenlőség és az összetett függvény differenciálási szabálya α α alapján: ( xα ) = ( eα ln x ) = eα ln x ⋅ = xα ⋅ = αxα −1 , x ∈ R+ . x x Logax függvény differenciálható Az f:f(x)=logax (x∈R+,

a∈R+{1}) függvény differenciálható, és f : f ( x) = 1 , x ∈ R+ . x ln a Bizonyítás: ln x egyenlőséget felhasználva, azt kapjuk, hogy ln a 1 1  ln x  f : f ( x) = (log a x) =  ⋅ ( x ∈ R+ ).  =  ln a  ln a x A log a x = 46. Összeg fv differenciálási szab +biz Legyen f és g differenciálható az a pontban. Ekkor f+g is differenciálható az a pontban, és ( f + g )( a ) = f ( a ) + g( a ) Vegyük az f+g függvény a-hoz tartozó különbségihányados-függvényét: ( f + g )( x) − ( f + g )( a ) [ f ( x) + g( x)] − [ f ( a ) + g( a )] f ( x) − f ( a ) g( x) − g( a ) d a ( x) = , = = + x−a x−a x−a x−a x ∈ D fg {a}. A két függvény összegére vonatkozó határértéktétel alapján az f+g a pontbeli különbségihányados-függvényének az a helyen létezik határértéke, és az f (a)+g(a)-val egyenlő. 47. Második derivált Legyen az f függvény valamely halmazon differenciálható, és deriváltfüggvénye legyen

f’. Ha az f függvény egy A⊂Df halmazon differenciálható, akkor f deriváltfüggvényét az f függvény második deriváltfüggvényének (vagy röviden második deriváltjának) nevezzük és f"-vel jelöljük. Szokásos még a d 2 f ( x) jelölés is dx2 48. Helyi szélsőérték létezésének szükséges feltétele + biz Legyen a az f függvény értelmezési tartományának egy olyan belső pontja, amelyben f differenciálható. Ha az a pont f-nek lokális szélsőértékhelye, akkor f (a)=0 Bizonyítás: Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy f (a)≠0. Ekkor a 62 tétel b) állítása alapján f (a)>0 esetén f az a pontban lokálisan növekedő f (a) < 0 esetén lokálisan fogyó. Mindkét eset kizárja azt, hogy f-nek az a pontban lokális szélsőértéke legyen, tehát szükségképpen f (a) = 0. H az f-nek létezik deriváltfüggvénye, akkor az f értelmezési tartományának azokat a belső pontjait, ahol f (x) = 0, az f stacionárius

pontjainak nevezzük. (f ’(x)=0 az f stacionárius pontja) (f ’(x)=0 szükséges feltétel, f ”(x)≠0 elégséges feltétel) 49. Középérték tételek Rolle: Ha f: a) az ]a,b[-ban differenciálható, b) [a,b]-ban folytonos, c) f(a)=f(b); akkor van olyan x0E ]a,b[ ahol f’(x0)=0 Lagrange: Ha f: a) ]a,b[-ban differenciálható, b) [a,b]-ban folytonos, akkor van olyan x0E ]a,b[ ahol f’(x0)=[f(b)-f(a)] / [b-a] 51. Egy intervallumban monoton függvény és a derivált kapcsolata Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az ]a,b[ intervallumon differenciálható. Az f függvény a) pontosan akkor tágabb értelemben monoton növekedő (fogyó) az [a,b] intervallumon, ha minden x∈]a, b[ pontban f ’(x)≥0 (f ’(x)≤0); b) pontosan akkor állandó az [a,b] intervallumon, ha minden x∈]a,b[ pontban f ’(x)=0 ; c) pontosan akkor (szigorúan) monoton növekedő (fogyó) az [a,b] intervallumon, ha minden x∈]a, b[ pontban f ’(x)≥0 (f ’(a)≤0), de

