Fizika | Lézerek » Félklasszikus lézerelmélet

3. Félklasszikus lézerelmélet (FKE) Az eddigiekben tárgyalt fenomenológikus leírás elméleti megalapozása lehetségessé válik, ha a lézerműködés elméleti tárgyalását a félklasszikus elmélet alapján végezzük. Mivel a működő lézerek esetén néhány módusban makroszkópikus intenzitás alakul ki, az elektromágneses tér leírása történhet klasszikusan a Maxwell-egyenletek segítségével, míg az aktív közeg leírására célszerűen a kvantummechanika segítségével történhet. Egy ilyen elmélet alapján nem fogjuk tudni meghatározni a lézer vonalszélességét, nem nyerünk információt a fotonstatisztikáról és a lézertér tranziens felépüléséről, hiszen a ezeket csak a kvantumelmélet alapján, kvantált elektromágneses tér és kvantált anyag figyelembevételével határozhatjuk meg (lásd a 7. fejezetet) A félklasszikus elmélet felépítéséhez jelen tárgyalásunkban néhány egyszerűsítést teszünk. Az aktív közeg sok

nívós rendszeréből csak a lézerátmenet 2 nívóját vonjuk be a tárgyalásba ("kétnívós" atomokból álló közeg, a többi szint nincs az elektromágneses térrel közvetlen kapcsolatban). Feltesszük, hogy az atomok között nincs közvetlen kölcsönhatás. Az atomok mozgását elhanyagoljuk (a mozgás figyelembe vehető, s így a Doppler-kölcsönhatás eredményeképpen inhomogén kiszélesedésű közeg is tárgyalható a félklasszikus elmélet segítségével, de bonyolultabbá teszi az egyenleteket). Az elektromágneses tér és az atomok kölcsönhatását elektromos dipólkölcsönhatással írjuk le, mivel az optikai hullámhossz jóval meghaladja az atomi méreteket. Az egyszerűség kedvéért a teret lineárisan polarizáltnak tekintjük. Az elmélet ú.n önkonzisztens elmélet Feltesszük, hogy kezdetben jelen van E(r,t) téramplitúdó. Ennek hatására az atomok polarizálódnak, vagyis meghatározható a Schrödinger-egyenlet alapján az atomi

vagy mikroszkópikus polarizáció. Az atomi polarizációk statisztikus összegzésével felírhatjuk az atomi rendszer eredő makroszkópikus polarizációját. Ez lesz az elektromágneses térre vonatkozó Maxwell-egyenletek forrástagja, aminek segítségével meghatározható a kialakuló E(r,t) térerősség. Végül megköveteljük, hogy E(r,t) = E(r,t) teljesüljön Az önkonzisztens elmélet felépülését szemlélteti a következő ábra. Schr. Stat. Maxwell <p> E ( r, t ) egy. P ( r, t ) összegzés E ( r , t ) egy. önkonzisztencia E = E ahol <p> a mikroszkópikus, P(r,t) a makroszkópikus polarizáció. A elektromágneses térrel elektromos dipólkölcsönhatásban álló atomok pontos gerjesztési illetve bomlási folyamatai csak gerjesztési és veszteségi konstansok segítségével van figyelembe véve, azok pontos ismerete nem játszik lényeges szerepet az elméletben ! 3.1 Téregyenletek div D = 0 D = εo E + P div B = 0 B = µo H ∂B

∂t ∂D rotH = J + ∂t rot E = − rot rot E + µ o σ µo εo = 1 c2 J = σE ∂ E 1 ∂ 2E ∂ 2P + 2 2 = −µo 2 ∂t c ∂t ∂t ↑ = grad div E − ∆ E ~ 0 = div D ≈ ε o div E mivelPkicsiε o E − hez kŽpest! Legyen a z irányban haladó tér x irányban polarizált és írjuk fel axiális módusok összegeként, elhanyagolva a transzverzális módusokat, mivel csak egy transzverzális módust feltételezünk : E = E ( z, t ) x = ∑ An (t )un ( z ) = n 2 ∑ A (t ) sin( knz ) L n n n π Ωn kn = , Ω n a módus frekvenciája L c ∂ 2E ∂E 1 ∂ 2E ∂ 2P − µ σ − = µ ≅ − µ o ω 2P o o 2 2 2 2 ∂t c ∂t ∂t ∂z ahol figyelembe vettük, hogy a megoldás kvázi monokromatikus, vagyis az időfüggés exp(iωt) alakú. Mivel P= P(E), ezért ez az egyenlet egy nemlineáris differenciál egyenlet. Megoldása közelítő módszerrel lehetséges. Szokás: a lassan változó amplitudó és fázis módszerét alkalmazni. Vagyis az amplitúdót An (t

