Matematika | Valószínűségszámítás » Tompos Gábor - Valószínűség-számítás példák, megoldással

Tompos Gábor – Valószínűség-számítás példák megoldással 1. Egy dobozban 10 golyó van, közülük 5 fehér, 3 piros és 2 kék színű A 10 golyót egymás után kihúzzuk a dobozból. Hány különböző sorrendben húzhatjuk a golyókat, ha az egyszínűeket nem különböztetjük meg? Ismétléses permutáció, ahol: N=10; P 1 =5; P 2 =3; P 3 =2. N! 10! 3628800 = = = 2520 . P1!∗P2 !∗P3 ! 5!∗3!∗2! 1440 2. Hányféleképpen rakhatunk be 8 levelet 15 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? 15  15! 1307674368000   = = = 6435 . 203212800  8  7!∗8! 3. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 12 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe több levelet is tehetünk? Ismétléses variáció, mert egy rekeszt többször is kiválasztunk.  N + K − 1 12 + 6 − 1 17  17!   =   =   = = 12376 .

K  6   6  11!∗6! N=12; K=6. 4. Az A, B és C független események, amelyre P(A)=0100, P(B)=0240 és P(C)=0335 Határozza meg annak a valószínűségét, hogy legalább kettő bekövetkezik közülük! ABC + ABC + ABC + ABC = P( A)∗ P( B)∗ (1 − P(C )) + P( A)∗ (1 − P( B))∗ P(C ) + + (1 − P ( A)) ∗ P ( B ) ∗ P (C ) + P ( A) ∗ P ( B ) ∗ P (C ) = 0.1 ∗ 024 ∗ (1 − 0335) + 01 ∗ (1 − 024) ∗ 0335 + + (1 − 0.1) ∗ 024 ∗ 0335 + 01 ∗ 024 ∗ 0335 = 001596 + 002546 + 007236 + 000804 = 012182 5. Egy országban a lakosság 97 százalékának van televíziója és 73 százalékának autója Az autóval rendelkezők legalább hány százalékának van televíziója is? Legalább=Autó-(1-Televízió)=73%-(1-97%)=73%-3%=70% -nak van mindkettő, vagyis az autósok közül. 3% 70 = 95.8904% 0.73 97% 73% 27% 6. Egy dobozban 13 alkatrész van, amelyek közül 10 selejtes 8 elemű mintát veszünk visszatevés nélkül Mi a

valószínűsége, hogy a mintában 6 selejtes alkatrész van? Visszatevés nélküli mintavétel, ahol: N=13; s=10; n=8;  s   N − s  10   3    ∗    ∗  k   n − k   6   2   P(k ) = = = 0.48951 N 13      n  8  k=6. 7. Egy dobozban 13 alkatrész van, amelyek közül 10 selejtes 8 elemű mintát veszünk visszatevéssel Mi a valószínűsége, hogy a mintában 6 selejtes alkatrész van? s 10 Visszatevéses mintavétel, ahol: N=13; s=10; n=8; k=6; ⇒ p = = . N 13 6 2 n  8   10   10  ( n −k ) k P(k ) =   ∗ ( p ) ∗ (1 − p ) =   ∗   ∗ 1 −  = 0.3089 k   6   13   13  8. Egy dobozban 12 alkatrész van, amelyek közül 9 selejtes 7 elemű visszatevéssel Mi a valószínűsége, hogy a mintában legalább 5 selejtes alkatrész van? s 9 3

Visszatevéses mintavétel, ahol: N=12; s=9; n=7; k=5,6 vagy 7; ⇒ p = = = . N 12 4 n n P( J ) = P(5) + P(6) + P(7) =   ∗ ( p )5 ∗ (1 − p )( n − 5) +   ∗ ( p )6 ∗ (1 − p )( n − 6 ) + 5  6 5 2 6 1 7 0 n 7  3   3  7  3   3  7  3   3  +   ∗ ( p )7 ∗ (1 − p )( n − 7 ) =   ∗   ∗ 1 −  +   ∗   ∗ 1 −  +   ∗   ∗ 1 −  = 7 5  4   4  6  4   4  7  4   4  = 0.7562 9. Legyen P(A)=048, P(A|B)=048 és P(B|A)=024 Határozza meg P ( A | B ) értékét! P( A | B ) = mivel: P ( B) = P ( A ∗ B ) P ( A + B) 1 − P ( A + B) 1 − ( P ( A) + P ( B) − P ( AB)) ; = = = 1 − P ( B) 1 − P ( B) 1 − P ( B) P( B ) P( AB) P( A) ∗ P( B | A) 0.48 ∗ 024 P ( AB) P ( A)∗ P ( B| A) ; P( B) = = = = 0.24 = P (