[a,b]-nek nincs olyan részintervalluma, amelynek tetszőleges x elemére f (x)=0. 52. Helyi szélsőérték létezésének szükséges /elégséges feltétele Szükséges: Legyen a az f függvény értelmezési tartományának egy olyan belső pontja, amelyben f differenciálható. Ha az a pont f-nek lokális szélsőértékhelye, akkor f (a)=0 Helyi szélsőérték létezésének elégséges feltétele Legyen az f függvény az a pont valamely környezetében differenciálható. Ha f ’ az a pontban előjelet vált, akkor f-nek az a pontban (szigorú) lokális szélsőértéke van. a) Ha f az a pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor f az a pontban (szigorú) lokális minimumot, b) ha f az a pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor f az a pontban (szigorú) lokális maximumot vesz fel. (f ’(x)=0 szükséges feltétel, f ”(x)≠0 elégséges feltétel) 53. Helyi szélsőérték létezésének elégséges feltétele +biz Legyen az f

függvény az a pont valamely környezetében differenciálható. Ha f ’ az a pontban előjelet vált, akkor f-nek az a pontban (szigorú) lokális szélsőértéke van. a) Ha f az a pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor f az a pontban (szigorú) lokális minimumot, b) ha f az a pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor f az a pontban (szigorú) lokális maximumot vesz fel. Bizonyítás: Mivel f az a pontban negatívból pozitívba megy át, azért létezik olyan δ>0, hogy f (x)<0, x∈]a-δ,a[ és f (x)>0, x∈]a,a+δ[. Ebből következik, hogy f az ]a-δ,a[ intervallumban monoton csökken, az ]a,a+δ[ intervallumban pedig monoton növekedik, ezért f-nek az a pontban szigorú lokális minimuma van (6.8 és 69 ábra) A lokális maximumra vonatkozó állítás hasonlóan igazolható. Megjegyezzük, hogy az f deriváltfüggvény előjelváltása elégséges, de nem szükséges feltétele annak, hogy az a pont lokális

szélsőértékhely legyen. 53. FV Konvex, konkáv Legyen az f függvény az értelmezési tartományának valamely I intervallumán differenciálható. Ha bármely a∈I esetén f(x)>f(a)+f (a)(x-a), x∈I{a}, illetve f(x)<f(a)+f (a)(xa), x∈I{a}, vagyis f az I intervallumon mindig az érintője felett van, illetve mindig az érintője alatt van (kivéve az érintési pontot), akkor azt mondjuk, hogy f az I intervallumon (szigorúan) konvex, ill. konkáv Ha az egyenlőséget is megengedjük, akkor azt mondjuk, hogy, I tágabb értelemben konvex, illetve konkáv. 55. Konvex, konkáv függvények és az 1 derivált Legyen az f függvény az értelmezési tartományának valamely I intervallumán differenciálható. Ekkor az f függvény az I intervallumon pontosan akkor (szigorúan) konvex, illetve konkáv, ha f (szigorúan) monoton növekedő, illetve fogyó. 56. Konvex, konkáv függvények és a 2 derivált Legyen az f függvény az értelmezési tartományának valamely I

intervallumán kétszer differenciálható. Az f függvény az I intervallumon pontosan akkor (szigorúan) konvex, illetve konkáv, ha minden x∈I pontban, f "(x)≥0, illetve f "(x)≤0, de I-nek nincs olyan részintervalluma, amelynek tetszőleges x elemére f "(x)=0. Megjegyzés: Ha a fentiek mellett I valamely részintervallumán f "(x)=0, akkor f tágabb értelemben konvex, illetve konkáv. 57-9. Inflexiós pont Legyen az f függvény az értelmezési tartományának valamely a belső pontjában differenciálható. Ha az a pontbeli érintő az a-ban átmetszi az f függvény grafikonját, vagyis az F:F(x)=f(x)-[f(a)+f (a)(x-a)] (x∈Df) függvény az a pontban előjelet vált, akkor az a pontot f inflexiós pontjának nevezzük. Az inflexiós pont létezésének szükséges és elégséges feltételei. 69 Legyen az f függvény az a pont környezetében kétszer differenciálható. Ha f" az a pontban előjelet vált, akkor f-nek az a pontban

inflexiós pontja van. Bizonyítás: Mivel f " az a pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át (vagy megfordítva), azért létezik olyan δ∈R+, hogy f "(x)<0 [f "(x)>0], x∈]a-δ,a[, és f "(x)>0 [f "(x)<0], x∈]a,a+δ[. Ebből következik, hogy f az ]a-δ,a[ intervallumban konkáv, illetve konvex, az ]a,a+δ[ intervallumban pedig konvex, illetve konkáv, ezért f-nek az a pontban inflexiós pontja van. (f ”(x)=0 szükséges feltétel, f ”’(x)≠0 elégséges feltétel) 61. Primitiv fv, határozatlan integrál Akkor mondjuk, hogy F primitív függvénye az f függvénynek az I⊂R intervallumban, ha F folytonos I-n és I minden belső pontjában F =f. 1 Ha f-nek az I intervallumban van primitív függvénye, akkor végtelenül sok primitív függvénye van. Ha valamely primitív függvénye F akkor a primitív függvények F+C alakú függvények, ahol C állandó. Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az