) = E n (t )cos[ω n t + ϕ n (t )] alakban keressük, de feltesszük, hogy E& n << ω n E n ,ϕ& n << ω n ϕ n ,E&&n << ω n E& n << ω n2 E n . Beírva a módusokat, minden n-re kapjuk: 1 && 2 −kn2An − µo σ A&n − 2 A n = −µo ωn Pn ( t ) c / ⋅( −c 2 ) = −1 µoεo Figyelembe véve, hogy kn = L Ω2n ( ) ∫ P( z,t )un ( z )dz , P t = n c2 o kapjuk az amplitúdóra 9 σ & ω2 2 && An + An + Ωn An = P (t ) ε0 ε0 n ez utóbbi egy gerjesztett csillapított oszcillátor mozgásegyenlete. Írjuk ki az amplitúdó deriváltjait: A& n = − (ω n + ϕ& n )E n sin(ω n t + ϕ n ) + E& n cos(ω n t + ϕ n ) A& = − (ω 2 + 2ω ϕ& + ϕ& 2 )E + E&& cos(ω t + ϕ ) − n [ [ n n n n ] n n ] − 2(ω n + ϕ& n )E& n + ϕ&&n E n sin(ω n t + ϕ n ) n n Írjuk fel Pn(t)-t is hasonlóan: Pn (t ) = C n (t )cos[ω n t + ϕ n (t )] + S n (t

)sin[ω n t + ϕ n (t )]   fázisban lévő π/2 fáziskésésben lévő komponens. Elhanyagolásokkal és összegyűjtve a szinuszosan és koszinuszosan változó tagok együtthatóit :  2  σ 2  Ω n − (ω n + 2ω nϕ& n ) E n + E& n  cos[ω n t + ϕ n (t )] + εo   [ ]   ω n2 σ & + − 2ω n E n − (ω n + ϕ& n )E n  sin[ω n t + ϕ n (t )] = Pn (t ) ε0 εo   Elhanyagolás után a koszinuszos tag együtthatója átírható   Ω 2n − (ω n2 + 2ω nϕ& n ) = (Ω n − ω n ) Ω n + ω n  − 2ω nϕ& n ≈ 424 3 1  ~ 2ω n  ≈ 2ω n (Ω n − ω n − ϕ& n ) és a következő egyenleteket kapjuk: (ω n + ϕ& n − Ω n )E n =− ωn Cn 2ε o ω σ E& n + En = − n Sn 2ε 0 2ε o A második egyenletben En együtthatóját más formában szokás írni. Ha Sn = 0 , vagyis nincs polarizálható anyag jelen, akkor a téramplitúdó exponenciálisan lecsengő lesz,

a megoldás E n = E no exp − σt 2 ε 0 alakú lesz, vagyis az σ / ε 0 az intenzitás exponenciális lecsengési idejét adja! Passzív optikai rezonátorban az nedik módus exponenciális lecsengési ideje (τn) az üreg veszteségével, vagy másként kifejezve az üreg jóságával van kapcsolatban, az üreg jósági tényezőjét (Qn) már bevezettük a korábbiakban: Qn = Ω n τ n ⇒ 1 Ωn σ = = τ n Qn ε 0 , amit beírva Sn egyenletébe az irodalomban ismert alakra jutunk: 10 (ω n + ϕ& n − Ω n )E n =− ωn Cn . 2ε o (1) Ω ω E& n + n E n = − n S n 2Q n 2ε o Amennyiben Cn és Sn ismert, akkor a felső egyenletből megkapjuk a tér frekvenciáját ω n -et és az alsó egyenletből pedig a téramplitudót. A ϕ n (t ) fázis lényegében a kezdeti feltételektől függ, a megoldásban nincs lényeges szerepe. Látható, hogy a tér frekvenciája polarizálható közeg jelenlétében eltér az üreg frekvenciájától (frequency pulling)!