B| A) P ( A| B) P( A | B) P( A | B) 0.48 P ( A)∗ P ( B| A) − P ( A)  P ( AB) − P ( A)  1+  =  = 1+  1 − P ( B)  1 − P ( B)  P( B | A) − 1   0.24 − 1   = 1 + P( A) ∗  = 1 + P( A) ∗   = 1 − P( A) = 1 − 0.48 = 052  1 − 0.24   1 − P( B)  10. Egy dobozban 23 fehér és 32 piros golyó van Ketten felváltva húznak egy-egy találomra vá- lasztott golyót, amelyet visszatesznek. Ezt addig folytatják, amíg csak valamelyikük piros golyót nem húz. Mennyi a valószínűsége annak, hogy nem a kezdő húz először piros golyót? 23 32 ; ; ez egy mértani sorozat, ahol: f = p= P( A) = f ∗ p + f 3 ∗ p + f 5 ∗ p. 55 55 23 32 ∗ ∗ a f p 55 55 = és ekkor: lim S n = 1 = = a1 = f ∗ p q = f 2, n ∞ 1 − q 1 − f 2 55  23  2 −  55  55  736 = 3025 = 0.2948 0.8251 11. Tudjuk, hogy P(A)=037, P(A|B)=044 és P(B|A)=091 Mennyi a valószínűsége, hogy az A és B legalább

egyike bekövetkezik? P ( A + B ) = P( A) + P( B) − P( AB) = ? P ( AB ) P ( AB ) P ( A)∗ P ( B| A) ; P ( A| B ) = ⇒ P( B) = = P( B) P ( A| B ) P ( A| B ) P( AB) és: P ( B| A) = ⇒ P( AB) = P( A)∗ P( B| A) ; P( A) P( A) ∗ P( B | A) 0.38 ∗ 074 P( A + B) = P( A) + − P( A) ∗ P( B | A) = 0.38 + − 0.38 ∗ 074 = 08388 P( A | B) 0.38 12. Egy adott betegségben szenvedő betegek 63 %-át egy olyan új kezelésnek vetik alá, amely a korábbi 38 %-ról 81 %-ra javítja a gyógyulási arányt. Egy gyógyult beteget kiválasztva mi a valószínűsége, hogy ő az új kezelésben részesült? P(Új)=0.63; P(Régi)=1-P(Új)=037; P(Új|Gy)=? P(Gy|Új)=0.81; P(Gy|Régi)=0.38; Teljes valószínűség tétele: P(Gy ) = P(Gy | Új ) ∗ P(Új ) + P(Gy | Régi) ∗ P( Régi) = 0.81 ∗ 063 + 038 ∗ 037 = 06509 P(Új | Gy ) = P(Gy | Új ) ∗ P (Új ) 0.81 ∗ 063 = = 0.78399 P (Gy ) 0.6509 13. Egy kis kikötőben egyszerre csak egy hajó raY kodhat. Az egyik nap 5 és 12