I⊂R intervallumban az f függvény primitív függvényeinek halmazát (ha nem üres halmazról van szó) 62. integrálás módszerei, szabályai 1. Ha f-nek és g-nek az I intervallumban léteznek a primitív függvényei, akkor cf-nek és (f+g)-nek is van primitív függvénye és a) b) ∫ cf = c ∫ f . ∫ ( f + g) = ∫ f + ∫ g . 2. Ha az f-nek az I intervallumban F a primitív függvénye, akkor 1 ∫ f ( ax + b)dx = a F ( ax + b) + C, ax + b ∈ I , a és b állandó, a≠0. 3. Legyen f differenciálható az I intervallumban, ekkor ∫ f α f = f α +1 + C, α ≠ −1 , (ha α≠N, α +1 akkor f>0 feltételezéssel élünk) . 4. Ha f differenciálható az I intervallumban és f(x)≠0 (x∈I), akkor ∫ f = ln f + C f 63. Parciális integrálás + biz A szorzatfüggvény differenciálási szabályának megfordításával adódó integrálási szabályt parciális integrálásnak nevezzük. Tétel: Ha f és g differenciálható és f , g folytonos az I

intervallumban, akkor ∫ fg = fg − ∫ f g Bizonyítás: Képezzük az f⋅g szorzatfüggvény deriváltját: (f⋅g)’=f ’⋅g+ f⋅g’. Vegyük mindkét oldal primitív függvényét, vagyis integráljuk mindkét oldalt (megmutatható, hogy f és g folytonossága esetén a primitív függvények léteznek): f ⋅ g = ∫ f ⋅g + ∫ f ⋅ g . Ebből ∫ f ⋅ g = f ⋅ g − ∫ f ⋅g . Ezzel a képlettel az fg primitív függvényének meghatározására vezethetjük vissza, vagy fordítva. A primitív függvény e módszerrel való meghatározását parciális integrálásnak nevezzük. (A jobb oldal első tagját integrált résznek is szokták nevezni.) 64. Helyettesítéses integrálás Igen gyakran alkalmazható integrálási módszerhez jutunk az összetett függvény differenciálási szabályának egyfajta megfordítása által. Ez az úgynevezett helyettesítéssel való integrálás módszere. Tétel: Ha g függvény differenciálható az I

intervallumban és F(x)=f(x), x∈g(I), akkor ∫ f ( g( x)) g( x)dx = F ( g( x)) + C . 65. Intergrál közelítő összeg ill minden határon túl finomodó felosztássorozat? Legyen a=x0<x1<x2<.<xn=b az [a,b] intervallum felosztása n részre A felosztás finomságán a δ n = max( xi − xi −1 ) számot értjük. Minden olyan felosztást, amelyet az i eredetiből újabb véges sok osztópont felvételével nyerünk úgy hogy közben δn csökken, az adott felosztás finomításának nevezünk. Minden olyan felosztássorozatot amelyre δn0 teljesül, minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezünk. Legyen a=x0<x1<x2<.<xn=b az [a,b] intervallum egy felosztása és ξi ∈[xi −1 , xi ] ( i = 1,, n ) A függvénynek az adott beosztáshoz tartozó közelítő összegén a n σ n = ∑ f (ξi )( xi − xi −1 ) összeget értjük. i =1 66. monoton növ, korlátos fv alsó / felős összege, konvergenciája ha δn0? Ha f monoton növekedő

