Matematika | Felsőoktatás » Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Egy f : D ⊂ R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f (x) ≤ f (x0) teljesül minden x ∈ D esetén, akkor x0-at a függvény maximumhelyének mondjuk, f (x0)-at pedig az (abszolút) maximumértékének. f (x) ≤ f (x0) esetén minimumhelyről és minimumértékről beszélünk. x0-at f helyi minimumhelyének (maximumhelyének) mondjuk, ha van x0-nak olyan G környezete, hogy minden x ∈ G ∩ D esetén f (x) ≥ f (x0) (illetve f (x) ≤ f (x0)). A f függvényt monoton növekedőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha bármely x1 < x2, x1, x2 ∈ D esetén f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)). Szigorú monotonitásról beszélünk, ha az utóbbi egyenlőtlenségekben a szigorú egyenlőtlenség jele (<) áll Határérték Definı́ció. Tekintsük az f : D ⊂ R R függvény értelmezési tartományának egy x0

torlódási pontját. Az f függvény x0beli határértékének nevezünk egy a számot, ha bármely x0-hoz konvergáló xn ∈ D, xn 6= x0 sorozat esetében az f (xn) sorozat konvergál a-hoz. Állı́tás. Legyen x0 az f : D ⊂ R R függvény értelmezési tartományának egy x0 torlódási pontja. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy f x0-beli határértéke a legyen, az, hogy a-nak bármely nyı́lt G(a, ε) környezetéhez létezzen x0-nak olyan nyı́lt G(x0, δ) környezete, hogy ha x ∈ G(x0, δ) ∩ D, x 6= x0, akkor f (x) ∈ G(a, ε). Bizonyı́tás. A mondott feltétel elégséges: Legyen xn ∈ D, xn 6= x0 olyan sorozat, hogy lim xn = x0. Azt kell belátnunk, n∞ hogy f (xn) a. Tekintsük a-nak egy tetszőleges G(a, ε) nyı́lt környezetét, a feltétel miatt van olyan δ > 0 sugarú környezete x0-nak, hogy ha x ∈ G(x0, δ) ∩ D, x 6= x0. akkor f (x) ∈ G(a, ε) xn x0 miatt ezen δ >

0-hoz van olyan n0 ∈ N, hogy bármely n > n0-ra xn ∈ G(x0, δ). Ekkor f (xn) ∈ G(a, ε) minden n > n0 esetén, azaz f (xn) a. A feltétel szükséges: Indirekt módon bizonyı́tunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan ε > 0 sugarú G(a, ε) nyı́lt környezete a-nak, melyhez x0-nak egyetlen G(x0, δ) nyı́lt környezete sem jó. Ekkor 1 ) ∩ D, (x 6= x ), bármely n ∈ N esetén van olyan xn ∈ G(x0, n n 0 hogy f (xn) 6∈ G(a, ε). Ez azt jelenti, hogy bár xn x0, de f (xn) nem konvergál a-hoz. Ez ellentmond annak, hogy f x0beli határértéke a 2 Határérték és műveletek Állı́tás. Legyen lim f (x) = a és lim g(x) = b Ekkor xx0 xx0 • limxx0 (f (x) + g(x)) = a + b • limxx0 (f (x) g(x)) = a b a f (x) = . xx0 g(x) b • ha g(x) 6= 0 és b 6= 0, akkor lim • ha f (x) ≤ g(x) minden x ∈ D-re, akkor lim f (x) ≤ lim g(x) xx0 xx0 • ha lim f (x) = lim g(x) = a és f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) minden xx0 xx0 x ∈

D-re, akkor lim h(x) = a. xx0 Bizonyı́tás. Az összeg esetében, tekintsünk egy tetszőleges xn ∈ D, xn 6= x0, x0-hoz konvergáló sorozatot: xn x0. Ilyenkor az f (xn) sorozat konvergál a-hoz, a g(xn) sorozat konvergál bhez, ezért a sorozatok konvergenciájának megfelelő tulajdonsága miatt f (xn) + g(xn) konvergál a + b-hez. A többi állı́tás is ezen séma alapján igazolható. 2 Állı́tás. Legyenek adottak az f : D1 ⊂ R R és g: D2 ⊂ R R függvények úgy, hogy f (D1) ⊂ D2. Ha lim f (x) = a, a 6∈ f (D1), xx0 és lim g(x) = b, akkor lim g(f (x)) = b. xa xx0 Bizonyı́tás. xn x0 =⇒ f (xn) a =⇒ g(f (xn)) b. 2 Folytonosság Definı́ció. Az f : D ⊂ R R függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának x0 torlódási pontjában, ha lim f (x) = f (x0). xx0 • A definı́ciót közvetlenül, a határtérték fogalma nélkül is megadhattuk volna: f folytonos x0 ∈