óra között biztosan érkezik két hajó. A rakodás mindkettő esetében 53 420 percet vesz igénybe. Mennyi a valószínűsége, hogy nem kell várniuk egymásra? 5 és 12 között 7*60=420 perc van. X első hajó, rakodás 53 perc Y második hajó, rakodás 53 perc 53 | x − y |> 53 esetén nem kell várniuk egymásra. x − y > 53 és y − x > 53 T (420 − 53) 2 P (keresett ) = háromszögek = = 0.76354 Tnégyzet 4202 53 420 X 14. Az A esemény bekövetkezésének a valószínűsége 045 Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb kétszer következik be tíz kísérletből? P ( A) = 0.31 ; ξ = (0,1,2) ; 10  10  P(0 ≤ ξ ≤ 2) = P(ξ = 0) + P(ξ = 1) + P(ξ = 2) =   ∗ 0.310 ∗ (1 − 031)10 +   ∗ 0311 ∗ (1 − 031)9 + 0  1  10  +   ∗ 0.312 ∗ (1 − 031) 8 = 03564 2  15. Legalább hányszor kell feldobni két szabályos dobókockát ahhoz, hogy legfeljebb 074

valószínűséggel egyszer se kapjunk dupla hatost? 36 elemi esemény, ebből 35 a nem dupla ha35 ; P n ≤ 0.74 P= 36 n ⋅ ln P = ln 0,74 ln 0,74 n= = 10.68852 35 ln 36 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 tos. 16. Egy lezser hallgató maximum négyszer jöhet el vizsgázni, és minden vizsgán 055 valószínűséggel megy át Hányszor vizsgázik átlagban egy lezser hallgató? ξ = (1,2,3,4) ; P = 0.55 ; P1 = P ; P2 = (1 − P)∗ P ; P3 = (1 − P) 2 ∗ P ; P4 = (1 − P) 3 ∗ P ; 4 E (ξ ) = ∑ i ∗ Pi = P + 2 ∗ (1 − P ) ∗ P + 3 ∗ (1 − P) 2 ∗ P + 4 ∗ (1 − P)3 ∗ P = 1.5796 i =1 17. Egy dobozban 23 piros és 32 kék golyó van A dobozból visszatevés nélkül kihúzunk 3 golyót Várhatóan hány piros golyót húzunk ki?  23   32    ∗   0 3 P0 =     = 0.18906 ;  55    3  ξ = (0,1,2,3) ; 

23   32    ∗   2 1 P2 =     = 0.30859 ;  55    3   23   32    ∗   1 2 P1 =     = 0.43483 ;  55    3   23   32    ∗   3 0 P3 =     = 0.067505 ;  55    3  3 E (ξ ) = ∑ i ∗ Pi = 0 ∗ P0 + 1 ∗ P1 + 2 ∗ P2 + 3 ∗ P3 = 1.254525 i =0 18. Egy szervizbe műszakonként átlagban 7 gépkocsi jelentkezik javításra és számuk Poissoneloszlású valószínűségi változó Mi a valószínűsége, hogy egy nap legalább 6, de legfeljebb 9 gépkocsit javítanak? E (ξ ) = 7 ; λ = 7; 9 P (6 ≤ ξ ≤ 9) = ∑ k =6 λk k! 9 ∗ e −λ = e −λ ∗ ∑ k =6  7 6 77 78 79  = e −7 ∗  + + +  = e −7 ∗ 580.982716 = 0526787 k! 6 ! 7 ! 8 ! 9!   λk 19. Egy TV élettartama ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó

19000 óra átlagos élettartammal Mi a valószínűsége, hogy egy TV 20000 óránál tovább lesz jó? 1 1 ⇒ λ= E (ξ ) = = 19000 19000 λ f ( x ) = λ ∗ e − λx ; P ( x ) = 1 − e − λx −20000 20000 −   P(ξ > 20000) = 1 − P(ξ < 20000) = 1 − P(20000) = 1 − 1 − e 19000  = e 19000 = 0.34901   20. Egy gép élettartama ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó 10 év átlagos élettartammal Adja meg azt a legnagyobb K számot, amelyre még igaz, hogy egy gép legalább 089 valószínűséggel működőképes lesz K évig. 1 1 E (ξ ) = = 10 ⇒ λ= λ 10 P (ξ ≥ K ) ≥ 0.89 ( P(ξ ≥ K ) = 1 − P(ξ < K ) = 1 − P( K ) = 1 − 1 − e − λK e − λK − ) ≥ 0.89 1 K ≥ ln 0.89 10 ⇒ K ≤ −10 ∗ ln 0.89 = 1165338 21. Egy munkadarab hossza közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 47 és szórása 06 Mennyi a valószínűsége, hogy a