és korlátos az [a,b] intervallumban, akkor az a=x0<x1<.<xn=b felosztáshoz tartozó alsó összegen (a beírt téglalapok területösszegén) az n sn = f ( x0 )( x1 − x0 ) + f ( x1 )( x2 − x1 )+.+ f ( xn −1 )( xn − xn −1 ) = ∑ f ( xi −1 )( xi − xi −1 ) összeget; felső összegen (a körülírt téglalapok területösszegén) az i =1 n Sn = f ( x1 )( x1 − x0 )+.+ f ( xn )( xn − xn −1 ) = ∑ f ( xi )( xi − xi −1 ) összeget értjük i =1 Ha a felosztást minden határon túl finomítjuk, azaz δn0, akkor a (sn) és (Sn) sorozatok konvergálnak és lim sn = lim Sn = T . δn 0 δn 0 67. Fv (Riemann) integrálható [a,b] intervallumban? Az f függvényt az [a,b] intervallumban integrálhatónak mondjuk, ha a felosztás minden határon túli finomításával keletkező (σn) sorozatnak létezik a (beosztástól és a ξi közbülső pontoktól független) határértéke. A határértéket az f függvény [a,b] intervallumon vett integráljának

vagy határozott integráljának nevezzük. 68. Közelítő(numerikus) intergrálási módszerek? Téglalapszabály Ez az eljárás a határozott integrál definícióján alapul. Az f függvény [a,b] intervallumon vett integráljának kiszámításához osszuk fel az [a,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú részintervallumra. A részintervallumok hossza [xi − xi −1 ] = b−a ( i = 1,., n ) Az f függvény n integrálját az [x i-1,xi] intervallumok fölé rajzolt téglalapok területösszegével közelítjük. A téglalapok magassága az [xi-1, xi] intervallum tetszés szerinti ξi pontjában felvett b függvényérték. ∫a f ( x)dx ≈ b−a [ f (ξ1 ) + f (ξ2 )+.+ f (ξn )] n Trapézszabály Ebben az esetben a közelítő összeget nem téglalapok, hanem trapézok területeinek összege adja (7.11 ábra) Osszuk fel az [a,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú részintervallumra. Ekkor xi − xi −1 = b−a lesz a trapézok magassága, párhuzamos oldalai

pedig az osztópontokhoz n tartozó függvényértékek. b − a  f ( x0 ) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( xn −1 ) + f ( xn )  + +.+   ≈ 2 2 2 n  b ∫a f ( x)dx ≈ b − a  f ( x0 ) + f ( xn )  + f ( x1 ) + f ( x2 )+.+ f ( xn −1 )  2 n   Simpson-szabály Simpson-szabály alkalmazásakor a görbét parabolaívekkel helyettesítjük, a görbe alatti területet parabolaívek alatti területekkel közelítjük. Az [a,b] intervallumot mindig páros számú (n=2r) egyenlő hosszúságú részintervallumra osztjuk fel. 69. határozott integrál tulajdonságai 1.Ha f és g integrálható az [a,b] intervallumon és c∈R, akkor b a) b ∫a cf = c ∫a f , b b b ∫a ( f + g ) = ∫a f + ∫a g. 2. Ha a<b<c és f integrálható az [a,b] és [b,c] intervallumokon, akkor integrálható az [a,c] c intervallumon is, és ∫a b c a b f = ∫ f + ∫ f. b 3. Ha f integrálható az [a,b] intervallumban és m≤f(x)≤M, akkor

m( b − a ) ≤ ∫a f ≤ M(b − a ). 4. Ha f integrálható és folytonos az [a,b] intervallumban akkor létezik olyan a ≤ ξ ≤ b valós b szám, amelyre f (ξ )( b − a ) = ∫a f . 70. f+g és a cf fv integrálhatósága [a,b]-ben? +biz Ha f és g integrálható az [a,b] intervallumon és c∈R, akkor b b) b ∫a cf = c ∫a f , b b b ∫a ( f + g ) = ∫a f + ∫a g. Bizonyítás: Tekintsük az [a, b] intervallumnak egy tetszőleges felosztását: a =x0<x1<.<xn=b Tekintsük az [a, b] intervallumnak egy tetszőleges felosztását: a =x0<x1<.<xn=b a) Képezzük cf függvénynek a felosztáshoz tartozó közelítő összegét: σ n = cf (ξ1 )( x1 − x0 ) + cf (ξ2 )( x2 − x1 )+.+ cf (ξn )( xn − xn −1 ) = = c[ f (ξ1 )( x1 − x0 ) + f (ξ2 )( x2 − x1 )+.+ f (ξn )( xn − xn −1 )] = n = c ∑ f (ξi )( xi − xi −1 ). i =1 Azt kaptuk, hogy a cf függvény közelítő összege az f függvény közelítő összegének c-szerese.