D-ben, ha bármely xn ∈ D, xn x0 esetén f (xn) f (x0). Ha ugyanis x0 nem torlódási pontja D-nek, akkor f (xn) f (x0) mindig teljesül, hiszen ilyenkor xn x0 csak úgy lehet, ha xn = x0 minden n-re legfeljebb véges sok kivételével. • Környezetek segı́tségével a folytonosság ı́gy fogalmazható meg: f : D ⊂ R R pontosan akkor folytonos x0-ban, ha f (x0) bármely nyı́lt G(f (x0), ε) környezetéhez van x0-nak olyan G(x0, δ) nyı́lt környezete, hogy minden x ∈ G(x0, δ)-ra f (x) ∈ G(f (x0), ε). Az abszolút érték jelével ezt gyakran formálisan ı́gy fejezik ki: ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D : |x − x0| < δ =⇒ |f (x) − f (x0)| < ε. • A folytonosság fogalma ugyanı́gy definiálható akár komplex változós, akár komplex értékű függvények esetében is. • Folytonosság és műveletek A határérték és a műveletek kapcsolatát kifejező állı́tások

következményeként azonnal adódik, hogy – ha f és g folytonos x0-ban, akkor f +g is folytonos x0-ban. – ha f és g folytonos x0-ban, akkor f g is folytonos x0-ban. f – ha f és g folytonos x0-ban, g(x0) 6= 0, akkor is folytonos g x0-ban. – ha f folytonos x0-ban és g folytonos f (x0)-ban, akkor a g ◦ f összetett függvény is folytonos x0-ban. Egy f függvényt folytonosnak mondunk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Állı́tás. Ha f : [a, b] R függvény folytonos, akkor korlátos is, és felveszi abszolút maximumát és minimumát. Bizonyı́tás. Indirekten tegyük fel, hogy f nem korlátos, pl felülről nem korlátos. Akkor minden n ∈ N-hez van olyan xn ∈ [a, b], hogy f (xn) > n. Világos, hogy lim f (xn) ∞ Mivel {xn | n ∈ N} ⊂ R n∞ korlátos végtelen halmaz, ezért Bolzano-Weierstraß tétele miatt van torlódási pontja, legyen ez x0. Mivel [a, b] zárt, x0 ∈ [a, b] Az

xn sorozatból kiválasztható olyan részsorozat, amely x0-hoz konvergál, jelölje ezt x̃k = xnk , k ∈ N. Ilyenkor tehát x̃k x0, de f (x̃k ) ∞. Ez ellentmond f x0-beli folytonosságának A függvényértékek {f (x) | x ∈ [a, b]} halmaza tehát korlátos, tekintsük pontos alsó, illetve pontos felső korlátját, K1 és K2. Belátjuk, hogy létezik x1 ∈ [a, b] (és x2 ∈ [a, b]), hogy f (x1) = K1 (és f (x2) = K2). Mivel K1 pontos alsó korlát, bármely n ∈ N 1 esetén van olyan xn ∈ [a, b], hogy K1 ≤ f (xn) < K1 + . xn-ből n ismét kiválasztható egy x̃k x0 ∈ [a, b] konvergens részsorozat. Ekkor viszont f (x̃k ) K1 és f (x̃k ) f (x0) is teljesül, ezért K1 = f (x0). 2 Állı́tás. Ha f : D ⊂ R R függvény folytonos x0-ban és f (x0) 6= 0, akkor a függvény jeltartó x0-ban, azaz van x0-nak olyan G(x0, δ) nyı́lt környezete, hogy az e környezetből választott x-ekre f (x)