munkadarab hossza kisebb, mint 47.72? δ = 0.6 ; m = 47 ; E (ξ ) = 47 ; P(ξ ) = 0.6 ;  47.72 − 47   47.72 − m  P (ξ < 47.72) = P (4772) = Φ  = Φ (1.2) = 08849  = Φ 0.6 δ     22. Legalább hány elemű mintát kell vennünk, ha visszatevéses mintavételnél a selejtarányt 014 pontossággal (legfeljebb ennyi eltéréssel) és 0.93 megbízhatósággal akarjuk becsülni?  ξ ∗n  P − p  < (0.14) ≥ 093  n   ξ ∗n  1 − p < 0.14  ≥ 1 − P ≥ 0.93 4 ∗ n ∗ 0.14 2  n  1 1 ⇒ − ≥ −0.07 − ≥ −0.07 ∗ n 2 4 ∗ n ∗ 0.14 4 ∗ 0.14 2 ⇒ 1 ≤n 4 ∗ 0.07 ∗ 014 2 ⇒ n ≥ 182.2157 n ≥ 182 . 23. Hengeres alkatrészeket gyártunk Az átmérő 28 mm várható értékű és 0016 mm szórású normális eloszlású valószínűségi változó, míg a hossz 75 mm várható értékű és 0.05 mm szórású normális eloszlású valószínűségi változó.

Egy alkatrész átmérőre jó, ha az átmérő a (27968, 28.048) intervallumba esik Egy alkatrész hosszra jó, ha a hossz a (7495, 751) intervallumba esik. Egy alkatrész jó, ha átmérőre is és hosszra is jó Átlagosan az alkatrészek hány százaléka lesz selejtes, ha egy alkatrész átmérője és hossza független egymástól? E (ξ ) = 28 D(ξ ) = 0.016 E (η) = 75 D(η) = 0.05  27.968 − 28   28.048 − 28  Pátmérő (27.968 < ξ < 28048) = P(28048) − P(27968) = Φ =  − Φ  0.016   0.016  = Φ (3) − Φ (−2) = Φ (3) − (1 − Φ (2)) = Φ (3) − 1 + Φ (2) = 0.99865 − 1 + 09772 = 097585  74.95 − 75   75.1 − 75  Phossz (74.95 < η < 751) = P (751) − P (7495) = Φ =  − Φ  0.05   0.05  = Φ(2) − Φ( −1) = Φ(2) − (1 − Φ(1)) = Φ(2) − 1 + Φ(1) = 0.9772 − 1 + 08413 = 08185 Pjó = Pátmérő ∗ Phossz = 0.97585 ∗ 08185 = 0798733225 Pselejt = 1 − Pjó

= 1 − 0.798733225 = 0201266775 24. Egy ξ valószínűségi változó exponenciális eloszlású 05 szórással Határozza meg E(8ξ 2 − 19ξ + 7) értékét! 1 1 2 ⇒ D(ξ ) = 0.5 = E (ξ ) = = 0.5 ; E (ξ 2 ) = 2 = 0.5 ; λ λ λ 2 E (8ξ − 19ξ + 7) = 8 ∗ E (ξ ) − 19 ∗ E (ξ ) + 7 = 8 ∗ 0.5 − 19 ∗ 05 + 7 = 15 2 25. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvény: ha x ≤ 0, 0,  F ( x) =  A(2.2 x 2 + 92 x) ha 0 < x ≤ 6, ha 6 < x. Határozza meg a E (59ξ − 120) értékét! 1,   A(4.4 x + 92), ha 0 < x ≤ 6 f ( x) = F ′( x) =  egyebként. 0, ∞ 1= ∫ f ( x)dx = −∞ 6 ∞ [ ] 6 2 ∫ A(4.4 x + 92)dx =A∫ 44 x + 92dx = A 22 x + 92 x 0 = A(1344 − 0) ⇒ A = 0 −∞ ∞ 6 6 ∞ 1 . 134.4  2.2 3 92 2  E (ξ ) = ∫ x ∗ f ( x)dx = ∫ x ∗ A(4.4 x + 92)dx = A∫ 22 x + 92 xdx = A ∗x + ∗ x  = 324. 2  3 0 −∞ −∞ 0 E (59ξ − 120) = 59 ∗ E (ξ ) − 120 = 59