3.2 Mikroszkópikus polarizáció Tekintsünk egy 2 szintes atomi rendszert: "a" felső szint, E a = hω a , "b" alsó szint, E b = hω b . HA jelölje az atomi Hamilton operátort, ekkor az atom 2 állapotának megfelelő stacionárius hullámfüggvények ψ a és ψ b kielégítik a stacionárius Schrödinger egyenletet: H Aψ a (r ) = hω aψ a (r ) H Aψ b (r ) = hω bψ b (r ) , ahol ψ a és ψ b normált, ortogonális hullámfüggvények. Időfüggésük: ψ a ,b (r , t ) = ψ a ,b (r )e − iω a ,b t Vegyük figyelembe a nívók élettartamát (Wiegner-Weisskopf közelítés)   γ ψ a ,b (r, t ) = ψ a ,b (r )exp − i  ω a ,b − i a ,b 2   ψ a ,b (r, t ) = ψ a ,b (r , o ) e 2 2  t  , ahol  −γ a , b t és γa,b jelöli nívók exponenciális bomlásállandóit, vagy definiálható a nívók átlagos élettartama τa,b = 1 / γa,b. A továbbiakban az egyenletekben ωa,b

helyett ωa,b - iγa,b/2 -t kell írni. Tér jelenlétében a Hamilton operátor: . (r3 H = H A − er 1 E2 ,t) = H A + klasszikus h{ V perturb‡ci Ha kezdetben (t0 - ban) az atom gerjesztett állapotban volt, akkor eszerint ψ (r ,t o ) = ψ a (r ) és a perturbáció hatására indukált emisszióval a "b" állapotba 11 kerülhet, bármely időpillanatban az állapotfüggvényét felírhatjuk, mint az atomi állapotok szuperpozícióját időfüggő együtthatókkal: ψ (r, t ) = a (t )ψ a (r ) + b(t )ψ b (r ), ahol a (t ) Žs b(t ) az "a" ill." b" állapotban való tartózkodás valószínűségei 2 2 ψ (r, t ) -t a Schrödinger egyenletbe beírva kapjuk: ( ) ∂ψ = i h a&ψ a + b&ψ b = (H A + hV )ψ = (H A + hV )(aψ a + bψ b ) = ∂t = h[a (ω a − iγ a / 2 + V )ψ a + b(ω b − iγ b / 2 + V )ψ b ] ih ψ a∗ - vagy ψ ∗b - gal és integrálva a teljes térre kapjuk (2) ia& = (ω a − iγ a / 2 )a + Vab b

ib& = V a + (ω − iγ / 2 )b balról beszorozva ba b b ahol Vab = (ψ a ,Vψ b ) = Vba = − E (r, t ) d h és d = e(ψ a , rψ b ) = e r ab = e ∫ψ a∗ (r )rψ b (r )d 3 r az átmenet dipolmomentuma. Vab számitásánál kihasználtuk, hogy E (r, t ) változása az atomon belül elhanyagolható. Vab = Vba, mivel ψa és ψb kötött állapotok stacionárius hullámfüggvényei, tehát valósak, következésképpen d is valós. Kevert állapotban az atomi dipolmomentum várható értéke, a mikroszkópikus polarizáció p = e ψ r ψ = e ∫ ψ∗ r ψd 3r = = e a∗b ∫ ψ∗a r ψbd 3 r + e ab∗ ∫ ψ∗b r ψad 3r = = d ( a∗b + ab∗ ). A mikroszkópikus polarizáció időfüggése független az állapotok konkrét alakjától. Ilyen esetben szokás bevezetni a sűrűség operátort vagy sűrűségmátrixot az állapotfüggvény helyett.  a (t ) ψ (r , t ) = a (t )ψ a (r ) + b(t )ψ b (r )ψ 〉 t =    b(t ) ↑ időtől függő