állandó előjelű. Állı́tás. Ha f : [a, b] R folytonos függvény és f (a) < f (b), akkor bármely y0-hoz, melyre f (a) ≤ y0 ≤ f (b), van olyan x0 ∈ [a, b], hogy f (x0) = y0. Bizonyı́tás. Feltehetjük, hogy f (a) < y0 < f (b). Legyen A = {x ∈ [a, b] | f (x) < y0}. A felülről korlátos, nem üres, ezért van pontos felső korlátja: x0 = sup A. Ha f (x0) > y0, akkor f (x) − y0 jeltartó tulajdonsága miatt x0 egy környezetében is f (x)−y0 > 0 teljesülne, de ekkor x0 nem lehet felső korlát, csak ha x0 = a. De ekkor f (a) > y0 következne, ami ellentmondás Ha f (x0) < y0 lenne, akkor f (x) < y0 teljesülne szinén x0 egy környezetében, s ı́gy nem lehet x0 felső korlát, csak ha x0 = b. De ekkor f (b) < y0 következne, ami lehetetlen. Tehát csak f (x0) = y0 lehetséges. 2 Állı́tás. Ha f : [a, b] [c, d] folytonos bijektı́v függvény, akkor szigorúan monoton és az

inverz f −1: [c, d] [a, b] függvény is folytonos. Elemi függvények folytonossága Elemi függvénynek nevezzük a konstans 1, az x, az exponenciális ax, (a > 0), a sin x függvényekből a műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), az inverzképzéssel és az összetett függvény képzésével adódó függvényeket. Mindezek a lépések folytonos függvényekből kiindulva folytonos függvényt eredményeznek. 1, x, ax, sin x folytonosságát belátva kapjuk majd, hogy az elemi függvények mind folytonosak, speciálisan pl. az összes polinomfüggvény, a logaritmusfüggvény, a gyökvonás függvénye, a trigonometrikus függvény és inverzeik, stb. mind folytonosak Állı́tás. a) f : R R, x 7 c függvény folytonos (c konstans) b) f : R R, x 7 x függvény folytonos c) f : R R, x 7 ax függvény folytonos (a > 0 konstans) d) f : R R, x 7 sin x függvény folytonos

Bizonyı́tás. c)-hez előbb belátjuk azt, hogy ha a > 0, bn 0, 1 akkor abn 1. Ugyanis, ha speciálisan bn = , a > 1, akkor n 1 a n = 1 + hn, hn ≥ 0 felbontással µ a= 1 an ¶n = (1 + hn)n ≥ 1 + n hn teljesül a Bernoulli egyenlőtlenség miatt. Ebből a−1 ≥ hn n 1 következik, amiből hn 0, a n 1 adódik. 0 < a < 1 esetében 1 1 -ra alkalmazva a most bizonyı́tottat, azonnal adódik az a n 1 a konvergencia. Tetszőleges bn > 0, bn 0 sorozat esetében feltehetjük, hogy bn < 1. Ekkor minden n ∈ N-hez van olyan kn ∈ N, hogy 1 1 ≤ bn < kn + 1 kn Könnyen látható, hogy bn 0 miatt kn ∞. Az egyenlőtlenségből a > 1 miatt 1 a kn+1 ≤ abn < 1 a kn A baloldalon és a jobboldalon szereplő sorozatok részsorozatai 1 n az a sorozatnak, ezért 1-hez konvergálnak, s ı́gy a közrefogott abn sorozat is. Vegyes előjelű bn sorozat esetében bontsuk fel egy pozı́tı́v tagú cn és egy

negatı́v tagú dn részsorozatra az eredetit. A pozitı́v tagúra, illetve negatı́v tagú (−1)-szeresére alkalmazva a 1 most bizonyı́tottat: acn 1 és a−dn 1. A másodikból d 1, a n s reciprokát véve adn 1. E szerint abn mindkét részsorozata 1-hez tart, ezért abn 1. Az ax függvény x0-beli folytonosságának bizonyı́tásához tekintsünk egy xn x0 sorozatot. Ilyenkor xn − x0 0, ezért axn−x0 1. Tetszőlegesen választott ε > 0-hoz van olyan n0 ∈ N, ε hogy |axn−x0 − 1| < x , ha n > n0. Ilyen n-ekre a 0 ε |axn − ax0 | = ax0 |axn−x0 − 1| < ax0 x = ε a 0 teljesül, ami axn ax0 konvergenciát jelenti. c) A sin x függvény x0-beli folytonosságának igazolásához az ε − δ-s bizonyı́tási módot alkalmazzuk. Ismert trigonometriai képletet alkalmazva, a geometriailag nyilvánvaló | sin x| < |x| egyenlőtlenség miatt ¯ ¯ ¯ x − x 0 ¯¯ ¯ | sin x − sin x0| = 2 ¯sin