∗ 324 ∗ 2 1 − 120 = 22.232142 134.4 26. Legyen E(ξ ) = 72, D(ξ ) = 040 Adjon alsó becslést a P(5880 < ξ < 8520) valószínűségre P (−0.532 < ξ < 2132) = P (−0532 − 08 < ξ − 08 < 2132 − 08) = P(−1332 < ξ − 08 < 1332) = = P(ξ − 0.8 < 1332) = 1 − P(ξ − 08 ≥ 1332) 0.36 2 = 0.07304 1.332 2 1 − P(ξ − 0.8 ≥ 1332) ≥ 092696 P(ξ − 0.8 ≥ 1332 ) ≤ P(−0.532 < ξ < 2132) ≥ 092696 27. Egy henger milliméterben mért átmérője a ξ valószínűségi változó, hossza milliméterben mérve az η valószínűségi változó. A (ξ , η) kétdimenziós valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f ( x , y ) = x 2 + Ay 2 , a 0 < x < 1, 0 < y < 2.40 tartományon és 0 egyébként Számítsa ki az alábbi valószínűséget: P(ξ > 0.5, η > 216) P (ξ > 0.5,η > 216) = 1 − [P(ξ − 05) + P(η < 216) − P(ξ < 05,η < 216)] = 1 − Fξ (05) − Fη (216) + + F

(0.5,216) ∞ ∞ 1+ ∫∫ −∞ −∞ 1 2.40 f ( x, y )dydx = ∫ 0 2.40 1 1 A 3  2 2 ∫0 x + Ay dydx =∫0  x y + 3 y  0 dx = ∫0 2.40 x + 4608 Adx = 2 2 1  2.40 3  x + 4.608 Ax  = 08 + 4608 A =  3 0 1 = 0.8 + 4608 A Fξ (0.5) = 0.5 ∞ ∫∫ −∞ −∞ A= ⇒ 0.5240 f ( x, y )dydx = ∫ 0 0.5 0.2 = 0.04340277 4.608 0.5 2.40 0.5 A 3  2 2 ∫0 x + Ay dydx = ∫0  x y + 3 y  0 dx = ∫0 2.40 x + 4608 Adx = 2 2  2.40 3  = x + 4.608 Ax  = 01 + 2304 A = 019999  3 0 ∞ 2.16 1 2.16 2.16 1 1 A   Fη (2.16) = ∫ ∫ f ( x, y )dydx = ∫ ∫ x + Ay dydx = ∫  x 2 y + y 3  dx = ∫ 216 x 2 + 3359232 Adx = 3 0 0 0 0  −∞ −∞ 0 2 2 1  2.16 3  = x + 3.359232 Ax  = 072 + 3359232 A = 0865799973  3 0 F (0.5,216) = 0.5 216 ∫∫ −∞ −∞ 0.5 216 f ( x, y )dydx = ∫ 0 2.16 0.5 0.5 A 3  2 2 2 2 ∫0 x + Ay dydx = ∫0

 x y + 3 y  0 dx = ∫0 2.16 x + 3359232 Adx = 0.5  2.16 3  = x + 3.359232 Ax  = 009 + 1679616 A = 016289998  3 0 P(ξ > 0.5, η > 216) = 1 − Fξ (05) − Fη (216) + F (05,216) = = 1 − 0.19999 − 0865799973 + 016289998 = 009711 28. Egy urna 101 fehér és 16 fekete golyót tartalmaz Visszatevéssel kihúznak 500 golyót Adjon közelítést annak a valószínűségére, hogy a fehérek száma a [420, 442] intervallumban lesz! 29. Legyen (ξ , η) sűrűségfüggvénye: x  + y ), ha 0 < x < 4.7, 0 < y < 1,  A( f ( x , y ) =  4.7 egyébként. 0, Határozza meg E(ξ ) értékét! 1 8.2 1 8.2 8.2  x y2  x 1   x + y dydx =A ∫  + dx = 1 = ∫ ∫ f ( x, y )dydx = ∫ ∫ A y +  dx = A ∫ 8.2 2 0 8.2 2   8.2 0 0 − ∞− ∞ 0  0 1 ⇒ A= . = A(4.1 + 41) = 82 A 8.2 ∞ ∞ 8.2 1 1  x2 + A 16.4 8.2 8.2 2  x2 x2 x 2 x x + xydydx = A ∫  + dx = E (ξ ) = ∫