oszlopvektor jelölése, 〈ψ t = (a ∗ (t ) b ∗ (t )) ↑ időtől függő sorvektor jelölése. Definiáljuk a sűrűségmátrixot a következőképpen: a ρ (t ) ≡ ψ 〉 t =  (a ∗ b   a ∗ ab ∗   ρ  =  aa b )=  2  a ∗b b   ρ ba   ∗ ρ ab  . ρ bb  12 Mivel ρba = ρ∗ab , a sűrűségmátrix hermitikus és csak három független elemet tartalmaz. A sűrűségmátrix segítségével a mikroszkópikus polarizáció kifejezhető: p = d (ρ ab + ρ ba ) (3) vagy bevezetve a ∧  01 p = d   10  mátrixot, kapjuk a mikroszkópikus polarizációra: (4) ∧ p = Tr ρ p    Az időtől függő mikroszkópikus polarizáció meghatározásához szükségünk van a sűrűségmátrix mozgásegyenletére. (2) egyenletek átírhatók mátrix alakba: γ    ω a − i a Vab  a a a   d b   = [H − i (Γ / 2 )]  i

  =  b  γ a  b  dt  b      Vab ω b − i  2  ahol ωa 0   0V  V =  ab  H = H 0 + V H 0 =   Vab 0   0ω b  γ a 0  E (r , t ) Vab = Vba = − Γ = d h  0γ b  Írjuk fel a sűrűségmátrixra vonatkozó Schrödinger egyenletet: a d ρ  a&  ∗ = i (a b ∗ ) + i  a& ∗ b& ∗ = & dt b  b  = [H − i (Γ / 2 )]ρ − ρ [H + i (Γ / 2 )] ( i ) ahol a második tag a (2) egyenletet komplex konjugálva kapható. Tovább alakítva kapható a sűrűségmátrix mozgásegyenlete: (5) dρ i i i = H ρ − ρ H − (Γρ + ρΓ ) = [H , ρ ] − {Γ, ρ } dt 2 2 és a kezdeti feltétel, miszerint t -ban az "a" állapot van betöltve 0 10  ρ (t = to ) =   = ρ (a ).  00  A sűrűségmátrix a klaszikus állapotfügvénnyel analóg módon a sok-részecske

rendszerek fizikai mennyiségeinek (pl. jelenleg polarizáció) statisztikai átlagszámításánál jól használható, mikor a rendszer állapo-függvényei nem ismertek ill. nem meghatározhatók 13 Általában egy N részecskéből álló rendszer esetén bármely részecske (pl. a kadik) állapotfüggvénye felírható: ψ k = ∑ ank u n k = 1, 2,. N n alakban, ahol un állapotfüggvények teljes ortonormált rendszert alkotnak. Ha F valamilyen fizikai mennyiség operátora, yk állapotban a várható értéke: F = ∫ (ψ k ) F (ψ k )dV , ∗ k átlagos értéke az N részecske rendszerben: ∑ ∫ (ψ ) F (ψ )dV ∑ ∑ (a ) (a )F N F = N k ∗ k = k =1 N k =1 m ,n k ∗ m k n N mn , ahol Fmn = ∫ u m∗ F u n dV , és ρ nm = 1 N ∑ (a ) (a ) N k ∗ m k =1 k n a sűrűségmátrix elemei. A fizikai mennyiség várható értékének átlagértékére kapjuk: . F = ∑ ρ nm Fmn = Tr (ρ F ) m,n 3.3 Makroszkópikus polarizáció A to -

ban "a" szintre gerjesztett atom t időpillanatban jellemezhető a ρ (a, t o , t ) sűrűségmátrix-szal, mely kielégíti az (5) mozgásegyenletet és a kezdeti feltételnek is eleget tesz: ρ (a, t o , t o ) = ρ (a ) , [ ] ∧ < p(t ) >= Tr  ρ (a, t o , t ) p  = d ρ ab (a, t o , t ) + ρ ∗ (a , t o , t ) ab   még mindig egy atomra. Különböző atomok esetén, melyek különböző időben lettek az "a" szintre gerjesztve (az i-edik atom toi-ben,.) ∧ ∧ P (r , t ) = ∑ Tr  ρ (a, t oi t ) p  = Tr  ρ (a , t ) p      i t oi ≤ t ρ (a, t ) = ∑ ρ (a, t oi , t ) i t oi < t az eredő sűrűségmátrix. Minden olyan atomra összegezni kell, melyet a t időpontig az "a" nívóra gerjesztettünk. ∑ helyett célszerű áttérni integrálalakra Ha 14 λa (to )dto a t o Žs t o + dto időintervallumban az "a" szintre gerjesztett atomok száma egységnyi