Ha az [a,b] intervallum felosztását minden határon túl finomítjuk úgy, b hogy δ n max( xi − xi −1 ) 0 , a 7.9 tétel alapján következik, hogy i b ∫a cf ( x)dx = c ∫a f ( x)dx. 71. integrálszámítás középérték tétel + biz Ha f integrálható és folytonos az [a,b] intervallumban akkor létezik olyan a ≤ ξ ≤ b valós b szám, amelyre f (ξ )( b − a ) = ∫a f . A f fv folytonosságából köv, hogyintegrálható az [a,b] intervallumban. Ha f állandó [a,b]-ben akkor az álíltás triviális. b Ha f nem állandó akkor m( b − a ) ≤ ∫a f ≤ M(b − a ). , ahol m a legkisebb, M pedig a legnagyobb fvérték [a,b]ben. (ezek létezése f [a,b] zárt intervalumbeli folytonosságából következik.) Majdm<∫f / b-a <M Mivel f minden m és M közötti értéket felvesz [a,b]ben (Bolzano tétel következménye), így b létezik ξ, ξЄ[a,b], amelyre f(ξ)= ∫f/b-a, ami átrendezéssel: f (ξ )( b − a ) = ∫a f . 72. Integrálfv,

tétele x Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor a G:G ( x) = ∫a f ( x ∈[a , b]) függvényt f integrálfüggvényének nevezzük. Ha G az f-nek integrálfüggvénye az [a,b] intervallumban, akkor G(a)=0, és ha f folytonos is az [a,b] intervallumban, akkor itt G primitiv fve f-nek. 73. Integrálfv tétele+biz Ha G az f-nek integrálfüggvénye az [a,b] intervallumban, akkor G(a)=0, és ha f folytonos is az [a,b] intervallumban, akkor itt G primitiv fve f-nek. (G (x)=f(x), x∈]a,b[) Bizonyítás: Az állítás első fele (7.13) és (717) alapján triviális Legyen x∈[a,b[, akkor xn ∫a G ( xn ) − G ( x) G ′( x) = lim = lim xn x xn x xn − x xn x f ( t )dt − ∫ f ( t )dt a xn − x = lim xn x ∫x f (t )dt xn − x . Tegyük fel, hogy a<x<xn≤b (ha xn balra van x-től, hasonlóan folytatatható a bizonyítás). xn Ekkor aminden n-re van olyan ξn szám, amelyre x ≤ ξn ≤ xn , és Ezt felhasználva, G ′( x) = lim xn x ∫x f

(t )dt = f (ξn )( xn − x). f (ξn )( xn − x) = lim f (ξn ). xn x xn − x A (7.19) miatt, ha xnx, akkor a (ξn) sorozat szintén x-hez tart, ugyanakkor f folytonossága miatt lim f (ξn ) = f ( x). ξn x Ebből következik, hogy G ’(x)=f(x). Tehát G egy primitív függvénye f-nek Folytatás: 74esben. 74.Newton-Leibniz formula (eleje 73) Tegyük fel, hogy az [a,b] intervallumon F is primitív függvénye f-nek, akkor C alkalmas választásával az [a,b] minden x pontjában igaz a G(x)=F(x)+C egyenlőség. Viszont G(a)=F(a)+C, amiből C=-F(a). Tehát G(x)=F(x)-F(a) Ebből és (718)-ból azonnal adódik a Newton-Leibniz-féle képlet: Ha f folytonos az [a,b] intervallumban és F primitív függvénye b itt f-nek, akkor ∫a f = F (b) − F (a ) = [ F ]a . b 75. mproprius integrál (intervallum végtelen) Az improprius integrál az integrál fogalmának kiterjesztése azokra az esetekre, amikor 1. az integrációs intervallum végtelen: Ha f integrálható az [a,∞[