¯ ¯ ¯ ¯ x + x 0 ¯¯ ¯cos ¯ ¯ ≤ |x − x0|. 2 2 Ez azt jelenti, hogy tetszőleges ε > 0-hoz a δ = ε választás jó: ha |x − x0| < δ = ε, akkor | sin x − sin x0| < ε. 2 Néhány függvény határértéke 1 1. lim (1 + x) x = e x0 ax − 1 = ln a. 2. lim x0 x sin x = 1. 3. lim x0 x A határérték fogalom kiterjesztése A végtelen, mint határérték Definı́ció. Az f : D ⊂ R R függvény értelmezési tartományának x0 torlódási pontjában a határértéke végtelen, ha bármely xn x0, xn ∈ D, xn 6= x0 sorozat esetén f (xn) ∞. Jele: lim f (x) = xx0 ∞. • Itt is megadható a környezetekkel történő definı́ció analógiája: f x0-beli határértéke végtelen, ha bármely K ∈ R számhoz van olyan G(x0, δ) nyı́lt környezete x0-nak, hogy minden ebből vett, de x0-tól különböző x-re f (x) > K. • Hasonlatosan értelmezhető a mı́nusz végtelenhez

való tartás is. • E kibővı́tett értelmű határértékről is egyszerű tulajdonságok fogalmazhatók meg. Pl: – ha lim f (x) xx0 = ∞ akkor lim (f (x) + g(x)) = ∞ xx0 és lim (f (x) g(x)) = ∞ xx0 – ha limxx0 f (x) = ∞ és limxx0 g(x) > 0, akkor limxx0 (f (x) g(x)) = ∞. és lim g(x) xx0 = ∞, 1 =∞ 2 x0 x • Például lim Végtelenben vett határérték Definı́ció. Legyen adott az olyan f : D ⊂ R R függvény, melynek értelmezési tartománya felülről nem korlátos. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a végtelenben az a szám, ha bármely xn ∈ D, xn ∞ sorozat esetén f (xn) a. Jele: lim f (x) = a. Alulról nem korlátos értelmezési x∞ tartomány esetében értelmezhetjük a mı́nusz végtelenben a függvény határértékét: lim f (x) = a, ha bármely xn ∈ D, xn x−∞ −∞ esetén f (xn) a. • E definı́ciókat környezetek

segı́tségével is megadhattuk volna, pl.: lim f (x) = a, ha ∀ ε > 0 ∃ K ∈ R, hogy ∀ x ∈ D, x > K-ra x∞ |f (x) − a| < ε. • A függvény határértéke a végtelenben (vagy a mı́nusz végtelenben) lehet akár végtelen, akár mı́nusz végtelen is: pl. lim f (x) = ∞ akkor teljesül, ha minden xn ∞ esetén x∞ f (xn) ∞. 1 = 0, x∞ x • Példa: lim lim log2 x = ∞. x∞ Bal-, és jobboldali határértékek Definı́ció. Legyen D = [a, b], s a < x0 < b. Az f : D R függvény x0-beli jobboldali határértéke végtelen, ha bármely xn ∈ D, xn > x0, xn x0 sorozat esetén f (xn) ∞. A jobboldali határérték jele: lim f (x), a baloldalié: lim f (x). xx0 +0 xx0 −0 Az f : D ⊂ R R függvény balról folytonos x0-ban, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy ha x ∈ (x0 − δ, x0), akkor |f (x) − f (x0)| < ε. 1 = ∞, Példa: lim x0+0 x lim xπ/2−0 tg x

= ∞, az f (x) = [x] egész-rész függvény 1-ben jobbról folytonos, de balról nem. Megjegyzés. Ha az f függvénynek x0-ban létezik baloldali és jobboldali (véges) határértéke, de ott nem folytonos, akkor x0-at elsőfajú szakadási pontnak nevezzük. Ha ott jobboldali és balodali határértékük megegyezik, akkor megszüntethető sin x 0-ban megszüntethető szakadásnak mondjuk. Pl. x szakadással rendelkezik. Az egyéb nem folytonossági helyeket 1 1 0-ban, vagy sin másodfajú szakadási helynek mondjuk, pl. x x 0-ban