térfogatban, vagyis az átlagos pumpálási sűrűség, akkor a sűrűségmátrix (6) t ρ (a, t ) = ∫ λ a (t o )ρ (a, t o , t )dt o −∞ alakban írható. Számítsuk ki a i ∂ ρ(a,t ) ∂t kifejezés értékét! Ismeretes a következő integrálási összefüggés: v (λ ) v (λ ) ∂v ∂u ∂ ∂ f (x, λ )d x = ∫ f (x, λ )d x + f (v, λ ) − f (u, λ ) . ∫ ∂ λ u (λ ) ∂λ ∂λ ∂λ u (λ ) Esetünkben v (λ ) = t λ = t x = to f (x, λ ) = λa (to )ρ (a , to , t ) ∂ ∂ ρ (a, t ) = i λa (t )ρ (a ) + ∫ λa (to )i ρ (a, to , t )dto ∂t ∂t −∞ t i Írjuk be az integráljel alá a sűrűségoperátor (5) egyenletét. Esetünkben H független to -tól (ez csak akkor igaz, ha az atomok nem mozognak), vagyis kivihető az integráljel elé, az integrál pedig éppen ρ (a, t ) - t adja (6) - nak megfelelően: i ∂ i ρ (a, t ) = iλ a (t )ρ (a ) + [H , ρ (a, t )] − {Γ, ρ (a, t )}. 2 ∂t Meg kell adni a lehetõségét az alsó szint

pumpálásának is, vagyis az eredõ sûrûségmátrix: ρ (t ) = ρ (a, t ) + ρ (b, t ), mozgásegyenlete pedig: i , ∂ρ i = i λ + [H , ρ ] − {Γ, ρ } ∂t 2 (7) ahol λ 0 λ= a  0 λb  pumpálási mátrix, vagy másként λ = λa ρ (a ) + λb ρ (b ) . Az eredő sűrűségmátrix elemeinek fizikai jelentése: ρaa (t ) = Na (t ) a felső szint atomsűrűsé ge, ρbb (t ) = Nb (t ) az alsó szint atomsűrűsé ge ρaa (t ) − ρbb (t ) = Na (t ) − Nb (t ) = N(t ) inverziósűrűség. 15 A makroszkópikus polarizáció a sűrűségmátrix segítségével számolható: . (8) ∧ P (r , t ) = Tr  ρ (t ) p  = d ρ ab (t ) + ρ ∗ ab (t )   [ ] Írjuk ki a sűrűségmátrix elemeire vonatkozó egyenleteket az operátormátrixok segítségével: ρ& ab = −i (ω a ρ ab + Vab ρ bb − ρ aaVab − ω b ρ ab ) − 1 (γ a ρ ab + γ b ρ ab ) 2 hasonlóan a többi elemre is kapjuk: 1. ρ& ab = −iω o ρ ab + iVab

(ρ aa − ρ bb ) − γ ab ρ ab , (9) 2.ρ& aa = λa − γ a ρ aa + iVab (ρ ab − ρ ∗ ab ) 3.ρ& bb = λb − γ b ρ bb − iVab (ρ ab − ρ ∗ ab ) ahol bevezettük a γa + γb = γ ab és ω a − ω b = ω 0 2 jelöléseket. (9) egyenletek nemlineáris parciális differenciál egyenletek a sűrűségmátrix komponenseire. Megoldásuk csak közelítéssel lehetséges 3.4 Elsőrendű megoldás (lineáris közelítés) Tételezzük fel, hogy az inverziósűrűség nem függ az időtől: ρ aa − ρ bb = N (z ) fźggetlen t - t›l. Ekkor (9) első egyenlete megoldható ρab -re. Írjuk be a perturbáció mátrixelemét, az egyszerűség kedvéért csak egyetlen módust engedjünk meg (több módusra hasonlóan felírhatók az egyenletek). (10) d Vab = − E n (t )u n (z )cos(ω n t + ϕ n ) h A megoldást ismét a lassan változó amplitúdó közelítéssel kaphatjuk. Keressük a megoldást ρ ab (t ) = ξ (t )e − iω nt alakban. Ezt beírva (9) 1