intervallum minden [a,b] b ∫a részintervallumában és létezik a lim f ( x)dx véges határérték, akkor ezt az f függvény b= ∞ [a,∞[ intervallumban vett improprius integráljának nevezzük. 2. az [a,b] véges intervallumban az f nem korlátos: Legyen f az [a,b] intervallumban nem integrálható, de integrálható bármely [a,b-ε] részintervallumában (b-ε>a). Ha létezik a b−ε lim ε =0 ∫a f ( x)dx határérték, akkor ezt tekintjük az f [a,b] intervallumban vett improprius integráljának. 76. Határozott integrál a térfogatszámításnál Tekintsünk egy zárt felület által határolt testet. Tegyük fel, hogy az egész test az x tengelyre merőleges két sík között fekszik, amelyek az x tengelyt az a és b pontban metszik (7.21 ábra). Osszuk fel az [a,b] intervallumot n nem feltétlenül egyenlő hosszúságú részintervallumra: a=x0<x1<x2.xi-1<xi<xn=b Legyen ismert a test bármely olyan metszetének területe, amelyet az x

tengelyre merőleges síkkal képezünk. Minden ilyen metszet területét egyértelműen meghatározza a merőleges sík x tengellyel való metszéspontja, tehát a metszet területét mint x-nek valamely q(x) függvényét tekinthetjük. Ha egy metszet területét a részintervallum hosszával megszorozzuk, egy henger térfogatát kapjuk. Közelítsük meg a keresett térfogatot hengerek térfogatának összegével, és legyen max( xi − xi −1 ) = δ n . n Ha a lim δ n 0 q( xi )( xi − xi ∑ i =1 −1 ) határérték létezik, akkor ez egyrészt a test térfogatát adja másrészt definíciónk szerint ez a határérték a q függvény [a,b] intervallumon vett határozott b ∫a integrálja: V = q( x)dx. Ha speciálisan egy olyan forgástest térfogatát akarjuk meghatározni az [a,b] intervallumban, amely f grafikonjának x tengely körüli forgatásával keletkezett, akkor a metszet területe minden esetben egy kör területe . A kör sugara f (x), így területe

q(x)=f2(x)π, vagyis az x tengely körüli forgástest térfogata az b ∫a [a,b] intervallumban V = π f 2 ( x)dx. 77.Többváltozós fv, szintvonalak Legyen n≥2 természetes szám, és D⊆Rn. Ha a D nem üres halmaz minden (x1,xn) eleméhez egy és csak egy f(x1xn) valós számot rendelünk, akkor a D halmazon értelmezett f valós fv-t, pontosabban n változós valós fvt adunk meg. 78. Első rendű parciális derivált Tegyük fel hogy az f kétváltozós függvény az A⊂Df halmaz minden pontjában parciálisan differenciálható az x (első változó) szerint. Azt a függvényt, amely az A halmaz minden pontjához hozzárendeli az f függvény x szerinti parciális differenciálhányadosát, az f függvény x szerinti parciális deriváltfüggvényének nevezzük. 79. lokális szélsőérétkhely létezésének szükséges és elégséges feltételei 2változós fv esetén! szükséges feltétel Legyen az (a,b) az f kétváltozós függvény értelmezési tartományának

egy belső pontja. Ha az (a,b) pontban léteznek az f parciális deriváltjai és ott f-nek lokális szélsőértéke van, akkor fx ( a , b) = 0 és f y ( a , b ) = 0 . elégséges feltétel:Tegyük fel, hogy az f kétváltozós függvény valamennyi második parciális deriváltja létezik az (a,b) pontban, és azok ott folytonosak. Ha fx ( a , b) = 0 és f y ( a , b ) = 0 , továbbá a) D( a , b ) = f "xx ( a , b) f yy′′ ( a , b) − [ f "xy ( a , b)]2 > 0 , akkor f-nek az (a, b) pontban lokális szélsőértéke van: f "xx ( a , b ) < 0 esetén maximuma, f "xx ( a , b ) > 0 esetén minimuma; b) D(a,b)<0, akkor f-nek az (a,b) pontban nincs lokális szélsőértéke; c) D(a,b)=0, akkor annak az eldöntésére, hogy van-e lokális szélsőértéke (a,b)-ben, további vizsgálat szükséges. 80. Kettős integrál Legyen az f kétváltozós függvény értelmezve a d T = {( x, y)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a , b] × [c, d ] téglalapon. Ha

a q( x) = ∫ f ( x, y)dy c integrálok minden x ∈[a,b] esetén léteznek és q integrálható az [a,b] intervallumban, akkor az b b d a a c ∫ q( x)dx = ∫ ∫ f ( x, y)dydx integrált f T téglalapon vett kettős integráljának nevezzük