∫ xf ( x, y )dydx = A ∫ ∫ y + y  dx = A ∫ 8.2 8.2 2 0 8.2 2 − ∞− ∞ 0 0 0  0 ∞ ∞ 8.2  x3 x2  = A +  = A(22.4133 + 1681) = 392233  24.6 4  0 30. A (ξ , η) véletlen vektor együttes sűrűségfüggvénye: C , ha 0 < x < 2.4 és 24 − x < y < 79 − x f ( x, y) =  egyébként. 0, Határozza meg a korrelációs együttható értékét! 8.2 x  = 20 1= ∞ ∞ 2.479 − x 2.4 − ∞− ∞ 0 2.4 − x 0 1 ∫ ∫ f ( x, y)dydx = ∫ ∫ Cdxdy =C ∫ 5.5dx = C ∗ 132 ⇒ C = 132 r (ξ , η) = cov(ξ , η) E (ξ∗ η) − E (ξ )∗ E (η) = . D(ξ )∗ D(η) D(ξ )∗ D(η) 2.479 − x 7.9 − x 2.4  y2  x E (ξη ) = ∫ ∫ xyf ( x, y )dydx = C ∫ ∫ xydydx =C ∫ x   dx = C ∫ (56.65 − 11x )dx = 2  2.4− x 2 − ∞− ∞ 0 2.4 − x 0  0 ∞ ∞ 2.4 2.4 [ C C = ∫ 56.65 x − 11x 2 dx = 28325 x 2 − 36666 x 3 2 0 2 2.479 − x ∞ ∞ ] 2.4 0 = C

112.4649216 = 4260034 2 2.4 2.4  x2  E (ξ ) = ∫ ∫ xf ( x, y )dydx =C ∫ ∫ xdydx =C ∫ 5.5 xdx =55C   = 12  2 0 − ∞− ∞ 0 2.4 − x 0 2.479 − x 7.9 − x 2.4  y2  C E (η ) = ∫ ∫ yf ( x, y )dydx =C ∫ ∫ ydydx = C ∫   dx = ∫ 56.65 − 11xdx = 2  2.4− x 2 0 − ∞− ∞ 0 2.4 − x 0 2.4 C = 56.65 x − 55 x 2 0 = 395 2 cov(ξ ,η ) = E (ξη ) − E (ξ ) E (η ) = −0.479966 ∞ ∞ [ 2.4 ] ∞ ∞ 2.479 − x 2.4 2.4  x3  E (ξ ) = ∫ ∫ x f ( x, y )dydx =C ∫ ∫ x dydx =C ∫ 5.5 x dx = 55C   = 192  3 0 − ∞− ∞ 0 2.4 − x 0 2 2 2 2.479 − x 7.9 − x 2.4  y3  C E (η ) = ∫ ∫ y f ( x, y )dydx =C ∫ ∫ y dydx =C ∫   dx = ∫ 479.215 − 16995 x + 165 x 2 dx = 3  2.4− x 3 0 − ∞− ∞ 0 2.4 − x 0  2.4 C C = 479.215 x − 84975 x 2 + 55 x 3 0 = 736692 = 186033 3 3 2 [ D(ξ ) = ∞ ∞ 2 2 ] E (ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.800148805

D(η ) = E (η 2 ) − E 2 (η ) = 1.732281 cov(ξ ,η ) r (ξ ,η ) = = −0.09894 D(ξ ) ∗ D(η ) 2.4 2 ( )