egyenletébe kapjuk: ξ&e − iω nt + [i (ω o − ω n ) + γ ab ]ξ e − iω nt = , id = − E n (t )u n (z )N (z ) e i (ω n t +ϕ n )+ e −i (ω nt +ϕ n ) 2h [ ] ahol a cos függvény helyett annak exponenciális alakját használtuk. Beszorozva az egyenletet exp(iωnt) - vel, kapjuk: 16 ξ& + [i (ω o − ω n ) + γ ab ]ξ = id = − E n (t )u n (z )N (z ) e i (2ω n t +ϕ n )+ e −iϕ n 2h [ ] Elhanyagolva a 2ω - val változó tagot, stacionárius esetben, ξ& = 0 , kifejezhető. Beírva ρab kifejezésébe, kapjuk: (11) id E n (t )u n (z ) ρ ab = − N (z )e −i (ω n t +ϕ n ) 2h i (ω o − ω n ) + γ ab ξ (8) alapján és kiintegrálva a makroszkópikus polarizációt a módus térfogatára (12) L Pn (t ) = ∫ P (z , t )u n (z )dz 0 szerint, a szinuszos és koszinuszos tagok együtthatóira kapjuk: , (13) En d2 Cn = N (ω n −ω o ) h n (ω n − ω o )2 + γ ab2 Sn = − En d2 N n γ ab h (ω n − ω o )2 + γ ab2 ahol L N n = ∫

N (z , t )u n2 (z )dz . (14) o Mint látható, (13) kifejezések lineáris függvényei a téramplitúdónak. Sn-et beírva az amplitudó (1) egyenletébe és ω n ~ Ω n - közelítéssel kapjuk: E& n ω =− n En 2  1  d2 1 − N n γ ab  2 2  (ω n − ω o ) + γ ab   Qn ε o h vagyis a lézeroszcilláció feltétele a szögletes zárójel ≤ 0 feltételének teljesülése. A szögletes zárójelben az erõsítés (indukált emisszióval illetve pumpálással létrehozva) és az üreg veszteségének különbsége áll. A lézerküszöb = 0 - ból adódik, amibõl a kritikus inverziót meghatározhatjuk: . (15) εo h 2 2 N nkrit = (ω n − ω o ) + γ ab γ ab d 2 Qn [ ] A kritikus inverzió értéke az elhangolódással ( ω n − ω 0 ) négyzetesen növekszik, a középfrekvencián ( ω n = ω o ): . (16) ε hγ N nkrit (ω n = ω o ) = o 2 ab d Qn Cn-t behelyettesítve (1) frekvencia egyenletébe, elhanyagolva ϕ&n -t kapjuk: 17 d 2ω

n 1 ωn − Ωn = − N n (ω n − ω o ) 2ε o h (ω n − ω 0 )2 + γ ab2 , beírva a kritikus inverzió (15) értékét: ω n − Ω n = − S (ω n − ω o ) , ahol bevezettük az S súlyfaktort a következõ definícióval: S= ωn . 2 γ abQn Felhasználva, hogy γab az átmenet körfrekvenciában kifejezett vonalszélességének a félértékszélessége, valamint a jósági tényező definícióját: γ ab = Ωn ∆ω , Qn = , 2 ∆Ω n a súlyfaktorra kapjuk: S= ωn ∆ Ωn ≅ , mert Ω n ≅ ω n . ∆ ω Ωn ∆ω 2 2 ∆ Ωn (17) A lézermódus frekvenciája pedig ωn = Ωn + S ωo . 1+ S (18) Az S súlyfaktor a módusszélesség és az atomi vonalszélesség hányadosa. A lézer frekvenciája az n - edik módusban súlyozott átlaga a módusfrekvenciának és az atomi átmenet frekvenciájának, 1 és S súlyokkal. Annak a frekvenciának van nagyobb hatása, amelyik bizonytalansága kisebb! A gyakorlatban a rezonátormódus frekvenciájának

szélessége jóval kisebb az atomi átmenet szélességénél, ezért a lézermódus frekvenciájának a rezoná-tormódus frekvenciájától való eltérése kicsi. 3.5 Magasabb rendű nem lineáris megoldás Ha az inverziósűrűséget nem tartjuk állandó értéken, hanem a tér jelenlétében keressük stacionárius megoldását, vagyis ρ aa − ρ bb = N (z , t ) az idõ lassan változó függvénye, akkor (11) helyett kapjuk: ρ ab E n (t )u n (z ) id (ρ aa − ρ bb )e −i(ω nt +ϕ n ) =− 2h i (ω o − ω n ) + γ ab . (19) 18 Ezt illetve komplex konjugáltját beírva (9) 2. és 3egyenletébe és megoldva (ρ aa − ρ bb ) -re kapjuk a következő közelítést. Figyelembe véve mind az M axiális módust, a perturbáló potenciál mátrixeleme (10) helyett: Vab = − d M ∑E u cos(ωmt + ϕm ) . h m =1 m m (20) (9) 2. és 3 egyenletében szerepel az iVab (ρ ab − ρ ∗ ab ), melyet (19) és (20) felhasználásával kapunk: iVab (ρ ab − ρ ∗ ab

) = − d2 2h 2 M ∑E m =1 m u m cos(ω m t + ϕ m )(ρ aa − ρ bb )⋅ M   En un ⋅∑ e −i (ω n t +ϕ n ) + c.c n =1  i (ω o − ω n ) + γ ab  Átírva a cos kifejezését exp alakba, elhanyagolva az összegfrekvenciával változó tagokat és bevezetve az R=  d 2 M M  E m En um un e i (ω m −ω n )t +ϕ m −ϕ n + c.c 2 ∑∑  4h m =1 n =1  γ ab + i (ω o − ω n )  (21) jelölést, (9) 2. és 3 egyenletébõl kapjuk: ρ& aa = λa − γ a ρ aa + R (ρ bb − ρ aa ) ρ& bb = λb − γ b ρ bb + R (ρ aa − ρ bb ) , (22) melyet az irodalomban "rate" - egyenleteknek vagy "mérleg" egyenleteknek neveznek, mivel a nívók betöltöttségének időbeli változását fejezik ki az indukált folyamatok (indukált emisszió és abszorpció), a gerjesztés és a spontán emisszió következtében. R az indukált emisszió és/vagy abszorpció valószínűsége, arányos E2 - tel, azaz a

fényintenzitással. Ha több, mint 1 módus van gerjesztve, R (21) kifejezéséből látható, hogy wm - wn frekvenciájú tagokat is tartalmaz. Ezek pulzáló tagok, az inver-ziósűrűségben is pulzálást okoznak. De mivel azonos rezonanciához tartozó atomcsoportok átmenetének kiszélesedése (pl. inhomogén esetben) ritkán éri el két longitudinális módus távolságát, ez a hatás többnyire elhanyagolható. Ezért m = n vehető a S ban Az exp elhagyható és a közös nevezőre hozás után kapjuk: d2 M En2un2 R = 2 ∑ γ ab 2 2 2h n=1 γ ab + (ωo − ωn ) Az arányegyenletek stacionárius megoldását kapjuk, ha ρ& aa = ρ& bb = 0 . Ekkor (22) egyenleteket átalakítva 19 λa R = ρaa + ( ρaa − ρbb ) γa γa λb R = ρbb − ( ρaa − ρbb ) γb γb . A két egyenletet kivonva egymásból és bevezetve a következő jelöléseket ρ aa − ρ bb = N Žs λ a λb − = N (o ) γa γb kapjuk 1  1 R , N ( 0) = N + NR +  = N1

+   γa γb   Rs  ahol bevezettük az 1 1 1 2γ ab = + = = τa + τb RS γ a γ b γ a γ b jekölést. Az inverziósűrűségre nemlineáris közelítésben kapjuk: (23) N (o ) . N= 1 + R / RS Ha R = 0, vagyis a tér 0, akkor N = N(o). Ez a zéro tér melletti inverziós sűrűség, mely a pumpálás és bomlás eredőjeként adódik. Tér jelenlétében az inverziós sűrűség csökken 1 + R/Rs - nek megfelelően, annál inkább csökken, minél nagyobb a tér. Ez a nemlineáris telítődési hatás, ami megakadályozza az intenzitás minden határ nélküli exponenciális növekedését, és meghatározza az oszcilláció stabil amplitudóját. Ha R = Rs, telítődés lép fel, ekkor N = N (o ) 2 Az ehhez tartozó Rs értéket telítődési foknak nevezik. (23) kifejezést visszahelyettesítve (19) kifejezésbe kapjuk: ρab M id N ( o) En (t )un ( z ) =− exp −i (ωnt + ϕn ) ∑ 2h (1 + R / Rs ) n=1 γ ab + i (ωo − ωn ) [ ] (24) Ez a kifejezés a

lineáris közelítéstől abban különözik, hogy N(z) helyett N ( o) 1+ ( R / Rs ) kifejezést tartalmazza. A megoldás további menete megegyezik a koráb-biakkal (8) alapján a makroszkópikus polarizáció számolható (24) és komplex konjugáltja segítségével. Ezután (12) integrált elvégezve kifejezhető Cn és Sn 20 De mivel a nevezőben szerepelő R ~ En2, ezért ha ebből Cn - et és Sn -et kifejezzük és beírjuk az (1) egyenletekbe, az amplitudót mindkét egyenlet fogja tartalmazni. Közelítőleg egyetlen 1 axiális módusra R/Rs << 1 feltétel mellett, vagyis ha a módus a telítődéstől messze van, felírható a megoldás, mert ilyenkor az 1 1 + R / Rs 1− R +. RS (25) sorfejtéssel Nn = Nn − d 2γ ab2 E n2 h 2γ a γ b γ ab2 + (ω o − ω n )2 L un4 (z )dz O 14 4244 3 ∫N (o ) adott mdusra kisz‡m’ th at ahol felhasználtuk a (14) kifejezést, átalakítás után  1 2 N n = N n 1 − γ ab In (ω n − ω o )2 + γ

ab2   ,   ahol bevezettünk az En módus intenzitásával arányos dimenziótlan paramétert In - et a következő definícióval: L In = ∫ N ( 0)un4( z )dz 0 L ∫ N ( 0)un2( z )dz d2 ⋅ 2 E2 h γ aγ b n . (26) 0 (25) sorfejtéssel analóg közelítést alkalmazva, N n tovább alakítható Nn Nn = 2 1 + γ ab In 1 (ω n −ω o )2 +γ ab 2 amit, ha (24) kifejezésbe beírunk és (8) szerint tovább számolunk, Cn és Sn kifejezhetővé válik: (27) 2 γ ab d S n (t ) = − N n En 2 h (ω n − ω o ) + γ ab 2 (1 + I n ) Ezt beírva (1) Sn(t) egyenletébe stacionárius állapotra, E& n = 0 , kapjuk: • Ω ω E = − n − n S n (t ) = 0 En 2Q n 2ε o Ωn ωn d 2 γ ab = Nn 2 Qn εo h (ω n − ω o ) + γ ab2 (1 + I n ) 21 Ω n ≅ ω n közelítéssel és (16) felhasználásával (ω n − ω o )2 + γ ab2 (1 + I n ) = (ω − ω ) Nn −1− n 2 o γ ab N n krit Nn 2 2 ⋅γ ab /⋅ 1 γ ab N n krit 2 In = ahol (28) Nn a

relatív gerjesztettség . Ha ω n = ω o N nkrit In = Nn − 1. N nkrit (29) Rezonancián a dimenzió nélküli módusintenzitás arányos az inverziósűrűségnek a kritikus sűrűséget meghaladó relatív arányával, míg rezonanciától távolodva az intenzitás az elhangolás négyzetével csökken. Ha több módus jelenlétét engedélyezzük ugyanebben a közelítésben, megmutatható, hogy a módusok között nemlineáris csatolás lép fel. Ha a módusok között gyenge a csatolás, több módus stabil működése is lehetséges. Cn - re kapott kifejezésből ugyanebben a közelítésben megmutatható, hogy a lézermódus frekvenciájának a rezonátor módus frekvenciájától való eltérése függ a lézertér intenzitásától, azaz ω n − Ω n ~ E n2 . Magasabb rendű közelítéssel megmutatható az intenzitásnak a pumpálással való telítődése is. Az atomok mozgását is figyelembe lehet venni az FKE keretein belül, vagyis inhomogén erősítésű

közegre is megkaphatók az intenzitás telítődését leíró egyenletek. 22